Determinantes

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.

Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.

Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.

Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocido por la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas.

Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue con él con quien la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de las funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.

Takakazu Seki Kowa

Takakazu Seki Kowa nació en una familia de guerreros samurái en marzo de 1642 en Fujioka, Japón.

Seki Kowa fue un niño prodigio en matemáticas. A lo largo de su vida acumuló un gran número de libros japoneses y chinos sobre matemáticas, llegando a convertirse en un experto en esta ciencia. Fue conocido como «El sabio de la Aritmética».

En 1674 Seki Kowa publicó su obra Hatsubi sampo, en la que resolvió quince problemas que había planteado cuatro años antes. La obra es destacable por el cuidadoso análisis que hace de los referidos problemas.

Seki Kowa fue el primer matemático que estudió las determinantes, hacia el año 1683 (diez años más tarde Leibniz, en forma independiente, las usó par a resol ver los sistemas de ecuaciones). Además descubrió los números de Bernoulli antes de que éste lo hiciera, y estudió las ecuaciones tratando las raíces positivas y negativas aunque no tenía todavía el concepto de los números complejos. En 1685 resolvió la ecuación cúbica x3 + 5x2 + 14x + 30 = 0 usando el mismo método que usaría el matemático británico William Horner cien años más tarde. También descubrió el método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones, presentó una versión de la fórmula de la interpolación de Newton y estudió las ecuaciones diofánticas (ecuaciones con varias incógnitas, estudiadas por Diofante, matemático griego del siglo III a.C.).Seki Kowa murió en Tokio el 24 de octubre de 1708.

Gottfried Leibniz

Nació en Leizpig en 1646, dos años antes de que se firmara la Paz de Westfalia que puso fin a la Guerra de los Treinta Años y murió el 14 de noviembre en Hannover a los 70 años olvidado de todos.

Intentó dominar todos los conocimientos de la época y destacó como filósofo, matemático, político y diplomático. Descendiente de una familia de gran tradición cultural se reveló como excepcionalmente precoz. Su padre era catedrático universitario de filosofía moral. Huérfano a muy temprana edad (6 años), fue un niño prodigio cuyo talento universal persistió durante toda su vida. Aprendió latín y griego a los 12 años para poder leer los libros de la biblioteca de su padre.

Desde 1661 a 1666 estudió leyes, filosofía y ciencias en la Universidad de Leizpig y más tarde en Altdorf aunque debido a su temprana edad no pudo presentar su tesis doctoral pero si alcanzó el doctorado en 1667. Su tesis fue sobre lógica. Rechazó la plaza que le ofrecieron de profesor en la Universidad de Altdorf. Se puso en contacto con Matemáticos y científicos (especialmente con Huygens, que fue quien le enseñó matemático) y despertó su interés por las matemáticas. Así empezó a estudiar matemáticas a los 26 años.

Cuando abandonó París en 1676 ya había descubierto por sí mismo los principios fundamentales del cálculo. Sus cuatro años en París le habían convertido en un gigante de la matemática. Como diplomático permaneció diez años y aunque no consiguió grandes logros como político, sí en cuánto los contactos con hombres de ciencia

Los últimos años de su vida fueron amargos por la polémica con Newton sobre la prioridad en el descubrimiento del cálculo infinitesimal. A pesar de sus valiosísimos aportes a las matemáticas murió olvidado de todos, y se dice que su entierro sólo lo presenció su secretario.

Inventó el cálculo infinitesimal Descubrió que todo número puede expresarse mediante una serie formada por

ceros y unos

Se le debe la difusión del punto en la multiplicación Obtuvo series del arco tangente circular e hiperbólico mediante el cálculo de los

sectores elípticos e hiperbólicos desarrollados en serie Trabajó los números complejos, pero no entendió nunca su naturaleza Ofreció varios argumentos para demostrar que los logaritmos de los números

negativos no existen. Descubrió la relación inversa entre métodos de trazado de tangentes

(diferenciación) y las cuadraturas (integración) Generalizó el concepto de diferencial al caso de exponente negativo y fraccionario Introdujo la ecuación de la catenaria Resolvió ecuaciones de primer orden Perfeccionó el simbolismo combinatorio con ayuda del sistema de índices Encontró una expresión en serie para p Se le debe el primer criterio para establecer la convergencia de una serie Obtuvo la formula de los coeficientes multinomiales aunque no la publicó Se le debe la expresión de "cantidades trascendentes" Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral Usó números infinitamente grandes como si fueran números ordinarios Utilizó el término "imaginario" para los números complejos Estableció las primeras bases de la lógica simbólica Introdujo la combinatoria como disciplina matemática. Generalizó el teorema binomial y multinomial Primera referencia en Occidente de los determinantes. Demostró el "pequeño teorema de Fermat". Se le considera el iniciador del cálculo geométrico y de la topología.

2.- Definición de la Función Determinante.

Para definir la función determinante debemos considerar algunos conceptos básicos de permutaciones:

Si X= {1,2, 3,…, n} es un conjunto de enteros de 1 hasta n que están ordenados de forma ascendente, un reordenamiento de los elementos de X (j1, j2, j3,…, jn), es una permutación de X por lo tanto existen n! permutaciones de X. Se dice que la permutación tiene una inversión si un elemento entero mayor jm precede a uno menor y se denomina permutación par o impar según el numero par o impar de inversiones q posea.

Entonces podemos definir la función determinante de una matriz A [aij] como:

Det(A) = I A I = Ʃ (± ¿a1j1 a2j2 a3j3 … anjn

Con n! términos en la suma y en cada termino aparecen los subíndices de las filas en su orden original mientras q los subíndices de las columnas están en el orden reordenado j1,j2,j3,…,jn. En consecuencia cada término de IAI es un producto de n elementos de A en el que hay exactamente un elemento de cada fila y exactamente un elemento de cada columna con su signo adecuado.

Ejemplos:

1)

A=[a11 a12a21 a22]

Los términos serian (a11a22 y a12a21) por lo tanto el 2do término sería negativo por ser una permutación impar, entonces:

Det(A)= IAI= a11a22 - a12a21

2)

B=[1 23 4]

Det(B)= IBI= (1)(4)-(3)(2) = -2

3)

C=[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]

Los términos serian (a11a22a33, a11a23a32, a12a21a33, a12a23a31, a13a21a32 y a13a22a31) entonces:

Det(C)= ICI= a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31

4)

D=[1 2 34 5 67 8 9]

Det(D)= IDI= (1)(5)(9) – (1)(6)(8) – (2)(4)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) – (3)(5)(7)=0

5)

E=[1 1 12 5 23 3 4 ]

Det(E)= IEI= (1)(5)(4) – (1)(2)(3) – (1)(2)(4) + (1)(2)(3) + (1)(2)(3) – (1)(5)(3)=3

Deduciendo asi que no se puede sacar el determinante de una matriz rectangular puesto que el determinante lega a ser un escalar que se le asigna a una matriz para el estudio del numero de soluciones que tiene esta, por lo que una matriz rectangular corre el riesgo de tener infinitas soluciones o ninguna solución.

3.- Propiedades de los Determinantes.

3.1 El determinante de una matriz A= [aij] y el de su transpuesta A t = [aji] son iguales, es decir que:

Det(A)= I A I = Ʃ (± ¿a1j1 a2j2 a3j3 … anjn = Det(At)= I At I = Ʃ (± ¿aj11 aj22 aj33 … ajnn

Ejemplo:

A=[9 87 6] At= [9 7

8 6]IAI=IAt I= -2

3.2 Si en una matriz cuadrada se intercambian 2 filas o 2 columnas, el signo del determinante de la matriz cambia su signo las veces que se repita la acción.

Ejemplo:

A=[4 8 28 4 62 4 5]F1 F2=[8 4 6

4 8 22 4 5]C1 C3=[6 4 8

2 8 45 4 2 ]

IAI=-192 IAI=192 IAI=-192

3.3 Si en una matriz cuadrada se multiplica a todos los elementos de una fila o de una columna por un número K, su determinante queda multiplicado por dicho número.

Ejemplo:

A= [3 8 47 6 43 6 8] (F1)(4)=[12 32 16

7 6 43 6 8 ]

IAI=-184 IAI=-736

3.4 Si en una matriz cuadrada de orden n se multiplican todos sus elementos por un número k su determinante se multiplicara por kn.

Ejemplo:

A= [3 8 47 6 43 6 8] (A)(2)= [ 6 16 8

14 12 86 12 16 ]

IAI= -184 IAI= -1472

3.5 Si la matriz tiene los mismos elementos en 2 filas o en 2 columnas y en el mismo orden, su determinante es igual a cero.

Ejemplo:

IAI= |2 5 63 7 22 5 6|=0

3.6 Si todos los elementos de una fila o columna de la matriz son nulos, su determinante será igual a cero.

Ejemplo:

IAI= |2 9 30 0 04 8 1|= 0

3.7 Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

Ejemplo:

IAI= |1 2 34 5 65 7 9|=0

(F1+F2=F3)

3.8 Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales su determinante es cero.

Ejemplo:

IAI|1 2 34 5 64 8 12|== 0

(F3= 4F1)

3.9 El determinante de una matriz triangular superior o inferior, es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo:

IAI=|1 0 04 2 05 8 12|=(1)(2)(12)= 24

3.10 Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, así este multiplicada previamente por un numero real, su determinante no varía.

Ejemplo:

IAI=|1 2 34 5 63 7 0|=| 1 2 3

4 5 63+1 7+2 0+3| =|1 2 3

4 5 64 9 3|=33

3.11 Si un determinante es multiplicado por un número real, cualquiera de sus filas o columnas, pero solo una, queda multiplicada por el número.

Ejemplo:

IAI= |1 9 14 3 08 8 12|3*IAI= |1 0 0

4 6 05 24 12|C2*3

3.12 Si los elementos de una fila o una columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

Ejemplo:

IAI= | 1 5 71 2 02+3 5+7 1+8|=|1 5 7

1 2 02 5 1|+|1 5 7

1 2 03 7 8|

3.13 El determinante del producto de dos matrices de igual orden es igual al producto de dos determinantes.

Ejemplo:

A=[1 35 7 ] B=[2 4

6 8 ] A*B=[20 2852 76 ]

IA*BI=|20 2852 76|=|1 3

5 7|*|2 46 8|= (-8)(-8)=64

4.- Calculo de determinantes por propiedades.

Haciendo la escalonada de la matriz es la mejor forma para darse cuenta de las propiedades ya mencionada:

4.1

IAI= | 2 54+3 1+2|=|2 5

4 1|+|2 53 2|= (2*1)-(4*5)+(2*2)-(5*3)= 2-20+4-15=-29

4.2

IBI= | 2 6 8−4 5 91 8 2| F1 F3= - | 1 8 2

−4 5 92 6 8| F1(4)+F2= - |1 8 2

0 37 172 6 8 | F1(-2)+F3 = -

|1 8 20 37 170 −10 4 |F2(1/37) =-(1/37)|1 8 2

0 1 17/370 −10 4 | F2(10)+F3 =-(1/37)

|1 8 20 1 17/370 0 318/37|= -(1/37)(318/37)= -318

4.3

ICI= | 8 3 6 51 3 9 064 24 48 404 12 35 79

| F1 F2= -| 1 3 9 08 3 6 564 24 48 404 12 35 79

|F1(-8)+F2=

| 1 3 9 00 −21 −66 564 24 48 404 12 35 79

|F1(-64)+F3= |1 3 9 00 −21 66 50 −168 −528 404 12 35 79

|F1(-4)+F4=

|1 3 9 00 −21 −66 50 −168 −528 400 0 1 79

|F2(-8)+F3=|1 3 9 00 −21 −66 50 0 0 00 0 1 79

|=0

4.4

A= [1 45 7] Y B=[1 5

4 7]

IDI=|[1 45 7 ]∗[ 1 5

4 7]|=|1 45 7|*|1 5

4 7|Como B=At , entonces IAI=IBI:

IDI= ((1*7)-(5*4)) 2= 169

4.5

IEI= | 4 9 02 3 7

−2 −6 7|F1+F3=| 2 3 72 3 7

−2 −6 7|=| 0 0 02 3 7

−2 −6 7|=0

5.- Formulas para desarrollar determinantes.

Como el determinante se puede obtener solo de matrices cuadradas podemos decir que:

5.1 Para determinantes de matrices de orden 1 :

A=[a ]

Como existe un solo término el determinante será igual a ese único termino del la matriz:

IAI=|a|=a

Ejemplo:

B= [5 ]

IBI=|5|=5

5.2 Para determinantes de matrices de orden 2:

A= [a11 a12a21 a22]

Por la definición de determinante se puede deducir la siguiente fórmula según las permutaciones de la sumatoria de los elementos de la matriz:

IAI= |a11 a12a21 a22|= a11a22 – a12a21

Es decir a la multiplicación de la diagonal principal se le resta la multiplicación de la diagonal secundaria.

Ejemplo:

C= [2 67 3]

ICI= |2 67 3|= (2*3) – (7*6)= 6 – 42= -36

5.3 Para determinantes de matrices de orden 3:

A=[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

]Al igual que en el anterior caso, según la definición de determinante y las permutaciones se puede deducir la siguiente fórmula que también es llamada el método de la estrella o más conocido como el método de Sarrus que es la misma fórmula reordenada y sirve específicamente para matrices de orden 3:

IAI=|a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 -

a11a32a23

Ejemplo:

D= [1 2 45 3 06 1 2]

IDI=|1 2 45 3 06 1 2|= (1*3*2) + (2*0*6) + (4*5*1) – (4*3*6) – (2*5*2) – (1*1*0) =

(6) + (0) + (20) – (72) – (20) – (0) = -66

5.3.1 Método de Sarrus:

El método de Sarrus se lo puede expresar de otra forma para mayor comprensión, se tiene que aumentar las 2 primeras filas del determinante en la parte inferior o las 2 primeras columnas en la parte derecha:

|1 2 45 3 06 1 21 2 45 3 0

|

Ahora se suman los productos de la diagonal principal y de sus dos paralelas que tendrán signo positivo, con los productos de la diagonal secundaria y sus dos diagonales que tendrán signo negativo:

(1*3*2) + (5*1*4) + (6*2*0) – (4*3*6) – (0*1*1) – (2*2*5)=(6) + (20) + (0) – (72) – (20) – (0)= -66

5.4 Para determinantes de matrices de cualquier orden:

5.4.1 Método de Kronecker o método de cofactores

Este método consiste en sumar los productos de los adjuntos de un elemento por el elemento de cualquier fila o columna de la matriz.

El adjunto es el determinante de la nueva matriz obtenida al eliminar la fila y la columna en la que se encuentra un elemento y si la suma de los índices del elemento es impar se cambia de signo.

IAI= (a11)|a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

| - (a12)|a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|

+ (a13) |a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|IAI= (a11)[a22 a23

a32 a33] - (a12)[a21 a23a31 a33] + (a13)[a22 a23

a32 a33]IAI= (a11)(a22a33 – a23a32) – (a12)(a21a33 – a23a31) + -(a11)(a22a33 – a23a32)

Realizando las operaciones respectivas regresamos a la fórmula de la definición de determinante.

Ejemplo:

IEI= |2 6 59 0 21 4 8|

IEI= -(6)[9 21 8] + (0)|2 5

1 8| - (4)|2 59 2|

IEI= -(6)(70) + (0) – (4)(-41)= -256

5.4.2 Método de Gauss

El método de Gauss para el determinante de una matriz consiste en la triangulación de esta para poder cumplir la propiedad y tan solo multiplicar los elementos de la diagonal principal pero tomando en cuenta todas las demás propiedades de cambio de filas y columnas, multiplicaciones, etc. Se debe tomar en cuenta que no es necesario que los pivotes sean 1.

Ejemplo:

IFI= | 1 2 −1 0−5 7 8 34 9 0 −56 −1 8 3

|F1(5)+F2= |1 2 −1 00 17 3 34 9 0 −56 −1 8 3

|F1(-4)+F3=

|1 2 −1 00 17 3 30 1 4 −56 −1 8 3

|F1(-6)+F4= |1 2 −1 00 17 3 30 1 4 −50 −13 14 3

|F2(-1/17)+F3=

|1 2 −1 00 17 3 3

0 06517

−8817

0 −13 14 3|F2(13/17)+F4= |

1 2 −1 00 17 3 3

0 06517

−8817

0 027717

9017

|F3(-

277/65)+F4= |1 2 −1 00 17 3 3

0 06517

−8817

0 0 0177865

|= 1778

6.-Multiplicacion de determinantes.

La multiplicación de determinantes se basa en la propiedad ya propuesta:

“El Determinante de la multiplicación de dos matrices de igual orden es igual al producto de los determinates de esas dos matrices.”

IA*BI= IAI*IBI

Si A= [a11 a12a21 a22] y B= [b11 b12

b21 b22]IA*BI=(a11a22-a12a21)(b11b22-b12b21)=a11a22b11b22-a12a21b11b22-a11a22b12b21+a12a21b12b21

Es exactamente lo mismo que hacer una multiplicación de 2 matrices A y B, y sacar el determinante de la matriz resultado:

A*B= [a11b11+a12b21 a11 b12+a12b22a21b11+a22b21 a21b12a22b22 ]

IA*BI= a11a22b11b22-a12a21b11b22-a11a22b12b21+a12a21b12b21

Ejemplos:

1)

A= [1 47 −3] y B=[−3 8

1 0]IA*BI= (-31)(-8)= 248

2)

C= [1 4 73 2 −53 −1 9 ] y D= [−1 4 6

2 −7 31 0 −4]

IC*DI=((18)+(-21)+(-60)-(42)-(5)-(108))((-28)+(0)+(12)-(-42)-(0)-(-32))= (-218)(58)= -12644

3)

E=[4 i 69 8i ] y F= [3i 1

0 7 i]IE*FI= (-86)(-21)= 1806

4)

G=[4 2 60 6 10 0 −9] y H= [ 1 0 0

76 5 05 7 12]

IG*HI= ((4)(6)(-9))((1)(5)(12))= (-216)(60)= -12960

5)

J= [ 1 −5 7−5 0 3−1 2 −6 ] y K=[ 1 −5 −1

−5 0 27 3 −6 ]

IJ*KI= 1 puesto que K es transpuesta de J.

7.- Determinantes de orden n-simo.

Se refiere al determinante de una matriz de orden n x n es decir:

Si A= [a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 … a2na31 a32 a33 … a3n. . . . .. . . . .. . . . .an1 an2 an3 … ann

] entonces:

IAI= |a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 … a2na31 a32 a33 … a3n. . . . .. . . . .. . . . .an1 an2 an3 … ann

|Por la definición de determinantes IAI sería la sumatoria de los n! términos con sus signos correspondientes. Estos términos se forman del producto de los n elementos a donde los subíndices de las filas están en su orden original (1-2-3-4-…-n) y los subíndices de las columnas son todas las permutaciones posibles entre 1 y n.

Para resolver un determinante de orden n se pueden utilizar los métodos ya nombrados pero podría resultar muy largo el proceso, por esta razón el método más sencillo sería el de dividir la matriz en varias submatrices (matriz particionada), lo que quiere decir que desarrollemos su determinante con el método de cofactores y asi deduciendo la siguiente fórmula:

IAI= a11A11 + a12A12 + a13A13 +… + a1nA1n

Donde a cada elemento a se lo multiplica por su cofactor A.

Ejemplos:

1)

8.- Determinante de la Matriz Inversa de una Matriz no Singular.-

Una matriz no es singular cuando su determinante es diferente de cero y por lo tanto si es invertible, como en matrices no existe la división se utiliza la inversa de una matriz (A-1) que es otra matriz del mismo orden que la principal (A), es única y cumple la propiedad:

(A) x (A-1)= I (Matriz Identidad)

Por lo tanto:

IAI x IA-1I= I I I

IAI x IA-1I= 1

IA-1I= (1/IAI)

Refiriéndonos a esta división como una operación básica con la respuesta del determinante mas no con la matriz.

Ejemplos.

1)

A= [7 ] A-1= [ 17 ]IAI= 7

IA-1I= 17

2)

B= [a11 a12a21 a22]

IBI= a11a22 – a12a21

IB-1I= 1

a11a22−a12a21

3)

C= [2 45 3]

ICI=-14

IC-1I= -114

4)

D=[2 5 79 −3 −20 5 −8 ]

IDI= 2(34) – 5(-72) + 7(45)= 743

ID-1I= 1743

5)

E= [2 4 6 10 6 −2 30 0 7 −50 0 0 −1]

IEI= (2)(6)(7)(-1)= -84

IE-1I= - 184

9.- Determinante de una Matriz Transpuesta.

Como ya se mencionó en las propiedades, el determinante de una matriz y de su transpuesta son iguales puesto que tienen los mismos elementos y el reordenamiento de estos es de tal suerte que no afecta en nada a la formula de la definición:

IAI=IAtI

Ejemplos:

1)

IAI=|2−i 75 4+i|= (8-2i+1)-(35)= -(26-2i)

IAtI= |2−i 57 4+i|= (8-2i+1)-(35)= -(26-2i)

2)

IBI=|−5 −6 42 3 452 55 1 |= ((-15)+(440)+(-540))-((24)+(-12375)+(-12))=-115+12363=12248

IBtI=|−5 2 2−6 3 554 45 1 |= ((-15)+(-540)+(440))-((24)+(-12375)+(-12))= -115+12363=

12248

3)

ICI=| 100 0 0 0 0−90 −21 0 0 010000 79 55 0 0−400 75 37 −567 022 500 −2 654 48

|= (100)(-21)(55)(-567)(48)= 3143448000

ICtI= |100 −90 10000 −400 220 −21 79 75 5000 0 55 37 −20 0 0 −567 6540 0 0 0 48

|= (100)(-21)(55)(-567)(48)= 3143448000

4)

IDI=| 5 −2 40 −2 −5

−5 4 −9|F1+F3= | 0 2 −50 −2 −5

−5 4 −9|F1+F2=

| 0 0 −100 −2 −5

−5 4 −9 |=(-10)| 0 −2−5 4 |= (-10)(-10)= 100

IDtI= | 5 0 −5−2 −2 4−5 4 −9|F3+F1= | 5 0 −5

−2 −2 40 4 −14|= (5)|−2 4

4 −9|+(-5)|−2 −2−5 4 |= (5)(2)+

(-5)(-18)=100

5)

IEI= | 2−i 4 0 03 5+i 6 115 25+5 i 30 58−4 i 16 0 0

|F1(-4)+F4=

|2−i 4 0 03 5+i 6 115 25+5 i 30 50 0 0 0

|F2(-5)+F3= |2−i 4 0 03 5+i 6 10 0 0 00 0 0 0

|=0

IEtI=|2−i 3 15 8−4 i4 5+i 25+5 i 160 6 30 00 1 5 0

|F4(-6)+F3=

|2−i 3 15 8−4 i4 5+i 25+5 i 160 0 0 00 1 5 0

|=0

10.- Aplicaciones de los Determinantes: Obtención de la inversa de una Matriz.

La obtención de la inversa de una matriz por medio de la función determinante se basa en la siguiente propiedad:

A-1 = (adj ( A ))t

|A|

La inversa de una matriz es igual a la transpuesta de su adjunta sobre su determinante, esto es en caso que su determinante no sea igual a cero caso contrario la matriz no tendria inversa.

Si A= [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

]Para encontrar la adjunta de la matriz se remplazan sus elementos por su adjunta es decir por la matriz que resulta al eliminar la fila y la columna donde esta el elemento teniendo en cuenta las posiciones en donde el signo es negativo:

Adj(A)= [ |a11 a12a21 a22| −|a21 a23

a31 a33| |a21 a22a31 a32|

−|a12 a13a32 a33| |a11 a13

a31 a33| −|a11 a12a31 a32|

|a12 a13a22 a23| −|a11 a13

a21 a23| |a11 a12a21 a22| ]=

[ a11 a22−a21a12 a23a31−a21a33 a21a32−a22a31a13a32−a12a33 a11 a33−a13a31 a12a31−a11a32a12a23−a13a22 a13a21−a11a23 a11 a22−a12a21]

Entonces:

(Adj(A))t=[ a11 a22−a21a12 a13a32−a12a33 a12a23−a13a22a23a31−a21a33 a11 a33−a13a31 a13a21−a11a23a21a32−a22a31 a12a31−a11a32 a11a22−a12a21 ]

Ahora bien el determinante de la matriz A es:

IAI= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a32a23

Por lo tanto la inversa de la matriz A es igual a :

A-1=

[ a11a22−a21a12 a13a32−a12a33 a12a23−a13a22a23a31−a21a33 a11a33−a13a31 a13a21−a11a23a21a32−a22a31 a12a31−a11a32 a11a22−a12a21 ]

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a32a23

Ejemplos:

1)

A= [1 43 7]

Adj(A)= [ 7 −3−4 1 ]

(Adj(A))t= [ 7 −4−3 1 ]

IAI=-5

A-1= [7 43 1 ]−5

= [−75 45

35

−15

]2)

B=[2−i 39 3+i ]

Adj(B)= [3+i −9−3 2−i ]

(Adj(B))t= [3+i −3−9 2−i ]

IBI= ((2-i)(3+i)-(-3)(-9))=-(20+i)

B-1= [3+i −3−9 2−i]−(20+i)

= [ (59−23 i )401

(60−3i)401

(180−9i)401

22 i−39401

]3)

C= [2 −5 61 8 03 −6 3 ]

Adj(C)= [ 24 −3 −30−21 −12 −3−48 6 21 ]

(Adj(C))t= [ 24 −21 −48−3 −12 6−30 −3 21 ]

ICI= 48-36+0-144-0+15=-117

C-1= [ 24 −21 −48−3 −12 6−30 −3 21 ]

−117

= [−839

739

1639

139

439

−239

1039

139

−739

]4)

D= [2 0 04 1 08 5 4 ]

Adj(D)= [4 −16 120 8 −100 0 2 ]

(Adj(D))t= [ 4 0 0−16 8 012 −10 2 ]

IDI= (2)(1)(4)= 8

D-1= [ 4 0 0−16 8 012 −10 2]

8

= [ 12 0 0

−2 1 032

−54

14]

5)

E= [ i 2 i−1 5 i ]

Adj(E)= [ 5i 1−2i i ]

(Adj(E))t= [5i −2i1 i ]

IEI= 2i-5

E-1= [5 i −2 i1 i ]2i−5

= [ 10−25 i2910 i−429

−2i+529

2−5 i29

]11.- Aplicaciones de los Determinantes: Regla de Cramer.

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes, a estos sistemas se hles denomina sistemas de cramer, es posible utilizarla solo en el caso que se cumplan 2 condiciones:

1) El numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas.2) El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Sistema de Cramer:

(a11X 1+a12 X 2+a13 X 3+…+a1nXna21X 1+a22 X 2+a23 X 3+…+a2nXna31 X 1+a32 X 2+a33 X 3+…+a3nXn

. . . ... .

. . . ... .

. . . ... .an1 X 1+an2 X 2+an3 X 3+…+annXn

)

El determinante de la matriz formada por los coeficientes de las incognitas del sistema se le denomina Δ

Δ=|a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 … a2na31 a32 a33 … a3n. . . … .. . . … .. . . … .an1 an2 an3 … ann

|Ademas al sustituir el termino independiente por la incognita en cada una de las columnas se obtiene Δ1, Δ2, Δ3, …, Δn. Por lo tanto se tiene:

X1=Δ1Δ

, X2=Δ2Δ

, X3=Δ3Δ

,…, Xn=ΔnΔ

Ejemplos:

1)

(12 X 1+31 X2=10045 X 1−21 X 2=34 )Δ=|12 3145 −21|=(-21*12)-(45*31)=-1647

X1=|100 3134 −21|−1647

=−3154−1647=

31541647

X2= |12 10045 34 |−1647

=−4092−1647=

1364549

2)

( X1+53 X 2+75 X 3=777 X1−65 X 2+32 X3=10799 X 1+23 X 2−X 3=59 )

Δ=| 1 53 757 −65 3299 23 −1|=(65)+(12075)+(167904)-(-482625)-(736)-(-371)= 662304

X1= | 77 53 75107 −65 3259 23 −1|662304

=(5005 )+(184575 )+(100064 )−(−287625 )−(56672 )−(−5671)

662304

=526268662304

=0.795

X2= | 1 77 757 107 3299 59 −1|662304

=(−107 )+(30975 )+(243936 )−(794475 )−(1888 )−(−539)

662304=

−521020662304

= -0.787

X3= | 1 53 777 −65 10799 23 59 |

662304

=(−3835 )+(12397 )+(561429 )−(−495495 )−(2461 )−(21889)

662304=

1041136662304

=1.571

3)

(−X1+X2−X 3+7 X 4=5

3 X 1−5 X2−9 X 3+X 4=−102 X1+X2−5 X 3+8 X 4=20

X 3+7 X 5=0)

Δ= |−1 1 −1 73 −5 −9 12 1 −5 80 0 3 7

|=-0| 1 −1 7−5 −9 11 −5 8|+0|−1 −1 7

3 −9 12 −5 8|- 3|−1 1 7

3 −5 12 1 8|+7

|−1 1 −13 −5 −92 1 −5|=(3)(-41)+(3)(22)-(21)(13)-(7)(34)-(7)(3)-(7)(13)=-680

X1= | 5 1 −1 7−10 −5 −9 120 1 −5 80 0 3 7

|662304

=−3| 5 1 7

−10 −5 120 1 8|+7|

5 1 −1−10 −5 −920 1 −5|

662304

=

−3 (525 )+7(−150)662304

= −2625662304

= -0.004

X2= |−1 5 −1 73 −10 −9 12 20 −5 80 0 3 7

|662304

=−3|−1 5 7

3 −10 12 20 8|+7|

−1 5 −13 −10 −92 20 −5|

662304

=

−3 (550 )+7(−325)662304

=−3925662304

= -0.006

X3= |−1 1 5 73 −5 −10 12 1 20 80 0 0 7

|662304

=7|−1 1 53 −5 −102 1 20 |662304

=7 (75)662304

=525662304

= 7.927E-4

X4=|−1 1 −1 53 −5 −9 −102 1 −5 200 0 3 0

|662304

=−3|−1 1 5

3 −5 −102 1 20 |662304

=−3 (75 )662304

=−225662304

= -3.397E-4

4)

( X1+X2+X 3=1007 X 1+4 X 2+7 X 3=325

−10 X 1+3 X 2−5 X 3=40)Δ= | 1 1 1

7 4 7−10 3 −5|= (1)(-41)-(1)(35)+(1)(61)=-15

X1= |100 1 1325 4 740 3 −5|

−15

= (100 ) (−41 )−(1 ) (−1905 )+(1 )(815)

−15=−1380−15 =92

X2=