Curso: Matemática FC.

Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable.

Inecuaciones de primer grado con una variable

Definición [Intervalo]. Sea un subconjunto de ( ). Decimos que es un intervalo, si y sólo ℝsi es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre otros dos llamados extremos (que pueden ser reales o ideales).Tipos de Intervalos

Intervalos acotados. Son Son aquellos intervalos cuyos extremos son reales, éstos pueden ser:

Intervalo cerrado. Es aquel que incluye a los extremos. Se denota por , es decir

Gráficamente se representa por

𝑎 𝑏 +∞−∞

Intervalo abierto. Es aquel que no incluye a los extremos. Se denota por , es decir

Gráficamente se representa por

𝑎 𝑏 +∞−∞

Inecuaciones de primer grado con una variable

Tipos de Intervalos (continuación)

Intervalo semiabierto por la derecha. Es aquel que no incluye al extremo derecho del intervalo, pero sí al izquierdo

Gráficamente se representa por:

𝑎 𝑏 +∞−∞

Intervalo semiabierto por la izquierda. Es aquel que no incluye al extremo izquierdo del intervalo, pero sí al derecho

Gráficamente se representa por:

𝑎 𝑏 +∞−∞

Inecuaciones de primer grado con una variable

Tipos de Intervalos (continuación)

Intervalos no acotados. Son aquellos intervalos donde uno de los extremos son de la forma infinita por la derecha o por la izquierda..

Inecuaciones de primer grado con una variable

Definición [Desigualdad]. Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor o mayor que otro.

Propiedades de una desigualdadSea números reales, entonces:

(a) Si , entonces .(b) Si y , entonces .(c) Si y , entonces .

Ejemplo. Si a la desigualdad le adicionamos 3, entonces se tendrá que . Si a la desigualdad le restamos 4, entonces se tendrá que . Si a la desigualdad lo multiplicamos por 5, entonces se tendrá que . Si a la desigualdad lo multiplicamos por , entonces .

Inecuaciones de primer grado con una variable

Definición [Inecuación lineal]. Sean constantes reales tal que y una variable real, llamaremos inecuación lineal a toda expresión que puede adoptar alguna de las siguientes formas:

Ejemplo. es una inecuación lineal. no es una inecuación lineal.

La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica.

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicios diversos

Ejercicio.

Dados los Intervalos: , y

Determine:

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio.

En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio.

En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.

Columna Proposiciones

a) [1p] Si es un número real que cumple , entonces el intervalo al que pertenece , es ________

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio

Determine el conjunto solución de:𝑥−12

+𝑥−23

+𝑥−34≥120

Resolución𝑥−12

+𝑥−23

+𝑥−34≥120

MCM(2; 3; 4) = 12

6 (𝑥−1 )+4 (𝑥−2 )+3 (𝑥−3 )≥ (120 ) (12 )

6 𝑥−6+4 𝑥−8+3 𝑥−9≥144013𝑥−23≥1440

13𝑥 ≥1463

𝑥≥1 46313

Respuesta:C . S .=¿

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio

Determine el conjunto solución de:

−2≤2−3 𝑥4

<1

Resolución

−2≤2−3 𝑥4

<1

−8≤2−3𝑥<4

−10≤−3𝑥<2

−2<3 𝑥≤10

−23<𝑥≤

103

Respuesta: C . S .=¿−23;103

¿¿

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio

Determine el conjunto solución de:23𝑥+5≤8−

34𝑥≤7+

45𝑥

Resolución23𝑥+5≤8−

34𝑥≤7+

45𝑥

MCM(3; 4; 5) = 60

60 ( 23 𝑥+5)≤60 (8− 34 𝑥)≤60(7+ 45 𝑥)40𝑥+300≤ 480−45𝑥 ≤420+48 𝑥

Primera separación

40𝑥+300≤ 480−45𝑥40𝑥+45 𝑥≤480−300

85 𝑥≤180

𝑥≤3617 → 𝐴=¿−∞ ;

3617

¿¿

Segunda separación

480−45𝑥 ≤420+48𝑥480−420≤45 𝑥+48 𝑥

60≤93 𝑥2031≤ 𝑥→𝐵=¿

Obteniendo el conjunto solución

C . S .=𝐴∩𝐵¿ [ 2031 ; 3617 ]

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]

Una compañía vende cada Ipod que produce a $60. Si el costo de cada Ipod es de $20 y la empresa tiene costos fijos de $1 000.a) Modele las expresiones que representan al Costo, el Ingreso y la Utilidad al vender y

producir Ipod.b) Exprese la inecuación que se obtiene al vender y producir unidades, si se quiere

obtener utilidades no menores a $2 800.Resolución

Parte a) Ingreso: 𝐼=60 𝑥Costo: 𝐶=20 𝑥+1000Utilidad:𝑈=40 𝑥−1000

Parte b)

𝑈 ≥280040𝑥−1000≥2800

Frase: “obtener utilidades no menores a $2 800”

Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio 5 [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]

Un fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a $45 cada artículo. En la fabricación de cada unidad gasta $38 y tiene costos fijos adicionales de $4900 mensuales en la operación de la planta. Plantee, resuelva y responda:a) ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe producir y vender para obtener

utilidad?b) ¿Cuál es el número de unidades que debe producir y vender para obtener utilidades

de al menos $700? ResoluciónParte a) Ingreso: 𝐼=45 𝑥

Costo: 𝐶=38 𝑥+4 900Utilidad:𝑈=7 𝑥−4900

Parte b)

𝑈 ≥7007 𝑥−4 900≥700

Frase: “obtener utilidades de al menos $700”

Frase: “obtener utilidad”

𝑈>07 𝑥−4 900>0

7 𝑥>4 900𝑥>700

Rpta: debe producir y vender como mínimo 701 artículos.

7 𝑥≥5600𝑥≥800

Rpta: debe producir y vender por lo menos 800 artículos.