curso de ingreso de matemÁtica - unca
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICA
CARRERAS: COMPUTACIÓN – INFORMÁTICA
INGRESANTES 2012 DOCENTE RESPONSABLE: GALINDEZ, MARCELA
EQUIPO DOCENTE: FERNANDO BURGOS GABRIELA JUAREZ VANESA FIGUEROA MARIO SANTILLAN
CICLO ACADÉMICO: 2012
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¡Bienvenido a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales!
Desde nuestro lugar, queremos ayudarte en tu inserción a nuestras aulas. Para ello
confeccionamos este documento que pretende brindarte algunos elementos, estrategias y
actividades, que puedan orientar tu estudio personal y te sirvan para reflexionar y
actuar durante la organización de tus actividades como estudiante de matemática.
¿Qué supone estudiar matemática?
En general, los alumnos que ingresan a la Universidad estudian de manera
independiente en muy escasos momentos, en general antes de una evaluación. Sus
actividades se restringen al trabajo que se realiza en clase produciendo una fuerte
dependencia hacia el profesor, no están acostumbrados a utilizar libros de matemática y
las carpetas suelen estar llenas de respuestas a ejercicios que ni siquiera están
enunciados.
Pero, Estudiar, queridos estudiantes, significa mucho más que resolver ejercicios de la
carpeta o similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Estudiar un
concepto involucra, entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué
tipos de problemas se pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles
son los errores más comunes que se han cometido en la clase como parte de la
producción y por qué.
Cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de
producir, de comunicar y validar conocimientos, y en matemática esto se hace mucho
más evidente. Estas formas específicas que irás conociendo, siempre deben estar
incluidas en el momento del estudio; es decir, no puedes estudiar desconociendo, por
ejemplo, las maneras de establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de
producir conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el
estudio y ello supone la utilización de estrategias de aprendizaje que te permitan buscar
soluciones, no simplemente memorizar procedimientos; explorar patrones, no
simplemente memorizar fórmulas; formular conjeturas, no simplemente resolver
ejercicios.
Recuerda: Estudiar matemática supone, además de resolver ejercicios, resolver
problemas, construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros
el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.
Bienvenidos!
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FUNDAMENTOS:
Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas competencias,
indispensables para asegurar su permanencia en ella y la consecución de sus
aprendizajes. Sin embargo los comienzos en la Universidad no son fáciles y los
estudiantes necesitan un periodo de adaptación hasta que consiguen integrarse
plenamente. Si a esta situación además le añadimos que, en particular, el aprendizaje de
la matemática depende, en gran medida, de lo que anteriormente haya aprendido, nos
damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes conocimientos
matemáticos que poseen los alumnos antes de que empiece el curso oficial. En esto
consiste la finalidad de este curso de Ingreso de Matemática, puesto que está centrado
en aportar a los alumnos ingresantes a primer año del profesorado y licenciatura en
Matemática algunos complementos en formación matemática, mayor agilidad, destreza
y entrenamiento en la resolución de problemas. Se pretende además que los alumnos
adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina. El enfoque será teórico -
práctico, centrado en la resolución de problemas, en la justificación, verificación,
generalización y en la participación activa del alumno.
OBJETIVOS:
Adquirir hábitos de estudio propios del aprendizaje de la Matemática en el nivel universitario.
Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.
Traducir problemas básicos a lenguaje algebraico y resolverlos.
Utilizar los diferentes registros de representación .
METODOLOGIA:
La resolución de problemas es el aspecto central de la propuesta porque es el adecuado
para permitir que el alumno desarrolle actividad matemática de variado tipo y por
aportar un cambio actitudinal. También se insistirá en la explicación y en la práctica de
producir argumentos para validar un enunciado o una respuesta, para lo cual se requerirá
la interacción entre pares, las puestas en común y la precisión en el lenguaje, natural y
simbólico.
CONTENIDOS MINIMOS:
Operaciones básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebraicas.
Ecuaciones e inecuaciones. Funciones elementales: Recta, función de proporcionalidad
inversa, parábola, función cubica, función modulo. Trigonometría.
EVALUACION:
Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, con el fin de analizar los
resultados del curso, y en total de acuerdo con la Resolución prevista para el Ingreso
CRONOGRAMA
Semana 1: Propiedades de las operaciones básicas. Expresiones algebraicas.
Ecuaciones, problemas de aplicación.
Semana 2: Ecuación y grafico de la recta. Ecuación y grafico de la parábola.
Semana 3: Función modulo. Inecuaciones con modulo..
Semana 4: Trigonometría.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS: PROPIEDADES DELAS OPERACIONES
Conjuntos Numéricos.
Números Naturales: { } Números Enteros: { }
Números Racionales: {
⋀ } (es el conjunto de todos los
números que se pueden escribir como expresiones decimales finitas o infinitas
periódicas).
Números Irracionales: , , 0,10100100 , 2,I e (es el conjunto de todos los
ϵnúmeros que no se pueden escribir como expresiones decimales infinitas no periódicas).
Relación de orden en : El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que, dados dos números reales distintos siempre se puede establecer cuál es el mayor. A
la relación de orden definida en se la indica con “<” (a < b se lee: “a es menor que b”,
o también “b es mayor que a”).
En el conjunto de los números reales vale la ley de tricotomia: dados dos números reales
a y b vale una y solo una de las siguientes expresiones: a b ó a b ó a b .
Los números y la recta numérica
1- a. En la siguiente recta numérica están ubicados los números 0; 1 y a:
¿Donde ubicamos los números 1; y 1a a a ?
b. En la siguiente recta están ubicados los números 0 y a.
¿Donde se ubica el número –a.?
0 1 a
0 a
Un poco de historia
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo. Las tribus
más primitivas, tanto en el pasado como en la actualidad, disponen de
símbolos para distinguir entre uno, dos, tres,…
Es difícil analizar los caminos mentales que el hombre hubo de recorrer
hasta llegar a algún sistema de enumeración que le permitiera manejar,
con el pensamiento, la pluralidad. De hecho, sólo en unas pocas
civilizaciones avanzadas se llegó a la creación de sistemas de numeración
verdaderamente manejable y eficiente. Este hallazgo está profundamente
unido al progreso matemático y cultural de esos pueblos
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Soluciones: Para encontrar la solución de estos y otros problemas se usan los distintos
números: enteros, racionales, irracionales.
En el primer problema hay que ubicar los números 1; y 1a a a en la siguiente
recta, conociendo la ubicación de 0,1 y :a
Como se conoce el lugar donde está el numero y del 0a , es posible determinar dónde
está el número a , pues la distancia entre 0 y a debe ser la misma que la distancia entre
y 0.a
El número 1a está ubicado a una unidad hacia la derecha del número a . Medir la
distancia de una unidad es medir la distancia que hay entre 0 y 1 ó entre dos números
enteros consecutivos cualesquiera. Para ubicar el numero 1a hay que tomar la medida
que hay entre 0 y 1, y marcar un segmento con esa medida comenzando en a hacia la
derecha. De igual forma se puede ubicar el numero 1a , a una unidad hacia la
derecha de .a
En el ítem b del primer problema, hay que ubicar en la recta numérica el número .a
Analizando la gráfica podemos preguntarnos:
¿Por qué el número a está ubicado a la izquierda del cero? ¿Por qué no tiene el signo
menos? A esto podemos responder diciendo que a es una letra que representa a
cualquier número y puede estar ubicado en cualquier lugar. Como a está ubicado a la
izquierda del cero es un número negativo. Saber esto hace que no sea necesario ponerle
el signo menos adelante. De esta manera, el número a es el opuesto de a y se ubica a
la misma distancia del 0 a la que se encuentra a , pero en el sentido contrario.
O sea, como el número a se encuentra a la izquierda del 0, es negativo, por lo que su
opuesto, a , es positivo. Para ver este concepto más claramente analizamos estos
ejemplos:
Si 5, 5; si 6, 6a a a a
Los números racionales y la recta numérica
En la siguiente recta numérica se encuentran representados los números 0, a y b.
0 a b
0 1 a
0 1 a -a
0 1 a -a -a+1 a+1
0 a
0 a -a
6
¿Dónde se ubican los números: ; ;2 2 2
a a b ab
?
Solución: Para ubicar el punto 2
a es necesario conocer el punto medio entre 0 y a, ya
que 2
aes la mitad de a. Para marcar el punto
2
a b, se puede ubicar primero a b , y
luego dividir esa distancia, entre 0 y a b , en 2 partes iguales. También podemos
considerar que la expresión 2
a brepresenta el promedio entre a y b, o sea el punto
medio. La expresión 2
ab , está representada por el punto que esta ubicado a la derecha
de b, a un a distancia de 2
a; o bien a la derecha de
2
auna distancia de b.
A tener en cuenta:
Lo números a y –a se denominan inversos aditivos u opuestos y verifican que:
0a a .
Los números naturales, sus opuestos y el cero forman el conjunto de los
números enteros
Los racionales, son números x que se pueden expresarse como fracción p
q,
en la cual p es un número entero que se denomina numerador q es entero
distinto de cero que se denomina denominador.
Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como
decimal.
Fracciones comunes:
Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.
Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador
Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra
fraccionaria.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes si: a c
a d b cb d
La unión de los racionales y los Irracionales da como resultado el
conjunto de los Números Reales
Operaciones Fundamentales en :
El manejo fluido de las operaciones en los distintos conjuntos numéricos y sus
propiedades es fundamental para el estudio de prácticamente todas las ramas de la
matemática. Es por esto que consideramos conveniente repasar estos conceptos.
0 a b
2
a
2
a b
2
ab
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Para todo número real las cuatro operaciones fundamentales son:
Adición o Suma: a b
Multiplicación: .a b
Sustracción o Resta: a b
División: : , con 0a
a b bb
Propiedades
A tener en cuenta
La propiedad uniforme es muy importante para la resolución de ecuaciones
Por ejemplo:
2 10Si 2 10 o bien Si 4 5 4 ( 4) 5 ( 4)
2 2
5 1
xx x x
x x
ϵ ϵ
ϵ
ϵ ⋀ ϵ
ϵ {
a) La suma y el producto cumplen la propiedad conmutativa:
ϵ a+b = b+a
ϵ a.b = b.a
b) La suma y el producto cumplen la propiedad asociativas:
c) La multiplicación es distributiva respecto de la suma:
ϵ
d) Existen elementos llamados neutros para la suma y el producto:
ϵ / ϵ a+0 =0+a = a El 0 es el neutro para la suma
ϵ / ϵ a .1 =1. a = a El 1 es el neutro para la multiplicación
e) Existencia del inverso aditivo (opuesto):
ϵ / (-a) es el opuesto de a y es único
f) Existencia del inverso multiplicativo (recíproco):
1 1a
a
se llama inverso o reciproco de a
g) propiedad uniforme:
Si
, y Si
a b a c b ca b c
a b a c b c
de la segunda se desprende que Si , 0a b
a b cc c
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Si cancelamos utilizando sumas y restas, el resultado es 0, el elemento neutro
de la suma:
Ejemplo: 2x 3 2x 3; 3y y y x y 3 2y 3x
Si simplificamos utilizando productos y cocientes, el resultado el 1; el elemento neutro del producto. Por ejemplo:
con x≠0 o
2( 1)x
2( 1)x 1
Si aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma a la
siguiente expresión: 1 1 1. .a b c a b a c que es lo mismo que escribir:
b c b c
a a a
. Por lo que vale la propiedad de la división respecto a la suma a
derecha.
Esta propiedad que acabamos de ver no vale en el siguiente caso:
a a a
b c b c
Es decir, no vale la propiedad distributiva de la división respecto
a la suma a izquierda
Potenciación de Números Reales
Potencia: Se define como potencia enésima de un número a, na , al producto de n
factores iguales a a. El número a ϵ es la base de la potencia, el número n ϵ es el exponente.
veces
...n
n
a a a a a
También se define
⋀ ⋀ ⋀
Ejemplo:
3 32
2 3
2
1
1
1
x a ax aby b y x y
b
Podemos observar que el signo menos del exponente produce en la expresión un cambio
de numerador por denominador, quedando luego del cambio con el exponente positivo.
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Propiedades de la Potenciación:
A tener en cuenta
La potenciación no es distributiva respecto de la suma y de la resta.
Observa atentamente:
2 2 2
2
4 3 4 3
7 16 9
49 25
3 3 3
3
5 3 5 3
2 125 27
8 98
Radicación – Raíz n-ésima:
Dado un número n natural y un número a real, se define la raíz n-ésima de a, y se
escribe n a , al único número real b, tal que nb a .
√
√
Ejemplos:
√
√
√
√
porque no existe ningún número real que elevado a la cuarta potencia
de por resultado -16.
Esto ocurre con todos los cálculos de raíces de índice par de números negativos, es por
eso que estos casos no son considerados en la definición de radicación en
√
Sean a y b números reales no nulos; m y n números enteros.
1. Producto y Cociente de Potencias de Igual Base:
, con 0n
n m n m n m
m
aa a a a a
a
2. Potencia de Otra Potencia:
m
n n ma a
3. Distributiva de la Potencia respecto del Producto y del Cociente:
n nn n n
n
a aa b a b
b b
4. Potencia de exponente fraccionario:
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Propiedades de la Radicación:
A tener en cuenta
Ahora vamos a ver algunas reglas importantes para la operatoria con raíces:
Para simplificar exponentes e índices, se debe tener en cuenta que las
operaciones estén bien definidas. Por ejemplo:
a. 4
4 3 , no se puede simplificar, ya que 4 44 3 81 3 , si hubiéramos
simplificado el resultado que se obtiene es 44 3 3 y sabemos por la
definición dada que si el índice de la raíz es par, la raíz es positiva
b. 6
12 3 , no se puede simplificar, si lo hacemos quedaría 3 , que no está
definida.
Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no negativa, por lo tanto:
Si 0, entonces n na a a
( √ )
√
Sean a un número real no nulo; m y n números naturales.
1. Simplificación: Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no
negativa, por lo tanto: Si 0, entonces n na a a
Si es impar Si es par n nn nn a a n a a
2. Propiedad Distributiva:
La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división, siempre que existen las raíces de los factores que intervienen
√
√
√
√
√
√ con b≠0
La radicación no es distributiva respecto de la adición y sustracción
3. Raíz de otra Raíz
√ √
√
=
4. Potencia de una Raíz
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TRABAJO PRÁCTICO 1
1) Señala, entre los números siguientes, cuáles son naturales, cuáles enteros, cuáles
racionales y cuáles irracionales:
2 1
; 5; 0,7; ; 3; 2; 3,4; ; 3; 2 ; 0;3 7 2
e
2) Dados los siguientes números: 20
29;
12
17;
13
12;
12
11
a) ¿Son mayores o menores que 1?
b) Ordénalos de menor a mayor
3) Indica en la recta numérica los opuestos a los números ubicados en ella
-b a 0 c
a) ¿Es a un número positivo? ¿Por qué?
b) ¿Es b un número positivo? ¿Por qué?
c) Da un ejemplo numérico de los valores que pueden adoptar a y b
d) ¿Dónde ubicarías el número a+1? ¿Qué consideras para ello?
4) Resuelve las siguientes operaciones y justifica escribiendo la/s propiedad/es
aplicada/s
5) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas.
a) ¿Es conveniente simplificar el 2 del numerador con el 2 del denominador en el
ejercicio ll? Porqué? ¿Y el 7 del numerador con el 7 del denominador en el
ejercicio n?
¡¡Atención!!:
Para justificar
primero expresa, por
escrito, con tus
palabras la propiedad
en R que aplicas,
luego hazlo
formalmente, utiliza
lenguaje algebraico.
Elabora un glosario
que te ayude a seguir
trabajando.
(Si es necesario,
consulta el enunciado
de las propiedades de
las operaciones en R)
a)
22
3
b) 035 c) 2(3.5) d) 2( 4)
e) 3( 1) f) 21
9 g) 23
4 h) 3 2( 3 )
i) 25 j)
25
9
k) 31
27
l) 8
73
ll)2
26 m)
5
35 n)
7
3.7 ñ)
3
5.32
o) 25
6
5
4 p)
4
9.
11
2 q)
2
15
8
5
r) 32.2
s) 1
23. 4 25 t) 1
23. 4 32
u) 23.72
v) 9 w) 3 8 x) 4 y) 0
2 z)
7
0
12
b) ¿Es posible distribuir el exponente ½ respecto al producto del ejercicio s?, ¿y el
3? ¿y el exponente – ½ respecto a la suma del ejercicio t?, ¿y el 3?Justifica
cada respuesta
c) ¿Será posible resolver el ejercicio s de una manera diferente a como la hicieron?
d) Observen los resultados desde el ejercicio ll hasta el q ¿Qué pueden concluir
acerca de las simplificaciones?
e) Observen los resultados desde el ejercicio v hasta el x ¿Qué pueden concluir?
6) Clasifique cada igualdad como verdadera o falsa. Si no es correcta, modifique el
miembro derecho para obtener una igualdad verdadera.
a)
b)
c)
d)
e)
f) (
)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p) √ √ √
q)
⁄
⁄
⁄
r) √
√ √
s) √ √
t) √
u) √
⁄
⁄
√
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7) Calcule el valor numérico aplicando propiedades. Verifique con la calculadora:
a)
b) [(
) ]
c)
d) (
)
e)
f)
g) (
)
(
)
h)
i) (
)
j)
k)
l) (
)
(
)
m)
n) [ ]
o)
p) ⁄
q) ⁄
r)
⁄
s) √
√
t) √
√
u) √
⁄
v) √
w) √√
x) √
y) √ √
z) (
)
⁄
(
)
⁄
8) Resuelve los siguientes problemas
a) Tres recipientes contienen agua, el primero 47
50 litros, el segundo
55
62 litros y el
tercero 30
33 litros. ¿Qué recipiente tiene menos agua y cuál más?
b) En el colegio, 3
1 de los alumnos estudia inglés y un 33% francés. ¿Cuál es la
lengua más elegida?
c) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc.
¿cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 kg de aleación?
d) Luís invita a sus amigos una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luís
come el resto. ¿cuánto come?
e) Dado un cordón Juan toma la mitad. De lo que queda Pedro toma la mitad; de lo
que queda María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma 2/5. Al final
quedan 30 cm. ¿cuál era la longitud del cordón?
9) Analice la siguiente demostración y explique cuál fue el error cometido.
√ √ √ √ (√ )
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10) Calcule el perímetros de las siguientes figuras:
a) b) 20 cm
2 5 cm 32 cm
cm 5 18 cm
c) 40 cm
d)
5 cm
7 cm cm10
11) Hallar el valor exacto del área de las siguientes figuras. Todas las medidas estan
dadas en centímetro.
1+ 27
a)
3
b) c)
3 2 12
2 3 4 22
12) Completar con, o según corresponda:
N Z Q I R
1
2/3 3 5
-3
8
4,4
3,5
3,89
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Si a,b y c son números reales, son expresiones algebraicas algunas de las siguientes:
Lenguaje Coloquial Lenguaje algebraico
El doble de a
El triple de la suma de a y c
El producto de a por el cuadrado de b
El cubo de a, disminuido en 3
El cubo de: a disminuido en 3
2a
3(a+c)
ab2
a3-3
(a-3)3
Clasificación: Las expresiones algebraicas se clasifican en enteras, racionales e
irracionales.
Las expresiones algebraicas enteras son aquellas en las cuales las letras y
números se relacionan a través de las operaciones de suma, producto y potencia.
Por ejemplo: 3 3 4x x .
Las expresiones algebraicas racionales son aquellas en las que por lo menos
una de las letras figura como divisor de la expresión. Por ejemplo: 3
2 1x .
Las expresiones algebraicas irracionales son aquellas en la que por lo menos
una de las letras se figura como radicando. Por ejemplo: 1
52
x .
Polinomios: Son expresiones algebraicas enteras.
Polinomios en una indeterminada, x, es la expresión de la forma
donde son números reales, llamados coeficientes, x es la
indeterminada Los exponentes de x son números enteros no negativos y el grado del polinomio
es el mayor exponente de la variable cuyo coeficiente es diferente de cero.
. Se suele pensar que el álgebra comienza cuando se empieza a utilizar letras para
representar números, pero, en realidad comienza cuando los matemáticos se
interesan por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número.
Ese cualquier número se representa con una letra y se da, así el paso de la
aritmética, que se interesa por los números concretos, al álgebra.
Definición: Las expresiones algebraicas son combinaciones de números
expresados por letras y cifras, relacionados entre sí por una o más operaciones
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n es un número natural que indica el grado de un polinomio ( es el conjunto de los números naturales que incluye al cero ó el conjunto de los
números enteros no negativos). El grado del polinomio P x , se indica con
grP x n .
na es el coeficiente principal y es el término independiente o término de
grado 0 En el caso particular de que todos los coeficientes sean ceros, el polinomio se
denomina polinomio nulo, se lo indica con y carece de grado.
Según la cantidad de términos que tenga el polinomio, se llama:
Monomio un solo término
Binomio dos términos
Trinomio tres términos
…
…
Polinomio de grado n. n términos
Ejemplos:
a)Sea 3 411 2
2P x x x
Es un trinomio de cuarto grado 4n , la variable es x, entonces grP(x) = 4.
Los coeficientes son: 0 1 2 3 4
11, 0, , 2
2a a a a a , donde el coeficiente
principal es 4 2a
3
32
Q y y es un binomio de grado 1 en la variable y, 0 1
3, 3
2a a
5R x Monomio de grado cero, 0 5a
1
52
S x x No es un polinomio pues x esta con exponente 1/ 2 .
3
2 1T x
x
No es un polinomio porque x está en el denominador (es una expresión
algebraica racional).
A tener en cuenta
Los monomios son homogéneos cuando tienen el mismo grado
Los monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal
El grado de un polinomio con respecto a una de sus indeterminadas está dado
por el mayor exponente con que figure esa indeterminada
Un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes (o crecientes) de
una indeterminada cuando el exponente de la misma en cada término es menor o
igual (mayor o igual) que en el anterior
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Operaciones con Expresiones Algebraicas
Suma y Diferencia de Polinomios
La suma y diferencia de polinomios se trabaja haciendo una simple supresión de
paréntesis y agrupando términos semejantes como muestran los siguientes ejemplos:
1) Sumar los polinomios .
2) Restar los polinomios . .
En el ejemplo de la resta o diferencia, al hacer la supresión de paréntesis lo que se ha
hecho es sumar al polinomio ( )P x el opuesto del polinomio ( )Q x .
Producto de Polinomios
Para efectuar los productos de los polinomios debemos tener en cuenta la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma y las propiedades de la potenciación.
Veamos algunos ejemplos para los distintos casos que se nos pueden presentar.
1) Multiplicar
= 3 (A)
Se puede observar que el polinomio obtenido en (A) tiene un factor común en
ambos términos. De manera recíproca dado el polinomio: 3 Se puede
obtener el producto: 3
Esto es:
3 = 3
A este procedimiento se los llama extraer factor común en un polinomio
2) Multiplicar
(
)
=
18
2 2
2 2
3) y
P x x a Q x x a
P Q x x a x a x x x a a x a a
x ax ax a
x a
Ejemplo:
El producto de la suma de dos números por su diferencia se convierte en la
diferencia de los cuadrados de los mismos.
2
2 2
2 2
4)
2
P x Q x x a
P Q x x a x a x a x x x a a x a a
x ax ax a
x ax a
Ejemplo:
El desarrollo del cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado
perfecto.
3
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 3
5)
2 2
2 2
P x Q x R x x a
P Q R x x a x a x a x a x a x x x a a x a a
x a x ax ax a x x x ax x a a x a ax a a
x ax a x ax a x a
3 2 2 3 3 3x ax a x a
Ejemplo:
También:
El desarrollo del cubo de un binomio recibe el nombre de cuatrinomio cubo perfecto.
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IDENTIDADES Y ECUACIONES
Clasificación de las Ecuaciones
Las ecuaciones algebraicas se clasifican:
a) Por su grado;
b) Por el número de sus incógnitas.
2
3 2 0 es una ecuación de primer grado con una incógnita.
2 5 8 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas
2 1 0 es de segundo grado con una incógnita.
x
x y
x x
Actividad para relacionar contenidos
¿Te animas a elaborar un cuadro que relacione los distintos tipos de ecuaciones
de manera análoga a la que elaboramos con la clasificación de expresiones
algebraicas? Inténtalo
Sigue completando tu glosario
IIgguuaallddaaddeess
Las igualdades matemáticas son las expresiones caracterizadas por el signo " = ".
Las podemos clasificar en Identidades y Ecuaciones.
Una Identidad es una igualdad absoluta, o válida sin condicionamientos, para cualquier
valor de las indeterminadas.
Por ejemplo:
2 2 2
2 2
7 3 10
( ) 2 se cumple a,b
se cumple ,
a b a ab b
x y x y x y x y
Una Ecuación es una igualdad condicionada, es decir que se satisface sólo para
determinados valores de las indeterminadas y en algunas ocasiones no tiene solución
Por ejemplo:
La condición o condiciones que debe cumplir una ecuación para ser efectivamente una
igualdad están representadas por una letra o varias que reciben el nombre de incógnitas de
la ecuación.
¡¡Atención!!Para
determinar el valor
de la o las incógnitas
de una ecuación, la
matemática ofrece
métodos de
resolución para cada
clase de ecuación,
sin embargo,
SIEMPRE se debe
tener en cuenta las
propiedades de las
operaciones
20
Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Actividad Prioritaria: Antes de comenzar a resolver ecuaciones, analiza los ejemplos dados
anteriormente, lo que ya conoces de clasificación de expresiones algebraicas y elabora un
concepto de ecuación de primer grado con una incógnita y escríbelo. Luego, compara lo que
tú escribiste con la definición formal dada a continuación.
Resolución de una ecuación lineal
En toda ecuación se distinguen dos miembros en la igualdad
Ejemplo 1:
2 7 1 12 2 primer miembro Segundo miembrode la igualdad de la igualdad
x x x
En cada uno de los miembros de una ecuación puede o no haber términos semejantes; si los
hay, se debe operar con ellos
Los términos en cada uno de los miembros no son semejantes, por lo que no se puede operar
entre ellos. Entonces, debemos agrupar términos semejantes en cada uno de los miembros,
para ello aplicamos propiedad uniforme: sumamos a ambos miembros x y 6 y
obtenemos:
Ahora, para despejar definitivamente x, volvemos a aplicar la misma propiedad y dividimos
a ambos miembros por 4. Por último, resolvemos.
o bien:
Verificación: a fin de comprobar la validez de la solución se sustituye x por 2 en la
ecuación y se computa el valor de cada miembro. Si los valores así obtenidos son iguales,
la solución es correcta. Para el ejemplo anterior la verificación es:
Primer miembro: 2 2 7 2 1 12
Segundo miembro: 12 2 2 12
Luego 2x es la solución de la ecuación dada.
Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es, por lo tanto, de la forma:
……………………………………………………………...
Aplicar esta propiedad equivale
decir que x pasa sumando al
otro miembro y que 6 pasa
restando (Pasaje de términos)
Equivale a decir que el 4 que
está multiplicando pasa al otro
miembro dividiendo (Pasaje de
factores)
21
Ejemplo 2: Calcular el o los valores de x en la siguiente ecuación
2 3 8
4
2 34 8 4 Multiplicamos por 4 ambos miembros de la igualdad.
4
2 3 32
2 3 2 32 2 Sumamos -2 a ambos miembros de la igualdad.
3 30
x
x
x
x
x
3 30 Dividiendo por -3 ambos miembros de la igualdad.
3 3
10
x
x
Verificación
2 3 108
4
328 8 8 Por lo tanto 10 es la solución de la ecuación.
4x
Actividad: Resuelve de otra manera aplicando Pasaje de términos y de factores
Ejemplo 3: Resuelve el siguiente problema: “El doble de la edad que Guillermo tendrá
dentro de 6 años es igual al triple de la edad que tenía hace 5. ¿Qué edad tiene Guillermo
actualmente?”
Encuentra la solución probando con diferentes edades. ¿Cuánto tiempo demoraste?
Este es un ejemplo que cuesta encontrar ese valor, pues no cuentas, de antemano, con algunos valores posibles que puede tomar esta edad. Es este uno de los casos en
que el planteo de ecuaciones ayuda a resolverlo.
Solución:
Respuesta: La edad de Guillermo es 27 años
Respuesta: La edad que actualmente tiene Guillermo es 27 años
Actividad de profundización
Si una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es de la forma:
0ax b , siendo a y b constantes con 0a .
¿Cómo podrías formalmente expresar la solución de la ecuación de primer grado con una
incógnita?
¡¡Atención!!
Justifica cada paso
realizado con el nombre
de la propiedad
aplicada
¡¡REALIZA LA
VERIFICACIÓN!!
22
Inecuaciones Lineales con una incógnita
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero
cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son ”mayor que”; “menor que”; “mayor o igual que” y
“menor o igual”.
Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos procedimientos que se usan
para resolver una ecuación lineal.
Ejemplos:
1) Resolver 3 8x .
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 8
3 8 8 8
11 que es lo mismo que poner 11
x
x
x x
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide o multiplica por un
número negativo, el sentido de desigualdad cambia.
2) Resolver: 5 12 8 3x x
5 12 8 3
5 8 12 3
3 15
3 3
5
x x
x x
x
x
La interpretación gráfica de la solución de una inecuación es un intervalo del conjunto
de los números reales. Por ejemplo:
La solución del primer ejercicio es 11x , representado por el intervalo ;11 , lo que
gráficamente seria:
La solución del segundo ejemplo será: 5;
Ecuaciones con valor absoluto
Recuerda que:
a. Si 4x , entonces 2x .
b. Si 2 4x , entonces 2x , es decir que 2 ó 2x x .
Veamos los siguientes ejemplos:
Resuelve la ecuación: 2 2
2 3 7 6 4x
0 5
0 11
23
2 2
2
1 5
1 25 1 25
1 5
1 5 ó 1 5
4 ó 6
x
x x
x
x x
x x
Si realizamos la verificación se podrá observar que los dos valores de x obtenidos
satisfacen la ecuación.
Inecuaciones con Valor Absoluto
Si | |
Si | |
Ejemplos
1) | | Solución: Gráficamente:
Los valores de x que satisfacen la inecuación son los que se encuentran en la zona de
doble rayado. Entones la solución de la inecuación es ( – 7 , 3 ). El uso de paréntesis
indica que los extremos del intervalo no son solución.
2) | | Solución:
Graficamente:
Los valores de x que satisfacen la inecuación son los que se encuentran en la zona
rayada. Entonces la solución de la inecuación es (– , – 3 ] U [ 6 , + ). El uso de
corchetes indica que los extremos del intervalo son solución.
Ecuación cuadrática o de segundo grado
Es la ecuación de la forma:
2 0ax bx c , donde , ,a b c son constantes y 0a .
, ,a b c son los coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente
respectivamente.
24
La Fórmula de Baskara: permite determinar el valor de las raíces de la ecuación 2 0ax bx c .
√
Análisis del discriminante:
Si 2 4 0b ac , la ecuación tiene dos soluciones reales.
2 2
1 2
4 4;
2 2
b b ac b b acx x
a a
Si 2 4 0b ac , la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.
1 2
2
bx x
a
Si 2 4 0b ac , la ecuación tiene no tiene soluciones reales.
Ejemplo: Encontrar las raíces, si es posible, de la ecuación 24 5 6 0x x . Donde
4, 5, 6a b c :
2
1,2
1,2 1 2
1 2
1 2
5 5 4 4 6
2 4
5 25 96 5 11 5 11;
8 8 8
6 16 ;
8 8
3 ; 2
4
x
x x x
x x
x x
Ecuaciones reducibles a ecuaciones de primero y segundo grado
Ecuaciones Racionales
Son aquellas en las cuales la variable se encuentra en uno o más denominadores. En estas
ecuaciones deberá tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los denominadores de
las expresiones, para que estén definidas las ecuaciones dadas.
Si tenemos la expresión 4 3 2 6
2 3
x x
x x
, x debe ser diferente de 2 y de 3 para que estén
definidos ambos miembros de la ecuación. Debemos obtener ecuaciones equivalentes a
las dadas, que puedan resolverse con las herramientas que disponemos.
Por ejemplo una forma de resolver es:
Como se trata de una proporción, el producto de los extremos es igual al producto
de los medios, por lo tanto:
4 3 3 2 6 2 donde 2, 3x x x x x x .
25
Al aplicar la propiedad de las proporciones, aplicamos también el procedimiento utilizado
al resolver ecuaciones fraccionarias algebraicas, es decir, multiplicar ambos miembros de
la igualdad por 3 2x x . Como esta expresión contiene a la variable, es posible
introducir raíces extrañas, por los que se hace necesario verificar las raíces que se
obtengan.
Desarrollando los productos expresados en ambos miembros, obtenemos: 2 24 12 3 9 2 4 6 12x x x x x x , operando nos queda:
22 5 3 0x x . Las raíces son 1 2
1, 3
2x x .
Como x debe ser diferente de 3, la única raíz que verifica la ecuación de partida es
1
1
2x .
Hay que tener en cuenta que toda verificación se debe hacer en la ecuación de partida, para que la misma sea válida.
2) Teniendo la siguiente ecuación 6 1
5 5
x
x x
, la solución buscada debe ser diferente
de -5, ya que este número anula los denominadores.
Multiplicando ambos miembros por 5x , queda:
6 1 6 1 5x x x , Como ya dijimos 5x , entonces -5 no es raíz
de la ecuación dada, por lo que decimos que la ecuación no tiene solución.
Ecuaciones irracionales
Son aquellas en las cuales la incógnita aparece bajo el signo radical.
Ejemplo:
1 7x x
El término que tiene la raíz debe quedar solo en un miembro, si hubiese dos raíces, es
conveniente dejar una en cada miembro de la ecuación.
1 7x x , se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
2
1 7x x , desarrollando:
2 2 1 7x x x , sumando 7x a ambos miembros de la ecuación:
2 6 0x x , las raíces de la ecuación son 1 23, 2x x
Verificación: Si 3x , reemplazando en la ecuación de partida vemos que la verifica, por
lo tanto 3 es raíz de la ecuación.
Si 2x , reemplazando en la ecuación de partida, vemos que no la verifica
2 1 7 2
2 1 3
2 4
Por lo tanto -2 no es raíz de la ecuación.
26
TRABAJO PRÁCTICO 2
1) Reduce las siguientes expresiones algebraicas. Escribe a continuación el nombre de
la/s propiedad/es aplicada/s
2) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas
a) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x en el ejercicio c? ¿y en ejercicio w?
b) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x del ejercicio v?
c) ¿En qué ecuación x no puede tomar el valor 1? ¿Por qué?
3) Simplifique y exprese cada respuesta solo con exponentes positivos. Indique qué
valores puede tomar cada letra. Luego, verifique reemplazando las letras por
números:
c)
d)
e) ( )
f)
g) ( )
h) ( )
i)
j)
k)
⁄
l)
⁄
⁄
⁄
m) (
)
⁄
n)
⁄
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
Completa: “Es toda
combinación………
……………………
……………………
…………………….
a) 52 .mm b) 113.kk c) 3
6
x
x d)
9
2
y
y
e) x
xx 33 32 f) 2 6( )y g) xx 5.6
h) 3.( 2 )x x x
i) 3
225
x
xx j)
46 .aa k) t
t 23
l) 3( 2 )z
z
m) 3( 3 )y y
y
n)
x
x
2 ñ)
s5
0 o)
2( 2) 4y
y
p) 2( )x
x
q)
2 3
4
( 2 )
4
x
x r)
1
)1( 5
s
s s)
2
10 x
t) 4
2 1 5( ) .y y u) .x x v) 3x x w) 2 2 2 3. (2 )x x x
25
4) Clasifica las siguientes expresiones con Verdadero y Falso y justifica tu respuesta
3 3) ) 2 5 5 2 5
2 2
)2 3 4 20 )2 3 4 14
1 1) 7 5 2 ) 3 2 5
5 5
7 5 7 5)2 3 5 2 3 2 5 )
2 2 2
5 3 5 2 2 2) )
2 3 2 7 5 7 5
a a a b b b
c d
e a a a f b b
g h
i j
5) ¿Para qué valores de a son ciertas las siguientes igualdades?
5 5 2 5 2 5) )
2 2 2 2
aa b
a a a
6)
2 2
63 3 23
422
) )
) )
) )
c a a d a a
e a a f a a
g a a h a a
7) Resolver las siguientes ecuaciones y realiza la verificación en caso que lo creas
necesario.
a) 1225 x
b) 1497 x
c) 64
12
x
d) 5
21
3
53 x
e) 1227
30
x2
6
x
f) 1132
x
g) 9)2.(5 x
h) 186. x
i) 64 x
j) 2510.3 x
k) 15
2 3
x
l) 8
273 x
m) 41
12
x
n) 932
5
x
o) 12
4
x
p) 918
3
x
q) 21
23
x
r) 236 yy
s) 3
2
( 2 )18
x
x
t) 2
2213
yy
u) 5324
1 y
y
v) (5x 8) ( 2) ( 4)(5 7)x x x
w) 54
4
2
6 22
xx
x) 045x 24 x
8) Expresar mediante inecuaciones e intervalos cada una de las siguientes frases, en los
cuales x R:
26
a) Los valores que no superan a 6.
b) Los valores que están entre –5y 9.
c) Un número x que esta a la derecha de 0.
d) Un número x que esta a la izquierda de 2..
9) Expresar en lenguaje coloquial cada uno de los intervalos siguientes:
5, , , , ,2/1 , 0,7 , 2,4/5
10) Encuentren en cada el o los valores de x, que verifican las siguientes expresiones:
) 3 1 ) 2 3
) 2 1 0 ) 4 1
a x b x
c x d x
11) Señalen en una recta , en cada caso, todos los posibles lugares que podría ocupar el
número x sabiendo que verifica la condición:
) 2 3 ) 2 1
) 3 3 ) 4 3
a x b x
c x d x
12) Indiquen el grado de cada uno de los polinomios siguientes:
a) P(x)= 3 x + 6x 17 25 x b) Q(x) = xx 252
1 2
c),R(x) = xxx 836 23 d) M(z) = 383 24 zzz
13) Siendo P(x) = xxx 43 26 , Q(x) = 252 32 xx y R(x) =3 – x
Calculen: a) P(-2) b) P(0)
c) Q(-1) d) R
3
2
e) P(x) +Q(x) f) 5R(x) –Q(x)
g) P(x) • Q(x) h) Q(x) –P(x)
i) P(x) • R(x) j) P(x) : R(x)
k) P(x) : Q(x) l) Q(x) : R(x)
14) Decida si las siguientes ecuaciones tienen solución real o no. En caso de tener, halle
el/los valor/es que satisfacen las ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
15) Exprese como productos las siguientes expresiones
a)
b)
c)
27
d)
e)
f)
16) Representa en símbolos:
a. Tres números consecutivos
b. Un número impar
c. Dos números pares consecutivos
d. El opuesto de un número
e. El inverso de un número distinto de cero
f. Todo número mayor que 5
g. x está comprendido entre 1 y 2
h. 2 es un número real
i. x está comprendido entre 4 y 6 o es igual a 4 o es igual a 6
j. el cuadrado de un número disminuido en 2
k. el cuadrado de: un número dividido 2
l. la mitad del triple de n
m. el cubo de: a aumentado en 8
17) El lenguaje algebraico de las ecuaciones se suele complementar de manera muy
efectiva con dibujos auxiliares en los que se piensan y se plantean los símbolos
apropiados para una formulación correcta. Use ese procedimiento para dar una
fórmula que exprese que:
a) El área de un rombo se obtiene tomando la mitad del producto de sus
diagonales.
b) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la medida de su base
por la medida de su altura.
c) El perímetro del rectángulo es el duplo de la suma de los dos lados diferentes.
18) Resuelve los siguientes problemas
a) Dentro de 12 años Lucas tendrá 27 ¿Qué edad tiene ahora?
b) Hace 7 años Juan tenia 16 ¿Cuál es su edad?
c) Si Maria tuviera el doble del dinero que tiene ahorrado podría comprarse un
automóvil de $35000 y le quedarían $7000 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?
d) Un hombre comenzó una dieta y en seis meses redujo su peso a la mitad,
continuó con la dieta y bajo 14 kg llegando a los 71 kg ¿Cuánto pesaba antes de
comenzar la dieta?
e) Si a 8 se le resta la raíz cúbica de un número y al resultado de la resta se lo
multiplica por 6 se obtiene 64 ¿Cuál es ese número?
f) Dentro de 2 años tendré el triple de la edad que tenia hace 10 ¿Qué edad tengo
ahora?
g) El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años es igual al triple de la
edad que tenía hace 5 ¿Qué edad tiene Guillermo?
h) Un triángulo isósceles mide 155m de perímetro. Si su base mide las 2/5 partes
del perímetro. ¿Cuánto mide cada lado?
i) La base de un triángulo isósceles mide 32 cm y uno de los lados iguales es 5/8
de la base. Calcular la altura del triángulo.
j) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 cm. La hipotenusa y el otro cateto
tienen por medida dos números consecutivos. Calcular el perímetro y el área del
triángulo.
28
k) En un triángulo rectángulo las longitudes de sus catetos son 1x y 2x , y
longitud de la hipotenusa es 2 1x . ¿Cuánto miden los lados del triángulo?
¿Cuál es su perímetro y cuál es su área?
19) Considera la siguiente afirmación: “Si al cuadrado de un número le restamos el
producto del siguiente por el anterior, el resultado da siempre 1”. ¿Es cierto? ¿Cómo
lo explicas? ¿Se cumple para todos los números o sólo para algunos? ¿Por qué?
¿Puedes considerar como número el 2/7?
20) Dada la ecuación: 264
32
x
x
a) Trata de anticipar: sin resolverla, escribe qué se lee a través de su
expresión simbólica. ¿tendrá solución? ¿por qué?
b) Ahora, resuélvela por el procedimiento que consideres conveniente y
luego verifica si tu anticipación fue acertada completamente o en algunos
aspectos.
19) Escribe en los siguientes trinomios el término que hace falta que el trinomio sea
cuadrado perfecto. Luego, factorea.
a) ….. + 2 x + 1 b) 4 x2 – 12 x + …… c) 36 x
2 - …… + 4 b
2
20) Resuelve la ecuación (x – 3). (x – 4 ) = 0 (Ten en cuenta de que para que un
producto de varios factores sea 0, es suficiente que uno de ellos sea 0). ¿Qué tipo de
ecuación es?
a) Efectúa el producto (x – 3 ). (x – 4 ). ¿Has obtenido x2 – 7x + 12?. Resuelve
esta última ecuación igualando previamente a 0.
b) Observa los coeficientes -7 y 12. ¿Encuentras alguna relación entre ellos?.
c) Prueba lo observado escribiendo una ecuación que tenga como raíces 2 y 3.
29
FUNCIONES
La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de
Relación – Función. En la vida cotidiana frecuentemente se ha tenido experiencias con
correspondencias o Relaciones.
o En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.
o A cada número le corresponde una segunda potencia
Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con
un segundo conjunto, llamado Codominio o Imagen, de manera que a cada
elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Codominio.
Una Función es un tipo especial de relación a la que se añade la restricción de
que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del
Codominio.
Tanto las relaciones como las funciones pueden ser representadas de varias formas:
utilizando Diagramas de Venn, fórmulas, y la forma más frecuente de representación
gráfica es en un sistema de ejes cartesianos
Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones
La letra x representa a todos los valores del conjunto A que tienen su correspondiente
imagen en B. Se denomina a x variable independiente y al conjunto Dominio de la
función
Como a cada valor de x le corresponde un único valor de y, por eso se dice que y
depende de x o que es una función de x, es decir, y es la variable dependiente
FUNCIÓN LINEAL
Una función f de A en B (f:A→B), es una relación que le hace corresponder a
cada elemento Ax uno y sólo un elemento By , llamado imagen de x por f ,
que se escribe )(xfy . ( y igual a f de x )
El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. La
noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV cuando los filósofos
escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir y representar
gráficamente las variaciones de ciertas magnitudes como la velocidad de un cuerpo en
movimiento o la diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico.
El personaje más influyente en este proceso inicial fue probablemente Nicole Oresme
(1323-1382), en Paris
Una función lineal, definida en , es aquella que a cada número real x le hace
corresponder otro número real que responde a la expresión: y = mx+b, o bien
f(x)=mx+b, con mϵ y bϵ A "b " se lo llama ordenada al origen y " m " se la
denomina pendiente
30
La representación gráfica de esta función es una recta La ordenada al origen es la ordenada del punto donde la gráfica de la función
corta al eje y. El punto (0;b) pertenece a la recta La pendiente representa cuánto varía y por cada unidad que aumenta x. La
pendiente es un número asociado a la inclinación de la recta
Si conocemos las coordenadas de dos puntos de una recta podemos determinar el
valor de su pendiente mediante la fórmula:
Para graficar:
Si conocemos la pendiente de la recta y la ordenada al origen, podemos graficar la recta.
Ejemplo: Graficar la recta: 13
2 xy
Solución: Se debe ubicar primero la ordenada al origen, o sea 1, que corresponde al
punto 0,1 . Siempre la ordenada al origen se la ubica en el en el eje y . A partir de ese
punto se aplica el concepto de pendiente: desplazar hacia arriba dos lugares en sentido
positivo del eje y , por que el valor de m es positivo, (de ser negativo se debe desplazar
hacia abajo) y se desplaza tres hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x ). Por
esos dos puntos se traza la recta.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función lineal, definida en , es aquella que a cada número real x le hace
corresponder otro número real que responde a la expresión
31
a ϵ es el coeficiente cuadrático b ϵ es el coeficiente lineal c ϵ es el término independiente La representación gráfica es una parábola, cuyos elementos se detallan:
A tener en cuenta
Los ceros o raíces son los puntos donde la parábola corta al eje x. Las coordenadas
se obtienen haciendo y = 0 , es decir La solución de esta
ecuación se obtiene mediante la aplicación de la fórmula de Baskara arrojando como
soluciones
La abscisa del vértice se puede obtener de dos maneras:
o bien
Ademas de este modo el vertice tiene coordenadas
La ecuación del eje de simetría es
Para graficar
Se debe determinar por lo menos tres puntos: las dos raíces y el vértice.
Ejemplo: Graficar 2( ) 5 6f x x x
Solución: La ordenada al origen es 6 , por lo tanto se sabe que el punto 0, 6
pertenece a la función.
Para hallar el vértice de la parábola: 5
2 2v
bx
a
El valor vy puede encontrase reemplazando el valor vx obtenido en la función original.
25 5 5 25 25 25 50 24 49
5. 6 62 2 2 4 2 4 4
f
El vértice están en 5 49
,2 4
Ahora las raíces:
Vértice
Raíces o
ceros
Eje de simetría
32
2
1,2
2 1
1,2
2
4
2
5 71
5 5 4 1 6 5 49 2
5 72 1 26
2
b b acx
a
x
x
x
Los ceros o raíces de la función están en 6,0 y 1,0 .Con estos tres puntos se puede
trazar la parábola:
Función Valor Absoluto
Recordemos que el Valor Absoluto o Módulo de un número real cualquiera x , que se
simboliza x , es la distancia entre x y cero en la recta numérica. Como es una medida
de distancia, el valor absoluto nunca puede ser negativo, esto quiere decir que 0x . Si
se considera la función valor absoluto, para todos los números reales, su fórmula es
si 0
si 0
x xf x x
x x
El dominio es el conjunto de los números reales
A tener en cuenta:
La función de la forma f x x c con c una constante se desplaza del origen
hacia la izquierda o derecha dependiendo el valor de c .
Si 0c , la función x queda desplazada c unidades hacia la izquierda.
Si 0c , la función x queda desplazada c unidades hacia la derecha.
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
x
-5
-10
-12,5
y
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
33
2f x x 1f x x
La función de la forma f x x b con b una constante se desplaza del origen
hacia abajo o hacia arriba dependiendo el valor de b .
Si 0b , la función x queda desplazada b unidades hacia la abajo.
Si 0b , la función x queda desplazada b unidades hacia la arriba.
1f x x 1f x x
y
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1
y
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
34
TRABAJO PRÁCTICO 3
i. El siguiente gráfico representa la evolución del precio de la carne de
cordero durante 13 meses.
a) Analiza si es función. Justifica
b) ¿Qué valor tenía la carne de cordero durante el mes de abril?
c) ¿En qué mes obtuvo el precio más alto?
d) Describe lo que ocurrió con la carne de cordero durante este lapso de tiempo.
ii. Dos amigos hicieron una excursión en bicicleta a un bosque que está
a 44 km de su pueblo, para llegar al cual hay que seguir un itinerario
con subidas y bajadas. Están allí un rato y regresan.
Mirando la gráfica contesta:
a) ¿Qué significa cada cuadrito en el eje horizontal de la gráfica? ¿y en el eje
vertical? b) ¿A qué hora salieron?
c) ¿Cuántos km hay desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima? ¿Cuánto
tiempo tardaron en subirla?
d) ¿Cuántos km hay en bajada? ¿Qué tiempo se tardaron?
e) ¿Cuánto tiempo se demoraron en el bosque?
f) ¿Cuánto tardaron en ir del pueblo al bosque? ¿Y del bosque al pueblo? ¿A qué
crees que puede deberse la diferencia?
35
g) Esta relación tiempo – espacio ¿es función?, justifica tu respuesta
iii. Grafique: a) 52 xy b) 5y c) x= 0,55
iv. Dadas las ecuaciones a) Responde:
a) Qué valor corresponde a la variable dependiente ( y ), cuando la variable
independiente ( x ) toma el valor (-1) en cada una de las ecuaciones. Muestre su
respuesta en el gráfico.
b) Qué valor corresponde a la variable independiente ( x ), cuando la variable
dependiente ( y ) toma el valor 3 en cada una de las ecuaciones.
c) Obtiene las coordenadas de los puntos donde cada recta corta a los ejes
coordenados
d) Explique cómo encontró los valores pedidos.
v. Las rectas están relacionadas con las magnitudes directamente
proporcionales, consideremos los dos ejercicios siguientes.
a) Si el kilogramo de pan vale $ 2,4. ¿Cuánto vale 2 kg? ¿Cuánto vale medio kg?
¿Cuánto vale 5 kg?
Encuentre la ecuación de la recta que relaciona el peso con el precio y Realice el
grafico.
b) Si la bajada de bandera del taxi vale $ 2 y el Kilómetro de recorrido $ 0,9
¿Cuánto cuesta un viaje de 4 km?¿Cuánto cuesta un viaje de 2 km? ¿Cuánto
cuesta un viaje de 7 km?
Encuentre la ecuación que relaciona los kilómetros con el costo del viaje y
Realice el grafico.
vi. Grafique las siguientes rectas en un mismo sistema de ejes
cartesianos. Luego, analice y obtenga conclusiones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
vii. Obtenga la ecuación de la recta que pase por el punto dado y tenga la
pendiente indicada:
a)
b)
c)
d)
e)
viii. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados:
a)
b)
c)
ix. Determinar las ecuaciones de las siguientes rectas, indique las
pendientes y las ordenadas al origen
36
x. Dos rectas paralelas a los ejes coordenados se intersecan en el punto . ¿Cuáles son sus ecuaciones?
xi. Las rectas y son perpendiculares entre sí y se interceptan en el
punto . tiene pendiente igual a
. Con la pendiente de
determine la ordenada al origen de esa recta. xii. Toda recta horizontal es perpendicular a cualquier recta vertical. ¿Por
qué se excluyeron esas del resultado que dice que las rectas son
perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas?
xiii. Indique la ecuación que corresponde a cada gráfica.
y = x2 + 2 y = x
2 – 3 y = 2 x
2 + 2 y = – 2 x
2 + 2
37
xiv. Encuentre los puntos donde la recta y = 4 corta a cada parábola.
Señálelos en el gráfico.
Encuentre los puntos donde la recta x – 2 = 0 corta a cada parábola. Señálelos en el
gráfico
xv. Dadas las siguientes funciones determina:
i. Las coordenadas del vértice.
ii. La ecuación del eje de simetría.
iii. Las raíces.
iv. La imagen.
Luego, grafica.
a)
b)
c)
d)
e)
xvi. Encuentre la coordenada y de las funciones a) y b) del ejercicio
anterior cuando la variable independiente toma el valor ¾. Encuentre
la coordenada x de las funciones c) y d) del ejercicio anterior cuando
la variable dependiente toma el valor 6.
xvii. Coloca valores a a y a b para que la parábola 22 bxaxy pase
por el punto
(–2,1). Comprueba en un gráfico que tu conclusión es correcta
xviii. Dados los siguientes gráficos escriba la ecuación correspondiente
38
xix. Los vértices de un triángulo están en . a) Deduzca las ecuaciones de las rectas que forman a los lados del triángulo.
b) Luego, deduzca las ecuaciones de las tres alturas del triángulo
xx. Los vértices de un triángulo están en . Deduzca las ecuaciones de las rectas que forman a los lados del
triángulo.
Luego, deduzca las ecuaciones de las tres alturas del triángulo.
xxi. Indica cual ecuación corresponde a qué gráfica. Explica porqué.
Encuentra dos puntos de cada función
y = │x +3│ , y = │x -2│ , y = –│x – 5│ , y = –│x – 1│ e y = │x │.
xxii. Dados los siguientes gráficos escriba la ecuación correspondiente
39
TRIGONOMETRÍA
Razones Trigonométricas
Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados
de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
En el siguiente triangulo rectángulo se describen los lados de los mismo en relación al
ángulo .
Para cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es el
adyacente y otro es el opuesto.
A tener en cuenta:
Las razones trigonométricas dependen exclusivamente de la amplitud del ángulo
agudo considerado, no de las longitudes de los lados. (Puesto que de cambiar éstas,
obtendremos un triángulo rectángulo semejante y sus lados serán proporcionales al
triángulo dado). Por ello, podemos hablar de funciones trigonométricas
Solo en triángulos rectángulos se pueden definir todas las funciones
trigonométricas de sus ángulos agudos.
Solo en triángulos rectángulos vale el Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo están bien definidas todas las funciones trigonométricas,
ya que son cocientes de longitudes, es decir, de números positivos.
En el caso del seno y coseno al dividir un cateto en la hipotenusa, el numerador es
menor que el denominador siempre, por ello se debe obtener un numero
estrictamente menor a 1 y mayor que 0.
En el caso de la tangente se puede dar que el numerador sea menor que el
denominador o la situación contraria, por ello se puede obtener cualquier número
positivo.
hipotenusa
Cateto adyacente
Cateto opuesto
El seno de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto a un ángulo y la
hipotenusa.
.Cat Op
senHip
El Coseno de un ángulo es el cociente entre el cateto adyacente a un ángulo y la
hipotenusa: .
cosCat Ady
Hip
La Tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente a mismo ángulo: .
.
Cat Optg
Cat Ady
También podemos definir sus recíprocas:
1 1 1sec ; cosec y cotg
cos sen tg
40
En los triángulos rectángulos no se pueden definir las funciones trigonométricas de
90º ya que no se puede hablar de cateto opuesto o adyacente porque ambos catetos
forman el ángulo.
En el triángulos rectángulos no se pueden definir las funciones trigonométricas de
0º, dado que si entonces no hay triángulo.
Los ángulos agudos de los triángulos rectángulos, y , son complementarios,
por ello se puede concluir que:
sen cos cos sen
tg cot g cot g tg
sec cosec cosec sec
Relaciones entre los valores de las funciones trigonométricas de un mismo ángulo
Identidad Trigonométrica Fundamental: Esta identidad relaciona el seno y coseno de
un mismo ángulo
2 2sen cos 1
También se llama Relación Pitagórica, porque surge de aplicar el teorema de Pitágoras:
A partir de esta relación podemos deducir:
2 2sen 1 cos cos 1 sen
En este caso, de triángulos rectángulos se debe seleccionar los valores positivos para el
seno y coseno.
Por definiciones, se puede obtener las diferentes relaciones entre los valores de las
funciones trigonométricas de un mismo ángulo
Resolución de Triángulos Rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo significa determinar el valor de sus tres ángulos y sus
tres lados. Para ello es necesario tener como datos tres de sus elementos y siempre uno
de ellos debe ser un lado.
Para resolver un triángulo rectángulo, como ya conocemos el ángulo recto, se debe
conocer al menos el valor de uno de sus ángulos agudos y un lado, o el valor de los dos
lados.
Dados un ángulo agudo y uno de sus lados Ejemplos:
b
a c
A C
B
Datos: 38ºb
y la hipotenusa A= 4 cm
41
90º 90º 90º 38º 52ºa b a b a a
Para calcular los otros lados, se debe recurrir a una razón trigonométrica que relacione
el lado dado con el que se desea calcular.
Para calcular el cateto adyacente:
cos cos
4 cos38º 3,16
Cb C A b
A
C cm C cm
Para calcular el cateto opuesto:
4 38º 2,48
Bsenb B A senb
A
B cm sen B cm
Dados dos de sus lados
Para calcular el lado C, se debe aplicar el Teorema de Pitágoras:
2 22 2 2 2 2 2 15 12 9A B C C A B C cm cm C cm
Para calcular el ángulo b:
120,8 53 7 '48''
15
B cmsenb senb senb b
A cm
Para calcular el otro ángulo, se razona de manera similar:
12cos cos cos 0,8 36 52'12''
15
B cmc c c c
A cm
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Resolver un triángulo es obtener sus elementos a partir de uno de ellos. Las
herramientas fundamentales son el Teorema del Seno y el Teorema del Coseno.
Teorema del Seno
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
C
A
B a c
c
B A
a C b
b
Datos: A=15 cm B = 12 cm
42
sen sen sen
A
A
sen sen sen
a b c
B C
B C
a b c
Teorema del Coseno
En todo triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que
determinan.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos
cos
cos
A B C BC a
B A C AC b
C A B AB c
Estos teoremas se demuestran usando el Teorema de Pitágoras y las definiciones de las
funciones trigonométricas en triángulos rectángulos.
A tener en cuenta:
Si entre los datos de un problema hay un ángulo y su lado opuesto, se aplica el teorema del seno.
En otro caso se aplica el Teorema del coseno.
Si la incógnita es un ángulo, siempre que se pueda es preferible usar el
teorema del coseno, ya que se obtiene una única solución.
Como estos teoremas se aplican para cualquier tipo de triángulo, puede que uno de los ángulos sea obtuso, en ese caso, el coseno es negativo.
Cuando el seno de un ángulo es positivo, puede ser que corresponda a un ángulo agudo u obtuso
1 1 cossec ; s ec ; cot g
sen cos senco
Funciones Trigonométricas de un Ángulo
Es posible definir las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier amplitud.
Para ello es necesario considerar ángulos dirigidos.
Un ángulo dirigido es un ángulo con vértice en el origen de un sistema de ejes
cartesianos, que tiene lado inicial, lado terminal, amplitud y sentido. Se considera
sentido positivo al sentido contrario al que giran las agujas del reloj, y sentido negativo,
al sentido en que giran las agujas del reloj. El lado inicial del ángulo es el semieje
positivo de las x .
Cuando dos ángulos tienen el mismo lado terminal se dice que son coterminales. Son
ángulos que difieren en múltiplos enteros de 360º (2 ) .
c
B A
a C b
43
Por ejemplo: y .360º , o bien, y 2 , con k k k IN son ángulos coterminales
Representación gráfica de las funciones trigonométricas
Función Seno:
[ ]
Función coseno:
[ ]
A tener en cuenta:
Los valores de senx y del cos x se repiten en el mismo orden a medida que x
efectúa más de un giro. Cuando una función posee esta propiedad se dice que es
periódica.
Las funciones ( )f x senx y ( ) cosf x x con periodo de 360° o 2
Definición: Si ( ) ( )f x f x p , para toda x, y p es el menor número positivo
para el cual dicha relación es válida, entonces ( )f x es una función periódica de
período p
La función tangente es una función periódica con período de 180° o , donde x
no toma valores de 90°, 270° y los valores de ángulos coterminales con ellos
44
TRABAJO PRÁCTICO 4
1) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = sen x
2) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = cos x
3) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = tan x
4) Dado el triángulo CBA
calcular los datos que faltan:
a) mBCC 100;º60ˆ
b) cmBCB 7;º50ˆ
c) mACmAB 8;11
d) mABC 15;'40º30ˆ
e)
5) En los siguientes triángulos, calcular lo que corresponda:
b) a)
datos:
º45
11
3,13
C
cmb
cma
datos:
º90
º34
3,16
B
C
cmc
6) Determinar la medida entre los puntos del terreno, que se encuentran separados por una laguna, como se indica en el grafico: b) a)
datos:
mb
ma
32,27
15,32
datos:
mC
mc
25,42
50,20
7) Un topógrafo necesita saber la medida del ancho de un lago. Parado en un
punto C de la orilla, localiza con sus instrumentos dos puntos A y B en lados opuestos del mismo. Si C esta a 5Km de A y a 7,5 Km. de B y el ángulo con vértice en C, mide 30º. ¿Cuál es el ancho del lago?
45
8) Calcular la longitud de los lados de un paralelogramo, si una de sus diagonales mide
96 cm y forma con ellos ángulos de 40º y 35º.
9) Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) Un edificio proyecta una sombra de 20 m de largo. Si el ángulo de visión desde la
punta de la sombra al punto más alto del edificio es de 69º, ¿Cuál es la altura del
edificio? (el ángulo de visión se mide respecto de la horizontal)
b) Desde un acantilado de 50 m de altura se ve un barco, si el ángulo de la visual es de
70º. ¿A qué distancia del acantilado se encuentra el barco?
c) Para conocer la altura de la torre hemos medido el ángulo que forma la visual al
punto más alto, obteniendo un resultado de 43º. Al acercarnos 15 m hacia la torre
obtenemos un nuevo ángulo de 57º, ¿cuánto mide la torre?
d) Para calcular la altura de un edificio un hombre que estaba ubicado a 150 m de él
calcula que el ángulo de elevación es de 20º; si la altura del hombre es 1,70 m, ¿cuál es
la altura aproximada del edificio?
e) La parte superior de una escalera de 20 m está recostada contra el borde del techo de
una casa. Si el ángulo de inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿cuál
es la altura de la casa?
f) El asta de una bandera está localizada al borde de un precipicio de 50 m, a la orilla de
un río de 40 m de ancho. Un observador al lado opuesto del río mide un ángulo de 3º
entre su línea de observación a la punta de la bandera, y su línea de observación a la
cima del precipicio. Encuentra la altura del asta de la bandera.
g) Dos lados de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de los ángulos iguales
25º. Resuelve el triángulo.
h) Determina la altura de un árbol si desde el punto situado a 20 m de su base se
observa su copa con un ángulo de 65º 23’.
i) La sombra que proyecta Luis al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo
que forman los rayos solares con el suelo es 37º. ¿Cuánto mide Luis?
j) Un globo se encuentra a 150 m de altura. Desde un punto, la línea visual forma un
ángulo de 37º 4’. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra el globo del observador?
10) Prepara, individualmente, un "machete" lo más detallado posible que incluya todas
las consideraciones a tener en cuenta referido a lo aprendido (no sólo las fórmulas
sino todas las aclaraciones necesarias para evitar errores comunes o que ellos han cometido y las dificultades) .