matemáticas empresariales ii lección 9 continuidad y ... · encuentre las derivadas parciales de...

Matematicas Empresariales IILeccion 9

Continuidad y Derivabilidad

Manuel Leon Navarro

Colegio Universitario Cardenal Cisneros

M. Leon Matematicas Empresariales II 1 / 25

Continuidad

Sea la funcion f : Rn → R, se dice que f es continua en el punto a ∈ Rn

si se cumple que:

lımx→a

f (x) = f (a)

Por lo tanto para que la funcion sea continua se deben dar trescondiciones (que ademas deberıan comprobarse por ese orden):

1 Que exista la imagen del punto (f (a))

2 Que exista el lımite de la funcion (Para ello se deben aplicar losmetodos vistos en el punto anterior)

3 Que ambos coincidan.

En el caso de los campos vectoriales, f : Rn → Rm, el estudio de lacontinuidad se limita al estudio de la continuidad de cada uno de los mcampos vectoriales que lo componen. Si todos son continuos, entonces seconcluye que dicho campo vectorial es continuo.


Continuidad - Ejemplo

Estudie la continuidad de la funcion f (x , y) en el origen, siendo

f (x , y) =

{xy2

x2+y2 (x , y) = (0, 0)

0 ∀(x , y) 6= (0, 0)

Para que la funcion sea continua en el punto debe cumplir que

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = f (0, 0)

Existe f (0, 0) ya que si (x , y) = (0, 0) entonces f (x , y) = 0 =⇒f (0, 0) = 0.Existe el lımite de la funcion (leccion 8):

lım(x ,y)→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0

Ambos coinciden lım(x ,y)→(0,0) f (x , y) = f (0, 0) = 0 =⇒ es continua.


Continuidad - Ejercicio

Estudie la continuidad de la funcion

f (x , y) =

{(x−1)3−(y+1)3

(x−1)2+(y+1)2 (x , y) = (1,−1)

0 ∀(x , y) 6= (1,−1)

en el punto (1,−1).


Derivada segun un vector (direccional)

Problema: DireccionSea la funcion f : Rn =⇒ R y sea a ∈ Rn un punto del dominio.Definimos la derivada de f en el punto a segun la direccion de v ∈ Rn

como el valor, si existe, del lımite siguiente:

Dv f (a) = lımλ→0

f (a + λv)− f (a)

λ

No tener en cuenta la norma del vector =⇒ ‖v‖ =⇒ derivada direccional:

lımλ→0

f (a + λ v‖v‖)− f (a)

λ


Derivada segun un vector - Ejemplo

Sea la funcion f (x , y) = xy2. Encuentre la derivada de dicha funcion en elpunto (1,1) segun la direccion del vector v = (1, 2).Como hemos visto antes, la derivada de la funcion en dicho punto, segunla direccion de dicho vector sera

Dv f (1, 1) = lımλ→0

f ((1, 1) + λ(1, 2))− f (1, 1)

λ

En primer lugar calculamos la expresion (1, 1) + λ(1, 2) = (1 + λ, 1 + 2λ) ycalculamos su imagen f (1 + λ, 1 + 2λ) = (1 + λ)(1 + 2λ)2. Ahora conf (1, 1) = 1 · 12 = 1 sustituyendo en la definicion de derivada segun unvector:

Dv f (1, 1) = lımλ→0

(1 + λ)(1 + 2λ)2 − 1

λ


Derivada segun un vector - Ejemplo

Y operando el producto de polinomios

Dv f (1, 1) = lımλ→0

1 + 3λ+ 6λ2 + 4λ3 − 1

λ

Y realizando el resto de operaciones

Dv f (1, 1) = lımλ→0

3λ+ 6λ2 + 4λ3

λ= lım

λ→03 + 6λ+ 4λ2 = 3


Derivada segun un vector - Ejercicio

Calcule la derivada de la funcion f (x , y) = x2 + y2 en el punto (1,-1)segun la direccion del vector v = (1, 1).


Derivada parcial

Dentro de todas las direcciones posibles para calcular la derivada, existenunas mas importantes que otras. Una posibilidad es calcular lo queincrementa la funcion cuando todas las variables del dominio se quedanconstantes y solo aumenta una de ellas. Dicha derivada, que se obtienecomo la derivada segun el vector ei = (0, ..., 1, 0, ..., 0) (el 1 aparece en laposicion i), se llama derivada parcial y se denota por Di f (a) o de formamas habitual ∂f

∂xi(a):

Di f (a) =∂f

∂xi(a) = lım

λ→0

f (a + λei )− f (a)

λ


Vector Gradiente y Matriz Jacobiana

Sea la funcion f : Rn =⇒ R, entonces podemos calcular cada una de lasderivadas parciales y ponerlas en un vector. A dicho vector se le llamavector gradiente de la funcion en el punto y se denota por ∇f (a).

∇f (a) =

(∂f

∂x1(a),

∂f

∂x2(a), ...

∂f

∂xi(a), ..,

∂f

∂xn(a)

)Sea la funcion vectorial, f : Rn =⇒ Rm, entonces podemos calcular ungradiente para cada una de las m funciones que componen el campovectorial. A dicha funcion se la denomina matriz Jacobiana y se la denotapor Jf (a)

Jf (a) =

∇f1(a)∇f2(a)

...∇fm(a)

=

∂f1∂x1

(a) ∂f1∂x2

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)∂f2∂x1

(a) ∂f2∂x2

(a) · · · ∂f2∂xn

(a)...

.... . .

...∂fm∂x1

(a) ∂fm∂x2

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)


Funcion Derivada parcial - Calculo de derivadas parciales

Sea la funcion f : Rn =⇒ R que admite derivadas en cada punto deldominio, podemos definir una nueva funcion de tal forma que a cada puntodel dominio le corresponde su derivada. Es decir, aplicamos la definicion dederivada a todos los puntos del dominio y tendremos la funcion derivada:

Dv f (x) = lımλ→0

f (x + λv)− f (x)

λ

Si elegimos, como en el punto anterior, el vector ei = (0, .., 1, 0, .,0)entonces tendremos la funcion derivada parcial:

Di f (x) =∂f

∂xi= lım

λ→0

f (x + λei )− f (x)

λ= lım

λ→0

f (x1, .., xi + λ, .., xn)− f (x1, .., xi , .., xn)

λ


Funcion Derivada parcial - Calculo - Ejemplo

Encuentre las derivadas parciales de la funcion f (x , y) = 2xy2.La derivada parcial respecto de x sera la derivada de la funcion segun ladireccion del vector e1 = (1, 0), por lo tanto sera

∂f

∂x= lım

λ→0

f (x + λe1)− f (x)

λ= lım

λ→0

f (x + λ, y)− f (x , y)

λ

Y sustituyendo en la funcion del ejemplo:

∂f

∂x= lım

λ→0

2(x + λ)y2 − 2xy2

λ= lım

λ→0

2xy2 + 2y2λ− 2xy2

λ

y operando se obtiene

∂f

∂x= lım

λ→0

2xy2 + 2y2λ− 2xy2

λ= lım

λ→0

2y2λ

λ= lım

λ→02y2 = 2y2

Y por lo tanto, se obtiene que ∂f∂x = 2y2.


Funcion Derivada parcial - Calculo - Ejemplo (cont)

La derivada parcial respecto de y sera la derivada de la funcion segun ladireccion del vector e2 = (0, 1), por lo tanto sera

∂f

∂y= lım

λ→0

f (x + λe2)− f (x)

λ= lım

λ→0

f (x , y + λ)− f (x , y)

λ

Y sustituyendo en la funcion del ejemplo:

∂f

∂y= lım

λ→0

2x(y + λ)2 − 2xy2

λ= lım

λ→0

2x(y2 + 2yλ+ λ2)− 2xy2

λ

y operando se obtiene

∂f

∂y= lım

λ→0

2xy2 + 4xyλ+ 2xλ2 − 2xy2

λ= lım

λ→0

4xyλ+ 2xλ2

λ= lım

λ→04xy+2xλ = 4xy

Y por lo tanto, se obtiene que ∂f∂4 = 4xy .


Funcion Derivada parcial - Calculo - Ejercicio

Calcule, utilizando la definicion, las derivadas parciales de la funcionf (x , y) = x2 + y2


Calculo de la derivada parcial utilizando las reglas dederivacion

En la practica, para encontrar las derivadas parciales utilizamos las reglasde derivacion vistas en cursos anteriores, pero con una pequena diferencia.Si queremos calcular la derivada respecto de una variable, se supone que elresto de variables son constantes y solo se deriva respecto de la variable deinteres.EjemploEncuentre el gradiente de la funcion f (x , y) = 2xy2.El gradiente =⇒ ∇f (x , y) = ( ∂f∂x ,

∂f∂y ).

∂f∂x =⇒ y es constante (y = K ) =⇒ se deriva f (x) = 2xK 2.Reglas =⇒ f ′(x) = 2K 2. Ahora con y = K tengo que f ′(x) = 2y2

=⇒ ∂f∂x = 2y2

∂f∂y =⇒ x es constante (x = K ) =⇒ se deriva f (y) = 2Ky2

Reglas =⇒ f ′(y) = 2 · 2Ky . Ahora con x = K tengo que f ′(y) = 4xy=⇒ ∂f

∂y = 4xy


Calculo de la derivada parcial utilizando las reglas dederivacion - Ejercicio

Calcule, utilizando las reglas de derivacion, las derivadas parciales de lasfunciones siguientes:

1 f (x , y) = x2 + y2

2 f (x , y) = exy2

3 f (x , y) = Ln(xcos(y)

4 f (x , y , z) = xyz


Derivadas sucesivas

Derivadas sucesivas - Se obtienen aplicando la definicion de derivadaparcial a las derivadas obtenidas anteriormente.El problema radica en que el numero de derivadas sucesivas crece de formageometrica. Si f : Rn → R =⇒ el gradiente esta formado por ncomponentesCada uno de los n componentes puede ser derivado respecto a las nvariables y por lo tanto se pueden formar nxn derivadas segundas.La notacion para la derivada segunda es

∂2f

∂xi∂xj

donde en el numerador indicamos que la derivada es segunda y en eldenominador respecto de que variables derivamos. En este caso, primerderivamos respecto de xi y despues respecto de xj . Si la segunda derivadala tomamos respecto de la misma variable, tambien se puede escribir como

∂2f

∂x2i

Es importante notar que en principio el orden va a ser importante, es decirque ∂2f

∂xi∂xj6= ∂2f

∂xj∂xi


Matriz Hessiana

Al conjunto de las derivadas parciales segundas de un campo escalarordenadas en una matriz cuadrada de orden n se le denomina matrizHessiana y tiene la forma:

Hf (x) =

∂2f∂x2

1

∂2f∂x1∂x2

· · · ∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x2∂x1

∂2f∂x2

2· · · ∂2f

∂x2∂xn...

.... . .

...∂2f

∂xn∂x1

∂2f∂xn∂x2

· · · ∂2f∂x2

n

Una vez que tenemos calculada la matriz hessiana, esta puede ser evaluadaen un punto a, Hf (a).


Matriz Hessiana - Ejemplo

Calcule la matriz Hessiana del campo escalar siguiente: f (x , y , z) = exy+z

Para calcular la matriz Hessiana debemos calcular en primer lugar lasderivadas parciales primeras:

∂f

∂x= exy+z · y

∂f

∂y= exy+z · x

∂f

∂z= exy+z


Matriz Hessiana - Ejemplo - Cont

Una vez calculadas las derivadas parciales primeras calcularemos lasderivadas de las derivadas, es decir las derivadas segundas:A partir de la derivada respecto de x (∂f∂x = exy+z · y):

∂2f

∂x2= exy+z · y2

∂f 2

∂x∂y= exy+z · x · y + exy+z

∂f 2

∂x∂z= exy+z · y



A partir de la derivada respecto de y ( ∂f∂y = exy+z · x):

∂f 2

∂y∂x= exy+z · x · y + exy+z

∂f 2

∂y2= exy+z · x2

∂f 2

∂y∂z= exy+z · x



A partir de la derivada respecto de z (∂f∂z = exy+z):

∂f 2

∂z∂x= exy+z · y

∂f

∂z∂y= exy+z · x

∂f

∂z2= exy+z



Y por ultimo, ordenando las derivadas segundas en la matriz hessiana seobtiene:

Hf (x) =

exy+z · y2 exy+z · x · y + exy+z exy+z · yexy+z · x · y + exy+z exy+z · x2 exy+z · x

exy+z · y exy+z · x exy+z


Matriz Hessiana - Ejercicio

Calcule la matriz Hessiana del campo escalar f (x , y) = cos(ex · y)


Propiedades de las funciones derivadas

Si una funcion es derivable en un punto a, entonces no podemos asegurarque dicha funcion sea continua en a.EjemploComprobar que la funcion tiene derivadas segun cualquier vector en elpunto (0, 0) pero que no es continua en dicho punto.{

x1x22

x21 +x4

2, ∀(x1, x2) 6= (0, 0)

0, (x1, x2) = (0, 0)


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