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Departamento: Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla

Fundamentos Físicos de la Ingeniería. (Industriales)

Paralelogramo inscrito en trapezoide Dado un trapezoide (cuadrilátero irregular que no tiene ningún lado paralelo a otro), demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo. Solución Supongamos el cuadrilátero cuyos lados están formados por los vectores a , b , c y d . Sean ABCD los puntos medios de los lados del cuadrilátero, se cumplirá:

2 2 2a b a bAB +

= + = , 2

b cBC += ,

2c dDC +

= − 2

a dAD += −

Teniendo en cuenta que 0a b c d+ + + = , se cumple:

( )a b c d+ = − + → AB DC=

( )b c a d+ = − + → BC AD= Luego el polígono inscrito es un paralelogramo.

A

B

C

Da

b

c

d



Diagonales de un rombo Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto. Solución El rombo se caracteriza por ser un paralelogramo con sus cuatro lados de la misma longitud. En la figura los lados vienen dados por los vectores a y b , cumpliéndose que a b= Las diagonales pueden expresarse en función de los lados:

D a b= + , d b a= − Si son perpendiculares su producto escalar debe anularse:

2 22 2( ) ( ) 0D d b a b a b a b a⋅ = + ⋅ − = − = − =

a

b

b

a

dD



Arco capaz del ángulo recto Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro AB cualquiera, demuestre que las cuerdas PA y PB se cortan perpendicularmente, para todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz de 90º). Solución Expresaremos las cuerdas en función del semidiámetro / 2OA BA= y del vector R

PA OA R= − , PB BO R OA R= + = + Si son perpendiculares, su producto escalar debe anularse

( ) ( ) 2 2 2 2 0PA PB OA R OA R OA R R R⋅ = − ⋅ + = − = − =

P

R

OA B



A

B

C

ac

b

A C

a

A C

BB

a

b

c

Demostración del teorema de los senos Supondremos el triángulo ABC determinado por los vectores a , b , c tal que

0a b c+ + = , Multiplicando vectorialmente la expresión anterior por cada unos de los vectores se obtiene:

0a b a c× + × = → a b c a× = × → a b c a× = ×

0b a b c× + × = → b a c b× = × → a b b c× = ×

0c a c b× + × = → c a b c× = × → a c b c× = ×

Resumiendo

a b b c a c× = × = × .

Expresando los módulos de los productos vectoriales se obtiene

b c sen A a c sen B a b senC= =

y dividiendo por el producto a b c se obtiene el teorema de los senos

sen A sen B senC

a cb= =

Demostración del teorema del coseno Supongamos el triángulo ABC determinado por los vectores a , b , c tal que c a b= − . Multiplicando escalarmente por si mismo queda

2 2 2 2c a b a b= + − ⋅ Desarrollando el producto escalar

2 2 2 2 cos ( , )c a b ab a b= + −



Xω1 ω2

ω3

ω4ω6

Y

Z

OB

C

ω5

Tetraedro regularA

Xω2

ω3

ω1

Y

Z

OB

Tetraedro regular

π/3π/6A

Determinación de los vértices de un tetraedro Los puntos O, A, B, C son los vértices del tetraedro regular

cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:

1 OAω = ; 2 ABω = ; 3 BOω = ; 4 OCω = ; 5 ACω = ; 6 BCω = Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY. Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determine las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro. Por simple inspección geométrica se deducen las coordenadas de los vértices O(0,0,0), B(0,-λ,0), es preciso determinar las de A y C. Las coordenadas de A pueden expresarse en función de los ángulos directores de

1ω ( )1 cos / 6 cos /3 0ω λ π π= ,

3 1 02 2

A λ λ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Las coordenadas del vértice C(x,y,z), se calculan determinando el vector

( )4 x y zω = De este vector conocemos su módulo y el producto escalar con 1ω y 3ω

2 2 2 2x y z λ+ + = (1)

4 1 4 1 cos / 3ω ω ω ω π⋅ = , ( )4 13 3 10

2 2 2 2x y z x yλ λ λω ω

⎛ ⎞⋅ = ⋅ = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, 23 1

2 2 2x yλ λ λ+ =

3 x y λ+ = (2) Análogamente con el producto escalar 4 3ω ω⋅

4 3 4 3 cos2 /3ω ω ω ω π⋅ = (el ángulo que forma con el sentido positivo de 3ω es / 3 2 / 3π π π− = )

2

4 3 2λω ω⋅ = − , ( ) ( )4 3 0 1 0x y z yω ω λ λ⋅ = ⋅ − = − ,

2y λ= (3)

Sustituyendo (3) en (2) se obtiene el valor de x

36

x λ=

y sustituyendo x e y en (1) se obtiene el valor de z

63

z λ=

En consecuencia

3 66 2 3

C λλ λ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



O1

O

P

Paralepípedo

OC B

A

Volumen del paralepípedo Calcule el volumen del paralepípedo que tiene como aristas los vectores OA , OB y OC . Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas O(1, 0, 2), A(3, 2, 4), B(2, 6, 8) y C(2,−3, 1), (unidades del S.I.).

Solución Sea O1 el origen de coordenadas y P un punto que puede ser A, B, ó C. Según se indica en la segunda figura el vector OP se calcula mediante la diferencia: 1 1OP O P O O= − ; en el caso que nos ocupa los valores en unidades del S.I. son: 1 (3, 2, 4) - (1, 0, 2) = (2, 2, 2)O A =

1 (2, 6, 8) - (1, 0, 2) = (1, 6, 6)O A =

1 (2, -3, 1) - (1, 0, 2) = (1, -3, -1)O A = El volumen del paralepípedo, determinado por esos tres vectores, viene dado por su producto mixto

( )Vol OA OB OC= ⋅ × En coordenadas cartesianas, el valor numérico se obtener mediante el determinante

2 2 21 6 6 201 3 1

Vol = =− −

(U. S.I.)



Volumen de un tetraedro

A(0,1,1)

B(2,-1,2)

v1

v2

A (0,,1,1)B(2,-1,2)

v1

v2

v2AB

h

Volumen del tetraedro

Hallar el volumen de un tetraedro del cual se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas A(0,1,1) y B(2,-1,2), y que dos de las aristas que concurren en B están definidas por los vectores libres 1 2 3v i j k= − + , y 2 4v k= . Suponer que todas las unidades vienen dadas en metros. Solución: El volumen de una figura piramidal viene dado por:

1.3

Vol S h= ,

donde S representa el área de la base y h la altura El área de la base puede calcularse mediante el producto vectorial de los vectores AB y 2v que la definen. El vector

212

S AB v= ×

es perpendicular al plano de la base determinado por AB y 2v Por otra parte, la altura h es la proyección del otro vector 1v sobre S , luego

( )2 1 2 11 1 13 2 6

Vol AB v v AB v v⎛ ⎞= × ⋅ = ⋅ ×⎜ ⎟⎝ ⎠

El producto mixto se puede calcular mediante el determinante, en el que cada fila son las componentes de uno de los vectores.

3

2 2 11 4. 0 0 46 3

2 3 1Vol m

−= =

−

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Y

Z

X

Ο

P

Q (x,y,z)a

r

Ecuación del plano.

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre 2 3 6a i j k= + + y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXY Z viene dada por el radiovector

5 3r i j k= + + . Calcule la distancia que separa al origen O de dicho plano. (Unidades del S.I.) Solución Cualquier vector contenido en el plano ha de ser perpendicular al vector dado a . Si suponemos que un punto genérico del plano es Q(x,y,z), este punto ha de satisfacer la ecuación vectorial del plano

0PQ a⋅ = ,

donde PQ OQ OP= − y el punto O es el origen de coordenadas. Sustituyendo valores se obtiene la ecuación cartesiana del plano

( 1) ( 5) ( 3) (2 3 6 ) 0x i y j z k i j k⎡ ⎤− + − + − ⋅ + + =⎣ ⎦

2 3 6 35 0x y z+ + − = Cálculo de la distancia del plano al origen Esta distancia puede obtenerse mediante la proyección del vector r OP= sobre la dirección perpendicular al plano dada por el vector a .

ad OP u= ⋅ , 2 2 2

2 3 6( 5 3 )

2 3 6

i j kd i j k

+ += + + ⋅

+ +, d = 5

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Reglas de cancelación

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones (a) A B A C⋅ = ⋅ (b) A B A C× = × siendo 0A ≠ , entonces B C= ; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces B C≠ . Solución Aplicamos la regla de cancelación a cada una de las expresiones

(a) A B A C⋅ = ⋅ → B C Aλ= + × , donde λ es un vector cualquiera. (b) A B A C× = × → B C Aμ= + donde μ es cualquier escalar.

Los vectores complementarios Aλ × y Aμ son perpendiculares entre si y nunca coinciden excepto en el caso de ser 0λ = y μ=0, en ese caso B C= . Sin embargo si sólo se cumple una de ellas en general B C≠ .

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