,TEO/RIADEDIVISIBILIDADDIVISIBILIDAD NUMEROSDIVISIBLESEs la partede laAritmeticaque estudialas condi-ciones quedebereunir un numeropara serdivisiblepor atro.Se dice quedos numeros sondivisibles cuandosucocientecumple doscondiciones:1Es exactoRpta.: Sf,porque:Engeneral, sedicequeunnumeroesdivisibleporotro, cuando 10 contiene exactamente un mimeroentero de veces.Ejemplos:i) Si "A" es divisible por "B", entonces "B"dividea"A".2Es un numero enteroEjemplo:i) LEs 84 divisiblepor7?~ = 1 27ExactoEnteroDamdole formamatematica:~ =E, E es un numero entero Se entiende que "A" es divisible por "B" debidoa que10contiene un numeroEde veces.ii)LEs75divisible por2?75 JRpta.: No, porque: 2 =37,5\iii)[Es -45divisible por 9?ExactoNoesentero Tambien expresa que "B" esti contenido en"A", un numero entero de veces. Rpta.: Sf,porque: ~ = -51ExactoEnteroii) Si 369esdivisiblepor9, entonces9dividea369.iv) LEs 0,0009divisible entre 0,00009?Es decir:369 =419Rpta.: Sf,porque:0,00090,00009ExactoEnteroAqui, 369 es divisible por 9 porque 10 contiene 41veces. Tambienexpresaque9estacontenido41veces en A.OB/ETIVODELA TEORiA DEDIVISIBILIDADLa teoriadedivisibilidadtienecomo objetivofun-damentalla determinacion del residuo, deuna di-vision, directamente sin necesidad de calcular elcociente.MULTIPLO Y DIVISORDEUNNUMEROMULTIPLODEUNNUMEROEs aquel numero que contiene a otro exactamente unnumero entero de veces. As! 90 es multiplo de 5, por-que10 contiene18 veces exactamente. Para expresarque90es multiplode 5, seutilizan cualquiera delassiguientesnotaciones:- 128-www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.MATEMATICASW.blogspot.comARITMETICANota 1Dedonde:nEjemplo:7 dividea ,,/'13gS) :. 7 divide a 35 + 105 +28 =168'-..,. 28donde, e1,e2, e3 son numeros enteros.Sumando:1 9t_--N.Consideremos queel numero"r" divideexacta-mente aMy a N.Demostraremos que"r"dividea(M- N)De la hipotesis:N-=eo~ N=r.eorevidentemente el>eoV Si unnumerodivideal dividendoyal divisordeunadivisioninexacta, dividetambienal residuode dicha division.Sea la division: D ~r cConsideremos que"n"divide a "D" y a "d". Demos-traremos que"n"dividetambien al residuo"r".Como: D = d. c+ r ~ r =D- d . cMApoyandonos en la IV propiedad, asi "n" divide aD ya(d. c), entoncesdividiraala diferenciadeellos,"r".VI. Si unnumero"N" nodivide aotrosdosexacta-mente, divideasudiferenciasiempreycuandolos residuos sean iguales.Y:restandoM - N= r(el- eo)M-NrSean A YB dosnumerostales que:A > B.Denotemos mN, multiplo0 multiplos deN.Si Nnodividea A~ A = mN+ RlSi NnodivideaB~ B = mN+R2quees un ntimeroentero y exactoM-N=0>---=erSiendo el cociente "e" un numero entero y exactoello indica quer dividea: M - NRestando:Por 10tanto:A - B =mN+ (Rl- R,)Si Rl=R, =0> A - B =mNIVSi un numerodivideal todo ya una parte, dividenecesariamente ala otra parte.Sea T el todo yseanP y Qsuspartes.Consideremos que el numero "n" divide altodo TYa la parteP.Demostraremos que"n"divide tambienalaotraparte, Q.Comoel todoesigual a la suma de suspartes:T=P+Q=o>Q=T- PUJAnalizando esta expresion final, se0 bserva quesi"n' divideaTyP entoncespor laIII propiedad,dividira a la diferencia deestos, Q.VII. SiunnumeroNnodivideaotrosexactamente,divide a su producto, siempre ycuando el produc-tode los residuossea igual a NomultiplodeN.Sea Nun numeronoprimo y mN, multiplo deN:Si N: Nodividea A =0> A =mN+ RlNodividea B ~ B = mN+R2NodivideaC ~ C = mN+R3Multiplicando: A. B . C=mN+ (Rl . R,. R)Hemos considerado que el producto de multiploses otro multiplo; y que la suma de multiplostam-bien es otro multiplo.Por 10tanto:Rl . R,. R3= Mn=0> A. B. C = mN+ mN= mN- 130-www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.MATEMATICASW.blogspot.comARITMETICAPRINCIPALES ARTIFICIOSUTILIZADOSENDIVISIBILIDAD1. Expresar que un numeroes"mp"Nseramp~ Ncontienea"p"exactamenteunnumero enterode veces.N l.!:..- =0> N=P . e=mpe(entero)Observar que si N= rnp, laexpresi6n"mp" sepuede presentar como el productode"p"por unnumero entero"e", tal como"p.e".2. Expresar que un numeroM noes multiplodell.Mnoes multiplode n ~ Mnocontienea "n"exactamente unnumeroentero deveces.M ~ ~ M= nq(entero) + r ~ M=mn+f,r>0r q(entero)M = N(modulo"p") 0 tambienM = N(p)Selee"Mcongruente con N segun elm6dulop".Ejemplos:i) 628 " I 823(5), son congruentes porque aldividirlo entre el m6dulo 5, dan el mismo resto(3).ii) 371 == 184(3), no soncongruentes segunelm6dulo 3, porque no dan el mismoresiduo.RESTOSPOTENCIALESSe llama restospotenciales de un numeroN, respec-toa otro"m", llamado m6dulo,a los residuos queseobtiene aldividir la serienatural delaspotencias deNentre dicho m6dulo"m".Ejemplos:i)Hallarlosrestospotencialesde10 conrespec-toal modulo7.10' = m7- 3= m7+ 4claude "r"representa el residuade"M" entre"n";luego"M" noes multiplode"n".10=I 101= m7+ 3103= m7 + 6= m7-IIO'=m7-23. ElbinomiodeNewton"( Por inducci6n).(a + b)2 =:::: + 2ab + b2= rna + b2rna106= m7 - 6= m7+I ...ii)Hallar losrestospotenciales de5 con respectoal modulo3(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3rnarna + b351=m3+253=m3+2 5'= 00+I ...observaciones52=00+1No.1_ Na . (T2)1rna + b"(Si"n" es par)(a-b)"=rna - bn(Si"n"es impar)Esteartificioseutiliza especialmenteenlospro-blemas de divisibilidadclaudepidendeterminarelresidua y el dividendoes una potencia.TEORfA DECONGRUENCIASSe denomina numeros congruentes a aquellos quedan el mismorestoal dividirlopor un m6dulo.Notaci6n. Si dosnumeros MyNsondivididospor elnumero"p" y en ambos casasse obtiene elmismoresiduo, entonces ambosnumerosM yNserancongruentesconrespectoal m6dulo"p"yse denota asi:a) Mediante la aplicaci6nde restos potenciales, sedetermina cualquier criterio de divisibilidadencualquier sistema denumeraci6n.b) Lograndoel restodeunapotenciasedeterminafacilmenteel de la siguiente potencia, como vere-mos:Na" m(Tl )Ejemplo:Calculemos losrestospotenciales de10 segun elmodulo7.10= I101= I . 10 = m7+ 3Restopordefecto- 131-www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.MATEMATICASW.blogspot.com102=(m?+ 3)10=m? + 30=m? + m?+ 2=m? + 2Restopor defecto103=(m?+ 2)10=m? + 20=m? + 6=m? - IRestopor excesoEjemplo:p =? , a= 2 =0> 2 7-1" I (7)26= 64 Y64 : ? da como residuaIyI : ?tambiencia como residua1.CONGRUENCIA DEEULERPara comprender esta congruencia, definimospreviamenteel indicador de un numero:Si"m"y"n"sondosnumeroscualesquiera, pri-mos entresf,se verifica la siguiente congruencia:104=(m?-1)10=m? -10=m? - 3Restopor exceso10' =(m?- 3)10=m? - 30=m? -2Restopor exceso106=(m?-2)10=m? -20=m? - 6=m? +IRestopor defectoa .(m) "I(m) (m)=indicador de"m"46=4096; 4096: ?da comoresiduaIyI : ?da como residuo1.GAUSSIANOSe llama GAUSSIANOdel numero N, respecto almodulo"t", al menor exponentedel numeroNcon-gruente con la unidadrespectodel modulo"t".N9"I(t)Ejemplo: a=4 m=?4W) "I(7) (7)=6 =0> 46" I (7)El GAUSSIANOintervieneprincipalmenteenlaleyde formaci6n de los restos potenciales. Determinageneralmente el "periodo".Ejemplo:Hallarlos restospotenciales de6respectoa 64.POlENCIA RESTOS6 I61662366324 Peri6do64166' 32660CONGRUENCIASNOTABLESCONGRUENCIA DEFERMATSi "p" es un numero primo y a un numerocualquiera nodivisible entre"p", se verifica que:aP-1" Hp)CONGRUENCIA DEDIRICHLET(Numerosasociados). Dadalaserie: 1,2,3, ,(p - 1); si p=2q +1 Y "a" es un numerotal que a < p,"m" un numerode la serie; siempre habra otro "n" enla serietal quem. n==a(modulo"p").TEOREMADE WILSONLacondicion necesaria ysuficientepara queun nu-meropsea primoesque: (p-I)! =mp-1CRITERIOSDEDIVISIBILIDADCRITERIOGENERALDEDIVISIBILIDADEste criterio permite determinar las caracteristicasquedebeposeerunnumeropara serdivisibleentreotro. Permitepor10tanto, determinar cualquier cri-teriodedivisibilidad.EXPRESIONGENERALDEDICHOCRITERIOSea:abc ... tlu, de "n" cifras, un numero cualquiera.Descomponiendo polinomicamente invirtiendoelorden:- 132-www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.MATEMATICASW.blogspot.comARITMETICADeterminaremos la condici6n para quesea divisi-ble par Q:10' l.3...-R, C,loo3lsL10' =mQ + R,10' =mQ + R,lon-3=mQ + Rn_3lon-2=mQ + Rn_2lon-l =mQ + Rn_1restospotencialesde10 respectoa 31son:10l1Lr =- 21-21 I100~f2= 77 31000~f3=88 32Remplazandoestos valores(en1):abed=(d- 21e + 7b+ 8a) + rn31,analizando estaexpresi6nfinal sededucequeabedseradivisiblepar 31si [d -21e+7b+ 8a] es eero6 m3!.PRINCIPALES CRITERIOSDEDIVISIBILIDADAplicandorestospotenciales, segun se ha vista ante-riormente, se puede determinar cualquier criteria dedivisibilidad. Consideremos un numero cualquiera Ntalque:abc ... tlu=u+(mQ+ R,)l+ (mQ + R,)t +...+ (mQ +Ro_3)c+ (mQ +Ro_,)b+ (mQ +Ro_,)aabc ... tlu=u+mQ+ R1 l + mQ+ R2t +...+ mQ+ Rn_3 c + mQ+ Rn_2 b + mQ +Rn_1 aabc ... tlu=mQ + [u +R, I + R, t +...+ Rn_3c +Rn2b +RCn_l) a]Puede 0 bservarse que paraqueel numerodadoseadivisibleporQesnecesarioquela expresi6ndentrodel corchete sea cera0 multiplo deQ y enlaquelos terminos R, sonlosdiversos residuosobtenidos al dividir entre Q, cada una de laspotencias de10 correspondiente a cada una de lascifras del numero.Ejemplo:Determinar la condici6n para queun numerode4cifras sea divisible por 31.N= abedefaplicandorestospotenciales{100 -IDIVISIBILlDADPOR2 10' --010'--0Luegoelcanictersera: f=m2;es decir, basta quela cifra delas unidades sea par0 cera.{100 -IDIVISIBILlDADPOR 3 10' -- I10'--1Luego el caracter sera:... + a + b + c + d + e + f = m3;es decir, que la SUIIll desus cifras sea m3.DIVISIBILlDADPOR 4Un numero es divisible por 4 cuando sus dos ulti-mascifras son cera0 m4.Sea abed el numero. Expresadoen su formapoli-n6micae invirtiendoelorden:abed=d+ 10e +100b +I OOOaDIVISIBILlDADPOR 5 {10 --I10'--010'--0(I)Basta que f=065para queel mimero sea divisi-ble par 5.- 133-www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.MATEMATICASW.blogspot.comDIVISIBILIDADPOR 7Restos: 1,3, 2, -1, -3, -2, 1Caracter:f + 3e + 2d- c - 3b -2a +... =DIVISIBILIDADPOR 9Los restos potenciales son tambien 1, 1, 1, ... ;Iuega, el caracteresquela suma desuscifrasesmultiplode9.DIVISIBILIDADPOR11Los restos de las potencias de10 son 1, -1, 1 -1, ...Luego:DEMOSTRACIONESAcontinuaci6ndemostraremosalgunoscriteriosdedivisibilidad por atrosprocedirnientos:DIVISIBILIDADENTRE 9TEOREMA. Un numero es divisible por nuevecuando laSUIIll desus cifras es multiplo de nueve..Demostraci6n. Estademostraci6nconstade va-rias partes yuna conjunci6n.PrimeraParte. Cualquier potencia de10esiguala un multiplo de9mas1.Demostraremos que: Ion=m9+ 1/0f-e+d-c+b-a+... =.............mllEnatros terminos, que lasumadelas cifrasdelugar impar comenzando por las unidades, menoslas de fugaepar, sea multiplode11.DIVISIBILIDADPOR13Restos: 1, -3, -4, -1, 3, 4,1oCaracter:f - 3e - 4d - c + 3b + 4a +... =