diseo de la viga postensada1

MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO

PLANTA Y SECCIÓN TRANSVERSAL DEL PUENTE

1. MATERIALESConcreto de las vigas

fći = 315 kg/cm2

fć = 350 kg/cm2

Concreto de la losa

fći= 245 kg/cm2

fć= 280 kg/cm2

Acero de preesfuerzo fpu = 18900 kg/cm2. fpy = 16000 kg/cm2.

Carlos Ramiro Vallecilla B 1


2. SOLICIATIONES MÁXIMAS Sobre la viga central

2.1. Propiedades geométricas de la sección simple

2.2 Avalúo de cargas y máximas solicitaciones

Longitud aferente de la losa: 3,3 m.

Peso propio de la losa= 1,58 t/m

Peso propio de la viga= 1,67 t/m

SUMA: 3,25 t/m


A=0 ,695m2 : Y s=0 ,95m;Y i=1 ,05m; I=0 ,3456m4


Momento debido al peso propio de la sección simple más el peso de la losa

2.3. Cargas sobreimpuestas

Nota: El peso del andén y de la baranda es 0,29 t/m.

Carpeta asfáltica: 3,3*2,2*0,05=0,36 t/m

Andén y barandas= 2*0,29/3= 0,19 t/m

SUMA 0,56 t/m

Momento debido a las cargas sobreimpuestas

MDS=0 ,56∗412

8=118 t .m

Nota: no se tuvo en cuanta el peso de los diafragmas cada tercio de la luz.

2.4. Avalúo de la carga viva y máximo momento por carga viva.

Línea de carga para flexión: w = 1,44 t/m. P= 12 t.

Línea de carga para cortante: w= 1,46 t/m. P= 16 t.

Factor de rueda.

F . R= S1,7

= 3,31,7

=1 ,94

Factor de impacto:

I=1640+41

=0 ,198

Momento por carga viva

M L=( 1 ,44∗412

8+12∗41

4 )=426 t .m.Referido a la línea de cargas.

M( L+ I )=0,5∗426∗1 ,94∗1,198=495 t .m . Referido a la línea de ruedas

3. Ancho efectivo de la sección compuesta. Criterios


MD= 3 ,25∗412

8=683 t .m


bef=414

=10 ,25m

bef=0 ,20+12∗0 ,20=2,60m . Rigebef=3,3m

Relación modular.

n=√350√280

=1 ,12

Ancho efectivo de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm2.

bef=2 ,601 ,12

=2 ,32m

Propiedades geométricas de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm2.

A=1,159m2

Y i=1 ,47mY s=0 ,73mI=0 ,6539m4

Y simple=0 ,73−0 ,20=0 ,53m

4. Valoración de la fuerza de tensionamientoMomento de servicio:

M servicio=683+118+495=1296 t .m

Convención de signos: son negativos los esfuerzos de compresión.



Criterio. La fibra inferior en el centro de la luz de la sección compuesta se

encuentra sometida al máximo esfuerzo a tracción admisible. De acuerdo con el

CCDSP-95, este esfuerzo es igual a:

f c , tracción=1,6√ f ´c=1,6√350=30kg /cm2=300 t /m2

En consecuencia:

σ i=300=−Pt=∞

1 ,159−P t=∞∗1,4∗1 ,47

0 ,6539+1296∗1 ,47

0 ,6539→P t=∞=651 t

Suponiendo pérdidas totales (instantáneas más diferidas) del orden del 25 % , se

tiene una fuerza de tensionamiento , para t=0, igual a:

Pt=0=6510 ,75

=868t

Esfuerzos sobre el concreto sobre la sección simple para una fuerza de

tensionamiento de 868 t en el centro de la luz.

Momento debido al peso de la sección simple

MD=1,67∗412

8=351t .m

Po consiguiente el esfuerzo en la fibra inferior de la sección simple es igual a:

σ i=−8680 ,695

−868∗0 ,98∗1 ,050 ,3456

+351∗1 ,050 ,3456

=−2767 t /m2

Este esfuerzo excede el esfuerzo admisible a compresión del concreto (0,55 f´ci)

(-0,55*3150= -1733 t/m2) por lo que el tensionamiento se debe fraccionar.

Máximo esfuerzo admisible en el acero de tensionamiento, de acuerdo con el

CCDSP-95:

f sP=0 ,80 f Py=0 ,80∗16000=12800 kg /cm2

Primer tensionamiento

Se aplica arbitrariamente una fuerza igual al 60 % de la fuerza total de

tensionamiento .Esto es:

P60 %=0 ,60∗868=521t



Determinación del número de torones de 0,5 pulg de diámetro ( ASP= 0,987 cm2)

para el primer tensionamiento

P60 %=52100012800∗0 ,987

=41torones

Se toman cinco cables con 10 torones cada uno.

Estos 50 cables, tensionados al máximo esfuerzo admisible, resisten una fuerza

igual a:

P60 %=50∗0 ,987∗12800=631600 kg

En cada cable de 10 torones se ejerce una fuerza igual a

Pcable=631 ,6

5≈126 t

Segundo tensionamiento

Diferencia de fuerza de tensionamiento

ΔP=868−631 ,6=236 , 4 t

Número de torones de 0,5 pulg de diámetro ( ASP = 0,987 cm2)

No=2364000 ,987∗12800

=19 torones

Se toman 20 torones distribuidos en dos cables de 10 torones cada uno.

Fuerza de tensionamiento en el centro de la luz debida a los cables de segundo

tensionamiento:

ΔP=20∗0 ,987∗12800=252672 kg≈252 ,7 t

Resumen del tensionamiento



5 1.63 20.5 41.166 1.95 18.5 37.277 1.95 17 34.3

Nota: la fuerza de 126 t corresponde a la fuerza en el centro de la luz durante la

transferencia.

5. Ecuación de los cables de tensionamiento La ecuación que describe la posición de cada cable de tensionamiento es una

parábola de la forma y= kx2.

En esta ecuación:

X se mide a partir del centro de la luz.

Y se mide desde la base de la viga al centroide del acero de tensionamiento.

La figura siguiente muestra la posición supuesta de los siete cables de

tensionamiento sobre apoyo. Nótese que los cables 6 y 7 se tensionan una vez el

concreto de la losa ha alcanzado una resistencia de 245 kg/cm2.

En consecuencia y de acuerdo con la trayectoria supuesta de los cables de

tensionamiento, se obtienen las siguientes ecuaciones:



y1=0 ,2320 ,52

x2+0 ,07=0 ,000547 x2+0 ,07

y2=0 ,5820 ,52 x2+0 ,07=0 ,001380 x2+0 ,07

y3=0 ,9320 ,52 x2+0 ,07=0 ,002213 x2+0 ,07

y4=1 ,2820 ,52 x2+0 ,07=0 ,003046 x2+0 ,07

y5=1 ,5520 ,52 x2+0 ,15=0 ,003688 x2+0 ,15

La tabla siguiente resume los valores de las ordenadas (m) de cada uno de los

cinco cables de primer tensionamiento, cuya trayectoria es descrita por las

ecuaciones precedentes. Se tomaron arbitrariamente intervalos cada 2 m.

CABLE 4: Y= 0.003CABLE 5: Y= 0.004

X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.5CABLE1 0.070 0.072 0.079 0.090 0.105 0.125 0.149 0.177 0.210 0.247 0.300CABLE2 0.070 0.076 0.092 0.120 0.158 0.208 0.269 0.341 0.423 0.517 0.650

Ecuación de los cables de segundo tensionamiento

y6=1 ,9518 ,52

x2+0 ,15=0 ,0056976 x2+0 ,15

y7=1,95172

x2+0 ,15=0 ,006747 x2+0 ,15

CABLE3 CABLE4



6. Determinación del estado de esfuerzos en el concreto. 6.1. Esfuerzos sobre la sección simple debidos a la fuerza de tensionamiento y al

peso propio de la sección simple

Resistencia del concreto en el momento de la trasferencia= 280 kg/cm2

Esfuerzo admisible a compresión en el concreto durante la transferencia:

0,60f´ci=- 0,60*2800= -1680 t/m2

Ecuación del momento flector debido al peso propio de la sección simple.

MD=351−0 ,835 x2



Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de primer

tensionamiento

e=1 ,05− y

Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de segundo

tensionamiento

e=1 ,47− y

Módulos de sección inferior y superior, respectivamente, de la sección simple.

W i=0 ,34561 ,05

=0 ,3291m3

W s=0 ,34560 ,95

=0 ,3638m3

Ecuación para el cálculo de la fuerza efectiva de tensionamiento en cualquier

sección de la viga en función de los coeficientes de fricción μ y de curvatura

involuntaria k

Px=Poe−(μα +kx)

e = base de los logaritmos naturales ( e=2,71828)

Coeficientes supuestos de fricción y curvatura involuntaria

μ=0 ,25 k= 0,003/m6.2 Estado de esfuerzos en el concreto, en la sección simple, durante la

transferencia

Ecuación general para el cálculo de los esfuerzos:

σ i=−∑j=1

N

P j

A−∑j=1

N

P je j

W i+∑K=1

C

M c

W i



σ s=−∑j=1

N

P j

A+∑j=1

N

P je j

W s−∑K=1

C

M c

W s

ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETOCaso de carga : fuerza de preesfuerzo más peso propio de la vigaPrimer tensionamiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en el centro de la luz = 632 tX se mide del centro de la luz a los apoyosLos cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuestoPeso propio de la sección simple : 1,67 t/m

X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.50.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695

Ws 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638Wi 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291

0.000 0.001 0.001 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.005 0.006

0.000 0.001 0.003 0.004 0.006 0.007 0.008 0.010 0.011 0.012 0.014

0.000 0.002 0.004 0.007 0.009 0.011 0.013 0.015 0.018 0.020 0.023

0.000 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.031

0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.019 0.023 0.027 0.031 0.035 0.040Kx 0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03 0.036 0.042 0.048 0.054 0.0615

126 127 128 129 130 131 131 132 133 134 135

126 125 125 124 123 122 121 120 119 118 117

126 127 128 130 131 132 133 134 135 136 138

126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 115

126 128 129 130 131 133 134 135 137 138 140

0.980 0.978 0.971 0.960 0.945 0.925 0.901 0.873 0.840 0.803 0.750

0.980 0.974 0.958 0.930 0.892 0.842 0.781 0.709 0.627 0.533 0.400

0.980 0.971 0.945 0.900 0.838 0.759 0.661 0.546 0.413 0.263 0.050

0.980 0.968 0.931 0.870 0.785 0.675 0.541 0.383 0.200 -0.007 -0.300

0.900 0.885 0.841 0.767 0.664 0.531 0.369 0.177 -0.044 -0.295 -0.650Suma Pe 609 605 589 562 525 475 415 343 260 165 30Suma P 632 633 634 635 637 638 639 640 642 643 645

351 348 338 321 298 268 231 187 137 80 0Esf. Sup. -199 -204 -221 -250 -292 -346 -413 -493 -586 -693 -847Esf. Inf. -1694 -1692 -1676 -1648 -1605 -1549 -1479 -1395 -1296 -1182 -1018Esf. Adm. -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732

A (m2)

µα1

µα2

µα3

µα4

µα5

P1

P2

P3

P4

P5

e1

e2

e3

e4

e5

MD(t.m)

Esfuerzo sobre el acero en el cable más tensionado ( 140 t):



f ps=14000010∗0 ,987

=14184 kg /cm2<0 ,90 f py=0 ,90∗16000=14400 kg /cm2

6.3. Esfuerzos sobre la sección simple debidos a la fuerza de tensionamiento y al

peso propio de la sección simple más el peso de la losa: D= 1,67+1,58=3,25 t/m



X se mide del centro de la luz a los apoyosLos cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuesto

Peso propio de la sección simple más peso de la losa: 3,25 t/mPérdidas del 15 % de fuerza de tensionamiento

X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.50.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695

Ws 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638 0.3638Wi 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291 0.3291

0.000 0.001 0.001 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.005 0.006

0.000 0.001 0.003 0.004 0.006 0.007 0.008 0.010 0.011 0.012 0.014

0.000 0.002 0.004 0.007 0.009 0.011 0.013 0.015 0.018 0.020 0.023

0.000 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.031

0.000 0.004 0.007 0.011 0.015 0.018 0.022 0.026 0.030 0.033 0.038Kx 0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03 0.036 0.042 0.048 0.054 0.0615

107 108 109 110 110 111 112 112 113 114 115

107 107 106 105 104 104 103 102 101 101 100

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117

107 106 106 105 104 103 102 101 100 99 98

107 108 110 111 112 113 114 115 116 117 119

0.980 0.978 0.971 0.960 0.945 0.925 0.901 0.873 0.840 0.803 0.750

0.980 0.974 0.958 0.930 0.892 0.842 0.781 0.709 0.627 0.533 0.400

0.980 0.971 0.945 0.900 0.838 0.759 0.661 0.546 0.413 0.263 0.050

0.980 0.968 0.931 0.870 0.785 0.675 0.541 0.383 0.200 -0.007 -0.300

0.900 0.885 0.841 0.767 0.664 0.531 0.369 0.177 -0.044 -0.295 -0.650Suma Pe 518 514 501 478 446 404 353 292 221 140 25Suma P 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 548

683 677 657 625 579 521 449 365 267 157 0Esf. Sup. -1227 -1221 -1205 -1180 -1144 -1100 -1046 -983 -911 -831 -719Esf. Inf. -271 -280 -301 -332 -374 -426 -489 -562 -644 -737 -865Esf. Adm. -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400CUMPLE SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI

ESFUERZOS SOBRE EL CONCRETO . SECCIÓN COMPUESTACaso de carga: esfuerzos sobre la sección simple más cargas sobreimuestas más carga viva

Cargas sobreimpuestas: 0,56 t/m

Esfuerzo admisible a compresión sobre el concreto : -0,40f´c= -0,4*3500=-1400 t/m2

A (m2)

µα1

µα2

µα3

µα4

µα5

P1

P2

P3

P4

P5

e1

e2

e3

e4

e5

MD(t.m)

6.4. Cálculo del momento debido a la carga viva.



El momento flector debido a la carga viva se calcula en secciones tomadas

arbitrariamente cada 2 m, medidas a partir del centro de la viga, recurriendo a la

definición de línea de influencia, tal como se muestra el la figura siguiente.

x=10m→M(L+I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5( 0,5∗1 ,44∗7 ,811∗41+7 ,811∗12)=377 t .m

x=12m→M (L+I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5(0,5∗1 ,44∗6 ,738∗41+6 ,738∗12 )=325 t .m

x=14 m→M( L+ I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5(0,5∗1,44∗5 ,470∗41+5 ,470∗12 )=264 t .m

x=16m→M(L+I )=1 ,198∗1,94∗0,5 (0,5∗1 ,44∗4 ,00∗41+4 ,00∗12 )=193 t .m

x=18m→M(L+I )=1 ,198∗1 ,94∗0,5( 0,5∗1 ,44∗2 ,348∗41+2 ,348∗12)=113 t .m

6.5. Esfuerzos sobre la sección compuesta debidos a la fuerza de tensionamiento

de los cables 6 y 7, a la carga viva y a las cargas sobreimpuestas. Se suponen

pérdidas durante la etapa de servicio, iguales al 15 %.



Por otra parte, en este estado de esfuerzos debe tenerse en cuenta que la sección

simple ha sido sometida a esfuerzos que deben sumarse a los esfuerzos que se

presentan sobre la sección compuesta. No se tuvo en cuenta el aumento del área

de la sección en el bloque de anclaje.

Son positivas las excentricidades por debajo del eje centroidal de la sección.

ESFUERZOS SOBRE EL CONCRETO . SECCIÓN COMPUESTACaso de carga: esfuerzos sobre la sección simple más cargas sobreimpuestas más carga viva

Cargas sobreimpuestas: 0,56 t/mLos cables 6 y 7 se tensionan desde extremos opuestos.Se suponen pérdidas de fuerza de preesfuerzo del 15 % en etapa de servicioFuerza de preesfuerzo efectiva por cable en etapa de servicio : 0,85*126,4=107 t

Son positivas las excentricidades por debajo del eje centroidalX(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.5

1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.159 1.1590.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958 0.8958

Wi 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448 0.4448

0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53Esf. sup. -1227 -1221 -1205 -1180 -1144 -1100 -1046 -983 -911 -831 -719Esf. Inf. -271 -280 -301 -332 -374 -426 -489 -562 -644 -737 -865

0 0.0059 0.0119 0.0178 0.0237 0.0297 0.0356 0.0415 0.0474 0.0534 0.0608

0 0.007 0.014 0.0211 0.0281 0.0351 0.0421 0.0491 0.0562 0.0632 0.072Kx 0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03 0.036 0.042 0.048 0.054 0.0615

1.320 1.297 1.229 1.115 0.955 0.750 0.500 0.203 -0.139 -0.526

1.320 1.293 1.212 1.077 0.888 0.645 0.348 -0.002 -0.407

107 108 110 111 112 114 115 116 118 119

107 106 104 103 102 100 99 98 96

214 214 214 214 214 214 214 214 214 119Suma Pe 282 277 261 234 197 150 92 23 -56 -63

118 117 113 108 100 90 77 63 46 27 0

494 489 476 452 419 377 325 264 193 113 0Esf. Sup. -1678 -1672 -1655 -1628 -1589 -1541 -1482 -1414 -1335 -1098 -719Esf. Inf. 284 274 252 214 164 102 24 -65 -166 -384 -865Esf. Adm. -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400Esf. Adm. 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

Exentricidad del cable 6 : e6=1,47-y6

Excentricidad del cable 7: e7=1,47-y7

A (m2) Ws

Ys

µα6

µα7

e6

e7

P6

P7

P6+P7

MDS

M(L+I)



De la tabla precedente se concluye que el máximo esfuerzo actuante a

compresión, -1678 t/ m2, es ligeramente mayor (168-140 = 28 kg/cm2) que el

máximo esfuerzo admisible a compresión, -0,40f´c= -04*3500=-1400 t/m2, indicado

por el CCDSP-95. Es de notar que de acuerdo con las Normas Colombianas de

Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR.98, el máximo esfuerzo admisible

sobre el concreto a compresión y para cargas totales es igual a 0,60 f´c (C.18.4).

En consecuencia: -0,60 *3500 = -2100 /m2>-1678 t/m2.

Ejemplo del cálculo de esfuerzos en la sección X= 8 en la tabla precedente.

Esfuerzo a compresión en la fibra ubicada a 0,53 m por encima del eje centroidal

de la sección compuesta (unión viga-losa).

σ s=−1144−(112+102 )

1 ,159+(112∗0 ,955+102∗0 ,888)∗0 ,53

0 ,6539−

(99 ,75+419)∗0 ,530 ,6539

=−1589 t /m2

Esfuerzo a tracción en la fibra inferior de la sección compuesta.

σ i=−374−(112+102 )

1,159−

(112∗0 ,955+102∗0 ,888 )0 , 4448

+(99 ,75+419)

0 ,4448=164 t /m2

Gráficamente:

6.7 Diámetro del ducto.

El área mínima del ducto de preesfuerzo debe ser 2,5 veces el área neta de los

torones contenidos en el ducto. En consecuencia para un cable de 10 torones se

tiene.



Aducto≥2,5∗10∗0 ,987=24 ,68cm2→φducto=√ 4∗24 ,68π

=5 ,60cm≈6cm

Se toma un ducto metálico de 6 cm de diámetro.

7. Diseño a cortante.7.1 Cálculo de la fuerza cortante en una sección a h/2 de la cara del apoyo.

De acuerdo con el CCDSP-95, el cortante último máximo se puede calcular a una

distancia igual a h/2 (h altura de la viga) de la cara del apoyo. (A.8.7.4.1.4).

Para una altura de la sección compuesta igual a 2,2 m , h/2 es 1,10 m. El apoyo

de la viga tiene una longitud de 0,50 m, en consecuencia la sección de interés está

localizada a 1,6 m del borde de la viga. Gráficamente:

Fuerza cortante en una sección a 1,6 m de la cara del apoyo, debida a:

Al peso propio de la losa (1,67 t/m):

V D=34 ,2−1,67∗1,6=31 ,5 t

Al peso propio la sección (1,58 t/m)

V S=32, 4−1 ,58∗1,6=30 t

A las cargas sobreimpuestas (0,56 t/m):

V DS=11 ,48−0 ,56∗1,6=10 ,6 t

A la carga viva.

Línea de carga:

w=1,5−41−28300

=1 ,46 t /m : P= 16 t



De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo se

obtiene el siguiente valor para la fuerza cortante debida a la carga viva.

V (L+I )=0,5∗1 ,198∗1 ,94(0,5∗0 ,96∗39 ,4∗1 ,46+16∗0 ,960 )=49 ,9 t

Fuerza cortante última. Grupo de carga I. Resistencia última.

V u=1,3 (31 ,5+30+10 ,6+1,67∗49 ,9 )=202t

La tabla siguiente resume la fuerza cortante última en secciones de la viga ,

tomadas arbitrariamente cada 2 m. El valor de VD incluye el peso propio de la viga

y de la losa

DISEÑO A CORTANTE EN X= 18,9 mCABLE P(t) α Pα

1 114 0.0207 2.362 101 0.0522 5.273 116 0.083651 9.704 99 0.115139 11.405 117 0.139406 16.316 119 0.214553 25.537 0 0

SUMA 666 71

Resistencia al esfuerzo cortante suministrada por el concreto.



De acuerdo con el CCDSP-95, la resistencia al corte Vc provista por el concreto,

debe ser el menor de los valores Vci o Vcw.

7.2. Cálculo de la fuerza cortante Vci resistida por el concreto ( falla por flexión y

corte)

La ecuaciones que permiten calcular el valor de la fuerza cortante Vci , resistida

por el concreto, son:

V ci=0 ,16 √ f ´ cbw dP+V d+V iM cr

Mmax

d P≤0 ,80h=0,8∗2,2=1 ,76m

M cr=IY t

(1,6√ f ´c+ f Pe−f d )

I=0 ,6539m4

Y t=1 ,47m

fPe= Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas

efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra

extrema precomprimida.

La tabla siguiente resume el cálculo del esfuerzo fPe en la fibra extrema

precomprimida en la sección bajo estudio (a 1,6 m de la cara de la viga). Se

tomaron las fuerzas y las excentricidades de los cables en la sección x=18 m.



(18 m ≈18,9 m)., referidas a la sección simple en etapa de servicio.

f Pe=∑i=1

5

Pi

1 ,159+

1 ,47∑i=1

5

Pi ei

0 ,6539

CABLE P(t) e(m) Pe1 114 0.803 91.542 101 0.533 53.833 116 0.263 30.514 99 -0.007 -0.695 117 -0.295 -34.52

SUMA 547 140.68788

Cálculo del esfuerzo fPe a 1,6 m del apoyo.

esf.inf( t/m2)

fd= Esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra extrema de la

sección donde se causen esfuerzos de tensión por la aplicación de cargas

externas (fibra extrema precomprimida) .

Cargas muertas: peso propio de la viga más peso propio de la losa. Es decir:

d=1,58+1 .67=3 ,25 t /m

Momento en la sección a 1,6 m del eje del puente producido por las cargas

muertas sin mayorar:

M d=66 ,63∗1,6−1,625∗1,62=102t .m

En consecuencia, el esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra

inferior y en la sección de interés (1,60 m) es:



f d=102∗1, 47

0 ,6539=230 t .m

Ecuación para el cálculo de fd en cualquier sección de la viga medido a partir del

centro de la luz. :

f d=M dx

0 ,4448=

(682 ,9−1 ,625 x2)0 ,4448

Sustituyendo en la ecuación del momento de fisuración por flexión en la sección

(1,6 m de la cara del apoyo) debido a las cargas aplicadas externamente Mcr , se

obtiene:

M cr=IY t

(1,6√ f ´c+ f Pe−f d )=0 ,65391 ,47

(1,6√350∗10+788−230 )=381 t .m

Cálculo de Vd

Vd = fuerza cortante en la sección debida a las cargas muertas sin mayorar.

De los cálculos precedentes:

V d=3 ,25∗20 ,5−3 ,25∗1,6=61 t

Ecuación para el cálculo de Vd en cualquier sección

V d=66 ,63−3 ,25 x

Cálculo de Vi:



Fuerza de corte mayorada en la sección debida a las cargas aplicadas

externamente y que ocurre simultáneamente con Mmax.

Mmax= Momento máximo mayorado en la sección debido a las cargas aplicadas

externamente.

Las cargas aplicadas externamente son la carga muerta sobreimpuesta, 0,56 t/m y

la carga viva debida a la línea de cargas, w= 1,46 t/m y P= 16 t.

Para la mayoración de las cargas externas se emplea el método de la resistencia

última y el grupo de cargas I.

Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debida a la carga

muerta sobreimpuesta:

V ds=0 ,56∗20 ,5−0 ,56∗1,6=10 ,58 t

Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debida a la carga viva.

De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo:

V (L+I )=0,5∗1 ,198∗1 ,94(0,5∗0 ,96∗39 ,4∗1 ,46+16∗0 ,960 )=49 ,9 t

En consecuencia:

V i=1,3 (10 ,58+1 ,67∗49 ,9 )=122 t



Cálculo de Mmax

Mmax = momento en la sección bajo estudio, proveniente de las cargas aplicadas

externamente.

M ds=11 ,48∗1,6−0 ,28∗1,62=17 ,65 t .m

De la línea de influencia del momento en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo

se obtiene el valor del momento producido por las cargas vivas.

M( L+ I )=0,5∗1,198∗1,94 (0,5∗41∗1 ,534∗1,44+12∗1 ,534 )=74 t .m

Sustituyendo los valores numéricos calculados se obtiene el siguiente valor para el

momento M max:

Mmax=1,3(17 ,65+1 ,67∗74 )=183 t .m

El valor de la fuerza Vci , resistida por el concreto es :

V ci=0 ,16 √ f ´ cbw dP+V d+V iM cr

Mmax=0 ,16√350∗10∗0 ,20∗1,76+61+122∗381

183=325 t



La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto

Vci , en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m, medidas desde el centro de

la viga hacia los apoyos.

X(m) P(t) Pe0 10.5 0.0 0.0 18 39 787 800.0 2477 1535 0.654 1.47 552 1227 282 10.5 6.5 1.1 21 46 752 791.0 2427 1521 0.654 1.47 536 1215 374 10.5 13.0 2.2 24 54 753 762.0 2363 1477 0.654 1.47 527 1180 486 10.5 19.5 3.4 27 62 754 712.0 2251 1404 0.654 1.47 510 1121 588 10.5 26.0 4.5 30 70 755 643.0 2097 1301 0.654 1.47 487 1040 69

10 10.5 32.5 5.6 33 79 756 554.0 1898 1170 0.654 1.47 457 823 8712 10.5 39.0 6.7 37 88 757 445.0 1654 1009 0.654 1.47 420 674 10414 10.5 45.5 7.8 40 98 758 315.0 1362 819 0.654 1.47 375 501 12916 10.5 52.0 9.0 44 107 759 165.0 1026 600 0.654 1.47 323 305 176

18.9 10.5 61.4 10.6 50 122 547 140 787 230 0.654 1.47 381 184 325

0,16√f´cbwdP Vd Vds V (L+I) V i(t) fPe fd(t/m2) I(m4) Yt (m) Mcr Mmax Vci(t)

7.3. Cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto Vcw. Falla en el alma de

la viga.

La ecuación para el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto Vcw es:

V cw=(0 ,93√ f ´ c+0,3 f Pc )bwd P+V P

Cálculo de fPc.

fPc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de

preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas.

Cálculo de Vp



VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección

La tabla siguiente resume el cálculo de al fuerza cortante resistida por el concreto

Vcw en secciones escogidas cada 2 m, a partir del centro de la viga

La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante Vcw , resistida por el

concreto, en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m .

DISEÑO A CORTANTE . CÁLCULO DE V cwX(m)

0 107 107 107 107 107 106 107 ### ### ### ### ### ### ### 0 174 645 1292 108 107 108 106 108 108 106 ### ### ### ### ### ### ### 10 174 648 1404 109 106 109 106 110 110 104 ### ### ### ### ### ### ### 20 174 651 1506 110 105 110 105 111 111 103 ### ### ### ### ### ### ### 30 174 651 1608 110 104 111 104 112 112 102 ### ### ### ### ### ### ### 40 174 651 170

10 111 104 112 103 113 114 100 ### ### ### ### ### ### ### 50 174 653 18012 112 103 113 102 114 115 99 ### ### ### ### ### ### ### 60 174 654 19014 112 102 114 101 115 116 98 ### ### ### ### ### ### ### 70 174 654 20116 113 101 115 100 116 118 96 ### ### ### ### ### ### ### 80 174 655 211

18.9 114 101 116 99 117 0 0 ### ### ### ### ### 0 0 45 174 472 156

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 VP 0,93√fc fPc Vcw

Ejemplo del calculo de Vcw en la sección x = 18,9 m , es decir a 1,6 m de la cara

del apoyo.

Cálculo de fPc.

fPc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de

preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas.



f Pc=114+101+116+99+117

1 ,159=472 t /m2

Cálculo de Vp

VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección

En la tabla siguiente se resume el cálculo de la componente vertical de la fuerza

de preesfuerzo en la sección. Nuevamente se toman de manera aproximada las

fuerzas de preesfuerzo, una vez descontadas las pérdidas en la sección X= 18 m.

( y no en x= 18,9 m)

P3 107 108 109P4 107 106 106P5 107 106 105Y1 0.070 0.072 0.079Y2 0.070 0.076 0.092Y3 0.070 0.079 0.105Y4 0.070 0.082 0.119

Ejemplo del cálculo de VP. Cable 1.

Ecuación del cable:

y1=0 ,000547 x2+0 ,07→ tanα≈α= y ´ x=18m=2∗0 ,000547∗18 ,9=0 ,0207

La componente vertical de la fuerza de preesfuerzo del cable 1 es:

V P1=P1 tan α1=114∗0 ,0207=2 ,36 t↑

De la misma manera se procede con los cables restantes



Resultante horizontal de la fuerza de preesfuerzo: 547 t

Resultante vertical de la fuerza de preesfuerzo: 42,9 t

Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación de Vwc, se obtiene:

V cw=(0 ,93√ f ´ c+0,3 f Pc )bwd P+V P=( 0 ,93∗10√350+0,3∗472 ) 0 ,20∗1 ,76+42 ,9=154 t

Representación gráfica de las fuerza actuantes sobre el concreto en la sección a

1,6 m del apoyo. (No incluye la fuerza cortante resistida por el concreto).

Comparando: Vci ( 311 t ) > Vcw ( 154 t). En consecuencia se toma la fuerza

cortante resistida por el concreto en la sección a 1,6 m del apoyo, igual a 193 t.

Fuerza cortante resistida por el acero:

V s=V u

0 ,85−V cw=

2020 ,85

−154=84 t

La ecuación para el cálculo de Vs es:



V s=Av f ydP

S

Se toman estribos # 4 ( Av= 1,27 cm2) con dos ramas . Por consiguiente la

separación S de los estribos es:

S= 2∗1,27∗10−4∗42000∗1 ,7684

=0 ,22m

S toma conservadoramente un estribo # 4 c/0,20 m, en una longitud de 2 m, desde

la cara del apoyo.

Separación máxima de los estribos: 0,75h = 0,75*2,2= 1,65 m ó 0,60 m. Se toma

una separación máxima entre estribos igual a 0,60 m

Gráficamente:



Nótese el incremento de resistencia al esfuerzo cortante que significa la

introducción fuerzas de preesfuerzo en la sección. Efectivamente si la viga en

estudio fuera en concreto reforzado, el concreto de la misma estaría en capacidad

de resistir una fuerza cortante igual a:

V c=0 ,53√ f ´ cbwd P=0 ,53√350∗10∗0 ,20∗1 ,76=34 ,9 t<< 154 t

La tabla siguiente muestra la separación de los estribos # 4 , en secciones

tomadas arbitrariamente cada 2 m.

SEPARACIÓN DE LOS ESTRIBOS

X(m) S(m)0 24 129 39 22 0.862 34 140 55 31 0.614 45 150 72 40 0.476 56 160 88 48 0.408 67 170 105 57 0.33

10 84 180 121 58 0.3212 101 190 140 64 0.2914 125 201 156 59 0.3216 169 211 175 37 0.51

18.9 324 154 202 84 0.22

Vci Vcw Vu Vs

Notas:

Para la determinación de la separación S de los estribos, se toma el menor

valor entre Vci y Vcw , en cada sección.



En la zona de la viga para x= 16 se presenta la máxima componente

vertical de la fuerza de preesfuerzo de los cables 6 y 7. En consecuencia la

separación entre estribos aumenta.

Área mínima de los estribos.

Av ,min=3,5bw S

f y→Smax=

2∗1,27∗42003,5∗20

=152cm

Límite de Vs

V s=2,1√ f ćbw dP=2,1√350∗20∗176=138291kg=138 t

Espaciamiento de los estribos reducido a la mitad.

V s=1 ,05√ f ćbwd P=1 ,05√350∗20∗176=69146 kg=69 ,1 t

8. ÁNGULO DE SALIDA DE LOS CABLES

Derivada de la ecuación de la trayectoria de los cables.

Ecuación de los cables:

y=kx2→ dydx

= y ´=tanα≈α=2kx

Sustituyendo los valores numéricos en cada una de las ecuaciones de los cinco

cables del primer tensionamiento, se obtiene el siguiente ángulo de salida

y1 ´=2∗0 ,000547293 x=0 ,0010946∗20=0 ,02243→α=ar tan(0 ,02243 )=1∘17 ý2 ´=2∗0 ,001380131 x=0 ,002760262∗20 ,5=0 ,05658→α=3∘14 ý3 ´=2∗0 ,00221297 x=0 ,00442594∗20 ,5=0 ,0907317→α=5∘11ý4 =2∗0 ,00304581 x=0 ,124878→α=7∘07y5 ´=2∗0 ,003878 x=0 ,1590→α=9∘ 02



9. LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE APOYOS

Le ecuación de la longitud de una parábola de la forma:

y= ab2

x2

Es igual a:

L= b2

2a [ ab √ 4a2

b+1+0,5 LN ( 2a

b+√ 4a2

b+1)]

Gráficamente:

La tabla siguiente resume la longitud entre anclajes de los siete cables de

tensionamiento.



4 126 41.11 197405 126 41.17 197406 106 37.27 197407 106 34.3 19740

LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE ANCLAJESCABLE a(m) b(m) L(m)

1 0.23 20.5 41

10. ALARGAMIENTO DE LOS CABLES

La fórmula para el cálculo del alargamiento de los cables es:

ΔL= PLEsP A sP

Para un cable de 10 torones de 0,5 pulg, y para un módulo de elasticidad del

acero de preesfuerzo igual a 2.000.000 kg/cm2, se obtiene:

E sP A sP=10∗0 ,987∗2.000 .000=19 . 740. 000kg=19 .740 t

Para el cálculo de los alargamientos se toma la fuerza efectiva P durante la

transferencia en el centro de la luz,.

ALARGAMIENTO DE LOS CABLESCABLE P(t) L(m) EA(t) ΔL(m)

1 126 41 19740 0.26172 126 41.02 19740 0.26183 126 41.06 19740 0.26214 126 41.11 19740 0.26245 126 41.17 19740 0.2628



Un cálculo más detallado del alargamiento de los cables de tensionamiento

requiere considerar la variación de la fuerza de preesfuerzo a lo largo de la luz así

como el acortamiento del concreto, tal como se muestra a continuación (cálculos

referidos al cable 1).

y1=0 ,000547 x2+0 ,07→ tan α≈α=0 ,001094 x

μα+kx=0 ,25∗0 ,001094 x+0 ,003 x=0 ,0032735 x

Ecuación para el cálculo de Px del centro de la luz al anclaje activo

Px=126e0,0032735 x

Ecuación para el cálculo de Px del centro de la luz al anclaje pasivo

Px=126e−0 ,0032735 x

FUERZA EFECTIVA. CABLE 2x(m) 0 4 8 12 16

0 0.0148 0.0295 0.0443 0.0591 1.0149 1.03 1.0453 1.0608

Px(t) 126 128 130 132 1341 0.9853 0.9709 0.9567 0.9427

Px(t) 126 125 123 121 119

uα+kxe(u +kx)α

e-(u +kx)α

Gráficamente:



Ecuación para el cálculo del alargamiento del cable de tensionamiento.

ΔL=∫0

L PxdxEsP A sP

+∫0

L PxdxEc Ac

=( 1EsP AsP

+ 1Ec Ac )∫0

L

Pxdx

Cálculo de la integral mediante la regla de Simpson:

Nota: se supone en los cálculos siguientes que 4 m es el intervalo para la

integración numérica.

FUERZA EFECTIVA. CABLE 2x(m) 0 4 8 12 16 20.5

0 0.0148 0.0295 0.0443 0.059 0.07561 1.0149 1.03 1.0453 1.0608 1.0786

uα+kxe(u +kx)α

∫0

41

Pxdx=Δx3

∗3789=43∗3789=5052

Para un módulo de elasticidad del concreto igual a:

Ec=12500√ f ´c=12500√315=221852 kg/cm2

Se obtiene:

ΔL=( 12∗107∗9 ,87∗10−4 +

12218520∗0 ,695 )5052=0 ,259m≈0 ,288m



Como se puede apreciar, la diferencia de resultados es mínima.

11. Perdida por penetración de cuña.

Dato: penetración de cuña= 6 mm.

Cálculos referidos al cables1 (compuesto por 10 torones de 0,5 pulg de diámetro)

W=√ ΔLc EsP A sP

Δp

W=Distancia desde el anclaje móvil hasta el punto en que la fuerza de rozamiento por penetración de cuña es cero.

ΔP=2 Δ pW= Pérdida de fuerza de preesfuerzo entre dos puntos de la viga .

ΔLc=Penetración de cuña .

Para el cable 1, de 10 torones de 0,5 pulg de diámetro, se tiene:

Fuerza en el anclaje = 135 t.

Fuerza de preesfuerzo a una distancia igual a 4,5 m del apoyo =133 t.

Δp=135−1334,5

=0 ,444 t /m

Si se supone que el módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo es 2*107

t/m2 , se tiene un longitud W igual a:

W=√ 6∗10−3∗2∗107∗10∗0 ,987∗10−4

0 ,444=16 ,33m

Por consiguiente la pérdida de fuerza de preesfuerzo en el anclaje, debida a la

penetración de cuña es igual a:

ΔP=2 Δ pW= 2*0,444*16,33=14,50 m.

Gráficamente:



Fuerza efectiva en el cable 1 una vez descontada la pérdida por penetración de

cuña

x=16m→P1=120 ,5+ 7 ,2516 ,33

∗4,5=122 ,5 t

x=12m→P1=120 ,5+ 7 ,2516 ,33

∗8,5=124 ,3 t

x=8m→P1=120 ,5+ 7 ,2516 ,33

∗12 ,5=126 t

En la tabla siguiente se resume el cálculo de la pérdida por penetración de cuña

para los cables de primer tensionamiento.



PÉRDIDA POR PENETRACIÓN DE CUÑA

CABLE Δp(t) W(m) ΔP(t) x=20,5 x=16m x=12m x=81 135 133 0.444 16.33 14.52 120.48 122.5 124.4 126.22 136 134 0.444 16.33 14.52 121.48 123.5 125.25 1273 138 135 0.667 13.32 17.76 120.24 123.2 125.9 128.64 139 136 0.667 13.32 17.76 121.24 124.2 126.9 129.65 140 137 0.667 13.32 17.76 122.24 125.2 127.9 130.6

Panclaje(t) P,X=4,5m

Verificación de los esfuerzos en la sección simple, sometida a la fuerza de

preesfuerzo más su peso propio, incluyendo las pérdidas por corrimiento en el

anclaje.



ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETOINFLUENCIA DEL CORRIMIENTO EN EL ANCLAJE

Caso de carga : fuerza de preesfuerzo más peso propio de la vigaPrimer tensionamiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en el centro de la luz = 632 tX se mide del centro de la luz a los apoyosLos cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el otro extremo Peso propio de la sección simple : 1,67 t/mCorrimiento en el anclaje= 6 mm

X(m) 0 4 8 12 16 20.50.695 0.695 0.695 0.695 0.695 0.695

Ws 0.3637895 0.3637895 0.3637895 0.3637895 0.3637895 0.3637895Wi 0.3291429 0.3291429 0.3291429 0.3291429 0.3291429 0.3291429

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.006

0.000 0.003 0.006 0.008 0.011 0.014

0.000 0.004 0.009 0.013 0.018 0.023

0.000 0.006 0.012 0.018 0.024 0.031

0.000 0.008 0.016 0.023 0.031 0.040Kx 0 0.012 0.024 0.036 0.048 0.0615

126 128 126.20 124.40 122.50 120.48

126 125 123 121 119 117

126 131.20 128.60 125.90 123.20 120.24

126 124 122 120 118 115

126 133.20 130.60 127.90 125.20 122.24

0.980 0.971 0.945 0.901 0.840 0.750

0.980 0.958 0.892 0.781 0.627 0.400

0.980 0.945 0.838 0.661 0.413 0.050

0.980 0.931 0.785 0.541 0.200 -0.300

0.900 0.841 0.664 0.369 -0.044 -0.650Suma Pe 609 595 519 402 246 29Suma P 632 641 630 619 608 595

351 338 298 231 137 0Esf. Sup. -199 -214 -298 -420 -574 -777Esf. Inf. -1694 -1705 -1579 -1410 -1206 -945Esf. Adm. -1733 -1733 -1733 -1733 -1733 -1733

A (m2)

µα1

µα2

µα3

µα4

µα5

P1

P2

P3

P4

P5

e1

e2

e3

e4

e5

MD(t.m)



12. Cuadro de tensionamiento de la viga

Cálculo del tensionamiento efectivo en el centro de la luz. (Después de

descontadas todas las pérdidas)

T . E .=107∗( 41+41 ,02+41 ,06+41 ,1+41 ,17+37 ,29+34 ,32)=29636 t

Cálculo del número de torones de 0,5 pulg de diámetro por cable de 10 torones:

No . torones .=10∗(41+41,02+41,06+41 ,1+41 ,17+37 ,29+34 ,32)=2770m /viga

13. Momento último de la sección.

Del grupo de cargas I, método de la resistencia última:

M u=1,3 (MD+1 ,67 M( L+I ))



Sustituyendo los valores numéricos:

MD=683+118=801 t .m

M( l+I )=495 t .m

M u=1,3 (801+1,67×495 )=2116 t .m

El momento resistente para secciones rectangulares viene dado por las siguientes

ecuaciones:

APs=70∗0 ,987=69 ,09cm2

d−

=7∗40+15∗3070

=10 ,43 cm→dP=2 ,20−0 ,1043≈2 ,10m

ρPs=A Ps

bw d P=69 ,09

232∗210=0 ,00142

Para acero de baja relajación debe tomarse:

γP=0 ,28

Igualmente:

β1=0 ,85−f ´ c−28070

∗0 ,05=0 ,85−350−28070

∗0 ,05=0 ,80

f Ps=f Pu[1−(γPβ1

)(ρP f Puf ´c

)]→f Ps=18900[1−( 0 ,28

0 ,80)( 0 ,00142∗18900

350)]=18393kg/cm2

a=A Ps f Ps

0 ,85 f ´c b=69 ,09∗18393

0 ,85∗350∗232=18 ,41cm→

La sección se comporta como rectangular. En consecuencia:



M u=φ(APs f Ps(dP−a2))=0 ,90(69 ,09∗18393(210−18 ,41

2))=229648264 kg .cm=2296 t .m

El momento último resistente Mu= 2296 t.m es mayor que el momento último

actuante 2116 t.m. En consecuencia el diseño es satisfactorio.

14. verificación del acero mínimo.

De acuerdo con el CCDSP-95, la cantidad total de acero de preesforzado y no

preesforzado debe ser la adecuada para desarrollar un momento último en la

sección crítica de por lo menos 1,2 veces el momento e agrietamiento M*cr.Es

decir:

M u≥1,2M∗cr ¿ ¿

M∗cr ¿( f r+ f pe )Sc−M d /nc (Sc/Sb−1 )

M d/nc = Momento por carga muerta sobre la sección simple.

M d /nc=1 ,67∗412

8=351t .m

fr=Módulo de rotura del concreto en kg/cm2. Para concreto de peso normal:

f r=2,0√350=2,0√350=37 kg/cm2



fpe = Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas

efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra

extrema precomprimida.

Para pérdidas en etapa de servicio iguales al 15 % , se tiene el siguiente esfuerzo

en la fibra extrema precomprimida, resultado de sumar los esfuerzos en la sección

simple más los esfuerzos en la sección compuesta.

f pe=0 ,85∗5∗1260 ,695

+4∗0 ,85∗126∗0 ,98∗1 ,050 ,3456

+1∗0 ,85∗126∗0 ,90∗1 ,050 ,3456

+2∗0 ,85∗1261,159

+

2∗0 ,85∗126∗1 ,32∗1 ,470 ,6539

=771+1276+293+185+636=3161t /m2

Sc= Módulo de sección compuesta en la fibra extrema precomprimida.

Sc=0 ,65391 ,47

=0 ,4448m3

Sb= Módulo de sección simple en la fibra extrema precomprimida.

Sb=0 ,3456

1 ,05=0 ,3291m3

Sustituyendo los valores numéricos en M*cr, se obtiene:

M∗cr ¿(370+3161)0 ,3291−351( 0 ,44480 ,3291

−1)=1038 t .m→



2296 t .m>1,2∗1038=1246 t .m

La sección cumple con los requisitos de acero mínimo.

14. revisión de los límites de ductilidad.

De acuerdo con el CCDSP-95, los elementos de concreto preesforzado deben

diseñarse para que el acero y el concreto fluyan en condiciones de capacidad

última. En general el índice de refuerzo en secciones rectangulares debe cumplir

la siguiente relación:

ρP f Psf ´ c

<0 ,36 β1

De acuerdo con los cálculos precedentes:

0 ,00142∗18393350

=0 ,074<0 ,36∗0 ,80=0 ,288

La sección cumple con los requisitos de ductilidad.

15. Longitud de apoyo de la viga.

La longitud mínima de apoyo para puentes (A.3.5.9.3) con categoría de

comportamiento sísmico C es:

N=30 ,5+0 ,25 L+1 ,00H



Donde:

H= Altura promedio, en m, de las columnas o pilas que soportan el tablero hasta la

siguiente junta de expansión. H es cero para puentes de una luz.

L=Para puentes de una luz, L es la longitud del tablero.

N=30 ,5+0 ,25∗41=40 ,75 cm<50cm

El diseño es satisfactorio.

16. avalúo de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo.

De acuerdo con el Código Colombiano de Diseño Sísmico de puentes -1995, las

pérdidas de fuerza de preesfuerzo se calculan de acurdo con la siguiente

ecuación:

Δf s=SH+ES+CRc+CRs

Δf s=s pérdida total excluyendo la fricción,kg/cm2

16.1. Pérdida por retracción de fraguado del concreto SH , kg/cm2.

SH=Pérdidas debidas a la retración de fraguado, kg/cm2

Para miembros postensados:

SH=0 ,80(1190−10 ,5RH )

RH=Media anual de la humedad relativa del ambiente, en porcentaje



Se supone una humedad relativa del 75 % en el sitio de emplazamiento del

puente. En estas condiciones:

SH=0 ,80(1190−10 ,5∗75 )=322kgc2

16.2. Pérdida por acortamiento elástico ES, kg/cm2.

Para miembros postensados:

ES=0,5 E s f cir

Eci

Es= Módulo de elasticidad del acero de postensado. Se puede suponer

2000000 kg/cm2.

Eci = Modulo de elasticidad el concreto en el momento de la transferencia , el cul

se puede calcular así:

Eci=0 ,14(wc )1,5√ f ´ci

Eci=0 ,14(2400 )1,5√280=275438 kg /cm2

f cir=E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a la fuerza de preesfuerzo y a la carga muerta de la viga inmediatamente después de la transferencia .

Distancia del eje centroidal de la sección simple al punto de aplicación de la

resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,05-0,10=0,95 m

Cálculos referidos a la sección simple.

f cir=5∗1260 ,695

+5∗126∗0 ,952

0 ,3456−351∗0 ,95

0 ,3456=1587 t /m2=158 ,7 kg/cm2

Obsérvese que los esfuerzos debidos al preesfuerzo y la carga muerta tienen

signos contrarios.



No se tuvo en cuenta la pérdida por acortamiento elástico

ES=0,5∗2∗106∗158 ,7275438

=576kg /cm2

16.3. Pérdida por flujo plástico del concreto, CRc , en kg/cm2.

CRc=12 f cir−7 f cds

f cds=E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a todas las cargas muertas exceptuando la carga muerta presente en el momento en que se aplica la fuerza de preesfuerzo .

Intervienen en el cálculo de fcds la carga muerta debida al peso de la losa (1,58

t/m) más las cargas sobreimpuestas (0,56 t/m). Cálculos referidos a la sección

compuesta.

Distancia del eje centroidal de la sección compuesta al punto de aplicación de la

resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,47-0,10=1,37m

f cds=(332+118 )1 ,37

0 ,6539=943 t /m2=94 ,3kg /cm2

CRc=12∗158 ,7−7∗94 ,3=1244 kgcm2

16.4. Pérdida debida a la relajación del acero de preesforzado, CRs , en kg/cm2.

Para miembros postensados y torones de baja relajación:

CRs=350−0 ,07FR−0,1 ES−0 ,05 (SH+CRc )

FR=Reducción en el esfuerzo por la pérdida por fricción en kg/cm2, por debajo del

nivel de 0,70 fpu en el punto en consideración. En este ejemplo se supone que FR

es cero.

CRs=350−0,1∗576−0 ,05(322+1244 )=214 kg/cm2



Resumen de pérdidas.

Retracción de fraguado: 322 kg/cm2

Acortamiento elástico: 576 kg/cm2

Flujo plástico del concreto: 1244 kg/cm2

Relajación del acero: 214 kg/cm2

SUMA 2356 kg/cm2.

Pérdida de fuerza de preesfuerzo referida a un cable de 10 torones:

ΔP=10∗0 ,987∗2356=23253kg=23 ,25 t

Fuerza en el centro de la luz en el instante de la transferencia: 126 t.

Fuerza en el centro de la luz una vez han ocurrido las pérdidas que se presentan

durante la vida útil del puente: 126-23,25 =102,75 t

En porcentaje:

ΔP%=23 ,25126

∗100=18 ,45 %

El diseño se considera satisfactorio ya que existe una diferencia de tan sólo el

3,45 % entre el valor supuesto (15 %) de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo y

el valor calculado (18,45%).

17. cálculo de deflexiones

17.1 deflexiones en la sección simple.

17.1.1 Deflexión debida al preesfuerzo

Coeficiente de rigidez EcIc de la sección simple



Módulo de elasticidad del concreto para una resistencia del concreto, en el

instante de la transferencia, igual a 315 kg/cm2.

Ec=12500√315=221852 kg /cm2=2218520 t /m2

Ec I c=2218520∗0 ,3456=766724 t .m2

Constantes que intervienen en el cálculo de la deflexión producida por la fuerza de

preesfuerzo en el centro de la luz de una viga simplemente apoyada.

Deflexión en el centro de la luz debida a una carga uniformemente repartida w:

δw=5wL4

384 Ec I c

Deflexión debida al momento M.



δM=8ML2

Ec Ic ; M=Pe

Ejemplo del cálculo de la deflexión debida al cable 1.

Se toma la fuerza en el centro de la luz, durante la transferencia:

P1=126 t

Efecto de la carga equivalente

w=8 PfL2

=8∗126∗0 ,23412

=0 ,138t /m

La deflexión debida a la fuerza de preesfuerzo en el cable 1 es igual a:

δW 1=5WL4

384 EI=5∗0 ,138∗414

348∗766724=0 ,0073m↑

Efecto de la excentricidad sobre apoyo:

Sobre los apoyos el cable 1 presenta una excentricidad, por debajo del eje

centroidal, igual a: 1,05-0,30 = 0,75 m

L a deflexión debida a la excentricidad sobre apoyo del cable 1 es:

δM 1=ML2

8 EI=126∗0 ,75∗412

8∗766724=0 ,0259m↑

Por consiguiente, la deflexión total debida al cable de preesfuerzo 1 es igual a:

δW 1+δM 1=0 ,0073+0 ,0259=0 ,0332m↑



La tabla siguiente resume las cálculos necesarios para determinar la carga

equivalente w (t/m), uniformemente repartida, que el preesfuerzo produce sobre el

concreto, así como la excentricidad e (m) de los cables de preesfuerzo sobre

apoyo y el momento flector correspondiente que estos producen.

Convención: son positivas las deflexiones hacia arriba.

CABLE P(t) f(m) e(m) W(t/m) M=Pe (t.m)1 126 0.23 0.75 0.138 94.52 126 0.58 0.4 0.348 50.43 126 0.93 0.05 0.558 6.34 126 1.28 -0.3 0.768 -37.85 126 1.55 -0.65 0.929 -81.9

SUMA 2.740 31.5

La deflexión en el centro de la luz, en la sección simple, debida a la fuerza total de

preesfuerzo es igual a:

δP=5∗2 ,74∗414

384∗766724+31 ,5∗412

8∗766724=0 ,14m↑

17.1.2 Deflexión en el centro de la luz, debida al peso propio de la sección simple

(D=1,67 t/m), más el peso de la losa (1,58 t/m), cuando el concreto de esta última

no ha fraguado:

δD=5∗(1,67+1 ,58)∗414

384∗766720=0 ,155m↓

Contraflecha en el centro de la luz:

δ=0 ,155−0 ,14=0 ,015m=1,5cm↓



17.1.3 Deflexión en el centro de la luz debida a la carga viva.

Coeficiente de rigidez para la sección compuesta: ( I= 0,6539 m4)

Ec I c=10∗12500√350∗0 ,6539=1529169t .m2

Deflexión debida a la línea de carga (incluye impacto y factor de rueda)

w=1 ,198∗1 ,94∗0,5∗1 ,44=1,67 t /mP=1 ,198∗1 ,94∗0,5∗12=13 ,94 t

δ( l+I )=5∗1 ,67∗414

384∗1529169+13 ,94∗413

48∗1529169=0 ,053m=5,3cm↓

Valor máximo admisible de deformación por carga viva:

δmax=L

800=4100

800=5,1cm≈5,3cm

La deflexión por carga viva es menor que la máxima deflexión admisible, por

consiguiente el diseño es satisfactorio.

18. Detalles constructivos


diseo de la viga postensada1

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