descripción y análisis de procesos de pensamiento de...

Descripción y análisis de procesos de pensamiento deestudiantes al resolver problemas matemáticos

Guillermo Cervantes*, Anibal Mendoza**, Liduvina Peñaloza***,Magdalena Ramírez****,María Margarita Viñas*****

Resumen

Esta investigación tiene como propósito comprender el complejo de manifes-taciones cognitivas y afectivas que se desencadenan en el proceso de resoluciónde problemas matemáticos. Se ubica en los principios teóricos de la psicologíacognitiva, y en particular en el marco conceptual propuesto por Alan Schoenfeld,que conjuga las siguientes categorías: conocimiento de ámbito específico,estrategias hcurísticas, estrategias metacognitivas y componente afectivo. Sedesarrolló un estudio de casos mÚltiples, y los resultados muestran que éstosse movieron dentro de un continuo, desde aquellos cuyas reacciones ante laresolución de problemas mostraron hábitos de ensayo y error relativos almanejo de símbolos sin el ejercicio de ninguna estrategia de control, hastaaquellos cuyas manifestaciones son comparables a la de los «expertos».

Introducción

El desarrollo del pensamiento se consti-tuye en la piedra angular de la formaciónintegral del individuo: función esencialde toda labor educativa. La educación

•.Profesora de Matemáticas, Universidad del Norte.~agíster en Educación.

Profesorrle Física, Universidad del Norte. Magísteren Educación ....

Profesora de Biología, Universidad del Atlánti-co. Magíster en Educación.•.•.•.•.Profesora de Psicoperlagogía, CorpomciÓn Uni-versitnria de]a Costa. Magíster en Educación...........

Profesora de Matemáticas, Univcrsidad delNorte. Magíster en Educación.

debe propiciar el desarrollo de las capaci-dadescognitivas y afectivas del que apren-de, de tal manera que le permitan la cons-trucción de una nueva representación delmundo y de sus posibilidades, así como eldespliegue de su potel)cial creativo, parael ejercicio de acciones transformadoras.

Dentro de este contexto, el aprendiza-je de las matemáticas se constituye en unamodalidad de pensamiento, que generael desarrollo de un punto de vista mate-mático, en la búsqueda de sentido de larealidad circundante y, por ende, en laconstrucción de nuevos conocimientos .Fundamenta el cO:10cimiento, el desarro-llo de un pensamiento autónomo, com-prensivo, creativo, intuitivo, flexible,

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autodeterminado, metacognitivo,. .., quedé lugar a un proceso evolutivo concep-tual en el que se interpreten procesos deinsight, heurísticas, metacognitivos, habi-lidades, destrezas y el desarrollo de unamayor sensibilidad, para establecer nue-vas consideraciones. Sensibilidad quegenerará actitudes de apertura y de cam-bios que conlleven al autodesarrollo y a laconcepción de nuevas perspectivas paraasumir la vida profesional que demandala transferencia de los conocimientosmatemáticos' a las demás esferas de lavida de relación.

Como educadores, somos conscientesde que debemos asumir estas realidadesen nuestra labor educativa, con nuevaspolíticas de acción, que promuevan eldesarrollo de procesos de comprensión-acción-reflexión, en donde las facultadesintelectuales y afectivas se conviertan enmotor y análisis de la praxis educativa.Con esta visión, realizamos la presenteinvestigación, encaminada aconocer pro-cesos de pensamiento que desarrollan·estudiantes del Ciclo Básico de Ingenie-rías durante la resolución de problemasmatemáticos, porque consideramos quecomprendiendo el complejo de manifes-taciones cognitivas y afectivas que se des-encadenan alrededor del aprendizaje delas matemáticas, particularmente en laresolución de sus problemas, se podránproporcionar elementos básicos para lacomprensión amplia del educando y, porconsiguiente, para la transformación con-tinua de nuestra praxis educativa.

De esta manera se podrá pensar enpromover posteriormente la construcciónde una didáctica regenerativa, constructi-va, que se centre en las acciones del queaprende, que propicie el desarrollo delpensamiento, el aprendizaje de un cono-

cimiento matemático construible, dejan-do atrás conceptos tradicionalistas querinden culto al dogma, al aprendizajememorístico de fórmulas, a la coberturade una gran extensión de contenido y a lapresentación de los mismos en forma ais-lada, con respecto tanto a su secuenciainterna como a su relación con otras cien-cias. Concepciones que han servido deestímulos para la construcción de percep-ciones erróneas acerca de las matemá ticascomo saber inaccesible, con lo cual se hafavorecido la baja comprensión del senti-do de su aprendizaje y, por ende, el bajorendímiento académico en las asignatu-ras matemáticas en el ámbito universita-rio.

Consideramos que si las matemáticasson producto de la construcción del indi-viduo, el abordaje de sus problemas de-penderá de cómo se propicie el desarrollode los procesos de pensamiento. Si laresolución de los problemas estimula eldesarrollo del pensamiento, sólo se ten-drán resultados exitosos en la medida enque se elimine el carácter repetitivo ymecánico del proceso, para dar paso aestrategias heurísticas que ofrezcan posi-bilidades de acercamiento a la solución, aestrategias metacognitivas que regulen elempleo eficaz de los propios recursoscognitivos y afectivos, a la formación deactitudes favorables, para que, amalga-mándose, contribuyan a que los estudian-tes se sientan seguros de sus potencialida-des, reforzando continuamente la conso-lidación y construcción de los conocimien-tos matemáticos.

La potencialización de estos eventosse constituirá en criterio para el mejora-miento de la calidad de la Educación,puesto que se intensificarían, para loseducandos, los niveles cualitativos de

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conocimientos adquiridos a partir de laexperiencia académica, de tal forma quelogren proyectarlos en su quehacer coti-diano y puedan contribuir al desarrollode la sociedad.

Las acciones propuestas están en concor-dancia con los principios y políticas de laUniversidad del Norte, así como con loslíneamientos educativos del Nuevo Pro-yecto Nacional que coloca a la educaciónen un plano más humanizante.

Con esta investigación aspiramos aposibilitar la apertura de nuevos horizon-tes en el campo de la educación matemá-tica a nivel universitario, para seguir in-dagando sobre el verdadero sentido delaprendizaje de las matemáticas, que re-dunde en el desarrollo de procesos depensamiento, durante el abordaje de laresolución de problemas.

1. Objetivos

1.1. Objetivo general

Describir, analizar y comprender los pro-cesos de pensamiento que utilizan y/odesarrollan estudiantes del Ciclo Básicode Ingenierías de la Universidad del Nor-te cuando resuelven problemas de mate-máticas.

1.2. Objetivos específicos

Reconocer y analizar:• Los conocimientos de ámbito específi-

co• Las estrategias heurísticas• Los estados afectivos• Los procesos metacognitivosque utilizan y/o desarrollan los estudian-tes en el proceso de resolución de proble-mas de la asignatura Cálculo I.

2. Marco conceptual

2.1. Concepción generaldel pensamiento

Desde el paradigma de la psicologíacognitiva, el pensamiento es consideradocomo «la capacidad que tiene el ser humanopara construuir una representación e inter-pretación mental significativa de su relacióncon el mundo,'!, lo que indica que el indi-viduo, en su relación con el mundo, lovive, lo transforma, a través del conoci-miento que ha elaborado acerca de él.

Esta definición general de pensamien-to desde el punto de vista cognitivo inclu-ye, según Mayer2 , tres ideas básicas:

a. El pensamiento es cognitivo, pero seinfiere de la conducta, ocurre interna-mente, en la mente, en el sistemacognitivo y debe ser inferido indirec-tamente.

b. El pensamiento es un proceso que im-plica algunas manipulaciones, estable-ce algún conjunto de operaciones so-bre el conocimiento, en el sistemacognitivo.

c. El pensamiento es dirigido y tienecomo resultado la «resolución» de pro-blemas, o se dirige hacia una solución.

Los aspectos afectivos son de capitalimportancia para el desarrollo del pensa-miento, debido a que contribuyen a que

1VILLARINI, A. et al. Departamento de InstrucciónPública de Puerto Rico (D.I.P.). Manual para la ense-ñanza del pensamiento (Ed. Preliminar) San Juan,~991,p. 9.

MA YER, R. Pensamiento, resolución de problemas ycognición. Barcelona, Paidós, 1986, p. 21.


se genere determinada disposición, valo-ración, confianza, interés, perseveranciay curiosidad ante cualquier situación a laque los individuos se vean enfrentados.«El afecto y la cognición no son procesosinterdependientes, sino que se interpretan,como lo hacen la masa y el peso, forman partede la realidad de la experiencia humana,,3 .

Las condiciones externas proporcio-nan fuerza rnotivacional para el progresointelectuat de suerte que circunstanciastemporales y sociales contribuyen a laformación de creencias, actitudes yemo-ciones que son utilizadas para dar res-puestas según el pensamiento afectivo(McLeod, 1992)4.

Según PiageP , el pensamiento antetodo es una forma de acción en constanteproceso de diferenciación y organización.Depende de la forma en que la persona serepresenta el mundo, es decir, de las ma-neras en que puede actuar o manipularsobre esa representación interna.

Bajo esta concepción se impone la ne-cesidad de «dejar de considerar a aquellosque aprenden y sus conductas, como productode los estímulos ambientales que reciben, paraconsiderar/os como individuos con planes,intenciones, metas, ideas, memorias y emocio-nes que usarán activamente para atender,seleccionar y dar significado a los estímulos y

3 ELISNER, Elliot. Procesos cognitivos y currículum.Barcelona, Martínez Roca, 1987, p. 58.4 McLEOD, Douglas. «Research on affect inmathematics education: A Reconceptualización», p.575. En: Grows, D. Hand·Book of research 011Mathematics Teaching and Learning. New York,McMillan, 1992, 812 p.5DE ARRUBLA, J. Didácticn y prácticn de la Enseñan-za. Bogotá, McGraw-Hill, 1982, p. 76.

obtener conocimiento de la experiencia}}6. Losaprendices no son recipientes pasivos dela información, sino que construyen susconocimientos y habilidades a partir desu conocimiento previo, tanto formalcomo informat y de la interacción con susentornas.

La construcción de conocimiento esun proceso de representación m.ental dela información a través de imágenes, no-dones y conceptos, manipulaciones men-tales de la información por medio de ope-raciones o destrezas intelectuales y dispo-siciones °actitudes hacia la información,que facilitan o dificultan su representa-ción y manipulación mental. Pensar im-plica, por consiguiente, una «actitud» quecondiciona la intensidad y el esfuerzo, lafacilidad y frecuencia con la que se codi-fica la información, se realizan operacio-nes mentales sobre esa codificación y seproducen resultados.

Si la actitud condiciona las capacida-des mentales expresadas en el orden ante-riormente mencionado, de forma similarse orienta el desarrollo del pensamientomatemático, convirtiéndolo en un proce-so de descubrimiento, interiorización,construcción y desarrollo de ideas, des-trezas y actitudes hacia el aprendizaje delas matemáticas. Este proceso requiere detoda una graduación para poder pasar dela acción al pensamiento representativo,y una serie no menos larga de transiciones

6 WICTROCK. «Educational Implications of recentresearch on Leaming memory'>, Paper presented atthe annual of the American Educational Research(March, 1982) p. 1-2. Citado por Woolfolk, Anita.Psicología Educativa. México, Prentice-Hall Hispa-noamericana, 1990, p. 244.

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para pasar del pensar a la reflexión sobredicho pensamiento.

2.2. Pensamiento matemático

Con respecto al pensamiento matemáti-co, Segura (1992) lo considera como: «Elrazonamiento lógico, la creatividad, el mode/ajematernfitico y las operaciones»7 . Por su par-te, Schoenfeld (1993) indica: «El pensa-miento matemático no sólo es razonamientodeductivo, no consiste Únicamente en demos-traciones formales, C01110 se quiere ver desdeuna óptica tradicional, en que se considera elconocimiento matemático como un cuerpo dehechos y procedimientos que tratan cantida-des, magnitudes, formas y las relaciones queexisten entre ellas"8 . Elproceso mental quesugiere qué se debe demostrar, y cómohacerla, es una parte de ese pensamientomatemático, tanto como la demostraciónque eventualmente resulta de él. Lo de-ductivo es consecuencia a veces instru-mental del método matemático.

Las herramientas de las matemáticasson la abstracción, la representación sim-bólica y / o gráfica y la manipulación sim-bólica. La actividad creadora es la partemás significativa en el hacer matemático.El proceso creativo implica andar a tien-tas, conjeturar, hacer hipótesis. Por ejem-plo, a fin de comprender un concepto, deresolver un problema, de formular unaconjetura, es preciso emplear imagina-

7 SEGURA, D., ROMERO, J. «Las matemáticas en elaula: posibilidades de construcción significativa»,en Revista Plmltenmienfos Va!. 1, N°3, Bogotá, Escue·~ Pedagógica Experimental.

CHOENFELD, A. «Leaming to think matemati-cally: Problem Solking, metacognition, and sensemaking in mathematics)', p. 234. En:Grouws, D. Op.cit.

ClOn, intuición, percepclOn profunda,emoción, experimentación, asociaciónfortuita de ideas, deseo, trabajo arduo einmensa paciencia. La extracción del con-cepto apropiado de una situación a partirde las cosas observadas, los argumentosinductivos, los argumentos por analogíay los ejemplos intuitivos para una conje-tura imprevista, son modos matemáticosde pensamiento.

2.3. Operacionalización delpensamiento matemático

La solución de problemas se constituyeen un modo de pensamiento en el cual elindividuo debe transferir su bagajecognitivo y afectivo a la situación proble-ma. La resolución de problemas es unaspecto central de las actividades profe-sionales a las que nos enfrentamos diaria-mente. Situándonos en el ámbito de laenseñanza y aprendizaje de las matemáti-cas compartimos la posición actual quemira la resolución de problemas como elobjetivo central de la educación matemá-tica.

Las principales categorías de aptitu-des implicadas en la resolución compe-tente de problemas de matemáticas (co-nocimientos de ámbito específico,estategias heurísticas, estrategias meta-cognitivas y componente afectivo) hansido derivadas de numerosas investiga-ciones realizadas en este campo. Catego-rías que engloban el complejo de manifes-taciones cognitivas y afectivas que,interpenetrándose, posibili tan la construc-ción de respuestas a los problemas, cornose puede observar en el siguiente diagra-ma:

Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 1: 1-23, 1995 s

Diagrama 1Estructura para explorar la cognición

matemática

2.3.1. Conocimiento de ámbito específi-co. Las investigaciones realizadas en tor-noa esta categoría han encontrado que losconocimientos especializados o específi-cos para resolver problemas forman unabase que debe tener las siguientes caracte-rísticas:

a. Conceptos útiles para describir losobjetivos de interés en sus dominios ylos principios o teoremas que relacio-nan tales conceptos.

b. Los conceptos y principios deben es-tar acompañados de un conocimientoexplícito: condiciones de aplicabilidadque especifiquen cuándo un conceptoo principio se podria usar adecuada-mente.

c. Procedimientos operativos que espe-cifiquen cómo pueden aplicarse losconceptos y principios para resolverlos problemas.

d. Procedimientos algorítmicos, o sea,conjuntos de reglas bastante elabora-das que automáticamente generen unarespuesta.

e. Conocimientos intuitivos e informa-les que la persona despliega sin nece-sidad de algún razonamiento. La in-tuición no sólo se agiliza para provo-car y/o facilitar algún razonamientode descubrimiento.

f. Esquemas o patrones que englobanuna serie de acciones mentales o físi-cas que actúan coordinadamen te cuan-do son activados por la experienciafisica o lógico-matemática. Tratar deentender un problema sin un esquemaapropiado es un proceso lento y difi-cil, es como perderse en un pueblodesconocido, sin tener mapa (Wool-folk, 1990)9. Los esquemas de la basedel conocimiento no son suficientes;cuando la situación que se presenta vamás allá de lo familiar, se necesita deestrategias significativas que puedenayudar a descubrir un camino correc-to de solución.

En relación con los conocimientos es-pecíficos, no es suficiente qué tan ricos encontenido, y lógicamente, consistentessean, sino qué tan bien organizados seencuentren, para facilitar el acceso a ellos.

2.3.2. Estrategias heurísticas. La heurís-tica o arte de inventar es el estudio de losmétodos y reglas de descubrimiento; seha cultivado desde la época de Euclides(IV a. de J.c.) en la que por lo menos se

9 WOOLFOLK, Anita. Psicología Educativa. México,Prentice-Hall Hispanoamericana, 1990, p. 258.

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sabía de algunas estrategias mentales quefacilitaban el abordaje y solución de pro-blemas de geometría. Pappus, célebrematemático griego, quien vivió probable-mente hacia el año 300 a. de J.c., escribióen el séptimo libro de sus collections untema que denominó Analyomenos, y queG. Polya tradujo por «arte de resolverproblemas», «Tesoro de análisis» ,0 inclu-so por «Heurística», He aquí un fragmen-to de la traducción realizada por Polyadel texto original:

La heurística, para llamarla por su nom-bre, es en resumen, una doctrina especial parael uso de aquellos que, tras haber estudiado loselementos ordinarios, desean dedicarse a lasolución de problemas matemáticos. Es la obrade tres hombres: Euclides, autor de «Elemen-tos», Apollonius de Perga y Aristaeaus el«mayor». (Pappus, siglo JII a. de J.c.)10 .

Sin embargo, lo que sí es nuevo es elénfasis pues toen las estra tegias para com-prender los procesos de pensamiento enla solución de problemas matemáticos.

Los métodos heurísticos son estrate-gias sistemáticas de búsqueda para elanálisis y transformación del problema.En palabras de Polya: «Provocan las opera-ciones in telectuales particularmente útiles parala solución de problemas»]] . Lasestrategiasheurísticas no garantizan por si solas lasolución del problema, pero sí aumentanla probabilidad de éxito. Además, poseenla cualidad de poder aplicarse a múltiplesproblemas dentro de un mismo ámbito, yaun de ser transferidas a contextos dife-

10 POL yA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Unnuevo enfoque del método matemático. México, Edito-rifl Trillas, 1965, p.133.1 ¡bid,p. 26.

rentes, aunque este último no es fácil niinmediato.

Polya, en su clásico tratado, empleó lapalabra «heurística» para connotar el ra-zonamiento inductivo y analógico queconduce a soluciones verosímiles, en con-traposición a los desarrollos deductivosde pruebas rigurosas.

La forma adecuada de entender losheurísticos de Polya es hacerla en el mar-co de su modelo prescriptivo de soluciónde problemas, que distingue cuatro fases:

a. Comprender el problema.

b. Idear un plan: Incluye la formulaciónde una estrategia general, no de unaprueba detallada. La formulación deuna estrategia de este tipo constituyeun proceso inductivo, no deductivo.Esto es importante, porque Polya sos-tiene que, en contra de la apariencia,las matemáticas constituyen un proce-so inductivo.

c. Ejecutar el plan: Aquí es donde sedesarrolla la prueba detallada y se lle-va a cabo el razonamiento deductivo.

d. Verificar los resultados.

Esta estregia directiva general semues-tra en siguiente flujograma:


Estrategia directiva general para laresolución de problemas

según G. Polya

SITUAOON PROBLEMICA

COMPRENSION DEL PROBLEMA

CONCEPCION DE UN PLAN

problema, representarlo visualmente,de modo que se puedan evidenciar laexistencia de determinadas relaciones,que de otro modo pasarían inadverti-das.

• Enunciar el problema de otra forma: Siuna manera de representar el proble-ma no conduce a la solución, entoncesvale la pena tratar de verlo desde unaperspectiva diferente.

Losheuristicos que propone Polya paraidear un plan implican, en su mayoría,que se recuerde otros problemas afi-nes que ya se sabe cómo resolverlos.

E]EOJOONDELPLAN

¿FUNOONAEL PLAN?

NO

• Si no puede resolver el problema pro-puesto, trate de resolver primero unproblema similar. La intención de esteheurística es utilizar el razonamientoanalógico.

SI

COMPROBAOON

Los heuristicos para comprender o re-presentar el problema sé pueden resumiren:

• Analizar cuidadosamente el proble-ma especificando los elementos cono-cidos y desconocidos; es decir, hayque cerciorarse de ql!€ se conoce laincógnita, los datos y las condicionesque relacionan esos datos.

• Trazar un gráfico o diagrama e intro-ducir la notación adecuada. La inten-ción de este heurística es concretar el

• Mire atentamente la incógnita y tratede recordar un problema que le seafamiliar, que tenga la misma incógnitao una similar. Este heurística es útilcuando el universo de la variable es unespacio de n-dimensiones. Entoncesse puede considerar un problema si-milar en un espacio de dos O tres di-mensiones, con el objeto de podervisualizar algún camino de solución.

• Considerar un problema relacionadocon el que se tiene y que ya se hayaresuelto.

• Considerar un problema más particu-lar.

• Considerar un problema más general.

• Sustituir la variable entera por valoresespecíficos (1,2,3,4...). Este heuristico


es particularmente útil en problemasen los que el universo de la variable esel conjunto de enteros positivos. Setrata de obtener una generalización yluego proceder por inducción mate-mática.

• Descomponer el problema en partes,hasta conseguir problemas de tamañomanejable. Este heurístico tiene la do-ble utilidad de utilizar tanto el métodocorno el resultado del problema mássencillo para resolver el problema másdifícil.

Con respecto a los heurísticos paraejecutar el plan, hay que recordar quePolya considera que ésta es la fasedeductiva del proceso, por lo que no pre-sentó heurísticos propiamente dichos.

Los heurísticos para verificar los re-sultadossonmuy importantes. polya con-sidera que existe una tendencia natural,aun en los buenos estudiantes, a darse porsatisfechos una vez se ha obtenido la solu-ción del problema. Entre los heurísticosde verificación de resultados mencionalos siguientes:

• Tratar de resolver el problema de unmodo diferente.

• Verificar las implicaciones de la solu-ción.

Reconsiderar la solución, reexaminarel resultado y el camino que condujo a esasolución, ayuda a consolidar los canad·mientos y a desarrollar las aptitudes pararesolver problemas.

Las estrategias heurísticas son valio-sas herramientas en el campo de la solu-ción de problemas, particularmente cuan-do se trata de problemas con los que no se

está familiarizados. Sin embargo, estu-dios realizados por varios investigadoreshan encontrado resultados que puedenresumirse así: No sólo es lo que sabes, escómo y cuándo lo usas. Los expertos tien-den más que los novatos a proceder a unarevisión ejecutiva del proceso en que es-tán implicados, son actores y observado-res: trabajan en la solución del problemay se vigilan críticamente mientras lo ha-cen. Esto nos indica la importancia delcomponente de la estructura.

2.3.3. Estrategias metacognitivas. El tér-mino «metacognitivas}} fue introducidopor los psicológos para referirse al cono-cimiento y control de las actividades depensamiento y aprendizaje. En las con-cepciones que manejan diversos autoressobre la metacognición se puede observarque coinciden, de una manera u otra, endefinida como el conocimiento que tie-nen los sujetos acerca de la fortaleza odebilidad de las capacidades cognitivaspara la adquisición, el empleo y el controldel conocimiento.

Woolfolk, A. (1990)12 se refiere a lametacognición corno la capacidad parasaber qué hacer, cómo y cuándo en laejecución de una tarea específica.

Donald Meichenbaum y sus colabora-dores (1985)han descrito la metacognicióncomo: «estar consciente de la propia maqui-naria cognitiva y de cómofunciona»13 .

Nickerson, R. (1990)14 plantea que la

12 WOOLFOLK, A. Op. cit., p. 76.13 MENCHENBAUM, D. ef al. «Metacognitiveassesmenh). Yussen (Ed.). The grout/¡ or refleclion inc1lildren. Academic Press. Citado por: WOOLFOLK,A. Op. cit. p. 76.14 NICKERSON, R. el al. Enseñara pensar. Barcelona,Paid6s, 1987, p. 125.

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metacognición es el conocimiento sobreel conocimiento e incluye el conocimientode las capacidades y limitaciones de losprocesos de pensamiento.

Flavell (1978)15define la sustancia delconocimiento metacognitivo a través detres tipos de variables y sus interaccionesrespectivas:

1. Variables personales, que comprendentodo lo que uno podría decir de símismo y de las demás personas consi-deradas como seres cognitivos.

2. Variables de la tarea, que se refieren alconocimiento de lo que implican lascaracterísticas de una tarea cognitiva,en cuanto a las dificultades de ésta y elmejor modo de enfocarla.

3. Varibales de la estrategia, que implicanel conocimiento de los méritos relati-vos de los diferentes enfoques en unamisma tarea cognitiva.

En el mismo sentido, Villarini et al.(1991)16presentan lametacognición comola capacidad que tiene el pensamientopara examinarse a sí mismo y que le per-mite al ser pensante estar consciente delos procesos que ocuerren mientras pien-sa. Plantean que la metacognición tienetres elementos: la autorregulación, el con-trol ejecutivo y el control del conocimien-to.

15 FLA VELL, J. Cognitive monitoring. Texto presen·tado en la Conferencia sobre técnicas oralescomunicativas de los niños. Universidad deWisconsin. Del. 1978. Citado por Nickerson, R. el al.?l' cit., p. 125.1 VILLARINI, A. el al. La ensc,ianza orientada nidesarrollo del pensamiento. S.1. s.n. 199?, p. VI-S.

La autorregulación está relacionadacon la dedicación, la atención y las actitu-des. La dedicación es la energía que se lededica a una tarea, y puede ser controla-da; la atención se relaciona con lo que seprivilegia, el ser humano puede enviarmensajes a sí mismo en términos de lo quedebe ser atendido; la actitud es la predis-posición negativa opositiva hacia un pro-blema específico y que influye en el pro-ceso de pensamiento.

El control ejecutivo tiene que ver conla planificación, el control y la evaluaciónde las estrategias y del mismo proceso depensamiento, verificar si las estrategiasplanificadas se han ejecutado y ajustar elproceso de acuerdo a los obstáculos yresultados que se van encontrando. Elproceso de control ejecutivo es cíclico ysimultáneo.

El control del conocimiento se refiereal estar consciente del conocimiento quese tiene y del que se necesita para abordaruna determinada tarea, además de lasmaneras de procesar la información, queresultan efectivas en dicha tarea. Estoquiere decir que el control del conoci-miento está relacionado con las respues-tas a las siguientes preguntas: ¿qué co-nozco?, ¿qué necesito conocer?, ¿cuándoy por qué puedo utilizar este conocimien-to? y ¿cómo puedo utilizarlo?

Estos elementos metacognitivos fue-ron los que utilizamos para el análisis dedicho componente enlos procesos de pen-samiento que desarrollaron los sujetos dela investigación en la resolución de losproblemas. Pensamos que estos tres ele-mentos se articulaban bien con las catego-rías expuestas anteriormente: conocimien-tos de ámbito específico y estrategiasheurísticas corno con el componente afec-


tivo que a continuación resumiremos.

2.3.4. Componente afectivo. Los aspec-tos afectivos juegan un papel central en elaprendizaje e instrucción matemáticos.Los comentarios respecto al gusto (u odio)hacia las matemáticas son tan comunescomo los reportes de notas o de activida-des instruccionales, y estas observacionesinformales soportan la opinión de que elafecto juega un papel significativo en di-cho aprendizaje.

El componente afectivo se referirá aun amplio rango de actitudes, sentimien-tos y temperamentos, que van a estargeneralmente relacionados detrás del do-minio del conocimiento.

En el contexto educativo, hablar deeducación conlleva hablar del perfeccio-namiento de la persona, lo que implicaconsiderar su forma de ser, de relacionar-se con su ambiente, de construir conoci-miento, por lo que consideramos primor-dial el estudio de las actitudes con que losestudiantes abordan la tarea de resolu-ción de problemas matemáticos.

Gairin (1988),en su estudio sobre lasactitudes en educación, se refiere a ellascomo: «instancias que nos predisponen ydirigen sobre los hechos de la realidad; repre-sentan una síntesis personal que filtra nues-tras percrciones y orienta nuestro pensa-miento»l , de esta manera se facilitaría ose impediría la adaptación de la personaal contexto.

La actitud hacia determinada activi-dad puede ser positiva y negativa, es

17 GAIRIN, J.LAs actitudes ell educación. Barcelona,P.P.V. ,1988. p. 123.

decir, una persona puede estar bien o malpredispuesta y prejuiciada hacia deter-minada situación, particularmente haciala resolución de los problemas matemáti-cos.

En este estudio se tuvieron en cuentalas actitudes hacia las matemáticas, cons-cientes de que hasta los conceptos abs-tractos se asocian en nuestras mentes consentimientos y emociones. Por ejemplo,se califican los teoremas como «fuertes» o«débiles»; de los números se dice que son«fríos», «serios». De igual manera, losprocesos de percepción, comprensión,inducción son llevados a cabo con «áni-mo» o «desánimo», «apertura» o «blo-queo», etc.

Elagrado, la confianza, la motivación,la ansiedad y las creencias hacia las mate-máticas son aspectos determinantes delas actitudes con que los estudiantes abor-dan la tarea de resolver problemas mate-máticos, razón por la cual fueron conside-rados como elementos esenciales para laconstrucción de una escala, actitud quesirvió de apoyo para aproximarnos a lacomprensión de los estados afectivos delos sujetos en el abordaje de esta tarea.

A continuación se muestra un diagramamás detallado de la estructura para laexploración de la cognición matemática:

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Estructura para la exploración de la cogniciónen la resolución de problemas en matemáticas

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3. Metodologia

En esta investigación se realizó un estu-dio cualitativo de los procesos de pensa-miento que desarrollan estudiantes delCiclo Básico de Ingenierías de la Univer-sidad del Norte, en la resolución de pro-

blemas matemáticos, concernientes a laasignatura Cálculo 1,procesos de natura-leza compleja que fueron analizados conla ayuda del modelo teórico sobre el pen-samiento y la cognición matemática ex-puesto previamente.


Para aproximamos a este propósito seescogió la modalidad de estudio de casos,para de esta manera seguir más de cercaestos procesos de un modo profundo yexhaustivo, con el objeto de obtener unconocimiento más amplio y detallado.

Se recogieron datos de indole cualita-tiva: grabaciones, observaciones, entre-vistas, autobiografías en relación con elaprendizaje de las matemáticas, escala deactitud hacia la resolución de problemasmatemáticos, los cuales permitieron ana-lizar con mayor amplitud el complejo demanifestaciones cognitivas y afectivas.

Aunque el estudio de casos presentalimitaciones en cuanto a sus posibilida-des de generalización, esperamos que losresultados obtenidos se constituyan enun aporte valioso en el ámbito de la edu-cación matemática, una pauta que orientela búsqueda de nuevas estrategias de ac-ción dirigidas a propiciar el aprendizajesignificativo de las matemáticas.

Se seleccionaron nueve estudiantes dela población estudiantil del Ciclo Básicode Ingenierías, todos de sexo masculino,de acuerdo con los siguientes criterios:nivel de estudios y rendimiento académi-co.

Fueron escogidos tres estudiantes porcada uno de los semestres, segundo, ter-cero y cuarto, según su rendimiento aca-démico en matemáticas: alto, intermedioy regular.

Los instrumentos y técnicas para larecolección y análisis de la información serecogen en la siguiente tabla:

Instrumentos y técnicas metodológicaspara la recolección de información

PROBLEMASRETROSPECCION

MATEMATICOS RESOLUCION ENVOZ ALTA

TRANSCRIPCIONES DE LAS GRABACIONESDE LAS SESIONES DE RESOLUCION

DE PROBLEMAS

AGRADOESCALA DE ACTITUD CONFIANZA

(TIPO LIKERT)MOTIVACION

HACIA LOS PROBLEMAS ANSIEDADMATEMATICOSCREENCIAS

MATRIZ DE ANALISIS

ONOCIMIEN ESTRATEGIAS COMPONEN- COMPONEN-TOS DE HEURISTICAS TE TEAMBITO MErACl::U'JII1\.O AFECTIVO

ESPECIFICO

INFORMACION ADICIONAL

- ENTREVISTAS PERSONALES- OBSERVACION DIRECTA DURANTE LA

RESOLUCION DE PROBLEMAS- AUTOBIOGRAFIA DEL APRENDIZAJE DE

LAS MATEMATICAS

El trabajo realizado se desarrolló encinco sesiones individuales de resoluciónde problemas relativos a las temáticasque consideramos relevantes: Ecuacioneslineales, geometría analítica bidimensio-nales, máximos y mínimos de funciones yrazones de cambio relacionadas. En cadasesión, cada estudiante participó en laresolución de dos problemas; en el desa-rrollo del primer problema se utilizó latécnica de retrospección, y en el segundo,la resolución en voz alta. Considerandoque en el orden inverso los estudiantesinicialmente experimentaban cierto gra-do de intranquilidad, lo que podría llegarincluso a bloquear el proceso. Se observóque a medida que fueron transcurriendo


las sesiones los estudiantes se sintieron enun clima de mayor confianza, lo cual fa-voreció el desarrollo de la investigación.

Para el desarrollo de cada una de estassesiones se siguienron tres etapas: laescogencia de los problemas de acuerdo alas necesidades propias del aprendizajede Cálculo l. La aplicación de estos pro-blemas sin previa información de la temá-tica pertinente. En esta etapa alguno delosmiembros del equipo de investigaciónsiempre estuvo presente, a fin de realizarlas grabaciones de audio respectivas, almismo tiempo que se registraban el com-portamiento afectivo de cada estudiantea nivel de manifestaciones físicas exter-nas que proporcionasen indicios relati-vos a su estado emocional, así como elempleo de conocimientos de ámbitoespe-cHico, estrategias heurísticas y metacog-nitivas desplegadas en el proceso paraacumular informaciones complementa-rias que contribuyesen al análisis poste-rior. La etapa de análisis propiamente serealizó bajo previa audición y transcrip-ción de las grabaciones realizadas duran-te las sesiones de trabajo, con base en lamatriz de análisis que se construyó te-niendo en cuenta las categorías estudia-das.

4. Conclusiones

Sin pretender establecer conclusionesdefinitivas y generales acerca de los pro-cesos de pensamiento desarrollados porestudiantes del Ciclo Básico de Ingenie-rías en la resolución de problemas mate-máticos, se mencionan las manifestacio-nesmás relevantes, con el fin de aportar alconocimiento de estos procesos, para ha-cer más viable el aprendizaje de las mate-máticas, calificado tradicionalmente decomplejo e inaccesible.

Cada uno de los casos analizados pre-sentó una actitud altamente favorable yde apertura hacia las matemáticas, inicia-da en el seno familiar, donde los nexosentre sus progenitores o parientes con lasmatemáticas eran estrechos. Algunos deéstos son profesionales de la Ingeniría o ladocencia matemática, circunstancia quemotivó a estos estudiantes a sentir predi-lección por esta materia en el ámbito delas Ingenierías. Esta interacción les ayudóaltamente a la formación de concepcionesacerca de esta ciencia, e influyó en supredisposición positiva hacia el aprendi-zaje de las mismas yen la escogencia de sucarrera.

Tales actitudes fueron reforzándose,en lamedida en que su desempeño acadé-mico fue alcanzando altos niveles, lo cualles hizo merecedores de alta credibilidaden el círculo de sus compañeros, quienesacudían a favorecerse de sus explicacio-nes, y aun de sus profesores, quienes,reconociendo sus cualidades, contribu-yeron a fomentar en ellos un mayor nivelde compromiso hacia la materia, impo-niéndose en algunos el reto deinvolucrarse en la resolución de proble-mas matemáticos.

Pese a estos antecedentes, a través delestudio se fueron particularizando loscomportamientos de cada uno de los ca-sos en la .resolución de los problemas,coincidiendo en la mayoría de ellos consus niveles de rendimiento académico,que se tuvieron en cuenta para su esco-gencia.

En relación con las categorías estudiadas(conocimiento de ámbito especifico, es-trategias heurís ticas,estrategias metacog-nitivas y componente afectivo), los casosse movieron dentro de un continuo, des-

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de aquellos cuyos conocimientos mate-máticos no han sido apropiados median-te procesos de construcción y reflexión-ya que sus reacciones ante la resoluciónde problemas mostraron hábitos de ensa-yo y error relativos al manejo de símbolossin el ejercicio de ninguna estrategia decontrol, la ausencia de estra tegiasheurísticas y metacognitivas que les im-pidieron reconocer qué conocimientos senecesitaban, cómo y cuándo aplicarlos-hasta aquellos cuyas manifestaciones enla resolución de problemas son compara-bles a la de los «expertos», la calidad desus conocimientos indicó un alto nivel decomprensión que les ha permitido cons-truir una base sólida de esquemas, estra-tegias heurísticas y metacognitivas que sehan ido entretejiendo en una red que sefortalece en la medida en que se van gene-rando nuevos conceptos y procesos paraabordar problemas matemáticos y cons-truir nuevos conocimientos.

A pesar de que todos los casos presen-taron una actitud positiva hacia la resolu-ción de problemas matemáticos, sin em-bargo, en la mayoría de ellos se presentó

un conflicto emocional cuando al leer elproblema querían hacer algo y no podían,quizás por no contar con una base sólida,de conocimientos, lo cual creó en algunosun bloqueo insuperable. Los procesosafectivos influyeron en los estudiantes,dependiendo de lo que sucedía en losprimeros momentos del proceso, es decir,si durante ese primer lapso lograban com-prender el problema, reforzaban su moti-vación, confianza y energías para prose-guir en la solución del mismo. Si, por elcontrario, la comprensión del problemase tornaba difícil, entraban en estado denerviosismo/lo cual provocaba rigidez enla manera de plantear hipótesis alternati-vas de solución, y esto, a su vez, dificulta-ba el proceso hasta bloquearlo. Influye-ron, así mismo, en el estado emocionaCacontecimientos acaecidos en la interacciónde los estudiantes con sus entornos familiary académico, que en algunos de los casosprovocaron abandono de la tarea.

A continuación se presentan las sínte-sis aproximadas de los procesos más fre-cuentes que caracterizaron a algunos delos casos analizados en el estudio:

SINTESIS DEL ANALISIS DEL CASO F.H.

CONFIANZASI

AUSENCIA DEESTRATEGIASHEURISTICAS

AUSENCIA DEESTRATEGIAS

METACOGNITIV AS

NO ANSIEDADPROVOCA

INSEGURIDAD


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El siguiente listado resume las carac-terísticas entre las cuales estuvieron losprocesos desarrollados por los estudian-tes en la resolución de problemas de laasignatura Cálculo 1:

• Categorizan con facilidad, identifican-do conceptos, principios y procedimien-tos, lo que los lleva a construir una formu-lación matemática del problema.

• Poseen claridad conceptual y capaci-dad para establecer relaciones.

• Poseen habilidad, precisión y seguri-dad en el manejo de procedimientosalgebraicos y algoritmicos requeridos enla solución de los problemas.

• Han desarrollado cierta capacidadpara intuir física y geométricamente lassituaciones problemas, lo que les facilitala comprensión de éstas.

• Presentan dificultades para abstraerla situación planteada en términos deprin-cipios y conceptos y por tanto en la for-mulación matemática del problema.

• Recuerdan nombres y fórmulas, perono propiamente conceptos.

• Experimentan inseguridad en el ma-nejo de los procedimientos rutinarios, locual les lleva a cometer errores de carácteroperativo.

• No realizan esfuerzos por intuir físicay geométricamente el problema, prefie-ren ensayar Íórmulas sin ningún control.

• Han desarrollado su capacidad espe-cial, para representar gráficamente (en elplano y en el espacio) las situaciones plan-teadas en los enunciados verbales.

• Utilizan el gráfico como estrategiaheurística introduciendo en él, notacio-nes adecuadas que contribuyen a eviden-ciar y construir relaciones fundamentalespara la solución del problema.

• La organización de los conocimiertoses flexible y móvil con gran número deconexiones, lo cual les permite recordar yrecuperar con facilidad la informaciónalmacenada en la memoria, paraemplear-la en diversas situaciones.

• Poseen una estrategia directa generalque englobe: Diseño de un plan, ejecucióny verificación de resultados.

• No traducen (o les es difícil hacerlocorrectamente), la representación verbalo simbólica a la representación gráfica.

• Presentan limitaciones en la interpre-tación gráfica, lo que restringe la com-prensión y la construcción de relacionesfundamentales.

• Laorganización de sus conocimientosse asemeja a un sistema de éstos, lo quedificulta el acceso a la información (defi-niciones, teoremas, etc.), lo cual, a su vez,genera un desgaste de energias que pro-vocan bloqueo emocional y cognitivo.

• Su comportamiento es impulsivo, nose detiene a planificar una secuencia mí-nima de pasos.

• Poseen estructuras de conjuntoconstruídas a través de un proceso conti-nuo de reflexión englobado en el circulocomprensión-explicación-comprensión.

• Construyen hipótesis alternativas paraobtener inicialmente una comprensiónamplia del problema, identificar una exi-


gencia final y con ello tomas las medidasoperativas necesarias para llegar a la so-lución final.

• Demuestran alto grado de atención ydedicación a la tarea de resolver proble-mas, revisando constantemente sus pro-cedimientos y resultados parciales, paraconstatar la validez y coherencia lógicadel procedimiento, las implicaciones delos resultados, con el fin de llegar a esta-blecer generalizaciones.

• Usan el análisis dimensional como es-trategia de control del proceso y de losresultados.

• Su base de conocimientos parece estarconstituida por un conjunto de operacio-nes parciales y hábitos relativos almanejomecánico de fórmulas.

• No analizan otras posibilidades desolución, lo que les impide establecernuevas consideraciones cuando suspromeros intentos resultan infructuosos.

• Pierden fácilmente la concentraciónen el desarrollo del proceso, desviando suatención hacia detalles no significativos,en lugar de analizar la coherencia y vali-dez de su razonamiento.

• No u tilizan el análisis dimensional riicon el proceso ni en los resultados.

• Ejercen control sobre su estadoerncoional, con el fin de distraer su aten-ción ni disminuir la confianza en sus po-tencialidades.

• Dan muestras de poseer una alta mo-tivación, deseo de disfrutar y superar elreto de resolver problemas.

• Experimentan con facilidad estado deansiedad inhibitorio que favorece el blo-queo cognitivo y afectivo, que lo llevan alabandono de la tarea.

• La resolución de problemas se ha con-vertido en una tarea a la cual no deseanenfrentar.

5. Recomendaciones

Con el propósito de promover lineas deacción tendientes a la construcción de unadidáctica que se centre en las acciones delque aprende, que propicie el desarrollodel pensamiento y el aprendizaje de unconocimiento matemático construiblemediante la resolución de problemas, es-tablecemos las siguientes consideracio-nes:

• Planificar y desarrollar un seminariopermanente de profesores en el cual sediscutan las teorías acerca de la naturale-za, enseñanza y aprendizaje de las mate-máticas.

• Diseñar y aplicar «formas») que propi-cien el desarrollo de estrategias para re-solver problemas de matemáticas. Unprograma eficaz para mejorar o desarro-llar las capacidades de los estudiantespara resolver problemas debe guiades:

* A tomar un tiempo adecuado para lareflexión previa, tratando de construir elsentido del problema.

* A ubicarse con atención y claridad entodas las situaciones que plantea el pro-blema.

* A planificar el procedimiento que sedebe seguir.


11- A la concentración permanente, evi-tando la precipitación acerca de la res-puesta.

11- A pensar en nuevas maneras de solu-ción, o bien plantear estrategias de bús-queda, pero con base a un conocimientode ámbito específico regulado y controla-do, evitando de esta manera el ensayomecánico de fórmulas.

• A adquirir habilidad sobre algunosprocedimientos generales para la resolu-ción de problemas.

• A ampliar y a reestructurar la base deconocimientos.

11- A una interacción dinámica entre losconceptos matemáticos y los procesos.

11- A «sentir» el problema a través de larepresentación gráfica que ayude al sur-gimiento de ideas o posibles caminos desolución.

• A crear problemas a partir de los yaconocidos.

• A transferir la estructura de un pro-blema y su solución a diferentes contex-tos.

• A volver sobre el problema. El hábitometacognitivo determina favorablemen-te un control adecuado y una evaluaciónformativa o por etapas en la medida enque se avance en el proceso, y garantizaresultados favorables. Además, conducea analizar detalladamente lo que se haceantes de aceptado.

Esta nueva apertura reforzará el com-portamiento recursivo que vayan adop-tando los estudiantes en la medida en que

resuelven problemas matemáticos, y susresultados les llevarán a valorar que nosólo es lo que lleguen a saber, sino cómo,cuándo y cómo lo utilizan, ayudándoles adesarrollar habilidades de autorregula-ción durante la solución de problemasmatemáticos, como también a ser auto-críticos, con base en reflexiones detalla-das sobre los aciertos y desaciertos en laresolución de problemas matemáticos.

Elproceso evaluativo debe fundamen-tarse en indagar sobre qué están haciendolos estudiantes, esto es, si son capaces dedescribir o trabajar sobre el proceso plan-teado, cómo lo están haciendo y cómo loencajan dentro de la solución.

Una sugerencia relativa a la metodologíade trabajo en el aula es la siguiente:

a. Clases «teóricas»: exposiciones parapresentar e ilustrar el uso demetodologías para resolver problemaspropuestos por distintos autores:Poiya, Schoenfeld, Newell y Simón.

b. «Talleres». En los cuales el profesormodela la conducta de «ver})y repre-sentar un problema, explica las difi-cultades de «ven) el problema sólo através de su enunciado verbal y aclaracómo usar la estrategia directiva gene-ral elegida y los heurísticos pertinen-tes.

Los estudiantes se organizan en gru-pos de trabajo, designando un protoco-lante que escriba las soluciones a los pro-blemas planteados. Después se hace unapuesta en común en la que cada grupopresenta y explica su proceso de solución.

A su vez, el profesor da realce a lasdiferentes representaciones, con el fin deestablecer comparaciones entre los dife-


rentes procesos realizados. Finalmente,realiza un proceso de retroalimentación yasigna problemas adicionales.

El seminario y los talleres en el aulason procesos que se nutren mutuamente,para incorporar al trabajo nuevas estrate-gias heurísticas y metacognitivas y fun-damentarlas teóricamente con el fin deconfigurar bases sólidas que soportennuestra práctica pedagógica en el ámbitode la educación matemática.

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descripción y análisis de procesos de pensamiento de...

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