Universidad Nacional del Altiplano-Puno

Trabajo encargado de matemtica superior

Presentado por: Lister Catari Mamani

Cdigo: 141259

Grupo A

AO: 2014

Determinantes

A cada matriz cuadradaAse le asigna un escalar particular denominadodeterminante deA, denotado por|A|o pordet (A).|A|=Determinante de orden uno|a11| = a11Ejemplo|5| = 5Determinante de orden dos= a11a22 a12a21Ejemplo

Determinante de orden tresConsideremos una matriz3x3arbitrariaA = (aij). El determinante deAse define como sigue:== a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.

Obsrvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).Ejemplo=3 2 4 + 2 (5) (2) + 1 0 1 1 2 (2) 2 0 4 3 (5) 1 == 24 + 20 + 0 (4) 0 (15) == 44 + 4 + 15 =63Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemtico francs que estableci una regla para calcular determinantes de orden 3.Los trminos con signo + estn formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice opuesto.

Los trminos con signo estn formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice opuesto.

Ejemplo

Menor complementarioSe llamamenor complementariode un elementoaijal valor del determinante de ordenn 1que se obtiene al suprimir en la matriz la filaiy la columnaj.AdjuntoSe llama adjunto del elementoaija su menor complementario anteponiendo:El signo es+ sii + jes par.El signo es sii + jes impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes:

Ejemplo= 3(8+5) 2(010) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 =63Observemos que este mtodo es especialmente til si lo usamos apoyandonos en una fila (o columna) que tenga uno o ms ceros, siendo ms sencillo cuantos ms ceros tenga.En nuestro ejemplo, facilitara los clculos hallar el determinante apoyndonos en la primera columna:

Determinante de orden uno|a11|=a11Ejemplo|2|=2Determinante de orden dos= a11a22 a12a21Ejemplo

Determinante de orden tresSe aplica laregla de Sarrus:

Ejemplo

Clculo de un determinante de cualquier ordenConsiste en conseguir que una de las lneas del determinante est formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdr 1 1.Seguiremoslos siguientes pasos:1Si algn elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos lneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor nmero posible de elementos nulos).

2En caso negativo seguiremos alguno de los siguientes pasos:1.Nos fijamos en una lnea que contenga el mayor nmero posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa lnea sea un 1 un 1 (operando con alguna lnea paralela).

2. Dividiendo la lnea fila (o la columna) por uno de sus elementos, por lo cual deberamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir, sacamos factor comn en una fila (o una columna) de uno de sus elementos.

3Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4Tomamos eladjuntodel elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.=2(58)= 116

1|At|= |A|El determinante de una matriz A y el de su traspuesta Atson iguales.

2|A| = 0Si:Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinacin lineal de las otras.

F3= F1+ F2

3Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

4Si en un determinante se cambian entre s dos filas (o dos columnas), su valor slo cambia de signo.

5Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un nmero real, el valor del determinante no vara.Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinacin lineal de las dems, el valor del determinante no vara.

6Si se multiplica un determinante por un nmero real, queda multiplicado por dicho nmero cualquier fila (o cualquier columna), pero slo una.

7Si todos los elementos de una fila (o columna) estn formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las dems filas (o columnas) permanecen invariantes.

8|A B| =|A| |B|El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Clculo de la matriz inversa

1Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendr inversa.

2Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por suadjunto.

3Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Rango de una matrizEl rango de una matriz Es el nmero de filas (o columnas) linealmente independientes. Utilizando esta definicin se puede calcular usando elmtodo de Gauss.Tambin podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definicin se puede calcular el rango usando determinantes.Clculo del rango de una matriz por determinantes

1Podemos descartar una fila (o columna) si:Todos sus coeficientes son ceros.Hay dos filas (o columnas) iguales.Una fila (o columna) es proporcional a otra.Una fila (o columna) es combinacin lineal de otras.Suprimimos la tercera columna porque es combinacin lineal de las dos primeras: c3= c1+ c2.

2Comprobamos si tiene rango mayor o igual que 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no ser nulo.|2|=203Tendrrango mayor o igual que 2si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4Tendr rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos tienerango menor que 3, por tantor(B) = 2.En general, los pasos a seguir para el clculo del rango por determinates son:El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.1Descartamos las filas (o columnas) que cumplan las condiciones vistas anteriormente.2Si al menos un elemento de la matriz no es cero su determinante no ser nulo y, por tanto, el rango sermayor o igual a 1.3El rango sermayor o igual a 2si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.4El rango sermayor o igual a 3si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.5El rango sermayor o igual a 4si existe alguna submatriz cuadrada de orden 4, tal que su determinante no sea nulo.De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4, hasta que la submatriz (o las submatrices) del mayor orden posible tenga (o tengan) determinante nulo.EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.-Calcula el valor del determinante:

2Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:3Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

4Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:5Calcular los determinantes de Vandermonde:6Calcular el valor de los siguientes determinantes:7Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:8Si el valor del determinante. Calcular el valor de:9Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.10Demostrar que los siguientes determinantes son mltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos11Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es mltiplo de 15:

12Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

13Demustrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:1214Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.1215Hallar la matriz inversa de:

16Para qu valores de x la matrizno admite matriz inversa?

17Para qu valores de x la matrizno admite matriz inversa?18Calcular el rango de las siguientes matrices:12319Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:1A X = B2X A + B = C

20Resolver las ecuacin matricial:A X + 2 B = 3 C

Solucionario:1.-Calcula el valor del determinante:

Aplicamos la regla de Sarrus2[0 (6) (3) + 3 (9) . 20 + 1 (76) (1) 1 (6) 20 3 (76) (3) 0 (1) (9)] = 376

2.-Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

3.-Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

4.-Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

5.-Calcular los determinantes de Vandermonde:

6.-Calcular el valor de los siguientes determinantes:

7.-Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

Tiene dos lneas proporcionales.

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

8.-Si el valor del determinante.Calcular el valor de:

9.-Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

10.-Demostrar que los siguientes determinantes son mltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

11.-Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es mltiplo de 15:

12.-Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

Como es mltiplo de 21, se tiene que es divisible por 21.13.-Demustrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:1

2

14.-Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.1

2

15.- Hallar la matriz inversa de:

16.- Para qu valores de x la matrizno admite matriz inversa?

Parax = 0la matriz A no tiene inversa.17.- Para qu valores de m la matrizno admite matriz inversa?

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A1

18.- Calcular el rango de las siguientes matrices:1|2|=2 0

r(A) = 22

r(B) = 43Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinacin lineal de la primera y segunda: c5= 2 c1+ c2

r(C) = 2

19.- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

|A|=1 0, existe la matriz inversa A1.A1(A X) = A1 B( A1 A) X = A1 BI X = A1 BX = A1 B

|A| = 1 0(X A + B) B = C BX A + (B B) = C B3X A + 0 = C BX A = C BX A A1= ( C B) A1X (A A1) = ( C B) A1X I = ( C B) A1X = ( C B) A1

20.- Resolver la ecuacin matricial:A X + 2 B = 3 C

|A| = 1 0(A X +2 B) 2 B = 3 C 2BA X + ( 2 B 2 B) = 3 C 2BA X + 0= 3 C 2BA X = 3 C 2B( A1 A) X = A1 (3 C 2B)I X = A1 (3 C 2B)X = A1 (3 C 2B)