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New Jersey Center for Teaching and Learning
Iniciativa Matemáticas Progresiva
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6º Grado
Variable Dependiente e Independiente
www.njctl.org
2014
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Tabla de Contenidos
Graficar Ecuaciones
Ecuaciones y Tablas
Haga click en el tema para ir a esa sección
Variable Dependiente e Independiente
Traduciendo Ecuaciones
Glosario
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Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero.
¿Cuántos tercios es en un entero?
¿Cuántos quintos hay en un entero?
¿Cuántos novenos hay en un entero?
Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.
El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para
armar una "pared de palabras".
(Haz click sobre el subrayado.)
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FactorUn número entero
que se puede dividir con otro
número y no queda resto
15 3 5
3 es un factor de 15 3 x 5 = 15
3 y 5 son factores de 15
1635 .1R
3 no es un factor de 16
4
Un número entero que multiplica con otro número para hacer un tercer
número
El cuadro tiene 4 partes
Vocabulario1
Su significado 2
Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la
página con el tema.
(Cómo se utiliza en
esta lección)
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Una ecuación es una sentencia que representa que dos expresiones matemáticas son iguales. Estos son ejemplos de ecuaciones:
12 + a = 15 x / 5 = 10 y = 3x
Cuando estás escribiendo una ecuación, quieres extraer piezas de información importante y convertirla en expresiones matemáticas.
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Ejemplo
Mrs. Smith compró lápices para sus alumnos y gastó $5.50 en total. Si cada lápiz cuesta $0.15, ¿cuántos alumnos hay en la clase? Esto nos dice que un lápiz cuesta $0.15.Esto nos dice que la ecuación debe ser igual a $5.50.
¿Sabemos cuántos alumnos hay?No, esta será nuestra variable, de manera que s = estudiantes del curso.
Ahora, piensa cómo podrías calcular el precio total de los lápices. Podrías multiplicar el costo de un lápiz por el número de estudiantes del curso y obtendrías el total, así debes plantear la ecuación:
$0.15s = $5.50
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Intenta éste:
Cristina es tres años mayor que su hermana Sara. Si Cristina tiene 13 años, ¿cuántos años tiene Sara?
Tirepara la respuesta
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1 Los Delfines anotaron 9 puntos más que los Jets. Los Jets anotaron 34 puntos. ¿Cuál ecuación podrías usar para saber la cantidad de puntos p que los Jets anotaron?
A p + 9 = 34B p + 34 = 9C p - 9 = 34
D p - 34 = 9
Tirepara ver respuesta
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2 Franco ganó $8.50 por hora por cortar el pasto del patio del vecino. La semana pasada Franco ganó $51. ¿Qué ecuación podrías usar para determinar la cantidad de horas h que Franco trabajó la semana pasada?
A 8.5h = 51B 51h = 8.5C 8.5/h = 51D h/51 = 8.5
Tirepara ver respuesta
Pull
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3 Santiago está trabajando en un restaurante de la ciudad. El gana $45 por cada turno más las propinas que recibe de sus clientes. Anoche ganó $73 en su turno. ¿Qué ecuación podrías usar para determinar cuánto ganó anoche de propinas (t)?
A 45 + t = 73
B 73 + t = 45
C 73 - t = 45
D 45 - t = 73
Tirepara ver respuesta
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4 Gaby estuvo pagando su tarjeta de crédito. Después de haber pagado $75 su balance de crédito era $263. ¿Qué ecuación podrías usar para determinar el balance inicial (b) en la tarjeta de crédito de Gaby?
A b - 263 = 75
B b - 75 = 263
C b + 75 = 263
D b + 263 = 75
Tirepara ver respuesta
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5 Melinda y sus amigos fueron al teatro y compraron 3 entradas para adulto y un paquete grande de palomitas de maíz. Una entrada costó $9, y ellos gastaron $33.75 en el teatro. ¿Cuál ecuación podrías usar para determinar el costo c de las palomitas de maíz?
A 9c - 3 = 33.75B 33.75-9 = cC 3c + 9 = 33.75D 3(9) + c = 33.75
Tirepara ver respuesta
Pull
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Una variable independiente no está influenciada por otra variable.
El valor de una variable dependiente depende de los valores de la variable independiente.
Vocabulario
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Franco gana $8 por hora cortando el pasto del patio del vecino.
La cantidad de dinero que gana d, depende de cuántas horas trabaja h.
Mientras más trabaja, más dinero gana.
Por lo tanto la variable dependiente es dinero d,y la variable independiente es horas h.
La cantidad de hora que él trabaja no depende del dinero que gana.
Ejemplo
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Independiente Dependiente
Cuán lejos puedes ir cuanto combustible usas
peso de un niño dosis del remedio
tu nota de la prueba lo que estudias para la prueba
Trata de adivinar la variable que falta.
Trabaja en grupo y piensa en por lo menos tres ejemplos de variables independientes y dependientes
Independiente Dependiente
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6 La cantidad de entradas que puedes comprar depende de cuánto dinero tienes.
Tirepara ver respuesta
Pull
Verdadero
Falso
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7 ¿Cuál valor es la variable independiente?A cantidad de dinero
B cantidad de entradas
La cantidad de entradas que puedo comprar depende de cuanto dinero tengo.
Tirepara ver respuesta
Pull
Click para la pregunta
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8 Cuesta $4.25 alquilar una película. La cantidad de dinero que gasto depende de cuántas películas alquilo. Por lo tanto la variable dependiente es el número de películas que alquilo.
Tirepara ver respuesta
Verdadero
Falso
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9 Mientras más edad tengo, más alto soy. Mi altura es la...
A Variable
B Variable Dependiente Tirepara ver respuesta
Independiente
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10 Mientras más gente hay en mi fiesta, más brownies tendré que cocinar. La cantidad de personas en mi fiesta es la...
Tirepara ver respuesta
A Variable Independiente
B Variable Dependiente
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La relación entre variable dependiente e independiente puede ser representada con
una tabla.
Independiente Dependiente
Entrada Salida
La variable independiente está siempre en la columna izquierda, y la dependiente en
la columna derecha.
La relación entre variables independientes y dependientes; entrada y salida funciona como una máquina.
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El valor de la salida depende de 1. El valor del entrada 2. La reglaEntrada
Salida
Regla
La regla es la relación entre la entrada y la salida.
Dice que sucede con la entrada dentro de la máquina.
El valor de salida siempre depende del valor de entrada
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Practiquemos imaginándonos la regla.
Paso 1. Asigna un valor a la entrada
Paso 2. Presiona Enter para ver la salida
En esta tabla se ven los valores de entrada y de salida
Paso 3. Una vez que tengas suficientes valores de entrada/salida para imaginarte la regla, selecciona + ó * y el sumando o factor.
Paso 4. Verifica la regla
Haz click aquí para práctica
online.
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n 2n
20
40
100 200
80
40click
click
click
El valor de n es la entrada.Dado el valor para n, encuentra la salida usando la regla.
Entrada Salida
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x + 15
$53
$70
$115
El gerente del negocio aumentó el precio $15 en cada video juego.
click
click
click
click
Tire
Pul
l
$100
$38
$55
Precio Original
x
Precio después del aumento
¿Puedes encontrar una expresión (regla) que se relacione con el costo total del vídeo juego y el precio original ya dado?
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g - 2
4to grado
nivel de grado del hijo mayor
nivel de grado del hijo menor
6
10
2
g click
click
Jardín de Infantes
8vo grado
Un padre quiere saber la diferencia del nivel del grado de los dos hijos. El más pequeño está dos años por debajo del mayor en términos de nivel de grado. Escribe una expresión (regla) que contenga una variable que se relacione con la diferencia del nivel de grado de sus dos hijos.
Tire
click
click
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Las tablas pueden ser usadas para representar ecuaciones.
La siguiente tabla representa la ecuacióny = x + 3.
x y
3 6
4 7
6 9
La salida (y) depende de la entrada (x).
Por lo tanto x es la variable independiente, a la izquierda,e y es la variable dependiente, a la derecha.
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51
39
21tn
10
28
40
click
click
click
Esta tabla representa la ecuaciónt = n + 11
Encuentra los valores para t, dado los valores para n.
Slide 33 / 64
120
60
20
yx 80
120
180
click
click
click
Esta tabla representa la ecuacióny = x - 60
Encuentra los valores para y, dado los valores para n.
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n
20
40
80
t
2139
51
Esta tabla representa la ecuación
Encuentra los valores para t, dado los valores para n.
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x y20
40
100 200
80
40
click
click
click
Esta tabla representa la ecuacióny = 2x
Encuentra los valores para y, dado los valores para x.
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Las ecuaciones y las tablas pueden usarse también para representar en forma matemática información de la
vida real.
Natalia va a patinar sobre hielo. La pista de patinaje cobra $6.25 por hora.
h representa la cantidad de horas que patinará y c representa el costo total.
Ecuación: c = 6.25 h
horas (h) costo (c)
1 $6.25
2 $12.50
3 $18.75
Slide 37 / 64
2a
48
28
24
Maria tiene dos veces la edad de Juan.
Edad de Juan
12
14
24
a
Edad de Maria
Tire
Piensa en una ecuación algebraica que determine la edad de Maria (m) dada la edad de Juan (j)
click
click
click
click
Tire
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11 Iván baja canciones de iTune. La cantidad de tiempo que tarda cada canción en descargarse depende del tamaño del archivo de la canción. ¿Cuál es la variable independiente?
A Tiempo de descarga
B Tamaño del archivo
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12 Si le toma 50 segundos para bajar un megabyte, ¿qué ecuación representa ésto? Usa la variable t para el tiempo de descarga y s para el tamaño del archivo.
A s = 50 t
B t = 50 s
Tirepara ver respuesta
C 50 - s = t
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13 ¿Cuál tabla representa la ecuación t = 50s ?
A B
C D
s t200 4100 250 1
s t4 2005 2506 300
s t200 150100 5050 1
s t1 512 523 53
Tirepara ver respuesta
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14 Encuentra el valor que falta en la tabla.
Jonathan tarda 6 minutos para correr una milla. t representa minutos y d representa las millas.
(t) (d)
6 1
18 ?
Tirepara ver respuesta
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15 Usa la ecuación y = 5x para completar la tabla.
A
B
C
D
x y
20 ?
? 150
50 ?
?= 4 ?= 30 ?= 250
?= 4 ?= 30 ?= 10
?= 100 ?= 30 ?= 250
?= 100 ?= 3 ?= 10
Tirepara ver respuesta
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Aprendimos que las ecuaciones y tablas son dos maneras de representar situaciones de la vida real.
Se las puede graficar para representar situaciones de la vida real.
Ejemplo:
Una cafetería tiene una máquina automática para hacer waffles. La tabla muestra la relación entre el tiempo en horas (x) y la cantidad de waffles que la máquina puede hacer (y).
(x) (y)
1 502 1003 1504 2005 250
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(x) (y)
1 502 1003 1504 2005 250
La ecuación para esta situación es y = 50x
Cada hora se hacen 50 panqueques.
El valor de y depende de el valor de x.
y es dependiente x es independiente
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Esta situación puede representarse con un gráfico.Cuando graficamos:
La variable independiente está siempre sobre el eje de las x .
La variable dependiente está siempre sobre el eje de las y .
0 1 2 3 4 5 6 7 8
400
350
300
250
200
150
100
50
eje de las y
(dependiente)
eje de las x (independiente)
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0 1 2 3 4 5 6 7 8
400
350
300
250
200
150
100
50
Tiempo (x)
Waffles hechos (y)
Coordenadas (x,y)
1 50 (1, 50)
2 100 (2, 100)
3 150 (3, 150)
4 200 (4, 200)
5 250 (5, 250)
Una vez que hayas representado la ecuación en unatabla de valores, puedes utilizar los valores de las variables dependientes e independientes como coordenadas.
Traza las coordenadas de la tabla en el gráfico.
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Una librería tiene una oferta especial y cobra a $5 cualquier libro para niños.
1. Escribe una ecuación para representar la situación. 2. Completa la tabla para representar la situación. 3. Grafica la función
N° de libros (x)
Costo total (y)
Coordenadas (x,y)
1 5 (1, 5)
2 10 (2, 10)
3 15 (3, 15)
4 20 (4, 20)
5 25 (5, 25)0 1 2 3 4 5 6 7 8
40
35
30
25
20
15
10
5
y = 5xTire
para ver respuesta
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16 Un avión desciende un promedio de 50 pies por minuto. ¿Cuál gráfico representa esta situación?
A B
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8
400
350
300
250
200
150
100
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
400
350
300
250
200
150
100
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
400
350
300
250
200
150
100
50
A
Tirepara ver respuesta
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17 ¿Cuál situación representa el gráfico?
A Mia gana $12 por hora.
B El río crece a un promedio de 15 pies por hora:
C El valor de las acciones baja $.50 por minuto
D El avión voló 300 millas por hora.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
80
70
60
50
40
30
20
10
B
Tirepara ver respuesta
Slide 51 / 64
18 ¿Cuál situación representa el gráfico?
A Tina comienza el viaje con $30. Cada hora gana $20 adicionales.
B Tina comienza el viaje con $50. Cada minuto gasta $5.
C Tina corre una milla cada 20 minutos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
80
70
60
50
40
30
20
10
A
Tirepara ver respuesta
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19 Un árbol de cerezo crece a un promedio de 4 pies por año. ¿Cuál tabla representa la relación entre la altura del árbol (h) y los años(t)?
A B
C D
t h1 42 53 6
t ht ht h1 43 125 20
t h5 110 215 3
t h4 18 212 3
Tirepara ver respuesta
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20 ¿Cuál ecuación representan la tabla y el gráfico?
A y = 50x
B 50y = x
C y = x -50
D y = x + 50
minutos (x) 1 3 4 7
Nº de palabras
escritas (y)50 150 200 350
0 1 2 3 4 5 6 7 8
400
350
300
250
200
150
100
50
Tirepara ver respuesta
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Volveral
tema
Coordenadas
Un par de valores que representan una posición exacta sobre un plano de
coordenadas.
(x,y)(0,0)
x
y(2,3)
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Volveral
tema
Variable dependiente
La variable cuyo valor varía dependiendo del valor de
otra variable.La variable dependiente sempre está ubicada a lo
largo del eje de las y.y = x2El valor de y está determinado por
el valor de x.(x) (y)1 12 43 9
La variable dependiente siempre es la salida (y).
Tabla de valores
Ecuaciones Gráficos
0 1 2 3 4 5 6 7 8
87654321
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Volver al
tema
EcuaciónDos expresiones que son
equivalentes. La equivalencia se representa con el signo igual.
4x= 8expresiones equivalentes
4 =x3
expresiones equivalentes
no hay equivalencia
x3
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ExpresionesAgrupaciones de números, símbolos
y operaciones que representan el valor de alguna cosa.
2 x 3 = 6 Las expresiones NO tienen signo
igual.
3 2 + 12Una expresión es la que está de un lado de una ecuación. Volver
al tema
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Volveral
tema
Tabla de valores
Organiza la especial relación entre los valores de x e y. Cada uno de sus valores de entrada corresponde al valor de salida.
La salida (y)
depende de la
entrada (x).
(x) (y)1 12 43 9
x es la variable independiente, está
a la izquierdae y es la variable
dependiente y está a la derecha.
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Volveral
tema
La variable que mantiene su valor y no está influenciada por otra variable.
Variable independiente
La variable independiente siempre está a lo largo del eje
de las x.y = x2
x mantiene su valor, sin
importar cómo varía y.
(x) (y)1 12 43 9
La variable independiente siempre es la
entrada(x).
Tablas de valores
Ecuaciones
87654321
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Gráficos
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Volveral
tema
entrada
Regla
3salida
Entrada
La entrada es la variable independiente en una función (x).
La salida (y)
depende de la
entrada (x).
(x) (y)1 12 43 9
y = x2
El valor de y está determinado por
el valor de x.
Entrada
y = x2
9
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Salida
La salida es la variable dependiente en una función (x).
La salida(y)
depende de la
entrada (x).
(x) (y)1 12 43 9
y = x2
El valor de y está determinado por el
valor de x.
Salida
y = x2
entrada3salida
9Regla
Volveral
tema
Slide 63 / 64
ReglaDefine la relación entre la entrada y la salida, usando una ecuación algebraica. Dice lo que
le sucede a la entrada en una función.
Regla:y = x2 (x) (y)
1 32 63 9
Regla: y = 3x (x) (y)
1 62 103 14
Regla: y = 4x+2
Volveral
tema
entrada3salida
9
Slide 64 / 64
Volver al
tema
VariableUna letra o símbolo que
representa un valor variable o desconocido.
4x + 2variable
x = ?2x = 6
x x