trabajo de algebra determinantes 1

7/23/2019 Trabajo de Algebra Determinantes 1

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Universidad de Cuenca

Trabajo de lgebraLineal

Nombre: Andrea Moncayo

Ciclo: 2do

ciclo 2Profesor: Ing. HernnPesantez

eterminantes 1


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Contenido:

!" Introd#cci$n bibliogrfica2" efinici$n de la f#nci$n determinante%" Pro&iedades de los determinantes'" Clc#lo de determinantes &or &ro&iedades(" )$rm#las &ara desarrollar determinantes*" M#lti&licaci$n de determinantes

+" eterminantes de orden n,simo-" eterminante de la matriz inersa de #na matriz nosing#lar

/" eterminante de la matriz transesta!0" A&licaciones de los determinantes: 1btenci$n de la

inersa de #na matriz!!" A&licaciones de los determinantes: egla de Cramer

!2" A&licaciones de los determinantes: obtenci$n de reas3ol4menes y ec#aciones de rectas y &lanos.

!%" 5ibliograf6a

1. Introduccin bibliogrfica

7os determinantes f#eron introd#cidos en 1ccidente a &artir del siglo89I3 esto es3 antes #e las matrices3 #e no a&arecieron ;asta el siglo

8I8. Coniene recordar #e los c;inos


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n#ee ca&6t#los del arte matemtico." f#eron los &rimeros en #tilizarla tabla de ceros y en a&licar #n algoritmo#e3 desde el =iglo 8I83 seconoce con el nombre de >liminaci$n de ?a#ss,@ordan.

La historia de los determinantes

7os determinantes ;icieron s# a&arici$n en las matemticas ms de #nsiglo antes #e las matrices. >l trmino matriz f#e creado &or @ames@ose&; =ylester3 tratando de dar a entender #e era la madre delos determinantes.

Alg#nos de los ms grandes matemticos de los siglos 89III y 8I8contrib#yeron al desarrollo de las &ro&iedades de los determinantes.

7a mayor6a de los ;istoriadores coinciden en afirmar #e la teor6a delos determinantes se origin$ con el matemtico alemn ?ottfriedBil;elm 7eibnizn !-'0 Ca#c;y;izo m#c;as otras contrib#ciones a las matemticas. >n s# teto declc#lo de !-2/ 7eJons s#r le calc#l diffrential3 dio la &rimeradefinici$n razonablemente clara de l6mite.

Ca#c;y escribi$ am&liamente tanto en las matemticas ras como en

las a&licadas. =olo >#ler escribi$ ms. Ca#c;y ;izo contrib#ciones enarias reas3 incl#yendo la teor6a de las f#nciones reales y com&leDas3la teor6a de la &robabilidad3 geometr6a3 teor6a de &ro&agaci$n de lasondas y las series infinitas.

A Ca#c;y se le reconoce el ;aber establecido n#eos nieles de rigoren las blicaciones matemticas. ess de Ca#c;y3 f#e m#c;o msdif6cil blicar escritos basndose en la int#ici$nK se eigi$ #naestricta ad;esi$n a las demostraciones rig#rosas.

3
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton


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>l ol#men de las blicaciones de Ca#c;y f#e abr#mador. C#ando laAcademis )rancesa de Ciencias comenz$ a blicar s# reista Com&tesend#s en !-%(3 Ca#c;y eni$ s# obra &ara #e se blicara3 en &ocotiem&o los gastos de im&resi$n se ;icieron tan grandes3 solo &or laobra de Ca#c;y3 #e la academia imso #n l6mite de c#atro c#artillas&or cada doc#mento a ser blicado.

Hay alg#nos otros matemticos #e merecen ser mencionados a#6. >ldesarrollo de #n determinante &or cofactores f#e em&leado &or&rimera ez &or el matemtico francs Pierre de 7a&lace


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A la m#erte de =of6a Carlota n colaboraci$n cons# amigo A. Cayley3 estableci$ la teor6a de las inariantes algebraicasy la de los determinantes. esc#bri$ #n mtodo &ara eliminar #nainc$gnita entre dos ec#aciones y cre$ #n im&ortante ocab#lario

matemtico.Isaac #e$ton

)#e #n f6sico3 fil$sofo3 te$logo3 inentor3 al#imista y matemticoingls3 a#tor de los P;iloso&;iae nat#ralis &rinci&ia mat;ematica3 msconocidos como los Princi&ia3 donde describi$ la ley de graitaci$n#niersaly estableci$ las bases de la mecnica clsicamediante lasleyes#e llean s# nombre. Neton com&arte con 7eibnizel crdito

&or el desarrollo del clc#lo integral y diferencial3 #e #tiliz$ &araform#lar s#s leyes de la f6sica. ambin contrib#y$ en otras reas dela matemtica3 desarrollando el teorema del binomioy las f$rm#las deNeton,Cotes.

%ierre &arrus

Matemtico francs. Profesor en la Lniersidad de >strasb#rgo3demostr$ el lema f#ndamental del clc#lo de ariaciones y blic$n#merosas obras sobre la resol#ci$n de ec#aciones de ariasinc$gnitas. =e le debe la regla de =arr#s3 &ara el clc#lo dedeterminantes. estaca s# obra Mtodo &ara ;allar las condiciones deintegrabilidad de #na ec#aci$n diferencial

abriel Cramer

5
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofohttp://es.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3logohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inventorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alquimistahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Inglaterrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_naturalis_principia_mathematicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Coteshttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Coteshttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofohttp://es.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3logohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inventorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alquimistahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Inglaterrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_naturalis_principia_mathematicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Coteshttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Cotes


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Matemtico s#izo. )#e catedrtico de matemticas

oda matriz cuadradaede asociarse con #n n4mero real denominados# determinante. Hist$ricamente3 el #so de los determinantes s#rgi$de la identificaci$n de &atrones es&eciales #e oc#rren en la sol#ci$nde sistemas de ec#aciones lineales. Por eDem&lo:

a!!!a!22b!

a2!!a222b2

es:

! y 2

=iem&re #e a!!.a22,a2!.a!2 O0. Ambas fracciones tienen el mismo

denominador3 a!!.a22,a2!.a!2. sta cantidad se denomina el determinantede la matriz de coeficientes A.

7a f#nci$n determinante es #na notaci$n matemtica formada &or #natabla c#adrada de n4meros3 # otros elementos3 entre dos l6neaserticalesK el alor de la e&resi$n se calc#la mediante s# desarrollosig#iendo ciertas reglas. 7os determinantes f#eron originalmenteinestigados &or el matemtico Da&ons =eEi Foa alrededor de !*-%

y3 &or se&arado3 &or el fil$sofo y matemtico alemn ?ottfried6


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Bil;;elm 7eibniz alrededor de !*/%. >sta notaci$n se #tiliza en casitodas las ramas de las matemticas y en las ciencias nat#rales.

>l s6mbolo es #n determinante de seg#ndo orden3 es es#na tabla con dos filas y dos col#mnasK s# alor es3 &or

definici$n3 a!!a22, a!2a2!. Ln determinante deorden n,simo es #na tabla c#adrada con nfilas y ncol#mnas como sem#estra en la fig#ra:

=i A es #na matriz c#adrada


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A 5

>ntonces: ,

% ,l determinante de #na matriz en cero c#ando:

>l determinante &osee dos filas ig#ales:

RAR0

odos los elementos de #na fila son ceros.

9

/ '

% !

% 2!2 '


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RAR0

7os elementos de #na l6nea son combinaci$n lineal delas otras.

RAR0)% )! )2

'., =i m#lti&licamos #na fila o col#mna &or #n n4mero el determinante#eda m#lti&licado &or dic;o n4mero. sta &ro&iedad sire &ara &oder

sacar factor com4n en #n determinante"

Condiciones e)uivalentes

=i A es #na matriz nn3 entonces las sig#ientes &ro&osiciones sone#ialentes:

!. A es inertible.

10


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2. A85 tiene sol#ci$n 4nica &ara toda matriz 5 n!.

%. A80 tiene s$lo la sol#ci$n triial.

'. A es e#ialente &or renglones a !n.

(. A ede e&resarse como el &rod#cto de matrices elementales.

*. O0

'. Clc#lo de determinantes &or &ro&iedades

Calc#le los sig#ientes determinantes a&licando las &ro&iedades:

!" A 5

>l determinante cambia de signo si se intercambian dos

filas consec#tias:

,!2/ !2/

2" A

C#ando el determinante &osee dos filasig#ales3 ste se an#la.

0

11

A

% * ,+

2 / !

! 0 '

5A

2 * ,-

! ( +

! ( +

A

/ ,- !

/ ,- !

* + %


12/46

%"A

C#ando el determinante &osee dos filas ig#ales3 ste se

an#la.

0

'"A

C#ando todos los elementos de #na filason ceros en #n determinante3 ste es cero.

0

("A

0

*"A

12

A

(,i ' -i

*,i ( 2i

0 0 0

A

(,i ' -i

*,i ( 2i

0 0 0

A

! + !!

2 ,' ,*

% % (


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>l determinante es 0 c#ando 7os elementos de #na filason combinaci$n lineal de las otras.


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(. )$rm#las &ara desarrollar determinantes*egla de &arrus

7a regla de =arr#s es #n mtodo fcil &ara memorizar y calc#lar eldeterminantede #na matriz%U%. ecibe s# nombre del matemticofrancsPierre )rdric =arr#s.

Considrese la matriz %U%:

=# determinante se ede calc#lar de la sig#iente manera:

>n &rimer l#gar3 re&etir las dos &rimeras col#mnas de la matriz a laderec;a de la misma de manera #e #eden cinco col#mnas en fila.ess s#mar los &rod#ctos de las diagonales descendentes sto res#lta en:

Ln &roceso similar basado en diagonales tambin f#nciona conmatrices 2U2:

14
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrushttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrus


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>sta regla no se ede a&licar &ara matrices mayores a %U%.

+jem,los:

1-/

/ /

'-0/

/ / /

-C/

/ / 2*/15

+ ! -! ( +2 % /

+ ! - + !! ( + ! (2 % / 2 %

2 + !! % (2 * !

0

2 ! (+ * %' ! 2

C


16/46

3-(/

/ / 2+

4-+/

/ / '0

(esarrollo de menores

=e llama menor del elemento aiE de #n determinante de nn aldeterminante MiEde orden #e se obtiene al eliminar elrengl$n i y la col#mna E de

+jem,lo 1.

1btener los menores M!% del determinante de .

16

* ! %2 ! '% ! 2

(

% + !2 - 2! ' (

+


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Para M!% eliminamos el rengl$n ! y la col#mna % &ara obtener

=e llama cofactor del elemento aiE del determinante 3 al menorMiE con el signo

odo determinante es ig#al a la s#ma de los &rod#ctos de los

elementos de #n rengl$n


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>s el desarrollo del determinante &or el rengl$n i3 ysimilarmente

>s el desarrollo del determinante &or la col#mna E

+jem,los:

esarrollar &or cofactores del seg#ndo rengl$n y calc#lar el alor deldeterminante .

>ntonces:

a2!A2!a22A22a2%A2%

18

2 ! ,! %0 ! ' 00 ( ,2 *0 ,% ! 0

! ' 0( ,2 *,% ! 0


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+l determinante de una matri" triangular es el ,roducto de sus

elementos en la diagonal ,rinci,al.

>Dem&los:

A= det (A)= (4*1*5)= 20

5= det (B) = (1*1*5) = 5

C= det(C) = (6*8*1) = 48

= det(D)= (6*8*1) = 48

>= det (E)= (4*2*5) =40

Clculo de determinantes ,or el m5todo de auss

= e conoce c$mo mtodo de ?a#ss a #n mtodo &ara facilitar elclc#lo de determinantes #sando las &ro&iedades de stos. ic;o

mtodo consiste en ;allar #n determinante e#ialente


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alor" al #e se &retende calc#lar3 &ero triang#lar. e estaforma el & r o b l e m a s e r e d # c e a c a l c # l a r # nd e t e r m i n a n t e d e # n a m a t r i z triang#lar3 cosa #e esbastante fcil #sando las &ro&iedades de los determinantes.

Para conseg#ir triang#larizar el determinante se edena&licar las sig#ientes o&eraciones:

I" Intercambiar dos filas


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A

5

A5

Por lo tanto: det


22/46

Por lo tanto: det

)

>)

Por lo tanto: det" ,!0( det


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(eterminante de orden tres

a!!a22a%% a!2a2% a%! a!%a2! a%2,

, a !%a22a%!, a!2a2!a%% , a!!a2%a%2.

(eterminante de orden su,erior a tres

Consiste en conseg#ir #e #na de las l6neas del determinante estformada &or elementos n#los3 menos #no: el elemento base o &iote3#e aldr !.

=eg#iremos los sig#ientes &asos:

!. =i alg4n elemento del determinante ale la #nidad3 se elige #na delas dos l6neas: la fila o la col#mna3 #e contienen a dic;o elemento s decir sacamos factor com4n en #nal6nea de #no de s#s elementos.

%. omando como referencia el elemento base3 o&eraremos de modo#e todos los elementos de la fila o col#mna3 donde se enc#entre3 seanceros.

'. omamos el adD#nto del elemento base3 con lo #e obtenemos #ndeterminante de orden inferior en #na #nidad al original.

23
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/calculo.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/calculo.html


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+jem,los:

1-/

et


25/46

-/

et


26/46

et


27/46

, !( ,!T!(

'"A A,!

2 !T2

("A A,!

(* !T(*

/. eterminante de #na matriz transesta=i A es #na matriz c#adrada3 entonces es cierto #e:

Considerem os:

27

A

% ,2

,+T2 (T2

A

!T2- !T' ,%T(*

,!!T2- !T' (T(*

!T' ,!T' !T-

A

At

% 2 ,'

! 0 ,!

,2 0 (


28/46

A A

,* ,*

>Dem&los:

!"A A

(*/ (*/

2"A A

,*%0 ,*%0

%"A A

28

At

* !! -

( ,+ !2

,% ' ,!%

At

2 / ,*

+ ( ,-

% ,! !0

At

2i ,/ ,!!

' %,i '

,(i + !


29/46

,%+*,!2i ,%+*,!2i

'"A A

,!* ,!*

("A A

,%2 ,%2

!0. A&licaci$n de los determinantes:1btenci$n de la inersa de #na matriz7a transesta de la matriz de cofactores A indicada anteriormente3se denomina adD#nta de A y se denota &or adD


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Cof


31/46

AdD


32/46

%"C C Cof


33/46

("> C Cof"

AdD" !

>,! !T!

!!.A&licaci$n de losdeterminantes: egla de Cramer7a regla de Cramer3 as6 denominada en ;onor de ?abriel Cramer3 es#na f$rm#la #e #sa determinantes &ara resoler #n sistema de nec#aciones lineales en n ariables. >sta regla ede a&licarse s$lo asistemas de ec#aciones lineales #e tienen sol#ciones 4nicas.

=i Ab es #n sistema de n ec#aciones lineales con n inc$gnitas tal #e

det


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b

>n otras &alabras los &asos a seg#ir &ara resoler #n sistemade ec#aciones lineales mediante la regla de Cramer es:

!. Hallar la matriz


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A a A!

A2 a A%

>Dem&los:

A&licar la ley de Cramer &ara resoler el sistema de ec#aciones.

!"! ,%2%'

2!,2 ,2

'! ,%%0

A a A!

35

b 82 8%

* 0 2

%0 ' *

- ,2 %

8! 82 b

! 0 *

,% ' %0

,! ,2 -

b 82 8%

' ,% !

,2 ,! 0

0 0 ,%8! 82 b! ,% '

2 ,! ,2

' 0 0


36/46

A2 a A%

2" y z!

,2y%z2

z(

A a A!

A2 a A%

%"'(y 2

36

b y

! ! !

2 ! ,2

( ! 0

y b

! ! !

! ,2 2

! 0 (


37/46

!! y2z %

8(y2z !

A a A!

A2 a A%

'"2y,2z!0

',y z '

,2yz ,2

A a A!

37

b y z

2 ( 0

% ! 2

! ( 2 y b

' ( 2

!! ! %

! ( !

b y z

!0 2 ,2

' ,! !

,2 ! !


38/46

A2 a A%

("2Yy,2z ,2

, y z 0

, 2y z -

A a A!

A2 a A%

38

y b

! 2 !0

' ,! '

,! ! ,2

b y z

,2 ,! ,2

0 ! !

- ,2 !

y b

2 ,! ,2

,! ! 0

! ,2 -


39/46

!2. A&licaciones de los determinantes:

Zrea de #n triang#lo en el &lano y.

>l rea de #n triang#lo c#yos rtices son

,2 ( !

! / !

% ( !

* ,2 !


40/46

%" Calc#lar el rea de #n tring#lo c#yos rtices son: A


41/46

0

Para eal#ar el determinante3 se desarrolla &or cofactores a lo largodel rengl$n s#&erior3 &ara obtener:

,y ! c#aci$n:

0

>c#aci$n:


42/46

>l ol#men de #n tetraedro c#yos rtices son

9ol es !T% #%.42

8! [! \! !

82 [2 \2 !

8% [% \% !

8' [' \' !

0 ' ! !

' 0 0 !

% ( 2 !

2 2 ( !

' % 0 !

0 % 2 !

! % 2 !

2 2 2 !


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2" etermine el ol#men del tetraedro c#yos rtices son

9ol#men !T* !T* S


44/46

7a ec#aci$n del &lano #e &asa &or los ntos

8 [ \ !82 [2 \2 !

8% [% \% !

8' [' \' !

y z !

0 ! 0 !

! ( ' !

,2 ! 2 !

y z !

! ! ! !

2 % ' !

2 2 2 !


45/46

0

>c#aci$n: . 7arson y 5r#ce H.>dards.

Introd#cci$n al algebra lineal. Hoard Anton. ercera >dici$n.

Algebra lineal y s#s a&licaciones. aid C. 7ay. ercera >dici$n.

Algebra s#&erior. Hall Fnig;t.

eterminantes y matrices. A.C. AIF>N. r =c. )..=. 9ersi$ncastellana de la c#arta ersi$n inglesa.

;tt&:TT.sectormatematica.clTcontenidosTcramer.;tm

;tt&:TT.it#tor.comTalgebraTdeterminantesTres.;tml45

y z !

% ' * !

! 2 ' !

! ! ! !
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html


46/46

;tt&:TT.est#diantes.infoTleng#aTlos]determinantes.;tm

;tt&:TT.lo#esecocinaenestacasa.comTsiteTti&T2/(
http://www.estudiantes.info/lengua/los_determinantes.htmhttp://www.loquesecocinaenestacasa.com/site/tip/295http://www.estudiantes.info/lengua/los_determinantes.htmhttp://www.loquesecocinaenestacasa.com/site/tip/295

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