determinantes

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS, GEOLOGA Y CIVIL

DEPARTAMENTO ACADMICO DE MATEMTICA Y FSICA

MATEMTICA PARA INGENIERA

VLADIMIR ACORI FLORES

AYACUCHO

2015

ndice general

1. Determinantes 1

1.1. Determinantes. Definicin y primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. La regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Relacin entre la inversa y los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Breve historia de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II

Captulo1Determinantes

Introduciremos un nuevo concepto, determinante asociada a una matriz. Este concepto nos permite sim-

plificar operaciones matriciales para el clculo del rango y de la inversa de una matriz.

Historicamente, los determinantes precedan a las matrices, un hecho curioso a la luz de la forma como

se ensea el lgebra lineal en la actualidad, con las matrices antes que los determinantes. No obstante, los

determinantes surgen independientemente de las matrices en la solucin de muchos problemas prcticos, y la

teora de los determinantes estaba bien desarrollada casi dos siglos antes de que a la matrices se les otorgara

un valor de estudio como tal.

Recuerde que el determinante de la matriz

a11 a12a21 a22

de orden 2 esdet (A) = a11 a22 a12 a21

Esta expresin se encontr por primera vez cuando se determinaron formas para calcular la inversa de una

matriz. En particular, se encontr que

A1 =

a11 a12a21 a22

1 = 1a11a22 a12a21

a22 a12a21 a11

1.1. Determinantes. Definicin y primeros ejemplos

Si es una matriz de orden 2 2 el determinante de la matriz A, denotada por det(A) |A|, es el nmero

det(A) = |A| = a11 a12a21 a22

= a11 a22 a12 a21 R.Ejemplo: Calcular determinantes de orden 2 es muy fcil, veamos:

a) |A| = 4 23 5

= 4 5 + 2 3 = 20 + 6 = 14b) |B| =

1 150 3 = 1 3 + 15 0 = 3 + 0 = 3

1

UNSCH 2015I Determinantes

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente algunos

conceptos.

Sea A matriz cuadrada de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de la matriz A, como

el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho

elemento aij , se representa por Mij .

Ejemplo: Para la matriz A =

1 3 7

5 4 23 5 0

calcular los menores complementarios de la fila 1 y columna 3.Los menores complementarios de la fila 1 son:

1. Menor complementario de -1: M11 =

4 25 0 = 0 + 10 = 10

2. Menor complementario de 3: M12 =

5 23 0 = 0 6 = 6

3. Menor complementario de 7: M13 =

5 43 5 = 25 12 = 13

Los menores complementarios de la columna 3 son:

Menor complementario de 7: M13 =

5 43 5 = 25 12 = 13

Menor complementario de -2: M23 =

1 33 5 = 5 9 = 14

Menor complementario de 0: M33 =

1 35 4 = 4 15 = 19

Ejercicio: Obtener los restantes menores complementarios de los elementos de la matriz A.

Ligado a este concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el adjunto de un elemento aij de A como el nmero:

Aij = (1)i+j Mij

es decir, es el menor complementario correspondiente acompaado de un signo mas o menos dependiendo de

la fila y columna en la que se encuentre el elemneto en cuestin.

Por ejemplo, para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la fila 1 son:

1. Adjunto de -1: A11 = (1)1+1 M11 = 1 10 = 10 (coincide con el menor complementario).

2. Adjunto de 3: A12 = (1)1+2 M12 = 1 6 = 6 (menor complementario con signo cambiado)

3. Adjunto de 7: A13 = (1)1+3 M13 = 1 5 = 5 (coincide con el menor complementario)

Captulo 1 2 Designed en LATEX by VAF.


Ejercicio: Obtener los restantes adjuntos de los elementos de la matiz A.

En general se puede saber si el signo del menor complementario y del adjunto coinciden o no, basta aplicar la

siguiente regla grfica, por ejemplo para matrices 3 3 , 4 4 y 5 5 basta fijarse en la matrices:

+ + + + +

+ + + ++ + + +

+ + + + + + + + + + + + +

donde + significa que el adjunto coincide con el menor comlementario y el indica que tienen signo contrario.

Una vez conocidos estos conceptos podemos definir lo siguiente:

Dada una matriz cuadrada A de orden n se define su determinante como la suma del producto de los

elementos de una lnea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos.

Se puede demostrar, aunque dicha demostracin excede los contenidos del curso, que el valor del determi-

nante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo.

Ejemplo: Calcular la determinante de la matriz A =

5 0 9

2 1 7

3 2 1

Elegimos la fila 1 y aplicando la definicin tenemos:

det(A) =

5 0 9

2 1 7

3 2 1

= 5 1 72 1

0 2 73 1

+ 9 2 13 2

= 5 (1 14) 0 (2 + 21) + 9 (4 + 3) = 75 0 + 63 = 138

Si elegimos la columna 3 tenemos:

det(A) =

5 0 9

2 1 7

3 2 1

= 9 2 13 2

7 5 03 2

1 5 02 1

= 9 (4 + 3) 7 (10 0) 1 (5 0) = 63 + 70 + 5 = 138

En general se elige una fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.

Ejercicios: Calcular la determinante de las siguientes matrices desarrollando por la fila o columna que decidas.

1 3 6

2 4 7

1 5 8

1 1 2 1

6 1 1 65 1 1 5

1 2 3 1

1 2 3 3 1

0 0 0 4 0

1 0 3 2 13 4 5 0 3

1 1 1 1 1

1.2. La regla de Sarrus

La definicin de determinante es bastante tedioso y se hace mucha ms pesada a medida que aumenta el

orden de la matriz A.



En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, la regla de Sarrus facilita el clculo de dichas determi-

nantes.

Sea la matriz A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, entonces el determinante de A se calcula restando dos expresionesobtenidas del siguiente modo: debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizon-

tales, se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, luego se multiplican entre s los

nmeros que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha con su propio signo y se restan el producto

de los nmeros que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda.

Ejemplo: Calcular la determinante de la matriz A =

3 6 1

4 1 55 8 7

Aplicando el procedimiento explicado, tenemos:

3 6 14 1 55 8 73 6 1

4 1 5

= (3 1 7 + 4 8 1 + 5 6 5) (1 1 5 +5 8 3 + 7 6 4)

= (21 32 150) (5 120 + 168) =

1.3. Propiedades de los determinantes

Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostracin son:

1. Si una matriz tiene fila (o columna) de ceros, el determinante es cero.

2. Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales o proporcionales, su determinante es cero.

3. Si permutamos dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.

4. El determinante es lineal en filas y columnas, es decir si los elementos de una fila o columna se escriben

como la suma de dos o ms trminos, el determinante es igual a la suma de dps o ms determinantes.

5. Si multiplicamos todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un nmero , el

determinante queda multiplicado por dicho nmero.

6. Si a la fila (o columna) de una matriz se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un nmero, el

determinante no cambia.

Esta propiedad permite utilizar un mtodo ms sencillo para calcular determinantes de orden mayor que

3.

7. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta.

|A| = |At|



8. Para una matriz A de orden n, se tiene:

|r A| = rn |A| |A B| = |A| |B|

Esta propiedad permite intercambiar operaciones elementales filas y columnas en el proceso del calculo

de los determinantes.

9. Si A tiene matriz inversa, A1, se verifica que:

|A1| = 1|A|

10. Si la matriz A es de orden n, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:

a) det(A) = 0.

b) A no es inversible.

c) rango(A) < n.

d) Al menos una fila (o columna) de la matriz A se puede poner como combinacin lineal del resto de

las filas (o columnas).

Una estrategia para tener en cuenta en el caso de determinantes de orden 4 o superior, incluso de orden 3 si

la matriz es compleja, es el mtodo de hacer ceros, puesto que el valor del determinante no cambia al realizar

ciertas operaciones elementales en filas (o columnas), como indica la propiedad 5 , siendo cuidadosos en aplicar

dicha propiedad.

As pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros una fila o columna y desarrollar por dicha

fila o columna, porque entonces slo tendremos que calcular un adjunto.

Por ejemplo, si calculamos:

2 1 3 21 3 2 41 4 4 2

3 2 1 3

F2 : F2 + F3

2 1 3 20 7 2 21 4 4 2

3 2 1 3

F4 : F4 + 3 F3

2 1 3 20 7 2 21 4 4 2

0 10 11 9

F1 : F1 + 2 F3

0 9 5 20 7 2 21 4 4 2

0 10 11 9

= 1

9 5 27 2 2

10 11 9

F1 : F1 + F2 1

16 7 07 2 2

10 11 9

= 2

16 710 11+ 9

16 77 2 = (2 (176 + 70) + 9 (32 + 49)) = (212 + 153) = 59



1.4. Relacin entre la inversa y los determinantes

Hay una estrecha relacin entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. La propiedad 8

anterior nos dice que una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es no nulo.

Adems, la matriz inversa de A, A1 se calcula de la siguiente manera

A1 =(Adj(A))t

|A|donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene de sustituir cada elemento de A

por su adjunto.

Ejemplo: Calcular si es posible la inversa de la matriz A =

1 1 1

0 1 21 0 3

En primer lugar calculemos su determinante:

|A| =

1 1 1

0 1 21 0 3

=

0 1 2

0 1 21 0 3

= -2 - 2= -4 y por lo tanto A tiene inversa.Calculando Adj(A), se obtiene

Adj(A) =

1 20 3

0 21 3

0 11 0

1 10 3

1 11 3

1 11 0

1 11 2

1 10 2

1 10 1

=

3 2 13 2 11 2 1

Por tanto:

(Adj(A))t =

3 3 12 2 21 1 1

Y entonces se obtiene

A1 =1

4

3 3 1

2 2 2

1 1 1

Ejercicios:

1. Calcular por este mtodo la inversa de las matrices:

A =

1 2 33 2 42 1 0

B =2 1 4

0 1 2

1 0 1



1.5. Breve historia de los determinantes

Como se menciono al inicio de esta seccin, la historia de los determinantes antecede a la de las matrices.

De hecho, los determinantes se introdujeron primero, de manera independiente, por parte de Seki, en 1683, y

Leibniz, en 1693. En 1748, los determinantes aparecieron en el Tratado de lgebra de Maclaurin, que incluy

un tratamiento de la regla de Cramer hasta el caso de 4 4. En 1750, el mismo Cramer prob el caso general desu regla y la aplic al ajuste de curvas, y en 1772 Laplace dio una demostracin de su teorema de expansin.

El trmino determinante no se acu sino hasta 1801, cuando lo us Gauss. En 1812, Cauchy us por

primera vez los determinantes en el sentido moderno. De hecho, Cauchy fue el responsable de desarrollar

mucha de la teora temprana de los determinantes, incluidos muchos resultados importantes que se han men-

cionado: la regla del producto para determinantes, el polinomio caracterstico y la nocin de una matriz diago-

nalizable. Los determinantes no fueron ampliamente conocidos sino hasta 1841, cuando Jacobi los populariz,

aunque en el contexto de funciones de varias variables, como se les encuentra en un curso de clculo multi-

variable. (En 1850, Sylvester llam jacobianos a ese tipo de determinantes, un trmino que todava se usa en

la actualidad.)

Hacia finales del siglo XIX , la teora de los determinantes se desarroll hasta el punto de que libros com-

pletos se dedicaban a ellos, incluido el Tratado elemental sobre los determinantes de Dodgson, en 1867, y la

monumental obra en cinco volmenes de Thomas Muir, que apareci a principios del siglo XX . Aunque su

historia es fascinante, los determinantes de hoy son ms de inters terico que prctico. La Regla de Cramer

es un mtodo desesperadamente ineficiente para resolver un sistema de ecuaciones lineales, y los mtodos

numricos han sustituido cualquier uso de los determinantes en el clculo de eigenvalores. Sin embargo, los

determinantes se usan para dar a los estudiantes una comprensin inicial de los polinomios caractersticos.

Takakazu Seki Kowa (1642-1708), Nio prodigio autodidacta, que descenda de una familia de guerreros

samurai. Adems de descubrir los determinantes, escribi acerca de ecuaciones diofantinas, cuadrados

mgicos y nmeros de Bernoulli (antes que Bernoulli) y muy probablemente realiz descubrimientos en

clculo.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), naci en Leipzig y estudi leyes, teologa, filosofa y matemti-

cas. Probablemente es mejor conocido por desarrollar (con Newton, de manera independiente) las ideas

principales del clculo diferencial e integral. Sin embargo, sus aportaciones a otras ramas de las matemti-

cas tambin son impresionantes. Desarroll la nocin de determinante, conoci versiones de la regla de

Cramer y del teorema de expansin de Laplace antes de que otros le dieran el crdito a ellos, y tendi

los cimientos para la teora de matrices mediante el trabajo que hizo sobre las formas cuadrticas. Leib-

niz tambin fue el primero en desarrollar el sistema binario de aritmtica. Crea en la importancia de

una buena notacin y, junto con la notacin familiar para derivadas e integrales, introdujo una forma de

notacin de subndices para los coeficientes de un sistema lineal que en esencia es la que se usa en la

actualidad, [1].

Ejercicios:



1. Calcular el determinante de la siguiente matriz:

A =

1 1 1 1

1 2 3 4

1 4 9 16

1 x x2 x3

B =

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x

C =

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x2

Resp. A = 2(x 1)3, B = (x 1)3(x+ 3), C = (x 1)3(x2 + 3x+ 3)

2. Calcular el determinante de la matriz D =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

.

Resp.(2 2)3

3. Calcular D =

x y z 2x 2x

2y x+ y z 2y2z 2z x y + z

.Resp. D = (x+ y + z)3

4. Sean a, b, c, d 6= 0. Calcular la solucin de la ecuacin

a+ x x x x

x b+ x x x

x x c+ x x

x x x d+ x

= 0

Resp. x = [a1 + b1 + c1 + d1]1

5. Calcular el determinante de la siguiente matriz:

1 1 1 1

1 1 + a 1 1

1 1 1 + b 1

1 1 1 1 + c

Resp.abc

6. Calcular:20k=1

1 1 1

1 2 3

1 4 k2

7. Calcular el determinante

a b c

a+ b b+ c c+ a

b+ c c+ a a+ b

Resp. 3abc a3 b3 c3



8. Sea f(x) =

a b 2a 3b1 x 0 0

0 1 x 00 0 1 x

, si f(0) = 3, f(1) = f(1). Calcular a y b.

Resp. a = 0, b = 1

9. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

A =

1 x x2 x3

1 1 1 1

1 2 3 4

1 4 9 16

B =

a2 ab ab b2

ab a2 b2 ab

ab b2 a2 ab

b2 ab ab a2

Resp. A = 2(1 x)3, B = (a2 b2)4

10.

11. Calcular:

47 26 12

119 68 33

191 110 54

+

1 2 3

4 5 6

7 8 9

12. Determinar el valor de x para que se cumpla la siguiente propiedad: la determinante de la matriz

2B es 160, siendo B =

x 3 1

x+ 1 4 2

x 2 x2 1

13. Demostrar sin calcular que

1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3

=bc a a2

ca b b2

ab c c2

14. Demostrar sin calcular

1 6 9

1 8 2

0 4 1

+

1 1 1

5 6 8

4 9 2

=

1 6 9

1 8 2

1 9 5

.15. Calcular el valor los siguientes determinantes:

5 + 3 32

5 3

1 1 0

1 2 30 1 0

2 1 3 41 2 1 00 1 2 54 3 1 2

16. Sean A y B matrices de orden n tales que: |A| = 3 y |B| = 2. Calcular:

a) |2A|

b) |B At|

c) | 12 B|



d) |A B|e) |(B A)t|f ) |(Bt At B)t|

17. Calcular los siguientes determinantes:

1 a b+ c

1 b c+ a

1 c a+ b

1 2 22 23

1 3 32 33

1 4 42 43

1 5 52 53

a 1 2 3a 1 4 1a a 2 8

a a a 3

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

18. Demostrar sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos:

0 2 4 6

1 3 5 7

10 12 14 16

21 23 25 27

,

12 15 18 21

1 1 1 1

0 3 6 9

1 2 3 4

,

7 8 9 10

12 13 14 15

17 18 19 20

21 23 24 25

,

1 a b c

1 b c a

1 c a b

1 2a b 2b c 2c a

19. Resolver las siguientes ecuaciones:

1 x 2 2

2 1 x 22 2 1 x

= 0

2 x 0 3 01 2 x 0 30 0 2 x 00 0 1 2 x

= 0

x+ 2 6 1

4 x+ 4 3

1 3 2

= 0

2 8 4 03 3 3 10 x 2 3

1 17 5 0

= 0

1 3 x 54 2 + x x

1 1 3

= 0

1 1 1

3x 6 4 x+ 43 1 1

= 020. Justificar mediante las propiedades de los determinantes la igualdad:

3 4 2

1 0 5

2 7 0

=

3 4 342

1 0 105

2 7 270

21. Demostrar, sin calcularlo, que el siguiente determinante es mltiplo de 11:

5 0 9 3

3 0 8 0

5 6 5 4

9 3 6 1



22. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:

a)

2 824 100 =

2 80 4 = 8

1 40 1

b)

5 30 20

6 9 12

1 3 0

= 15

1 6 4

2 3 4

1 3 0

= 15

1 6 4

2 3 4

2 3 4

23. Sabiendo que:

x y z

5 0 3

1 1 1

= 1. Calcular sin desarrollar:5x 5y 5z

1 0 3/2

1 1 1

x y z

2x+ 5 2y 2z + 3

x+ 1 y + 1 z + 1

24. Sabiendo que

a b c

d e f

g h i

= 5 , calcular:a b c2d 2e 2f

g h i

d e f

g h i

a b c

a+ 5c 3b c

d+ 5f 3e f 3cg + 10i 6h 2i

d b c

d 3a e 3b f 3c2g 2h 2i

25. Demostrar de la forma ms sencilla posible que:

a2 ab b2

2a a+ b 2b

1 1 1

= (a b)3

b+ c b c

a c+ a c

a b a+ b

= 2

0 c b

c 0 a

b a 0


Bibliografa

[1] POOLE, DAVID lgebra lineal, Una introduccin moderna. CENGAGE Learning, 2011.

12

DeterminantesDeterminantes. Definicin y primeros ejemplosLa regla de SarrusPropiedades de los determinantesRelacin entre la inversa y los determinantesBreve historia de los determinantes

determinantes

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