algebra superior

Click here to load reader

Post on 26-Jul-2015

90 views

Category:

Education

3 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1. lgebra Superior Araceli Reyes Septiembre 2003 2. ii 3. ndice general 1. Mtodo axiomtico 1 1.1. Introduccin al mtodo axiomtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Axiomas y Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Deducciones y demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Conjuntos y Funciones 5 2.1. Terminologa y notacin de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Propiedades de las operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Productos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Los nmeros naturales 9 3.1. Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Propiedades de las operaciones entre naturales . . . . . . . . . . . . 9 3.3. Demostraciones por induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4. Deniciones inductivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.6. Relacin de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.6.1. Propiedades del orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.7. Principio del buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.8. Funciones y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.8.1. Dominio y contradominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.9. Clasicacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.10. Composicin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.11. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Relaciones binarias 25 4.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Matemticas discretas 29 5.1. Relaciones entre conjuntos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.1.1. Grca dirigida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. Representacin matricial de una relacin. . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2.1. Deniciones del lgebra matricial en general . . . . . . . . . . 34 5.2.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2.3. Operaciones entre relaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.4. Propiedades de las relaciones y estructura de las matrices . . 39 6. Conteo 43 6.1. Principios bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.1.1. Suma y resta para contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2. Principio de inclusin y exclusin para dos y tres conjuntos . . . . . 47 6.2.1. Producto y divisin para contar . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 iii 4. iv NDICE GENERAL 6.2.2. Integracin de los principios de suma y producto . . . . . . . 56 6.2.3. Miscelnea de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7. Los nmeros enteros. 61 7.1. El anillo de los nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2. Propiedades de las operaciones entre enteros. . . . . . . . . . . . . . 61 7.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.3.1. Algoritmo de la divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3.2. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.4. Nmeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.5. Teorema de factorizacin nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8. Congruencias 71 8.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.3. Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9. Bibliografa 75 5. Captulo 1 Mtodo axiomtico 1.1. Introduccin al mtodo axiomtico El conocimiento matemtico prcticamente naci con la cultura humana. Los primeros temas de los que se tiene noticia que haba algn conocimiento matemti- co son de geometra. Los Babilonios y los Egipcios descubrieron una gran cantidad de relaciones geomtricas, como el teorema de Pitgoras, que se siguen utilizan- do hasta nuestros das, para desde resolver problemas muy prcticos de ingeniera hasta aspectos muy tericos de las matemticas modernas. La manera como se descubrieron esos conocimientos fue empricamente. Del conocimiento del que hay informacin de esa poca, sabemos que algunos de los resultados a los que ellos llegaron eran errneos. Sirva como ejemplo la frmula que utilizaban los babilonios para calcular el rea de un cuadriltero cuyos lados consecutivos miden a, b, c y d que es incorrecta K = (a + c) (b + d) 4 Muchos conocimientos obtenidos empricamente durante este periodo fueron incor- rectos. Sirva esta armacin para reexionar acerca de como podemos descubrir nuevo conocimiento matemtico. Claramente transcurrieron miles de aos con esta situacin y fue hasta alrededor del ao 624 A.C. con Tales de Mileto que plante el primer estudio sistemtico de la geometra y se cuestion sobre la veracidad de los resultados. Tales fue el primero en hacer una demostracin. Pasaron cerca de 300 aos, hasta Euclides (325265 A.C.) que escribi sus Elementos que contienen una cadena de 465 armaciones ligadas lgicamente por deduccin. Entre estos dos matemticos vivi Pitgoras (569475 A.C.) que tuvo como mrito escribir formalmente y demostrar el famoso teorema que conocemos. Con Euclides nace el mtodo utilizado en las matemticas para su construccin: el mtodo axiomtico. La base del mtodo axiomtico es el silogismo o como lo conocemos coloquialmente la deduccin. En conclusin, experimentar y jugar con los objetos matemticos, llmense g- uras geomtricas o smbolos, nos permite descubrir relaciones para entenderlas. Este juego o experimentacin se inicia normalmente con el propsito de resolver algn problema. La formulacin de una armacin que suponemos correcta no es suciente para incorporarla al conocimiento matemtico. Para tener certeza de la veracidad de la proposicin es necesario que se pueda deducir de un conjunto de armaciones probadas como verdaderas anteriormente. Para tener un punto de partida y poder fundamentar las armaciones se parte de un conjunto de armaciones que no se demuestran y que conocemos como axiomas. Las reglas del lgebra se sistematizaron posteriormente con Descartes(1596 1650 A.C.) que estaba buscando un mtodo general para resolver los problemas 1 6. 2 CAPTULO 1. MTODO AXIOMTICO intrincados de la geometra a los que haban llegado. Muchas de estas reglas tiene su fundamentacin en la geometra. 1.2. Axiomas y Teoremas. Los axiomas son armaciones matemticas que no se demuestran y que son el punto de partida de un conjunto de conocimientos matemticos. Por ejemplo se manejan axiomas de los nmeros reales que sirven de base para demostrar las dems propiedades de los nmeros reales. Euclides escribi sus libros basado en cinco axiomas o postulados que utiliz como base para deducir el resto de los 465 teoremas que demostr en sus libros. A los matemticos a los que les toc darle solidez lgica al conocimiento matemti- co vivieron a nales del siglo XIX y principios del XX. Entre ellos esta Bertrand Rus- sell, Alfred North Whitehead, Kurt Gdel y muchos mas que llegaron a la conclusin que un concepto bsico para las matemticas es el de conjunto . La matemtica se reformul completamente utilizando el concepto de conjunto como bsico. Un teorema es una armacin que se puede deducir de axiomas o armaciones anteriores que han sido demostradas como verdaderas previamente . Con la comprensin de esta relacin lgica entre axiomas y teoremas fue posi- ble cuestionar la veracidad incontrovertible de los axiomas y jugar a cambiar al- guno para realizar deducciones diferentes a las ya obtenidas. Al primer sistema de conocimientos matemticos al que se le aplic este cuestionamiento fue a la geometra. El quinto postulado de Euclides se cambi y esto di origen a las geometras no euclidianas. Esta nueva visin acerca del conocimiento matemtico se prest a que muchas personas pensaran que las matemticas solamente eran una relacin lgica entre armaciones y pretendieron olvidarse de sus orgenes empricos y el propsito de este conocimiento, que es resolver problemas. El objetivo del trabajo de un matemtico es producir armaciones verdaderas basadas en conocimiento anterior. Los axiomas son armaciones que nos parecen verdaderas en las circunstancias y para los nes que se formulan, pero los axiomas no son inamovibles ni absolutos. Hay varias formas de descubrir nuevos teoremas, entendiendo las relaciones lg- icas o jugando con los objetos matemticos o desarrollando cierta intuicin acerca de los objetos. Una vez que casi estamos seguros de que un resultado es verdadero solamente es cuestin de encontrar la cadena de armaciones que a partir de armaciones que sabemos verdaderas nos lleva a la primera armacin que supusimos verdadera. Esto se llama hacer una demostracin de una conjetura. La conjetura es el resultado o armacin que suponemos verdadero pero que no estamos ttalmente seguros que sea verdadero Podremos armar su veracidad cuando se haya deducido. Un corolario es una armacin que se deduce inmediatamente de un teorema. Un lema es una armacin intermedia, que se vuelve importante por si misma, en la cadena de demostracin de un teorema. En general, solamente se escriben armaciones verdaderas en matemticas, por eso a veces las matemticas nos parecen rgidas y difciles, pero si recordamos que para llegar a escribir de esa forma el matemtico tuvo que equivocarse y corregir ser mas fcil intentar resolver problemas. 7. 1.3. DEDUCCIONES Y DEMOSTRACIONES 3 1.3. Deducciones y demostraciones Todos los seres humanos pensantes utilizamos las deducciones a diario. Todos sabemos sacar conclusiones a partir de ciertas armaciones. En ocasiones nos equiv- ocamos al formular nuestras primeras armaciones pero todos sabemos deducir. Por ejemplo: Primera armacin: Estamos en poca de lluvias. Se