aplicaciones de la derivada segunda parte
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APLICACIONES DE LA DERIVADAS
SEGUNDA PARTE
USO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR LA CONCAVIDAD,
MÁXIMOS Y MÍNIMOS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN.
RELACIÓN ENTRE LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD
Si ( ) en un intervalo , la gráfica de f será cóncava hacia
abajo en ese intervalo.
Si ( ) en un intervalo , la gráfica de f será cóncava
hacia arriba en ese intervalo.
Si ( ) en cualquier punto x= c en el dominio de f, no puede
sacarse conclusión alguna sobre la concavidad.
RELACIÓN ENTRE LA SEGUNDA DERIVADA CON LOS MÁXIMOS Y
MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
Si ( ) , entonces f(x) es un valor máximo relativo de f.
Si ( ) , entonces f(x) es un valor mínimo relativo de f.
Si ( ) , se debe realizar la prueba de la primera derivada.
PRUEBA PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN
Calcular todos los puntos donde ( ) .
Si ( ) cambia de signo cuando pasa por x=a, hay un punto de
inflexión en x=a
Ejemplo1: dada la función ( ) calcular: a) Concavidad
b) Máximos y mínimos
a) Concavidad
Calcular la primera derivada de la función
( )
( ) Derivando
El primer paso es determinar los puntos críticos en donde la función no es ni
creciente ni decreciente.
( ) Para determinar los puntos críticos de la función.
( ) Plantear la ecuación.
( ) Factorizar por factor común.
( )( ) Factorizar diferencia de cuadrados.
Despejar las raíces.
Coordenada (x) de los puntos críticos.
Definición de los puntos críticos. Se evalúa la función ( )
en:
x= 0 ( ) ( ) ( )
Primer punto crítico (0,3)
x= -1 ( ) ( ) ( )
Segundo punto crítico (-1,2)
x= 1 ( ) ( ) ( )
Tercer punto crítico (1,2)
UTILIZACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR LA
CONCAVIDAD
Calculamos la segunda derivada de ( )
( )
Evaluar en ( ) los puntos críticos.
Para x = 0
( )
( ) ( )
( ) ( )
Para x = -1
( )
( ) ( )
( ) ( )
Para x = 1
( )
( ) ( )
( ) ( )
b) Máximos y mínimos
UTILIZACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Calculamos la segunda derivada de ( )
( )
Evaluar en ( ) los puntos críticos.
Para x = 0
( )
( ) ( )
( ) ( )
Para x = -1
( )
( ) ( )
( ) ( )
Para x = 1
( )
( ) ( )
( ) ( )
Gráfica detallada de la función ( )
ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo1: dada la función ( ) , calcular: a) Intervalos de
crecimiento y decrecimiento b) Concavidad c) Máximos y mínimos d) Puntos
de inflexión
a) Crecimiento y decrecimiento
Calcular la primera derivada de la función
( )
( ) Derivando
El primer paso es determinar los puntos críticos en donde la función no es ni
creciente ni decreciente.
( ) Para determinar los puntos críticos de la función.
( ) Plantear la ecuación.
( ) Factorizar por factor común.
( ) Extraer las raíces.
Despejar las raíces.
Clasificación: en x = 0 y x=2 se ubican los puntos crítico y la función no
es ni creciente ni decreciente en estos valores.
Definición de los puntos críticos. Se evalúa la función ( ) en:
x=0 ( ) ( ) ( ) Primer punto crítico (0,0)
x=2 ( ) ( ) ( ) Segundo punto crítico (2,-4)
El segundo paso es plantear los intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la
derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
El tercer paso es tomar un valor de cada intervalo y hallar el signo que tiene en
la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( ) ( )
( )
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Gráficamente sería:
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
De crecimiento: ( ) ( )
De decrecimiento: ( )
b) Concavidad.
En los pasos anteriores determinamos que los puntos críticos son:
Primer punto crítico (0,0)
Segundo punto crítico (2,-4)
UTILIZACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR LA
CONCAVIDAD
Calculamos la segunda derivada de ( )
( )
Evaluar en ( ) los puntos críticos.
Para x = 0
( )
( ) ( )
( ) ( )
Para x = 2
( )
( ) ( )
( ) ( )
c) Máximos y mínimos
UTILIZACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Calculamos la segunda derivada de ( )
( )
Evaluar en ( ) los puntos críticos.
Para x = 0
( )
( ) ( )
( ) ( )
Para x = 2
( )
( ) ( )
( ) ( )
d) Puntos de inflexión. Para realizar este cálculo igualamos la segunda
derivada con cero.
( )
( ) Planteamos la ecuación.
Despejamos x de la ecuación.
Organizar los términos de la ecuación.
Coordenada x del punto de inflexión.
Para calcular la coordenada (y) del punto se evalúa la función inicial
( ) en x = 1
Para x =1 ( ) ( ) ( )
Luego el punto de inflexión está ubicado en (1,-2)
Gráfica detallada de la función ( )
APLICACIONES DE INGRESO
El dinero que entra a una organización por la venta de productos o la
prestación de servicios recibe el nombre de ingreso. La manera de calcular el
ingreso total conseguido con la venta de un producto o servicio es:
Ingreso Total = (precio unitario)*(cantidad vendida)
En esta relación se supone que el precio de venta es igual para todas las
unidades vendidas.
Ejemplo 1: la demanda del producto de una compañía varía según el precio
que le fije al producto. La compañía ha descubierto que el ingreso total anual R
(en miles de dólares) es una función del precio p (en dólares). La función es:
( )
a) Determinar el precio que debería cobrarse con el objeto de maximizar el
ingreso total.
b) Calcular el valor máximo del ingreso total anual.
Solución:
a) El primer paso para calcular los valores máximos de la función es calcular la
primera derivada de ( ) con el objetivo de determinar
los puntos críticos.
( )
( ) Primera derivada
Para los puntos críticos igualamos ( ) con cero
( )
( )
Despejar p de la ecuación
Punto crítico
Por lo tanto es un punto crítico de la función ingreso total ( )
Para determinar si se trata de un mínimo o máximo relativo, calculamos la
segunda derivada de ( )
( ) Derivar la primera derivada
( )
( )
b) El valor máximo del ingreso total anual se calcula tabulado la función ingreso
total en
( ) ( ) ( ) (miles)
En conclusión, se espera que el ingreso total anual se maximice en
dólares cuando la empresa cobre dólares por unidad.
Ejemplo 2: Una empresa de transporte público de pasajeros determinó que el
ingreso por hora R (en pesos) depende fundamentalmente del precio del
pasaje p (en pesos), que paga cada persona por utilizar el servicio. La función
es:
( )
a) Determinar la tarifa en el punto máximo de los ingresos.
b) Determinar el ingreso máximo esperado.
Solución:
a) El primer paso para calcular los valores máximos de la función es calcular la
primera derivada de ( ) con el objetivo de determinar
los puntos críticos.
( )
( ) Primera derivada
Para los puntos críticos igualamos ( ) con cero
( )
( )
Despejar p de la ecuación
Punto crítico
Por lo tanto es un punto crítico de la función ingreso total ( )
Para determinar si se trata de un mínimo o máximo relativo, calculamos la
segunda derivada de ( )
( ) Derivar la primera derivada
( )
( )
Por lo tanto la tarifa en el punto máximo sería de $40 pesos
b) El valor máximo del ingreso total anual se calcula tabulado la función ingreso
total en
( ) ( ) ( )
En conclusión, se espera que el ingreso total anual se maximice en
pesos hora cuando el pasaje cueste $40 pesos.
APLICACIONES DE UTILIDAD
Para calcular el punto de maximización de la utilidad se utiliza el análisis
marginal. Si una empresa está produciendo determinado número de unidades
al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se
produce o se vende una unidad más.
Condiciones para el uso del análisis marginal
1. Debe ser posible identificar por separado las funciones del ingreso total y del
costo total.
2. Las funciones del ingreso y costo habrán de formularse en términos del nivel
de producción o del número de unidades producidas y vendidas q.
INGRESO Y COSTO MARGINAL
Ingreso Marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad
más de un producto o servicio.
Ingreso Marginal = MR = ( )
( ) Es la derivada de la función Ingreso total R (q)
Costo marginal: es el costo adicional en que se incurre al producir y vender una
unidad de un producto o servicio
Costo Marginal = MC = ( )
( ) Es la derivada de la función Costo total C(q)
CRITERIO DE MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD
Se producirá hasta alcanzar el nivel de producción en que:
( ) ( )
CONDICIÓN PARA LA MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD
Si se tiene un nivel de producción en que ( ) ( ) o MR = MC, la
producción de q dará por resultado la maximización de la utilidad si:
( ) ( )
Ejemplo 1: un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares
colectores. Según los estudios, el costo total de producción está en función de
la cantidad de paneles solares (q) que se fabriquen así:
( )
Y la función que determina los ingresos totales en función también de la
cantidad de paneles solares (q) es:
( )
Determinar la cantidad de paneles solares que se deben vender para la
maximización de la utilidad.
Como se puede observar se cumplen las dos condiciones para efectuar el
análisis marginal.
( )
( )
Solución:
El primer paso es calcular el ingreso y costo marginal
Ingreso Marginal
( ) Función ingreso total
( ) Derivada de la función ingreso total, Ingreso Marginal
Costo Marginal
( ) Función costo total
( ) Derivada de la función ingreso total, costo marginal
El segundo paso es calcular la maximización de la utilidad
( ) ( )
=
Despejar q de la ecuación
Por lo tanto la cantidad requerida de unidades es
El tercer paso es verificar la condición de maximización:
( ) ( )
= Derivar en ambos lados ( ) ( )
Se obtiene ( ) ( )
Como ( ) Se tiene un máximo relativo cuando q =
25000 unidades. En este punto se obtienen las mayores utilidades.
Ejemplo 2: las funciones de costo e ingreso totales de un producto son:
( )
( )
Determinar la cantidad (q) de productos que se deben vender para la
maximización de la utilidad.
Solución:
El primer paso es calcular el ingreso y costo marginal
Ingreso Marginal
( ) Función ingreso total
( ) Derivada de la función ingreso total, ingreso marginal
Costo marginal
( ) Función costo total
( ) Derivada de la función ingreso total, costo marginal
El segundo paso es calcular la maximización de la utilidad
( ) ( )
=
Despejar q de la ecuación
Por lo tanto la cantidad requerida de unidades es
El tercer paso es verificar la condición de maximización
( ) ( )
= Derivar en ambos lados ( ) ( )
Se obtiene ( ) ( )
Como ( ) Se tiene un máximo relativo cuando q =
166667 unidades. En este punto se obtienen las mayores utilidades.