5.dispersión de partículas -...

Dispersión de partículas sólidas en flujos bifásicos turbulentos de interés industrial*

Santiago Laín Beatove**, Cristian A. Grillo López***

Resumen

Los Flujos Multifásicos tienen una destacada importancia en una gran variedad de sistemas técnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos de transporte, separación, combustión, flujo sanguíneo, transporte capilar, etc. En Mecánica de Fluidos, la simulación numérica por ordenador constituye toda una rama conocida como Mecánica de Fluidos Computacional. El número de problemas abordados desde esta perspectiva crece día a día conforme aumenta la potencia y la velocidad de los computadores (al mismo tiempo que disminuye su precio), mientras que el costo de los ensayos de laboratorio crece sin cesar.

Este trabajo aborda el problema de la dispersión de partículas en un campo de flujo subyacente turbulento por medio de la simulación numérica.

La aproximación propuesta se centra en el uso de un programa computacional ya existente dentro del Grupo de Investigación de Mecánica de Fluidos de la Universidad Autónoma de Occidente (Cali, Colombia) y de su extensión para mejorar las predic-ciones teóricas de las propiedades turbulentas de la fase discreta en configuraciones de flujos bifásicos turbulentos cargados con partículas.Palabras claves: Turbulencia, flujo bifásico, dispersión turbulenta de partícu-las, modelos lagrangianos.

Abstract

Multiphase flow play a key role in a variety of technical, industrial and nature systems such as transport processes, segregation, combustion, capilar transport and many others.

The numerical simulation in Fluid Mechanics, known as CFD, is nowadays one of the main areas of research around the world. The number of industrial problems approached by CFD increases rapidly due to the constant improvement of computer speed (with prices decreasing simultaneously) and the increase of the cost of experi-mental tests.Fe

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INGENIERÍA& DESARROLLONúmero 17Enero-Junio, 2005ISSN: 0122-3461

* Este artículo es resultado del proyecto de investigación titulado “Dispersión de partículas sólidas en flujos de interés industrial”, financiado por la Universidad Autónoma de Occidente a través de la Vicerrectoría de Investigaciones.

** Doctor en Ciencias Físicas, Programa de Doctorado Mecánica de Fluidos, Universidad de Zara-goza (España). Director del grupo de investigación en Mecánica de Fluidos, Universidad Autónoma de Occidente. Dirección: Calle 25 N° 115-85, Km 2, vía a Jamundí, Cali (Colombia) [email protected]

*** Ingeniero mecánico, Universidad Autónoma de Occidente, Cali (Colombia).

88 Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005

Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López

1. INTRODUCCIÓN

Por Flujo Multifásico se entiende todo proceso termomecánico en el que inter-viene un fluido donde coexisten varias fases. La palabra fase adquiere aquí un sentido generalizado, entendiéndose por tal tanto un estado de agregación de la materia como determinadas porciones materiales de una o varias sustancias distinguibles por saltos significativos de sus propiedades. Dicho cambio puede consistir en variaciones, no sólo de composición o estado, sino también de variables particulares: velocidad, vorticidad… Dentro de un Flujo Multifásico se distinguirá una fase fluida que se extenderá en toda la región de desarrollo del flujo, llamada fase continua. En este seno fluido, líquido o gas, se encon-trarán porciones de otra materia o bien elementos de la misma sustancia en estado distinto del existente en la fase continua. La superficie frontera entre las fases se conoce con el nombre de entrefase.

Si en el flujo se pueden definir dos o más fases continuas, nos encontramos ante un flujo con fases separadas, mientras que si las porciones materiales del resto de las fases consisten en elementos aislados, fluidos o sólidos, se habla de flujo con fase dispersa. Un ejemplo típico de flujo con fases separadas lo constituyen la mezcla de dos líquidos inmiscibles como aceite y agua o la coexistencia de fases gaseosa y líquida. En el caso de que las fases sean gaseosas o líquidas miscibles, la frontera entre ellas se encontrará difusa y deberá ser definida de forma adecuada al propósito que se busque. Las capas de mezcla, ondas de choque y otras discontinuidades pueden interpretarse también como entrefases entre dos fluidos a ciertos efectos.

En el caso particular de que tan solo haya dos fases distintas, se hablará de flujo bifásico. De hecho, cualquier flujo que sea exclusivamente con fase dispersa puede considerarse un sistema bifásico en la medida en que la distin-ción entre los elementos de una fase y otras puede hacerse en virtud del salto que experimenten las propiedades que distinguen cada medio. Por ejemplo, un flujo simultáneo de partículas sólidas y líquidas en una fase continua es

In this work the turbulent particle dispersion in an underlying flow is addressed by using numerical simulation. The proposed approach uses an existing computational code in the Fluid Mechanics Research Group of the UAO, which has been extended in order to improve the numerical predictions of the particle phase turbulent properties in two-phase flow laden with solids.Key words: Turbulence, two-phase flow, turbulent particle dispersion, la-grangian tracking.

89Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005

DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL

única y los elementos dispersos se distinguen entre sí exclusivamente por sus propiedades termodinámicas y cinéticas, constituyendo en su conjunto la segunda fase. Por ello, a partir de aquí a cualquier flujo con fases dispersas se le denominará flujo bifásico disperso.

Los flujos multifásicos tienen una destacada importancia en una gran variedad de sistemas técnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos de transporte, separación, combustión, flujo sanguíneo, transporte capilar, etc.

De los múltiples fenómenos en los que se encuentran este tipo de flujos se pueden citar, entre otros:

• Sistemas gas-partículas sólidas: transportes neumático, colectores de polvo, lechos fluidizados, reactores heterogéneos, xerografía, polvo cósmico.

• Sistemas gas-líquido (gotas y burbujas): atomizadores, depuradoras, secadores, combustores; aglomeración, contaminación, cavitación, enfriamiento de gases, evaporación…

• Sistemas líquido-líquido: extracción, homogeneización,..

• Sistemas líquido-sólido: lechos fluidizados, flotación, sedimentación…

Como en tantos otros procesos de índole compleja, durante mucho tiempo sus aplicaciones prácticas han venido de la mano de conocimientos empíricos o modelos de cálculo muy simples incapaces, en la mayoría de las ocasiones, de predecir con fiabilidad las condiciones de trabajo. Sin embargo, la constante sofisticación de los productos tecnológicos, la exigencia de mayores fiabilidades y la necesidad de un mejor aprovechamiento de los recursos han conducido a la demanda de métodos de cálculo y predicciones más potentes, cuyo desarro-llo y explotación requieren un profundo conocimiento de sus fundamentos físicos y una exacta modelización de los fenómenos involucrados.

Para lograr el deseado conocimiento de los procesos relevantes que tiene lugar en un determinado sistema existen dos vías distintas pero íntimamente entrelazadas y concomitantes: el experimento y la modelización numérica. El primero permite un acceso directo al estudio del fenómeno pero suele ser costoso, mientras que la segunda es comparativamente mucho más barata y sencilla.



No obstante, el caso de la turbulencia, presente en la mayoría de los flujos de interés industrial, es un paradigma en el conjunto de las ciencias básicas y aplicadas debido a la inexistencia, todavía hoy, de una teoría completa que sea capaz de describir con exactitud su dinámica, lo cual es a la vez un reto tecnológico y un problema de extraordinario interés científico. Es ésta la razón que nos impulsa a incidir en la modelización teórico-numérica de diferentes fenómenos, en los que la turbulencia desempeña un papel fundamental, construyendo aproximaciones simplificadas, las cuales pueden ser validadas y/o refinadas utilizando el ordenador como un “laboratorio” numérico. En Mecánica de Fluidos, la simulación numérica por ordenador constituye toda una rama conocida como Mecánica de Fluidos Computacional. El número de problemas abordados desde esta perspectiva crece día a día conforme aumenta la potencia y la velocidad de los computadores (al mismo tiempo que disminuye su precio), mientras que el costo de los ensayos de laboratorio crece sin cesar.

Tradicionalmente, en la mayoría de las aproximaciones teórico-numéricas construidas para crear modelos de turbulencia, se ha recurrido a algún tipo de promedio de las ecuaciones instantáneas de Navier-Stokes para encontrar descripciones aproximadas de la evolución de las variables medias. Este hecho es motivado por la propia naturaleza de los flujos turbulentos donde las es-calas espaciales y temporales que intervienen son tan pequeñas que, hoy por hoy, se hace imposible la resolución numérica completa del flujo. Además, la presencia de varias fases induce fuentes adicionales de fluctuación debidas a las perturbaciones introducidas por la distribución aleatoria de las entrefases. Por tanto, en un Flujo Multifásico donde la fase continua posee una dinámica turbulenta se debe aplicar un proceso de promediación capaz de contemplar la interacción entre las fases de una forma suficientemente precisa.

En la aproximación elegida, implementada en el paquete de cálculo ELSA2D, disponible en el Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes se encuentran promediadas temporalmente siguiendo la aproximación de Reynolds. La influencia de las partículas sobre la fase gaseosa aparece como términos adicionales en las ecuaciones promediadas, describien-do lo que se conoce como la modulación de la turbulencia. El tratamiento elegido para las partículas es de tipo lagrangiano, donde la trayectoria de cada partícula o paquete de partículas se construye resolviendo sus ecuaciones del movimiento lagrangianas.

En este tipo de aproximaciones lagrangianas, el problema fundamental radica en estimar la velocidad instantánea del gas que la partícula sólida



experimenta en cada paso temporal, o velocidad lagrangiana, que va a ser distinta en general de la velocidad euleriana del fluido. Diversas posibilidades pueden plantearse, y una excelente revisión puede consultarse en Shirolkar et al. (1996) [1]. La opción considerada en ELSA2D consiste en interpolar en la localización de la partícula una velocidad media euleriana, construida a par-tir de los valores de la velocidad de fluido en los nodos más cercanos de la malla, y una componente aleatoria obtenida a partir de una función densidad de probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona con las propiedades locales de la turbulencia de la fase continua proporcionadas por el modelo de turbulencia utilizado para la descripción de la dinámica de la fase gaseosa.

La figura 1 esboza el transporte de partículas debido al movimiento de los vórtices en flujos turbulentos. Dicha figura representa la presencia de los dife-rentes remolinos, que interactúan con partículas de varios tamaños. El tamaño de la partícula frente al tamaño del remolino es el parámetro más importante en la determinación del resultado de la interacción partícula- vórtice. El trans-porte de partículas debido a los remolinos turbulentos también depende de diferentes propiedades del fluido y las partículas, como por ejemplo la visco-sidad del fluido, su densidad y la densidad de la partícula, y de propiedades de flujo, como la distribución de energía cinética turbulenta. El entendimiento detallado de la naturaleza de la interacción de partícula-vórtice es esencial para modelar el problema de la dispersión de partícula.

Figura 1. Interacción vórtice-partícula en flujos turbulentos

Es conveniente clasificar las partículas, en general, en dos categorías, basadas en su dimensión característica (el diámetro) respecto a la escala de longitud más pequeña (la escala de Kolmogorov) presente en un campo turbulento dado. Una partícula se considera pequeña si su diámetro es más pequeño que la escala de Kolmogorov, y media si su diámetro está entre la escala de Kol-mogorov y la escala de longitud integral. Además, se debe notar que en los sistemas bifásicos diluidos cargados con partículas de interés, la mayoría de partículas son pequeñas según la anterior definición. La interacción partícula



discreta-vórtice viene determinada por dos fenómenos, basados en dos propie-dades fundamentales de la partícula, su inercia y su velocidad de caída libre, las cuales dictan la naturaleza de la interacción.

Una partícula densa tendrá menos velocidad fluctuante que la del fluido. Esta reducción de la raíz cuadrática media (rms) de las fluctuaciones de velo-cidad de la partícula se conoce como efecto de inercia, y se caracteriza por una escala de tiempo llamada tiempo de relajación de la partícula τp. El tiempo de relajación de la partícula es la tasa de respuesta de la aceleración de la partícula a la velocidad relativa entre la partícula y el fluido externo.

Por tanto, el aumento de la inercia en una partícula pequeña, que posee un tiempo de relajación más corto que todas las escalas temporales fluidas, disminuye la fluctuación de la velocidad de la partícula y al mismo tiempo aumenta su escala temporal integral. Este efecto de incremento de inercia, sin embargo, no nos dice nada sobre el grado de dispersión de la partícula, debido a que, según la teoría estadística de dispersión turbulenta, el grado de dispersión es determinado por el producto de la raíz cuadrática media de la velocidad fluctuante y la escala temporal integral de la partícula (Taylor, 1921) [2].

El fenómeno de migración de una partícula de un vórtice a otro, antes de su decaimiento, debido a la turbulencia original del remolino, es conocido como el efecto de cruce de trayectorias (CTE). Esta migración prematura es debido a una velocidad de caída libre significativa para la partícula considerada. Uno de los resultados del CTE es la reducción de la escala temporal lagrangiana de la partícula. Esta reducción es debida a un cambio abrupto de las condiciones fluidas que rodean a la partícula. El CTE viene determinado por la velocidad

de arrastre de la partícula

€

vd( ), la cual es simplemente la diferencia entre la velocidad de la partícula y la velocidad del fluido circundante.

El resto de este trabajo se organiza como sigue: la sección dos introduce los modelos de dispersión turbulenta de partículas considerados en este trabajo; la sección tres expone la validación de la implementación del modelo de Minier y Peirano [3] y su comparación con los resultados obtenidos con el modelo estándar contemplado en el código ELSA2D, frente a tres experimentos de ref-erencia; por último, la sección cuatro presenta el resumen y las conclusiones extraídas de los resultados obtenidos.



2. MODELOS DE DISPERSIÓN TURBULENTA DE PARTÍCULAS

La mayor parte de los modelos de dispersión pueden ser clasificados basán-dose en el marco de referencia usado para su formulación. Hay dos tipos de marcos de referencia, el lagrangiano y euleriano. En el marco de referencia lagrangiano, las trayectorias de partículas individuales (o nube de partículas) son construidas conforme se mueven a través del dominio computacional. En los modelos lagrangianos de partículas, el sistema de referencia se mueve con las partículas, y la posición instantánea de una partícula puede ser considerada como una función de la posición inicial de la partícula y el tiempo transcurrido. Los modelos lagrangianos son llamados algunas veces modelos no continuos, debido a que la fase de las partículas se trata de un modo discreto, a diferencia de la fase fluida, que es tratada como una fase continua. El marco lagrangiano es un modo natural de tratar las partículas en flujos diluidos; de ahí la popu-laridad de estos modelos en usos como sistemas de combustión de carbón pulverizado y sprays. En los modelos eulerianos, el sistema de referencia es estacionario, y las partículas pasan a través de volúmenes de control diferen-ciales fijos. En esta aproximación, las características de la fase de las partículas se obtienen resolviendo ecuaciones diferenciales parciales en un sistema de coordenadas determinado. Estos modelos que tratan las partículas como un continuo, similar a la fase fluida, se conocen también como modelos continuos o modelos de dos fluidos. Los modelos eulerianos son populares cuando la carga de partículas es alta, como en el caso de los sistemas de combustión de lecho fluidizado. Sin embargo, también se usan en la modelación de flujos car-gados con partículas diluidos. Sin embargo, todos los modelos de dispersión de partículas dependen de ciertas propiedades de la fase continua del fluido. Los ejemplos de las propiedades importantes de las fases fluidas requeridas por ambos modelos incluyen las velocidades medias y la raíz cuadrática media de las velocidades fluctuantes del fluido. La información exacta requerida de la fase fluida depende del modelo en consideración. Las propiedades de la fase fluida se obtienen bien mediante medidas experimentales o por algún procedimiento computacional apropiado para predecir el campo de flujo tur-bulento. Los métodos más extendidos para predecir el comportamiento de la fase fluida y sus propiedades turbulentas incluyen: (1) fórmulas algebraicas, por ejemplo, viscosidad turbulenta constante o los modelos de longitud de mezcla; (2) los modelos de turbulencia que usan dos o tres ecuaciones, como las formulaciones k-ε o k-ε-g. Otros métodos, como los modelos algebraicos, modelos completos de Reynolds Stress, y simulaciones de grandes escalas (LES), también pueden utilizarse para predecir la fase fluida. Sin embargo, debido a problemas de estabilidad (modelos algebraicos y de Reynolds Stress) o a exigencias sustanciales en los requerimientos computacionales (LES), estos modelos no son usados tan ampliamente.



Es importante destacar la necesidad de datos experimentales confiables en flujos bifásicos para validar los modelos. Datos experimentales para los momentos estadísticos de las partículas con condiciones de contorno bien especificadas, bajo condiciones de reacción y sin reacción son muy importantes en el desarrollo final de los modelos. Tales datos pueden ser usarse no sólo para validar los modelos sino también para comprender mejor ciertos mecanismos que son fundamentales en flujos de dos fases.

Como ya se ha mencionado, el problema de la dispersión turbulenta de partículas en flujos turbulentos de interés industrial se aborda en este trabajo desde una perspectiva computacional. Durante el transcurso de este proyecto se ha realizado la implementación de la aproximación descrita en Minier y Peirano (2001) [3], la cual considera una ecuación de Langevin para la estimación de la velocidad lagrangiana del fluido vista por las partículas. En esta ecuación, las hipótesis de cierre no se centran en la velocidad lagrangiana del fluido en sí misma sino en sus aceleraciones siguiendo el espíritu de otras aproximaciones que han tenido éxito en la descripción de la turbulencia de la fase continua (Pope, 1994) [4].

Una vez realizada la implementación de la ecuación de Langevin, ésta fue validada y se comparó con las aproximaciones tradicionales lagrangianas, codificadas en ELSA2D, que llamaremos estándar, en tres configuraciones de flujo: flujo turbulento detrás de una rejilla, flujo cortante simple y chorro libre axisimétrico turbulento cargado con partículas para las cuales existen varios datos experimentales. En particular, en esta última configuración se han elegido los experimentos de Hishida y Maeda (1987) [5], pues contienen todas las variables de interés para la fase dispersa. En este último caso se espera mejorar los resultados obtenidos empleando los modelos de dispersión de partículas tradicionales, que llevan a una infrapredicción de la raíz cuadrática media de la velocidad axial fluctuante de las partículas.

El modelo de Minier y Peirano, el cual incluye como variable primera la velocidad del fluido vista por la partícula, se escribe:

€

dx p,i =Up,i .dt (2.1)

€

dUp,i = Ap,i .dt (2.2)

€

dUs,i = As,i (t,Z).dt + Bs,ij (t,Z).dW j (2.3)

donde el vector de estado de una partícula se escribe Z=(Xp,Up,Us) función de la posición de la partícula, su velocidad y la velocidad del fluido visto



por la partícula respectivamente; dW es un proceso estocástico de Wiener, o Random Walk, que posee media cero y varianza; dt. Ap,i es la aceleración de la partícula:

€

Ap,i = Us,i −Up,i( ) τ p + gi (2.4)

donde τp es el tiempo de relajación de la partícula y g es la aceleración de la gravedad. As y B son, respectivamente, el vector de arrastre y la matriz de difusión, construidos como

€

As,i = − 1ρ f

∂ P∂xi

+ Up, j − Us, j( ).∂ U f ,i∂x j

−Us,i − Us,i

TL*

(2.5)

€

Bs,ij2 = Bs,i

2 δij = ε . C0.bi .k~

k+ 2

3bi .k~

k−1

δij i =1,2,3

(2.6)

donde no se sobreentiende suma en el subíndice repetido i y los bi son factores de corrección, definidos como

€

bi = TLTL.i

* (2.7)

siendo TL la escala de tiempo lagrangiana del fluido y

€

TL.i* la escala de tiempo

lagrangiana por el fluido visto por la partícula, ρf es la densidad del fluido, Uf su velocidad (euleriana), <P > la presión media, k la energía cinética turbu-lenta del fluido y <ε> la tasa promedio de disipación,

€

k~ es una nueva energía

cinética definida como

€

k~

= 32

.bii=1

3∑ u f ,i2

bii=13∑

(2.8)

que representa las energías usuales ponderadas con los factores bi. Puesto que estos factores varían de dirección a dirección, la energía cinética ponderada

€

k~



difiere de la habitual

€

k = u f ,i2

i=1

3∑ . El factor C0 es un factor que relaciona la escala

temporal lagrangiana del fluido TL con la tasa media de disipación

€

ε y la energía cinética turbulenta k.

€

TL = 43 C0 + 2 /3( )

kε

(2.9)

El modelo estándar existente en ELSA2D consiste en interpolar en la localización de la partícula una velocidad media euleriana, construida a partir de los valores de la velocidad del fluido en los nodos más cercanos de la malla, y fabricar una componente aleatoria obtenida a partir de una función densidad de probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona con las propiedades locales de la turbulencia de la fase continua proporcionadas por el modelo de turbulencia utilizado para la descripción de la dinámica de la fase gaseosa.

La validación de la estrategia de Minier y Peirano y su comparación con el modelo estándar se realiza considerando tres experimentos de referencia que cuantifican la dispersión turbulenta de partículas. El primero de ellos es la dispersión de partículas sólidas en la turbulencia generada por una rejilla; dicha turbulencia tiene la particularidad de ser isótropa y no estacionaria, pues su intensidad decae conforme nos alejamos de la rejilla (isotropic decaying turbulence). El segundo de ellos es un experimento numérico consistente en la dispersión de partículas en un flujo cortante simple, donde la velocidad media del fluido varía linealmente con la coordenada transversal al flujo y la intensidad de la turbulencia viene especificada. Finalmente, el tercer experimento de referencia lo constituye un chorro bifásico confinado por una corriente exterior, la cual es una configuración presente en varios sistemas industriales como, por ejemplo, cámaras de combustión o secado de sprays para producir alimentos en polvo.

3. RESULTADOS

3.1. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN LA TURBULENCIA GENERADA POR UNA REJILLA

3.1.1. Descripción del experimento

Para la validación de los modelos de dispersión de partículas por la turbu-



lencia de la fase continua es común utilizar esta configuración de flujo. En particular, los experimentos de Wells y Stock (1983) [6] son comúnmente empleados en la literatura especializada. En este montaje experimental se estudia la dispersión de partículas sólidas que emanan desde un punto fuente en un campo de flujo turbulento generado por una rejilla cuadrada.

La configuración consiste en un túnel de viento con una sección cuadrada de 200 mm x 200 mm con una velocidad media de aire de U = 6.55 m/s. De acuerdo a los datos experimentales, los valores cuadráticos medios de las velocidades fluctuantes en las direcciones del flujo (dirección x) y tranversal (dirección y) se pueden estimar de las correlaciones

€

U2

u'2= au

xM

+ bu

;

U2

v'2= av

xM

+ bv

(3.1)

Donde M es el tamaño de los huecos de la rejilla, el cual es 25.4 mm, y los parámetros au, bu, av, bv adoptan los siguientes valores:

au = 56.55; bu = -8.87; av = 53.52; bv = -7.05

Es necesario señalar que las expresiones (3.1) son correlaciones que permiten describir las velocidades fluctuantes en cualquier experimento de turbulencia generada por una rejilla sin más que ajustar los valores de los parámetros anteriores.

La energía cinética turbulenta puede determinarse de

€

k = 12

u'2 + v'2

(3.2)

La tasa de disipación de energía cinética turbulenta ε se halla con la ex-presión

€

ε = −U2dk2

dx (3.3)

Lo cual proporciona, usando (3.1) y (3.2): (3.4)

€

ε = U3

2M1

auXM

+ bu

2 + 2

avXM

+ bv

2



Para calcular la dispersión de partículas, todas estas propiedades del flujo se van a prescribir a lo largo del túnel de viento para los casos considerados.

Este experimento de Wells y Stock fue diseñado para estudiar el efecto de las fuerzas externas, por ejemplo, la gravedad, sobre el proceso de dispersión. Debido al ya visto efecto de cruce trayectorias, la dispersión de partículas en el flujo turbulento se reduce, puesto que las partículas caen más rápidamente a través de los vórtices turbulentos debido a la gravedad. Por consiguiente, dado que el modelo de Minier y Peirano introduce explícitamente dicho efecto de cruce de trayectorias, estos experimentos constituyen un buen banco de pruebas para tal modelo.

Con objeto de simular diferentes campos gravitatorios, las partículas fueron cargadas y sometidas a un campo eléctrico en el túnel de viento. La dispersión de las partículas fue medida utilizando anemometría láser Doppler.

Se utilizaron dos tamaños de partículas de vidrio: 5 µm y 57 µm. La dis-persión de las partículas más pequeñas se espera que no se vea muy afectada por el incremento del campo gravitatorio, puesto que la velocidad de arrastre es pequeña comparada con las fluctuaciones turbulentas. En el caso de las partículas más grandes, el efecto de cruce de trayectorias reduce fuertemente el proceso de dispersión.

El efecto del campo eléctrico sobre la dispersión de partículas puede simu-larse introduciendo una constante gravitacional efectiva que se obtiene de la ecuación de movimiento de la partícula en estado estacionario:

€

geff = 18µ fDVSρpDp

(3.5)

Donde µ es la viscosidad dinámica del fluido, VS la velocidad terminal de la partícula en estado estacionario, o velocidad efectiva de arrastre, y ρp y Dp son la densidad y el diámetro de la partícula respectivamente. La función fD es el término no lineal del coeficiente de resistencia:

fD = 1 + 1/6 Rep0.66 (3.6)

La tabla 1 muestra los diferentes casos considerados:



Tabla 1Parámetros experimentales en los estudios de Wells y Stock (1983)

Diámetro partícula [µm]

Densidad partícula [gr/cm3]

Gravedad efectiva [m/s2]

Velocidad terminal [m/s]

5 2.475 0 05 2.475 900 0.1757 2.420 0 057 2.420 28.4 0.54557 2.420 72.4 1.216

Los resultados experimentales para el desplazamiento cuadrático medio de las partículas se recogen en la tabla 2, tanto para las partículas pequeñas como para las grandes. Es necesario hacer notar que en este experimento las condiciones iniciales no se encuentran claramente especificadas, por lo que los cálculos pueden diferir suficientemente de las medidas. Por ello se adoptó el uso de las medidas en x/M = 30 como localización de referencia, sugiriéndose desplazar los resultados numéricos adecuadamente. Las par-tículas fueron inyectadas con una velocidad media en la dirección del flujo de 6.55 m/s, mientras que se empleó una velocidad media fluctuante de 0.5 m/s en el punto de inyección x/M = 10. Todas estas elecciones se hicieron siguiendo las recomendaciones del caso test presentado en la ERCOFTAC Summerschool “Experiments, Modelling and Numerical Calculations for Dispersed Multiphase Flow”, que tuvo lugar del 16 al 19 de julio de 2001 en la Universidad Martin Lutero Halle – Wittenberg (Alemania).

3.1.2. Simulaciones y discusión

A continuación se muestran los resultados obtenidos en las condiciones del experimento de Wells y Stock utilizando los modelos de dispersión Langevin estándar y el propuesto por Minier y Peirano.



Tabla 2Desplazamientos cuadráticos medios

€

y'2 para las partículas pequeñas (5 µm) y grandes (57 µm) como función de x/M para las

diferentes constantes gravitacionales

partículas pequeñas partículas grandes

x/M VS = 0 VS = 0.17 VS = 0 VS = 0.545 VS = 1.216

20 0.77 0.77 0.79 0.71 0.5730 1.10 1.10 1.24 0.90 0.6040 1.53 1.35 1.57 1.12 0.6450 1.94 1.74 1.87 1.2960 2.35 2.15 2.35 1.4670 2.61 2.52 2.75 1.74

La figura 2 muestra los resultados obtenidos para las partículas pequeñas (Dp = 5 µm).

En ella se puede apreciar cómo para la situación sin fuerzas externas (VS = 0) ambos modelos proporcionan resultados muy parecidos, como era previsi-ble. En cambio, cuando tenemos un valor finito de la velocidad de arrastre VS el modelo estándar infrapredice la dispersión de las partículas. Como era de esperar, los resultados experimentales muestran que para estas partículas tan poco inerciales, la dispersión turbulenta de partículas se ve muy poco influenciada por la aplicación de un campo externo (representado por una constante gravitacional geff = 900).

En este caso, el modelo propuesto por Minier y Peirano se muestra superior al estándar, ya que incorpora explícitamente el efecto de cruce de trayectorias reflejado en la existencia de una velocidad de arrastre finita.

La figura 3 muestra los resultados obtenidos para las partículas más iner-ciales (Dp = 57 µm). Se encuentra una mayor dependencia de la dispersión turbulenta de partículas con el campo externo aplicado que en las partículas pequeñas, ya que la respuesta de las partículas a las fluctuaciones del campo de velocidad del fluido es más lenta. De nuevo el modelo estándar no captura suficientemente bien la dispersión indicada por los datos experimentales, infraprediciéndola, mientras que el modelo de Minier y Peirano sí es capaz de describirla con una exactitud suficiente.

{{



Figura 2: Comparación del desplazamiento cuadrático medio obtenido numéricamente frente a los datos de Wells y Stock

para las partículas de 5 µm

Figura 3: Comparación del desplazamiento cuadrático medio obtenido numéricamente frente a los datos de Wells y Stock

para las partículas de 57 µm

Es necesario hacer notar que en los cálculos del modelo de Minier y Peirano la constante C0 se ha hecho igual a 8.1, lo cual implica que la escala temporal lagrangiana del fluido se exprese como TL = 0.152 k/ε; el valor de 0.152 para el coeficiente se encuentra en el rango de valores reportados habitualmente en la literatura (0.13-0.5).



3.2. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN UN FLUJO CORTANTE SIMPLE

El segundo experimento considerado, flujo cortante simple, es numérico y su interés radica en que existen soluciones analíticas exactas (Reeks, 1993; Zaichik, 1997; Hyland et al., 1999) [7-9]. En este caso se considera un flujo en dos dimensiones en el plano x y, cuyos valores medios de velocidad del fluido se expresan:

U = α y V = 0 (3.7)

Donde α es el gradiente de velocidad que se considera constante. Las fluctuaciones de velocidad del fluido vienen determinadas por procesos gaussianos cuyas varianzas son los esfuerzos de Reynolds en la dirección correspondiente. La magnitud de dichos esfuerzos de Reynolds es un dato fijado desde el comienzo.

Los cálculos en esta configuración de flujo están inspirados en los presen-tados en Hyland et al. (1999) [9] con los tamaños de partícula utilizados en los experimentos de Wells y Stock (1983) [6], es decir, 5 y 57 µm. En particular, se tomarán los esfuerzos de Reynolds normales

€

u'u' = v'v ' =1. Las partículas se inyectan en el centro del dominio con velocidad inicial nula y sus trayectorias se calculan durante un tiempo total de 5 s.

En primer lugar se considera el caso en el que no hay esfuerzo cortante impuesto, es decir, α = 0 y donde los esfuerzos de Reynolds cortantes (turbu-lentos) son también cero,

€

u'v ' = 0. En este caso es conocido que los perfiles de concentración de partículas son círculos concéntricos alrededor del origen, puesto que la turbulencia es isótropa y las partículas se difunden con igual probabilidad en todas las direcciones. Esta situación se muestra en la figura 4, donde la concentración es mayor en el origen y decrece conforme nos ale-jamos de él.

Es necesario hacer notar que las líneas no son exactamente círculos concén-tricos debido a que, para mantener el tiempo de cálculo en límites accesibles, el número de trayectorias de partículas simuladas se fijó en 104. Conforme el número de trayectorias aumenta, los círculos se tornan progresivamente más nítidos.



Figura 4: Perfiles de concentración de partículas en turbulencia homogénea e isótropa con α = 0

(Dp = 5 µm)

Cuando la turbulencia no es isótropa, es decir,

€

u'v ' ≠ 0, el procedimiento propuesto por Yuan y Crowe (1989) [10] permite considerar el efecto de la anisotropía o correlaciones cruzadas. En nuestro caso bidimensional, las dos velocidades fluctuantes, u’ y v’, se obtienen de la siguiente manera: en primer lugar se generan aleatoriamente dos velocidades fluctuantes independientes con distribución gaussiana u’1 y v’1. Entonces Yuan y Crowe demuestran que las dos velocidades, u’ y v’, pueden correlacionarse utilizando el coeficiente de correlación R en la forma

€

u'= u'1; v'= Ru'1 +v '1 1− R2 ; R = u'v'u'u' v'v '

(3.8)

Figura 5: Perfiles de concentración de partículas en turbulencia homogénea pero anisótropa

€

u'v ' = −0.5 , con α = 0 (Dp = 5 µm)



Como resultado, en el caso anisótropo, donde, por ejemplo,

€

u'v ' = −0.5 , los perfiles de concentración se convierten en elipses rotadas 45º de acuerdo con Hyland et al. (1999) [9]. Esta situación se muestra en la figura 5.

Cuando α ≠ 0, es decir, existe esfuerzo cortante, en el caso de turbulencia isótropa, los perfiles de concentración de partículas se convierten también en elipses rotadas (figura 6 con α = 5), aunque en este caso en sentido contrario a las mostradas en la figura 5. Por consiguiente, el efecto del esfuerzo cortante es cambiar los perfiles de concentración de círculos concéntricos a elipses con-céntricas rotadas. Conforme el tiempo pasa estas elipses se expanden (debido a la difusión) y rotan (debido al esfuerzo cortante).

Cuando la magnitud del esfuerzo cortante aumenta, el estiramiento y ro-tación de las elipses aumenta, como se muestra en la figura 7. Si el tamaño de las partículas aumenta, considerando por ejemplo Dp = 57 µm, la situación es similar a la mostrada en las figuras precedentes pero la difusión es menor que en el caso de las partículas pequeñas debido al efecto de inercia (figura 8).

Finalmente, si se considera turbulencia no isótropa y esfuerzo cortante (

€

u'v ' = −0.5 , α = 5) se obtiene la situación mostrada en la figura 9: las elipses se encuentran rotadas, pero mientras en el centro del dominio el efecto predomi-nante es el de la anisotropía de la turbulencia, conforme nos alejamos de él, el esfuerzo cortante alinea las partículas siguiendo el sentido del flujo medio.

Es necesario hacer notar que como en estos cálculos no se han considerado campos externos, ambos modelos de dispersión, estándar y Minier y Peirano, proporcionan resultados casi idénticos en lo referente a la dispersión de las partículas.

3.3. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN UN CHORRO AXISIMÉTRICO TURBULENTO

La última configuración experimental elegida para comparar las resultados obtenidos mediante los dos modelos de dispersión turbulenta de partículas considerados en este trabajo es la de chorro bifásico gas – sólido axisimétrico con fase dispersa diluida. Este es un flujo realista, altamente anisótropo, en-contrado frecuentemente en los procesos industriales, por lo que la calidad de los resultados obtenidos nos proporcionará una pista sobre la fiabilidad de los modelos utilizados para la predicción de flujos industriales reales.



Figura 6: Perfiles de concentración de partículas en turbulencia homogénea e isótropa, con α = 5

(Dp = 5 µm)

Figura 7: Perfiles de concentración de partículas en turbulencia homogénea e isótropa, con α = 10

(Dp = 5 µm)

Las razones que justifican la elección de esta configuración son las siguientes: el flujo monofásico es bien conocido y existe un buen ajuste de los modelos turbulentos empleados usualmente, en particular del modelo de segundo or-den de esfuerzos de Reynolds elegido en este trabajo; la geometría es sencilla y posee un buen número de simetrías; las condiciones de contorno están bien establecidas; existen medidas experimentales suficientemente completas, tanto en la fase fluida como en la fase de partículas; y, por último, ha sido la configuración históricamente empleada en las calibraciones de modelos flujo bifásico turbulento desde finales de los años sesenta.



Figura 8: Perfiles de concentración de las partículas más grandes en turbulencia homogénea e isótropa, con α = 5 (Dp = 57 µm)

Figura 9: Perfiles de concentración de partículas en turbulencia homogénea y anisótropa, con

€

u'v ' = −0.5 y α = 10 (Dp = 5 µm)

3.3.1. Descripción del experimento y simulaciones

En la configuración experimental de Hishida y Maeda (1987) [5] el chorro emana de una boquilla interior de 13 mm de diámetro confinada en un tubo exterior de 60 mm. La corriente primaria está confinada en un flujo anular de aire, llamada corriente secundaria, con velocidad elevada para la recircu-lación del flujo primario. Tal configuración es esquematizada en la figura 10 y los detalles completos del montaje se pueden consultar en Hishida y Maeda (1987) [5].



Figura 10: Esquema de la configuración de flujo del chorro de Hishida y Maeda (1987)

El sistema de medida emplea un anemómetro láser Doppler (LDA) de dos componentes y modificado por los autores para posibilitar la medida de velocidades de ambas fases con discriminación de tamaño. Ésta se consigue examinando la amplitud de las señales de ambas fases complementado con un filtrado de interferencias entre ellas mediante la cuenta del número de ciclos Doppler.

De los diferentes casos presentados en Hishida y Maeda (1987) [5] se ha elegido el primero. En este conjunto de medidas la velocidad en el eje de simetría de la corriente primaria es de 30 m/s, mientras que la velocidad del flujo secundario es de 15 m/s. La fase sólida consiste en partículas de vi-drio de diámetro medio 64.4 µm y densidad ρp = 2590 kg/m3. La fracción de carga másica es 0.3 (kg partículas)/(kg aire), que corresponde a una fracción volumétrica media αp = 1.4 x 10-4. La comparación entre medidas y cálculos se presenta para la sección transversal situada x = 130 mm aguas abajo de la boquilla, es decir, x/D = 10, donde D es el diámetro de la boquilla.

Como ya se ha comentado, la simulación se ha realizado con el modelo de esfuerzos de Reynolds, axisimétrico en este caso. Por consiguiente, el cálculo se ha simplificado considerando las condiciones de simetría y tan solo se cal-culó la mitad del dominio del flujo. Este dominio rectangular abarca 520 mm en la dirección axial y 30 mm en la radial, hasta la pared del tubo exterior, y se discretiza por medio de una malla no uniforme de 150 x 60 volúmenes de control en la dirección axial y radial respectivamente. Dicha resolución de la

D

D2

U2U0



malla es suficiente para producir resultados independientes del tamaño de la malla. Los perfiles medidos en x = 0 han sido introducidos como condiciones de entrada y en x = 520 mm se usó una condición de salida. En r = 0 se impuso la condición de eje de simetría y en r = 30 mm la condición de no deslizamiento entre el aire y la pared. Dado el tamaño de las partículas, suficientemente pequeñas, las fuerzas más relevantes son la resistencia aerodinámica y la gravedad, por lo que otras fuerzas como la sustentación transversal han sido despreciadas. La estadística se realizó sobre un total de 25.000 trayectorias de partículas. Los resultados se presentan en formato dimensional frente a la distancia radial r.

3.3.2. Resultados y discusión

Una característica importante de la configuración de chorro bifásico es su gran anisotropía en los esfuerzos normales de Reynolds, especialmente en los de la fase de partículas. Por ejemplo, en un chorro monofásico axisimétrico es conocido que los esfuerzos normales radiales y acimutales son del orden de la mitad de los esfuerzos axiales, lo cual se sigue manteniendo aproxima-damente para la fase gaseosa en el caso bifásico. En cambio, la fase de las partículas presenta valores de los esfuerzos axiales normales, u’p, mayores que los radiales, v’p, en un orden de magnitud, es decir, la anisotropía de la fase dispersa es mucho mayor que la de la fase continua. Este hecho también se ha encontrado en un flujo cortante simple, donde Reeks (1993) [7] demuestra que los esfuerzos normales de Reynolds de las partículas para tiempos largos presentan anisotropía a pesar de que los esfuerzos de Reynolds del fluido se imponen isótropos y espacialmente uniformes.

Esta alta anisotropía de los esfuerzos normales de Reynolds de las partículas en flujos no uniformes no es capturada con suficientemente exactitud por los cierres tradicionales, siendo verdad tanto para las descripciones eulerianas como para las lagrangianas de la fase dispersa (Laín y Kohnen, 1999; Laín y Aliod, 2000) [11,12]. Desde el punto de vista euleriano, Laín y Aliod (2003) [13] demuestran que un modelo euleriano de segundo orden, el cual incluye explíci-tamente términos de producción para los esfuerzos normales de Reynolds de las partículas, es capaz de predecir aceptablemente la citada anisotropía en las cantidades turbulentas de las partículas en el chorro experimental de Mostafa et al. (1989) [14]. Por el contrario, hasta el momento las estrategias lagrangia-nas todavía no son capaces de capturar razonablemente dicha anisotropía. Una de las razones para ello podría radicar en que los modelos de Langevin utilizados para describir la dispersión turbulenta de partículas usados habitu-almente en los módulos lagrangianos son todavía demasiado simplificados.



Por tanto, dado que el modelo de dispersión de Minier y Peirano refleja con más exactitud la física subyacente que los tradicionales, cabe preguntarse si proporcionará una estimación aceptable de la anisotropía de la turbulencia de las partículas en la configuración de chorro axisimétrico.

Otro punto que se debe tener en cuenta es que en esta configuración de flujo existen fuertes gradientes de velocidades medias, en particular de la velocidad media axial en la dirección radial, por lo que el término inhomogé-neo proporcional a

€

∂ <U f ,i > /∂x j en el modelo de Minier y Peirano no se anula idénticamente como pasaba en el caso de turbulencia generada por una rejilla. Dicho término involucra el valor medio de la velocidad de las partículas en la localización de la partícula; sin embargo, dicho valor medio es desconocido en el primer lanzamiento del módulo lagrangiano (que calcula las trayectorias de las partículas). Por consiguiente, el cálculo de la dispersión de las partículas mediante el modelo de Minier y Peirano se debe realizar iterativamente supo-niendo un valor inicial para el valor medio de las velocidades de las partículas en los nodos de la malla computacional. Además, el número de esas iteracio-nes dependerá mucho de la estimación inicial considerada. Un método que proporcionará un buen valor inicial será precisamente utilizar en el primer lanzamiento lagrangiano el modelo Langevin estándar, el cual proporciona buenas estimaciones para la velocidad media de las partículas (Laín y Kohnen, 1999) [11]. De este modo se encontró que dos o tres iteraciones eran suficientes para obtener la convergencia en la propuesta de Minier y Peirano.

Los resultados obtenidos con ambos modelos de dispersión se presentan en las figuras siguientes, donde todos los datos son dimensionales.

La parte superior de la figura 11 muestra las velocidades axiales medias para ambas fases. Como era de esperar, ambos modelos de dispersión de partículas proporcionan valores prácticamente idénticos para el fluido, donde la influencia de las partículas se tiene en cuenta mediante el acoplo de dos vías (two-way coupling).



Figura 11: Velocidades medias (izquierda) y esfuerzos axiales (derecha) para ambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)

En el caso de las partículas, el modelo de Minier y Peirano proporciona una velocidad media ligeramente superior al modelo estándar debido a que la velocidad media de fluido vista por las partículas es también superior a la velocidad media del gas (figura 13).

En el caso de los esfuerzos de Reynolds (figura 11, derecha, figura 12) los valores obtenidos para el gas son muy similares en ambos modelos, comparando razonablemente bien con los valores experimentales. Sin embargo, la situación es distinta en el caso de los esfuerzos de Reynolds de las partículas donde el modelo de Minier y Peirano incrementa las fluctuaciones de las velocidades de las partículas u’p y esfuerzos de Reynolds cortantes

€

u'p v 'p .



Figura 12: Esfuerzos radiales (arriba) y cortantes (abajo) para ambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)

Figura 13: Velocidad axial media vista por las partículas en el modelo de Minier y Peirano en comparación con la velocidad media del

fluido en x/D = 10



En estos últimos el incremento es suficiente para capturar los puntos ex-perimentales, pero insuficiente para aproximarse a los valores medidos de u’p. En el caso de los esfuerzos normales radiales ambas estrategias de dispersión predicen prácticamente el mismo resultado. Ello es debido a que la dirección radial es una dirección aproximadamente homogénea en el chorro (que tiene direccionalidad axial) y los esfuerzos de Reynolds del gas y las partículas al-canzan los valores de equilibrio rápidamente de forma similar a como sucede en los flujos cortantes simples (Reeks, 1993) [7]. La situación es distinta en la dirección axial donde aparentemente no se alcanzan los valores de equilibrio presentando además la particularidad que los gradientes de velocidad media de las partículas actúan como una fuente para u’p, según se demuestra en Laín y Aliod (2003) [13].

En resumen, a pesar de que el modelo de Minier y Peirano mejora las pre-dicciones del estándar en la configuración de chorro axisimétrico, capturando correctamente los esfuerzos de Reynolds cortantes

€

u'p v 'p , todavía no es capaz de capturar la anisotropía de la turbulencia de las partículas debido a la in-frapredicción de los esfuerzos normales u’p. Por consiguiente, los modelos de Langevin, utilizados en la descripción lagrangiana de la fase dispersa, todavía deben mejorarse para capturar dicha anisotropía de los esfuerzos de Reynolds de los elementos discretos en flujos no uniformes.

RESUMEN Y CONCLUSIONES

Este trabajo ha pretendido contextualizar el papel de los flujos multifásicos en general y bifásicos en particular dentro los procesos industriales, así como esbozar las dificultades inherentes a su descripción y modelación. Concreta-mente, la cuestión abordada ha sido la de la dispersión de partículas discretas (sólidos, gotas o burbujas) en un flujo turbulento subyacente, la cual viene gobernada por la interacción fluido - partícula. La discusión se simplificó considerablemente al considerar partículas pequeñas, menores que la escala de Kolmogorov del flujo, de tal manera que la velocidad del fluido vista por la partícula en todos los puntos de su trayectoria pudiese ser considerada como uniforme. Sin embargo, la existencia de dos fenómenos particulares diferencian considerablemente el comportamiento de una partícula fluida del de una discreta: la existencia de la inercia y el efecto de cruce de trayectorias ya comentados. El punto de vista escogido para la descripción de las partícu-las es el lagrangiano, o no continuo, donde las partículas se describen como entes individuales que responden a una ecuación del movimiento en el seno fluido. Por el contrario, la fase continua se describe mediante las ecuaciones



de Navier - Stokes apropiadamente modificadas y extendidas para describir el comportamiento turbulento del flujo e incluir el efecto de las partículas en suspensión.

El punto clave de la aproximación lagrangiana basada en la función densidad de probabilidad, consiste en considerar como variable primera en el vector de estado de una partícula la velocidad del fluido vista por la partícula y en desplazar el cierre de las velocidades instantáneas de las partículas fluidas hacia sus aceleraciones, de forma similar a como se procede en la turbulencia monofásica. Cuando la componente fluctuante de la velocidad del fluido visto por la partícula se considera como un proceso aleatorio, con densidad de probabilidad gaussiana, se desarrollan los modelos de Langevin que se han denominado en este trabajo modelos estándar. En ellos, la velocidad fluida en la localización de la partícula se obtiene por medio de correlaciones que poseen dos componentes: una temporal y otra espacial. En cambio, modelando las aceleraciones de las partículas fluidas mediante un proceso de difusión de Lan-gevin, Minier y Peirano (2001) [3] demuestran que el modelo obtenido respeta más fielmente que el estándar la física del problema, pudiéndose incluir de forma más o menos natural los efectos de inercia y de cruce de trayectorias.

Los modelos lagrangianos estándar y el propuesto por Minier y Peirano se han confrontado con tres experimentos, dos reales y uno numérico. Los cálculos se han desarrollado con el código computacional ELSA2D, disponible en el Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos de la Universidad Autónoma de Occidente, en el cual tan solo el modelo estándar se encon-traba implementado. Por consiguiente, para el desarrollo de este trabajo fue necesaria la implementación del modelo de Minier y Peirano (M&P) y su validación con experimentos de referencia. Como resultado, el modelo M&P reproduce mejor que el estándar la dispersión turbulenta de partículas en el flujo turbulento generado por una rejilla cuando se encuentra presente un campo externo de fuerzas. Ello no es sorprendente, ya que M&P incorpora explícitamente el efecto de cruce de trayectorias, el cual aparece cuando existe un arrastre medio entre partícula y fluido. En adición, ambos modelos funcio-nan suficientemente bien a la hora de reproducir los principales fenómenos de dispersión de partículas en un experimento numérico que involucra un flujo cortante simple. Finalmente se consideró un flujo más realista, como el chorro turbulento axisimétrico cargado con partículas sólidas, el cual se caracteriza por una alta anisotropía de las velocidades fluctuantes de las partículas, mucho mayores que las correspondientes de la fase gaseosa, la cual no es capturada suficientemente bien por los modelos lagrangianos actuales. El resultado para el chorro demuestra que aunque el modelo M&P se aproxima un poco más a



los puntos experimentales que el modelo estándar, todavía no es lo suficiente-mente preciso para reproducir el comportamiento turbulento, de la fase de las partículas, por lo que éste debe ser todavía mejorado. Un camino posible para la mejora sería el considerar la influencia de los esfuerzos cortantes del fluido sobre el modelo de difusión de Langevin considerado para modelar las aceleraciones, de las partículas fluidas vistas por la partícula en vez de la elección diagonal elegida por Minier y Peirano. Sin embargo, esta posibilidad se considerará en un trabajo futuro.

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