1.1-CALCULO INTEGRAL - AREAS BAJO LA CURVA AREASRefiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -no como los antiguos griegos-pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:

AREAS BAJO CURVA Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales viene dada por:

AREA = ∫ f(x)dx

Observemos la siguiente FIG 1:

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas y f(x)=4x =-3

x =2SOLUCIÓN: TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.

FIG 2

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

A =∫_(-3)^2▒4dx

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

A =∫_(-3)^2▒4dx = 4x EVALUADO 2 Y -3

A= 4(2) – 4(-3) =20Luego el área de la región es 20 u2.

APLICACIONES A LA CARRERA INGENIERIA AMBIENTALTe sirven por ejemplo si tienes el perfil de un terreno y quieres calcular volumenes de excavación. Otro ejemplo si tienes una curva con valores de consumo de agua cada hora (que se obtienen mediante caudalímetro), integras la curva y te da el volumen diario consumido.Este también nos sirve para hallar el área bajo la curva de una Planta Perfil, las plantas perfiles es pasar las curvas de nivel de dicho mapa a papel milimetrado y asi observar laforma del

terreno y hallarle el area tanto por debajo como por encima de la curva.Usar la integral definida para resolver problemas prácticos de la Ingeniería: Temas relacionados con áreas, volúmenes, longitud de curvas, trabajo mecánico y volúmenes por secciones planas conocidas.Estudiar las derivadas de funciones trascendentes y sus integrales relacionadas.Aprender los diferentes métodos de Integración para evaluar integrales.Estudiar la convergencia o divergencia de sucesiones y series.

1.2-Suma de Riemann

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Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

1.4-PROPIEDADES FUNDAMENTALES INTEGRAL DEFINIDA Para facilitar el calculo de una integral definida se usan las siguientes propiedades:

1. Si a>b, entonces 

2. Si f(a) existe, entonces 

3. Si k es una constante cualquiera, entonces

4. Si una función f es integrable en [a, b] y k es una constante arbitraria, entonces

5. Si las funciones f y g son integrables en [a, b] entones f ± g también es integrable en [a, b]

6. Si f es integrables en [a, b], [a, c] y [c, b], y a<c<b, entonces 

7. Si f es integrable en un intervalo cerrado I y {a, b, c} I, entonces

8. Si f es integrable en un intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b], entonces 

9. si las funciones f y g son integrables en [a, b], y f(x) ≥ g(x) ∀  x ∈ [a, b], entonces 

Ejemplo 1. 

Ejemplo 2. 

Ejemplo 3.

1.5-TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que

f(c)(b a)

Demostración:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m f(x) M x [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:

m(b a) M(b a)      entonces        m M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe

alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda

demostrado que existe algún c tal que f(c) .

2-Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre

por . Si f es continua en [a,b] , entonces F es

derivable en y .

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

Demostración

Lema

Sea [[ ]] integrable sobre y

Entonces

Demostración

Por definición se tiene que .

Sea h>0. Entonces .

Se define y como:

,

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Por lo tanto,

Sea . Sean

,

.

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Como

,

entonces,

.

Puesto que , se tiene que

.

Y como es continua en c se tiene que

,

y esto lleva a que

.

Ejemplos

2.2 Propiedades de Integrales Indefinidas ≈oOo≈

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 

Ejemplo:

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Ejemplo:

3-FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas funciones son "hermanas".

Se llama función exponencial a aquella cuya expresión es: f ( x ) = k . ax + b Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y cuenta con una característica particular, ya que su derivada es la misma función.

En la expresión f ( x ) = k . ax + b, el número k es real y distinto de cero, mientras que a es un número real positivo y distin¬to de uno.

Entonces:• El número k es distinto de cero, ya que si no fuera así, quedaría una función constante: f ( x ) = b , porque se anula el primer término.

• El número a, por su parte, debe ser mayor que cero, ya que si a fuera un número negativo, por ejemplo -4, no podríamos elevarlo 1/2, es decir, sacar su raíz cuadrada.

En el gráfico, la función es creciente, ya que a es mayor que uno, corta al eje de las ordenadas en uno y no tiene raíces, no corta al eje x.

A medida que los valores de x son menores, y toma valores cada vez más próximos a cero. En ese caso, decimos que la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

El dominio de la función son todos los números reales mientras que la imagen son los números reales mayores que cero.

3.2-Función logarítmica:

La función logarítmica es del tipo f ( x ) = logb x donde b representa a un número real dis¬tinto de 1 y x es siempre mayor que 0 b ? R; b = 1; x > 0 .

La gráfica de la función logarítmica f ( x ) = log2 x es:

Imagen: Gráfica de la función logarítmica.

Es una gráfica que no corta al eje y, a me¬dida que x toma valores cada vez más próximos al 0, y toma valores cada vez menores. La gráfica muestra que la función es creciente, y corta al eje x en 1 porque todo número distinto de 0 elevado a la 0 da por resultado 1. Por lo tanto, en la función logarítmica la asíntota es vertical.

3.6-funciones que solo pueden expresarse en términos de una integral(Función elíptica)

En análisis complejo, una función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real). Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de la longitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva.

Definición

Formalmente, una función elíptica es una función meromorfa f definida sobre C para la que existen dos números complejos no nulos a y b tal que

f(z + a) = f(z + b) = f(z)   para todo z perteneciente a C

y tal que a/b no es un real. De esto se deduce que

f(z + ma + nb) = f(z)   para todo z perteneciente a C y para todo entero m y n.

En el desarrollo de la teoría de las funciones elípticas, la mayoría de autores modernos utilizan la notación creada por Karl Weierstrass: la notación de las funciones elípticas en forma de Weierstrass basadas en la función es cómoda y cualquier función elíptica puede ser expresada a partir de estas. Weierstrass se interesó en estas funciones cuando era estudiante de Christoph Gudermann, un estudiante de Carl Friedrich Gauss. Las funciones elípticas introducidas por Carl Jacobi, y la función auxiliar theta (no doble periódica), son más complicadas pero ambas importantes para la historia y para la teoría general. La diferencia más importante entre estas dos teorías es que las funciones de Weierstrass tienen polos de alto orden situados en las esquinas de un retículo periódico, mientras que las funciones de Jacobi tienen polos simples.

El estudio de las funciones elípticas está estrechamente relacionado con el estudio de las funciones modulares y las formas modulares, relación demostrada por el teorema de Taniyama-Shimura. Algunos ejemplos de esta relación son el invariante j, las series de Eisenstein y la función eta de Dedekind.

Propiedades

Cualquier número ω tal que f(z + ω) = f(z) para toda z de C se le llama period de f. Si dos periodos a y b son tales que cualquier otro periodo ω puede ser escrito como ω = ma + nb con m y n enteros , entonces a y b se les llama periodos fundamentales. Toda función elíptica tiene un par fundamental de períodos, aunque este par no es único, como se describe más adelante.

Si a y b son periodos fundamentales que describen un retículo, entonces exactamente el mismo retículo puede ser obtenido por los periodos fundamentales a' y b' donde a' = p a + q b y b' = r a + s b donde p, q, r y s son

enteros que satisfacen p s − q r = 1. Dicho de otra forma, la matriz tiene determinante unidad, por lo que pertenece al grupo modular. En otras palabras, si a y b son periodos fundamentales de una función elíptica, entonces también lo son a' y b' .

Si a y b son periodos fundamentales, entonces cualquier paralelogramo con vertices z, z + a, z + b, z + a + b se le llama paralelogramo fundamental. Moviendo dicho paralelogramo múltiples de a y b obtenemos una copia del paralelogramo, y la función f se comporta idénticamente sobre todas esas copias, debido a esta periodicidad.

El número de polos es cualquier paralelogramo es finito (e igualmente para todo paralelogramo fundamental). A no ser que la función elíptica sea constante, todo paralelogramo fundamental tiene al menos un polo como consecuencia del teorema de Liouville.

La suma de los órdenes de los polos en cualquier paralelogramo fundamental se le llama el orden de la función elíptica. La suma de los residuos de los polos en cualquier paralelogramos fundamental es igual a cero, en particular, ninguna función elíptica puede tener orden uno.

El número de ceros (contados con su multiplicidad) en cualquier paralelogramo fundamental es igual al orden de la función elíptica.

La derivada de una función elíptica es otra función elíptica con los mismos periodos. El conjunto de todas las funciones elípticas con el mismo periodo fundamental forman un cuerpo.

Las funciones elípticas en forma de Weierstrass son el prototipo de función elíptica, y de hecho, el cuerpo de funciones elípticas para un retículo dado se genera a partir de y su derivada

4-Integrales de funciones trigonométricasArtículo principal: Anexo:Integrales de funciones trigonométricas.

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso pude lograrse gracias a las siguientes identidades:

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:

Integral que contiene potencias de senos y cosenos

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Existen 3 casos:

Cuando n es impar

Cuando , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la

identidad para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución

haciendo , . Como en la expresión no tenemos

un multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión

que ya podemos sustituir:

Cuando m es impar

Cuando , podemos de la misma manera apartar un factor de

coseno y emplear para poder expresar los factores restantes en términos del :

al hacer y tendríamos

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez y , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:

algunas veces es útil usar la identidad:

sería igual a:

Ejemplo #1

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,

Sustituyendo , tenemos luego:

5-metodos de integración y aplicaciones de la integral definida

5.1-Metodo de sustitución o cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo

5.2-Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca menos flaca (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

.

Un buen orden para escoger la u según la función es este:

1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o polinómica 4. Trigonométrica 5. Exponencial.

5.3-TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que

f(c)(b - a) =

Demostración:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:

m(b - a) M(b - a)      entonces        m M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe

alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda

demostrado que existe algún c tal que f(c) = .

6- APLICACIONES

6.1- Área de regiones planasEn esta sección trabajaremos con regiones planas limitadas por funciones continuas (por tanto integrables) definidas en un intervalo cerrado [a,b]. Es decir, regiones R(f,a,b) como las que se muestran en las figuras siguientes:

ObjetivoCalcular las áreas de regiones R(f,a,b) como las que se muestran en la figura anterior.

Conceptos previosPara tener éxito, es importante recordar que:

La integral representa el área algebraica de dichas regiones R(f,a,b). Es decir, considera el valor positivo del área, para la parte de la gráfica que está por encima del eje de las x y negativo para el caso en que queda por abajo.

Un corolario del Teorema Fundamental para funciones continuas, que establece:

El teorema sobre la integral de una suma de funciones, que establece:

El teorema sobre la integral de una función multiplicada por una constante, que establece:

6.2-AREA DE COORDENADAS POLARES

Ecuaciones polares

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si (−θ) =  (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) =  (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) =  (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

Circunferencia

Un círculo con ecuación (θ) = 1.

La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

Línea

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan  donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuación

Rosa polar

Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica de la ecuación:

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la

gráfica es una circunferencia de radio

Espiral de Arquímedes

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.

La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto.

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio

7-SERIES