dinamica de sistemas fisicos

INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ

SIS 3308 “A” - 1 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE

Dinámica de sistemas físicos

EJEMPLOS

Problema B-7-1.

En el sistema de la Fig. 7-91 el interruptor se cierra en t=0. Encuentre el voltaje e0(t). Suponga al

capacitor descargado inicialmente.

EdtiC

iRiR2

21

1 .......................................................... (1)

dtiC

iRte2

20

1 .............................................................. (2)

Usando transformada de Laplace:

s

EsI

sCsIRR

2

21

1 .................................................. (3)

sIsC

sIRsE2

20

1 ........................................................ (4)

Despejando I(s) de (4):

sEsC

sCRsI 0

2

22 1

122

20

sCR

sCsEsI

Sustituyendo I(s) en (3):

s

EsE

sCR

sC

sCRR 0

22

2

2

211

1

s

EsE

sCR

sC

sC

sCRR0

22

2

2

221

1

1



s

EsE

sCR

sCRR0

22

221

1

1

1

1

221

220

sCRR

sCR

s

EsE

Descomposición en fracciones parciales:

1

1

1

1

221

21

221

22

sCRR

CR

sE

sCRR

sCR

s

E

Usando transformada inversa de Laplace:

221

2211

21

1

0 1

1

1

CRRs

CRRLCR

sLEte

221

1

21

10 1

11

CRRs

LRR

REte

tCRR

eRR

REte 221

1

21

10 1

Problema B-7-2.

En relación con la Fig. 7-92 la fuente de voltaje E se conecta súbitamente por medio del interruptor S

en el instante t = 0. Suponga al capacitor C descargado inicialmente y que la inductancia L no lleva

corriente inicial. ¿Cuál es la corriente i (t)?

EdtiC

Ridt

diL

1

s

EsI

CssRIsLsI )(

1)()(



s

EsI

CssRCsIsILCs )(

1)()(2

s

EsI

CsRCsLCs )(

12

tLC

CR

CR

LC

L

Eti

LC

CR

LC

CRL

Eti

LC

CRs

LC

CR

L

LC

CRL

E

LC

CRs

LC

CR

L

Rs

LL

E

LC

CR

L

Rs

LCL

Rss

LCL

Rss

LEsI

RCsLCs

CEsI

CEsIRCsLCs

L

Rs

*4

*2

1cos

4*

2

4

2

1cos*

4

4

1*

4

4

4

4

4

4

1*

4

4

1

4

4

2

1

4

4

2

1

1

/

1

)(1

2

2

2

2

22

2

1

2

2

22

22

1

22

2

2

2

2

tLC

CR

CR

LC

L

E

LC

CR

LC

CRL

Eti

LC

CRs

LC

CR

L

LC

CRL

E

LC

CRs

LC

CR

L

Rs

LL

E

LC

CR

L

Rs

LCL

Rss

LCL

Rss

LEsI

RCsLCs

CEsI

CEsIRCsLCs

L

Rs

*4

*2

1cos

4

24

2

1cos

4

4

1

4

4

4

4

*

4

4

1*

4

4

1

4

4

2

1

4

4

2

1

1

/

1

)(1

2

2

2

2

22

2

1

2

2

22

22

1

22

2

2

2

2

Problema B-7-3.

La masa m (m = 1 kg) esta vibrando inicialmente en el sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-93. En

t=0 golpeamos la masa con una fuerza impulsiva p(t) cuya magnitud es de 10 N. Suponiendo que la

constante del resorte k es de 100 N/m y que x(0-) = 0.1 m y x´(0-) = 1 m/s, x(t) se mide desde

la posición de equilibrio en ausencia de la fuerza de excitación.



tpkxxm

Sustituyendo valores:

txx 10100

10100002 sXxsxsXs

1010011.02 sXssXs

1101.01002 sssX

111.01002 sssX

100

11

100

1.022 ss

ssX

100

111

1001.0

22 sL

s

sLtx

100

10

10

11

1001.0

22 sL

s

sLtx

tttx 10sin10

1110cos

10

1

Problema B-7-4.

Una vibración libre del sistema mecánico de la Fig 7-94(a) indica que la amplitud de la vibración

decrece a 25% de su valor en t=t0 después de cuatro ciclos consecutivos de movimiento, como se

muestra en la Fig 7-94(b). Determine el coeficiente de fricción viscosa b del sistema si m = 1 kg y k

=500 N/m.

mx”+ kx + bx’=0

S2+bS+500=0

S(S+b)=-500

b=-(500/S)-S

b=-[(500/S)+S



Problema B-7-5.

Una masa de 20 k esta soportada por un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-

95(a). Cuando se agrega una masa de 2 kg a los 10 kg masa, el sistema vibra como se encuentra en

la Fig. 7-95(b). Determine la constante del resorte k y el coeficiente de fricción viscosa b. [Note que

(0.02/0.08) x 100 = 25% de la diferencia máxima que corresponde a ς = 0.4]

'' ' ( )

20 2

( ) 2*9.8 19.6

( )'' '

mx x kx f x

m

f x

k f xx x x

m m m

La solución particular es:

2

'' ' 0.89

( )

'( ) 0

19.60.89

22

19.60.08 245

3.337

2 2(0.4)(3.337)22

58.73

p

p

n n

n

kx x x

m m

x t A

x t

kA A

K

kk

k

m

m

2 0.89( )*( 2.67 11.13)X s s s

s



2

2 2

1.335 1.335

0.89( )

*( 2.67 11.13)

0.08 0.08* 0.2143( )

2.67 11.13 2.67 11.13

( ) 0.08 0.08*cos(3.05 )* 0.070* (3.05 )*t t

X ss s s

sX s

s s s s s

x t t e sen t e

Problema B-7-6.

Considere el sistema mecánico mostrado en la figura siguiente. El péndulo m2 está soportado por la

masa m1, la cual vibra a causa de una conexión elástica. Obtenga las ecuaciones de movimiento del

sistema.

Solución:

fk= kx

fm1=mx”

fm2=lθ”+ g sen θ

kx + mx”+ lθ”+ g senθ + kx =O

mx”+ lθ”+ g sen θ + 2 kx =O

Problema B-7-7.

El sistema de la siguiente figura está inicialmente en reposo. En t=0 una masa m se pone en

movimiento por una fuerza impulsiva cuya magnitud es la unidad. ¿Puede la masa detenerse por otra

fuerza impulsiva semejante?

fk= kx

fm1=mx”



δ(t)=1

mx” + kx = δ(t)

x”+(k/m)x=1/m

£{x”}+(k/m)£{x}=1/m

s2X(s)+(K/M)X(s)= 1/M

X(s) [s2+(K/M)]=1/M

M

Ks

MsX2

1

)(

)180(

detenga se sistema el que hace 180 desplazada pero amplitud misma lacon fuerza una Si

impulso elpor porvocada permanente fuerza la atenue queor amortiguad

existe no pues detenga los fuerza una que hasta vibrasistema El 1

)(

1

1)(

1)( 1)()(

)(''

2

donde

2

22

tksen

tksenk

tx

ks

k

kkk

kssx

kssxsxksxs

txkxm

ktsenk

tx1

)(

El sistema lleva un movimiento vibratorio hasta que una fuerza externa actúa en el sistema para

detenerlo, puesto que la fuerza del amortiguador no existe.

Problema B-7-8.

La siguiente figura muestra un sistema que consiste en una masa y un amortiguador. El sistema está

inicialmente en reposo. Cuando se pone en movimiento mediante una fuerza impulsiva cuya magnitud

es la unidad, encuentre la respuesta x(t). Determine la velocidad inicial de la masa m

fb=bx’

fm=mx”

δ(t)=1

mx”+ bx’= δ(t)

x”+(b/m)x’=1/m

£{x”}+(b/m)£{x’}=1/m

Problema B-7-9.

Encuentre las funciones de transferencia X0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los sistemas mecánicos y el

eléctrico mostrados en la figura siguiente respectivamente.

a) b)



oooioi xkxbxxkxxb 2211

sXksXsbsXksXksXsbsXsb oooioi 221111

221111 ksbksbsXksbsX oi

2211

11

ksbksb

ksb

sX

sX

i

o

2121

11

kksbb

ksb

sX

sX

i

o

Sistema eléctrico análogo

sIsC

RsC

REi

1

1

2

2

11

sIsC

REo

1

1

1

111 11

1

1

11

1

1

sCR

sCE

sC

sCR

E

sCR

EsI o

oo

sCR

sCR

sCR

sCEE oi

1

1

2

2

11

1 11

1

sCC

CsCCRCsCCR

sCR

sCEE oi

21

22111212

11

1

1

oooioi xkxbxkxkxbxb 221111



211

22111212

1 CsCR

CsCCRCsCCREE oi

212121

2211

CCsRRCC

CsCCR

E

E

i

o

Problema B-7-10.

Obtenga las funciones de transferencia X0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los siguientes sistemas y muestre

que son análogos

a) b)

b1 (x’i – x’o) + k1 (xi – xo) = b2 x’o

b1 x’i – b1 x’o + k1xi – k1xo = b2 x’o

sb1 Xi(s) – sB1 Xo(s) + k1Xi (s) – k1Xo(s) = sB2 Xo(s)

sb1 Xi(s) + K1Xi (s) = sb1 Xo(s) + k1Xo(s) + sB2 Xo(s)

Xi(s) [sb1 + k1] = Xo(s) [sb1 + k1 + sb2]

121

11

)(

)(

ksbb

ksb

sX

sX

i

o

Circuito eléctrico análogo:

sEsI

sCR

sCR

R i)(1

1

1

1

1

1

2

)()(1

1

1

1

1

1

sEsI

sCR

sCR

o



)()(1

1

11

1

1

sEsI

sC

sCR

sC

R

o

1

)()(

1

11

1

1

11

1

1

sCR

R

sEsI

sC

sCR

sC

R

o

1

11 1)()(

R

sCRsEsI o

)()(1

1 1

11

11

12 sEsE

R

sCR

sCR

RR io

)()(1

1

)1(

1

11

11

1112 sEsER

sCR

sCR

RsCRRio

)()()1(

1

1112 sEsER

RsCRRio

21121

1

)(

)(

RRsCRR

R

sE

sE

i

o

Problema B-7-11.

Después de encontrar la función de transferencia Xo(s)/X1(s) del sistema mecánico mostrado en la

Fig. 7-101, obtenga un sistema eléctrico análogo



oooioi xkxbxxkxxb 2211

sXkssXbsXksXkssXbssXb oooioi 221111

sXkssXbsXkssXbsXkssXb ooooii 112211

212111 kksbbsXksbsX oi

2121

11

kksbb

ksb

sX

sX

i

o

Sistema eléctrico análogo

sIsC

RsC

RsEi

2

2

1

1

11

sIsC

REo

2

2

1

111 22

2

2

22

2

2

sCR

sCE

sC

sCR

E

sCR

EsI o

oo

sCR

sCR

sCR

sCEE oi

2

2

1

1

22

2 11

1

sCC

CsCCRCsCCR

sCR

sCEE oi

21

12122211

22

2

1

122

12122211

1 CsCR

CsCCRCsCCREE oi

212121

1212

CCsRRCC

CsCCR

E

E

i

o

Problema B-7-12.

Encuentre la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema eléctrico mostrado en la Fig 7-102.

Además, encuentre un sistema mecánico análogo



Problema B-7-13.

Obtenga tanto la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-103,

como también un sistema eléctrico análogo.

oooi xkxbxxb 221

oooi XksXbsXbsXb 2211

iooo sXbsXbXksXb 1122

io sXbksbsbX 1221

221

1

ksbb

sb

X

X

i

o

Sistema eléctrico análogo:



sIRsC

REi 1

2

2

1

sIREo 1

1R

EsI o

1

1

2

2

1

R

ER

sCRE o

i

sCR

sCRsCREE oi

21

2122 1

sCRsCR

sCR

E

E

i

o

2122

21

1

1221

21

sCRR

sCR

E

E

i

o

Problema B-7-14.

En el sistema térmico mostrado en la Fig 7-104(a) se supone que el tanque esta aislado para evitar

perdidas de calor hacia el aire del medio ambiente, que no hay almacenamiento de calor en el

aislamiento y que el liquido en el tanque esta perfectamente mezclado de modo que se le done a una

temperatura uniforme. Así que puede usarse una sola temperatura para denotar la temperatura del

líquido en el tanque y la del liquido que sale. Posteriormente se supone que la rabón del flujo de

liquido hacia el tanque y saliendo del tanque es constante e igual a o iK. Para t<0 el sistema se

encuentra en estado permanente y el calentador suministra calor a razón de H J/s. En t=0 la razón de

entrada de calor se cambia de H a H +h J/s. Este cambio causa que la temperatura del liquido que

sale cambie de Oo aOo + teta k. Suponga que el cambio en temperatura teta k es la salida y que el

cambio en la entrada de calor h J/s, es la entrada al sistema . Determine la función de transferencia

térmico es análogo al sistema eléctrico mostrado en la figura 7-104b, donde el voltaje e0 es la salida y

la corriente i es la entrada.



Problema B-7-15.

Una piedra con masa de 0.1 kg esta unida al extremo de una cuerda de 1m y gira a una velocidad

angular de 1 Hz. Encuentre la tensión en la cuerda. Si la máxima tensión que la cuerda permite es de

40N, ¿Cuál es la velocidad angular máxima en hz que puede obtenerse sin romper la cuerda?

1 2 mHzs



2

22

*

(0.1)*(2 )4 3.947

1

40

* 40*120 /

0.1

203.1831

2

m vT

r

T N

T

T rv m s

m

v Hz

Problema B-7-16.

En el regulador de velocidad de la fig. 7-105, ¿Cuál es la frecuencia w necesaria para mantener la

configuración mostrada en el diagrama?

Problema B-7-17.

El sistema masa resorte mostrado en la Fig. 7-106 esta inicialmente en reposo. Si se excita la masa

mediante una fuerza senoidal p(t) =P sen wt, ¿Cuál es la respuesta x(t)? suponga que m= 1

kg, K =100 N/m, P =5N, y w = 2 rad/s

tpkxxm



Sustituyendo valores:

txx 2sin5100

4

25100

2

2

ssXsXs

4

10100

2

2

ssXs

1004

1022 ss

sX

100

485

4

485

1004

102222 ssss

100

1

48

5

4

1

48

52

1

2

1

sL

sLtx

100

10

10

1

48

5

4

2

2

1

48

52

1

2

1

sL

sLtx

tttx 10sin96

12sin

96

5

Problema B-7-18.

Una máquina rotatoria de masa Ma=.0 kg a una distancia r = 0.5m del centro de rotación. (La masa M

incluye a la masa m)). La velocidad de operación es de 10hz. Suponga que la maquina esta montada

sobre un aislador que consta de de un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-107.

Si se desea tener a símbolo raro =0.2, especifique la constante del resorte k tal que solamente 10%

de la fuerza de excitación se transmita a la cimentación. Determine la amplitud de la fuerza

transmitida.



Problema B-7-19.

En la Fig 7-108 un instrumento esta sujeto a una base cuyo movimiento se va a medir. El movimiento

relativo entre la masa m y la base, registrado en un tamborrotatotio indicara el movimiento de la base

z=x y es el movimiento de la pluma relavio a la base. Si el movimiento de la base es y =Y sea wt

¿Cuál relación de amplitudes de z con respecto a y en estado estable? Muestre que si w >>wn, este

puede usarse para medir la aceleración de la base.



Problema B-7-20.

La figura 7-109 muestra una maquina m montada sobre un aislador en el cual el resorte k1 es el

resorte que soporta a la cara y el amortiguador viscoso b2 esta en serie con el resorte k2. Determine

la transmisibilidad de la fuerza cuando la masa m este sometida a una fuerza de excitación p(t)=P sen

wt. Determine también la amplitud de la fuerza transmitida a la cimentación.



Problema B-7-21.

Una máquina m esta montada sobre un aislador en la Fig. 7-110. Si la cimentación está vibrando de

acuerdo con y = Y sen ωt, donde y es el desplazamiento de la cimentación, encuentre la amplitud de

vibración de la maquina. Determine la transmisibilidad del movimiento.

0yxkkyxbxm

ykykybxkxkxbxm

kkbssYkkbsmssX 2



kkbsms

kkbs

sY

sX2

22

22

ωmkkωb

kkωb

ωjY

ωjXTR

kkq

2

nm

q

nζωm

b2

22222

222

2 ωmωmqqωb

qωbTR

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2ωm

m

ωq

m

q

m

ωb

m

q

m

ωb

TR

22422

422

22

2

ωmωωωωζω

ωωζωT

nnn

nn

R

si

n

2

2

2

22

22

414

14

nn

R

ω

βm

ω

ωζββζ

βζT

Problema B-7-22.

La figura 7-111 muestra una máquina con un absorbedor de vibración dinámica. La frecuencia natural

no amortiguada del sistema en ausencia del absorbedor de vibración dinámica es mkω n .

Suponga que la frecuencia de operación está próxima a nω . Si el absorbedor de vibración

dinámica se sintoniza de modo que ωmk aa

, ¿Cuál es la amplitud de la masa am del

absorbedor de vibración?



0

sin)(

xykym

tωPtpyxkkxxbxm

aa

a

02

2

sXksYksm

sPsYksXkkbsms

aaa

aa

sPsXksm

kkkbsms

aa

a

a 2

2

2

222

2

)(

)(

aaaa

aa

kksmkkbsms

ksm

sP

sX

222

2

)(

)(

aaaa

aa

kkωmkkωm

kωm

ωjP

ωjX

Fuerza transmitida a la cimentación:

kxxbkxtf )(

La amplitud de esa fuerza transmitida es ωjXk , donde ωjX está dada, rωmPωjP 2

ωjPkωmkωmkk

ωmkωjX

aaaa

aa

222

2



Si am y ak están dadas de modo que 02ωmk aa o 2/ ωmk aa , entonces 0ωjX y la

fuerza transmitida a la cimentación es cero. De modo que si la frecuencia natural ωmk aa

, es

posible eliminar la fuerza transmitida a la cimentación.

222

aaaa

a

kkωmkkωm

k

ωjP

ωjY

Si am y ak se escogen de modo 2ωmk aa

tωsenk

Ptωsen

k

P

ktωsenP

kωjP

ωjY

aaaa

18011

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