divisibilidad listo.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CENTRO PREUNIVERSITARIO CEPUNC ARITMTICA

PROF. ULISES C. MARTINEZ

1

EJERCICIOS DE MCD Y MCM

1. Determinar dos enteros sabiendo que la suma de sus cuadrados es 3 492 y su producto es 216 veces su MCD. Dar su diferencia como respuesta.

A) 30 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

2. Determinar dos enteros sabiendo que el cociente de su suma por su MCD es 8 y el cociente de su producto por su MCD es 840, dar el nmero de soluciones.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Determinar la superficie del menor terreno rectangular que puede ser dividido en lotes rectangulares de 12m por 10m, 20m por 8m y 16m por 24m, sabiendo que las primeras dimensiones representan el largo

y las segundas el ancho.

A) 28 800 m2 B) 14 400 m

2 C) 25 000 m

2 D) 72 000 m

2 E) 57 600 m

2

4. El MCD de los nmeros 1 y 2 es ( + 2)5 . Luego el valor de 2 2(1 ) es: A) 0 B) 45 C) 45 D) 35 E) 35

5. Arnaldo, Miguel y Claudio van de visita a la casa de Pepe cada 8, 9 y 12 das respectivamente. Si

visitaron a Pepe el 25 de Febrero de 1990, cul ser la fecha ms prxima en que volvern a visitarlo

juntos?

A) 25 de marzo de 1990 B) 3 de abril de 1990 C) 2 de mayo de 1990

D) 8 de mayo de 1990 E) 10 de junio de 1990

6. De un terreno rectangular que mide 360 m de largo y 240 m de ancho, se quieren hacen lotes cuadrados,

lo ms grandes posibles. Cuntos lotes saldrn?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) N.A

7. En un corral hay cierto nmero de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 294. Si las gallinas se

acomodan en grupos de 2, 3, 4, 5 siempre sobra 1; pero si se acomodan en grupos de 7 sobran 4.

Cuntas gallinas hay en el corral si se aaden 6 ms?

A) 361 B) 363 C) 365 D) 367 E) 359

8. Hallar la suma de dos nmeros enteros cuyo M.C.M es 22 400 y tales que en el clculo del M.CD. mediante divisiones sucesivas se obtuvieron 2, 5 y 3 sucesivamente como cocientes.

A) 2 040 B) 2 240 C) 2 050 D) 2 250 E) 2 060

9. Hallar dos nmeros a y b primos entre s, tales que el mnimos comn mltiplo de a y b es 330 y a b = 7.

A) 22 y 29 B) 55 y 46 C) 18 y 25 D) 22 y 15 E) 14 y 21

10. El nmero de divisores comunes de los nmeros: 1 760 913 y 83 853 es: A) 20 B) 23 C) 24 D) 27 E) 28

11. El M.C.D. de 2 nmeros es 8 y el cocientes de las divisiones sucesivas para obtener dicho nmero son: 2, 2, 1, 1 y 7. Hallar los nmeros.

A) 136 y 184 B) 248 y 328 C) 296 y 736 D) 304 y 728 E) 312 y 744



2

12. Calcular el MCD de dos nmeros, uno de la forma 1 = 2. 3. 5 y el otro 1 = 2

. 3. 5, sabiendo que el nmero de divisores comunes a los dos nmeros es 9.

A) 100 B) 150 C) 210 D) 98 E) 180

13. Cul es el menor nmero no divisible por: 4; 6; 9; 11 y 12 que al ser dividido entre stos se obtiene restos iguales?

A) 215 B) 317 C) 397 D) 428 E) 459

14. Cuntos divisores tiene el MCD de A, B y C, si:A = 123. 104; B = 184. 152 ; C = 102. 303 ? A) 16 B) 20 C) 60 D) 46 E) 72

15. Si: M.C.D (3A; 24C) = 18p, M.C.D(2C; B) = 2p, M.C.D(A; 4B; 8C) = 210, calcular la suma de las cifras de p.

A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 E) 12

16. Si MCD (A

7,2A

3,6A

5) = 26, evaluar la suma de cifras del valor que toma A

A) 10 B) 12 C) 13 D) 18 E) 21

17. Al calcular el M.C.D. de dos nmeros primos entre si mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos: 2, 1, 3, 3 y 2. La diferencia de los nmeros es:

A) 7 B) 30 C) 83 D) 53 E) 23

18. Al calcular el M.C.D. de dos nmeros por el algoritmo de Euclides se obtuvo por cocientes sucesivos: 1, 1, 2, 3 y 4. Determinar la diferencia de esos nmeros si su M.C.D. es 56.

A) 840 B) 1 120 C) 560 D) 2 040 E) 1 680

19. Dados dos nmeros, uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores, tienen un MCD igual a 18. Se pide calcular la diferencia de ellos.

A) 2 868 B) 414 C) 684 D) 522 E) 594

20. Calcular la suma de dos nmeros enteros sabiendo que la suma de los cocientes obtenidos al dividir a cada uno de ellos entre su M.C.D. es 9 y que su producto dividido entre el mismo M.C.D. da como

resultado 180.

A) 49 B) 81 C) 63 D) 101 E) 64

21. Cuntos pares de nmeros suman 476 y tienen como M.C.D. a 28? A) 16 B) 1 C) 6 D) 8 E) 9

22. El MCD de dos nmeros es 9 y el cuadrado del primero mas el segundo es 486. Cul es la suma de los nmeros?

A) 414 B) 405 C) 426 D) 477 E) 423

23. Los cuadrados de dos nmeros difieren en 3 375 y su M.C.D. es 15. Diga cul de las siguientes no es uno de los posibles nmeros.

A) 60 B) 120 C) 15 D) 75 E) 105

24. Determinar dos nmeros sabiendo que su producto es 30 veces su M.C.D. y que la suma de sus cuadrados es 87 veces su M.C.D. Dar como respuesta el menor de los nmeros.

A) 10 B) 6 C) 15 D) 27 E) 25

25. Dados los nmeros A, B, C y D, se cumple: MCD(4A, 2B, 12C) = 144 ; MCD(3B, 18C, 15D) = 432. Halle el MCD (2A, B, 6C, 5D)

A) 144 B) 36 C) 72 D) 18 E) 54



3

26. Al hallar el MCD de dos nmeros por divisiones sucesivas se obtuvieron los siguientes cocientes: 4, 2, 3 y 5. Si el MCD es 24, cul es la suma de las cifras de la suma de los nmeros, si se conoce que la

segunda divisin fue por exceso?

A) 10 B) 9 C) 12 D) 15 E) 16

27. Si se tienen los nmeros: 12604960 7532A y 6749 32B En qu nmero termina el MCD de A y B?

A) 1 B) 5 C) 4 D) 2 E) 6

28. Halle dos a y b, primos entre s, tales que su M.C.M. es 378 y su diferencia es 13. A) 14 y 27 B) 15 y 28 C) 17 y 30 D)27 y 40 E)42 y 9

29. Halle el mayor de dos nmeros cuyo MCD es 18 y que el primero tiene 10 divisores y el segundo 15 divisores.

A) 152 B) 144 C) 205 D) 172 E) 162

1. Calcule el mayor de dos nmeros si se sabe que al calcular su M.C.D. que es 8 por divisiones sucesivas se obtuvieron los cocientes 2, 2, 1, 1, 7.

A) 528 B) 254 C) 889 D) 728 E) 648

2. Encuentre el M.C.D. de: )4(cifras 234

3333 y )8(cifras 378

7777 en base 4. D como respuesta la suma de sus cifras.

A) 24 B) 15 C) 21 D) 27 E) 30

3. Halle cuntos divisores comunes tienen los nmeros 1848 y 1188. A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 16

30. La suma de dos nmeros es a su diferencia como 8 es a 3. Si el MCD es 21, calcular la diferencia de dichos nmeros.

A) 143 B) 144 C) 132 D) 125 E) 126

31. Determinar cuntos pares de nmeros comprendidos entre 500 y 700 existen tales que su MCD sea 32 A) 14 B) 12 C) 11 D) 19 E) 10

32. Dar el valor de a + b si: mcm [ ; ( + 1)( + 1) ] = 132 A) 14 B) 12 C) 11 D) 19 E) 10

33. Se tiene dos nmeros que son los mayores posibles en el sistema Heptanario, cuya suma de cifras son 216 y 364 respectivamente. Calcular la suma de las cifras del M.C.D de dichos nmeros expresados en el

sistema de base 49.

A) 432 B) 324 C) 423 D) 342 E) 454

34. Calcular el valor de n si el mcm. de los nmeros: A = 12n. 45 y B = 12. 45n, tiene 450 divisores. A) 4 B) 5 C) 6 D) 2 E) 7

35. Calcular n si el m.c.m. de: A = 28. 32n y B = 28n. 32 tiene 72 divisores. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

36. Si M.C.D(3A; 3B) = 3 y m.c.m (4A, 4B ) = 572, calcular A.B



4

A) 110 B) 121 C) 132 D) 143 E) 154

37. Determinar el mnimo comn mltiplo de 5 nmeros si su MCD es 210 y los cocientes de dividir cada nmero entre el MCD son: 2, 4, 6, 7 y 8.

A) 564 480 B) 282 240 C) 35 380 D) 70 560 E) 35 280

38. El mcm de las edades de Don Ramn y Doa Clotilde es el doble de la edad de Don Ramn; y el MCD de dichas edades es la tercera parte de la edad de don Ramn. Si don Ramn naci 24 aos antes que

Doa Clotilde, Cul es la edad de don Ramn?

A) 48 B) 60 C) 54 D) 72 E) 26

39. Un vehculo se desplaza con velocidad constante, recorriendo primero 180 km y luego 240 km. Si el mcm de los tiempos empleados es 96 horas, Cuntas horas se ha demorado en total?

A) 24 B) 37 C) 28 D) 56 E) 25

40. Se han plantado rboles igualmente espaciados en contorno de un campo triangular cuyos lados miden 144 m, 180m y 240m. Sabiendo que hay un rbol en cada vrtice y que la distancia entre 2 rboles

consecutivos est comprendida entre 4m y 10 m, calcular el nmero de rboles plantados.

A) 88 B) 94 C) 90 D) 95 E) 96

41. Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidades 72, 24, 56 y 120 galones respectivamente, Cul es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si est comprendido entre 2 y 8

galones?

A) 6 B) 4 C) 5 D) 3 E) 7

42. Se han dividido 3 barras de acero de longitudes de 540, 480 y 360 cm, en trozos de igual longitud, siendo esta la mayor posible. Cuntos trozos se han obtenido?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

43. Si se dispone de un terreno de forma rectangular de 540 x 120m el cual se ha dividido en parcelas cuadradas todas exactamente iguales. Determinar el nmero de parcelas si se puede obtener entre 400 y

500 parcelas.

A) 422 B) 450 C) 458 D) 445 E) 472 44. Los grupos de estudios de aritmtica, razonamiento verbal y ciencias se renen cada 3, 4 y 5 das

respectivamente. Si la primera reunin simultanea fue el 31 de octubre del 2010. Entonces:

En qu fecha ms prxima del 2011 se encontraran los estudiantes de estos tres grupos

simultneamente?

A) 27 de febrero B) 1 de marzo C) 28 de febrero D) 2 de marzo E) 29 de febrero

45. Dadas las siguientes proposiciones: I. Todo nmero primo mayor que 3 al ser dividido entre 6 deja residuo 1 5.

II. A.B = MCD(A,B). MCM(A,B) III. Si al numerador y al denominador de una fraccin se le aumenta en 1. La fraccin aumenta en su valor

Entonces:

A) Slo I es verdadero. B) Slo II es verdadero. C) I y III son verdaderos. D) I y II son verdaderos

E) I es falso.



5

NUMEROS RACIONALES

NMERO RACIONAL

Es aquel nmero que puede expresarse como: a

b

Donde: a Z b Z* El conjunto de los nmeros racionales se denota

con la letra Q.

Q = { a

b/ a Z b Z } ; Z = Z {0}

PROPIEDADES DE LOS NMEROS

RACIONALES

El conjunto Q es infinito y cumple con las

siguientes propiedades:

PROPIEDAD 1.

Es un conjunto ORDENADO, pues dados dos

nmeros racionales a y b siempre ss posible

establecer si son iguales o si uno es mayor que

otro.

PROPIEDAD 2.

Es un conjunto DENSO, pues dados dos nmeros

racionales distintos existe por lo menos un numero

racional entre ellos, es decir siempre es posible

encontrarlo.

Ejemplo.

Dados 3

4 y

4

5 entre ellos est la fraccin

31

40 .

En efecto

3

4+4

5

2=31

40

3

4<

31

40 B. Su valor

es mayor que la unidad. f > 1

Ejemplos:

6

5 ; 11

9 ; 453

28 ; 82

65 ; 7

2.....

Observacin:

Una fraccin impropia A

B puede convertirse a

nmero mixto efectuando la divisin entera:

Ejemplo: 16

3 es 5

1

3

Porque:

Todo nmero mixto qr

B se puede expresar

como: q +r

B

II. Por su denominador:

Se clasifica tambin las fracciones atendiendo

el hecho de que los denominadores son o no

potencias de 10.

Sea a

b una fraccin:

a) Decimal: Cuando el denominador es una

potencia de 10.

Si b = 10k k Z+; entonces f es una fraccin

decimal.

Ejemplos:

13

100; 39

10; 143

1000;

47

10 000

b) Ordinaria: Cuando el denominador no es una potencia de 10.

Si b 10k k Z+; entonces f es una fraccin decimal.

Ejemplos:

3

11; 5

24; 45

326;2315

5304

III. Por razn de igualdad o desigualdad entre

sus denominadores: Considerando solamente a las fracciones

ordinarias podemos clasificarlas en

homogneas y heterogneas de acuerdo a la

relacin de igualdad o desigualdad entre sus

denominadores, respectivamente.

a) Homogneas: Dadas dos o ms fracciones comunes, el grupo

de ellas ser llamado cuando todas ellas tengan

el mismo denominador.

Ejemplo:

Las fracciones 3

7; 41

7; 13

7;25

7 son

homogneas.

b) Heterogneas: Si tenemos dos o ms fracciones ordinarias

observamos que al menos una de ellas tiene un

denominador distinto a los denominadores de

las dems de las fracciones, entonces al

conjunto de ellas se les denominar fracciones

heterogneas.

Ejemplos:

Las fracciones 3

5; 1

2; 4

13;9

7 son heterogneas.

IV. Por los divisores de sus trminos:

Los trminos de una fraccin (el numerador y

denominador) pueden tener divisores comunes

o no. Segn esto ocurra, las fracciones se

clasifican en reductibles o en irreductibles.

a) Fracciones Reductibles:

Una fraccin: a

b es reductible si sus trminos

poseen divisores comunes, entonces a y b no

son PESI.

Ejemplos:

3

6; 21

18; 4

64;25

150

A B

r qLa nmero mixto es : q r

B

B

rq

B

rq

16 3

1 5



7

b) Fracciones Irreductibles:

Una fraccin: a

b es irreductible si sus trminos no

poseen divisores comunes, entonces a y b son

PESI.

Ejemplos:

31

55; 23

17; 11

13;25

176

FRACCIONES EQUIVALENTES

Son aquellas fracciones que utilizando trminos

diferentes expresan una misma parte de la unidad;

por ejemplo:

Las dos fracciones representan la mitad del todo.

1

2

2

4

3

6

4

8

1

2

1k

2k ; k = 1; 2; 3;

Simplificacin de una fraccin

Sea: f =a

b Simplificar!

Bueno, primero calculemos al M.C.D. de a y b

entonces:

=

(;)

(;)

=p

q; donde: y son PESI

Ampliacin de una fraccin

Sea f =p

q una fraccin irreductible, la fraccin

equivalente se obtiene: fe =pk

qk con k Z+

PROPIEDADES

1. Si a ambos trminos de una fraccin propia se

le agrega una misma cantidad positiva, la

fraccin resultante es mayor que la original.

2. Si a ambos trminos de una fraccin impropia

se le agrega una misma cantidad positiva, la

fraccin resultante es menor que la original.

3. Sea f1 =a

b y f2 =

c

d entonces:

i) f1 > f2 a.d > b. c ; a; b; c; d Z

ii) f1 < f2 a.d < b. c; a; b; c; d Z+

4. Si la suma de dos fracciones irreductibles resulta un nmero entero, entonces sus

denominadores son iguales.

FRACCIONES CONTINUAS Una expresin de la forma:

Se denomina fraccin continua.

FRACCIN CONTINUA SIMPLE: Es aquella

fraccin continua de la forma:

La cual representaremos como: [a1 ;a2 ;a3; .] Ejemplo:

MAXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO

COMN MLTIPLO PARA FRACCIONES

Sean a

b; c

d; e

f fracciones irreductibles.

I. M. C. D ( a

b; c

d; e

f) =

M.C.D(a;c;e)

M.C.M(b;d;f)

II. M. C.M ( a

b; c

d; e

f) =

M.C.M(a;c;e)

M.C.D(b;d;f)

Ejemplo: Encuentre el M.C.D. y el M.C.M. de:

36

35;14

25;10

16

Resolucin

M. C. D ( 36

35;14

25;10

16) =

M. C. D(36; 14; 10)

M. C. M(35; 25; 16)

=2

2800=

1

1400

M. C.M ( 36

35;14

25;10

16) =

M. C.M(36; 14; 10)

M. C. D(35; 25; 16)

=1260

1= 1260

1

2

2

4< >

.....ed

c

ba

......a

1a

1a

32

1

5

14

13

12

se representa [2 ; 3 ; 4 ; 5].



8

RELACIN PARTE TODO Se denomina as a la comparacin geomtrica de

una cantidad asumida como PARTE, respecto de

otra cantidad asumida como TODO.

Ejemplos.

* Que parte de 15 es 5? f =5

15=1

3

* Que parte es 18 de 7? f =18

7

* Que parte ms es 15 de 8? f =158

8=7

8

* Que parte menos es 12 de 15? f =1512

15=

3

15=1

5

GANANCIAS Y PRDIDAS SUCESIVAS

Con respecto a un total (unidad), es posible que se

gane o se pierda una parte (fraccin), quedando

entonces aumentada o disminuida nuestra cantidad

inicial.

PIERDO QUEDA GANO TENGO

1

2

1

2

1

2

1

2

3

5

2

5

3

5

8

5

8

17

9

17

8

17

25

17

5

13

8

13

5

13

8

13

x

n

n x

n

x

n

n + x

n

Ejemplo.

Erick se dirige a una librera con S/. 360 y compra

libros de aritmtica gastando en el primero 1/2,

1/3, 1/4 del dinero que le iba quedando. Con

cuanto se qued despus de compra de los libros?

Resolucin

Considerando que cada que gasta tenemos:

Queda { 3

4 [ 2

3 ( 1

2 (360))]} =

3

4.2

3.1

2. (360) = 90

NMEROS DECIMALES

Nmeros decimales es la expresin en forma

lineal de una fraccin, que se obtiene dividiendo el

numerador entre el denominador de una fraccin

irreductible.

As, tenemos:

* 3

5 = 0,3 *

13

3 = 4,33333

* 8

200 = 0,04 *

17

90 = 0,18888

CLASES DE NMEROS DECIMALES

Los nmeros decimales se clasifican en 2 grandes

grupos: nmeros decimales limitados o exactos, e

ilimitados o inexactos.

f =Lo que hace de PARTE

Lo que hace de TODO

es; son, representa.

de; del, respecto de.



9

Decimal Exacto

Posee una cantidad limitada de cifras en la parte

decimal. Una fraccin irreductible dar origen a

un decimal exacto, cuando el denominador es una

potencia de 2, potencia de 5 o producto de

potencias de 2 y 5 nicamente.

Origen:

Una fraccin irreductible dar origen a un decimal

exacto cuando el denominador est conformado

por slo factores 2, factores 5 o ambos.

Observacin: El nmero de cifras decimales de un decimal

exacto estar dado por el mayor exponente de 2

5 que tenga el denominador de la fraccin

irreductible.

Ejemplos:

De las fracciones anteriores notamos que son

fracciones irreductibles y adems generan:

*

*

*

CONVERSIN DE DECIMAL EXACTO A

FRACCIN:

Fraccin Generatriz

La fraccin generatriz de un decimal exacto

ser igual al nmero formado por las cifras

decimales, dividida entre la unidad, seguida de

tantos ceros como cifras decimales tenga el

nmero decimal.

Ejemplo:

A) Decimal Inexacto Son nmeros decimales inexactos aquellos que

tienen una cantidad de cifras decimales

ilimitados.

Decimal Inexacto Peridico Puro:

Se dice que es Peridico Puro cuando la parte

decimal consta de una cifra o un grupo de cifras

que se repetir indefinidamente (a estas cifras

que se repiten se les denomina periodo) y se las

indica con un arco encima.

Origen: Una fraccin irreductible originar un decimal

Peridico Puro cuando el denominador sea

diferente de un mltiplo de 2 y/o mltiplo de 5.

Ejemplos

* 7

3 = 2,3333. = 2, 3

* 31

11 = 2,818181. = 2, 81

* 1

333 = 0,00030003. = 2, 3

El nmero de cifras del periodo est dado por la

cantidad de cifras del menor nmero formado

por cifras 9 que contengan exactamente al

denominador de la fraccin generatriz.

Ejemplos:

* 1

3 = 0, 3 {Al denominador lo contiene 9

(un nueve), entonces tiene una cifra en el

periodo}

* 8

11 = 0, 72 {Al demoninador lo contiene

99 (dos nueves), entonces tiene una cifra en el periodo}

DESCOMPOSICIN CANNICA DE LOS

NMEROS DE CIFRAS 9 Para un fcil manejo del clculo del nmero de

cifras de un decimal peridico puro, es

recomendable recordar la siguiente tabla:

9 = 32 99 = 32. 11 999 = 33. 37

9999 = 32. 11. 101 99999 = 32. 41. 271

999999 = 32. 7. 11. 13. 37

Si el denominador de la fraccin irreductible es

el producto de varios factores primos

diferentes, el nmero de cifras peridicas est

dado por MCM de la cantidad de cifras de los

menores nmeros formados por cifras 9 que

contengan a los factores primos indicados.

Nmero

Decima l Peridico Puro

Peridico Mixto

Dec. Exacto

Dec. Inexacto

10000

abcdabcd,0

28 (2 cifras decimales),05

7

25

72


11

8

113


25

9

40

93



10

Ejemplo. Hallar cantidad de cifras peridicas

que tiene: 1

37.41

Resolucin

CONVERSIN DE DECIMAL INEXACTO

PERIDICO PURO A FRACCIN:

Fraccin Generatriz

La fraccin generatriz de un D.I. Peridico

Puro est dado por el nmero formado por las

cifras del periodo, dividido entre tantos nueves

como cifras tenga el periodo.

Sea: 0, abc entonces:

Decimal Inexacto Periodo Mixto:

Una expresin decimal es peridica mixta

cuando despus de la coma decimal el periodo

se inicia despus de una cifra o grupos de

cifras. Al grupo inicial anterior al periodo se le

llama parte no peridica.

Ejemplos:

* 0, 53333. = 0,53 * 1, 47373. = 0,473

Origen: Una fraccin irreductible dar origen a un

decimal inexacto peridico mixto cuando al

descomponer el denominador en sus factores

primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y

adems, algn otro factor necesariamente

diferente:

Ejemplos:

* 7

44=

7

22.11 = 0, 159090909 = 0,1590

* 13

148=

7

22.37 = 0, 08783783 = 0,08783

La cantidad de cifras no peridicas del decimal

inexacto peridico mixto est dado por la regla

para el nmero de cifras decimales de un

decimal exacto, y el nmero de cifras del

periodo est dado por la regla del nmero de

cifras de un D.I. Peridico Puro.

Ejemplos:

El denominador, el exponente del factor 2 que

es "2" genera 2 cifras no peridicas y el factor

37 est contenido por 999 (tres "9") por lo que

genera 3 cifras peridicas.

Conversin de un D.I. Peridico Mixto a

fraccin:

Fraccin Generatriz

La fraccin generatriz de un D.I.P. Mixto estar

dado por el nmero formado por la parte no

peridica, seguida de la parte peridica, menos

la parte no peridica, todo entre el nmero

formado por tantos nueves como cifras tenga el

periodo, seguido de tantos ceros como cifras

tengan la parte no peridica.

Ejemplo:

0,29545454...

64189,0372

95

148

952

37 es contenido en 999 (tres cifras peridicas) 41 es contenido en 99999 (cinco cifras peridicas)

MCM (3,5) = 15

Tendr quince cifras peridicas

44

13

9900

2925

9900

2929542954,0

Dos nueves

Dos ceros

0,mbc = mbc m

990

0, abc =abc

999



11

EJERCICIOS DE FRACCIONES

4. Si: A=14

625; B=

13

111. Halle la suma de cifras de la suma de la parte peridica y la parte no peridica de

A + B

A) 26 B) 25 C) 27 D) 24 E) 28

5. Si:

= 0, ;

+2

+2 = 0, y a+2= e + f. Halle:

A) 0, 9 B) 0, 6 C) 0, 7 D) 0, 3 E) 0, 5

6. Si:

= 0, (2)( + 2)( 2); halle la ltima cifra del perodo generado por

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

7. Para cuntos valores de n(nZ+) la expresin: 5+17

38 representan nmero fraccionarios mayores que 7?

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Si:

33= a(a + 1) , (a + 2)(a + 3)(a + 2)(a + 3) . Calcule N mximo y dar como respuesta la suma de

sus cifras.

A) 20 B) 18 C) 25 D) 12 E) 22

9. Determine la suma de las dos ltimas cifras del perodo originado por la fraccin 8

23.

A) 9 B) 6 C) 4 D) 8 E) 10

10. Si se cumple que: 342, (6)= , 32(8). Calcule: (x + y + z + m + n) (a + b + c)

A) 6 B) 11 C) 22 D) 5 E) 24

11. Cul es el menor nmero par, tal que la suma de su sptima y tercera parte es un nmero que posee una cantidad par de divisores propios?

A) 720 B) 210 C) 840 D) 420 E) 350

12. Si:

37= 0, (

+1

2) ( + 1)

, Calcule: (m + n)

A) 12 B) 13 C) 8 D) 9 E) 11

1. Calcule la suma del numerador y denominador al simplificar la expresin:

1 1 1 1F ......

4 28 70 130

A) 142 B) 121 C) 102 D) 113 E) 32

30 sumandos



12

2. Si la funcin: F= 280

403.34+5 . Genera 72 cifras en la parte no peridica. Calclese la suma de cifras

del perodo que genera la fraccin:(3

)

A) 31 B) 30 C) 27 D) 29 E) 28

3. Si la fraccin: 2 4 6 8 10

1 5 1 5 1f ...

3 3 3 3 3 es irreductible, halle la diferencia de sus trminos

A) 21 B) 23 C) 27 D) 33 E) 30

4. Si: MCD(ab ; ba )= 9.Adems: ab

ba = 0,5mnpqrs5mnpqrs .Calcule: (b + a + r)

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17

5. Si la fraccin irreductible mn

a(3a+1) da origen a un nmero decimal de la forma .

Calcule (a + b + c + m + n)

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

6. Si f es irreductible, adems: f = +1

(1)(+3) =0, . Cuntas cifras peridicas origina:

+1

?

A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6

7. Si: 3

(+1)(+3) = 0, 2(2) , Siendo a < b < c y a2c es PESI con 154. Calcule: (a + b + c + m + p + q).

A) 20 B) 21 C) 22 D) 18 E) 19

8. Si: 0, (15

) ()(2 + 1)

(14) = , (7). Calcule cuantas cifras genera en el perodo la fraccin

cuando se

expresa en base 6.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5

9. Calcule (a . b . c ) si: 0, ( + + ) =6(+)

000 . Adems: a y c son primos y a; b y c son cifras

significativas diferentes entre s.

A) 5 B) 14 C) 30 D) 6 E) 15

10. Si: E= 15273

37037037. tiene en el denominador (33n+2) cifras, hallar la ltima cifra del perodo generado en

E.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 7

11. Un tanque es llenado por un cao en 4 horas por otro cao en 6 horas. Estando el tanque lleno puede ser vaciado por un desage en 8 horas o por otro desage en 12 horas.

Estando el tanque lleno hasta su octava parte, se abren los caos dos horas y luego los desages En

cunto tiempo se llen el tanque?

A) 3 horas 30 min B) 3 horas 15 min C) 3 horas D) 2 horas 12 min E) 2 horas

0,cb a 1



13

RAZONES Y PROPORCIONES

CANTIDAD: Es el resultado de la medicin del estado de una

magnitud escalar.

Ejemplo: La altura del edificio CEPUNC es 24 metros.

Magnitud: Longitud

Cantidad: 24 metros

Se llama magnitud a todo aquello que puede ser

medido o cuantificado; adems, puede definirse la

igualdad y la suma de sus diversos estados.

RAZN:

Es la comparacin que existe entre dos cantidades

de una magnitud, mediante las operaciones de

sustraccin y divisin, lo cual nos induce a sealar

que se tiene dos clases de razn.

RAZN ARTIMTICA:

Es la que se obtiene mediante la sustraccin y

consiste en determinar en cuanto excede una de

las cantidades a la otra.

Ejemplo:

Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros

respectivamente, al comparar sus volmenes.

RAZN GEOMTRICA:

Es la que se obtiene mediante la divisin y

consiste en determinar cuntas veces cada una de

las cantidades contiene la unidad de referencia.

Ejemplo:

Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son:

80m2 y 48m2 y as obtenemos:

En conclusin: Sean a y b dos cantidades:

Razn Aritmtica Geomtrica

a b = d a

b= k

Trminos.

a: antecedente

b: consecuente

d y k: valores de las razones

Nota: Cuando en el texto se mencione solamente

la razn o relacin se debe entender que se hace

referencia a la razn geomtrica.

PROPORCIN

Es la igualdad en valor numrico de dos razones

de una misma especie.

PROPORCIN ARITMTICA Es aquel que se forma al igualar los valores

numricos de dos razones aritmticas.

Ejemplo:

Las edades de 4 hermanos son : 24 aos, 20 aos,

15 aos y 11 aos; podemos decir :

24 aos 15 aos = 9 aos 20 aos 11 aos = 9 aos Se puede establecer la siguiente igualdad:

Entonces:

24 + 11 = 20 + 15

Trminos = Trminos

extremos medios

Por lo tanto:

A la cual se le llama proporcin aritmtica.

20 - 15 = 5l l l

Razn Aritmtica

AntecedenteConsecuente

Valor de la razn

3

5

m48

m802

2Antecedente

ConsecuenteValor de la razn

Razn Geomtrica

24 - 15 = 20 - 11

Medios

Extremos

Suma de trminos extremos = Suma de trminos medios



14

TIPOS DE PROPORCION ARITMETICA

DISCRETA:

Cuando los valores de los trminos medios son

diferentes.

; b c

d: Es la cuarta diferencial de a, b y c.

Ejemplo.

Halle la cuarta diferencial de las edades de tres

personas y que son: 15, 7 y 40.

Veamos

15 7 = 40 x x = 32

CONTINUA:


iguales

c: Es la tercera diferencial de a y b.

b: Es la media diferencial de a y c.

Ejemplo.

Halle la media diferencial de 12 y 40. Veamos

12 x = x 40

x = 12+40

2

x = 26

Halle la tercera diferencial de los pesos de dos cerditos y los cuales son: 43kg y 27kg

Veamos

43 27 = 27 x x = 11

PROPIEDAD

En una proporcin aritmtica continua se cumple:

Resumiendo:

PROPORCIN GEOMTRICA:

Es aquel que se forma al igualar los valores

numricos de dos razones geomtricas.

Ejemplo:

Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son 18m2 y 24m2; 75m2 y 100m2 ; y al comprarlos se tiene:

18m2

24m2=3

4

75m2

100m2=

3

4

Se puede establecer la siguiente igualdad:

A la cual se le llama proporcin geomtrica

"18 es a 24, como 75 es a 100"

De donde:

(18)(100) = (75)(24)

Extremos Medios

DISCRETA: Cuando los valores de los trminos

medios son diferentes.

; b c

d: Es la cuarta diferencial de a, b y c.

Ejemplo.

Halle la cuarta proporcional de 15, 6 y 40. Veamos

15

6=40

x

x = 24

PROPORCIN ARITMTICA

a - b = c - d a - b = b - c

d : cuarta diferencial b : media diferencial

c : tercera diferencial

18

24=

75

100

a b = c d

a b = b c

x = a+c

2

DISCRETA CONTINUA

a

b=c

d

Producto de extremos = Producto de medios



15

CONTINUA


iguales.

c: Es la tercera proporcional de a y b.

b: Es la media proporcional de a y c.

PROPIEDAD

En una proporcin aritmtica continua se cumple:

Ejemplo:

Halle la media proporcional de las obras realizadas por los obreros y que fueron 15 m

2 y

60 m2.

Veamos 15

x=x

60

x = 15.60 = 900

x = 30

Halle la tercera proporcional de las de las longitudes de los cuadros y que son: 36m y 240m.

Veamos:

36

24=24

x

x = 16

Resumiendo:

PROPIEDADES DE PROPORCIONES

Sea: a

b=

c

d se cumple:

I. a+b

b=c+d

d ;

a+b

a=c+d

c

II. ab

b=cd

d ;

ab

a=cd

c

III. a+b

ab=c+d

cd

SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS

EQUIVALENTES

Sean: a1

b1=a2

b2=a3

b3=

an

bn= k

De donde: a1 = b1. k ; a2 = b2. k ; a3 = b3. k . ; an = bn. k

Se cumple las siguientes propiedades:

I. a1+a2+ a3+ + an

b1+b2+ b3+ + bn=a1

b1=

a2

b2=

a3

b3=

an

bn =

k

II. a1.a2.a3. .an

b1.b2.b3. .bn = kn

III. a1m+ a2

m+ a3m+ + an

m

b1m+ b2

m+ b3m+ + bn

m = km

Observacin:

Donde "n" nos indica el nmero de razones.

PROPORCIN GEOMTRICA

d : cuarta proporcional b : media proporcional

c : tercera proporcional

c

b

b

a

d

c

b

a

DISCRETA CONTINUA

a

b=b

c

x = ac



16

EJERCICIOS DE RAZONES Y PROPORCIONES

1. En una proporcin geomtrica continua, la suma de los antecedentes es 20 y la suma de los consecuentes es 30. Halle la tercera proporcional de la proporcin.

A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 21

2. La media proporcional de a y b es c, la tercera proporcional de b y c es d. Luego, cul es la cuarta proporcional de a, b y d?

A) a B) b C) a . b D) a / b E) c

3. En una serie de razones iguales donde el producto de los consecuentes es 598752, los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11. Halle el menor consecuente.

A) 6 B) 18 C) 24 D) 10 E) 12

4. Sea la proporcin: kd

c

b

a . Adems:

9d

3c

3b

1a

. Luego, el valor de k es:

A) 2 B) 1/2 C) 3 D) 1/3 E) 1/5

5. Se conoce que: 75

d

48

c

27

b

12

a 2222 ; adems se sabe que: 140)ac()bd( . Halle el valor de: a + b + c +

d.

A) 920 B) 820 C) 790 D) 890 E) 980

6. Si: 27

c

12

b

3

a . Adems: 12cba . Halle el valor de: cbaE

A) 54 B) 58 C) 60 D) 56 E) 64

7. La suma del antecedente y consecuente de una razn geomtrica es 26. Cul es su diferencia, si la razn es 0,04?

A) 12 B)6 C)24 D)16 E) 9

8. En una proporcin geomtrica continua, la suma de los trminos extremos es 20 mientras que su diferencia es 16. Cul es la media proporcional respectiva?

A) 10 B) 18 C) 4 D) 9 E) 6

9. En una serie de razones geomtricas iguales, los antecedentes son 1; 3; y 5; adems el producto de los consecuentes es 405. Cul es la razn de la serie?

A) 1/2 B) 1/5 C) 1/4 D) 1/6 E) 1/3

10. Sabiendo que: 3

2

b

a . Determine el valor de :

33

3

2

22

ab

a

b

baE

A) 171104

B) 271108

C) 702107

D) 171102

E) 109105

11. Si la cuarta proporcional de 48; a y a 20 es la media proporcional de 10 y 250, cul es la suma de las cifras del valor a? A) 3 B)5 C)8 D)6 E)4



17

12. Si la razn aritmtica de dos nmeros, que son entre s como 13 es a 9, es 60; cuntos tercios hay en

la suma de dichos nmeros?

A) 330 B) 660 C) 990 D) 440 E)880

13. Dos nmeros enteros son entre s como 9 es a 5; la diferencia que existe entre el cuadrado de su suma y

la suma de sus cuadrados es 5760. Halle al suma de las cifras del mayor de los nmeros.

A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E)15

14. El producto de los 4 trminos enteros de una proporcin geomtrica es 900 y se sabe que la suma de un

antecedente con su respectivo consecuente es 9. Si la constante de proporcionalidad es menor que 1,

cul es la suma de los trminos?

A) 12 B) 24 C) 48 D) 64 E)72

15. Si: 375

c

24

b

3

a . Adems 8cba 333 . Halle el valor de: a b c

A) 154 B) 148 C)729 D)256 E)134

16. Se conoce que la suma de los 4 trminos de una proporcin geomtrica continua es 50. Halle la

diferencia de los trminos extremos.

A) 60 B) 30 C) 40 D)50 E)20

17. En una proporcin geomtrica continua, el producto de sus 4 trminos es 1296 y el producto de sus

antecedentes es 12. Luego, la tercia proporcional es:

A) 16 B) 20 C) 12 D)18 E)10

18. En un recipiente hay 15 litros de agua y 12 litros de vino, se extrae 9 litros del contenido y se aade al

recipiente 6 litros de agua. Calcule cuntos litros de vino se debe aadir para que la relacin de agua y

vino sea la inversa de la que haba inicialmente.

A) 15 B) 20 C)16 D)10 E) 12

19. Amelia tuvo a su hijo a los 18 aos, ahora su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. Cuntos aos tiene la

madre?

A) 52 B)48 C) 60 D)36 E)30

20. El producto de los 3 trminos diferentes de una proporcin geomtrica continua es 4096. Si la suma de

los 2 trminos de la primera razn es 20, cul es la suma de los 2 trminos de la segunda razn?

A) 58 B) 49 C) 72 D)76 E)80

21. La cuarta proporcional de tres nmeros a, b y c proporcionales a 6, 9 y 15 es 270. La media geomtrica

de b y (a + 2c) es:

A) 36 B) 108 C) 180 D) 216 E) 225

22. La razn de una proporcin geomtrica es igual a la media proporcional y la suma de los cuatro trminos

es 361. Determine la diferencia de los extremos.

A) 312 B) 318 C) 320 D) 323 E) 324



18

23. En una proporcin geomtrica se cumple que la suma de los trminos de la primera razn es 45, la de la

segunda es 15 y la de los consecuentes es 16. Entonces, la suma de las cifras del primer antecedente es.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

24. Una proporcin geomtrica continua de trminos enteros positivos y razn entera, es tal que la suma de sus trminos es 36. Cuntas proporciones con stas caractersticas existen?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

25. Si a b

;b c a + b + c = 28 y

1 1 1 7

a b c 16 . Calcular la media geomtrica de a y c.

A) 8 B) 12 C) 6 D) 4 E) 3

26. Tres nmeros que estn en progresin aritmtica, aumentados en 3, 4 y 9 son proporcionales a 10, 25 y 50. El mayor nmero es:

A) 9 B) 10 C) 11 D) 20 E) 33

27. En un conjunto de tres razones geomtricas continuas equivalentes la suma de las inversas de los antecedentes es 13/54, adems la suma de los consecuentes es 26. Hallar la diferencia de los extremos.

A) 15 B) 16 C) 36 D) 48 E) 52

28. Si: a c e

3b d f , entonces el valor de: E =

3 3 3 4 4 4

3 3 3 4 4 4

3a 5e 7c c a e

3b 5f 7d d b f

es:

A) 81 B) 92 C) 98 D) 104 E) 108

29. A es DP a B y C2; e IP a D y E. Cuando A = 2B, D = 4, C = 2 y E = 3. Calcular E, cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

30. Si a c e

2b d f , la suma de las cifras de E =

3 3 3

4 4 4

a b c d e f

b d f

es:

A) 6 B) 7 C) 8 D) 16 E) 17

31. Si a b c

n! (n 1)! (n 2)!

y a + b + c = 5 887; a, b, c N. Hallar la suma de cifras de a b c

A) 43 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47

32. Dos nmeros estn en la relacin de 2 a 5, si se aade 175 a uno y 115 al otro se hacen iguales. Cul es la diferencia entre estos nmeros?

A) 24 B) 18 C) 30 D) 84 E) 60

33. En una reunin, hay hombres y mujeres, siendo el nmero de mujeres al total de personas como 7 es a 11 y la diferencia entre mujeres y hombres es 21.

Cul es la razn de mujeres a hombres si se retiran 14 mujeres?

A) 5

3 B)

5

4 C)

7

3 D)

4

3 E)

3

2



19

34. En un saln de clase el nmero de varones, es al nmero de mujeres como 3 es a 5. Si se considera al

profesor y una alumna menos, la nueva relacin ser 2

3, hallar cuntas alumnas hay en el saln.

A) 25 B) 15 C) 20 D) 30 E) 24

35. Dos mnibus tienen 120 pasajeros, si del mnibus con ms pasajeros se trasladan los 2

5 de ellos al otro

mnibus, ambos tendran igual nmero de pasajeros. Cuntos pasajeros tiene cada mnibus? A) 110 y 10 B) 90 y 30 C) 100 y 20 D) 70 y 50 E) 80 y 40

36. Lo que cobra y gasta un profesor suman 600. Lo que gasta y lo que cobra estn en relacin de 2 a 3. En cunto tiene que disminuir el gasto para que dicha relacin sea de 3 a 5?

A) 16 B) 24 C) 32 D) 15 E) 20

37. A B y B C estn en relacin de 1 a 5, C es siete veces A y sumando A; B y C obtenemos 100.

Cunto es (A B)2? A) 3600 B) 2500 C) 3025 D) 2304 E) 3364

38. A una fiesta, asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, Cul es la razn entre el nmero de mujeres y el nmero de hombres que se quedan

en la fiesta?

A) 2

3 B)

4

5 C)

1

3 D)

3

4 E)

5

3

39. Si: a.b.c = 1 120 y 2

a=7

b=10

c . Hallar: a + b + c

A) 28 B) 32 C) 38 D) 19 E) 26

40. Si: m

2=n

5=p

8=

q

10 ; adems : nq mp = 306 . Entonces : p + q m n es igual a:

a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 55

41. Si: a

3=b

8=

c

12=

d

15; adems : a . b + c . d = 459. Calcule: a + d

A) 27 B) 21 C) 35 D) 8 E) 32

42. Sean: 3

P=P

E=

E

R=R

U =

U

96. Calcular: E

A) 12 B) 6 C) 18 D) 24 E) 36

43. Las edades de Ulises; Csar y Erick son proporcionales a los nmeros 2; 3 y 4. Si dentro de 9 aos sus edades sern proporcionales a 7; 9 y 11 respectivamente. Hallar la edad actual de Csar.

A) 15 Aos B) 16 Aos C) 17 Aos D) 18 Aos E) 19 Aos

44. En una reunin social, se observ en un determinado momento que el nmero de varones y el nmero de mujeres estaban en la relacin de 7 a 8, mientras los que bailaban y no bailaban fueron unos tantos como

otros. Si hubo en ese momento 51 mujeres que no bailaban. Cuntos varones no estaban bailando?

A) 45 B) 51 C) 39 D) 26 E) 60



20

45. Se tiene una proporcin aritmtica continua, donde la suma de sus cuatro trminos es 160, hallar el valor de la razn aritmtica, sabiendo que los extremos son entre s como 11 es a 5.

A) 15 B) 6 C) 8 D) 50 E) 24

46. Se tiene una proporcin aritmtica continua, donde la suma de sus cuatro trminos es 360. Hallar el valor de la razn aritmtica, sabiendo que los extremos son entre s como 7 es a 2.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 50 E) 24

47. La diferencia entre el mayor y el menor trmino de una proporcin geomtrica continua es 245. Si el otro trmino es 42. Hallar la suma de los trminos extremos.

A) 259 B) 6 C) 8 D) 50 E) 24

48. La diferencia entre el mayor y el menor trmino de una proporcin geomtrica continua es 64, si el otro trmino es 24. Hallar la suma de los trminos extremos.

A) 80 B) 6 C) 8 D) 50 E) 24

49. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, adems, 140 es la tercera diferencial de 2a y 160. Hallar la media aritmtica de b y c.

A) 14 B) 67,5 C) 15 D) 12,5 E) 11,5

50. La suma de los cuatro trminos de una proporcin geomtrica es 65; cada uno de los tres ltimos

trminos es los 2

3 del precedente. El ltimo trmino es:

A) 13 B) 8 C) 9 D) 15 E) 12

51. Sabiendo que: a

b=b

c. Adems: a c = 16 a + c = 8. Hallar: "b"

A) 2 B) 24 C) 15 D) 20 E) 64

1. La relacin de las edades de 2 personas es 3

5 . Si hace "n" aos, la relacin de sus edades era como 1 es a

2 y dentro de "m" aos ser como 8 es a 13. Calcular en qu relacin se encuentran: n y m.

A) 2

3 B) 5 C)

7

3 D)

1

3 E)

8

9

52. Dos cirios de igual calidad y dimetro, difieren en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado, la longitud de uno es el cudruplo de la del otro y media

hora despus, se termina el ms pequeo. Si el mayor dura 4 horas, su longitud era:

A) 24 B) 28 C) 32 D) 30 E) 48

53. Se tiene dos cilindros y cada uno recibe 2 litros de aceite por minuto. Hace 3 minutos el triple del volumen del primero era el doble del segundo menos 11 litros. Cul es la diferencia entre los volmenes

si la suma de ellos en este instante es de 100 litros?



21

A) 23 Litros B) 22 Litros C) 25 Litros C) 21 Litros E) 24 Litros

54. En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran 33 gallinas la cantidad de stas sera igual a la cantidad de gansos, calcular cuntos patos

hay en el corral.

A) 15 B) 13 C) 12 D) 16 E) 18

55. Si: a

b=

c

d=e

f = k; adems: (a + b)(c + d)(e + f) = 816. Hallar: a. c. e

3+ b. d. f

3

A) 212 B) 16 C) 216 D) 220 E) 24

56. Si: a

m=b

n=

c

p y

a3+ b3+ c3

m3+ n3+ p3= 125. Calcule:

a2m+ b2n+ c2p

m3+ n3+ p3

A) 23 B) 24 C) 25 D) 28 E) 32

57. Si se sabe que: p

h=q

=

r

m=

s

n y (p + q + r + s) ( h + l + m + n) = 6724

Calcular el valor numrico de la expresin. I =1

2(ph + q + sn + mr)

A) 82 B) 164 C) 41 D) 80 E) 40

58. Si: a

b=

c

d=1

k; adems:

a+1

b+2=

c+3

d+6. El valor de K es :

A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5

59. Un cilindro contiene 5 galones de aceite ms que otro. La razn del nmero de galones del uno al otro es 8

7. Cuntos galones de aceite hay en cada uno?

A) 28 : 33 B) 42 : 47 C) 35 : 40 D) 21 : 26 E) 56 : 61

60. Sea: A

x=B

y=C

z = k; si:

A2

x2=

B2

y2=C2

z2+

A2+ B2+ C2

x2+ y2+ z2 = 14. Hallar "k"

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5



22

MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUD

Propiedad de la materia o de un fenmeno fsico o

qumico susceptible de variacin, es decir puede

aumentar o disminuir.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES

Suponga que dos magnitudes estn relacionadas

de modo que al duplicar el valor de una de ellas, el

valor de la otra tambin se duplica; al triplicar la

primera, la segunda tambin queda multiplicada

por tres, etc. Siempre que sucede esto, decimos

que existe entre ambas magnitudes, una relacin

de proporcin directa. Por ejemplo, si contamos

la cantidad de panes que se pueden comprar con

cierta cantidad de soles:

Adems, se cumple que el cociente de los valores

correspondientes de las magnitudes es constante

Si graficamos los valores correspondientes de las

magnitudes en el plano.

Los puntos se encuentran sobre una recta que pasa

por el origen.

Observacin: La pendiente de la recta es igual a la

constante de proporcionalidad. Este valor se puede

calcular como la tangente del ngulo agudo que

forma la recta con el eje.

En general:

Observacin:

Se puede afirmar que el valor de una de las

magnitudes depende linealmente de la otra:

Es importante observar que, al aplicar un modelo

matemtico para analizar una situacin concreta,

debemos tener en cuenta los lmites de la validez

del modelo.

En particular, cuando afirmamos que una

magnitud A es proporcional a otra magnitud B,

debemos dejar claro (explcita o tcitamente) que

esto se da dentro de ciertos lmites de variacin

para x e y. Por ejemplo la conocida "Ley de

Hooke" dice que la deformacin sufrida por un

cuerpo elstico (por ejemplo, un resorte) es

directamente proporcional a la (Intensidad de la)

fuerza empleada.

La validez de esta ecuacin como modelo

matemtico para representar al fenmeno est

sujeta a restricciones la fuerza no puede ser muy

pequea porque entonces an siendo positiva, no

sera suficiente para deformar el resorte; en este

caso tendramos deformacin = 0 con una fuerza >

0, luego no valdra el modelo d = K . F, tampoco

se puede tomar F muy grande porque el resorte se

panes32soles4

24 panessoles 3

panes16soles 2

panes 8 sol 1

PANES#SOLES

)(constante 84

32

3

24

2

16

1

8

soles

panes#

32

24

16

8

Tg = 8

1 2 3 4 (S/.)

(# de panes)

constanteBdeValor

AdeValorBD.P.A

B anal proporciotedirectamen esA lee se B A

B DP A

f(x) = Kx

Valor

de A

Valor

de B

Constante (pendiente de la recta)

deformacin = K (fuerza)



23

destruira y poco antes de eso su deformacin no

sera proporcional a F.

MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES

Supongamos que una persona realiza un viaje por

automvil en una distancia de 180km. entre una

ciudad y otra. Sea V la velocidad constante del

auto y t el tiempo transcurrido en el viaje.

Se puede observar que al duplicar la velocidad, el

tiempo se divide entre 2, y al triplicar la velocidad,

el tiempo se reduce a su tercera parte. Adems se

cumple que el producto de los valores

correspondientes de las magnitudes es constante.

La grfica de los valores correspondientes de las

magnitudes en el plano es:

Los puntos se encuentran sobre una rama de

hiprbola equiltera.

En general:

Esta relacin se puede expresar:

PROPIEDADES

I. Si: A IP B

A DP 1

B

II. Si:

A DP B B DP C A DP C

A DP B B IP C A IP C

A IP B B DP C A IP C

A IP B B IP C A DP C

III. Si:

A DP B An DP Bn

A IP B Am IP Bm

IV. Si:

A DP B (Cuando C es constante)

y A IP C (Cuando B es constante)

Se cumple:

290

360

445

630

t(H)Km/H)(V

180

90

60

45

30

1 2 3 4 6 t(H)

V(Km/H)

El rea de cada rectngulo que

se genera con un punto de la

curva es igua l a la constante de

proporcionalidad.

A IP B (Valor de A) (Valor de B) = constante

x

K)x(F

Valor de A

Constante

Valor de Bf(x)

constanteB

CA



24

EJERCICIOS DE MAGNITUDES PROPORCIONES

1. Si: A, B, C y D son magnitudes proporcionales, adems:

A2 D.P. B (C; D son constantes)

A I.P.C3

(B; D son constantes)

D2 DP A (B; C son constantes) Si cuando: A = 2 ; B = 9 ; C = 125 ; D = 2.

Cul es el valor de C, cuando A = 99; B = 121 y D = 6?

A) 30 B) 270 C) 2700 D) 900 E) 27000

2. El nmero A es inversamente proporcional a la raz cuadrada del nmero B. Si: A = 5

7 cuando B = 49.

Cul es el valor de B, si A = 1

4 ?

A) 250 B) 300 C) 500 D) 360 E) 400

3. La presin en un baln de gas es IP a su volumen; es decir a menor volumen mayor presin. Un baln de 240 litros soporta una presin de 4,8 atm. Qu presin soportar un baln de 60 litros?

A) 19,2 atm B) 16,4 atm C) 14,4 atm D) 18,2 atm E) 16 atm

4. Cuntos gramos pesar un diamante que vale $ 112,5; si uno de 6 g. vale $ 7,2 adems se sabe que el valor del diamante es proporcional con el cubo de su peso?

A) 9,2 5g. B) 13,66 g. C) 15,00 g. D) 19,20 g. E) 21,00 g.

5. Segn la Ley de Boole, la presin es inversamente proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. A qu presin est sometido un gas si al aumentar esta presin en 2 atmsferas, el

volumen vara en 40%?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

6. Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones: * Con C: constante:

* Con B: constante:

Si cuando A = 4, B = 9 y C = 16. Hallar A cuando B = 3 y C = 4.

A) 36 B) 42 C) 48 D) 54 E) 60

7. Sea f: una funcin de proporcionalidad tal que: f(4) + f(6) = 20, entonces el valor de producto:

f (21

5) f(5)f(7) es:

A) 324 B) 2425 C) 1176 D) 3675 E) 576

8. Si las ruedas M, C, A y B; donde M y C tienen un eje comn, C y A engranan; A y N tienen un eje comn. Si la rueda M da 75 revoluciones por segundo y se observa que la rueda N gira en 25

revoluciones por segundo. Determinar el nmero de dientes de la rueda C si sta tiene 20 dientes menos

que la rueda A.

b25,0b3,0b5,0bB

a64a27a8aA

c4c25,2cc25,0C

a4a3a2aA



25

A) 10 B) 20 C) 30 D) 15 E) 5

9. Hallar: x + y + z

A) 180 B) 193 C) 200 D) 120 E) 48

10. Si: a + b + c + x = 215

Hallar: b c + 5a 4x A) 22 B) 32 C) 43 D) 12 E) 10

11. Un grupo de X obreros ( X > 9) trabajando 8 horas diarias pueden terminar una obra en 30 das. Si empiezan y luego de 6 das se retiran 9 obreros y recin 6 das ms tarde se la reemplaza por Y obreros, logrando todo terminar la obra en el plazo previsto.

Hallar Y. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15

12. En un albergue aprovisionaron vveres esperando recibir a 11 hurfanos durante 20 das; pero el primer da slo llego un hurfano, el segundo da 2, el tercer da 3 y as sucesivamente Cuntos das duraron

los vveres?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

13. Si f es una funcin de proporcionalidad directa y g es una funcin de proporcionalidad inversa, donde: f(1) + g(1) = 51

f(3) + g(4) = 150,25

El valor de E = f(5) g(5) es: A) 50 B) 525 C) 750 D) 1 025 E) 1 250

14. Si f es una funcin de proporcionalidad directa y g es una funcin de proporcionalidad inversa, donde: f(1) + g(1) = 39; f(6) + g(6) = 24,

f(b) = 3g(b), entonces el valor de

E = f(3) + g(3) + b, es:

A) 19 B) 25 C) 26 D) 27 E) 29

50

40

z/2

x

24 z 60 y

3k

2k

k

7 a b c



26

15. En la tabla, el valor de a es:

A 8 12 a 9

B 2 3 32 4

C 4 4 1 3

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

16. Del grfico calcula b1 + b2 + b3

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

17. El rea sombreada es 48 u2. El valor de (x + y + z) es:

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

18. Se tiene el grfico

Donde el rea tringulo rectngulo OAB es 37,5 entonces a + b + c es:

A) 8,1 B) 79

3 C) 85

9 D) 11 E) 12,3

19. Para las magnitudes M y N se tiene que en el intervalo 0; a] presentan proporcionalidad inversa y en [a;

u] proporcionalidad directa. Si P = (2, 7), entonces el punto Q es:

2

Q

R

P b1

b2

b3

B

4 6 8 0

Hiprbola

Equiltera

N

2

AB A

z 4 x

A1

B

8 B

y

16

9

B

PQ

a

Q

b 5 c O

P1

Q

P

A

S



27

A) 7 52;5

B) 55;5

C) 1

5;7

D) 7 52 5;5

E) 2 5; 7

61. Se tiene dos magnitudes A y B, tal que:

Si B 9 si se cumple A DP B,

Si 9 B 36 si se cumple A IP B,

Si 36 B si se cumple A2 IP B. Cuando A = 8, B = 3 y A = x, B = 81. Si f es una funcin de proporcionalidad directa, tal que:

f(5) + f(x) = 72.

Hallar: f(3) f 34 f 5

16

A) 300 B) 360 C) 420 D) 540 E) 600

62. Si los registros del comportamiento de dos magnitudes proporcionales resultaron:

Entonces (x + y) es igual a

A) 360 B) 428 C) 520 D) 954 E) 1 972

63. Si A IP B cuando C es constante y A DP C cuando B es constante; Adems:

A 6 x 10 z + 1

B 3 4 y z

C 3 4 5 6

Hallar x + y + z

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

64. En el grfico, calcular U1 U2 en miles de dlares.

18 9 27 45 y

225 x 100 36 25

b

R 7

2 a 10 0

Q

P

M u

81 u2

1

2

b a 2

9

2b

c

U miles ($)

Artculos

vendidos

IP



28

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

65. Sabiendo que la magnitud A es DP al cuadrado de la magnitud B, determinar en qu fraccin de su valor aument A si B aumenta en la mitad de su valor.

A) 1

4 B)

1

2 C)

3

4 D)

3

2 E)

5

4

66. Una magnitud A vara proporcionalmente con B2 y es inversamente proporcional con la magnitud C. A s

mismo B vara proporcionalmente con D y la magnitud C vara inversamente con la magnitud E. Si

cuando A = 40, D = 2 y E = 5. Hallar A cuando DE = 20

A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100

67. Si f es una funcin de proporcionalidad directa y g es una funcin de proporcionalidad inversa, donde: f(1) + g(1) = 51

f(3) + g(4) = 150,25

El valor de E = f(5) g(5) es:

A) 50 B) 525 C) 750 D) 1 025 E) 1 250

68. En la tabla, el valor de a es:

A 8 12 a 9

B 2 3 32 4

C 4 4 1 3

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

69. El rea sombreada es 48 u2. El valor de (x + y + z) es:

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

DP

2

AB A

z 4 x

A1

B

8 B

y

16



29

20. Una esfera tiene un radio de a centmetros y su volumen es N litros; otra esfera de a decmetros de radio tiene un volumen de N + K litros, entonces K es:

A) 99 N B) 199 N C) 399 N D) 499 N E) 999 N

21. Un diamante de n quilates cuesta M soles. Cuntos soles cuesta un diamante de 3n quilates si un quilate es 0,25 gramos y el precio es DP al cuadrado del peso?

A) 4 M B) 6 M C) 7M D) 9 M E) 16 M

22. Un depsito cnico de 5 dm de radio est lleno con agua; se desea desalojar un determinado volumen y para esto se hace un agujero en el vrtice del depsito y se cierra cuando el radio del nuevo volumen

cnico es de 3 dm. Si, el volumen cnico de agua es proporcional al cubo de la profundidad, luego el

porcentaje del volumen desalojado fue del:

A) 21,6 B) 30,2 C) 35,8 D) 76,6 E) 78,4

23. El nmero de artculos producidos por un obrero es DP a su salario por hora e IP a la raz cuadrada del nmero de horas que trabaja. Si trabajando 4 horas diarias y ganando 600 soles por hora produce 60

artculos. Cunto ms produce si trabaja 9 horas diarias y gana 1 200 soles por hora?

A) 10 B) 20 C) 22 D) 25 E) 28

24. Sabemos que el caudal es la constante de proporcionalidad para el rea de la seccin transversal de una tubera y la velocidad del agua que circula a travs de ella y stas magnitudes son inversamente

proporcionales en una tubera de 2 sectores: uno ms angosto que el otro. Si los radios estn en la

relacin de 3 a 4 y la velocidad en el sector de radio menor es de 16 m/s, hallar la velocidad en el otro

sector en m/s.

A) 8 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15

25. En un edificio el volumen de agua que se lleva a un cierto piso es IP a Tn, donde T es el tiempo que demora en llegar el agua al piso n. Si cuando se lleva 80 litros al segundo piso la demora es de 4

segundos. Qu tiempo demorar en llevar 5 litros al cuarto piso?

A) 4,0 B) 4,5 C) 5,0 D) 6,0 E) 8,0

26. El costo C de un artculo es igual a la suma de los gastos G en materias primas y salarios S. El gasto en materias primas es IP a la cantidad de maquinarias Q que se tiene y el salario es DP al nmero de horas

H trabajadas por da. Si Q = 2 y H = 6, entonces C = 12. Si Q = 4 y H = 9, entonces C = 16. Si C = 23

y Q = 6, hallar H.

A) 13,4 B) 13,5 C) 13,6 D) 13,8 E) 13,96

27. El alargamiento que sufre una barra es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e IP a su seccin transversal y rigidez. Si a una barra de acero de un metro de longitud y 50 mm

2 de seccin

se le aplica 2 500 Nt, Sufre un alargamiento de 10

1 mm. Determine el alargamiento en mm que

ocasiona 800 Nt aplicado a una barra de aluminio de 75 cm de longitud y 16 mm2 de seccin, sabiendo

que la rigidez del aluminio es 50% menos que la del acero.

A) 0,12 B) 0,15 C) 0,16 D) 0,18 E) 0,20

28. Para pintar un cubo de 5 cm de arista se gast 3 soles, y para pintar un cubo de x cm de arista se gast 27 soles. Hallar la suma de las cifras de x.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8



30

29. En un prado hay un pequeo corral cuyas dimensiones son de 3 por 4 metros. Si en la esquina de este corral se ata un buey con una cuerda de 3 m, el animal puede alimentarse durante 27 horas del pasto que

est a su alcance. Cuntos metros ms debe tener la cuerda, para que el alimento le pueda alcanzar para

53 horas ms?

A) 1,88 B) 1,96 C) 2,00 D) 2,12 E) 2,16

30. Una vaca atada a una cuerda demora 5 horas en comer toda la hierba que est a su alcance. Si la cuerda se acorta en 1/5 de su longitud, se demorara en horas:

A) 2,0 B) 2,5 C) 3,0 D) 3,3 E) 4,2

31. Una gallina y media pone huevo y medio en un da y medio. cuntos huevos pondrn tres gallinas en tres das?

A) Absurdo B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

32. Un obrero emplea n minutos en realizar una parte de la obra igual a 1/3 de la obra que an le falta, y descansa tantos minutos como los que haba trabajado, luego reanuda su labor duplicando su rendimiento

y as termina toda la obra. Cuntos minutos emple en toda la obra incluyendo el descanso?

A) 4 n B) 5,5 n C) 3,5 n D) 5 n E) 4,5 n

33. Un grupo A, formado por 80 obreros, en 9 das de trabajo hicieron 5/22 de la obra. Cuntos obreros tendrn que contratarse adicionalmente de un grupo B para terminar el resto de la obra en los 15 das

siguientes?; Si lo que hace un obrero del grupo B en 5 horas lo hace un obrero del grupo A en 1 hora.

A) 410 B) 412 C) 414 D) 416 E) 418

34. Si Juan puede hacer una obra en 2 horas y Juan con Pedro los dos juntos pueden hacer el doble de la obra inicial en 5/3 horas. En qu tiempo hara Pedro la nueva obra?

A) 20

7 B)

24

7 C)

29

7 D)

34

7 E)

36

7

35. Treinta obreros trabajando 6 horas por da, durante 16 das, pueden hacer una zanja de 2 m 4 m 1,5 m. z obreros trabajando 12 horas por da durante 9 das hacen una zanja de 1,5 m 2 m 9 m. Hallar z.

A) 36 B) 42 C) 48 D) 54 E) 60

36. Cuatro obreros pueden hacer una obra en 40 das. Despus de 10 das de trabajo se retira 1 obrero. Con cuntos das de retraso se entreg la obra?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

37. Un pintor cobra N soles por pintar, pasando 2 manos de pintura, un crculo de r metros. cuntos soles debe cobrar por pintar, pasando 3 manos de pintura, un crculo de 2 r metros? El costo incluye mano de

obra y la pintura.

A) 6 N B) 3 N C) 9 N D) 8 N E) 10 N

38. Un grupo de 20 obreros han hecho 2/5 de la obra en 24 das. Luego se retiran 4 de ellos y terminan los restantes lo que falta en 30 das. En qu porcentaje debern aumentar su eficiencia los obreros

restantes?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

39. Un grupo de exploradores pueden realizar una prospeccin en un terreno de 350 hectreas en 14 das de 8 horas de trabajo. Si el personal aumenta su eficiencia en 50%. Cuntos das de 6 horas de trabajo sera

necesario para realizar dicha exploracin en un terreno de 750 hectreas que es dos veces ms

dificultoso?

A) 53,3 B) 54 C) 60D) 72 E) 80



31

40. Cincuenta obreros pueden hacer 150 m de un cerco perimtrico trabajando 40 das en jornadas de 9 horas diarias. Cunto tardaran si se aumenta 100 obreros 50% ms eficientes que los anteriores para

hacer 600 m de otro cerco perimtrico cuyo grado de dificultad es el triple del anterior en jornadas de 8

horas diarias?

A) 105 B) 115 C) 125 D) 135 E) 150

41. Dieciocho obreros que laboran 10 horas diarias deben entregar una obra en un plazo dado, pero en los ltimos 2 das todos deben quedarse n horas de sobre tiempo porque uno de los obreros falt 3 das y

otro de ellos falt 4 das. Calcular n aproximadamente.

A) 1 B) 1,5 C) 2D) 3 E) 3,5

42. Un grupo de 10 alumnos resuelve en 5 horas una tarea consistente en 20 problemas de igual dificultad. Otra tarea consiste en resolver 8 problemas cuya dificultad es el doble de las anteriores. Si no se

presentaron dos integrantes del grupo, entonces los restantes alumnos terminarn la segunda tarea en:

A) 4 B) 5 C) 6D) 8 E) 10

43. Una vaca y un caballo tardan 20 y 15 das para comer todo el pasto de un pastizal de similar extensin. Cunto tiempo tardarn en comer todo el pasto ambos la vaca y el caballo?

A) 58

7 B)

59

7 C)

60

7D)

61

7 E)

62

7

44. En un camal hay 35 vacas con alimentos para A das, si luego del primer da se sacrifica una vaca diaria para comercializar la carne en el mercado, entonces los alimentos alcanzan para 6 das ms. Hallar A.

A) 5 B) 14 C) 15D) 17 E) 22

45. Un grupo de 24 obreros han hecho en 11 das una parte de una obra, y a partir de ese da se aument 8 obreros cada da y la obra se termin cuatro das despus. Qu porcentaje de la obra se hizo en los

primeros 11 das?

A) 40 B) 48 C) 56D) 60 E) 64

46. En un tractor, la longitud de la circunferencia de las ruedas traseras son los 7/5 de la longitud de las circunferencias de las ruedas delanteras. Cuando una de ellas ha dado 468 vueltas ms que la otra, el

tractor ha recorrido 4 095 metros. La longitud de la circunferencia de una de las ruedas es:

A) 2,0 B) 2,5 C) 2,8 D) 3,0 E) 3,2

47. Veinticinco obreros hacen 5/8 de una obra en 10 das. A partir de ese momento se contratan n obreros ms cada da, terminndose 2 das antes de la fecha en que terminaran los 25 obreros si hubieran

continuado solos. El valor de n es:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

48. Un albail y un ayudante pueden hacer una obra en 12 das trabajando 8 horas diarias. Sabiendo que el trabajo de 3 ayudantes equivale al trabajo de 2 albailes; el nmero de horas diarias que deben trabajar 2

albailes y un ayudante para hacer el doble de obra en 8 das es:

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

49. Una persona puede realizar 1/3 de una labor en 4 das, otra persona hace lo que falta en 1 da. Si el primero aumenta su eficiencia al doble, el tiempo en que acabaran la labor juntos ser:

A) 1 B) 11

5 C) 2 D) 2

1

5 E) 3

1

2



32

50. Veinte obreros pueden hacer una obra en 60 das, se desea hacer los 7

80 partes de la obra para ello se

despide un obrero cada da a partir del segundo da En cuntos das se har dicho avance?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

51. Seis obreros deban hacer un pozo de forma cilndrica durante 18 das trabajando 8 horas diarias. Antes de iniciar el dcimo da de la jornada observa que han hecho el trabajo con las mismas dimensiones pero

en forma cnica, luego el contratista dispone aumentar el nmero de obreros pero doblemente ms

eficientes, trabajando junto con los anteriores 1 hora ms por da para terminar la obra en 3 das antes de

lo que se proyect. Luego la cantidad de obreros que aumentaron es:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

52. Se tienen dos cuadrillas de obreros. Si 6 obreros de la primera cuadrilla pueden realizar una obra en 8 das a razn de 5 horas por da y la misma obra la pueden realizar 8 obreros de la segunda cuadrilla en 5

das, trabajando a razn de 12 horas por da. En cuntos das haran la obra 3 obreros de la primera

cuadrilla y 6 obreros de la segunda, trabajando 8 horas por da?

A) 3 B) 5 C) 6D) 25 E) 30

53. Veintitrs obreros pueden hacer una obra en 29 das, a 8 h/d. Luego de 13 das, 14 de estos obreros aumentan su eficiencia en 50% solo durante 6 das; despus de esto se incorpora un obrero con igual

eficiencia que los obreros iniciales. Trabajando todos 6 das pero 2 horas menos por da. Si se acord

trabajar 5 h/d. Cuntos obreros de doble eficiencia se debe contratar para terminar la obra en el plazo

fijado?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CENTRO PREUNIVERSITARIO CEPUNC


33 33

REPARTO PROPORCIONAL CONCEPTO: Consiste en repartir una cantidad en forma

proporcional a ciertos nmeros denominados ndices

de reparto.

CLASES DE REPARTO:

1. Reparto Proporcional Simple:

Es aquel reparto que se realiza en forma

proporcional a un solo grupo de ndices, este

reparto puede ser de dos tipos:

A. Reparto Simple Directo: Al efectuar este tipo

de reparto, se obtienen partes que son

directamente proporcionales a los ndices.

En general repartir N DP a los ndices:

a1; a2; a3; ; an

Se cumple que las partes obtenidas:

P1; P2; P3; ; Pn son DP a los ndices.

P1a1=P2a2=P3a3= =

Pnan= k

Como: N = P1 + P2 + P3 ++ Pn

N = (a1 + a2 + a3 ++ an)k

K = N

(a1+a2+ a3++an)

La constante de reparto es igual a la relacin

de la cantidad a repartir y la suma de los

ndices.

Ejemplo: Repartir S/. 2500 DP a las edades de 3

hermanos que son : 6 , 7 y 12 aos.

Resolucin:

La constante: K = 2500

(6+7+12) = 100

Luego:

A = 6(100) = 600 B = 7(100) = 700

C = 12(100) = 1200

NOTA: Si los ndices de reparto se multiplican

por una constante, se obtienen las mismas partes,

o sea el reparto no vara.

Ejemplo:

Si repartimos 200 DP a 2 , 3 y 5

La constante es 200

(2+3+5) = 20 entonces las

partes son :

2(20) = 40 ; 3(20) = 60 y 5(20) = 100

Multipliquemos por 2 a todos los ndices y

hagamos de nuevo el reparto. La constante sera

ahora: 200

(4+6+10)= 10

(es la mitad de la constante anterior)

Calculemos las partes : 4(10) = 40 ; 6(10) = 60 ;

10(10) = 100

Se puede observar que las partes no han variado.

B. Reparto Simple Inverso:

Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen

partes que son inversamente proporcionales a

los ndices. a1; a2; a3; ; an En general repartir N IP a los ndices:

Se cumple que las partes obtenidas:

P1; P2; P3; ; Pn son IP a los ndices.

P1. a1; P2. a2; P3. a3; ; Pn. an = k

Como: N = P1 + P2 + P3 ++ Pn

Ka

Ka

Ka

Ka

N

n

3

2

1

Partes

2500

PARTES D.P.

A : 6

B : 7

C : 12

6K+ 7K+ 12K= 2500



34 34

Ejemplo:

Repartir 6300 en partes IP a 1

4 ; 1

7 y

1

10

Resolucin:

Luego:

A = 4(300) = 1200

B = 7(300) = 2100

C = 10(300) = 3000

2. Reparto Proporcional Compuesto:

Este tipo de reparto se realiza proporcional-mente

a varios grupos de ndices.

Los repartos proporcionales compuestos pueden

ser:

DIRECTOS: Si el reparto se realiza en partes

directamente proporcionales a los ndices.

INVERSOS: Si el reparto se realiza en partes

inversamente proporcionales a los ndices.

MIXTOS: Si el reparto se realiza en partes

directamente proporcionales a algunos ndices e

inversamente proporcionales a otros.

Para efectuar un reparto compuesto se siguen los

siguientes pasos:

1 Se convierte las relaciones IP a DP

invirtiendo los ndices (si los hubiera)

2 Se multiplican los ndices correspondientes de

cada grupo.

3 Se efecta el reparto proporcional simple

directo resultante.

REGLA DE COMPAA

Es un caso particular del reparto proporcional,

consiste en repartir las ganancias o prdidas que se

producen en una sociedad mercantil o compaa,

entre los socios de la misma en forma DP a los

capitales y a los tiempos que los mismos

permanecen en el negocio.

Ejemplo:

1. Tres amigos se asocian para comprar un camin

aportando capitales de 16000; 14000 y 10000

dlares. Si por cada mes de alquiler del camin

perciben 3700 dlares.

Cunto le corresponde a cada uno?

Resolucin: Como el tiempo es el mismo para todos, entonces

se reparte la ganancia DP a los capitales

aportados.

Entonces:

n321a

K......

a

K

a

K

a

KN

Ka

1

Ka

1

Ka

1

Ka

1

N

n

3

2

1

Partes

n321a

1...

a

1

a

1

a

1

NK

6300

PARTES IP DP

10

1

7

1

4

1A : 4

B : 7

C : 10

4K+ 7K+ 10K= 6300

3001074

6300K

100001400016000

GGG

10000

G

14000

G

16000

G321321

40000

3700

148040000

370016000G

1

129540000

370014000G

2

92540000

370010000G

3



35 35

PRCTICA DE REPARTO PROPORCIONAL

1. Repartir 8 460 en partes directamente proporcionales a 21, 22, 23 y 24. D como respuesta la parte menor. A) 1 974 B)2 126 C)2 256 D)2 265 E)1 994

2. Un comerciante moribundo deja una herencia de s/ 10 080 a su esposa, la cual estaba embarazada, pero bajo la siguiente clausula: si nace varn, se repartir entre l y la madre en la relacin de 2 a 3,

respectivamente. Si nace mujer, se repartir de tal modo que la hija obtenga 5 partes por cada 4 de la

madre. Si llegado el alumbramiento nacen mellizos; un varn y una mujer, Cunto le corresponde a la

madre?

A) 3000 B) 2456 C) 3456 D) 4000 E) 4325

3. Se reparte 2100 soles entre tres personas en razn directa a los nmeros: 32 a,a,a . Si la menor cantidad

recibida es 100 soles, a cunto asciende la mayor cantidad?

A) 1 600 Soles B)1 700 Soles C)1 800 Soles D)1 900 Soles E)2 000 Soles

4. Repartir 2 225 en tres partes que sean DP a los nmeros 3; 5 y 8 e IP a los nmeros 4; 6 y 9.hallar la menor parte.

A) 675 B) 2456 C) 3456 D) 4000 E) 4325

5. Un millonario dej una herencia de 14 400 000 soles, para repartirla proporcionalmente a las edades de sus hijos. Marco, Flix y Alberto. Si la edad de Alberto es el doble de la edad de Marco y a Flix le toc

S/. 4 200 000, y la suma de las 3 edades es 72 aos. Cul es la edad de Marco?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E)25

6. Dividir 1 320 en forma DP a ; indicar la mayor parte. A) 510 B) 300 C) 450 D) 400 E) 325

7. Un empresario decide repartir una gratificacin inversamente proporcional a los aos que le faltan a sus tres empleados para jubilarse, los cuales son: 5, 3 y 2 aos. Cunto le corresponde al ms antiguo, si la

gratificacin total haciende a 12 400 soles?

A) 5000 B) 4000 C) 3000 D) 6000 E) 2500

8. Se reparte 29 700 DP a todos los nmeros impares de dos cifras. Cunto le toc a 51? A) 3000 B) 2456 C) 3456 D) 4000 E) 612

9. Un moribundo deja S/. 111 000 a 2 sobrinos, 3 sobrinas y 5 primos, advirtiendo que la parte de cada

primo debe ser los

de la de una sobrina y la de la sobrina

de la de un sobrino. Cunto le toca a cada

uno de los primos?

A) 9000 B) 15000 C) 8500 D) 4000 E) 7000

10. Se reparte 364 500 DP a todos los mltiplos de dos de 2 cifras. Cunto le corresponde al 70? A) 34500 B) 10500 C) 6000 D) 20000 E) 42000

11. Cuatro socios renen 2 000 000 de soles de los cuales el 1ro pone S/. 400 000; el 2do los

de lo que puso el

1ro

; el 3ro

los

de lo que puso el 2

do y el 4

to, lo restante. Explotan una industria durante 4 aos. Si hay que

repartir una ganancia de S/. 1 500 000. Cunto le toca al cuarto?

A) 300000 B) 250000 C) 400000 D) 200000 E) 600000



36 36

12. Tres amigos se asociaron y formaron una empresa. El primero aport S/ 60 000 durante 6 meses; el segundo S/ 30 000 durante 8 meses, y el tercero, S/ 90 000 durante 12 meses. Si obtuvieron una ganancia

total de S/ 70 000, Cunto le correspondi al tercero?

A) 45000 B) 10500 C) 60000 D) 20000 E) 42000

13. Carmen, Oscar y Csar obtienen S/ 7400 de utilidad luego de haber trabajado en una empresa que formaron aportando S/2000 S/4500 y S/5000; adems permanecieron en el negocio 2 aos, 4aos y t aos, respectivamente. Halle t si se sabe que la diferencia de las ganancias de Carmen y Oscar es de S/2800.

A) 4 B) 5 C) 6 D)3 E) 7

14. Rodrigo forma un negocio con S/ 3000; despus de dos meses ingresa carolina aportando S/ 4000, y luego de 5 meses ms es aceptada Roco con S/ 6000. Al final de un ao de funcionamiento del negocio se

obtuvieron S/ 10 600 de utilidad Cul es la menor ganancia?

A) 3000 B) 2500 C) 4000 D)2000 E)6000

15. Repartir 520 en tres partes de tal manera que la diferencia entre la mayor parte y la menor sea el doble de la parte intermedia. Si la menor recibe 1 sol la intermedia recibe 1,50. Hallar la mayor parte.

A) 280 B) 320 C) 370 D) 400 E) 420

16. Dos pastores A y B tienen 8 y 6 panes respectivamente y se los comen en forma conjunta y equitativamente con un tercer pastor quien abona S/. 14 para que se repartan A y B. Cunto le toca a A?

A) S/. 8 B) S/.9 C) S/.10 D) S/.11 E) S/12

17. Al descomponer S/.70 en tres partes cuyos cuadrados sean DP a 0,2; 0,5; 0,4 e IP a 3; 1,2 y

se obtiene

como mayor parte:

A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36

18. Una persona A forma una empresa con $42 000, luego de 5 meses acept un socio B quien aporta $63000, luego de 4 meses se retira A; 6 meses ms tarde vuelve a reingresar A aportando S/. 12000 y 2 meses ms

tarde acepta un socio C quien aport $21000. Al ao 8 meses de fundada la empresa, sta se liquida con

una ganancia neta de $964 000. Hallar la ganancia de A.

A) 278 000 B) 280 000 C) 292 000 D) 294 000 E) 296 000

19. Un tubo de plomo de 658,88 m se dividi en dos partes desiguales. Despus se necesita que estas partes

fueran iguales y de tamao conveniente, por lo que de la primera se acort 1

5 de su longitud, y de la

segunda los 2/9. Hallar la suma de las cifras de la parte menor inicial.

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

20. Al repartir una cantidad DP a , y se observ que el tercero recibi 3000 dlares ms que el primero y el segundo recibi 1000 dlares ms que el primero. La suma de las edades de los hermanos es 160 siendo

la edad del primero el mayor nmero entero posible. Hallar la suma de las cifras de la cantidad que se

reparti.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

21. Se dividen N en tres partes de modo que sus cuadrados son DP a 0,2; 0,5 y 0,4 e IP a 3; 6/5 y 8/3. Si la mayor parte se divide en 2 partes que sean DP a los valores de las otras dos partes. Calcular una de stas

dos partes en tanto por ciento de N

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 51



37 37

22. Si se calcula un reparto en forma DP a los cuadrados de las edades de 3 hermanos, las cuales son

proporcionales a 1, 2 y 3 entonces:

A) El mayor recibir 8 veces lo que recibe el menor.

B) El mayor recibir 180% de lo que reciben los otros dos juntos.

C) El menor recibir el 50% de lo que recibe el segundo.

D) El segundo recibe (4/9)% de lo que recibe el mayor.

E) El mayor recibe 9/13 del total.

23. Dos hermanos se han repartido una herencia en forma inversamente proporcional a ciertos nmeros, uno de los cuales es n% del otro. Uno de los hermanos recibi el 40% de la herencia. En qu porcentaje

aumentara este monto si el reparto se hiciera en forma directa proporcional a los mismos nmeros?

A) 25 B) 36 C) 37 D) 42 E) 50

24. Se reparte una cantidad de manera DP a los n primeros enteros positivos, observndose que entre la primera y ltima parte en conjunto ascienden a la vigsimo quinta parte del total. El nmero de partes en

que se reparti es:

A) 45 B) 44 C) 48 D) 50 E) 64

25. Un grupo de obreros compuesto por 20 varones, 15 mujeres y 10 nios, ha ganado S/.12 665, en los lavaderos de oro del departamento de Madre de Dios. Ellos desean repartir la ganancia de acuerdo a la

siguiente regla estipulada al comienzo de las operaciones: Lo que gana una mujer es a lo que gana un

varn como 3 es a 4; mientras que lo que gana un nio es a lo que gana una mujer como 4 es a 5. Hallar la

suma de las cifras de lo que gana un nio.

A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12

26. Dos agricultores riegan sus terrenos de 800 y 1000 m2 con bombas cuyas eficiencias estn en la relacin de 1 a 2 respectivamente. Como no pueden terminar el riego de sus terrenos, contratan a otro agricultor,

cuya bomba de riego es tres veces la eficiencia de la primera, cobrndoles 180 dlares. Qu tanto por

divisibilidad listo.pdf

Documents