gráficas en coordenadas polares

Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

NÚCLEO BARINAS UNEFA

Complemento para evaluar parte de la Unidad III -Matemática II Sección F – Ingeniería de Petróleo Lcdo. Eliezer Montoya -

Coordenadas Polares y graficas polares

Las coordenadas cartesianas están formadas por un par de números, la abcisa y la

ordenada, que representa la distancia dirigida de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un

punto fijo se denomina polo (u origen) y se puede representar mediante la letra O. El

rayo fijo recibe l nombre de eje polar (o recta polar) la denotaremos como OA. El

rayo OA usualmente se dibuja horizontalmente y se prolonga indefinidamente.( ver

Figura 1)

Plano Polar o trigonométrico

En trigonometría vimos que :

1)cateto opuesto

sin sin .sinhipotenusa

yy r

rθ θ θ= ⇒ = ∴ =

2)cateto adyacente

cos cos .coshipotenusa

xx r

rθ θ θ= ⇒ = ∴ =

3)sin cateto opuesto

tan tan 0cos cateto adyacente

yx

x

θθ θ

θ= = ⇒ = ∴ ≠

Por el teorema de Pitágoras :

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

2 2 2

( .cos ) ( .sin )

cos sin

(cos sin )

x y r r

r r

r

x y r

θ θ

θ θ

θ θ

+ = +

= +

= +

+ =

��


Por tanto: 2 2r x y⇒ = ± +

Ejemplo 1:

Veamos la grafica de 6

1r θπ

= + para 0 2θ π≤ ≤

La tabla de valores seria:

Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados sexagesimales

0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

La grafica de 6

1r tπ

= + hecha en el software graphmática es

-15 -10 -5 0 5 10 15

-10

-5

0

5

10

La grafica anterior de la ecuación polar ( )r f θ= es un una curva en forma de espiral .

I. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES Podemos concluir que si 0a > ( a es una constate positiva) la grafica de

para 0r aθ θ= ≥

Es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de

ar e θ

=


Es llamada espiral logarítmica

Ejemplo 2

Veamos la grafica de (0.3 )tr e= para 0 2θ π≤ ≤ La tabla de valores seria: Grados

radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados

sexagesimales

0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 1 1.17 1.37 1.60 1.87 2.19 2.57 3.00 3.51 4.11 4.81 5.63 6.59

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

II .- EL Cardiode: Si a es una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones

( )1 cosr a θ= ± ( )1 sinr a θ= ±

Es una CARDIODE (o tiene forma de CORAZÓN)

Ejemplo 3

Veamos la grafica de 2(1 cos )r θ= − La tabla de valores es:


Grados

radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados

sexagesimales

0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 0 0.27 0.59 1 2 3 3.73 4 3.73 3 2 1 0.27 0

La grafica polar de 2(1 cos )r θ= − es

-4 -2 0 2

-2

0

2

Ejemplo 4 Veamos la grafica de 4(1 cos ) 4 4cosr θ θ= + = +

-2 0 2 4 6 8 10

-4

-2

0

2

4


La tabla de valores de 4(1 cos )r θ= + queda como ejercicio para el estudiante

Grados

radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados

sexagesimales

0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ=

Ejemplo 5 Veamos la grafica de 2(1 sin ) 2 2sinr θ θ= + = +

-2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

La tabla de valores de 2(1 sin ) 2 2sinr θ θ= + = +

Grados

radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados

sexagesimales

0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 2 3 3.41 3.73 4 3.73 3 2 1 0.26 0 0.26 1 2

Ejemplo 6 Veamos la grafica de 3(1 sin ) 3 3sinr θ θ= − = −


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

La tabla de valores de la grafica polar 3(1 sin )r θ= − queda como ejercicio para el

estudiante:

Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados

sexagesimales

0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ=

III. Limaçon

Si ya b son una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro

ecuaciones

cosr a b θ= ± sinr a b θ= ±

Es un LIMAÇON (palabra francesa que proviene del latín limax que significa CARACOL).

Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón ab.

1. Si 0 1a

b< < es decir, 0 a b< < ⇒ caracol con Lazo (interno) –Figura a

2. Si 1a

b= es decir, a b= ⇒ El limaçon es un Cardiode

3. Si 1 2a

b< < es decir, 0

2

ab a< < < ⇒ Caracol con hendidura o muesca -Figura b


4. Si 2a

b≤ es decir, 0

2

ab< < ⇒ Caracol convexo (sin hendidura) –Forma un

circulo levemente torcido- Figura c

Ejemplo 7

Grafiquemos 1 2cosr θ= + vemos que ( ) 1ab

< , entonces se trata de un caracol o

limaçon con lazo.

Entonces, la grafica polar de 1 2cosr θ= +


0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

IV. LEMNISCATE

Si a es una constante positiva, la grafica polar de:

2 2 cos 2r a θ= o 2 2 sin 2r a θ=

es llamada LEMNISCATE

Ejemplo 9: Graficar: 2 4sin 2 2 sin(2 )r rθ θ= ⇒ =


Viendo la grafica 2 4sin 2 2 sin(2 )r rθ θ= ⇒ = en el software graphmatica tenemos:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Ejemplo 10: Graficar 2 9cos 2 3 cos(2 )r rθ θ= ⇒ =

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Completa la tabla de 2 9cos 2 3 cos(2 )r rθ θ= ⇒ =

Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º


sexagesimales

( )r f θ=

V. N-PETALOS DE ROSA

Si a es una constante positiva, la grafica polar de:

cosr a kθ= o sinr a kθ=

Obtenemos una rosa con N- pétalos, donde:

si es un entero impar

2 si es un entero par

k kN

k k

=

*Si k = 1 entonces las ecuaciones para una rosa tomarían la forma cosr a θ=

sinr a θ= las cuales son ecuaciones de una CIRCUNFERENCIA

Ejemplo 11: Graficar: 3sin 3r θ= (rosa de 3 pétalos) y 5sin 4r θ= (rosa de ocho pétalos)

Completa la tabla de 3sin 3r θ= (usa más intervalos para que logres ver mejor la

grafica-no nos dice mucho la tabla por lo tanto necesitamos dividirla en pequeños partes

Grados

radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados sexagesimales

0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 0 3 2.12 0 -3 0 3 0 -3 0 3 0 -3 0

Si usamos los ángulos opuestos Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π−

4

π−

3

π−

2

π−

( )r f θ= 0 -3 -2.12 0 3

La grafica polar de 3sin 3r θ= :


-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

La grafica de 5sin 4r θ=


-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Su tabla de valores

Grados radianes

( )t thetaθ =

0

12

π

6

π

4

π

3

π

5

12

π

2

π

7

12

π

2

3

π

3

4

π

5

6

π

11

12

π

π

Grados

sexagesimales

0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º 105 120º 135 150º 165 180º

( )r f θ= 0 4.3 4.3 0 4.3 4.33 0 4.3 4.3 0 -4.3 -4.3 0

Teorema Si m es la pendiente de la recta tangente a la grafica ( )r f θ= en el punto

( ),r θ entonces:

( ) ( )

( ) ( )

sin .cos ´ sin .cos

´ cos .( sin )cos .sin

dr dyr f fd dm

dr dx f fr

d d

θ θ θ θ θ θθ θ

θ θ θ θθ θ

θ θ

++

= = =+ −

−

Como ( )r f θ= esta definida en ecuaciones paramétricas ( ) cosx f θ θ= y

( )siny f θ θ=


RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS:

Aquí , yC a b Son constantes

Cθ = Recta que contiene al polo ; forma un ángulo de C radianes con el

eje polar

sinr bθ = Recta paralela al eje polar ; arriba del eje polar si 0b > , debajo del

eje polar si 0b <

cosr aθ = Recta paralela al eje

2

π , a la derecha del eje

2

π si 0a > ; a la

izquierda del eje2

π si 0a < .

r C= Circunferencia ; centro en el polo; radio igual a C unidades

2 .cosr a θ= Circunferencia ; radio a tangente al eje

2

π, centro en el eje polar o

en su prolongación

2 .sinr a θ= Circunferencia; radio b tangente al eje polar ; centro en el eje

2

π

o en su prolongación

Con una tabla como estas puedes construir las graficas de las ecuaciones polares antes

mencionadas construye la tuya en tu cuaderno para discutir luego en clases

Grados

radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

3

4

π

5

6

π

π

Grados

sexagesimales

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º

( )r f θ=

Grados

radianes

( )t thetaθ =

7

6

π

5

4

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

7

4

π

11

6

π

2π

Grados

sexagesimales

210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

( )r f θ=

Los problemas propuestos siguientes son tomadas del capitulo 9.3 se encuentran en

Louis Leithold (1998) El Cálculo 7. Séptima edición Edit. University Oxford pagina

764


Referencias Bibliográficas

[ ]1 L LARSON R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría

Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill

[ ]2 LEITHOLD Louis (1998) Calculo (VII edición ) Edit Oxford

[ ]3 MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second Edition)

U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.

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