2. DETERMINANTES2.1 DEFINICION DE DETERMINANTE

Definici ón { f : M n→RA→ (a ij)=det (A )=|A|

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A| (las barras no significan valor absoluto).

Determinante de orden uno

¿a11∨¿a11

Determinante de orden dos

Dada A=(a11 a12

a21 a22), se define como el determinante de A como:

det (A )=|a11 a12

a21 a22|=a11a22−a21 a12

Determinante de orden tres

Dada A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

2.2.MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES

REGLA DE SARRUS

Este método solo se utiliza para calculas determinantes de orden 3x3, donde lo que se realiza es aumentar filas hacia abajo o columnas a la derecha de la respectiva matriz inicial.

det ( A )=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32|

¿a11 a22a33+a12a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33

MÉTODO POR DEFINICIÓN

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto .

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto .

MENORES Y COFACTORES

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij, que se indica con Mij

se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésimo fila y la j-ésima columna de A.

Veamos un ejemplo para poder entenderlo mejor. Sea A la matriz:

A=(3 1 −42 5 61 4 8 )

Para hallar el menor del elemento a11 debemos quitar la fila 1 y la columna 1, entonces tenemos un el determinante de orden 2x2 que multiplicara al elemento a11 y asi realizamos este mismo proceso con toda la fila o columna que tenga los menores términos o tenga ceros en su mejor caso.

Debemos tener en cuenta los signos para cada menor que escogemos así si sumamos i+j y obtenemos un numero par es positivo e impar lo contrario.

Del ejemplo anterior vamos a reducir la columna 1 ya que tiene los menores términos y llegaremos a obtener la siguiente expresión:

det (A )=|3 1 −42 5 61 4 8 |=3|5 6

4 8|−2|1 −44 8 |+|1 −4

5 6 |=3 (16 )−2 (24 )+ (26 )=282

CHIO

Consiste en fijar en una fila o una columna un elemento llamado pivote (por comodidad suele ser un elemento que vale 1) y hacer 0, utilizando las propiedades, todos los elementos de dicha fila o columna. Posteriormente se desarrolla dicho determinante por los elementos de esa fila o columna.

El determinante de orden n se reduce a calcular un determinante de orden n-1.

2.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. |A t|= |A|

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de

las otras.

3. Un determinante triangular es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal.

det (A )=a11 , a22 ,…….ann

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas

paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos

de otra paralela multiplicados previamente por un nº real

el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real,

queda multiplicado por dicho número cualquier línea,

pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están

formados por dos sumandos, dicho determinante se

descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

2.4 OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA O COLUMNA EN UN DETERMINANTE

1.Multiplicar una fila o una columna por un escalar no nulo el determinante queda multiplicado por dicho escalar.

Notación: Si Fi←αFi ,donde α∈R−{0 }SiCi←αCi,donde α∈R−{0 }∴det (A )=α∗det (A)

2. Intercambiar de posición dos filas o columnas el determinante queda multiplicado por -1.

Notación: Fi↔Fj ,donde i . j∈N /i ≠ j Ci↔Cj ,donde i . j∈N /i ≠ j∴det (A )=−1∗det (A)

3.Sumar a una fila o columna y un múltiplo de otra el valor del determinante no cambia.

Notación:Fi←Fi−αFj,donde α∈R−{0 } y donde i . j∈N /i ≠ j

Ci←Ci−αCj,donde α∈R−{0 } y donde i . j∈N / i ≠ j

∴Se recomienda solo utilizar esta operacion paracalcular undeterminante

transformandolo entriangular para encontrar suvalor ,al multiplicar

los elementosde la diagonal principal .

Ejercicio:

Para que valores de λ el determinante es diferente de cero.

1.Usando el método de Sarrus

A=|λ 1 11 λ 11 1 λ|=(λ3−3 λ+2 )=( λ−1 )2 ( λ+2 )

∴ λ∈ R− {−2,1 }

2.Usando la propiedad tres de los determinantes

Ejemplo 1:

|1 1 1x y zx2 y2 z2| ¿

c2←c2−c1

c3←c3−c1|1 0 0x y−x z−xx2 y2−x2 z2−x2|=¿

¿ ( z−x ) ( y−x )|1 0 0x 1 1x2 y+ x z+x| ¿

c3←c3−c2

=( z−x ) ( y−x )|1 0 0x 1 0x2 y+ x z+x−x− y|= (z−x ) ( y−x ) ( z− y )

Ejemplo 2:

|λ 1 11 λ 11 1 λ| ¿

c1 ←c1−c3|λ−1 1 10 λ 1

1−λ 1 λ| ¿f 3 ←f 3+ f 1

¿|λ−1 1 10 λ 10 2 λ+1| ¿

c2←c2−c3|λ−1 0 10 λ−1 10 1−λ λ+1| ¿

f 3 ←f 3+ f 2

|λ−1 0 10 λ−1 10 0 λ+2|=( λ−1 ) ( λ−1 ) ( λ+2 )

2.5 DETERMINANTE DE VANDERMONDE

Un determinante de Vandermonde es un determinante que presenta una progresión geométrica en cada fila o en cada columna, siendo el primer elemento 1.

Ejemplo 1:

¿|1aa2

a3

1bb2

b3

1cc2

c3

1dd2

d3|¿

f 2←f 2−a¿ f 1

f 3←f 3−a¿ f 2

f 4←f 4−a¿ f 3|1000

1b−a

b2−abb3−ab2

1c−ac2−acc3−ac2

1d−a

d2−add3−ad2|

¿| b−a c−a d−ab(b−a) c (c−a) d (d−a)b2(b−a) c2(c−a) d2(d−a)|

¿ (b−a ) (c−a ) (d−a )|1 1 1b d db2 c2 d2| ¿

f 2←f 2−b¿ f 1

f 3←f 3−b¿ f 2

¿ (b−a ) (c−a ) (d−a )|1 1 10 c−b d−b0 c (c−b ) d (d−b )|

¿ (b−a ) (c−a ) (d−a ) ( c−b ) ¿

Ejemplo 2:

| 1 1 1 ¿||a b c ¿|¿¿

¿¿

=(b−a )(c−a )(c−b )

2.6 CALCULO DE LA INVERSA POR DETERMINANTESsea :A−1= 1

|A|( A¿ )t ,|A|≠0

donde : A−1: Matriz inversa|A|: determinante de lamatriz A

A¿ : matriz adjunta de A( A¿ )t :matriz transpuesta de laadjunta

Ejemplo:

Sea:

A=(2 0 13 0 05 1 1)

1 Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

A=|2 0 13 0 05 1 1|=3

2 Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto .

A¿=( |0 01 1| −|3 0

5 1| |3 05 1|

−|0 11 1| |2 1

5 1| −|2 05 1|

|0 10 0| −|2 1

3 0| |2 03 0| )=(0 −3 3

1 −3 −20 3 0 )

3.Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta .

( A¿ )t=( 0 1 0−3 −3 33 −2 0)

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

A−1=13 ( 0 1 0

−3 −3 33 −2 0)

Ejemplo:

Calcular la inversa de A

Sea A=(λ 1 11 λ 11 1 λ)

Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

det ( A )= ( λ+2 ) ( λ−1 ) ( λ−1 )∴∃det ( A ) , ∀ λ∈R−{−2 ,1 }

Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto

A¿=( |λ 11 λ| −|1 1

1 λ| |1 λ1 1|

−|1 11 λ| |λ 1

1 λ| −|λ 11 1|

|1 1λ 1| −|λ 1

1 1| |λ 11 1| )=(λ

2−1 1−λ 1−λ1−λ λ2−1 1−λ1−λ 1−λ λ2−1)

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta

( A¿ )t=(λ2−1 1−λ 1−λ

1−λ λ2−1 1−λ1−λ 1−λ λ2−1)

La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

A−1=1

( λ+2 ) ( λ−1 ) ( λ−1 ) ( λ2−1 1− λ 1−λ

1− λ λ2−1 1−λ1− λ 1− λ λ2−1)