2.DETERMINANTES

2.1 DEFINICION DE DETERMINANTE

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A| (las barras no significan valor absoluto).

Determinante de orden uno

Determinante de orden dos

Dada , se define como el determinante de A como:

Determinante de orden tres

Dada

2.2. MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES

REGLA DE SARRUS Este método solo se utiliza para calculas determinantes de orden 3x3, donde lo que se realiza es aumentar filas hacia abajo o columnas a la derecha de la respectiva matriz inicial.

MÉTODO DE LA ESTRELLA

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto .

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto .

MENORES Y COFACTORES

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij, que se indica con Mijse define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésimo fila y la j-ésima columna de A. Veamos un ejemplo para poder entenderlo mejor. Sea A la matriz:

Para hallar el menor del elemento a11 debemos quitar la fila 1 y la columna 1, entonces tenemos un el determinante de orden 2x2 que multiplicara al elemento a11 y asi realizamos este mismo proceso con toda la fila o columna que tenga los menores términos o tenga ceros en su mejor caso. Debemos tener en cuenta los signos para cada menor que escogemos así si sumamos i+j y obtenemos un numero par es positivo e impar lo contrario. Del ejemplo anterior vamos a reducir la columna 1 ya que tiene los menores términos y llegaremos a obtener la siguiente expresión:

2.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. |A t|= |A|

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos .

Los elementos de una línea son combinación lineal de

las otras.

3. Un determinante triangular es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal.

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas

paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos

de otra paralela multiplicados previamente por un nº real

el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real,

queda multiplicado por dicho número cualquier línea,

pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están

formados por dos sumandos, dicho determinante se

descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

2.4 OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA O COLUMNA EN UN DETERMINANTE

1. Multiplicar una fila o una columna por un escalar no nulo el determinante queda multiplicado por dicho escalar.

Notación:

2. Intercambiar de posición dos filas o columnas el determinante queda multiplicado por -1.

Notación:

3. Sumar a una fila o columna y un múltiplo de otra el valor del determinante no cambia.

Notación:

Ejercicio:

Para que valores de λ el determinante es diferente de cero.

1. Usando el método de Sarrus

2. Usando la propiedad tres de los determinantes

Ejemplo 1:

=

Ejemplo 2:

2.5 DETERMINANTE DE VANDERMONDE

Un determinante de Vandermonde es un determinante que presenta una progresión geométrica en cada fila o en cada columna, siendo el primer elemento 1.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

c b

1 1))((

)( )(

c - b 0

-c -b 0

1 1 1

c b

c b

1 1 1

22222

acabaccabb

acab

acab

aa

a

a

))()(( bcacab

2.6 MÉTODO DEL ACUMULADOR

Este método consiste en sumar todos los elementos de todas las filas y columnas en una sola, si y solo si los elementos de las demás filas o columnas suman lo mismo.

Ejemplos:

=

2.7 CALCULO DE LA INVERSA POR DETERMINANTES

Ejemplo:

Sea:

1 Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2 Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta .

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Ejemplo:

Calcular la inversa de A

Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta

La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.