Curso: Matemática FC.

Tema: Ecuaciones de primer grado con una variable.

Ecuaciones de primer grado con una variable

Habilidades a desarrollar

Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:

1) Resolver ecuaciones reducibles a primer grado.2) Aplicar las ecuaciones de primer grado en el contexto real y profesional.

Ecuaciones de primer grado con una variable

Definición [Ecuación Algebraica]. Una ecuación algebraica en la variable es un enunciado en el que se dice que dos expresiones de son iguales. Algunas veces a la variable de la ecuación se le llama incógnita. El dominio de la variable (también llamado conjunto de valores admisibles) de una ecuación es el conjunto de números para los que se define las expresiones algebraicas en tal ecuación.

Ejemplo En las siguientes ecuaciones algebraicas, es un número

𝑎 ¿𝑥−7=0𝑏¿ 𝑥2+12=7 𝑥

𝑐 ¿𝑥+5=5+𝑥

𝑑¿√𝑥+1=4

𝑒 ¿3

𝑥+4=

23 𝑥−2

Ecuaciones de primer grado con una variable

Solución de una ecuación. Cuando la variable de una ecuación se sustituye por un número específico, el enunciado resultante puede ser cierto o falso. Si es cierto, el número constituye una solución (o raíz) de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto de soluciones (o conjunto solución) de la ecuación. Un número que es una solución se dice que satisface la ecuación.

Ejemplo En la ecuación𝑥−7=0

si se sustituye por 7, el enunciado resultante es verdadero, pero si se reemplaza por un número diferente de 7, el enunciado es falso. Por consiguiente, la única solución es 7 y el conjunto solución es .

Ejemplo Verifique que , y son soluciones de la ecuación

𝑥2+12=7 𝑥

Ecuaciones de primer grado con una variable

Ecuaciones polinomiales. Un tipo importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse en la forma , donde es un polinomio en una variable. El grado del polinomio es el grado de la ecuación. Los siguientes son algunos ejemplos específicos de ecuaciones polinomiales en una variable:

(de primer grado)

(de segundo grado)

(de tercer grado)

(de cuarto grado)

Ecuaciones de primer grado con una variable

Definición [Ecuaciones equivalentes]. Son ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución.

7 𝑥−21=0Ejemplo 4. Las siguientes ecuaciones son equivalentes

7 𝑥=21 𝑥=3Con frecuencia se puede resolver una ecuación reemplazándola por una sucesión de ecuaciones equivalentes, siendo cada una más simple que de alguna manera que la precedente, con lo que al final se obtiene una ecuación cuyo conjunto de soluciones es evidente. Para reemplazar una ecuación por otra equivalente, podemos aplicar las propiedades de los números reales.

Ejemplo Para resolver la ecuación

primero se suma en ambos lados. De esta manera obtenemos

Ahora se divide entre 5 ambos lados de la ecuación para obtener la ecuación equivalente

Ecuaciones de primer grado con una variable

Definición [Ecuación de primer grado]. Una ecuación de la forma

donde y sean números reales y , o cualquier ecuación equivalente a una de esta forma, se llama ecuación lineal.

Teorema 1. La ecuación lineal tiene exactamente una solución, .

𝑎 ¿2𝑥−5=00

Ejemplo No son ejemplos de ecuaciones lineales

𝑎 ¿𝑥2+5 𝑥−6=0

𝑏¿ 𝑥3−8 𝑥=0

Ejemplo Son ejemplos de ecuaciones lineales

Ecuaciones de primer grado con una variableEjercicios diversos

A continuación trabajaremos con ejercicios que durante su proceso de resolución se obtienen ecuaciones lineales.

Ejemplo 1. Resuelva

Respuesta:

Resolución

3 (𝑥+2 )−2 (5−3 𝑥 )=213 𝑥+6−10+6 𝑥=21

9 𝑥−4=219 𝑥=21+49 𝑥=25𝑥=

259

Ecuaciones de primer grado con una variable

Ejemplo 2. Resuelva

Respuesta:

Resolución

5𝑥+14

−𝑥6

=1+1−2𝑥3 MCM (4 ;6 ;3 )=12

3 (5 𝑥+1 )−2 (𝑥 )=12 (1 )+4 (1−2𝑥 )15 𝑥+3−2𝑥=12+4−8 𝑥

13 𝑥+3=16−8 𝑥13 𝑥+8 𝑥=16−3

21 𝑥=13𝑥=

1321

Ecuaciones de primer grado con una variable

Ejemplo 3. Resuelva

Respuesta:

Resolución

es FALSO

5 (𝑥−2 )=2 (𝑥−1 )−3 (7−𝑥 )5 𝑥−10=2 𝑥−2−21+3 𝑥5 𝑥−10=5 𝑥−235 𝑥−5 𝑥=10−23

0=−13

Ecuaciones de primer grado con una variable

Ejemplo 4. Resuelva

Respuesta:

Resolución

es VERDADERO

𝑥+7=2 (𝑥−1 )− (𝑥−9 )𝑥+7=2𝑥−2−𝑥+9𝑥+7=𝑥+7𝑥−𝑥=7−70=0

Ecuaciones de primer grado con una variable

Ejemplo 5. Resuelva

Respuesta:

Resolución

𝑎 (𝑥−𝑏)=𝑏 (𝑥−𝑎 )−𝑎𝑏𝑎𝑥−𝑎𝑏=𝑏𝑥−𝑎𝑏−𝑎𝑏𝑎𝑥−𝑎𝑏=𝑏𝑥−2𝑎𝑏𝑎𝑥−𝑏𝑥=𝑎𝑏−2𝑎𝑏

(𝑎−𝑏) 𝑥=−𝑎𝑏

𝑥=−𝑎𝑏𝑎−𝑏 ,𝑎−𝑏≠0

Ecuaciones de primer grado con una variableEjemplo 1. [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]Una compañía fabrica un producto cuyo costo por unidad es 6 dólares y el costo fijo 80 000 dólares. Si el precio de venta de cada producto es 10 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de 60 000 dólares.

Resolución

𝐼=10 𝑥

Precio de venta unitario en $

Costo unitario de producción en $

Costo fijo en $

10 6 80 000

𝐶=6 𝑥+80000

𝑈= 𝐼−𝐶𝑈=10 𝑥−6 𝑥−80000𝑈=4 𝑥−80000

Luego entonces 4 𝑥−80000=60000→4 𝑥=140 000→𝑥=35 000Respuesta: se tienen que producir y vender 35 000 unidades

Sea las unidades producidas y vendidas

Ecuaciones de primer grado con una variableEjemplo 2. [Aplicación: Ingreso, costo y utilidad]La compañía Prescott fabrica sus productos con un costo de $4 por unidad y los vende a $10 por unidad. Si los costos fijos de la empresa son de $12 000 al mes. Plantee, resuelva y responda: a) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa?b) ¿Cuál es la pérdida de la empresa si sólo se producen y venden 1 500 unidades por mes? c) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 3 000 unidades por mes? d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual de $ 9 000?

Resolución

Sea las unidades producidas y vendidas

𝐼=10 𝑥

Precio de venta unitario en $ Costo unitario de producción en $ Costo fijo en $

10 4 12 000

𝐶=4 𝑥+12000

𝑈= 𝐼−𝐶¿10 𝑥−4 𝑥−12000¿6 𝑥−12000a) Para calcular el punto de equilibrio, se resuelve Utilidad igual a cero.

𝑈=0→6 𝑥−12000=0→6 𝑥=12000→𝑥=12000 /6→𝑥=2000.b) Si entonces

𝑈=6 (1500 )−12000¿9 000−12000 . Rpta: Esto significa que la empresa está que pierde $ 3 000.

Rpta: Tiene que producir y vender 2 000 unidades.

c) Si entonces

𝑈=6 (3000 )−12000¿18000−12000 . Rpta: Esto significa que la empresa está que gana $ 6 000.d) Si entonces

𝑈=9000→6 𝑥−12000=9000→6 𝑥=21000→𝑥=21000/6→𝑥=3500. Tiene que producir y vender 3 500 unidades.