1

Es una función que aplicada a

una matriz cuadrada la transforma en un escalar.

Es una forma multilineal alterna de un conjunto de vectores o de una matriz

2

Determinantes

I. Si en un determinante intercambiamos filas por columnas, su valor no varia.

EJEMPLO 1

4 1 3 2 2 5 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 1 3 2Intercambiamos filas por columnas.Que a efectos prácticos significa hallar el valor del determinando de la matriz transpuesta. 4 2 1 1 2 3 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 3 5 2Vemos que es el mismo.

3

EJEMPLO 2

0 1 32 0 5 = 0 + 5 – 6 – 0 + 4 – 0 = – 1 + 4 = 3 1 -1 -2

Intercambiamos filas por columnas.Que a efectos prácticos significa hallar el valor del determinando de la matriz transpuesta.

0 2 11 0 -1 = 0 – 6 + 5 – 0 – 0 + 4 = – 1 + 4 = 3 3 5 -2

Vemos que es el mismo.

4

II. Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, su valor es nulo.

EJEMPLO 1

4 1 3 2 2 5 = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 – 0 = 0

0 0 0

EJEMPLO 2

4 0 1 1 0 3 = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 – 0 = 0 3 0 2Vemos que siempre es cero al aplicar la Regla de Sarrus.

5

III. Si en un determinante se permutan dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo

EJEMPLO 1

4 1 32 2 5 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 1 3 2

Permutamos dos filas: F1 con F2.

2 2 5 4 1 3 = 4 + 6 + 60 – 5 – 16 – 18 = 70 – 39 = + 31 1 3 2Vemos que su valor a cambiado de signo.

6

EJEMPLO 2

1 1 02 -2 1 = 0 + (-1) + 0 – 0 – 3 – 0 = – 1 – 3 = – 4 -1 3 0

Permutamos dos columnas: C1 con C3.

0 1 11 -2 2 = 0 + 0 + 3 – 0 – 0 – (-1) = 3 + 1 = + 4 0 3 -1

Vemos que su valor a cambiado de signo.

Nota: Si permutamos dos veces filas o columnas, el valor del determinante no varía.10 12-2 1 2 = (– 1) + 0 + 0 – 3 – 0 – 0 = – 1 – 3 = – 4 3 0 -1

7

IV. Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero.

EJEMPLO 1Veamos con un determinante que tiene dos filas iguales:

4 -1 32 2 5 = 24 + (-20) + (-6) – 24 – (-20) – (-6) = – 2 – (-2)

= 0 4 -1 3

EJEMPLO 2Veamos con un determinante que tiene dos columnas proporcionales:

4 3 22 2 1 = 16 + 12 + 0 – 16 – 0 – 12 = 28 – 28 = 0 4 0 2

8

V. Si todos los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

EJEMPLO 1

4 1 32 2 5 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 1 3 2

Multiplicamos por 3 los elementos de la segunda fila

4 1 36 6 15 = 48 + 15 + 54 – 18 – 180 – 12 = 117 – 210 = –

93 1 3 2

Vemos que su valor es el triple que antes.

9

EJEMPLO 21 1 02 -2 1 = 0 + (-1) + 0 – 0 – 3 – 0 = – 1 – 3 = – 4 -1 3 0

Multiplico por (-5) los elementos de la primera columna.

-5 1 0-10 -2 1 = 0 + 0 + 5 – 0 – 0 – (-15) = 5 + 15 = + 20 5 3 0

Vemos que su valor queda multiplicado por (- 5).

Nota: Si multiplicamos sucesivamente las filas o columnas por constantes, el valor del determinante queda multiplicado sucesivamente por dichas constantes:Nota: Si multiplicamos las tres filas o columna por un número, k, el valor del determinante queda multiplicado por k3, no por k.

10

VI. Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes.

EJEMPLO 1Desdoblamos la primera columna:

7 1 3 4 1 3 3 1 3 13 2 5 = 8 2 5 + 5 2 5 11 3 2 6 3 2 5 3 2

Por Sarrus:28+55+117-66-105-26 = 200 – 197 = 316+30+72-36-60-16 = 118 – 112 = 612+45+25-30-45-10 = 82 – 85 = – 3Efectivamente 3 = 6 + (– 3) ; 3 = 6 – 3 ; 3 = 3

11

EJEMPLO 2Desdoblamos la segunda fila:

7 1 3 7 1 3 7 1 3 13 2 5 = 8 5 0 + 5 -3 5 11 3 2 11 3 2 11 3 2

Por Sarrus:28+55+117-66-105-26 = 200 – 197 = 370+72+0-165-0-16 = 142 – 181 = – 39 (-42)+55+45-(-99)-105-10 = 58 – 16 = 42Efectivamente 3 = – 39 + 42 ; 3 = 3

12

VII. Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía.

EJEMPLO 1A la primera fila la sumamos el doble de la segunda fila:

2 1 3 2+2x1 1 3 4 1 3 3 2 5 = 3+2x2 2 5 = 7 2 5 1 3 2 1+2x3 3 2 7 3 2

Por Sarrus:8+5+27-6-30-6 = 40 – 42 = – 2 16+35+63-42-60-14 = 114 – 116 = – 2 Efectivamente los resultados son iguales.

13

EJEMPLO 2Demostrar, sin desarrollar, que el valor de los siguientes determinantes es el mismo:

2 1 3 2 1 213 3 2 5 = 3 2 325 1 3 2 1 3 132

Aplicando la propiedad correspondiente:A la tercera columna la sumo 10 veces la segunda y 100 veces la primera.

2 1 3 2 1 3+10x1+100x2 3 2 5 = 3 2 5+10x2+100x3 1 3 2 1 3 2+10x3+100x1

14

15