1

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica

xxxf 32 2

Ejercicio nº 2.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Ejercicio nº 3.-

. 3

1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando

xxf f´(x)

Ejercicio nº 4.- Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf

xexf b)

Ejercicio nº 5.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

12

2a)

2

x

xxf

xxexf b)

Ejercicio nº 6.- Calcula la derivada de la función:

14 3 xxf

Ejercicio nº 7.- Consideramos la función:

2

12

xxf

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo. Ejercicio nº 8.-

1]3,[ intervalo el en3

función la de media variación de tasa la Calcula a) x

xf

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo?

2

Ejercicio nº 9.- Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

0,1 a)

2,1 b)

Ejercicio nº 10.-

.2

13 siendo1)(calcula derivada, de definición la Utilizando

xxf,f´

Ejercicio nº 11.-

.x

xf,f'2

siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando

Ejercicio nº 12.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Ejercicio nº 13.-

derivada.dedefiniciónlaaplicando2,en1funciónla de derivada la Halla2

xxxf

Ejercicio nº 14.- Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

12 xxf

Ejercicio nº 15.-

., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf

Ejercicio nº 16.-

. 3

1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando

xxf f´(x)

Ejercicio nº 17.-

1.siendoderivada,dedefiniciónlaaplicandoHalla 2 x(x)ff´(x),

3

Ejercicio nº 18.-

.x

xf, xf' 1

siendocalcula derivada de definición la Aplicando

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 19.- Halla la función derivada de:

234a) 23 xxxf

xtgxf b)

Ejercicio nº 20.- Calcula la función derivada de:

12a) 23 xxxf

lnxxf b)

Ejercicio nº 21.- Halla la derivada de:

5

13a) 23 xxxf

xcosxf b)

Ejercicio nº 22.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

3

2a) 5 xxxf

xsenxf b)

Ejercicio nº 23.- Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf

xexf b)

Ejercicio nº 24.- Calcula f´(x) en cada caso:

32

3a)

2

x

xxf

xsenxxf 3b)

4

Ejercicio nº 25.- Halla la función derivada de:

3

1a)

2

x

xxf

xlnxxf b)

Ejercicio nº 26.- Calcula la derivada de las funciones siguientes:

2

13a)

2

x

xxf

xsenxxf 2b)

Ejercicio nº 27.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

12

2a)

2

x

xxf

xxexf b)

Ejercicio nº 28.- Halla la derivada de las siguientes funciones:

x

xxf2

a)

xe

xxf

13b)

Ejercicio nº 29.- Halla la derivada de las siguientes funciones:

x

xxf2

a)

xe

xxf

13b)

Ejercicio nº 30.- Calcula la derivada de la función:

14 3 xxf

Ejercicio nº 31.- Halla la función derivada de:

423 xxxf

5

Ejercicio nº 32.- Halla f´(x) para la función:

xxexf 24 3

Ejercicio nº 33.- Calcula la función derivada de:

32

1

x

xsenxf

Aplicaciones de la derivada

Ejercicio nº 34.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.

Ejercicio nº 35.-

14

1recta la a paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuación la Halla xyx y

Ejercicio nº36.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio nº 37.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x 2.

Ejercicio nº 38.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x

2 + x -1.

Ejercicio nº 39.- Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3 2

x

xxf

Ejercicio nº 40.- Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

24 2xxxf

6

Ejercicio nº 41.- Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3

x

xxf

Ejercicio nº 42.- Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

xxxxf 156 23

Ejercicio nº 43.- Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

193 23 xxxy

Ejercicio nº 44.- Dada la función:

32xxf

determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Ejercicio nº 45.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

123 2 xxxf

Ejercicio nº 46.- Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

23123 xxxf

Ejercicio nº 47.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:

2

132

xxxf

Ejercicio nº 48.- Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

22 xxf

7

SOLUCIONES

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica

xxxf 32 2

Solución:

31

3

1

12

1

12

12

12 2 1, T.V.M.

ff

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en el intervalo [1, 2]. Ejercicio nº 2.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Solución:

3

1

3

13

03

11

111'

00

00

hh

hh

l imh

h

lim

h

h

limh

fhflimf

Ejercicio nº 3.-

. 3

1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando

xxf f´(x)

Solución:

3

1

3

3311

3

1

31

'

000

00

h

hlim

h

h

limh

xhx

lim

h

xhx

limh

xfhxflimxf

hhh

hh

8

Ejercicio nº 4.- Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf

xexf b)

Solución:

221' 3 xxfa)

xexf 'b)

Ejercicio nº 5.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

12

2a)

2

x

xxf

xxexf b)

Solución:

22

2

22

2

2

12

422

12

4224

12

22122'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

xxx exxeexf 1'b)

Ejercicio nº 6.- Calcula la derivada de la función:

14 3 xxf

Solución:

14

6

142

1212

142

1'

3

2

3

22

3

x

x

x

xx

x

xf

Ejercicio nº 7.- Consideramos la función:

2

12

xxf

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo.

9

Solución:

1

2

2

2

2

1

2

3

2

2

1

2

3

02

022,0 T.V.M.

ff

Como la tasa de variación media es positiva, la función crece en ese intervalo. Ejercicio nº 8.-

1]3,[ intervalo el en3

función la de media variación de tasa la Calcula a) x

xf

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo? Solución:

1

2

2

2

13

31

13

31

311,3 T.V.M.a)

ff

b) Como la tasa de variación media es negativa, la función es decreciente en el intervalo dado. Ejercicio nº 9.- Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

0,1 a)

2,1 b)

Solución:

21

11

1

11

10

100,1T.V.M. a)

ff

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [-1,0]. (También se puede apreciar directamente en la gráfica).

21

20

12

122,1T.V.M. b)

ff

La función decrece en este intervalo.

10

Ejercicio nº 10.-

.2

13 siendo1)(calcula derivada, de definición la Utilizando

xxf,f´

Solución:

2

3

2

3lim

23

lim22133

lim22

2133

lim

22

2

113

lim11

lim1'

0

000

00

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

fhff

h

hhh

hh

Ejercicio nº 11.-

.x

xf,f'2

siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando

Solución:

2

1

2

1

2

1

2

12

1222

1

122

21

2

111'

00

000

00

hlim

hh

hlim

h

hh

limh

hh

limh

h

h

lim

h

hlimh

fhflimf

hh

hhh

hh

Ejercicio nº 12.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Solución:

3

1

3

13

03

11

111'

00

00

hh

hh

l imh

h

lim

h

h

limh

fhflimf

11

Ejercicio nº 13.-

derivada.dedefiniciónlaaplicando2,en1funciónla de derivada la Halla2

xxxf

Solución:

22

2

212111

112222'

00

2

0

2

0

2

0

2

00

hlimh

hhlim

h

hhlim

h

hhlim

h

hlim

h

hlim

h

fhflimf

hh

hhh

hh

Ejercicio nº 14.- Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

12 xxf

Solución:

22

222121

211111'

0

0

2

0

2

0

2

00

hlim

h

hhlim

h

hhlim

h

hhlim

h

hlim

h

fhflimf

h

hhh

hh

Ejercicio nº 15.-

., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf

Solución:

xxhlim

h

xhhlim

h

xhhlim

h

xxhhxlim

h

xxhhxlim

h

xhxlim

h

xfhxflimxf

hhh

hh

hh

4424242

2422222

22'

00

2

0

222

0

222

0

22

00

12

Ejercicio nº 16.-

. 3

1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando

xxf f´(x)

Solución:

3

1

3

3311

3

1

31

'

000

00

h

hlim

h

h

limh

xhx

lim

h

xhx

limh

xfhxflimxf

hhh

hh

Ejercicio nº 17.-

1.siendoderivada,dedefiniciónlaaplicandoHalla 2 x(x)ff´(x),

Solución:

xxhlim

h

xhhlim

h

xhhlim

h

xxhhxlim

h

xhxlim

h

xfhxflimxf

h

hhh

hh

22

22112

11'

0

0

2

0

222

0

22

00

Ejercicio nº 18.-

.x

xf, xf' 1

siendocalcula derivada de definición la Aplicando

Solución:

20

000

000

11

11

'

xhxxlim

hxhx

hlim

h

hxxh

limh

hxxhxx

lim

h

hxx

hxx

limh

xhxlimh

xfhxflimxf

h

hhh

hhh

13

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 19.- Halla la función derivada de:

234a) 23 xxxf

xtgxf b)

Solución:

xxxf 612'a) 2

xcos

xtgxf2

2 11'b)

Ejercicio nº 20.- Calcula la función derivada de:

12a) 23 xxxf

lnxxf b)

Solución:

xxxf 26' 2 a)

x

x'f1

b)

Ejercicio nº 21.- Halla la derivada de:

5

13a) 23 xxxf

xcosxf b)

Solución:

xxxfa 63') 2

xsenx'f)b

Ejercicio nº 22.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

3

2a) 5 xxxf

xsenxf b)

14

Solución:

3

110'a) 4 xxf

xcosx'f)b

Ejercicio nº 23.- Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf

xexf b)

Solución:

221' 3 xxfa)

xexf 'b)

Ejercicio nº 24.- Calcula f´(x) en cada caso:

32

3a)

2

x

xxf

xsenxxf 3b)

Solución:

2

2

2

2 2

2

2

3 2

18 6

3 2

6 18 12

3 2

2 3 3 2 6

x

x x

x

x x x

x

x x x x ' f ) a

xsenxxf 31'b)

xcosxxsenx

xcosxxsenxxf 3

3 2

3132

3

1

3

1'

Ejercicio nº 25.- Halla la función derivada de:

3

1a)

2

x

xxf

xlnxxf b)

Solución:

2

2

2

22

2

2

3

16

3

162

3

132'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

11

'b) xlnx

xxlnxf

15

Ejercicio nº 26.- Calcula la derivada de las funciones siguientes:

2

13a)

2

x

xxf

xsenxxf 2b)

Solución:

22

2

22

22

22

2

2

623

2

2663

2

21323'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

xcosxsenxxxf 22'b)

Ejercicio nº 27.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

12

2a)

2

x

xxf

xxexf b)

Solución:

22

2

22

2

2

12

422

12

4224

12

22122'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

xxx exxeexf 1'b)

Ejercicio nº 28.- Halla la derivada de las siguientes funciones:

x

xxf2

a)

xe

xxf

13b)

Solución:

2

2

2

1'a)

xxxf

xx

x

x

xx

e

x

e

xe

e

exexf

32133133'b)

22

16

Ejercicio nº 29.- Halla la derivada de las siguientes funciones:

x

xxf2

a)

xe

xxf

13b)

Solución:

2

2

2

1'a)

xxxf

xx

x

x

xx

e

x

e

xe

e

exexf

32133133'b)

22

Ejercicio nº 30.- Calcula la derivada de la función:

14 3 xxf

Solución:

14

6

142

1212

142

1'

3

2

3

22

3

x

x

x

xx

x

xf

Ejercicio nº 31.- Halla la función derivada de:

423 xxxf

Solución:

1634'32 xxxxf

Ejercicio nº 32.- Halla f´(x) para la función:

xxexf 24 3

Solución:

212' 224 3

xexf xx

17

Ejercicio nº 33.- Calcula la función derivada de:

32

1

x

xsenxf

Solución:

32

1

32

5

32

1

32

2232

32

2132

32

1'

2

22

x

xcos

x

x

xcos

x

xx

x

xx

x

xcosxf

Aplicaciones de la derivada

Ejercicio nº 34.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.

Solución:

34' xy

17347' es recta la de pendiente La xxy

.5,1 Cuando yx

La recta será:

27775175 xxxy

Ejercicio nº 35.-

14

1recta la a paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuación la Halla xyx y

Solución:

xy

2

1'

44

1

2

1

4

1' es recta la de pendiente La x

xy

2,4Cuando yx

La recta será:

1

4

11

4

124

4

12 xxxy

Ejercicio nº36.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.

18

Solución:

22' xy

.41' es recta la de pendiente La y

Cuando x = 1, y = 2

La recta será:

24442142 xxxy

Ejercicio nº 37.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x 2.

Solución:

23' 2 xy

.102' es recta la de pendiente La y

.4,2Cuando yx

La ecuación de la recta será:

1610201042104 xxxy

Ejercicio nº 38.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x

2 + x -1.

Solución:

16' xy

17167' es recta la de pendiente La xxy

.3,1 dos Cuando yx

La ecuación de la recta será:

47773173 xxxy

Ejercicio nº 39.- Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3 2

x

xxf

Solución:

2

2

2

22

2

2

2

34

2

342

2

322'

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

0340340' 22 xxxxxf

6,3 Punto 3

2,1 Punto 1

2

24

2

12164

x

x

x

19

Ejercicio nº 40.- Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

24 2xxxf

Solución:

1,1Punto1

0,0Punto0

11Punto1

01444' 23

x

x

,x

xxxxxf

Hallamos las ramas infinitas:

2424 22 xxlimxxlimxx

1

1

1

0,0 en máximo ; 1,1 eny 1,1 en Mínimo

Ejercicio nº 41.- Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3

x

xxf

Solución:

2

23

2

323

2

32

2

62

2

63

2

23'

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

27,3 Punto 3

0,0 Punto 0

0620620' 223

x

x

xxxxxf

Ejercicio nº 42.- Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

xxxxf 156 23

Solución:

054015123' 22 xxxxxf

20

100,5 Punto 5

8,1 Punto 1

2

64

2

20164;

2

64

2

20164

x

x

xx

xxxlimxxxlimxx

156156 2323

Máximo en (5, 100) y mínimo en (1, 8). Ejercicio nº 43.- Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

193 23 xxxy

Solución:

2

12420323963' 22 xxxxxy

26,3 Punto 3

6,1 Punto 12

42

x

x

Hallamos las ramas infinitas para saber si son máximos o mínimos:

193193 2323 xxxlimxxxlim

xx

1 3

26

6

Máximo en (1, 6 ) y mínimo en (3, 26). Ejercicio nº 44.- Dada la función:

32xxf

determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece.

21

Solución:

26' xxf

.creciente es función la0' Como xf

Ejercicio nº 45.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

123 2 xxxf

Solución:

26' xxf

Estudiamos el signo de la derivada:

3

126026

3

1

6

226026

3

1026

xxx

xxxx

xx

.3

1 en mínimo un tieney ,

3

1 en crece ,

3

1, en decrece función La

x

Ejercicio nº 46.- Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

23123 xxxf

Solución:

xxf 612'

Estudiamos el signo de la derivada:

21266120612

21266120612

20612

xxxx

xxxx

xx

La función es creciente en (, 2) y decreciente en (2 +) y tiene un máximo en x 2). Ejercicio nº 47.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:

2

132

xxxf

Solución:

2

32'

xxf

Estudiamos el signo de la derivada:

22

2

3320320

2

322

3320320

2

322

30320

2

32

xxxx

xxxx

xxx

.2

3 en mínimo un tieney ,

2

3 en crece y

2

3, en decrece función La

x

Ejercicio nº 48.- Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

22 xxf

Solución:

22' xxf

Estudiamos el signo de la derivada:

202022

202022

202022

xxx

xxx

xxx

La función decrece en , 2 y crece en 2, y tiene un mínimo en x 2.