Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

DEFINICIÓN:DEFINICIÓN: El determinante es un número real que se asocia a toda matriz cuadrada Amatriz cuadrada A; denotado por:

12 5

7 3A

0 3 2-

4 1- 5

7 0 2

B

1A

67B

|A|, det(A), D(A)

Pero… ¿cómo se obtiene el determinante de una matriz?

Así:

A

B

- - - + + +METODO DE SARRUSMETODO DE SARRUS

=

=

=

=

3 . 12 5 . 7

0 + 0 + 105

0 – 24 – 14

-

-

=

=

1

67

+

-

CALCULO DE UN DETERMINANTE CALCULO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN 3 POR MEDIO DE DE ORDEN 3 POR MEDIO DE

COFACTORESCOFACTORES

3 1 0

2- 4 3

1- 2 7

A

Se pueden elegir filas o columnas, pero es Se pueden elegir filas o columnas, pero es preferible elegir la tercera fila por tener ceros preferible elegir la tercera fila por tener ceros

en su conformación.en su conformación.

3 1 0

2- 4 3

1- 2 7

A

A 2 -14 - 2 2 3

1 7

+=3 3

+3

4 3

2 7

3 1 0

2- 4 3

1- 2 7

3 1 0

2- 4 3

1- 2 7

3 1 0

2- 4 3

1- 2 7

+ 1 + 2 + 3

A =

31a 32a 33a

. . .

5.+ +6

=

OTRO EJEMPLO:

4- 0 4

0 2 3

1 7 5

B Tomamos la Segunda columna

B 4 4

0 3

4 4

1 5

+=1 2

+3

0 3

1 5

+ 2 + 2 + 2

B =

12b 22b 32b

. . .

3+

4=

4- 0 4

0 2 3

1 7 5

4- 0 4

0 2 3

1 7 5

4- 0 4

0 2 3

1 7 5

+5

. . .

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1ra. Si en A existe una fila, o columna, nula, entonces |A| = 0

2da. Si en A existen dos filas, o columnas, idénticas entonces |A| = 0

0 0 5 7

8 0 47 0 99 0 10

= 0 = 0

5 59 9

4 9 52 -1 74 9 5

= 0 = 0

3ra. Si A es triangular superior, o inferior, entonces |A| está dado por el producto de los elementos de la diagonal principal.

4ta. Si B es una matriz obtenida sumando una fila, o columna, a otra fila, o columna, de A entonces |B| = |A|.

1 0 3 4

1 -2 30 4 50 0 -6

= 1.4 = 4 = 1.4.(-6) = -24

1 -2 3A 0 4 5

3 0 -6=

1 -2 3B 0 4 5

4 -2 -3=

R1 + R3

|A| = - 90 |B| = - 90

5ta. Si B es una matriz que se obtiene al intercambiar dos filas, o dos columnas, de A, entonces |B| = - |A|.

6ta. Si B es una matriz que se obtiene multiplicando una fila, o columna, de A por un número “k”, entonces |B| = k |A|.

2 3 -42 1 51 1 1

A

2 3 42 1 51 1 1

R1 R3 = B

1 -2 3A 0 4 5

3 0 -6=

-3R2

1 -2 3B 0 -12 -15

3 0 -6=

|A| = - 90 |B| = - 270

|A| = - 3 |B| = + 3

7ma. Si “k” es un número y A es una matriz de orden “n”, entonces se verifica que |kA| = kn |A|.

5 1A=4 3 = 11

|B| = 99

B = 3A5 1 15 3B=34 3 12 9

0A

63 9

28 4

30 54 12

1 4- 7

5 9 2

x 7

x 6

BABA ..

AAt

nn AA

nn

AA

1

1mI

8.-

9.-

10.-

11.-

12.- (De orden m)

UTILIZANDO LAS PROPIEDADES ANTERIORES SE PUEDEN DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES:

REGLA DE CRAMER

Esta regla es útil para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones compatibles con solución única.

Sea el sistema de ecuaciones: 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a x a y a z ma x a y a z pa x a y a z m

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

12 13

22 23

32 33

m a ap a aq a a

x

11 13

21 23

31 33

a m aa p aa q a

y

11 12

21 22

31 32

a a ma a pa a q

z

Luego: se llama Determinante de la Matriz de Coeficientes del Sistema.

Si 0, se demuestra que: