curso de ingreso matemÁtica 2015 - exactas.unca.edu.ar · universidad nacional de catamarca...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

CURSO DE INGRESO

MATEMÁTICA

2015

CARRERAS:

LICENCIATURA EN FÍSICA

PROFESORADO EN FÍSICA

LICENCIATURA EN QUÍMICA

PROFESORADO EN QUÍMICA

TÉCNICO QUÍMICO UNIVERSITARIO

DOCENTE RESPONSABLE:

LIC. MELINA BORDCOCH

AUXILIARES:

LIC. DAVID H. LUCERO LIC. PABLO N. KONVERSKI

PROF. JULIA CABEZA PROF. EDUARDO ZARATE

FaCEN_UNCa/Curso de Ingreso - Matemática 2015

Docente Responsable: Lic. Melina Bordcoch Página 2

TEMA 1: UNIDADES DE MEDICION

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.

UNIDADES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL.

Tanto la Física como la Química son ciencias naturales o experimentales. De manera

inevitable surge la necesidad de medir. Los experimentos requieren mediciones y los resultados

de esas mediciones suelen describirse con números acompañados de la unidad correcta. Las

mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observadores puedan

duplicar en distintos lugares. El sistema empleado por los científicos e ingenieros de todo el

mundo es el sistema métrico, conocido desde 1960 por su nombre oficial: Sistema Internacional

(SI). La siguiente tabla nos muestra las unidades fundamentales de SI:

Tabla 1: unidades fundamentales del SI

MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Intensidad de la corriente eléctrica Ampere A

Temperatura termodinámica Kelvin K

Cantidad de materia Mol mol

Intensidad luminosa Candela cd

Angulo plano Radián rad

Angulo solido estereorradián sr

Para algunas magnitudes existen otras unidades que no pertenecen al SI. En países

anglosajones, por ejemplo, la longitud se mide en yardas o también en millas, la masa en onzas,

la temperatura en grados Fahrenheit (°F), entre otras. Las que cobran mayor importancia en

nuestra cotidianeidad son minutos (min), horas (h), días para medir el tiempo; grados (°),

minutos (´) y segundos (´´) para medir ángulos. Las equivalencias con las unidades del SI son:

min601 h

s60min1

rad 180

'601

''60'1

Ejemplos:

1. ¿Cuántos segundos hay en 27 minutos?

2. ¿Cuántos segundos hay en 1:15 hora?

3. ¿Cuántos segundos hay en 1,35 horas?

4. ¿Cuántas horas contienen 100.000 segundos?



Solución: resolveremos utilizando Regla de Tres Simple (RTS).

1. El dato está en minutos y la incógnita en segundos, por lo tanto, la RTS estará

encabezada por la equivalencia entre minutos y segundos:

1 min ----------- 60 s

27 min --------- X s

Y resolvemos la incógnita X

ss

X 1620min1

60min27

2. El dato 1:15 hora puede considerarse por separado, por un lado 1h y por el otro 15 min.

Así, tendremos dos RTS distintas, la primera estará encabezada por la equivalencia

entre horas y segundos y la segunda por la equivalencia entre minutos y segundos:

1 h ----------- 3600 s

No es necesario resolver.

1 min ----------- 60 s

15 min --------- X s

Resolviendo la incógnita X

ss

X 900min1

60min15

Por último, sumamos los dos resultados obtenidos:

1:15h=3600s + 900s = 4500 s

que es el resultado buscado.

3. El dato está en horas y la incógnita en segundos, por lo tanto, la RTS estará encabezada

por la equivalencia entre horas y segundos:

1 h ----------- 3600 s

1,35 h ------- X s


sh

shX 4860

1

360035,1

que es la solución buscada.

4. El dato está en segundos y la incógnita en horas, por lo tanto, la RTS estará encabezada

por la equivalencia entre horas y segundos:

1 h ----------- 3600 s

X h ----------- 100.000 s




hs

shX 77,27

3600

1000001

que es la solución buscada.

Ejemplos:

1. ¿A cuántos radianes equivalen 90°? ¿ y 130°?

2. Un ángulo de 2

3rad, ¿a cuántos grados equivale? ¿Y uno de 1 rad?

Solución: utilizaremos RTS en cada caso.

1. 180° ---------- rad radrad

X2180

90

90° ---------- X rad

180° ---------- rad radradrad

X

72,018

13

180

130

130° ---------- X

2. 180° ---------- rad

270

2

1803

radX

X ---------- 2

3 rad

180° ---------- rad

3,571801

rad

radX

X ---------- 1 rad

Se entiende por unidad fundamental a aquella unidad que no se compone de otras

unidades en oposición a la unidad derivada, que es aquella que se construye a partir de la

combinación de unidades fundamentales. Por ejemplo, al calcular velocidad es necesario

obtener el cociente:

tiempo

longitudvelocidad .

Por observación de la Tabla 1 la unidad de velocidad en el SI es:

s

mv ][ .



Por lo tanto, para calcular la velocidad es necesario conocer el cociente entre la

distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrer esa distancia. Como consecuencia la

unidad de velocidad es unidad de longitud dividida en unidad de tiempo. Así, es claro que la

velocidad es una magnitud derivada y la longitud y el tiempo son magnitudes fundamentales.

Otro ejemplo de magnitudes derivadas muy utilizadas en la vida cotidiana son las

unidades de área y de volumen, como se detalla a continuación:

2)(longitudlongitudlongitudarea

3)(longitudlongitudlongitudlongitudvolumen

De esta manera se evidencia que en el SI las unidades de área y longitud son:

2][ mA

3][ mV

Sin embargo, en ocasiones suelen utilizarse otras unidades de área y volumen como

hectárea (ha) y litro (l) que guardan una equivalencia con el SI:

21001 mha

lm 10001 3

PREFIJOS DE UNIDADES.

Ya definidas las unidades fundamentales es fácil introducir unidades más grandes y más

pequeñas para las mismas cantidades físicas. En el sistema métrico estas nuevas unidades se

relacionan con las unidades fundamentales por medio de múltiplos de 10 ó 1/10. Así, 1km son

1000 m y 1 cm son 1/100 m. Es común expresar estos múltiplos en notación exponencial:

mmmkm 33 1010110001

mmmcm 22 10101100

11

Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al nombre de

la unidad fundamental. Por ejemplo, el prefijo “kilo” siempre indicará una cantidad 1000 veces

mayor, así:

mkm 3101

gkg 3101

WkW 3101

y el prefijo “centi” indica una cantidad 100 veces menor, así:



mcm 2101

gcg 2101

lcl 2101

Observe que el prefijo “kilo” está representado por la letra o símbolo “k” en el lado

izquierdo de la igualdad y es sustituido por 310 en el lado derecho de la misma. De la misma

manera, el prefijo “centi” se representa con el símbolo “c” y es sustituido por 210. La siguiente

tabla detalla los prefijos estándar del SI, el factor que representa y el símbolo que utiliza:

Tabla 2: prefijos estándar en el SI

FACTOR PREFIJO SIMBOLO 1810 exa E

1510 peta P

1210 tera T

910 giga G

610 mega M

310 kilo k

210 hecto h

10 deca da

110 deci d

210 centi c

310 mili m

610 micro

910 nano n

1210 pico p

1510 femto f

1810 atto a

CONVERSION DE LONGITUD, AREA Y VOLUMEN EN EL SISTEMA METRICO.

USO DEL FACTOR DE CONVERSION.

Una vez que se han introducido los prefijos, es importante conocer el pasaje de unidades

de áreas y volúmenes. Como ya se vio en la Tabla 2, los múltiplos y submúltiplos de las

longitudes son:



Por ejemplo, si se requiere conocer cuántos mm hay en 12,5 dam hacemos

mmmm 125000101010105,12

mmmm 125000100005,12

multiplicamos cuatro veces por 10, ya que hay 4 lugares entre el múltiplo dam y el submúltiplo

mm. Pero dado que 1000010101010 , multiplicar 4 veces por 10 es igual a multiplicar

una sola vez por 10.000; de manera equivalente movemos la coma 4 lugares hacia la derecha.

¿Qué significado tiene el factor 10.000? Básicamente dice que en 1 dam se tienen 10.000 mm.

Si, en cambio, se requiere conocer cuántos km hay en 50000 cm hacemos

kmkm 5,010:10:10:10:10:50000

kmkm 5,0100000:50000

Es decir, dividimos 5 veces en 10 ya que existen 5 lugares entre el submúltiplo cm y el múltiplo

km. Pero dado que

100000:100000

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1 ,

dividir 5 veces en 10 es igual a dividir una sola vez por 100.000 lo cual implica que para

resolver se debe mover la coma 5 lugares hacia la izquierda. Aquí, el factor 100.000 significa

que en 1km se tienen 100.000 cm.

De manera similar se trabaja con los múltiplos y submúltiplos de las áreas y volúmenes.

En el caso de las áreas se tiene

donde se aprecia claramente que en lugar de multiplicar (dividir) por 10 cada vez que se pasa de

un múltiplo a otro menor (mayor) se multiplica (divide) por 100. En el caso de los múltiplos y

submúltiplos de volumen se tiene

donde se ve que el factor de conversión entre un múltiplo y otro es de 1000.

Ejemplos:

1. Determine cuántos m2 tiene 23,45 km

2.

2. Calcule cuantos m3 se tienen en 150.000 mm

3.



Solución:

1. El valor se da en km2 y debemos calcular en m

2. Como existen 3 lugares entre km

2 y m

2

debemos multiplicar 3 veces 23,45 por 100, o directamente una sola vez por 1.000.000.

Así:

22 23450000000.000.145,23 mm

que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000 implica que existen

1.000.000 de m2 en 1 km

2.

2. El valor se da en mm3 y debemos calcular en m

3. Como existen 3 lugares entre mm

3 y

m3 debemos dividir 3 veces 150.000 en 1000 o una sola vez en 1.000.000.000. Así:

33 00015,0000.000.000.1:000.150 mm

que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000.000 implica que existen

1.000.000.000 de mm3 en 1 m

3.

Si presta suficiente atención, verá que en los ejemplos anteriores la unidad original

desaparece tanto del lado izquierdo como del derecho de la igualdad. Esto se ve más claramente

si procedemos de la siguiente manera:

2

2

22 23450000

1

000.000.145,23 m

km

mkm

3

3

33 00015,0

1000000000

1150000 m

mm

mmm

Los factores 2

2

1

000.000.1

km

m y

3

3

1000000000

1

mm

m se denominan factor de conversión y

se utilizan para obtener equivalencias entre unidades distintas de manera directa. Tal vez los

ejemplos expuestos anteriormente no sean el mejor reflejo de lo útil que resulta el factor de

conversión ya que el mismo resultado puede obtenerse simplemente moviendo la coma el

número adecuado de veces en el sentido correcto. Vea el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

1. Una partícula se desplaza con una velocidad constante igual a s

mv 5 . exprese esta

velocidad en km/s, m/h y km/h.

Solución:

1. Se utilizará el factor de conversión en cada caso,

s

km

m

km

s

m005,0

1000

15



h

m

h

s

s

m18000

1

36005

h

km

h

s

m

km

s

m18

1

3600

1000

15

NOTACION CIENTIFICA.

Resulta conveniente y cómodo el uso de la notación científica cuando los resultados de

las mediciones son números muy pequeños o muy grandes. Cuando se usa la notación científica,

el resultado se escribe como un número comprendido entre cero y nueve multiplicado por la

potencia de diez correspondiente. Siga con atención los siguientes ejemplos:

Ejemplos:

1. El diámetro del planeta Tierra es de 12.800km. Exprese el resultado en metros.

2. Los glóbulos rojos humanos tienen un diámetro aproximado de 0,000008 m. Exprese el

resultado en notación científica.

Solución:

1. Como ya se analizó anteriormente, para expresar esta cantidad en metros simplemente

corremos la coma 3 lugares hacia la derecha,

12.800 km = 12.800.000 m

Para expresar el resultado en notación científica, elegimos el número entre 0 y 9

correspondiente, en este caso: 1,28

Para pasar de 12.800.000 a 1,28 hemos movido la coma 7 lugares hacia la izquierda.

Esto significa que para pasar de 1,28 a 12.800.000 tenemos que multiplicar por

10000000 ó de manera equivalente por 107.

Por lo tanto,

12.800.000 m = 1,28 107 m

Es la expresión correcta en notación científica del diámetro del planeta Tierra.

2. En este segundo ejemplo el número adecuado es 8. Ahora bien, para pasar de 8 a

0,000008 tenemos que dividir 8 por 1.000.000. Escribiendo esta división como fracción

1000000

8 es más sencillo advertir que:

mmm 6

6108

10

8

1000000

8

Esta es la expresión en notación científica buscada.



EJERCITACION

1. Use Regla de Tres Simple para resolver:

a. Si 1 mol de urea tiene una masa de 60 g ¿Cuál es la masa de 0,35 moles?

b. Si 1 mol contiene 6,022 x 1023

moléculas ¿Cuántas moléculas contienen 0,35

moles?

c. ¿Cuál es la masa de una molécula de urea? (vea el ejercicio a.)

d. Si un mol de superfosfato tiene una masa de 194 g ¿Cuántos moles hay en 75,8

g?

e. ¿Cuál es la masa de 0,71 moles de superfosfato? (vea el ejercicio d.)

f. Si 1 mol de cualquier gas en CNTP ocupa un volumen de 22,4 l ¿Cuántos moles

hay en 120 l?

g. ¿Qué volumen ocupan 3,65 moles de cierto gas en CNTP? (Vea el ejercicio f.)

h. Un cierto gas tiene una masa molar de 8 g ¿Cuál es la masa de 1000 l?

2. Resuelva utilizando factor de conversión:

a. 3000 seg a min f. 3000 m2 a hm

2

b. 3,45 horas a min g. 6,35 107 mm

2 a m

2

c. 5,17 horas a seg h. 5000 cm3 a m

3

d. 760 seg a horas i. 750 mm3 a dm

3

e. 655 min a horas j. 3,550 m3 a cm

3

3. Resuelva utilizando el factor de conversión adecuado.

a. 50 m/s a km/h

b. 340 m/s a km/h (velocidad del sonido)

c. 3 x 108 m/s a km/h (velocidad de la luz)

d. 1,55 km/h a m/s

e. 35 km/s a km/h y a m/s

4. Pase a notación científica las siguientes mediciones y expréselas apropiadamente

empleando los prefijos adecuados (Tabla 2):

a. 298.000 m i. 13.500.000 km

b. 7.600 m j. 0,000456 ms

c. 0,000067 m k. 20.000 ton

d. 0,0654 g l. 0,00000799 mm

e. 43.000.000 g m. 0,00012 m

f. 0,00000065 m n. 355.000.000 g

g. 0,00000005 s

h. 0,00000255 s



TEMA 2: ECUACIONES

Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son

iguales. Por ejemplo,

835

es una ecuación. Pero no es una ecuación muy interesante, simplemente expresa un hecho

aritmético. La mayor parte de las ecuaciones que estudiamos en álgebra contienen variables. En

esta sección se analizarán dos tipos de ecuaciones, lineales y cuadráticas y los distintos métodos

de resolución.

ECUACIONES LINEALES

El tipo más simple de ecuación es la ecuación lineal, o de primer grado, es equivalente

a una ecuación de la forma

0bax

donde a y b representan números reales con 0a y x es la incógnita que hay que

determinar. Por ejemplo:

1974 x

las letra x representa la variable. La ecuación anterior se resuelve de la siguiente manera:

)7(19)7(74 x Sumar a ambos lados del igual 7

124 x

4

1.12

4

1.4 x Multiplicar a ambos lados por

4

1

3x

La solución es 3x . Para verificar esto se sustituye 3x en la ecuación original y

comprobamos que este valor hace verdadera la ecuación:

3x

197)3(4

1919 Sí se satisface

Otro ejemplo de ecuación lineal:

8347 xx

Dado que la variable aparece a ambos lados, en este caso debe llevarse los términos que

contienen la incógnita a un lado del signo igual y aquellos términos independientes al otro,

483447 xx Sumar 4

1237 xx

xxxx 312337 Restar x3

124 x



4

1.12

4

1.4 x Multiplicar por

4

1

3x

Para verificar la respuesta se sustituye 3x en la ecuación original (verifique usted

mismo/a, se obtiene 17 a ambos lados del igual).

En el siguiente ejemplo se resolverá una ecuación que no parece lineal, pero que se

simplifica a una lineal que es equivalente:

32

12

1

x

x

x

x

)32)(1(

32

12)32)(1(

1

xx

x

xxx

x

x Multiplicar por el producto de

los denominadores

)1)(12()32( xxxx Simplificar la expresión

13232 22 xxxx Aplicar propiedad distributiva

2222 2132232 xxxxxx Restar

22x

133 xx

xxxx 31333 Restar x3

16 x Multiplicar por 6

1

6

1x

Ejercicio 1. Verifique la respuesta del ejemplo anterior.

Ejercicio 2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego, verifique su respuesta.

0123 x xx 3522 12

56

1

3

x

x

x

x

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Las ecuaciones cuadráticas son de segundo grado, es decir, incluye un término con la

variable elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática es equivalente a una de la forma:

02 cbxax



donde cba y , son números reales con 0a .

Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, es decir, la ecuación se satisface

para dos valores de la variable. Al resolver se aplican algunos de los casos de factoreo, como

por ejemplo, binomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, factor común y el método de

Baskara. El siguiente ejercicio servirá a modo de recordatorio de cada uno de ellos.

Ejercicio 3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Luego, verifique su respuesta.

2452 xx 052 x 042 xx 5)4( 2 x

EJERCITACIÓN (Haga caso omiso a la numeración de los ejercicios)

5 – 16. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego verifique su respuesta.

17 – 35. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas.



TEMA 3: EXPRESIONES FRACCIONARIAS

El cociente de dos expresiones algebraicas se conoce como expresión fraccionaria. Un

tipo común de expresión fraccionaria ocurre cuando tanto el numerador como el denominador

son polinomios. Esto se conoce como expresión racional. Por ejemplo,

3

524 3

x

xx

es una expresión racional cuyo denominador es cero cuando___________________________.

Como la división por cero no está definida, al tratar con esta expresión, implícitamente

suponemos que____________________.

En la simplificación de las expresiones racionales se factoriza tanto el numerador como

el denominador y se utiliza la siguiente propiedad de las fracciones:

B

A

BC

AC

donde es posible simplificar los factores comunes del numerador y del denominador. Por

ejemplo:

2

12

2

xx

x

)1)(1(12 xxx Factorizar el numerador

)2)(1(22 xxxx Factorizar el denominador

)2)(1(

)1)(1(

2

12

2

xx

xx

xx

x Sustituir en la expresión original

)2(

)1(

2

12

2

x

x

xx

x Simplificar factores comunes

Ejercicio 2. Reduzca las expresiones fraccionarias mediante simplificación.

xx

x

410

4252

2

4

442

2

x

xx

Si una fracción tiene un denominador de la forma xba es posible racionalizar el

denominador multiplicando el numerador y el denominador por el radical conjugado

xba . Esto es útil gracias a la definición de diferencias de cuadrados, en este caso se tiene

que

xba xba xba 22

donde se ha eliminado la raíz cuadrada en la expresión del lado derecho. Un ejemplo concreto

es el siguiente:



x

x

x

x

xx

1

1

1

1.

1

1

1

1

donde se ha eliminado la raíz cuadrada del denominador. El proceso de racionalización también

puede llevarse a cabo en el numerador, como se verá en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 7. Racionalice las siguientes expresiones:

x21

1

3

21 x

No se debe aplicar propiedades de la multiplicación a la suma. Muchos errores en

álgebra provienen de hacer esto. La tabla siguiente muestra la propiedad correspondiente a la

multiplicación y el ERROR que se comete al aplicar esa misma propiedad a la suma. Lea

atentamente y sea cauteloso en el momento de resolver futuros ejercicios.

Ejercicio 3. Dé valores a las constantes a y b en la tabla anterior y verifique la igualdad y la

no igualdad en cada una de las propiedades.

EJERCITACIÓN

33 -44. En los primeros cinco ejercicios aplique factorización en el numerador y denominador

para simplificar la expresión racional. En los ejercicios restantes, racionalice el numerador o el

denominador, según corresponda.



TEMA 4: TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS

Un ángulo consta de tres partes: un rayo inicial, un rayo terminal y

un vértice (el punto de intersección de los rayos), como muestra la

figura. Un rayo está en posición normal si su rayo inicial coincide

con el semieje positivo de x y su vértice está en el origen.

Utilizamos letras griegas minúsculas para nombrar ángulos o

representar sus medidas. Los ángulos comprendidos entre 0 y 90 se

denominan agudos y los ángulos comprendidos entre 90 y 180 se

llaman obtusos. Los ángulos positivos se miden en el sentido

antihorario y los negativos en el sentido horario.

Ejercicio 1. Grafique un ángulo de 0 , 90 , 180 , 45 y 135 . Asigne “agudo”, “obtuso”,

“recto” y “llano” según corresponda.

Ejercicio 2. Grafique un ángulo de 45 negativo. ¿Cuál es su medida tomada en el sentido

positivo? Haga lo mismo con un ángulo de 90 negativo.

Además de grados, los ángulos pueden medirse en otra unidad denominada radianes.

La medida en radianes se define como: la longitud del arco del sector sostenido por el ángulo.

Dado que el perímetro de un círculo es r2 , el de un círculo unidad (es decir, de radio 1) es

2 . Esto implica que la medida en radianes de un ángulo que mide 360 es 2 . En otras

palabras radianes 2360 , o bien, dividiendo ambos miembros de la igualdad en 2 se tiene

rad 180 Es conveniente conocer las conversiones de los ángulos más usuales, para ello,

resuelva el siguiente ejercicio.

Ejercicio 3. Complete la siguiente tabla. En la primera columna aparecen los ángulos medidos

en grados. Complete la segunda columna con los respectivos valores medidos en radianes

utilizando sólo fracciones de , no utilice decimales. Por último, represente en la tercera

columna el ángulo de cada fila como la porción de la circunferencia trigonométrica

correspondiente, sombreando dicha región.

JAMÁS olvide estos valores y estas gráficas. NUNCA!!!

GRADOS RADIANES (EN

FRACCIONES DE )

PORCIÓN DE LA

CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA

0°

30°

45°



60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°



TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo

recto se denomina hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Ejercicio 4: Dibuje un triángulo rectángulo, señale apropiadamente el ángulo recto y denomine

“h” a la hipotenusa y c1 y c2 a cada cateto.

En todo triángulo rectángulo “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos”. Es decir,

222 )2()1( cch

A esta relación se la llama Teorema de Pitágoras.

Ejercicio 5: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la

hipotenusa? Represente gráficamente.

Ejercicio 6. Dado el triángulo de la figura, calcule la longitud del lado restante según los lados

que se dan como dato.

a) 5,41c y 9h

b) 62 c y 12h

Ejercicio 7. Diga si los siguientes triángulos son

rectángulos.

a) 61c , 82 c y 10h

b) 91c , 52 c y 11h

Ejercicio 8. Proponga un ejemplo de triángulo

rectángulo distinto a los enunciados hasta aquí.

a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está

constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo significa

determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre

ellos.

Dado cualquier triángulo rectángulo se puede considerar las siguientes razones entre los

lados del mismo:

h

c1,

h

c2 y

2

1

c

c

Estas razones no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las

llama razones trigonométricas. Sea uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, las razones

trigonométricas se definen de la siguiente manera:



hipotenusa

opuesto catetosen

JAMÁS OLVIDE ESTAS

EXPRESIONES!!!

hipotenusa

adyacente catetoc os

adyacente cateto

opuesto catetot g

A continuación se muestra un triángulo rectángulo con todos sus lados asignados y un

ángulo señalado.

Las razones trigonométricas para el triángulo de la figura anterior son:

h

c1

h

c.o.sen

h

c2

h

c.a.c os

c2.

c1

c.a.

c.o.t g

Ejercicio 9: Suponga el triángulo rectángulo 61c , 82 c y 10h ,

calcule las tres razones trigonométricas para los ángulos y . Repita

el ejercicio para el triángulo rectángulo 31c , 42 c y 5h .

Las razones trigonométricas facilitan la resolución de un triángulo rectángulo. En los

ejercicios anteriores, por ejemplo, es posible calcular el valor de los ángulos en cuestión, ya que

conocemos todos sus lados. En el caso en que 61c , 82 c y 10h ,

6,010

61

h

csen entonces 87,36)6,0arcsin(

y podría obtenerse el mismo valor de usando cualquier razón trigonométrica. De la misma

manera,



8,010

82

h

csen entonces 13,53)8,0arcsin( .

Usando el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas es posible resolver los

triángulos en base a muy pocos datos. Por ejemplo, para resolver el triángulo 31c , 62 c

calculamos,

71,64563 22 h

5,06

3

2

1

c

ctg 56,26)5,0(arctg

23

6

1

2

c

ctg 44,63)2(arctg

También podemos considerar el siguiente ejemplo 41c 50 hacemos,

2

1

c

ctg

entonces

35,3)50(

412

tgtg

cc

22,5435,3 22 h

18090

entonces 90

y por lo tanto 40509090 .

Ejercicio 10. Resuelva los siguientes triángulos: 51c y 30 ; 5,32 c y 45 .

Retornemos ahora a la circunferencia de radio uno, denominada circunferencia

trigonométrica. Se marca un ángulo arbitrario en ella, por ejemplo de la siguiente figura,



El rayo terminal interseca la circunferencia en el punto A. Proyectando ese punto sobre

el eje x se marca el punto B. De esta manera, se ha determinado un triángulo rectángulo.

Conociendo que el radio de esta circunferencia es 1, las razones trigonométricas del ángulo

son:

bb

h

b

1sin a

a

h

a

1cos

cos

sin

a

btg

De esta manera se ha obtenido un resultado sumamente útil en trigonometría y es la posibilidad

de escribir la tangente de un ángulo en términos del seno y el coseno de ese mismo ángulo, es

decir:

cos

sintg RECORDAR SIEMPRE!!!

Esta identidad es válida para cualquier valor de la hipotenusa, no necesariamente 1, como se usó

aquí. Debe recordar esta identidad, será de mucha utilidad en los cursos oficiales de la carrera

que eligió seguir.

Ahora bien, dado que tenemos una expresión para los catetos del triángulo rectángulo inscripto

en la circunferencia trigonométrica anterior, se escribe a continuación el Teorema de Pitágoras

para dicho triángulo:

222 hba

222 1)(sin)(cos

1sincos 22 RECORDAR SIEMPRE!!!

RECUERDE siempre esta expresión, es una IDENTIDAD esencial y se utilizará en cualquier

curso de Matemática, del Cálculo al Álgebra, incluso cuando estudie los números complejos.



Ejercicio 11. Demuestre que la identidad

cos

sintg sigue siendo válida para cualquier valor

arbitrario del radio de la circunferencia (hipotenusa).

Observe que los catetos del triángulo inscripto en la circunferencia trigonométrica son

iguales a las razones trigonométricas. Dicho al revés, las razones trigonométricas de dicho

rectángulo están representadas por los catetos del mismo. Es posible inferir que para cada

triángulo rectángulo inscripto en una circunferencia trigonométrica existe una manera

geométrica de representar las razones trigonométricas, que se muestran en la siguiente figura:

Ejercicio 12: Trace un ángulo obtuso en una circunferencia trigonométrica (radio 1, es decir,

hipotenusa 1). Represente el seno y el coseno del ángulo (remarque esos segmentos).

Determine el signo de cada uno. Repita el ejercicio para un ángulo cuyo rayo terminal caiga en

el tercer cuadrante y para uno cuyo rayo terminal caiga en el cuarto cuadrante.

Ejercicio 13. Con los resultados del Ejercicio 12., complete la siguiente tabla.

R. T. /

Cuadrante

I II III IV

sen

cos tg

Ejercicio 14. Complete la siguiente tabla. En los casos en que el resultado de la razón

trigonométrica sea un número irracional, deberá escribirlo en forma completa y en forma

decimal conservando tres cifras decimales. Utilice el teorema de Pitágoras cuando así lo precise.



JAMÁS OLVIDE ESTOS VALORES, TENGALOS SIEMPRE A MANO.

NO PUEDE OLVIDAR NI EL VALOR, NI EL SIGNO!!!

ANGULO

(RADIANES)

SENO SEGMENTO DE LA

CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA

COSENO SEGMENTO DE LA

CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA

TANGENTE

0

6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4

2

3

3

5

4

7

6

11

2



EJERCITACIÓN

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