unidad 4: derivada segunda y análisis de gráficas · teorema 4.1.8 . rglae de la derivada segunda...

Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 4: Derivada Segunday Análisis de Gráficas

2015 - Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana Alonso

Equipo Coordinador

UNIDAD 4

Derivada Segunda y Análisis de Grá�cas

Contenidos de la Unidad 4: Derivada segunda. Concavidad. Puntos de in�exión. Crite-rio de la derivada segunda para extremos locales. Derivadas superiores. Comportamientoasintótico. Análisis cualitativo de grá�cas.

Clase 4.1. Concavidad y derivada segunda

Contenidos de la clase: Concavidad. Derivada segunda. Puntos de in�exión.

En la Unidad 3 hemos aprendido que la derivada representa la razón de cambio local de una funciónf(x) en cada punto x de su dominio de derivabilidad. Grá�camente, sabemos que el valor de la derivadaf ′(x) representa la pendiente de la recta tangente a la grá�ca de f en el punto (x, f(x)). Por simplicidad,vamos a decir que f ′(x) mide directamente la pendiente de la grá�ca en el punto (x, f(x)).

Notación: dada una función f(x) derivable en un punto x0, llamaremos pendiente de la grá�ca def en el punto (x0, f(x0)) a la pendiente de la recta tangente en dicho punto.El valor de la pendiente de la grá�ca de f en el punto (x0, f(x0)) está dado por el valor de la derivadaf ′(x0).

En general la pendiente de la grá�ca de una función f(x) no es constante sino que depende de x. Esdecir, en distintos puntos(x, f(x)) la pendiente de la grá�ca es distinta. La función derivada f ′(x) describedicha dependencia de la pendiente en función de x.

4.1.1. Concavidad

En esta sección estudiaremos cómo cambia la pendiente de una grá�ca. Es decir, vamos a estudiarel crecimiento o decrecimiento de la función derivada f ′(x) y qué consecuencias tiene este cambio en elaspecto de la grá�ca de la función f(x).

Actividad 4.1.1. Consideren las funciones representadas en los siguientes grá�cos

¾Es cierto que ambas son crecientes en el intervalo mostrado?¾Qué comportamiento observan en la pendiente, en cada caso?¾Cuál es la consecuencia grá�ca de ese comportamiento?

183

CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 184

Intenten una comparación similar con funciones decrecientes.

Estudiemos estas cuestiones en un ejemplo conocido, similar al Ejemplo 3.1.8.

Ejemplo 4.1.2. Consideremos un camino de montaña, con un per�l descripto por la altura h (encm) en función de la distancia horizontal recorrida l (en m). Digamos que la altura está dada por

h(l) = l3 − 3l2 + 2l

para 0 ≤ l ≤ 2m. Ya hemos visto que la derivada h′(l) describe la pendiente (en cm/m). Llamemosp(l) a la pendiente del camino en función de la distancia recorrida, es decir p(l) = h′(l)

p(l) = 3l2 − 6l + 2

para 0 < l < 2m. Nos interesa describir el ritmo de cambio de la pendiente: va a estar dado por laderivada de la pendiente respecto de l,

p′(l) = 6l − 6

Podemos ver que esta razón de cambio p′(l) = 6(l− 1) es negativa para 0 < l < 1m, es decir que lapendiente p(l) es decreciente en (0, 1m), mientras que p′(l) es positiva para si 1m < l < 2m, es decirp(l) es creciente en (1m, 2m).

Escribiendo las unidades, p′(1.5m) = 3 cmm2 = 3 cm/m

m indica que la pendiente crece a un ritmo de3 cm/m por cada metro recorrido.

Dibujen en un mismo grá�co, con computadora, las grá�cas de las tres funciones1 h(l), p(l) y p′(l).Observen que:

en el intervalo donde p′(l) < 0 la pendiente es efectivamente decreciente. En ese intervalo, lagrá�ca de la función h(l) se curva hacia abajo.en el intervalo donde p′(l) > 0 la pendiente es efectivamente creciente. En ese intervalo, lagrá�ca de la función h(l) se curva hacia arriba.

Siguiendo este ejemplo, para una función f(x) vemos que podemos aprovechar el estudio del crecimientode su derivada f ′(x) para conocer cuándo la grá�ca de f se curva hacia arriba o se curva hacia abajo. Estoes lo que llamamos el estudio de la concavidad de una función.


Definición 4.1.3. Sea una función f(x) derivable en (a, b).

Si f ′(x) es creciente en el intervalo (a, b) se dice que la función es cóncava hacia arriba endicho intervalo (lo anotaremos ^).Si f ′(x) es decreciente en el intervalo (a, b) se dice que la función es cóncava hacia abajo endicho intervalo (lo anotaremos _).

Supongamos una función f derivable en un intervalo abierto e interpretemos grá�camente la concavi-dad.

Observen que si la función es cóncava hacia arriba en un intervalo (a, b), para todo punto c del intervalola recta tangente a la grá�ca en el punto (c, f(c)) se ubica por debajo de la grá�ca de y = f(x) al menosen (a, b).

Similarmente, si la función es cóncava hacia abajo en un intervalo (a, b), para todo c del intervalo larecta tangente a la grá�ca en el punto (c, f(c)) se ubica por arriba de la grá�ca al menos en (a, b).

Actividad 4.1.4. En el ejemplo anterior la función h(l) que describe el camino de montaña escóncava hacia abajo en (0, 1m) y cóncava hacia arriba en (1m, 2m). Gra�quen varias rectas tangentespara comprobar lo que acabamos de enunciar.

En general usaremos la frase sentido de la concavidad para indicar si la concavidad en un dado in-tervalo es ^ o _. Para identi�car intervalos con distintos sentidos de concavidad de una función f(x)necesitaremos conocer los intervalos en los que la derivada f ′(x) es creciente o decreciente.

4.1.2. Derivada segunda

Dada una función f(x), la función derivada f ′(x) es también una función de x. Para saber si es crecienteo decreciente tenemos la herramienta adecuada: hay que ver si f ′(x) es derivable, y en ese caso estudiar sucrecimiento y/o decrecimiento a partir del signo de su derivada (f ′)′ (como lo hemos hecho con distintasfunciones en la Unidad 3). A la derivada de la función derivada de f(x), si es que existe, la llamaremosderivada segunda de f y la anotaremos como f ′′.

Definición 4.1.5. Dada la función derivada f ′(x) de una función f(x), y un punto x0 interior a sudominio, diremos que f(x) es derivable dos veces en x0 si existe el límite

lım∆x→0

f ′(x0 + ∆x)− f ′(x0)

∆x

En ese caso, llamaremos derivada segunda de f respecto de x dos veces en el punto x0 a

f ′′(x0) = lım∆x→0

f ′(x0 + ∆x)− f ′(x0)

∆x


Llamaremos función derivada segunda de f a la función que asigna a cada punto x0 del dominio de fel valor de la derivada en ese punto, si existe. Se anota f ′′(x) y se puede escribir que

f ′′(x) =(f ′(x)

)′En la notación de Leibnitz se anota

d2f

dx2

y se lee igual, derivada segunda de f respecto de x dos veces. Ahora que tenemos una derivada segunda,será conveniente en adelante llamar a f ′(x) derivada primera.

Observación 4.1.6. Debido a que la derivada segunda se de�ne como un límite, puede ocurrirque no exista, o que sólo exista por izquierda o sólo por derecha. En este último caso hablaremos dederivadas segundas laterales y las anotaremos como f ′′+(x0) ó f ′′−(x0), según corresponda.

En la práctica es sencillo calcular la función derivada segunda, derivando dos veces consecutivas,siempre que las reglas de derivación lo permitan (si no se pueden aplicar reglas, habrá que recurrir a lade�nición de derivada).

Ejemplo 4.1.7. Por ejemplo, f(x) = 3x2 − 5x+ cosx es derivable en todo el eje real, y por reglas

f ′(x) =(3x2 − 5x+ cosx

)′= 6x− 5− senx

Esta función derivada primera también es derivable en todo el eje real, y de nuevo por reglas obtenemos

f ′′(x) = (6x− 5− senx)′ = 6− cosx

4.1.3. Derivada segunda y concavidad

Volviendo ahora al análisis de la concavidad de una función f , en el caso en que la función admitaderivada segunda f ′′, el análisis del crecimiento o decrecimiento de f ′ en cierto intervalo se puede realizara través del signo de f ′′: si el signo de f ′′(x) es positivo en un intervalo abierto, entonces f ′(x) es crecienteen ese intervalo, y f es cóncava hacia arriba. Y si el signo de f ′′(x) es negativo en un intervalo abierto,entonces f ′(x) es decreciente en ese intervalo, y f es cóncava hacia abajo. Lo enunciamos como:

Teorema 4.1.8. Regla de la derivada segunda para la concavidad.Sea f una función que posee derivada segunda f ′′(x) para todo x ∈ (a, b). Se tiene que:

si f ′′(x) > 0 en (a, b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b)si f ′′(x) < 0 en (a, b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a, b)

La demostración es muy simple, ya que

si para todo x ∈ (a, b) conocemos que (f ′)′(x) = f ′′(x) > 0, sabemos que f ′(x) es creciente en eseintervalo. Pero entonces, por la de�nición 4.1.3 f es cóncava hacia arriba en (a, b).si para todo x ∈ (a, b) conocemos que (f ′)′(x) = f ′′(x) < 0, sabemos que f ′(x) es decreciente enese intervalo. Por lo tanto, por la de�nición 4.1.3 f es cóncava hacia abajo en (a, b).

Ejemplo 4.1.9. Comprobemos el sentido de la concavidad de algunas funciones conocidas.


1. Las funciones constantes: f(x) = c.La grá�ca es una recta horizontal. Claramente no se curva ni hacia arriba ni hacia abajo. Sicalculamos su derivada segunda, vemos que f ′(x) = f ′′(x) = 0. En este caso diremos que lagrá�ca de f(x) no tiene concavidad.

2. Las funciones lineales: f(x) = mx+ b, con m 6= 0.También en este caso la grá�ca es una recta (no horizontal). No tiene concavidad, correspondi-endo a que f ′′(x) = 0.

3. Las funciones cuadráticas: f(x) = ax2 + bx+ c, con a 6= 0.Sus grá�cas son parábolas. Vamos a comprobar que mantienen el sentido de concavidad en todoel eje real, hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de a.Calculemos su derivada segunda.f ′(x) = 2ax+ bf ′′(x) = 2a.Siendo a 6= 0, el signo de la derivada segunda es constante:

Si consideramos a > 0, f ′′(x) > 0 para todo x, es decir f es cóncava hacia arriba en todo eleje real (^ ).Si consideramos a < 0, f ′′(x) < 0 para todo x, es decir f es cóncava hacia abajo en todo eleje real (_ ).

Esta información coincide con que las ramas se extienden hacia arriba o hacia abajo, según el signo dea.

Comprueben el resultado general en los casos f(x) = 3x2 − 2x+ 4 y f(x) = −x2 + 2x+ 4

Para aplicar el Teorema 4.1.8, necesitamos localizar los intervalos donde f ′′(x) mantiene un signode�nido. El planteo es el mismo que usamos en el Capítulo 1 para analizar intervalos donde una funciónf(x) es positiva o negativa (y saber si su grá�ca se dibuja por encimo o por debajo del eje x) y en elCapítulo 3 para analizar intervalos donde una derivada f ′(x) es positiva o negativa (y saber si la grá�cade f(x) es creciente o decreciente). Ahora analizaremos el signo de f ′′(x) para saber si la grá�ca de f(x)es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

El análisis del signo de la derivada segunda se puede hacer planteando y resolviendo directamentelas desigualdades

f ′′(x) > 0 y f ′′(x) < 0

Cuando estas desigualdades no quedan sencillas, el análisis del signo de la derivada segunda se vefacilitado si f ′′(x) es continua: según el Teorema del Valor Intermedio, el signo sólo puede cambiaren puntos donde f ′′ sea nula o donde f ′′ sea discontinua (típicamente, que no exista f ′′(x)). Aestos puntos se los llama puntos críticos de concavidad. Recordemos que si encontramos todos lospuntos críticos de concavidad y separamos en intervalos, podemos de�nir el signo dentro de cadaintervalo evaluando en un punto de prueba interior a él.

Ejemplo 4.1.10. Analicemos el sentido de concavidad de f(x) = 1/x. Recordemos en primer lugarque f está de�nida para x 6= 0. Calculemos sus derivadas:f ′(x) = −1/x2

f ′′(x) = 2/x3.En este caso planteamos 2/x3 > 0 y resolvemos x > 0; de la misma forma, 2/x3 < 0 se resuelve

como x < 0. Podemos completar una tabla con cada intervalo, y el signo de f ′′ y la concavidad de f :

Intervalo signo de f ′′ Concavidad de f(−∞, 0) − _(0,+∞) + ^


Gra�quen con GeoGebra para visualizar los resultados.

Actividad 4.1.11. Consideremos f(x) = (x2 +3)−1. Observemos en primer lugar que f es continua∀x. Comprueben que las expresiones de la primera y segunda derivadas son:

f ′(x) =−2x

(x2 + 3)2f ′′(x) =

6(x2 − 1)

(x2 + 3)3.

Podríamos resolver el signo de f ′′(x) (depende sólo del numerador, ya x2 + 3 siempre es positivo,inténtenlo). Para ilustrar otra forma de trabajar, lo hacemos con puntos críticos de concavidad: f ′′(x)es continua en todo el eje, y f ′′(x) = 0 en x = ±1. Podemos separar el eje real en los intervalos(−∞,−1), (−1, 1) y (1,+∞), donde f ′′(x) es continua y no se anula. Una forma de determinar elsigno en cada intervalo, justi�cada con el Teorema del Valor Intermedio, es elegir un punto interior encada uno para evaluar el signo de f ′′ en ese punto. Completen la tabla para determinar el sentido deconcavidad en cada intervalo:

intervalo punto de prueba signo de f ′′ Concavidad

(−∞,−1)(−1, 1)(1,+∞)

Gra�quen con GeoGebra para visualizar los resultados.

4.1.4. Puntos de in�exión

Consideremos una función f continua en (a, b) y un punto intermedio c tal que es cóncava hacia abajoen (a, c) y cóncava hacia arriba en (c, b). El punto sobre la grá�ca (c, f(c)) es un punto especial: a laizquierda del mismo la función presenta una concavidad y a la derecha otra. Lo mismo ocurre si cambiade cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. Un punto de estas características recibe un nombre propio:punto de in�exión.

Definición 4.1.12. Un punto P = (x0, f(x0)) en la grá�ca de una función y = f(x) se llama punto dein�exión si f es continua en x0 y la curva cambia de concavidad al pasar por P .


Ejemplo 4.1.13.

En el ejemplo 4.1.2 del camino de montaña, como h es continua, es cóncava hacia abajo en(0, 1m) y cóncava hacia arriba en (1m, 2m), el punto del camino (1, 0) es un punto de in�exión.En la actividad 4.1.11, recordemos primero que f(x) = (x2 + 3)−1 es continua en todos losreales. Deben haber llegado a la siguiente información:intervalo signo de f ′′ Concavidad

(−∞,−1) + ^(−1, 1) - _(1,+∞) + ^

Entonces (−1, 1/4)es un punto de in�exión y también (1, 1/4) es un punto de in�exión.

Los puntos críticos de concavidad pueden ser o no ser puntos de in�exión. Según la de�nición 4.1.12,debemos revisar si la función derivada cambia de creciente a decreciente, o viceversa.

Observación 4.1.14. Si una función f(x) tiene derivada continua en un punto de in�exión, lafunción derivada presenta un extremo local en ese punto. En efecto, f ′(x) es continua (por ser derivable)y, si pasa de creciente a decreciente presenta un máximo local; en cambio, si pasa de decreciente acreciente presenta un mínimo local.

El caso más sencillo de puntos de in�exión ocurre cuando la función es derivable dos veces (es decir,admite derivada segunda).

Pensemos en una función f que admite derivada segunda en (a, b), y que en cierto punto c entre a y bcambia de concavidad: digamos que es cóncava hacia arriba en (a, c) y cóncava hacia abajo en (c, b) (o bien,cóncava hacia abajo en (a, c) y cóncava hacia arriba en (c, b)). Como c es un punto de continuidad de f(porque toda función derivable es continua2) entonces (c, f(c)) es un punto de in�exión. Pero además existef ′(c), entonces c resulta un máximo de f ′(o bien, un mínimo de f ′) y, por lo tanto debe ser (f ′)′ (c) = 0 .Podemos concluir que:

Afirmación 4.1.15. Sea f una función continua en un punto c. Si (c, f(c)) es un punto de in�exióny existe f ′′(x) en un entorno de c, entonces f ′′(c) = 0.

Cuando buscamos puntos de in�exión, que posiblemente son extremos de f ′, podemos razonar de lamisma manera que cuando buscamos extremos de una función. Se descartan los puntos en que existef ′′(x) 6= 0 porque es seguro que no son de in�exión, y se estudian con cuidado los puntos donde no existef ′′(x), o donde f ′′(x) = 0.

Afirmación 4.1.16. Los puntos críticos de concavidad (c, f(c)) de una función f continua en cveri�can que f ′′(c) = 0 o bien f ′′ no existe en c.

Por otro lado, recuerden que un punto crítico de concavidad no asegura que realmente haya un puntode in�exión. Son sólo puntos críticos de crecimiento de la función derivada primera. Es necesario estudiarla concavidad a izquierda y derecha del punto crítico para ver si efectivamente cambia de sentido.

Para no confundir los puntos críticos de concavidad de los puntos críticos asociados a extremos locales,que discutimos en la Unidad 3, conviene llamar a aquéllos puntos críticos de crecimiento. Han visto muchosejemplos de funciones con puntos críticos de crecimiento que no resultaron ser extremos; de la mismamanera encontrarán puntos críticos de concavidad que resulten no ser puntos de in�exión.

2Recordar Teorema 3.2.24


Actividad 4.1.17. Analicen la función f(x) = x4 para discutir si hay un punto de in�exión enx = 0.

Veamos ahora con un ejemplo que puede existir un punto de in�exión en puntos donde la derivadasegunda no existe:

Ejemplo 4.1.18. Analicemos la función f(x) = x|x|. De acuerdo a la de�nición de valor absoluto,tendremos

f(x) =

{−x2, si x ≤ 0

x2, si x > 0.

Derivando por reglas en los intervalos abiertos y calculando por de�nición en x = 0, compruebenque

f ′(x) =

−2x, si x < 0

0 si x = 0

2x, si x > 0

f ′′(x) =

−2, si x < 0

@, si x = 0

2, si x > 0

.

Separando en los dos intervalos que tienen signo constante de la derivada segunda, vemos que

intervalo signo de f ′′ concavidad

(−∞, 0) - _(0,+∞) + ^

Es decir, (0, 0) es un punto de in�exión. La derivada segunda no es nula en x = 0, sucede queno existe en este punto.

Comprueben grá�camente lo que hemos encontrado.

4.1.5. Ejercitación

Ejercicio 4.1.1. Encuentren los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

f(x) = axn, distinguiendo el signo de a y la paridad o imparidad de n. Consideren n ≥ 3.f(x) = lnxf(x) = ex.

Comprueben grá�camente los resultados obtenidos.

Ejercicio 4.1.2. La �gura siguiente muestra las grá�cas de f, f ′y f ′′. Indiquen cuál es cada curva yexplicar por qué es así.


Ejercicio 4.1.3. Encuentren las regiones de concavidad y puntos de in�exión de las siguientes fun-ciones.

1. f(x) = x4 − 2x2 + 32. f(x) = sen x+ cosx primero en [0, 2π] y luego en toda la recta

3. f(x) =x2

x2 + 34. f(x) = x2 lnx5. f(x) = exp(−x2)

Ejercicio 4.1.4.Gra�quen con GeoGebra

1. f(x) = x3

2. g(x) = −x (x− 1)2

3. h(x) = x3 − x4. q(x) = 2x3 + 1.

Comprueben que todas estas funciones tienen exactamente un punto de in�exión. Agreguen los grá�cosde las derivadas primera y segunda de cada función y establezcan relaciones entre ellos.

5. Consideren ahora p(x) = ax3 +bx2 +cx+d, un polinomio cúbico general. Demuestren que siempretiene un único punto de in�exión.

Ejercicio 4.1.5. La siguiente es la grá�ca de la derivada de una función continua f .

1. Encuentren los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .2. ¾En qué valores de x la función f tiene un máximo o un mínimo local?3. Estudien los intervalos de concavidad haca arriba o hacia abajo.4. Encuentren los puntos de in�exión de f .5. Supongan que f(0) = 0 y gra�quen cualitativamente f según los resultados obtenidos.

Ejercicio 4.1.6. A partir de la grá�ca de las funciones f que se muestran más abajo, indiquen lasiguiente información:

1. los intervalos donde la función es creciente o decreciente2. los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo3. los puntos de in�exión


Ejercicio 4.1.7. La siguiente es la grá�ca de la derivada segunda de cierta función continua f .

1. Encuentren los puntos críticos de concavidad.2. Indiquen los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo.3. ¾Cuáles de los puntos críticos de concavidad son realmente puntos de in�exión?

Justi�quen sus razonamientos.

Ejercicio 4.1.8. Analizar si las funciones de los ejemplos 4.1.9 y 4.1.10 tienen algún punto de in�exióny en caso a�rmativo dar las coordenadas de los mismos.

Ejercicio 4.1.9. Sea K(t) una medida del conocimiento que obtienen después de haber estudiadopara un examen durante t horas. Teniendo en cuenta el cansancio acumulado, ¾qué cantidad suponen quees más grande: K(3)−K(2) ó K(8)−K(7)? ¾La grá�ca de K(t) será cóncava hacia arriba o hacia abajo?Justi�quen su razonamiento.

CLASE 4.2. APLICACIONES DE LA DERIVADA SEGUNDA. DERIVADAS SUPERIORES. 193

Clase 4.2. Aplicaciones de la derivada segunda. Derivadas superiores.

Contenidos de la clase: Puntos de in�exión. Criterio de la derivada segunda para la carac-terización de extremos locales. Derivadas superiores.

4.2.1. Aplicaciones de la derivada segunda

La derivada segunda de una función nos da información importante, tanto sobre la función originalcomo sobre su derivada primera. Comenzamos esta Clase destacando algunas aplicaciones.

Continuidad de la derivada primera.

Recordemos el teorema 3.2.24, que establece que si una función es derivable entonces seguro quetambién es continua.

Como la derivada segunda de f(x) es la derivada de la función derivada primera, tenemos que:

si existe f ′′(x) en algún punto x0, entonces f ′(x) es continua allí.

Observemos también que:

si existe f ′′(x) en un intervalo abierto, entonces f ′(x) es continua en ese intervalo.

Por último, al existir f ′′(x) en un punto x0 existe también f ′(x0). Entonces sabemos que la función fresulta continua en el punto x0.

Criterio de la derivada segunda para extremos locales.

La derivada primera nos brinda información sobre las regiones de crecimiento y/o decrecimiento. Hemosdistinguido ciertos puntos, los puntos críticos de crecimiento, donde la función puede llegar a alcanzar susextremos locales. Estos puntos críticos se obtienen de acuerdo a dos posibilidades (además de los extremosdel intervalo de de�nición, si éste fuera cerrado):

f ′(c) = 0f ′ no es continua en c.

Para el primer caso, si existe la derivada segunda y es continua, tenemos un modo alternativo de clasi�caral punto crítico.

Sea una función f(x) con un sentido de concavidad de�nido; supongamos por ejemplo que es cóncavahacia arriba en un intervalo (a, b) y que para un punto c ∈ (a, b) la derivada primera se anula, es decirf ′(c) = 0.

Al ser cóncava hacia arriba en (a, b), la derivada primera es creciente. Entonces:


si a < x < c debe ser f ′(x) < f ′(c) = 0 ; es decir f es decreciente a la izquierda de csi c < x < b debe ser 0 = f ′(c) < f ′(x) ; es decir f es creciente a la derecha de c.

Por lo tanto f(x) presenta un mínimo local en c.

Estas consideraciones nos permiten enunciar el resultado siguiente, conocido como criterio de la deriva-da segunda para extremos locales:

Teorema 4.2.1. Criterio de la derivada segunda para extremos locales

Sea f una función que veri�ca f ′(c) = 0 y tal que f ′′ es continua en un entorno de c. Tenemos que:

si f ′′(c) > 0, entonces c es un mínimo local.si f ′′(c) < 0, entonces c es un máximo local.

Este criterio es un modo alternativo sencillo para clasi�car puntos críticos que veri�can f ′(c) = 0. Enlugar de estudiar crecimiento y decrecimiento a través del signo de la derivada primera, evaluamos el signode la derivada segunda en el punto crítico. Noten que si f ′′(c) = 0, el criterio no se puede aplicar (se sueledecir que "el criterio no decide"). En ese caso debemos estudiar crecimiento y decrecimiento de la derivadaprimera.

Vale la pena insistir en que no olviden el criterio de la derivada primera: lo pueden seguir usando,y además resulta imprescindible cuando f ′′(c) = 0 o no existe f ′′(c), o eventualmente existe pero no escontinua.

Ejemplo 4.2.2. Con�rmemos el criterio de la derivada segunda con algunos ejemplos de funcionesque ya conocemos, antes de estudiar casos nuevos.

la función cuadrática: f(x) = ax2 + bx+ c.El único punto crítico surge def ′(x) = 2ax+ b = 0, es decir x0 = −b/2a.f ′′(x) = 2a.Como f ′ es continua, podemos utilizar la prueba de la derivada segunda:

f ′′(x0) = 2a. Por lo tanto,

{si a > 0 f ′′(x0) > 0y entonces x0es un mínimo local

si a < 0 f ′′(x0) < 0y entonces x0es un máximo local.

la función cúbica: f(x) = ax3 , con a 6= 0.Los puntos críticos surgen def ′(x) = 3ax2 = 0, es decir x0 = 0.f ′′(x) = 6ax. Como es continua, podemos intentar utilizar la prueba de la derivada segunda.Pero f ′′(0) = 0! No podemos aplicar la prueba. En realidad, como f ′(x) ≥ 0 para todo x, lafunción es creciente y por lo tanto no tiene extremos.Comprueben que x0 = 0 es realmente un punto de in�exión.

Actividad 4.2.3. Estudiemos los extremos de algunas funciones.

Sea f(x) = x3 + 3x2.Los puntos críticos surgen def ′(x) = 3x2 + 6x = 3x(x+ 2) = 0, es decir x = 0 y x = −2.f ′′(x) = 6x+ 6. Como f ′′ es continua podemos utilizar el criterio de la derivada segunda:

x crítico signo de f ′′(x) máx/mín de f

−2 f ′′(−2) = −6 < 0 máx0 f ′′(0) = 6 > 0 mín

Para comprobar el resultado (y de paso practicar un poco más), clasi�quemos ahora losextremos de acuerdo a los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. Tendremos tres


intervalos a analizar: (−∞, 0), (0, 2) y (2,+∞)). Como f ′ es continua, podemos elegir un puntointerior de cada intervalo para estudiar el signo de la derivada.Ahora completen la siguiente información

intervalo signo de f ′(x) crec/decrec de f

(−∞,−2) + ↗(−2, 0) − ↘(0,+∞) + ↗

Como f es continua,x = −2 es un máximo localx = 0 es un mínimo local

f(x) = cosx.f ′(x) = − senx. Los puntos críticos de crecimiento son x = nπ, con n ∈ Z. Ya lo hemos hechoantes, pero vuelvan a veri�carlo.f ′′(x) = − cosx.Como f ′′ es continua, podemos utilizar la prueba de la derivada segunda.Proponemos que la utilicen para con�rmar cuáles son mínimos y cuáles máximos.

Actividad 4.2.4. Dada la curva y = x4 − 4x3, analicemos la concavidad, puntos de in�exión ymáximos y mínimos locales. Luego, utilicemos esos datos para dibujar la curva.

Para ello, calculen las derivadas primera y segunda, y exprésenla como producto de factores paraanalizarlas más fácilmente. Deberían arribar a las siguientes expresiones (veri�quen):

f ′(x) = 4x2(x− 3)f ′′(x) = 12x(x− 2)Comprueben que los puntos críticos son x = 0 y x = 3.Como f ′′ es continua (¾por qué?) utilicen la prueba de la derivada segunda para concluir que x = 3

es un mínimo local.Sin embargo, como f ′′(0) = 0, para clasi�car este punto crítico debemos utilizar la prueba de la

derivada primera:Como f ′(x) ≤ 0 para x < 3, la función es siempre decreciente en esta región y, por lo tanto, x = 0

no es máximo ni mínimo (comprueben lo que se a�rma).

Los posibles puntos de in�exión son x = 0 , x = 2 (veri�quen). Completen el cuadro con lainformación de la concavidad:

intervalo signo de f ′′ concavidad

(−∞, 0)(0, 2)

(2,+∞)

Con estos datos, proponemos que realicen una posible grá�ca de la curva.

Observación 4.2.5. Cuando f ′′(c) = 0, siendo c un punto crítico, la prueba de la derivada segundano concluye nada. Podría tratarse de un mínimo, de un máximo o ninguna de las dos cosas. En estoscasos, como cuando f ′′(c) no existe, hay que recurrir a la información del crecimiento o decrecimientode la función, como se trabajó en la Unidad 3.


4.2.2. Derivadas de orden superiorLa función derivada segunda mide la concavidad de una grá�ca. No lo veremos en detalle, pero les

contamos que cuanto mayor es el valor absoluto de la derivada segunda, la grá�ca es "más curva" (tieneun "radio de curvatura" más pequeño). Por este motivo tiene sentido preguntarse si la concavidad semantiene, aumenta o disminuye. Es decir, estudiar el crecimiento o decrecimiento de la derivada segunda.

Naturalmente, para estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función derivada segunda será ade-cuado calcular su derivada, si es que existe. Al resultado de derivar la derivada segunda se lo llama derivada

tercera. Se anota f ′′′(x) o f (3)(x), od3f

dx3.

Y para estudiar si la derivada tercera crece, habrá que calcular otra vez su derivada, si es que existe,que se llamará derivada cuarta. Y así siguiendo, se pueden construir derivadas de cualquier orden.

Ya que hemos estudiado con cuidado la derivada primera, y la derivada segunda, estamos en condicionesde repetir los procedimientos y analizar en cada caso si existe, y cuánto vale, la derivada de orden ncualquiera, llamada derivada n-ésima. Podemos de�nir por recurrencia

Definición 4.2.6. Dada una función f(x), y un número entero n, si existe la derivada n-ésima

de f en un entorno de x0, que anotamos f (n)(x), se de�ne la derivada de orden n + 1 en x0

como

f (n+1)(x0) = lım∆x→0

f (n)(x0 + ∆x)− f (n)(x0)

∆xsiempre que este límite exista.


Ejercicio 4.2.1. Decidan si la función f(x) = x4 − 6x2 − 8x tiene un extremo en x = 2.

Ejercicio 4.2.2. Encontrar los valores máximos y mínimos locales de f utilizando las pruebas de laderivada primera y de la derivada segunda. ¾Cuál método pre�ere? ¾Usaría siempre el mismo?

1. f(x) = x5 − 5x+ 32. f(x) = x+

√1− x

3. f(x) =x

x2 + 44. f(x) = exp(x2 − 1)

Ejercicio 4.2.3. Para las funciones listadas más abajo:

indicar los intervalos de crecimiento y decrecimientohallar los máximos y/o mínimos localesencontrar los intervalos de concavidad y las coordenadas de los puntos de in�exión (si los tiene)1. f(x) = x+cosx en [−2π, 2π]. Hallar, además, máximo y mínimo absolutos. ¾Por qué puede

garantizarse que existen?2. f(x) = x

√x+ 3. (no olviden hallar primero el dominio).

3. f(t) = ln(t2 + 27

)Ejercicio 4.2.4. Calculen las funciones derivadas de f(x) = sen x, hasta orden n = 8.

Desafío (para pensar más) 4.2.5. Demuestren que las curvas y = ex e y = e−x cortan a la grá�cade f(x) = e−x senx en los puntos de in�exión de f .

CLASE 4.3. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO 197

Clase 4.3. Comportamiento asintótico

Contenidos de la clase: Comportamiento asintótico.

4.3.1. Comportamientos asintóticos

La continuidad y las derivadas de una función nos permiten conocer aspectos cualitativos de su grá�ca:signo, crecimiento, concavidad. Además, las discontinuidades nos advierten que hay puntos que deben sermirados con mayor cuidado. Con esta información podremos esbozar su grá�ca.

Para completar el análisis cualitativo de la grá�ca de una función f vamos a investigar en más detalleel comportamiento de f(x) cuando x tiende a +∞ y a −∞ (siempre que el dominio de f lo permita). Aeste estudio se lo conoce como análisis asintótico.

Asíntotas horizontales.

Como primer ejemplo, hemos visto en la Unidad 2 que, si

lımx→+∞

f(x) = L

la grá�ca posee una asíntota horizontal a la derecha, de altura L. Esto es, recordemos, que la grá�ca dela función tiende a asemejarse a la recta horizontal y = L cuando x se hace muy grande. De la mismamanera, si

limx→−∞

f(x) = M

la grá�ca posee una asíntota horizontal a la izquierda, de alturaM . Esta información nos ayuda a imaginarla grá�ca de f(x) en las regiones de x muy grande, positiva o negativamente.

Órdenes de magnitud.

Hay otros comportamientos asintóticos reconocibles a la derecha del eje real , según el resultado dellımx→+∞ f(x):

cuando lımx→+∞ f(x) = +∞, la grá�ca de f(x) sube inde�nidamente a medida que x crece.cuando lımx→+∞ f(x) = −∞, la grá�ca de f(x) baja inde�nidamente a medida que x crece.

Sin embargo, no todas las funciones que tienden a +∞ suben con la misma rapidez. Por ejemplo, observe-mos las funciones f(x) = x y g(x) = x2: ambas tienden a +∞ cuando x → +∞, pero sus grá�cas soncualitativamente distintas.

Para valores grandes de la variable se observa que x2 resulta mucho mayor que x (tanto que su grá�cano cabe en el grá�co; intenten con GeoGebra cambiar la escala del eje y para observar mejor la diferenciaentre las grá�cas). Podemos decir que, cuando x → +∞, la parábola g(x) = x2 crece más rápido que larecta f(x) = x. Se dice que la función que crece más rápido tiene mayor orden de magnitud que la otra.

La manera adecuada de comparar órdenes de magnitud entre funciones f(x) y g(x) que tienden a

in�nito cuando x → +∞ es analizar su cociente, lımx→+∞f(x)

g(x). Claro que es un límite indeterminado,

del tipo "in�nito sobre in�nito"; si podemos resolverlo, sabremos cuál función crece más rápido:

cuando f(x) y g(x) crecen de manera similar, el cociente se mantiene estable;cuando f(x) crece más rápido que g(x), el cociente se hace arbitrariamente grande;


y cuando f(x) crece más lento que g(x), el cociente se hace arbitrariamente pequeño.

Veamos las de�niciones precisas:

Definición 4.3.1. Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que lımx→+∞ f(x) = lımx→+∞ f(x) =+∞.

Si lımx→+∞f(x)

g(x)= l 6= 0 (es decir, un valor �nito no nulo) se dice que f(x) y g(x)

crecen con el mismo orden de magnitud. Se suele escribir que

cuando x→ +∞, f(x) ∼ g(x)

para indicar que f(x) y g(x) se mantienen en el mismo orden.

Si lımx→+∞f(x)

g(x)= +∞ se dice que f(x) crece con mayor orden de magnitud que g(x).

Se suele escribir que

cuando x→ +∞, f(x)� g(x)

para indicar que f(x) es mucho mayor que g(x).

Si lımx→+∞f(x)

g(x)= 0 se dice que f(x) crece con menor orden de magnitud que g(x).

Se suele escribir que

cuando x→ +∞, f(x)� g(x)

para indicar que f(x) es mucho menor que g(x).

Observación 4.3.2. En la de�nición anterior nos referimos sólo a funciones que tienden a +∞cuando x → +∞, pero el mismo análisis se puede hacer con funciones que tienden a −∞. También sepuede considerar el comportamiento asintótico cuando x→ −∞.

Los límites indeterminados que aparecen en estas de�niciones son los que ya hemos visto en la Unidad2. Repasen lo que encuentren necesario al hacer los ejercicios de esta Unidad.

Los ejemplos más importantes de comparación de órdenes de magnitud se dan entre polinomios dedistinto grado, y entre funciones exponenciales, polinomios y logaritmos. Los discutimos en los siguientesejemplos y actividades.

Ejemplo 4.3.3. Dados los polinomios p(x) = 3x3 + 4x2 − 5x+ 1 y q(x) = x2 − 2x+ 3, ¾cuál tienemayor orden de magnitud cuando x→ +∞?

Vamos a analizar el cociente

3x3 + 4x2 − 5x+ 1

x2 − 2x+ 3=x3(3 + 4/x− 5/x2 + 1/x3

)x2 (1− 2/x+ 3/x2)

= x

(3 + 4/x− 5/x2 + 1/x3

)(1− 2/x+ 3/x2)

Vemos que, cuando x→ +∞, el paréntesis en el numerador tiende a 3 y el paréntesis en el denominadortiende a 1, mientras que x tiende a +∞. Luego

lımx→+∞

3x3 + 4x2 − 5x+ 1

x2 − 2x+ 3= +∞

Encontramos que el polinomio p(x) tiene mayor orden de magnitud que el polinomio q(x).

Actividad 4.3.4. Regla práctica: consideren dos polinomios p(x) y q(x), con coe�cientes prin-cipales positivos. A partir del grado de cada polinomio, ¾pueden decir cuál tendrá mayor orden demagnitud, o si tienen el mismo orden de magnitud?


Ejemplo 4.3.5. Otro ejemplo importante, que sale con un poco de guía, es la comparación delcrecimiento del logaritmo natural con el crecimiento de potencias. Calculemos

lımx→+∞

lnx

xr

donde r > 0 es cualquier número positivo. Podemos escribir

lnx

xr=

lnx

er lnx

y llamar u = r lnx. Como r es positivo, x→ +∞ implica u→ +∞ y

lımx→+∞

lnx

xr= lım

u→+∞

1

r

u

eu= 0

(porque eu � u).Conviene recordar la siguiente

Regla práctica: para cualquier r > 0,

cuando x→ +∞, lnx� xr

(esto incluye potencias y raíces de x, cuando r = 1/2, 1/3, etc.)

Ejemplo 4.3.6. Dado el polinomio p(x) = 3x2 + 2x− 1 y la función exponencial g(x) = ex, ¾cuáltiene mayor orden de magnitud cuando x→ +∞?

Sabemos que lımx→+∞ p(x) = lımx→+∞ g(x) = +∞, y corresponde analizar el cociente

ex

3x2 + 2x− 1=ex

x2

1

(3 + 2/x− 1/x2)

Como el paréntesis en el denominador tiende al valor �nito 3, el trabajo importante es calcular el límite

indeterminado lımx→+∞ex

x2.

Es un caso indeterminado interesante, conviene hacer un truco: estudiar primero

ln

(ex

x2

)= x− 2 lnx = x

(1− 2

lnx

x

)Ahora usamos que lımx→+∞

lnx

x= 0 (que probamos recién, si hacemos r = 1) para saber que la

expresión entre paréntesis tiende a 1, luego

lımx→+∞

ln

(ex

x2

)= +∞

Finalmente, podemos llamar u = ln(ex

x2

)y calcular

lımx→+∞

ex

x2= lım

x→+∞e

ln(

ex

x2

)= lım

u→+∞eu = +∞

La conclusión es que ex crece con mayor orden de magnitud que x2. En consecuencia, ex crece conmayor orden de magnitud que el polinomio 3x2 + 2x− 1 (en palabras, la exponencial natural crece másrápido que las parábolas).

Actividad 4.3.7. Regla práctica: trabajando como en el ejemplo anterior, pueden mostrar quepara cualquier r > 0

lımx→+∞

ex

xr= +∞


Conviene entonces recordar que, para cualquier r > 0

cuando x→ +∞, ex � xr

(esto incluye raíces de x, cuando r = 1/2, 1/3, etc.)

Podemos reunir los resultados previos y escribir (como ayudamemoria): para cualquier r > 0,

cuando x→ +∞, lnx� xr � ex

Cuando intentemos esbozar grá�cas de funciones, conocer estos ejemplos nos permitirá ubicar suscrecimientos relativos.

Equivalencia asintótica.

Consideremos dos funciones que tienden a in�nito y que tienen el mismo orden de magnitud, es

decir lımx→+∞f(x)

g(x)= l 6= 0. El caso particular en que l vale 1 recibe un nombre, se dice que las

funciones son asintóticamente equivalentes, o que tienen el mismo comportamiento asintótico. Sus grá�casserán cualitativamente similares en la región de x grandes. Esta observación es muy útil cuando podemoscomparar la función que nos interesa con otra función más sencilla.

Ejemplo 4.3.8. Consideremos el polinomio f(x) = 3x3 + 4x2 − 5x + 1. ¾Podemos encontrar unafunción sencilla g(x) que tenga el mismo comportamiento asintótico cuando x→ +∞?

Para contestar esta pregunta conviene sacar como factor común el término de mayor grado,

3x3 + 4x2 − 5x+ 1 = 3x3(1 + 4/x− 5/x2 + 1/x3

)Como 1 + 4/x− 5/x2 + 1/x3 tiende a 1 , el comportamiento asintótico para x grandes está dado por elfactor 3x3. En efecto,

lımx→+∞

3x3 + 4x2 − 5x+ 1

3x3= lım

x→+∞1 + 4/x− 5/x2 + 1/x3 = 1

Es decir, f(x) = 3x3 + 4x2 − 5x+ 1 y g(x) = 3x3 tienen el mismo comportamiento asintótico.

¾Para qué nos sirve esta información? Sirve para entender en forma aproximada y sencilla el polinomiop(x) = 3x3 + 4x2− 5x+ 1: para x grandes, el término relativamente más importante es 3x3. Es decir, parax grandes el término de mayor grado domina el comportamiento del polinomio.

Aunque estudiemos Ciencias Exactas, en muchas aplicaciones van a encontrar que es preferible untratamiento aproximado y sencillo, en lugar de un tratamiento exacto pero di�cultoso.

Observación 4.3.9. Noten que dos funciones con el mismo comportamiento asintótico no se graf-ican como dos curvas que tienden a juntarse. La separación entre las curvas se mide como la diferenciaentre las funciones, en tanto que el orden de magnitud se mide como el cociente entre las funciones.

En el ejemplo anterior f(x) = 3x3 + 4x2 − 5x + 1 y g(x) = 3x3 tienen el mismo comportamientoasintótico pero

lımx→+∞

(f(x)− g(x)) = lımx→+∞

4x2 − 5x+ 1 = +∞

Es decir, la separación entre las grá�cas de f(x) y g(x) se hace arbitrariamente grande cuando consid-eramos x su�cientemente grande.


Observación 4.3.10. Reglas prácticas:

dos polinomios de igual grado tienen el mismo orden de magnitud.cualquier polinomio tiene el mismo comportamiento asintótico que su término de mayor grado.


Ejercicio 4.3.1. Calcular los siguientes límites:

1. limx→±∞

3x2 − 1

x− 2x2 + 2;

2. limx→±∞

3x2 − 1

x3 − 2x2 + 2;

3. limx→±∞

3x5 − 2x− 1

x− 2x2 + 2;

4. limx→±∞|

−3x4 − 1

x3 − 2x2 + 2|.

Ejercicio 4.3.2. Determinen cuál de las funciones de cada ítem crece con mayor orden de magnituden la región indicada, o si tienen el mismo orden de magnitud:

1. y = 2x o y = 5x, cuando x→ +∞2. y = ln

(x2)o y = 2x, cuando x→ +∞

3. y = x2 + 2x− 1 o y = e−2x, cuando x→ −∞4. y = coshx o y = x4, cuando x→ +∞ y cuando x→ −∞

Ejercicio 4.3.3. Calculen los siguientes límites.

1. lımx→+∞

3x2 + 2ex

e2x − 5 lnx(sugerencia: tanto en el numerador como en el denominador, sacar como factor

común el término de mayor orden de magnitud)

2. lımx→+∞

x

2√x

3. lımx→0+ x3 lnx (sugerencia: proponer el cambio de variable u = 1/x y trabajar con la variable u)

Ejercicio 4.3.4. Comprobar los siguientes límites:

1. lımx→+∞

x1/x = 1 (escribir x1/x = eln xx )

2. lımx→+∞

bx

xr= +∞, si b > 1 y r > 0 (escribir bx = ex ln b y proponer el cambio u = x ln b).

Algunos límites indeterminados cuando x → 0 pueden analizarse haciendo el cambio u = 1/x. Re-cuerden que tendrán que analizar por separado los casos x → 0+ y x → 0−. Asimismo, límites cuandox→ +∞ podrían analizarse haciendo u = 1/x, si resulta más conveniente.

Ejercicio 4.3.5. Calcular los siguientes límites.

1. lımx→0+

x3 lnx

2. lımx→0+

x− x2 lnx;

3. lımx→0−

xe−1/x (proponer u = −1/x)

4. lımx→0+

sen(x3) lnx (multiplicar y dividir por x3);

CLASE 4.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: ANÁLISIS CUALITATIVO DE GRÁFICAS 202

Clase 4.4. Actividades de Integración: análisis cualitativo de grá�cas

Contenidos de la clase: uso de las herramientas ya adquiridas en el análisis cualitativo degrá�cas. Repaso aplicado de límites y derivadas.

4.4.1. Análisis cualitativo de grá�cas

Es hora de usar lo que hemos aprendido hasta ahora, todo junto, para construir cualitativamentela grá�ca de una función dada por su fórmula. Insistimos, el objetivo es que podamos reconocer lascaracterísticas de una función a partir de su fórmula.

Ubicaremos las regiones de positividad, de crecimiento, y la concavidad. Además, registraremosinformación sobre el comportamiento de una función a partir de sus límites cuando x→ ±∞, y de loslímites laterales en cada punto de discontinuidad.

No necesitaremos una gran tabla de valores, sino que elegiremos calcular los puntos más destacadosque sirven como referencia para ubicar la grá�ca: intersecciones con los ejes, máximos y mínimos,y puntos de in�exión. Y cuidaremos que los comportamientos cualitativos sean consistentes con lospuntos calculados.

Con esta información vamos a esbozar cualitativamente la grá�ca de la función: es decir, dibujar unagrá�ca consistente con la información disponible. Cuando seamos capaces de hacerlo, podremos decir queentendimos la función.

Les aconsejamos tener a mano esta lista de las diferentes cuestiones que hemos estudiado hasta ahora,para aprovechar la información que nos brinda cada uno de los conceptos que aprendimos a analizar:

1. Dominio, posibles simetrías (función par o impar), si se trata de la composición de otra funcióncon alguna operación conocida (traslación, valor absoluto...), etc:a) hallar el dominio de fb) simetrías: son útiles para simpli�car el análisis. Por ejemplo,

si f es par, la grá�ca para x < 0 se puede obtener re�ejando la obtenida para x > 0 sobreel eje ysi f es impar, la grá�ca para x < 0 se puede obtener rotando 180º la obtenida para x > 0

En ambos casos, basta realizar el análisis para x ≥ 0 (o bien para x < 0, si lo pre�eren).si f es periódica de período a, es decir que f(x+a) = f(x), alcanza con realizar el análisispara el intervalo [0, a] y luego copiar la grá�ca, a izquierda y a derecha.(las funciones trigonométricas son un ejemplo de esta situación)

Algunas veces puede ser más sencillo realizar el análisis en todo el dominio. Si lo hacen así, lassimetrías deberían tenerse en cuenta para veri�car que los resultados son coherentes.

2. Puntos de intersección con los ejes: f(0) y f(x) = 0: indican puntos especiales, en general ayudana ir ubicando la grá�ca.

3. Regiones de positividad. Permiten ubicar la grá�ca por encima o por debajo del eje x.

4. Comportamiento asintótico en ±∞, asíntotas horizontales u orden de magnitud: en el caso enque el límite sea �nito, digamos L, conviene dibujar, con líneas punteadas, la asíntota horizontaly = L por lo menos para x grandes, positiva o negativamente, según corresponda. Así tendremosun control de la grá�ca, ya que sabemos que f se asemeja a dicha recta cuando x crece.


La misma consideración es válida para el caso de conocer una función sencilla con el mismo com-portamiento asintótico que la que estamos analizando.

5. Continuidad o puntos de discontinuidad, asíntotas verticales: en caso de existir algún punto x0

donde la función no está de�nida o donde cambia la de�nición de la misma, calculamos el límitepara saber si es continua o discontinua, y en ese caso, de qué tipo es. Seguramente tengan quecalcular los límites laterales primero.En caso de que alguno de los límites sea ±∞, sabemos que x = x0 es asíntota vertical. Convienegra�carla en líneas punteadas e indicar, según el valor del límite, la tendencia de la grá�ca (aderecha y/o a izquierda, según corresponda).Si el dominio es un intervalo y x0 es un extremo del mismo, se debe calcular sólo el límite lateralcorrespondiente.

6. Regiones de crecimiento y decrecimiento, máximos y/o mínimos locales: buscamos puntos críticos(donde f ′ se anula o no es continua). A partir de ellos, y de los puntos donde no está de�nidala función, si es el caso, separamos en intervalos y analizamos el signo de f ′, a �n de determinardónde es creciente y dónde decreciente.Luego, ya podemos determinar la existencia de mínimos y/o máximos locales. Recuerden que tam-bién pueden utilizar la regla de la derivada segunda, siempre que se cumplan las condiciones paraaplicarla.Pueden indicar con �echas (↗ o↘) el crecimiento/decrecimiento en cada intervalo e ir gra�candolos puntos donde se alcanzan los extremos locales.

7. Regiones de concavidad, puntos de in�exión: buscamos los puntos donde f ′′ se anula o no es con-tinua. A partir de ellos, y de los puntos donde no está de�nida la función, si es el caso, separamosen intervalos y analizamos el signo de f ′′, a �n de determinar dónde es cóncava hacia abajo ydónde cóncava hacia arriba.Si hubo cambios de concavidad en un punto c de continuidad de la función, entonces (c, f(c)) esun punto de in�exión. Recuerden que puede haber cambios de concavidad sin haber puntos dein�exión (típicamente en puntos de discontinuidad).Pueden indicar con ^ o _ los sentidos de concavidad de cada intervalo e ir gra�cando los puntosde in�exión.

Si bien aconsejamos recordar esta lista, el análisis no debe ser mecánico. El objetivo es volcar orde-nadamente la información en un grá�co. En general ciertas combinaciones de propiedades que se veri�cansimultáneamente pueden condicionar lo que ocurrirá con otras propiedades de la función. Esperamos querealicen en cada caso un análisis crítico de la consistencia de las características calculadas, a veces paracorroborar lo que el cálculo indica, y otras veces (¾por qué no?) para descubrir y corregir algún errorcometido a lo largo de dichos cálculos.

4.4.2. Ejemplos

La mejor manera de aprender a analizar grá�cas es desarrollar ejemplos variados. Les mostramos aquíalgunos ejemplos desarrollados en detalle, y encontrarán muchos más en los libros recomendados.

Noten que están propuestos como Actividades: para aprovecharlos, intenten resolverlos antes de mi-rarlos. El enunciado sería: analicen cualitativamente la grá�ca de las siguientes funciones siguiendo laspautas de la sección 4.4.1. A medida que los resuelven, comparen con la versión desarrollada. Además,para repasar todo lo aprendido, fundamenten cada una de las a�rmaciones con los conceptos teóricoscorrespondientes.


Actividad 4.4.1. Analicemos la grá�ca de f(x) =x

1 + x3.

1. Dom f :R− {−1}f(−x) =

−x1− x3

.

Vemos que ni f(−x) = f(x) ni f(−x) = −f(x); es decir que f no es par ni impar.

2. f(x) = 0 implica x = 0, que es el único punto de intersección con el eje x y a la vez resultaintersección con el eje y.

3. lımx→±∞

x

1 + x3= 0, es decir, y = 0 es asíntota horizontal por izquierda y por derecha.

4. Como x = −1 no está en el dominio, es un punto de discontinuidad. Veamos de qué tipo es,analizando el límite.

lımx→−1−

x

1 + x3= +∞ y lım

x→−1+

x

1 + x3= −∞

Luego, el límite no existe; es una discontinuidad esencial. Además x = −1 es una asíntotavertical.

5. Calculemos f ′(x). Luego de utilizar las reglas de derivación y operar algebraicamente, deberían

obtener f ′(x) =1− 2x3

(1 + x3)2 ., si x 6= −1.

El único punto crítico es: x = 1/ 3√

2 , pero como x = −1 no pertenece al dominio, haytres intervalos para analizar el crecimiento/decrecimiento. Como el denominador es positivo,basta con analizar el signo del numerador. Veri�quen la siguiente información:

intervalo signo f ′ crec/decrec

(−∞,−1) + ↗(−1, 1/ 3

√2) + ↗

(1/ 3√

2,+∞) - ↘Luego, como además f es continua en x = 1/ 3

√2 , es un máximo local. El punto en la

grá�ca es (1/ 3√

2, 2/3 3√

2).Como ya sabemos que f → +∞ cuando x→ −1−, el máximo no puede ser absoluto.Con lo que saben hasta ahora, ¾pueden anticipar la concavidad para x muy grandes (positivay negativamente) y a ambos lados de x = −1?

6. Calculemos ahora f ′′. La expresión es f ′′(x) =−6x2

(1 + x3

) (2− x3

)(1 + x3)4 .

, si x 6= −1, una vez

factorizada .Como el denominador es positivo, buscamos los ceros del numerador. Estos son x = 0, x = −1y x = 3

√2. Pero atención, x 6= −1! porque no pertenece al dominio. Separando en intervalos,

analizaremos el signo de f ′′. Veri�quen la siguiente información:

intervalo signo f ′′ concavidad

(−∞,−1) + ^(−1, 0) - _

(0, 3√

2) - _

( 3√

2,+∞) + ^


Luego, el único punto de in�exión (por ser además continua la función en ese punto) es-tá en ( 3

√2, 3√

2/3).Observen que en (−∞,−1) es cóncava hacia arriba y en (−1, 0) es cóncava hacia abajo, perono hay punto de in�exión ya que x = −1 no pertenece al dominio.

Ya tenemos toda la información necesaria para hacer nuestra grá�ca. Es útil confeccionar una tablacon toda la información, les mostramos un formato posible:

intervalo crec/decrec concavidad

(−∞,−1) ↗ ^(−1, 0) ↗ _

(0, 1/ 3√

2) ↗ _

(1/ 3√

2, 3√

2) ↘ _

( 3√

2,+∞) ↘ ^

x f(x)

−1 @ asíntota vertical0 0 intersección con los ejes

1/ 3√

2 2/3 3√

2 máximo local3√

2 3√

2/3 punto de in�exión

Dibujen la grá�ca cualitativamente y luego comprueben con GeoGebra el resultado:

Veamos otro ejemplo. La propuesta es, como el anterior, que ustedes desarrollen cada ítem siguiendolas pautas de la sección 4.4.1 y vuelquen la información esquemáticamente en un grá�co.

Actividad 4.4.2. Gra�quemos f(x) =√

4 + x2 . No olviden justi�car cada una de las a�rmaciones.

1. Dom f :Rf(−x) = f(x), es decir f es par.Vamos entonces analizar solamente el intervalo [0,+∞) y luego re�ejar la grá�ca con respectoal eje y.

2. f(0) = 2 .Intersección con el eje y: como 4 + x2 6= 0 ∀x, la curva no corta al eje x.


3. lımx→+∞

√4 + x2 = +∞, No posee asíntota horizontal por derecha, sino que la grá�ca alcanza

valores arbitrariamente altos.

4. Buscamos el orden de magnitud del crecimiento: operando√

4 + x2 =√x2(1 + 4/x2

)=

|x|(1 + 4/x2

)vemos que, cuando |x| es grande, la función f(x) se comporta como |x|.

A la derecha (x → +∞) esperamos que se comporte como la recta y = x. Para comprobarlocalculamos

lımx→+∞

√4 + x2

x= lım

x→+∞

|x|√

4/x2 + 1

x= 1

es decir, cuando x→ +∞,√

4 + x2 es asintóticamente equivalente a x.

5. La función es continua en todo su dominio.

6. Calculemos f ′(x). Deberán arribar a la expresión f ′(x) =x√

4 + x2..

El único punto crítico es: x = 0 . Como el numerador y el denominador son positivos (recuerdenque nos enfocamos solamente en x ≥ 0) tenemos quef ′(x) > 0 si x > 0, es decir la función es creciente en (0,+∞).

7. Calculemos ahora f ′′(x) para analizar concavidad. Con un poco de trabajo deben obtener

f ′′(x) =4

(4 + x2)3/2 .

.

Pero esta expresión es siempre positiva. Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en (0,+∞) yno posee puntos de in�exión.

Realicen ahora la grá�ca en [0,+∞) y complétenla en los reales negativos teniendo en cuenta que lafunción es par. A partir de ella comprueben que el comportamiento completo de la función es el siguiente:


(−∞, 0) ↘ ^(0,+∞) ↗ _

x = 0 es mínimo local y absoluto; f(0) = 2

Además, teniendo en cuenta que la función es par, esperamos que a la izquierda (x → −∞) secomporte como la recta y = −x (re�exión de la recta y = x que encontramos a la derecha). Quizásvalga el esfuerzo comprobarlo: calculamos

lımx→−∞

√4 + x2

−x= lım

x→−∞

|x|√

4/x2 + 1

−x= 1

es decir, cuando x→ −∞,√

4 + x2 es asintóticamente equivalente a −x.A continuación presentamos la grá�ca.


Actividad 4.4.3. Consideremos la siguiente función: f(x) = x− 3x1/3.

1. Dom f :Rf(−x) = −f(x), es decir f es impar.Vamos entonces analizar solamente el intervalo [0,+∞) y luego rotar la grá�ca 180º.

2. f(0) = 0 .Intersección con el eje y: debe ocurrir x = 3x1/3.Reuelvan y comprueben que f(x) = 0 para x = 0, x = ±3

√3.

3. lımx→+∞

x− 3x1/3 = lım

x→+∞x(1− 3x−

2/3) = +∞, es decir, no posee asíntota horizontal por

derecha.

4. Para conocer el orden de magnitud del crecimiento cuando x → +∞, al escribir x − 3x1/3 =x(1− 3x−2/3) notamos que la expresión entre paréntesis tiende a 1: el crecimiento está dado porel factor x. Esto se veri�ca técnicamente calculando

lımx→+∞

x− 3x1/3

x= 1

5. La función es continua en todo su dominio.

6. Calculemos f ′(x) = 1− x−2/3.f ′(x) = 0 en x = ±1 . Además para x = 0 no se puede aplicar la regla de derivación, demodo que tendremos que analizar luego la existencia o no de f ′(0). Recuerden que estamostrabajando solamente con x > 0, entonces los intervalos de análisis son (0, 1) y (1,+∞).Comprueben la siguiente información:intervalo signo f ′ crec/decrec

(0, 1) - ↘(1,+∞) + ↗

. Luego, x = 1 es un mínimo local.

lım∆x→0+

f(∆x)− f(0)

∆x= lım

∆x→0+

∆x− 3(∆x)1/3

∆x= lım

∆x→0+1− 3

(∆x)2/3=−∞.


Es decir, no existe f ′+(0).Observen que con lo que saben hasta ahora, no podemos anticipar la concavidad para x muygrandes . Sin embargo, cuál debería ser la concavidad para x > 0 cercanos a 0?

7. Calculemos ahora f ′′(x) = 23x−5/3

.Esta expresión es siempre positiva. Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en (0,+∞) y noposee puntos de in�exión en esta región.

Intenten realizar ahora la grá�ca en [0,+∞) y complétenla en los reales negativos teniendo en cuentaque la función es impar.

Por último, de acuerdo al grá�co �nal, comprueben que el comportamiento completo de la funciónes el siguiente:


(−∞,−1) ↗ _(−1, 0) ↘ _(0, 1) ↘ ^

(1,+∞) ↗ ^

x f(x)

−3√

3 0−1 2 máximo local0 0 punto de in�exión1 −2 mínimo local

3√

3 0

Observen que (0, 0) es un punto de in�exión donde no existe la derivada segunda (ni la primera). Lagrá�ca tiende a �ponerse vertical� al pasar por dicho punto, ya que |f ′(x)| → +∞ cuando x se acercaa 0.

Para veri�car el trabajo realizado y comprobar el comportamiento cerca del origen, proponemos:

gra�car con GeoGebraubicar un punto P sobre la curva diferente del origen. Gra�car la recta tangente e ir deslizandoel punto P de modo que se acerque a (0, 0). Comprobar que la recta tangente tiende a ubicarseverticalmente.

Actividad 4.4.4. Consideren cómo harían las actividades 4.4.2 y 4.4.3 sin tener en cuenta la paridado imparidad de las funciones. Discutan sobre la conveniencia de utilizar esta información a la hora deeconomizar el trabajo.


El análisis de grá�cas de funciones utiliza todos los conceptos aprendidos en esta parte del curso;proponemos varios ejercicios que además sirven como repaso general de la primera parte de la materia.

Ejercicio 4.4.1. Supongamos una función que cumple: f(3) = 2, f ′(3) = 1, f ′(x) > 0 y f ′′(x) < 0para todo x.

1. Realizar una posible grá�ca para la función f .2. ¾Cuál es el lım

x→−∞f(x)?

3. Comprobar que f(x) = 0 tiene una única solución. Ayuda: usar el Teorema del Valor Intermedio.4. ¾Es posible que f ′(2) = 1/2? ¾Por qué?

Ejercicio 4.4.2.

1. Propongan un posible grá�co de una función f que veri�quea) f ′(x) > 0 en (−∞, 1); f ′(x) < 0 en (1,+∞);


b) lımx→−∞

f(x) = −2; lımx→+∞

f(x) = 0.

Analicen las regiones de concavidad del grá�co realizado.2. Suponiendo además que f ′′(x) > 0 en (−∞,−2) y en (2,+∞); f ′′(x) < 0 en (−2, 2), analicen si

el grá�co propuesto en el inciso anterior se ajusta a esta hipótesis. De no ser así, rehagan el grá�cocon las modi�caciones necesarias.

Ejercicio 4.4.3. Construyan la grá�ca de una función f(x) de�nida en R que veri�que todas lassiguientes condiciones:

1. f(0) = 1; f(1) = 0.2. f(x) sea creciente en x > 0.3. lım

x→+∞f(x) = +∞; lım

x→0−f(x) = 2.

4. tenga una asíntota horizontal en y = 2 y una asíntota vertical en x = 0.

Según su construcción, ¾dónde es continua esta función?

Ejercicio 4.4.4. En todos los casos, estudiar y gra�car la función indicada. No olvidar indicar:dominio natural, posibles simetrías, puntos de continuidad, asíntotas verticales, asíntotas horizontales,comportamiento asintótico, regiones de crecimiento y/o decrecimiento, máximos y/o mínimos locales,regiones de concavidad, puntos de in�exión, máximos y/o mínimos absolutos.

Recomendamos fuertemente ir cotejando con esquemas provisorios las conclusiones que van obteniendo,preguntándose siempre si son coherentes entre sí. Vayan anticipando, en la medida en que la función asílo permita, algún comportamiento todavía no analizado, y luego con�rmen sus suposiciones.

1. f ′(x) =

{−x2 + 1, si x ≤ 1

(x− 1)2 , si x > 1

2. f(x) =x

x− 1(¾pueden reconocer esta función entre las presentadas en la Unidad 1?)

3. f(x) =x

x2 − 1

4. f(x) =

√1− xx

. ¾Existe la derivada lateral de f en 1? ¾Cómo se traslada esa información a la

grá�ca?

5. f(x) =x√

x2 + 16. f(x) = x lnx7. f(x) = xex

8. f(x) = x− lnx9. f(x) = xx

10. f(x) = 12x− senx, 0 ≤ x ≤ 3π

11. f(x) = ln(x2 + 1)

Habrán visto que estos ejercicios incluyen todo lo que hemos visto en la primer mitad del curso. Esmuy importante que logren manejar los conceptos involucrados. Para seguir repasando, les dejamos másejercicios de este estilo en el sitio web.

Desafíos. Les proponemos algunos desafíos para pensar un poco más.

Desafío (para pensar más) 4.4.5. Imaginen una función f tal que f(2) = 2, f es creciente en (0, 2)y decreciente en (2,+∞) tal que (1, 1) es un punto de in�exión.Realicen un posible grá�co para f y complétenlo para los reales negativos suponiendo que:

f es par


f es impar

Indiquen en cada caso las regiones de crecimiento o decrecimiento, las regiones de concavidad hacia arribao hacia abajo y los puntos de in�exión de la función completa.

Desafío (para pensar más) 4.4.6. Supongan que una función f de�nida en toda la recta real quetiene un punto de in�exión en (x0, f(x0)). Demuestren que (−x0, f(−x0)) también es un punto de in�exiónen los siguientes casos:

cuando f es una función parcuando f es una función impar

Sugerencia: gra�quen cada situación. Luego, intenten una demostración.

Desafío (para pensar más) 4.4.7. Supongamos f y g dos funciones que admiten derivadas segundas.Demuestren los siguientes resultados:

1. Si f y g son cóncavas hacia arriba en (a, b), entonces f + g también es cóncava hacia arriba en(a, b).

2. Si f es cóncava hacia arriba en (a, b) y además es positiva (es decir, f(x) > 0), entonces g(x) =

(f(x))2 también es cóncava hacia arriba en (a, b).3. Si f y g son funciones positivas, crecientes y cóncavas hacia arriba en (a, b), entonces h(x) =f(x)g(x) también es cóncava hacia arriba.

Desafío (para pensar más) 4.4.8. El límite de una composición puede existir sin que existannecesariamente los límites de las funciones involucradas. De la misma manera, puede darse el caso de unafunción continua que sea composición de dos funciones no necesariamente continuas ambas. Analicen esteejemplo.

Comprueben que f(x) =

{x− 1 si x < 0

1, si x ≥ 0es discontinua en x = 0, pero que h(x) = (f(x))2 es continua

en todos los reales.

Desafío (para pensar más) 4.4.9. Determinen si las siguientes a�rmaciones son ciertas. Den unajusti�cación a las respuestas.

Sea f : R → R una función dos veces derivable. Si f ′′(x) = 0 para todo x, entonces f es unafunción lineal.Sea f :R → R una función tal que f ′(x) < 0 para todo x ∈ (−∞, 0) y f ′(x) > 0 para todox ∈ (0,+∞). Entonces x = 0 es un mínimo.(Ayuda: tener en cuenta que no se aclara si f es continua en x = 0)Si |f | es continua en un punto, f también lo es. (si es verdadero, demostrarlo; si es falso, dar uncontraejemplo).

unidad 4: derivada segunda y análisis de gráficas · teorema 4.1.8 . rglae de la derivada segunda...

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