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2010-2011 Campo gravitatorio
- 1 - Fco Javier Corral
Dinámica de la rotación
Momento de un vector con respecto a un punto:
El momento del vector F con respecto al punto O se
define como el producto vectorial M r F
Es un vector perpendicular al plano formado por los
vectores r
y F
y el sentido viene dado por la regla
del tornillo al pasar del primero al segundo.
Se mide en N·m (nunca en J)
Si en lugar de un punto tenemos un sólido que está girando alrededor de un eje, cada punto del
sólido describe una circunferencia. El momento total será la suma de todos los momentos:
2i i i i i ii
M r F r ma r ·m r mr Si comparamos está expresión con la equivalente en traslación F m·a vemos que el
equivalente a la masa en rotación es el momento de inercia 2iI mr
Si el sólido está formado por un número enorme de partículas de masa dm entonces 2I r dm Los momentos de inercia mas frecuentes son:
Cilindro macizo
Cilindro hueco
Disco
Aro
Varilla extremo
Varilla centro
Esfera
21I MR
2
2I MR
21I MR
2
2I MR
21I ML
3
21I ML
12
22I MR
5
Momento angular de una partícula de masa m
que se mueve respecto al punto O se define
como L r mv
. Si derivamos esa expresión con
respecto al tiempo tenemos el principio de
conservación:
dL d dr dvr mv mv r m
dt dt dt dtv mv r F r F M
O
P
rF
M
O
P
rmv
F
L
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Esto nos dice que si sobre un cuerpo la suma de los momentos de las fuerzas exteriores es cero
entonces el momento angular permanece constante.
Energía de rotación:
La energía cinética de un sistema de partículas en rotación es:
2 2 2 2 2 2C i i i i i i
1 1 1 1E m v mr mr I·
2 2 2 2
Las fórmulas en traslación y en rotación son las mismas, tan solo hay que cambiar cada magnitud
en traslación por su correspondiente en rotación:
TRASLACION ROTACIONe, v, a , ,
2o o
1e e v t at
2 2
o o
1t t
2
0v v at 0 t
F m·adv dp
F mdt dt
2M r F r·ma r·m r mr I· d dL
M Idt dt
m 2I mrp mv L r mv I· W F·d W M·
2C
1E mv
2 2
C
1E I·
2
Concepto de campo:
Se define un campo como una zona del espacio en la que se deja sentir una magnitud (a cada
punto del espacio se le puede dar un valor de esa magnitud en un instante determinado).
Los campos pueden ser:
Escalares: Si la magnitud que se deja sentir es escalar (p.ej: la temperatura)
Vectoriales: Si la magnitud que se deja sentir es vectorial. Los campos gravitatorio,
eléctrico y magnético son vectoriales (la magnitud que se deja sentir es una fuerza).
Centrales: El vector de la magnitud que define el campo está dirigido siempre hacia el
mismo punto.
Conservativos: Si el trabajo para trasladar algo de un punto a otro depende solo de los
puntos inicial y final y no del camino recorrido.
Uniformes: Si la magnitud que define el campo permanece constante.
Estacionarios: Si no dependen del tiempo.
2010-2011 Campo gravitatorio
- 3 - Fco Javier Corral
Leyes de Kepler
Utilizando los datos sobre movimiento relativo de los planetas, recopilados por Tycho Brahe
durante años, enuncia las tres leyes que explican el movimiento de los planetas alrededor del
Sol.
Kepler 1: Ley de las órbitas
Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol que ocupa uno de los focos. Las
órbitas son planas y su excentricidad es próxima a la de una circunferencia.
La excentricidad de una elipse se define como el cociente
2 2c a be
a a
Varía entre 0 (circunferencia, a=b) y 1 (línea recta, b=0) .
La excentricidad de la órbita terrestre es 0,0168.
Kepler 2: Ley de las áreas
El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La
velocidad del planeta es mayor cuando está cerca del Sol y menor cuando está lejos.
El área del triángulo es1
dS r dr2
; si definimos la
velocidad areolar como el área barrida por unidad de
tiempo: A
dS 1 dr 1v r r v
dt 2 dt 2
recordando que el momento angular es L r mv
y que
se mantiene constante podemos decir que la velocidad
areolar se mantiene constante.
A
1v L cte
2m
Kepler 3: Ley de los periodos
Para los cuerpos que dan vueltas alrededor de la misma estrella, el resultado de dividir el
cuadrado del periodo entre el cubo del radio orbital es una constante.
Las dos fuerzas que actúan sobre el planeta son iguales
A CF
2
2
F F
M m vG m
R R
2 22 2 2
2
2 2
3
M 2 4G v ( R) R R
R T T
T 4cte
R G M
a
bF F
c
a
FFCFA
r
r+drdr
SS 12
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Ley de Newton de la gravitación
Deducida por Newton a partir de las leyes de Kepler dice que la fuerza de atracción entre dos
masas es directamente proporcional al valor de las masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia:
1 22
m mF G
d
La constante G vale 6,67·10-11Nm2kg-2
Si un cuerpo gira alrededor del otro, la fuerza de atracción entre ellos es la fuerza centrípeta:22 2 3 2
A CP 2 2 2
v m 2 d 4 m d 4 mF F m k
d d T d T d
luego la fuerza de atracción depende del cuadrado de la distancia.
Las fuerzas de atracción gravitatoria:
Tienen como dirección la recta que une los centros de los cuerpos.
Aparecen por pares 12 21F F (acción y reacción)
Para masas discretas la fuerza es despreciable.
Intensidad de campo gravitatorio
Se representa por g y se define, en un punto del espacio,
como la fuerza que actúa por unidad de masa: 2
F Mg G
m r
Es un vector que va dirigido hacia el centro del cuerpo que atrae
y se mide en N·kg-1.
El campo gravitatorio se representa por líneas de fuerza (cada
una de las trayectorias seguidas por la unidad de masa cuando se
abandona en un punto).
Las líneas de fuerza no se cortan y el campo es más fuerte si las
líneas están más juntas.
Si el campo es uniforme las líneas son paralelas.
Variación de la gravedad con la altura.
Tenemos que tener en cuenta que estemos donde estemos quien nos va a atraer es la esfera que
estamos pisando en cada momento. De acuerdo con esto:
En el exterior de la Tierra:
d
F21 F12
m 1 m 2
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El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Su
masa es la terrestre pero su radio es RT+h
Luego g será:
T2
T
Mg G
R h
Disminuye a medida que nos alejamos de la superficie
terrestre y se hace cero en el infinito.
En el interior de la Tierra:
El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Si
suponemos que la densidad de la Tierra es uniforme:
3
2 2 2
4RM V 43g G G G G R cte·R
R R R 3
La gravedad es una función lineal del radio de la esfera y
varía desde cero en el centro de la Tierra hasta 9,8 ms-2 en
la superficie.
Representando el valor de g frente a la
distancia, tenemos que es cero en el centro de
la Tierra y crece linealmente hasta llegar a la
superficie, donde alcanza el valor máximo. A
partir de ahí la gravedad disminuye con la
altura y se hace cero en el infinito.
Variación de la gravedad con la latitud.
Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta cada punto
de la superficie describe una trayectoria circular de radio
TR cos y se mueve con una velocidad lineal Tv R cos .
La fuerza centrífuga hace que la fuerza neta de atracción de
la Tierra sea menor. Esa disminución es máxima en el
ecuador y mínima en los polos. Por lo que la gravedad en el
ecuador (9,78 ms-2) es menor que en los polos (9,83 ms-2).
Rh
RT
h
RT
RT
g
9,8
distancia
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Energía potencial gravitatoria
El trabajo necesario para desplazar una masa m desde un
punto A hasta un punto B es: W F·x en donde F es la
fuerza y x la distancia entre los dos puntos. Si la fuerza no es
constante y varía con la distancia como es el caso de la
fuerza en un campo gravitatorio tendremos que integrar
desde la posición inicial hasta la final:
BB B B
2 2A B AA A A
Mm dx 1 1 1W F·dx G ·dx GMm GMm GMm
x x x x x
Si quisiéramos trasladar esa masa desde la superficie de la Tierra hasta el infinito, el trabajo
necesario sería:
TT T T
T TT T2 2
R T TR R R
M m M mdx 1 1 1W F·dx G ·dx GMm GM m GM m G
x x x R R
La energía potencial se define como el trabajo necesario para trasladar una masa desde el
infinito hasta la posición que ocupa en un instante dado. Así la energía potencial gravitatoria de
un cuerpo de masa m situado en la superficie terrestre será el trabajo anterior cambiado de
signo puesto que el trabajo se realiza ahora a favor de las fuerzas del campo:
TP
T
M mE G
R
La energía potencial de un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre la superficie terrestre
es:
T
PT
M mE G
R h
Esta energía siempre es negativa (suponemos el cero de energía potencial en el infinito).
Potencial gravitatorio
Se define como el trabajo necesario para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta la
posición que ocupa.
P T
T
E M JV G V se mide en
m R h kg
Al lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial se le llama
superficie equipotencial que tiene las siguientes características:
Por un punto solo puede pasar una superficie equipotencial.
En el caso del campo gravitatorio son esferas con centro en el centro del planeta.
El vector intensidad de campo es perpendicular a la superficie equipotencial.
El trabajo para mover un cuerpo de un punto a otro de la misma superficie es 0.
A B
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Satélites
Un satélite es cualquier cuerpo que da vueltas alrededor de un planeta. Los satélites pueden ser
naturales o artificiales.
Las dos fuerzas que actúan sobre el satélite son iguales:
A CF
2T
2TT
F F
M m vG m
R hR h
y despejando v, tenemos la velocidad orbital del satélite:
T
T
GMv
R h
El tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta alrededor del planeta (periodo) es:
32T T
TT
T
2 R h 4 R hLT
v GMGMR h
Un satélite geoestacionario es aquel que tiene un periodo de 24 h, gira a la misma velocidad que
la Tierra y está siempre en la misma vertical. Los satélites geoestacionarios se encuentran a una
altura de 36000 km.
La energía cinética de un satélite en su órbita es:
2 T T
CT T
GM GM m1 1 1E mv m
2 2 R h 2 R h
La energía potencial es:
T
PT
M mE G
R h
La energía total de un satélite en su órbita será la suma de las dos:
T T T
T C PT T T
GM m GM m GM m1 1E E E
2 R h R h 2 R h
Velocidad de escape
Se define como la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que no vuelva a
caer sobre la superficie del planeta. Para el caso de la Tierra, sabemos que el trabajo necesario
para enviar un cuerpo de masa m hasta el infinito es:
TT T
T TT2 2
R TR R
M m M mdx 1W G ·dx GMm GM m G
x x x R
FCFFA
h
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- 8 - Fco Javier Corral
Ese trabajo hay que comunicárselo al cuerpo en forma de energía cinética:
2T
T
M m 1W G mv
R 2 , despejando: T
T
GM mv 2 11190
R s
Podemos hacer el mismo razonamiento por energías:
La energía cuando el cuerpo sale de la Tierra es 2 TT C P
T
M m1E E E mv G
2 R , cuando llega al
infinito no tiene energía potencial (origen de energía potencial) ni cinética (podemos suponer
que se para) por lo que la energía total será cero. Aplicando el principio de conservación, la
energía total también será cero en la superficie terrestre y al igualar obtenemos:
2 TT C P
T
2 T
T
T
T
M m1E E E mv G 0
2 RM m1
mv G2 R
GMv 2
R