PROCESOS INDUSTRIALES AREA MAUFACTURA.

MATERIA: ESTADISTICA.

TEMA: PROBABILIDAD.

PROFESOR: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz.

ALUMNA: Claudia Azucena Ávila Hernández.

FECHA: 18/MARZO/2012.

INTRODUCCION.

La inferencia estadística consiste en extraer una muestra de una población y analizar sus datos con el propósito de aprender acerca de ello. Muchas veces se tiene un conocimiento superficial de la función de masa o densidad de probabilidad de la población. En estos casos la función de masa o de densidad de probabilidad se aproxima mediante una de muchas familias comunes de curvas o funciones. En este capitulo se describen algunas de estas funciones comunes y las condiciones en que es apropiado utilizar cada una.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si este se lleva acabo.

Es decir, describe probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerándolas tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI.

La distribución Bernoulli (ó distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( q = 1 – p).

Si X es una variable aleatoria que mide “número de éxitos “, y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.

X ~ Be (p)

La formula es:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Ejemplo:"Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el teorema de Laplace (casos

favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores

posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro   = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a

1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea

igual a 0.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

La distribución binomiales una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos

en una secuencia de n ensayos de Bernoulli dependientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Su función de probabilidad es

Donde 

Siendo   las combinaciones de   en   (  elementos tomados de   

en )

EJEMPLO.

Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga

20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

DISTRIBUCION POISSON.

 La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a

partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número

de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su

trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière

civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

La función de masa de la distribución de Poisson es:

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que

el evento suceda precisamente k veces).

λ (lambada) es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que

ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar

en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que

ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de

Poisson con λ = 10×4 = 40.

e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

 A una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

Entre las distribuciones continuas la más importante es la llamada distribución normal. Fue

introducida por Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX en su estudio de los errores de

medida. Desde entonces se ha utilizado como modelo en multitud de variables (peso, altura,

calificaciones...), en cuya distribución los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y

los valores extremos son escasos.

Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si su función de densidad es:

Donde µ y σ coincidan respectivamente con la media y la desviación típica de la variable aleatoria. Estos parámetros son los que determinan esta distribución que designaremos por

N(µ y σ )

DISTRIBUCIÓN GAMMA.

En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos

parámetros   y  cuya función de densidad  para valores   es

Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar  variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.

Su función de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ(p) es la denominada función Gamma de Euler que representa la siguiente integral:

Que verifica Γ(p + 1) = pΓ (p), con lo que, si p es un número entero positivo, Γ(p + 1) = p!

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT.En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente

distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las

diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la

diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una

población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1

V tiene una distribución ji-cuadrado con   grados de libertad

Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente   es una variable aleatoria que sigue

la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad  .

es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

donde   es igual a n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro   representa el número de grados de libertad. La distribución depende de  ,

pero no de   o  , lo cual es muy importante en la práctica.