curvas en polares

Download Curvas en Polares

Post on 07-Sep-2014

116 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

U N A MFacultad de Ingeniera

2. CURVAS EN EL SISTEMA POLAR

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

Objetivo:El alumno obtendr ecuaciones en forma polar de curvas en el plano y determinar las caractersticas de stas a partir de su ecuacin en forma polar.

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

Contenido:2.1 Sistema de coordenadas polares. Simetra de puntos en coordenadas polares. 2.2 Transformacin de coordenadas cartesianas a polares y de polares a cartesianas. 2.3 Ecuaciones polares de curvas. Cardioides, lemniscatas, rosas de n ptalos. 2.4 Anlisis de una curva representada por una ecuacin polar.

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (r, )Recta a 90o

r

Polo

Eje polar

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (4, 30o) R 90o

P (4, 30o) 30o

EP

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (4, 30o) R 90o

- 30o

EPP (4, 30o)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (4, 30o) R 90o

P (4, 30o)

- 30o

EP

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (4, 30o) R 90o

30o

EPP (4, 30o)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIAPara transformar un valor negativo de r en un valor positivo, se tienen que sumar 180o al valor de . Para transformar un valor de negativo en uno positivo, se tienen que sumar n(360o) al valor de , donde n es un valor entero positivo

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIAR 90o

A (r, ) r EP

Polo

No existe correspondencia biunvoca.

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SISTEMA POLAR DE REFERENCIAR 90o

IIPolo r

I

A (r, )

EP

III

IVAVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARR 90o

A (r, )

r rEspejo EP

AEP (r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARR 90o

A (r, )

r 180

r Espejo EP

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARR 90o

A (r, )

r 180

r Espejo EP

r

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARR 90o

AR90 (r, 180 )

Espejo

A (r, )

r 180

r EP

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARAR90 ( r, ) AR90 (r, 180 )R 90o

Espejo

A (r, )

r rEP

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARAR90 ( r, ) AR90 (r, 180 )R 90o

Espejo

A (r, )

r

r rEP

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARAR90 ( r, ) AR90 (r, 180 )R 90o

A (r, )

rEspejo

EP

180o+ r

AP (r, 180o+)

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARAR90 ( r, ) AR90 (r, 180 )R 90o

A (r, )

rEspejo

EP

AP (r, 180o+) AP ( ) r,

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARAR90 ( r, ) AR90 (r, 180 )R 90o

A (r, )

rEspejo

EP

r

AP (r, 180o+) AP ( ) r,

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

SIMETRAS EN EL SISTEMA POLARAR90 ( r, ) AR90 (r, 180 )R 90o

A (r, )

r EP

AP (r, 180o+) AP ( ) r,

AEP (r, ) AEP ( 180o r, ) AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

EJERCICIOSDetermine las coordenadas polares del punto B, si ste es el simtrico del punto A (4, 30) con respecto al eje polar. B (4, 330) Si el Punto B es el simtrico del punto A (-4, -750) con respecto al polo y el punto C es el simtrico del punto B con respecto al eje polar, determine las coordenadas de C y el cuadrante en el que se encuentra. C (4, 30), primer cuadrante

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES DE TRANSFORMACINR 90o Y

y

A (x, y) A (r, )

r x EP X

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES DE TRANSFORMACINR 90o Y

A (x, y) A (r, )

x = r cos y = r sen

r x

y

r = x2 + y2 = ang tanEP X

y x

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

EJERCICIOSSi las coordenadas cartesianas del punto Q son (-2, 23), cules seran sus coordenadas polares. Q (4, 120) Si el Punto B es el simtrico del punto A (-4, -750) con respecto al polo y el punto C es el simtrico del punto B con respecto al eje polar, determine las coordenadas cartesianas de C y el cuadrante en el que se encuentra. C (23, 2), primer cuadrante El punto M es el simtrico del punto N con respecto al polo y el punto L es el simtrico del punto N con respecto a la recta a 90. Si las coordenadas cartesianas de M son (3, -1), determine las coordenadas polares de L y diga con respecto a qu elemento son simtricos M y L. C (2, 30), con respecto al eje polar

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = cos

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 2cos

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 3cos

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = -3cos

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 3cos

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 3cos(2)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 3cos(3)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 3cos(4)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 3cos(5)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVASr = 3cos()+1

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARLa discusin consiste en una serie de pasos que permiten identificar a la curva, determinando sus caractersticas geomtricas: Intersecciones. Simetras. Extensin. Grfica.

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARr= Intersecciones: Para determinar las intersecciones de la curva con el eje polar, se sustituye, en la ecuacin polar, por 0 y por 180. 1 1 cos0o 1 11 1 0 1 1 cos180o 1 1 (-1) 1 2 1 1 cos

r=

r=

r=

r=

r=

r=

No existe interseccin

Interseccin en P(, 180)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARr= Intersecciones: Para determinar las intersecciones de la curva con el eje polar, se sustituye, en la ecuacin polar, por 0 y por 180. 1 1 cos0o 1 11 1 0 1 1 cos180o 1 1 (-1) 1 2 1 1 cos

r=

r=

r=

r=

r=

r=

No existe interseccin

Interseccin en P(, 180)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARr= Intersecciones: Para determinar las intersecciones de la curva con el eje polar, se sustituye, en la ecuacin polar, por 0 y por 180. 1 1 cos0o 1 11 1 0 1 1 cos180o 1 1 (-1) 1 2 1 1 cos

r=

r=

r=

r=

r=

r=

No existe interseccin

Interseccin en P(, 180)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARr= Intersecciones: Para determinar las intersecciones de la curva con la recta a 90, se sustituye, en la ecuacin polar, por 90 y por 270. 1 1 cos90o r= 1 10 1 1 cos270o r= 1 10 1 1 cos

r=

r=

r= 1 Interseccin en P(1, 90)

r= 1 Interseccin en P(1, 270)

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARr= Intersecciones: Para determinar si la curva interseca o contiene al polo, se sustituye, en la ecuacin polar, r por 0. 1 0= 1 cos 0=1 No contiene al polo EP R90o 1 1 cos

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARr= Simetra: Para determinar si la curva es simtrica con respecto al eje polar, primero se sustituye en la ecuacin por y si la ecuacin no se altera entonces se dice que si existe simetra; sin embargo, si la ecuacin se altera se tiene que sustituir por (180) y r por r, si entonces, la ecuacin no se altera se dice que si existe simetra y si la ecuacin se altera no existe simetra. r= r= 1 1 cos() 1 1 cos 1 1 cos

No se altera, existe simetra

AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLARr= Simetra: Para determinar si la curva es simtrica con respecto a la recta a 90, primero se sustituye en la ecuacin por y r por r, si la ecuacin no se altera entonces se dice que si existe simetra; sin embargo, si la ecuacin se altera se tiene que sustituir por (180), si entonces, la ecuacin no se altera se dice que si existe simetra y si la ecuacin se altera no existe simetra. r = r = 1 1 cos() 1 1 cos r= r= 1 1 cos(180) 1 1 cos

1 1 (cos180cos+ sen180sen) r= 1 1 + cos

Se altera, no decide

Se altera, no existe simetra AVM

U N A MFacultad de Ingeniera

Recommended

View more >