seminario de ingreso universitario matemÁtica

Seminario de Ingreso Universitario - Matemático

SEMINARIO DE INGRESO UNIVERSITARIO

MATEMÁTICA

FACULTAD REGIONAL RECONQUISTA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL


El presente cuadernillo fue elaborado en el primer semestre del año 2019, dentro de las

actividades previstas en el marco del Programa NEXOS, tomando como base el

cuadernillo “Seminario Universitario Matemática” confeccionado por docentes y

alumnos de la Facultad Regional Reconquista. Además, se ha trabajado con material de

estudio recopilado de otras Facultades Regionales, Universidades y bibliografía afín;

adecuando y precisando los contenidos requeridos por la normativa vigente en UTN.

Revisión de contenido y coordinación

Prof. María Graciela Ribas

Recopilación de contenido

Lic. Prof. Sebastián Hugo Fantini

Compaginación y edición

Mg. Prof. Soledad Ardiles

Tec. Luz Marina Ocampo

Dirección general del Programa NEXOS FRRq

Ing. Franco Cabás


ÍNDICE

1. NÚMEROS .......................................................................................................................... 2

1.1. Números Naturales ........................................................................................................ 2

1.2. Números Enteros ........................................................................................................... 2

1.3. Números Racionales ...................................................................................................... 7

1.4. Números Reales ........................................................................................................... 14

2. ECUACIONES - FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ................................ 27

2.1. Definición de ecuación: ............................................................................................... 27

2.2. Definición de función .................................................................................................. 27

2.3. Ecuaciones lineales ...................................................................................................... 28

2.4. Función Lineal ............................................................................................................. 30

2.5. Perpendicularidad y Paralelismo entre rectas .............................................................. 31

2.6. Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma ............................ 32

2.7. Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma ................................................ 32

2.8. Sistemas de Ecuaciones Lineales ................................................................................. 33

2.9. Métodos para resolver un sistema de ecuaciones ........................................................ 33

2.10. Ecuaciones Cuadráticas ............................................................................................... 38

2.11. Inecuaciones ................................................................................................................ 50

3. POLINÓMICAS ................................................................................................................ 58

3.1. Polinomios en una variable .......................................................................................... 58

3.2. Operaciones con polinomios ........................................................................................ 60

3.3. Teorema del Resto ....................................................................................................... 66

3.4. Raíces de un polinomio................................................................................................ 66

3.5. Lema de Gauss ............................................................................................................. 67

3.6. Teorema fundamental del álgebra ................................................................................ 68

3.7. Factorización ................................................................................................................ 69

3.8. Casos particulares de factorización .............................................................................. 70

3.9. Resolución de ecuaciones polinómicas ........................................................................ 72

4. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS .................................................. 77

4.1. Funciones Exponenciales ............................................................................................. 77

4.2. Funciones Logarítmicas ............................................................................................... 80

5. TRIGONOMETRÍA ......................................................................................................... 85

5.1. Ángulos orientados en el plano .................................................................................... 85

5.2. Funciones Trigonométricas en un triángulo rectángulo. .............................................. 87

5.3. Resolución de triángulos .............................................................................................. 88

6. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………….………….. 98


1

A MODO DE BIENVENIDA

Estimados estudiantes ingresantes:

Bienvenidos a la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional

Reconquista. Como institución, los acompañaremos en el recorrido que están iniciando

para que aquí puedan desarrollar, entre ustedes y junto con los docentes, saberes y

herramientas, modos de comprender, de conocer y de buscar, que les permitan no sólo

volverse profesionales competentes, sino también ciudadanos comprometidos y

responsables con la sociedad de la cual formamos parte.

El “ser estudiante universitario” no viene dado de antemano, sino que se

construye en un espacio de intercambios colectivos y procesos singulares, experiencias

diversas y apuestas continuas. Espacio regulado por reglas propias y un lenguaje

particular del cual poco a poco comenzarán a apropiarse. Anhelamos que este escenario

en el que se entretejen vínculos, expectativas mutuas, necesidades y responsabilidades,

opere como una red de sostén que permita que cada uno de ustedes pueda a futuro

alcanzar las metas y los sueños que hoy los traen aquí.

En tal sentido, nos importa compartir que a lo largo de los años, la institución

viene desarrollando un proceso de crecimiento tanto en su propuesta académica como

en materia edilicia y vinculación con la comunidad, basándonos en la convicción de que

la educación superior es un derecho que debemos garantizar asumiendo un compromiso

ético, político y pedagógico cotidiano.

Haciendo un poco de historia, cabe mencionar que esta Unidad Académica fue

creada el 21 de febrero del año 1986, inaugurada el 24 de abril de 1987 y reconocida

como Facultad Regional en 2009. Desde el año 2008 contamos con edificio propio que

es orgullo de todos los que la recorremos diariamente. Actualmente de dictan carreras

de grado, pregrado y ciclos de formación.

Como misión, nos proponemos formar, de modo continuo e integral, profesionales

con un alto nivel de competencia que les permitan destacarse por sus niveles de

conocimiento, su formación ética y su compromiso con la mejora de la calidad de vida y

el desarrollo sustentable de nuestra región. De igual modo, buscamos promover y

realizar investigaciones científicas y tecnológicas que incidan tanto en la formación del

estudiante, como en actividades de transferencia al medio. Por último, también

trabajamos para generar, preservar y transmitir los productos de los campos científico,

tecnológico y cultural para la formación plena del hombre y contribuir a su desarrollo y

transformación.

De este modo, los invitamos a participar activamente de la vida institucional,

confiando en que el diálogo y sus aportes contribuirán para fortalecernos y seguir

creciendo.

Nuevamente, ¡Bienvenidos!


2

1. NÚMEROS

1.1. Números Naturales

Desde la antigüedad el hombre tuvo la necesidad de contar, tanto para realizar un

trueque, que era su forma de comercio, como para conocer sus posesiones, contar su

ganado, etc. De esta manera surge el conjunto de los números naturales. Recordemos

algunas propiedades de este conjunto.

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, … , 𝑛} ∀𝑛 ∈ ℕ

Algunas propiedades de los números naturales

a. ℕ es un conjunto ordenado.

b. Tiene primer elemento (el número 1).

c. ℕ no tiene último elemento.

d. ℕ cumple con la Ley de cierre para la suma y la multiplicación.

Ejemplo:

Sean 𝑎, 𝑏 dos números naturales. Entonces:

𝑎 + 𝑏 ∈ ℕ La suma de dos números naturales es otro número natural.

𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℕ La multiplicación de dos números naturales es otro número natural.

ℕ no cumple con la Ley de cierre para la resta y la división.

Ejemplo:

3 − 1 = 2, 2 ∈ ℕ, sin embargo, 1 − 1 = 0, 0 ∉ ℕ ⟹ a − b ∉ ℕ 10

5= 2, 2 ∈ ℕ, sin embargo,

9

4= 2,25 ∉ ℕ ⟹ a: b ∉ ℕ

1.2. Números Enteros

Recordemos que la resta, en el conjunto de los números naturales, siempre es posible

cuando el minuendo es mayor que el sustraendo. En caso contrario no se verifica la Ley

de cierre, el resultado es un número no natural. Para resolver este problema necesitamos

ampliar el campo numérico introduciendo el cero y los opuestos de los números

naturales. A este nuevo conjunto lo llamamos números enteros y los definimos así:

ℤ = ℤ− ∪ {0} ∪ ℤ+, donde ℤ+ = ℕ

De otro modo;

ℤ = {−𝑛, … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … , 𝑛} ∀𝑛 ∈ ℕ

¿Cómo representamos gráficamente a los números enteros?

Para representar estos números, primero trazamos una recta horizontal y un punto

cualquiera de ella, al que le asignamos el 0 (cero) y al cual lo llamamos origen. A la

derecha del origen ubicamos los números positivos y a la izquierda los negativos.


3

Algunas propiedades básicas de los números enteros

a. ℤ es un conjunto ordenado.

b. ℤ no tiene primer ni último elemento.

c. Siendo 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ∈ ℤ, se verifica:

Ley de cierre para la suma: 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ

Ley de cierre para la resta: 𝑎 − 𝑏 ∈ ℤ

Ley de cierre para la multiplicación: 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℤ

Propiedad asociativa para la suma: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐

Propiedad conmutativa para la suma: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

Existencia de inverso aditivo: 𝑎 + (−𝑎) = 0

Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐

Existencia de elemento neutro para la suma: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎

Propiedad asociativa para el producto: 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐

Propiedad conmutativa para el producto: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎

Existencia de elemento neutro para el producto: 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎

d. Ley de tricotomía: Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ∈ ℤ. Se verifica una y solo una de las relaciones

siguientes: 𝑎 < 𝑏

𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

𝑎 > 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

e. Además, sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ∈ ℤ. y𝑐 ≠ 0. Se verifica que:

𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 > 0 ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐

𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 < 0 ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐

Recordemos la regla de signos para la multiplicación y la división. Se ejemplifica para

la multiplicación solamente pero es válido también para la división.

+ ∙ += +

+ ∙ −= − ∙ += −

− ∙ −= +

Ejemplo:

Veamos un ejemplo para la propiedad 5b de los números enteros. Primero asignamos

cualquier valor entero 𝑎, 𝑏, 𝑐.

𝑎 = 8; 𝑏 = 15 y 𝑐 = −6

Luego

8 < 15 ⇒ 8 ∙ (−6) > 15 ∙ (−6) Se verifica

(−48) > (−90)

Operaciones en ℤ

En esta sección recordaremos como se resuelven las operaciones básicas en el conjunto

de los números enteros. Para comenzar resolvamos el siguiente problema.


4

Problema

Un ingeniero electromecánico debe evaluar la compra de insumos eléctricos que

realizará su empresa a un proveedor de la provincia de Buenos Aires. Debe comprar 20

fusibles NH con un precio de $12 por unidad y 42 interruptores termomagnéticos de

32A por un precio de $60 por unidad. ¿Cuál es el costo total de los insumos?

Para resolver el problema debemos sumar el precio total de los fusibles con el precio

total de los interruptores.

El costo total es igual al costo de los 20 fusibles más el costo de los 42 interruptores.

Simbólicamente traducimos esta situación del siguiente modo

Costo total= 20 ∙ $12 + 42 ∙ $60

Costo total= $2.760

Respuesta: La empresa tiene que invertir $2.760 entre fusibles e interruptores.

El problema es sencillo, pero detengámonos en la operación. ¿Qué se realizó primero,

las multiplicaciones o la suma?

En las operaciones matemáticas se va resolviendo por términos. Los términos son

operaciones que están separados por los operadores (+) y (-) como se muestra a

continuación.

Ejercicio 1: Separa en términos y resuelve las siguientes operaciones:

a. 23 ∙ 5 ∙ 8 −20

5∙ 4 + 5 − 8 + 7 ∙ 10 =

b. 25 ∙ 2 − 100 + 22 ∙ 3 − 15 ∙ 1 +100

5=

c. 8 ∙9

3− 1024 + 15 ∙ 10 ∙

150

15=

Uso de paréntesis, corchetes y llaves

Para separar las operaciones de acuerdo a la jerarquía y a las propiedades de las mismas

se utilizan los paréntesis, corchetes y llaves. Al utilizarlos se debe resolver de adentro

hacia afuera, es decir, se debe resolver primero las operaciones que están dentro del

paréntesis, siguiendo la jerarquía de los términos, para luego operar con el resultado.

Veamos la importancia de la utilización de los paréntesis y corchetes en el siguiente

ejercicio.

Ejercicio 2: Demostrar que los resultados son distintos al no usar los paréntesis y los

corchetes.

a. [8 + (15 ∙ 21) − 12] ∙ 2 ≠ 8 + 15 ∙ 21 − 12 ∙ 2

b. 10 + (12 + 2) ∙ 3 − (1 + 6) ≠ 10 + 12 + 2 ∙ 3 − 1 + 6

c. − [(30−5)

5] + 15 ≠ −30 −

15

5+ 15

Veamos la resolución del inciso a):

1º Término 2º Término

$240 + $2.520 = $2.760

520 ∙ $12 + 42 ∙ $60


5

[8 + (15 ∙ 21) − 12] ∙ 2 ≠ 8 + 15 ∙ 21 − 12 ∙ 2

[8 + 315 − 12] ∙ 2 ≠ 8 + 315 − 24

311 ∙ 2 ≠ 299

622 ≠ 299

Ejercicio 3: Resolver las siguientes operaciones combinadas

a. {2 ∙ [36 − 7 ∙ (5 + 64) − 15] + 32} ∙ 10 =

b. 12 ∙ {22 − [(10+100)

5]} =

c. [(1+5)2−30]

2=

d. {30 − [20 ∙ 2 − 5 ∙ (10 + 15)]} ∙ (−2) =

e. −{2 + (−1) ∙ [32 ∙ (10 − 1)]} =

División Entera

División entera y división exacta. Una división es entera cuando el cociente y el resto de

la misma son números enteros. En toda división entera el resto es mayor o igual que

cero y menor que el divisor. Una división entera es exacta cuando el resto de la división

es cero

En esta sección vamos a recordar algunos conceptos básicos y propiedades de la

división entera.

Dados dos números enteros 𝑎 y 𝑏 ≠ 0, existen dos únicos números enteros 𝑞 y 𝑟 tal que

𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟

El algoritmo que permite encontrar 𝑞 y 𝑟, conociendo 𝑎 y 𝑏, se denomina división

entera, denominando:

𝑎 Dividendo

𝑏 Divisor

𝑞 Cociente

𝑟 Resto

Si 𝑟 = 0, se puede decir que 𝑎 es divisible por 𝑏 o que 𝑎 es múltiplo de 𝑏.

Ejemplo:

Por lo tanto 13 no es divisible por 4, ya que el resto es distinto de cero.

Por lo tanto 50 es divisible por 5, ya que el resto es cero

Ejercicio 4: Determinar cuáles de los siguientes números enteros son divisibles por 13.

a. 247

b. -91

c. 123

13 4

1 3

⇒ 13 = 3 ∙ 4 + 1 con 0 < 1 < 4

50 5

00 10

⇒ 50 = 10 ∙ 5 + 0 con 0 = 0 <


6

d. -143

e. 28.561

f. 2.197

Números primos

Los números primos son aquellos que solo resultan divisibles por sí mismos y por la

unidad.

Los que pueden dividirse por otros números, se denominan compuestos (por ejemplo el

9 que además de dividirse por 9 y por 1, también puede dividirse exactamente por 3).

El número 1 no es primo, de acuerdo con la definición precedente. Son primos el 2, 3, 5,

7, 11, 13, 17, 19,....Existen infinitos números primos. El número 2 es el único número

primo par.

Varias propiedades aritméticas fundamentales se expresan a partir de estos conceptos:

a. Todo número natural posee un divisor primo.

b. Todo número natural o es primo, o bien, puede representarse como producto de

números primos.

c. La representación de un número natural como producto de números primos es

única.

Ejemplo:

Veamos un ejemplo. Representemos al número 264 como producto de números primos.

Para resolver este ejemplo existe un método sencillo (el que se muestra en el recuadro)

que consta en colocar al número 264 a la izquierda y a la derecha anotamos el menor

número primo por el cual es divisible el número 264. El resultado de la división lo

anotamos debajo del 264 y volvemos a dividir por el menor número primo y así

sucesivamente hasta llegar a la izquierda al número 1. Luego, se puede expresar al 264

como producto de sus divisores como se muestra a continuación.

264 2

132 2

66 2

33 3

11 11

1

264 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 = 23 ∙ 3 ∙ 11 El procedimiento realizado anteriormente se llama factorización

Ejercicio 5:

a. Escribir todos los números primos menores que 200.

b. Factorizar los siguientes números: 1.287; 3.150; 5780 y 6.050

Veamos otro ejemplo: Al factorizar los números enteros positivos 𝑎 = 72 y 𝑏 = 84

se obtiene:

72 2 84 2

36 2 42 2

18 2 21 3

9 3 7 7

3 3 1

1

72 = 23 ∙ 32 84 = 22 ∙ 3 ∙ 7


7

Vemos que los números primos que aparecen en ambas factorizaciones son el 2 y el 3.

Decimos que el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84 es el producto de los

factores primos comunes con su menor exponente. Este número representa el máximo

común divisor entre 72 y 84 y lo simbolizamos:

MCD (72; 84) = 22 ∙ 3 = 12

Decimos que 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.

Generalizando:

MCD: Dados dos o más números enteros, su máximo común divisor (MCD) es el

mayor número entero que divide a todos los números enteros dados.

Ejemplo: Tomando los números del ejemplo anterior, ahora consideramos los números

primos que se repiten en ambas factorizaciones con mayor exponente y también los que

no se repiten. El producto de estos números representa el mínimo común múltiplo entre

72 y 84 y lo simbolizamos:

mcm (72, 84) = 23 ∙ 3 ∙ 7 = 504

Decimos que 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.

Generalizando:

mcm: Dados dos o más números enteros el mínimo común múltiplo (mcm), es el menor

entero que es divisor de todos los números dados.

Ejercicio 6: Calcular el máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo

(mcm) de las siguientes expresiones:

a. MCD (120, 140, 75)

b. mcm (100, 126)

c. mcm (206, 96, 124, 56)

d. MCD (1000, 492)

e. mcm (749, 28)

f. MCD (550, 982, 1020)

g. MCD (1230, 540, 567)

h. mcm (840, 35100)

1.3. Números Racionales

En el conjunto de los números enteros nos encontramos con la dificultad de que la

división sólo es posible cuando el dividendo es múltiplo del divisor. Por ejemplo:

7: 2 =?

Esta operación no tiene solución enℤ, porque 7 no es múltiplo de2.

Para salvar esta dificultad aparece un nuevo campo numérico: el conjunto de los

números racionales y lo simbolizamos con la letraℚ.

Definición:

Dados dos números enteros 𝑎 y 𝑏; con 𝑏 ≠ 0, llamamos número racional a la fracción 𝑎

𝑏,

siendo 𝑎 el numerador y 𝑏 el denominador.

Algunas propiedades de los números racionales:

a. Es un conjunto denso, es decir que entre dos números racionales siempre existe

otro número racional.


8

b. Cumple la ley de cierre para la suma, la resta, la multiplicación y la división (con

excepción de la división por cero).

Interpretación de números racionales

El número racional 𝑎

𝑏 indica que dividimos el todo en 𝑏 partes iguales y tomamos 𝑎 de

esas partes. Así, dado el número 7

8, éste nos indica que el todo se ha dividido en 8 partes

iguales y de ellas se han tomado 7.

Podemos representar gráficamente la situación anterior mediante una barra que se ha

divido en 8 partes iguales. La parte sombreada representa al número 7

8

En la recta numérica, como siete octavos es menor que uno, dividimos la unidad en

ocho partes iguales, contamos siete de ellas a partir del cero, obteniendo así el punto de

la recta que representa al número 7/8

Ejercicio 7: Dibujar en la recta numérica los siguientes números racionales y expresar

entre que números enteros se encuentra. a. 2/9

b. 9/5

c. -1/5

d. 4/2

e. 15/16

f. -7/8

Fracciones Equivalentes

Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.

Por ejemplo 3

4 y

6

8 representan la misma cantidad de un todo.

Si multiplicamos (o dividimos) el numerador y el denominador de una fracción por un

mismo número distinto de cero, obtenemos una fracción equivalente a la dada.

Ejemplo: 3

4=

3.2

4.2=

6

8 por lo tanto, ¾ es equivalente a 6/8.


9

Este procedimiento nos sirve para simplificar fracciones. Al simplificar fracciones

podemos determinar la fracción equivalente irreducible.

Fracción irreducible Se dice que una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen

factores primos comunes.

Para simplificar una fracción a su forma irreducible debemos primero factorizar tanto el

numerador como el denominador y luego simplificar los factores primos comunes.

Ejercicio 8: Representar en forma reducida los siguientes números racionales:

a. −900

390

b. −75

27

c. −560

490

d. 269

847

Damos por solución al primer inciso

−900

390= −

900

390= − (

22. 32. 52

2.3.5.13) = − (

2.2.3.3.5.5

2.3.5.13) = −

30

13

Ejercicio 9: Simplificar los siguientes números racionales hasta llegar a su fracción

irreducible:

a. −75

27=

b. 100

75=

c. 256

768=

d. 10800

4000=

e. 17600

2640=

f. 24696

27783=

Expresión decimal

Todo numero racional por definición es aquel que se puede expresar como fracción,

pero a su vez estas fracciones pueden expresarse en forma decimal al realizar la división

entre el numerador y el denominador.

Podemos definir: “Todo numero racional puede expresarse como numero decimal

exacto o periódico”.

Ejemplo: 1

5= 0,2 → decimal exacto

1

3= 0,333 … = 0, 3̂ → Periódica pura. El período es 3

1

6= 0,1666 … = 0,16̂ → Periódica mixta. Su período es 6. Su anteperíodo es 0,1

86

11= 7,8181 … = 7, 81̂ → Periódica pura. Su período es 81


10

¿Y si queremos pasar un número decimal a su forma fraccionaria?

A continuación indicamos como se pasa de la forma decimal a la forma fraccionaria.

Exactas

Para pasar de un número decimal exacto a fracción se divide y se multiplica por 10𝑛,

donde 𝑛 es el número de decimales.

Ejemplo:

a. 0,5 =0,5∙101

101 =5

10=

1

2

b. 0,256 =0,256∙103

103 =256

1000

32

125

Puras Un número decimal periódico puro es igual a la suma de su parte entera más su período

dividido 9 si su período es único, 99 si su período tiene 2 números, etc.

Ejemplo:

a. 0, 3̂ = 0 +3

9=

3

9=

1

3

b. 2, 125̂ = 2 +125

999=

2123

999

Mixtas Un número decimal mixto es igual a la suma de la parte entera más el número decimal

entero, menos su ante período y dividido tantos nueves como cifras decimales

periódicas tenga, al igual que en las puras, pero agregando en el divisor. Luego de los

nueves, se agregan tantos ceros como números anti periódicos tenga el decimal.

Ejemplo:

a. 3, 125̂ = 3 +125−1

990=

1547

495

b. 1,985̂ = 1 +985−98

900=

1787

900

Ejercicio 10: Pasar los siguientes números decimales a su expresión fraccionaria.

a. 0,13 b. 1, 6̂ =

c. 2,13̂ =

d. 6,15 =

e. 2,352̂ =

f. 0,1 =

g. 0,875 =

Orden en ℚ El conjunto ℚ de números racionales también es un conjunto ordenado al igual que ℤ.

Ejemplos:

a. 1

2<

2

3 escribiendo ambas fracciones en forma decimal vemos que 0,5 < 0, 6̂

b. 2 >8

5 en forma decimal vemos que 2 > 1,6

c. 2

9=

4

18 porque 0, 2̂ = 0, 2̂

Ejercicio 11: Ordenar de menor a mayor los siguientes números. 6

14; 2,3; 4; −

1

3; −0,05;

17

11; 1, 5̂; 4,132̂


11

Operaciones en ℚ

Suma

Recordemos que la suma de varias fracciones con el mismo denominador es la fracción

con el mismo denominador que aquellas y el numerador es la suma de los numeradores.

Ejemplo:

2

9+

1

9+

5

9=

2 + 1 + 5

9=

8

9

Si las fracciones tienen distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes a las

dadas que tengan igual denominador y después se suman de la forma indicada

anteriormente.

Ejemplo:

2 +2

5−

7

15=

150

75+

30

75−

35

75=

150 + 30 − 35

75=

145

75=

29

15

En general:

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎. 𝑑 + 𝑐. 𝑏

𝑏. 𝑑

Es conveniente usar como denominador para las fracciones equivalentes, el mínimo

común múltiplo. Observando el ejemplo anterior, vemos, que el denominador común

para las fracciones equivalentes es 15, que es el mínimo común múltiplo entre 1, 5 y 15.

Ejemplo:

1

6+

3

10+

5

8

Descomponiendo los denominadores en factores primos, obtenemos:

mcm (6, 10, 8) = 120

Por lo tanto: 1

6+

3

10+

5

8=

20

120+

36

120+

75

120=

131

120

Multiplicación

Recordemos que el producto de varias fracciones es otra fracción que tiene como

numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los

denominadores.

Ejemplo:

6

11∙ (−

3

4) ∙

7

2=

6 ∙ (−3) ∙ 7

11 ∙ 4 ∙ 2= −

126

88

En general:

𝑎

𝑏∙

𝑐

𝑑=

𝑎 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑑

División

Para dividir fracciones es conveniente recordar:

Definición: Dos fracciones 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑 son recíprocas o inversas si su producto es igual a 1, es

decir: 𝑎

𝑏∙

𝑐

𝑑= 1


12

De la definición anterior obtenemos las siguientes conclusiones:

Una fracción 𝑎

𝑏 tiene inversa si y solo si 𝑎 ≠ 0

La fracción inversa de 𝑎

𝑏 es la fracción

𝑏

𝑎

Para dividir una fracción por otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

Ejemplo:

5

6:

7

11=

5

6∙

11

7=

55

42

En general:

𝑎

𝑏:

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏∙

𝑑

𝑐

Veamos algunas propiedades que cumplen estas operaciones

Operación Propiedad

Suma

Cerrada

Asociativa

Conmutativa

Tiene elemento neutro

Todo número tiene su opuesto

Multiplicación

Cerrada

Asociativa

Conmutativa

Tiene elemento neutro

Todo número distinto de cero admite inverso

Distributiva respecto a la suma

Ejercicio 12: Realizar las siguientes operaciones en ℚ

a. 9

5+

41

2=

b. 5

8+

1

2=

c. 9

5∙

41

2=

d. 4

5+

13

2=

e. 56

3+ 1 ∙

1

2=

f. 8

7∙

22

11=

g. 101

3+ (

14

7−

19

21) =

h. 213

13∙ (1 +

1

2) =

i. 101

10−

57

4=

Ejercicio 13: resolver aplicando propiedades

a. 5

3:

8

9=


13

b. 8:5

8=

c. 1

2: (

1

16)

−1

=

d. 14

61:

61

14=

e. 1

100:

251

36=

f. 2

19: 1 =

g. 1−1:3

14

h. 201

315:

2

3=

Números Irracionales 𝕀

Recordemos que los números racionales pueden expresarse como una razón entre dos

números enteros. Además todo número racional puede expresarse como un número

decimal exacto o periódico.

Hay números que no pueden clasificarse como racionales y son aquellos que poseen

infinitas cifras decimales no periódicas, a los que llamaremos números irracionales.

Desde la antigüedad se conocen algunos de estos números. Por ejemplo tenemos al

número π que es la relación entre el radio de una circunferencia y su perímetro. Los

pitagóricos se dieron cuenta que al formar un triángulo rectángulo de catetos iguales a la

unidad, su hipotenusa era un número no natural √2

Veamos algunas cifras de estos números que hemos nombrado:

𝜋 ≅ 3,141592653589793238462643383279 …

√2 ≅ 1,4142135623730950488016887242096 …

𝑒 ≅ 2,71828182845904523536 …

No es posible representar en la recta numérica todos los números irracionales por

métodos geométricos, aunque si algunos de ellos. Veremos a continuación que

podremos representar las raíces cuadradas de los números utilizando una regla, un

compás y el teorema de Pitágoras.

Primero recordemos que nos dice el teorema:

En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⟹ 𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2

𝑎 = Hipotenusa

𝑏; 𝑐 = Catetos

Ahora veamos como representar por ejemplo √2 que es un numero irracional.

Formando un triangulo rectangulo cuyos catetos midan 𝑏 = 1, 𝑐 = 1 la ecuacion nos

queda:

𝑎 = √12 + 12 = √2


14

Ubicando el triangulo con vertice en el 0 de la recta numerica y con la ayuda de un

compas con centro en 0 y radio en A, cortamos la recta exactamente en √2 como se

muestra a continuación.

Siguiendo con el esquema, si quisieramos representar √3, hacemos

𝑎 = √(√2)2

+ 12 = √3 Dejamos como ejercitacion su representacion en la recta.

Ejercicio 14: Representar en la recta numérica

√3; √5; √10; 2 + √5; 2√3

1.4. Números Reales

Los números racionales junto con los números irracionales, constituyen el conjunto de

los números reales (R).

Existe una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta: a cada

punto de la recta le corresponde un número real y viceversa, por ello decimos que los

números reales completan la recta.

A continuación daremos las propiedades fundamentales de las operaciones enℝ.

Sean 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 números reales:

La suma satisface las siguientes propiedades:

a. Asociativa: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐

b. Conmutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

c. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ ℝ: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎

d. Existencia de elemento opuesto:∀𝑎 ∈ ℝ, ∃(−𝑎) ∈ ℝ: 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0

El producto satisface las siguientes propiedades:

a. Asociativa: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c b. Conmutativa: a ∙ b = b ∙ a

c. Existencia del elemento neutro: ∃ 1 ∈ ℝ: a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

d. Existencia del elemento inverso:∀a ∈ ℝ, a ≠ 0, ∃a−1 ∈ ℝ: a ∙ a−1 = a−1 ∙ a = 1

Naturales ℕ+

Cero (0)

Negativos ℕ−

Enteros ℤ

Fraccionarios

Racionales ℚ

Irracionales 𝕀

Reales ℝ


15

e. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)

La diferencia o resta se define a partir de la definición de suma:

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

El cociente se define a partir de la definición de producto:

𝑏 ≠ 0, 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏−1, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

Observación: El 0 no tiene elemento inverso.

Potenciación de exponente natural

Definición: Sea n un número natural y a un número real cualquiera:

𝑎0 = 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0

𝑎1 = 𝑎

𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 𝑠𝑖 𝑛 > 1

Propiedades

a. El producto de varias potencias de igual base es otra potencia de la misma base

cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores: an ∙ am = an+m

b. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base

cuyo exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y del divisor: am

an= am−n

c. La potenciación es distributiva respecto del producto: (a ∙ b)n = an ∙ bn

d. La potenciación es distributiva respecto del cociente: (a

b)

n

=an

bn

e. La potencia de una potencia es igual a otra potencia de la misma base cuyo

exponente es el producto de los exponentes: (am)n = am∙n

f. Si el exponente es negativo se tiene: a−n =1

an

Ejercicio 15: Aplique las propiedades de la potenciación para resolver:

a. 23. 22. 24 =

b. 25

23 =

c. (2.13.14)3 =

d. (−3.5)2 =

e. (−5

3)

3

=

f. (34)2 =

g. (−5)−3 =

h. (−1

3)

−4

=

i. (2

3)

−5

=

Aplicación de la potenciación: Notación científica

En el libro Cosmos, Carl Sagan nos dice lo siguiente:

“…Si nos soltáramos al azar dentro del Cosmos la probabilidad de que nos

encontráramos sobre un planeta o cerca de él sería inferior a una parte entre mil

millones de billones de billones”.

Escribamos el número que aparece en el relato.


16

Si tenemos en cuenta que:

1.000.000 = 1 millón

1.000.000.000.000 = 1 billón

El número en cuestión es:

1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Imaginemos lo incomodo que sería operar con este número.

Por otra parte, sabemos que toda potencia con exponente entero positivo de 10 es la

unidad seguida de tantos ceros como unidades tiene el exponente.

Ejemplo:

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

10𝑛 =10.10.10 … … . .10

𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 =

10000 … … 0

𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠

Además, toda potencia con exponente entero negativo de 10, es un numero decimal

formado por un uno (1) precedido por tantos ceros (0) como indica el valor absoluto del

exponente.

Ejemplo:

10−1 =1

10= 0,1

10−2 =1

100= 0,01

Volviendo al tema, podemos escribir el número visto en el relato de manera más

conveniente expresándolo como potencia de diez. Entonces:

Mil millones de billones de billones = 1033

De la misma manera 1 millón expresado como potencia de diez es 106 y 1 billón

equivale a la potencia 1012. Por ejemplo, si usamos este resultado podemos escribir el

número 18.360.000.000.000 de las siguientes formas:

18,36 × 1012 = 183,6 × 1011 = 1,836 × 1013

De estas opciones, la última se conoce como notación científica o exponencial y resulta

útil para operar con números muy grandes o muy pequeños.

Definición

Se dice que un número positivo 𝑥 se escribe en notación científica si está expresado

como sigue: 𝑥 = 𝑎 × 10𝑛

Donde 1 ≤ 𝑎 < 10 y 𝑛 es un entero. El exponente del diez se denomina orden.

Ejemplos:

a. 367.415.000 = 3,67415 × 108 ≅ 3,67 × 108

b. 0,0000000000152 = 1,52 × 10−10

Operaciones con notación científica: Suma, resta, multiplicación y división

Como hemos dicho la notación científica nos permitirá operar con números muy

grandes o muy chicos de manera más fácil. Veamos cómo realizar las cuatro

operaciones básicas.


17

Suma y resta

a. Si los sumandos son del mismo orden de magnitud (potencia) sumamos o

restamos los números que preceden a las potencias de 10.

b. Si los sumandos no son del mismo orden de magnitud se reducen al mayor de

los órdenes, y se suman o restan los números que preceden a las potencias de 10.

Ejemplo:

Realizar la suma 2,1 × 103 + 3,41 × 104

Como los órdenes no son iguales, reducimos 2,1 × 103 a 0,21 × 104, entonces:

0,21 × 104 + 3,41 × 104 = (0,21 + 3,41) × 104 = 3,62 × 104

Producto y división:

a. Para multiplicar números en notación científica, se multiplican los números que

preceden a las potencias de 10 y se suman las potencias.

b. Para dividir dos números en notación científica, se dividen los números que

preceden a las potencias de 10 y se restan las potencias.

Ejemplo:

La masa de un átomo de 𝐶 (carbono) es 0,000000000000000000000001994 [𝑔]. ¿Cuál es la masa de 2.195 átomos de 𝐶?

Solución:

Masa de un átomo de 𝐶 = 0,000000000000000000000001994 [𝑔] = 1,994 × 10−23 [𝑔]

Cantidad de átomos = 2.195 = 2,195 × 103

Aplicando regla de tres simple nos queda:

2,195 × 103 ∙ 1,994 × 10−23 ∙ [𝐶] ∙ [𝑔]

1 ∙ [𝐶]= (2,195 ∙ 1,994) × 103−23 [𝑔] ≅ 4,37 × 10−20[𝑔]

Ejercicio 16:

Escribir en notación científica:

a. “Hay cientos de miles de millones de galaxias”

b. “La energía almacenada en el núcleo de un átomo de hidrogeno es igual a ciento

veintidós mil quinientos millones de Joules”

c. “Cada galaxia tiene en promedio un centenar de miles de millones de estrellas”

Ejercicio 17:

De cada uno de los siguientes pares de números señalar cual es el mayor

a. 3 × 1033 ; 3 × 10−3

b. 3 × 103 ; 10.000

c. 0,0001 ; 2 × 10−4

d. 21 × 103 ; 2,1 × 104

Ejercicio 18:

Efectuar las siguientes operaciones:

a. (5 × 104) ∙ (1,6 × 102) =

b. (6,01 × 10−3): (5,23 × 106) =

c. (3,4 × 102) + (4,92 × 104) =

d. {(6,10 × 104) ∙ (3,18 × 10−4)}: {(8,08 × 107) ∙ (1,62 × 1011)} =


18

Radicación

Definición

La raíz n-ésima de un número real 𝑎, denotada por √𝑎𝑛

√𝑎𝑛

= 𝑏 si 𝑎 = 𝑏𝑛

Cuando 𝑛 es par, 𝑎 ≥ 0 y cuando 𝑛 es impar, 𝑎 es cualquier número real.

Cada número real positivo "𝑎" tiene una única raíz n-ésima positiva y cada número real

negativo tiene una única raíz n-ésima negativa, siempre que 𝑛 sea un número impar.

Los siguientes comentarios son importantes:

Los números negativos no tienen raíz de índice par (en el conjunto de los números

reales), ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo. Por ejemplo, √−4

no es un número real pues no existe un número real cuyo cuadrado sea -4.

La raíz n-ésima de 0, siendo n>1, es 0, ya que 0𝑛 = 0, es decir, √0𝑛

= 0

Ejemplos:

a. √64 = 8

b. √1

16=

1

4

c. (√1.4)2

= 1.4

d. √52 = 5

e. √(−5)2 = 5

Si analizamos e. se observa: √(−5)2 = √25 = 5 = |−5|

Resumiendo: Si 𝑛 ≥ 2 es un entero positivo y 𝑎 es un número real, tenemos que:

√𝑎𝑛𝑛= 𝑎, si 𝑛 es impar

√𝑎𝑛𝑛= |𝑎|, si 𝑛 es par

Propiedades

a. La radicación es distributiva con respecto al producto: √𝑎 ∙ 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

b. La radicación es distributiva con respecto al cociente: √𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

c. La raíz de otra raíz, es una raíz con el mismo radicando y cuyo índice es el

producto de los índices: √ √𝑎𝑛𝑚

= √𝑎𝑚∙𝑛

Ejercicio 19:

Resolver las siguientes operaciones utilizando propiedades:

a. √8 ∙ 27 ∙ 1253

=

b. √26

∙ √46

∙ √86

=

c. √125

8

3

d. √81

3

√33

e. √√243


19

Potencia de exponente racional

Definición

Sea un número racional 𝑚

𝑛, con 𝑛 ≥ 2, si 𝑎 es un número real tal que √𝑎

𝑛 está definida,

entonces 𝑎𝑚

𝑛 = √𝑎𝑚𝑛= ( √𝑎

𝑛)

𝑚

Ejemplo:

a. 73

2 = √73

b. 7−3

2 =1

732

=1

√73

Observación: Las propiedades de las potencias de exponente racional son las mismas

que las de las potencias de exponente entero.

Cálculos con radicales

Simplificación de radicales

Simplificar expresiones radicales nos permitirá poder operar con ellas de manera más

fácil. Para simplificar expresiones radicales se factoriza el radicando y se aplican

propiedades de la potenciación y la radicación de manera de poder simplificar índices y

exponentes.

Ejemplo:

a. √8 = √23 = √22 ∙ 2 = √22 ∙ √2 = 2√2

b. √6000 = √24 ∙ 3 ∙ 53 = √24 ∙ 3 ∙ 52 ∙ 5 = √24 ∙ √52 ∙ √3 ∙ 5 = 22 ∙ 5 ∙ √15 =

20√15

Suma de radicales

Para sumar radicales se deben tener el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplo:

a. √3 + 5√3 −1

2√3 = (1 + 5 −

1

2) √3 =

11

2√3

En algunos casos es necesario simplificar los radicales para poder tener el mismo índice

y el mismo radicando.

Ejemplo:

a. √2 + √8 − 3√50 = √2 + √22√2 − 3√52√2 = √2 + 2√2 − 15√2 = −12√2

Multiplicación de radicales

Para multiplicar radicales, si tienen igual índice se usan las propiedades vistas, si tienen

distinto índice se reduce a común índice y luego se efectúa el producto.

Ejemplos:

a. √2 ∙ √8 = √2 ∙ 8 = √16

b. √53

∙ √34

= √5412∙ √3312

= √54 ∙ 3312

Racionalización de denominadores

Cuando tenemos radicales en los denominadores es conveniente encontrar una

expresión equivalente que no contenga radicales en el denominador. En esos casos se

dice que se ha racionalizado el denominador. Para ello, se multiplica y se divide la

correspondiente fracción por una expresión adecuada de manera de eliminar el radical

del denominador. Veamos dos posibles casos:


20

Denominador con un solo término

En estos casos se buscará que en el denominador nos quede lo siguiente: √𝑎𝑛𝑚∙ √𝑎𝑤𝑚

con 𝑛 + 𝑤 = 𝑚.

O sea que debemos buscar 𝑤 de manera que 𝑛 + 𝑤 sea 𝑚.

Ejemplos:

a. 3

√7=

3

√7∙

√7

√7=

3√7

√72=

3√7

7

b. 4

√93 =

4

√323 =4

√323 ∙√3

3

√33 =

4 √33

√333 =4 √3

3

3

Denominador de dos términos e índice 2

En estos casos utilizaremos una propiedad denominada producto de binomios

conjugados, la cual veremos con profundidad en otro capítulo. Recordemos su

expresión matemática: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Ejemplos:

3

1 + √2=

3

1 + √2∙

1 − √2

1 − √2=

3 ∙ (1 − √2)

(1 + √2) ∙ (1 − √2)=

3 ∙ (1 − √2)

12 − (√2)2 =

3 ∙ (1 − √2)

1 − 2= −3 ∙ (1 − √2)

Ejercicio 20: Racionalizar los siguientes denominadores:

a. 2

√35 =

b. 1

√2+√3=

c. 1

√253 =

d. (1+√2)

1−√2=

Ejercicio 21: Resolver las siguientes operaciones con radicales:

a. √32 − 3√2 +1

√8=

b. √6. √27 + √75 − 5√8 +2

√2+√3=

Logaritmación

Siendo a, b y n tres números relacionados así: 𝑎𝑛 = 𝑏

Cuando trabajamos con potencia, los datos son a y n y debemos calcular 𝑏.

En la radicación los datos son b y n, debemos entonces calcular la base 𝑎.

Si tenemos como datos 𝑎 y 𝑏 y queremos calcular el exponente n usamos logaritmos.

Definición de logaritmo

Sean 𝑎 y 𝑏 reales positivos, con 𝑎 ≠ 1, diremos que 𝑛 es el logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 si

y sólo si 𝑎 elevado a la 𝑛 es igual a 𝑏

En símbolos:

log𝑎 𝑏 = 𝑛 ⟺ 𝑎𝑛 = 𝑏

La expresión 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 se lee: “logaritmo en base 𝑎 de 𝑏”

Ejemplo:

log28 = 3 Porque 23 = 8

log61

36= −2 Porque 6−2 =

1

36

La expresión simbólica de la definición de logaritmos dice que ambas igualdades son

equivalentes, es decir, la expresión en la forma logarítmica a la izquierda es equivalente

a la expresión de la derecha a la que se llama expresión exponencial.


21

La siguiente tabla tiene varios ejemplos de la equivalencia entre las dos formas:

Forma logarítmica Forma exponencial

log𝑏 𝑥 = 𝑦 𝑏𝑦 = 𝑥

log5 25 = 2 52 = 25

log27 9 =2

3 272 3⁄ = 9

log𝑏 1 = 0 𝑏0 = 1

log1 2⁄ 8 = −3 (1

2)

−3

= 8

Algunas convenciones para tener en cuenta:

El logaritmo en base 10 se llama decimal. La convención es omitir el número 10 (así

como en la raíz cuadrada omitimos el 2), por consiguiente escribimos log 𝑎 en lugar de

log10 𝑎 y leemos logaritmo decimal de 𝑎.

Ejemplos:

a. log 100=2

b. log 1000 =3

c. log 0,001 = -3

El logaritmo que toma como base el número irracional 𝑒 = 2,7182. .. es muy usado en

ciencias físico-matemáticas. Se llama logaritmo natural o neperiano, en homenaje a

John Nepper, que fue su descubridor. La convención es usar el símbolo ln en lugar de

log.

Ejercicio 22:

a. Hallar con la calculadora los valores que se indican los siguientes logaritmos:

b. El valor de 𝑎:

Generalmente es más fácil trabajar con la expresión exponencial. En consecuencia,

cuando surge un problema relativo a 𝑦 = log 𝑥 , con frecuencia es conveniente convertir

la expresión en la forma exponencial.

Por ejemplo, para calcular el valor de log4 16 escribimos

𝑦 = log4 16

Pasamos a la forma exponencial

4𝑦 = 16

Reescribimos ambos miembros usando la misma base

22∙𝑦 = 24

Usando la propiedad de potencia de igual base, igualamos los exponentes

2𝑦 = 4 de donde 𝑦 = 2

log 267 = log 26,7 = log 2,67 =

log 0,267 = log 0,0267 = log 0,0008 =

ln 328 = ln 3,28 = ln 345 =

log a = −3,5 log a = 0,8248 log a = 9,8248

ln a = 7,3216 ln a = 18,35 ln a = −32


22

Ejercicio 23:

Resolver las siguientes ecuaciones

log12

4 = 𝑥

log 3𝑥 = 5

Propiedades de los logaritmos

Sean 𝑎, 𝑚, 𝑝 números reales positivos y 𝑎 1

a. log𝑎(𝑚 ∙ 𝑝) = log𝑎 𝑚 + log𝑎 𝑝

b. log𝑎 (𝑚

𝑃) = log𝑎 𝑚 − log𝑎 𝑃

c. log𝑎(𝑚𝑟) = 𝑟 ∙ log𝑎 𝑚 ; ∀𝑟 ∈ ℝ

d. 𝑎log𝑎 𝑟 = 𝑟 ; 𝑟 ℝ 𝑦 𝑟 0

e. Si 𝑚 𝑝, entonces log𝑎 𝑚 < log𝑎 𝑝 si 𝑎 1

f. Si 𝑚 𝑝, entonces log𝑎 𝑚 > log𝑎 𝑝 si 0 𝑎 1

g. Si log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 entonces 𝑏 = 𝑐

Veamos algunas aplicaciones:

La propiedad f. nos permite afirmar que el log 836 es un numero entre 2 y 3 porque

2 = log 100 ; 3 = log 1000 y 100 < 836 < 1000

La propiedad b. nos permite calcular logaritmos de fracciones, como

log2

1

4= log2 1 − log2 4 = 0 − 2 = −2

La propiedad c. nos permite simplificar expresiones como: log 103𝑥 = 3𝑥 log 10 = 3𝑥

Antes de la utilización de las calculadoras científicas el logaritmo nos permitía resolver

cálculos complejos como 𝑥 =16∙ √128

5

(1

2)

3∙√8

veamos como:

Aplicando logaritmo en base 2 a ambos lados de la igualdad:

log2 𝑥 = log2

16 ∙ √1285

(12)

3

∙ √8

log2 𝑥 = log2 16 +1

5log2 128 − 3 log2

1

2−

1

2log2 8

log2 𝑥 = 4 +1

5∙ 7 − 3 ∙ (−1) −

1

2∙ 3 =

69

10

Luego 𝑥 = 269

10 ≅ 119,42

Con la aparición de las calculadoras estos cálculos pueden resolverse sin necesidad de

aplicar propiedades de los logaritmos, es por ello que utilizaremos dichas propiedades

para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

Práctica del capítulo 1

Ejercicio 1: Resolver los siguientes cálculos:

a. 16: (−2) − (−4 + 2) + 5 ∙ (−1) =

b. (−3 + 5) ∙ (−1 − (−1)) + 4 ∙ [−5 + 4 ∙ (−2 + 7)] =

c. 16:[−3−22:(−2)]−(−2)

4−(−5+2)−(10+(−5)):(−5)+4∙(−2)=


23

Ejercicio 2:

a. Determinar todos los divisores de: 50, 28, 73

b. ¿Cuál es el menor múltiplo de 8 mayor que 128?

c. ¿Cuál es el menor número natural por el que hay que multiplicar a 504 para que

resulte un cuadrado perfecto?

Ejercicio 3: Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

a. Un número es primo si solo es divisible por sí mismo.

b. Todos los números pares son compuestos.

c. El producto de dos números primos es un número compuesto.

d. 1 y -1 son los únicos que tienen inverso en el conjunto de los números enteros.

e. La suma de dos números primos siempre es un número primo.

Ejercicio 4: Al dividir un número natural por 11, se obtiene resto cinco.

a. ¿El número, es múltiplo de 11?

b. ¿Cuál es el menor número que hay que sumarle para obtener un múltiplo de 11?

c. ¿Y el menor que hay que restarle?

Ejercicio 5:

a. Escribir dos fracciones que sean respectivamente equivalentes a las dadas y que

tengan el mismo denominador: 1

3 𝑦

2

5=

5

9 𝑦

7

27=

11

4 𝑦

7

12=

b. Escribir fracciones equivalentes a las dadas en cada caso, donde el denominador

sea el m.c.m. de los denominadores de las fracciones dadas:

5

33 𝑦

7

110=

37

35. 22. 73 𝑦

11

34. 25. 72=

Ejercicio 6:

¿Qué condición ha de cumplir una fracción para que pueda transformarse en un decimal

exacto? ¿Y para que genere un decimal periódico?

Ejercicio 7: Clasificar los siguientes números racionales en decimales exactos y

decimales periódicos (Dar la respuesta sin efectuar la división).

1

3;

2

5;

3

4;

5

8;

7

6;

23

10;

13

5;

4

9

Ejercicio 8: Expresar en forma de fracción:

a. 25, 8̂

b. 4,25

c. 4,25̂

d. 3,047̂

e. 0,152̂

f. 1,23154̂


24

Ejercicio 9: Calcular:

a. 7 − (−8

3) =

b. 7 − (1

3−

1

4) =

c. 3

5−

4

6− 2 =

d. −3

2∙ (

3

5−

4

6) =

e. 5

6:

15

4=

f. (−12

15) : (−

14

27) =

g. (1

3)

−1

∙ (−3)−1 =

h. (3

4)

2

: (3

4)

−2

=

i. 5 ∙ (−1 −1

4)

−1

=

j. (−3

4)

3

∙ (44

3)

k. 3 − 5 ∙1−

1

3

2+1

2

=

l. 7 − 2 ∙2−1

2−1

5

=

m. 3 ∙ (−3) −1

4(

1

3−

1

2) =

n. 50+(−32)

−(8−10)∙

5

3=

o. (−9)∙4∙(−5)

5−

2

(−3)∙(−6)=

Ejercicio 10: Calcular

a. 0, 4̅ + 0, 3̅ + 0, 2̅

b. 3,07̅ − 1,67̅

c. 2,15̅ − 1,48̅

d. 0, 6̅ ∙ 0, 5̅

e. 2,12̅: 0,14̅

Ejercicio 11: Resolver

a. 2𝑎−1

𝑎+

1

𝑎

b. 5

𝑥−

5

𝑥−1

c. 3

5𝑥+

2

𝑦−

1

2𝑥𝑦

d. 𝑎

𝑎−𝑏−

𝑏

𝑎+𝑏

Ejercicio 12: Resolver los siguientes problemas

a. Un automovilista hace un viaje en 2 etapas. En la primera consume 1

5 de la nafta

que llevaba el tanque y en la segunda 1

4 de lo que le quedaba, llegando al final del

trayecto con 30 litros. ¿Con cuántos litros emprendió el viaje?

b. Un escritor escribió un libro en tres meses. En el primero escribió 3

7 del libro, en

el segundo 1

4 de lo que le quedaba. ¿Qué parte del libro escribió en el tercer mes?


25

c. Gabriel tiene $18, que son 2

5 del dinero que le regalaron. ¿Cuánto dinero le

dieron a Gabriel?

d. En una carrea de bicicletas, uno de los ciclistas tarda 16 minutos en recorrer 4

5

del circuito y el otro invierte 14 minutos en recorrer 2

3 del mismo circuito. ¿Cuál de los

ciclistas gana la carrera?

Ejercicio 13: Determinar cuánto debe valer n para que se verifique la igualdad

a. 0,000000123 = 1,23 × 10𝑛

b. 43560000000000000 = 4,356 × 10𝑛

Ejercicio 14: Colocar los exponentes para que sean correctas las igualdades

a. 2540,187 = 2,540187 × 10 = 25401870000 × 10

b. 0,0000215 = 2,15 × 10 = 0,00215 × 10

Ejercicio 15: Resolver

a. √8 + 5√2

b. √18 − 5√20

c. 3√5 − 2√45 + √20

d. √163

− √23

+ 2√543

e. √8 ∙ √23

f. 5√3 − 2√6(1 − √8)

g. 2−2√2

2

h. 3√27−5√3

√3

i. 5√27−2√3

2√27−3√3

Ejercicio 16: Racionalizar los denominadores

a. 3

√2−1

b. 5

√5

c. 2𝑥

√𝑥

d. 4

3√2

e. 4

√5∙√8

f. 5

3√2−1

Ejercicio 17:

¿Cuál es el perímetro de un rectángulo cuya base mide √8 y su altura es 1 + √2 ? ¿Cuál

es la medida de su área?


26

Ejercicio 18: Calcular, sin usar la calculadora

a. √1,6 ∙ 105

b. √0,00014

c. √2,5 ∙ 10−3

Ejercicio 19: Aplique propiedades de logaritmo para desarrollar las siguientes

expresiones:

a. log4(𝑥. 𝑧)

b. log𝑦

𝑥

c. log𝑦5𝑤2

𝑥4𝑧3

d. ln √𝑥7

𝑦5𝑧

4

Ejercicio 20: Sabiendo que log3 8 = 1,9, calcule el valor aproximado de:

a. log3 24

b. log3 64

c. log3 2

Ejercicio 21: Simplifique cada expresión al logaritmo de una sola cantidad:

a. ln 6 + ln 𝑥

b. log 𝑥 − log 5

c. 2 log3 𝑥 + log3 𝑚

d. 2 + log5 𝑥

e. 2

3log2 𝑥 − log2 𝑦 + log2 𝑟

f. − log2 𝑧 − log2 𝑥 +1

2log2 𝑦


27

2. ECUACIONES - FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

Para comenzar este capítulo debemos primero definir los dos conceptos fundamentales

que son el de ecuación y función. Esta conceptualización nos permitirá diferenciar

ambos términos.

2.1. Definición de ecuación:

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones denominadas miembros

y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos y

elementos desconocidos o incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas.

Las ecuaciones pueden clasificarse según el número de incógnitas que incluyan o por

las operaciones que afecten a estas incógnitas. Decimos que una ecuación es de una sola

incógnita cuando solo aparece un valor desconocido, y si aparecen dos es de dos

incógnitas, y si aparecen n valores desconocidos será de n incógnita.

Según las operaciones que afectan a las incógnitas las ecuaciones se clasifican en

algebraicas y trascendentes. Se llaman algebraicas cuando las incógnitas están afectadas

de alguna de las operaciones algebraicas conocidas como: suma, resta, multiplicación,

división, potenciación y /o radicación. Si las incógnitas están afectadas de operaciones

que trascienden el campo del algebra se llaman trascendente, las ecuaciones

logarítmicas, exponenciales o trigonométricas son algunos ejemplos de ellas.

Ejemplos:

a. ecuación algebraica: 3𝑥2 −3

𝑥= √2𝑥 − 1

b. ecuación trascendente: ln(𝑥 + 𝑦) = 4

2.2. Definición de función

Una función 𝑓 es una regla que asigna a cada elemento 𝑥 de un conjunto 𝐴 exactamente

un elemento, llamado 𝑓(𝑥), de un conjunto 𝐵

El conjunto 𝐴 recibe el nombre de dominio.

El conjunto 𝐵 recibe el nombre de conjunto de llegada.

En general consideramos funciones para las cuales los conjuntos 𝐴 y 𝐵son conjuntos de

números reales.

Utilizamos la letra "𝑥" para representar a cada elemento del dominio, y la letra "𝑦" para

representar a cada elemento del conjunto de llegada.

𝑥: variable independiente

𝑦: variable dependiente

Utilizamos las letras 𝑓 𝑔 ℎ o 𝑡 para designar las funciones y a la relación funcional la

escribiremos: 𝑦 = 𝑓(𝑥) Esta igualdad se lee “𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥” o bien “𝑦 es la

imagen de 𝑥 mediante la función 𝑓 ”.

El Rango de 𝑓 es el conjunto de todos los valores 𝑓(𝑥) correspondientes a cada uno de

los elementos del dominio.

Rango = {𝑓(𝑥)|𝑥 ∈ 𝐴}

Las funciones se pueden representar en distintas formas:

Forma verbal (mediante una descripción coloquial).

Forma algebraica (por medio de una fórmula explícita).


28

Forma visual (con una gráfica).

Forma numérica (a través de una tabla de valores)

Una función puede ser representada en las cuatro formas, y muy seguido es útil pasar de

una a otra para comprender mejor la relación. Sin embargo, algunas funciones son

expresadas de manera más directa mediante una forma particular en lugar de cualquier

otra.

Un ejemplo de una función descrita en forma verbal es “La población del mundo es

función del tiempo responde a 𝑃(𝑡)”. Por otro lado, una representación útil del área de

un círculo como función de su radio es la fórmula algebraica 𝐴(𝑟) = 𝜋𝑟2

2.3. Ecuaciones lineales

Definición

Una ecuación con una incógnita se dice lineal o de primer grado, cuando el mayor

exponente con que figura la incógnita es uno.

Así 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 y 𝑎 ≠ 0 es una ecuación lineal.

Para resolver una ecuación lineal realizamos operaciones en ella hasta que tenemos una

ecuación equivalente.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes, si tienen las mismas soluciones.

Para resolver una ecuación, intentamos determinar una que sea más simple y

equivalente, y que tenga la variable sola en uno de los lados del signo igual. A

continuación se presentan las propiedades que utilizamos para resolver una ecuación.

(En éstas,𝐴, 𝐵 y 𝑐 representan cualquier expresión algebraica, y el símbolo ()

significa “es equivalente a”).

Propiedades de la igualdad

Propiedad Descripción

𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 + 𝑐 = 𝐵 + 𝑐 Al sumar la misma cantidad a ambos lados,

se obtiene una ecuación equivalente.

𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ∙ 𝑐 = 𝐵 ∙ 𝑐 (𝑐 ≠ 0)

Multiplicando ambos lados por una misma

cantidad diferente de cero, se obtiene una

ecuación equivalente

Ejemplos:

a. Resolver: 5𝑥 − 6 = 3𝑥

Solución: Empezamos por dejar los términos que implican a x en un lado y las

constantes en el otro.

5𝑥 − 6 = 3𝑥

5𝑥 − 6 + (−3𝑥) = 3𝑥 + (−3𝑥) (Sumando −3𝑥 a ambos miembros)

2𝑥 − 6 = 0 (Simplificando)

2𝑥 − 6 + 6 = 0 + 6 (Sumando 6 a ambos miembros)

2𝑥 = 6 (Simplificando) 2𝑥

2 =

6

2 (Dividiendo ambos miembros entre 2)

𝑥 = 3


29

b. Resolver: 2(𝑝 + 4) = 7𝑝 + 2

Solución: Primero quitamos los paréntesis

2(𝑝 + 4) = 7𝑝 + 2

2𝑝 + 8) = 7𝑝 + 2 (Propiedad distributiva)

2𝑝 + 8 − 8 = 7𝑝 + 2 − 8 (Restando 8 a ambos miembros)

−5𝑝 = −6 (Restando 7𝑝 de ambos miembros)

𝑝 = −6

−5 (Dividiendo ambos miembros entre -5)

𝑝 = 6

5

c. Resolver: 7x+3

2−

9x−8

4= 6

Solución: Primero eliminamos las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación

por el mínimo común denominador, que es 4

4 ∙ (7𝑥 + 3

2−

(9𝑥 − 8)

4) = 4 ∙ 6

4 ∙7𝑥 + 3

2− 4 ∙

9𝑥 − 8

4 = 24 (propiedad distributiva)

2 ∙ (7𝑥 + 3) − (9𝑥 − 8) = 24 (simplificando)

14𝑥 + 6 − 9𝑥 + 8 = 24 (propiedad distributiva)

5𝑥 + 14 = 24 (simplificando)

5𝑥 = 10 (restando 14 de ambos miembros)

𝑥 = 2 (dividiendo ambos miembros entre 5)

Ejercicio 1:

Resolver las siguientes ecuaciones.

a. 7𝑥 + 7 = 2(𝑥 + 1)

b. 5 +4𝑥

9=

𝑥

2

Solución de problemas mediante ecuaciones

Ejemplo:

Resolvamos el siguiente problema

a. El tiempo que permanece encendida la luz amarilla de un semáforo es un

segundo más largo que 0,05 veces el límite de velocidad de la calle que éste controla.

¿Cuál es el tiempo de encendido de la luz amarilla de un semáforo que controla una

calle con un límite de velocidad de 30 mi/h?

Solución:

Datos: La luz amarilla permanece encendida 0,05 veces el límite de velocidad más 1

segundo. El tiempo de encendido es 1 segundo más largo que 0,05 veces el límite de

velocidad.

Escribimos este enunciado en símbolos: 𝑦 = 1 + 0,05 ∙ 𝑠


30

Para un límite de velocidad de 30 mi/h, s sería igual a 30. De este modo tenemos lo

siguiente:

𝑦 = 1 + 0,05(30)

𝑦 = 1 + 1,5

𝑦 = 2,5

Respuesta: En una calle con un límite de velocidad de 30 mi/h, 2,5 segundos es un

tiempo razonable de encendido para la luz amarilla.

2.4. Función Lineal

A la función polinómica de primer grado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 siendo 𝑎 y 𝑏 números reales,

se la denomina función lineal.

La representación gráfica de una función lineal es una recta.

El número 𝑎 se llama pendiente de la recta y mide la inclinación de la misma respecto

de la horizontal.

El número 𝑏 recibe el nombre de ordenada al origen y es la ordenada del punto de

intersección de la recta con el eje 𝑦.

Ecuación explicita de la recta: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente

(∆𝑦) y la variación de la variable independiente (∆𝑥) de cualquier punto de la misma.

𝑎 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

∆𝑦

∆𝑥

La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje 𝑦.

𝑓(0) = 𝑏

El valor de la pendiente determina que una función lineal sea creciente, constante o

decreciente.


31

Representación gráfica de una función lineal

Para graficar una función lineal se debe marcar la ordenada al origen (b) y, a partir de

ella, representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a)

como se muestra a continuación.

Ejercicio 2:

Representar las siguientes funciones a partir de la ordenada al origen y la pendiente.

a. 𝑦 =1

2𝑥

b. 𝑦 = −𝑥 + 2

c. 𝑦 =2

3𝑥 − 1

d. 𝑦 = −1

4𝑥 + 3

2.5. Perpendicularidad y Paralelismo entre rectas

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.

𝑀: 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 ∧ 𝑃: 𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 ∧ 𝑀 ∥ 𝑃 ⇔ 𝑎1 = 𝑎2

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas.

𝑆: 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 ∧ 𝑁: 𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 ∧ 𝑆 ⊥ 𝑁 ⇔ 𝑎1 = −1

𝑎2


32

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2 ; 1) y es paralela a 𝑦 = 5𝑥 + 1.

𝑥 = 2 ∧ 𝑦 = 1 ∧ 𝑎 = 5

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 1 = 5 ∙ 2 + 𝑏 ⟹ 1 = 10 + 𝑏 ⟹ 𝑏 = −9

𝑦 = 5𝑥 − 9

Ejercicio 3:

a. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1; 3) y es perpendicular a

𝑦 = −2𝑥 + 1.

Ejercicio 4:

Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso.

a. 𝑦 = 2𝑥 + 1 ∥ 𝑦 = 2

b. 𝑦 =1

3𝑥 ⊥ 𝑦 = −3𝑥 + 2

c. 𝑦 = 𝑥 − 1 ∥ 𝑦 = −𝑥 + 1

d. 𝑦 = 2 ∥ 𝑦 = −5

e. 𝑦 = 1 − 𝑥 ⊥ 𝑦 = −1 + 𝑥

f. 𝑦 = 3 ⊥ 𝑦 = −1

3

2.6. Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma

La fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente 𝑎 y un punto

perteneciente a la misma (𝑥1; 𝑦1) es:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)

Ejemplo:

La ecuación explicita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1; 3) es:

𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 1) ⇒ 𝑦 − 3 = 2𝑥 − 2 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 2 + 3 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 + 1

2.7. Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma

La fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ellas:


33

(𝑥1; 𝑦1) y (𝑥2; 𝑦2)

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1=

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

Ejemplo:

La ecuación explicita de una recta que pasa por los puntos (2; 1) y (5; 3) es:

𝑦 − 1

3 − 1=

𝑥 − 2

5 − 2⇒

𝑦 − 1

2=

𝑥 − 2

3⇒ 𝑦 − 1 = (

1

3𝑥 −

2

3) ∙ 2 ⇒ 𝑦 =

2

3𝑥 −

4

3+ 1 ⇒

⇒ 𝑦 =2

3𝑥 −

1

3

2.8. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Dos ecuaciones con dos incógnitas

Ejemplo:

Victoria se encontró con su amiga Magdalena y le comentó: Me compré una camisa

muy linda y una remera. ¿Cuánto te costó cada cosa?, le preguntó Magdalena. No

dispuesta a satisfacer fácilmente la curiosidad de su amiga, Victoria respondió en forma

enigmática: Sé que en total gasté $100 y que con lo que pagué la camisa hubiera podido

comprar exactamente 3 remeras. ¿Cómo podemos calcular el precio de cada prenda?

Llamamos: “𝑥” al precio de la camisa e “𝑦” al precio de una remera

Traducimos el problema planteando dos ecuaciones {𝑥 + 𝑦 = $100

𝑥 = 3𝑦

Existen infinitos pares de valores que satisfacen la primera ecuación, es decir, que

suman $100. Por ejemplo: 𝑥 = $70 e 𝑦 = $30; 𝑥 = $75 e 𝑦 = $25; 𝑥 = $80 e 𝑦 = $20.

También son infinitos los pares de valores que cumplen la segunda ecuación, donde un

valor es igual al triple del otro.

Por ejemplo: 𝑥 = $60 e 𝑦 = $20; 𝑥 = $75 e 𝑦 = $25. Pero existe un único par que

satisface las dos ecuaciones, 𝑦 es 𝑥 = $75 e 𝑦 = $25.

Por lo tanto el precio de la camisa es $75 y el de la remera $25.

En este problema hemos hallado el valor de dos incógnitas que llamamos 𝑥 e 𝑦.

Por tener que cumplir el problema dos condiciones hemos planteado dos ecuaciones y

por estar sus incógnitas elevadas a la primera potencia; las llamamos lineales.

Para expresar que estas condiciones deben cumplirse simultáneamente, hemos formado

un sistema.

Dadas las características de este problema, hemos resuelto un sistema lineal de dos

ecuaciones con dos incógnitas.

2.9. Métodos para resolver un sistema de ecuaciones

Método de igualación

Ejemplo:

En un teatro hay 500 butacas entre platea y pullman. En un día de función a sala llena,

se recaudaron $22000. Si los precios de cada butaca en platea y pullman son

respectivamente $50 y $30, ¿cuántas butacas de cada clase hay en ese teatro?

Llamamos:

𝑥 al número de butacas en platea

𝑦 al número de butacas en pullman.


34

Traducimos el enunciado del problema planteando el siguiente sistema, en este caso

despejamos 𝑥; pero puede hacerse despejando 𝑦:

{𝑥 + 𝑦 = 500

50𝑥 + 30𝑦 = 22000

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar distintos métodos que iremos

viendo a lo largo de este capítulo.

Comenzamos despejando una misma incógnita de las dos ecuaciones, en este caso

despejamos 𝑥; pero puede hacerse despejando 𝑦.

De la primera ecuación: 𝑥 = 500 − 𝑦

De la segunda ecuación: 𝑥 =22000−30𝑦

50

El valor de x representa, en nuestro problema, el número de plateas que es el mismo

para las dos ecuaciones; por lo tanto, podemos igualar los segundos miembros de las

igualdades obtenidas.

500 − 𝑦 =22000 − 30𝑦

50

50 ∙ (500 − 𝑦) = 22000 − 30𝑦

Observen que hemos obtenido una ecuación con una sola incógnita que es 𝑦, por lo

tanto, podemos hallar su valor.

25000 − 50𝑦 = 22000 − 30𝑦

25000 − 22000 = −30𝑦 + 50𝑦

3000 = 20𝑦 3000

20= 𝑦

𝑦 = 150

Reemplazamos y por el valor hallado en alguna de las dos ecuaciones obtenidas al

despejar 𝑥 en.

𝑥 = 500 − 𝑦

𝑥 = 500 − 150

𝑥 = 350 Respuesta: En el teatro hay 350 butacas en platea y 150 butacas en pullman.

Ejercicio 5:

Si al comienzo hubiéramos despejado 𝑦 de las dos ecuaciones, ¿se obtiene el mismo

resultado?

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación, primero

despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones y luego, igualamos las

expresiones obtenidas en el paso anterior.

Método gráfico. Clasificación de sistemas

Ejemplo:

Sergio y Luis deben llegar juntos a la casa de Carlos para darle un regalo de

cumpleaños. Sergio vive a 32 km de la casa de Carlos y se dirige hacia allí en auto, a

una velocidad constante de 60 km/h. Luis vive en la misma ruta que Sergio, pero 10 km

más cerca de la casa de Carlos, y va hacia ésta en moto, a una velocidad constante de 40

km/h.


35

Los dos amigos combinan el encuentro por teléfono y salen simultáneamente de sus

casas. Averigüen si el encuentro se produce antes de llegar a la casa de Carlos y cuántos

km fa1tan para llegar. ¿Al cabo de cuánto tiempo se produjo dicho encuentro?

Llamamos:

𝑡 al tiempo que tardan Sergio y Luis en encontrarse;

𝑑 a la distancia recorrida por Sergio en el tiempo 𝑡;

(𝑑 – 10) a la distancia recorrida por Luis en el tiempo 𝑡.

Planteando las ecuaciones de movimiento de los dos amigos, obtenemos el siguiente

sistema:

{𝑑 = 60𝑡

𝑑 − 10 = 40𝑡 o bien {

𝑑 = 60𝑡𝑑 = 40𝑡 + 10

Observen que cada una de estas ecuaciones expresa una función lineal de variable t que

podemos representar gráficamente:

Observen que el encuentro entre ambos amigos es el punto

de intersección de ambas rectas.

En el gráfico, vemos que Sergio y Luis se encontraron en

𝑡 = 0,5 horas, o sea, luego de media hora y a una distancia

de la partida d = 30 km y les faltaban 2 km para llegar a la

casa de Carlos.

Para resolver un sistema con dos incógnitas 𝑥 e 𝑦, despejamos y de ambas ecuaciones y

graficamos las funciones lineales que se obtienen.

𝑆 = {(0,5 ; 30)}

La solución del sistema es el punto de intersección de las rectas que resultan en ese

gráfico.

Por tener solución, el sistema del ejemplo dado es compatible y, por ser única esta

solución, el sistema es determinado.

Ejercicio 6:

Resuelvan los siguientes sistemas por igualación y verifiquen gráficamente la solución

obtenida.

a. {3𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 4

b. {2𝑥 + 5 = 2𝑦𝑦 − 4𝑥 = 1

c. {0,5𝑥 − 3𝑦 = 1

𝑥 − 𝑦 = −3

d. {5𝑥 − 𝑦 = 1

𝑥 + 𝑦 − 11 = 0

Para Luis

t (horas) 0 0,4 0,5 0,6 0,7

d (km) 10 26 30 34 38

Para Sergio

t (horas) 0 0,4 0,5 0,6 0,7

d (km) 0 24 30 36 42

42

36

30

24

10

0,4 0,70,60,5t (h)

d (Km)


36

Ejemplo:

Pensemos en un problema similar al anterior en el que los dos amigos salen de los

mismos lugares que antes pero a igual velocidad, por ejemplo, a 40 km/h.

Las ecuaciones de movimiento y el gráfico correspondiente serán:

{𝑑 = 40𝑡

𝑑 = 40𝑡 + 10

Es lógico pensar que, como van a la misma velocidad y uno sale 10 km delante del otro,

nunca se van a encontrar.

Si no hay encuentro, el sistema no tiene solución, es incompatible.

Veamos qué sucede al resolver analíticamente este sistema por igualación:

Como 𝑑 = 𝑑 ⇒ 40𝑡 = 40𝑡 + 10

40t − 40t = 10

0t = 10

0 = 10 Absurdo

No existen valores de 𝑡 y 𝑑 que cumplan estas ecuaciones simultáneamente.

Decimos que el sistema no tiene solución o que el conjunto solución es vacío. 𝑆 = { }

Respuesta: Los amigos, con estas condiciones, no se encuentran.

Ejemplo:

Resolvamos otra situación analítica y gráficamente.

Compré un cuaderno y un lápiz por $4. Si 2 lápices y 2 cuadernos del mismo tipo

cuestan $8, ¿cuál es el precio de cada cosa?

El sistema que resulta es: {𝑥 + 𝑦 = 4

2𝑥 + 2𝑦 = 8

Despejamos 𝑦 de ambas ecuaciones para aplicar el

método gráfico:

{𝑦 = 4 − 𝑥 → 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑅1

𝑦 =8−2𝑥

2 → 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑅2

En el gráfico hemos obtenido dos rectas coincidentes 𝑅1

y 𝑅2por lo tanto, la intersección es el conjunto de

infinitos puntos que pertenecen a cualquiera de ellas.

𝑆 = 𝑅1 = 𝑅2. El sistema tiene infinitas soluciones, y es indeterminado.

𝑆 = {(𝑥; 4 − 𝑥)}

Volviendo al problema, vemos que hay finitos precios de los lápices y cuadernos que

cumplen las condiciones del problema; son todos los pares que se forman con 0 < 𝑥 <4 y 𝑥 ∈ 𝑅, ya que no tiene sentido considerar precios negativos.

De los ejemplos anteriores podemos hacer la siguiente síntesis:

Si un sistema tiene solución, es compatible y si no la tiene, es incompatible. .

Si un sistema tiene solución única, es determinado y si tiene infinitas soluciones, es

indeterminado.

t (horas) 0 0,5 ...

d = 40t km) 0 20 ...

t (horas) 0 0,5 ...

d = 40t (km) 10 30 ...

d (Km)

Y


37

Método de sustitución

Averiguar dos números que cumplan con las siguientes condiciones:

La suma entre el doble del primero y el triple del segundo es 9, y la diferencia entre el

cuádruple del primero y el segundo es 11.

Llamando x al primer número e y al segundo, obtenemos el siguiente sistema:

{2𝑥 + 3𝑦 = 94𝑥 − 𝑦 = 11

Recuerden que si en un sistema de ecuaciones se despeja una incógnita y la expresión

resultante se reemplaza en las demás ecuaciones, el sistema obtenido es equivalente al

primero. Por lo tanto, vamos a despejar una incógnita de alguna de las dos ecuaciones y

luego, la sustituimos en la otra ecuación.

Despejamos x de la primera ecuación: 𝑥 =9−3𝑦

2

Sustituimos x por su valor en la segunda ecuación: 4 ∙ (9−3𝑦

2) − 𝑦 = 11

Hemos obtenido así, una ecuación con una sola incógnita.

Resolvemos la ecuación:

2 ∙ (9 − 3𝑦) − 𝑦 = 11

18 − 6𝑦 − 𝑦 = 11

7𝑦 = 11 − 18

𝑦 =−7

−7

𝑦 = 1

Sustituimos 𝑦 por el valor hallado en el despeje de 𝑥 hecho al comienzo:

𝑥 =9 − 3𝑦

2 ⇒ 𝑥 =

9 − 3 ∙ 1

2 ⇒ 𝑥 = 3

𝑆 = {(3; 1)}

Para resolver un sistema por el método de sustitución, despejamos una incógnita de

cualquiera de las dos ecuaciones y la sustituimos en la otra, obteniéndose así una

ecuación con una sola incógnita que despejamos para luego encontrar la otra incógnita

mediante un nuevo reemplazo.

Método de reducción por sumas o restas Le preguntaron una vez a don Zoilo "¿cuántas gallinas y cuántas vacas hay en su

campo?" A lo que él contestó muy enigmático: "La diferencia entre el número de

gallinas y vacas es 30 y entre todos los animales hay 180 patas".

¿Cómo calculamos el número de animales de cada clase que tiene don Zoilo?

Llamamos: 𝑥 al número de gallinas e 𝑦 al número de vacas. Por lo tanto:

{𝑥 − 𝑦 = 30

2𝑥 + 4𝑦 = 180

Recuerden que si una ecuación se multiplica por un número real no nulo, se obtiene una

ecuación equivalente a la primera. Esta misma regla se aplica a los sistemas de

ecuaciones.

Por lo tanto, vamos a multiplicar una de las ecuaciones del sistema por un número para

igualar los coeficientes de alguna de las incógnitas.

Multiplicamos la primera por 2 para igualar los coeficientes de 𝑥


38

{2𝑥 − 2𝑦 = 60

2𝑥 + 4𝑦 = 180

Restando miembro a miembro eliminamos la incógnita 𝑥

−6𝑦 = −120

Despejamos 𝑦

𝑦 =−120

−6 ⇒𝑦 = 20

Volvemos al sistema original

Multiplicamos la primera por 4 para igualar los coeficientes de 𝑥

{4𝑥 − 4𝑦 = 1202𝑥 + 4𝑦 = 180

Sumamos porque los términos que tienen 𝑦 son opuestos

6x = 300 Despejamos 𝑥

𝑥 = 300/6 ⇒ 𝑥 = 50

Respuesta: En la granja de don Zoilo hay 50 gallinas y 20 vacas

Para resolver un sistema por el método de reducción multiplicamos una ecuación, si es

necesario, por un número distinto de cero para igualar los coeficientes de una de las

incógnitas y luego, sumamos o restamos para eliminar dicha incógnita y así, poder

despejar la otra.

Ejercicio 7:

Aplicar el método de reducción para resolver los siguientes sistemas. Clasificarlos y

representarlos gráficamente.

a. {3𝑥 + 2𝑦 = 4

3𝑥 + 2𝑦 = −2

b. {3𝑥 + 2𝑦 = 46𝑥 + 4𝑦 = 8

c. {3𝑥 + 2𝑦 = 43𝑥 − 2𝑦 = 8

d. {𝑥 − 2𝑦 = 2

3𝑥 + 6𝑦 = 24

2.10. Ecuaciones Cuadráticas

Definición:

Se llama ecuación cuadrática a toda expresión de la forma 02 cbxax , donde 𝑎, 𝑏,

y 𝑐 son constantes 𝑦 𝑎 ≠ 0

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Para resolver ecuaciones cuadráticas observaremos primero si es una ecuación

cuadrática completa o incompleta. Veamos los siguientes casos:

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Ecuación cuadrática de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0


39

Para resolver este tipo de ecuaciones cuadráticas deberemos aplicar propiedades de la

igualdad como hicimos en las ecuaciones lineales. Debemos prestar atención cuando

elevemos al cuadrado ambos miembros.

Recordemos que √𝑎2 = |𝑎|

Ejemplo: Resolver la ecuación 2𝑥2 − 8 = 0 2𝑥2 − 8 = 0

2𝑥2 − 8 + 8 = 0 + 8

2𝑥2 = 8 1

2∙ 2𝑥2 =

1

2∙ 8

𝑥2 = 4

|𝑥| = 4

𝑥 = ±4

Ecuación cuadrática de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0

En este caso podremos observar que ambos términos del primer miembro tienen en

común la incógnita. Es por ello que podremos rescribir la ecuación de la forma 𝑥(𝑎𝑥 +𝑏) = 0, observando que hemos sacado 𝑥 como factor común.

Recordando la propiedad:

𝑆𝑖 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0

Ejemplo:

Resolver la ecuación 2𝑥2 + 3𝑥 = 0

2𝑥2 + 3𝑥 = 0

𝑥(2𝑥 + 3) = 0

𝑥 = 0 ∨ 2𝑥 + 3 = 0

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = −3

2

Ecuación cuadrática completa: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 En este caso no podremos valernos de ninguna de las técnicas anteriores para resolver

una ecuación de este tipo. Utilizaremos una técnica denominada “completar cuadrados”.

Primero recordemos el cuadrado de un binomio:

(𝑚 + 𝑛)2 = 𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2

Coloquialmente el cuadrado de un binomio podemos afirmar que es igual al cuadrado

del primer término más el doble del producto de ambos términos más el cuadrado del

segundo término.

Para comenzar dividiremos nuestra ecuación cuadrática por a y pasaremos el término

independiente que le quede al otro miembro

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

Ahora establezcamos relaciones con el trinomio cuadrado perfecto

𝑥2 = 𝑚2 ⟹ 𝑥 = 𝑚

2𝑚𝑛 =𝑏

𝑎𝑥

Pero por como dijimos que 𝑚 = 𝑥

2𝑛 =𝑏

𝑎


40

Por lo que 𝑛 = (𝑏

𝑎) : 2, o dicho de otro modo el segundo miembro del binomio es igual a

la mitad de coeficiente lineal.

Esto quiere decir que si sumamos en ambos miembros de la ecuación el cuadrado de la

mitad del coeficiente lineal, el primer miembro resultara ser un trinomio cuadrado

perfecto.

Ejemplo:

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 En este caso no es necesario dividir por el coeficiente cuadrático porque es 1.

𝑥2 + 2𝑥 = 3 Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal o sea, sumamos el cuadrado de

la mitad de 2

𝑥2 + 2𝑥 + 12 = 3 + 12

Ahora el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto

(𝑥 + 1)2 = 4

√(𝑥 + 1)2 = √4

|𝑥 + 1| = 2

𝑥 + 1 = ±2

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −3

Ejemplo:

4𝑥2 + 12𝑥 − 7 = 0

Multiplicamos ambos miembros por1

4

𝑥2 + 3𝑥 −7

4= 0

𝑥2 + 3𝑥 =7

4

Sumamos (3

2)

2

para completar el cuadrado

𝑥2 + 3𝑥 + (3

2)

2

=7

4+ (

3

2)

2

(𝑥 +3

2)

2

= 4

|𝑥 +3

2| = 2

𝑥 +3

2= 2 o 𝑥 +

3

2= −2

𝑥 =1

2 o 𝑥 = −

7

2

Solución de problemas: Empleo de ecuaciones cuadráticas

Para algunos problemas, una ecuación cuadrática hará las veces de modelo matemático.

Ejemplo:

Un prado rectangular de 60 m por 80 m es excavado para hacer una piscina en su

interior, dejando una franja de césped de ancho uniforme en torno a la misma. El área

de la piscina es 1

6 ; del prado. ¿Cuál es el ancho de la franja de césped?


41

Datos: Las dimensiones del prado son 60 m por 80 m.

La piscina cubre la sexta parte del área total.

En primer lugar, dibujemos un diagrama. Sea x el ancho del césped, entonces

Área total = 60 x 80

Área de la piscina = (60 – 2x) (80 – 2x)

El área de la piscina es 6

1del área total del prado.

Por lo tanto:

(60 − 2𝑥)(80 − 2𝑥) =1

6∙ 60 ∙ 80

4800 − 160𝑥 − 120𝑥 + 4𝑥2 = 800

4𝑥2 − 280𝑥 + 4000 = 0

𝑥2 − 70𝑥 + 1000 = 0

𝑥2 − 70𝑥 + (−70

2)

2

= −1000 + (−70

2)

2

(𝑥 − 35)2 = 225

𝑥 − 35 = ±15

𝑥 = 50 o 𝑥 = 20

Conclusión: Podemos ver que 50 no puede ser una solución, pues cuando x es 50, 60 -

2x, que es el ancho de la piscina, es -40. Como sabemos, el ancho de una piscina no

puede ser negativo.

Un ancho de 20 metros de la franja satisface las condiciones del problema. Como el

ancho debe ser menor que 60, es una respuesta razonable.

Ejemplo:

Dos ciclistas 𝐴 y 𝐵 parten de un punto 𝑃 al mismo tiempo y en direcciones que forman

un ángulo recto entre sí. 𝐵 se desplaza 7 km/h más rápido que 𝐴. Después de 3 horas se

encuentran a 39 km. de distancia uno del otro. Determina la velocidad de cada uno de

ellos.

Solución: En primer lugar trazamos un dibujo, representando 𝑣 la velocidad de 𝐴 y 𝑣 +

7 la de Como ambos se desplazan durante 3 horas, sus distancias a partir de 𝑃 son 3𝑣 y

3(𝑣 + 7) respectivamente.

Utilizando el teorema de Pitágoras

[3(𝑣 + 7)]2 + (3𝑣)2 = 392

9(𝑣 + 7)2 + 9𝑣2 = 1521

Multiplicando por 1

9

(𝑣 + 7)2 + 𝑣2 = 169

𝑣2 + 14𝑣 + 49 + 𝑣2 = 169

2𝑣2 + 14𝑣 = 120

Multiplicando por 1

2

𝑣2 + 7𝑣 = 60


42

𝑣2 + 7𝑣 + (7

2)

2

= 60 + (7

2)

2

(𝑣 +7

2)

2

=289

4

𝑣 +7

2= ±

17

2

𝑣 = 5 o 𝑣 = −12

Respuesta: Las soluciones de la ecuación son -12 y 5. Como la velocidad no puede ser

negativa, -12 no es una solución. La velocidad de A es 5 km/h y la de B es 12 km/h.

Ejercicio 8:

Dos corredores 𝐴 y 𝐵 parten del mismo punto 𝑃 en direcciones que forman un ángulo

recto entre sí. A corre 4 km/h más rápido que 𝐵. Después de dos horas se encuentran a

40 km de distancia uno del otro. Calcula la velocidad a la que se desplaza cada uno de

ellos.

La fórmula cuadrática: Resolvente

Solución de ecuaciones utilizando la fórmula cuadrática

Algunas ecuaciones cuadráticas no se pueden resolver mediante factorización. A

continuación mostramos una fórmula que proporciona las soluciones de cualquier

ecuación cuadrática.

Las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado en una variable del tipo:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, están dadas por la fórmula cuadrática llamada resolvente

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Demostración:

Consideraremos cualquier ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, (𝑎 > 0).

Completando el cuadrado.

Multiplicando por 1

a

x2 +b

ax +

c

a= 0

Sumando −c

a

x2 +b

ax = −

c

a

La mitad de b

a es

b

2a cuyo cuadrado es

b2

4a2 completamos el cuadrado

Sumando b2

4a2 a ambos miembros

x2 +b

ax +

b2

4a2= −

c

a+

b2

4a2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −4𝑎𝑐

4𝑎2+

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2


43

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 Como 𝑎 > 0, |𝑎| = 𝑎

Las soluciones están dadas por 𝑥 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Ejemplo:

Resuelve: 3𝑥2 + 5𝑥 = −1

Primero hay que encontrar la forma estándar y determinar 𝑎, 𝑏 y 𝑐

3x2 + 5x + 1 = 0 ; a = 3, b = 5, c = 1

Después, hay que utilizar la fórmula cuadrática

𝑥 =−b ± √b2 − 4ac

2a

Sustituyendo

x =−5 ± √52 − 4 ∙ 3 ∙ 1

2 ∙ 3

−5 ± √25 − 12

6=

−5 ± √13

6

Conclusión: Las soluciones son −5+√13

6 y

−5−√13

6

Nota: Cuando se utiliza la fórmula cuadrática, las soluciones que se obtienen son

soluciones de la ecuación original a menos que se haya cometido un error de cálculo.

Ejercicio 9:

Resuelve utilizando la fórmula cuadrática.

a. 3𝑥2 + 2𝑥 = 7

b. 5𝑥2 + 3𝑥 = 9 Cuando la expresión dentro del signo radical es negativa, la ecuación no tiene solución

en el conjunto de los Reales.

Ejercicio 10:

Resuelve

a. 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0

b. 3𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0

Soluciones de las ecuaciones cuadráticas

Ahora centraremos nuestra atención en las ecuaciones con coeficientes reales.

Discriminante

La expresión (b2 - 4ac) de la fórmula cuadrática se llama discriminante. Con este

número podemos determinar la naturaleza de las soluciones o raíces de una ecuación

cuadrática.

Teorema

Una ecuación ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0y coeficientes reales, tiene.

a. Exactamente una raíz real si b2 − 4ac = 0.

b. Dos raíces reales si b2 − 4ac > 0.

c. Dos raíces complejas que son conjugadas entre sí cuando b2 − 4ac < 0.


44

Ejemplo:

Determina la naturaleza de las raíces de 9𝑥2 − 12𝑥 + 4 = 0

𝑎 = 9, 𝑏 = −12 y 𝑐 = 4

Calculemos el discriminante:

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−12)2 − 4 ∙ 9 ∙ 4 = 144 − 144 = 0

Por el teorema sólo hay una raíz y ésta es un número real.

Ejemplo:

Determina la naturaleza de las raíces de 𝑥2 + 5𝑥 + 8 = 0.

𝑎 = 1, 𝑏 = 5 y 𝑐 = 8

Calculemos el discriminante.

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 52 − 4 ∙ 1 ∙ 8 = 25 − 32 = −7

Conclusión: En vista de que el discriminante es negativo, la ecuación no tiene raíces

reales. Sus raíces son complejas y conjugadas entre sí.

Ejercicio 11:

Determina la naturaleza de las raíces de cada ecuación.

a. 𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0

b. 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0

Escritura de la ecuación a partir de sus raíces

Podemos utilizar el principio de la igualdad de un producto con 0, para escribir una

ecuación cuadrática cuyas soluciones sean conocidas.

Ejemplo:

Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y −2

5

x = 3 ó x = −2

5

x − 3 = 0 ó x +2

5= 0

(x − 3) (x +2

5) = 0 (Multiplicando)

𝑥2 −13

5𝑥 −

6

5= 0

5𝑥2 − 13𝑥 − 6 = 0 (Multiplicando por 5, el MCM)

Ejercicio 11:

Encuentra una ecuación cuadrática cuyas raíces sean las siguientes.

a. −4;5

3

b. −7; 8

c. 8; −9

d. 3 + √2 ; 3 − √2


45

Funciones Cuadráticas

A la función polinómica de segundo grado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, siendo 𝑎,𝑏, 𝑐

números reales 𝑎 ≠ 0, se la denomina función cuadrática.

𝑎 recibe el nombre de termino cuadrático.

𝑏 recibe el nombre de termino lineal.

𝑐 recibe el nombre de termino independiente

La representación gráfica de una cuadrática es una parábola.

Ejemplo:

Disponemos de un alambre de 16 cm de largo con el cual podemos construir distintos

rectángulos. Deseamos construir una función que relacione la base de cada rectángulo

posible con el área de dicho rectángulo.

Viendo la imagen podemos escribir el área del rectángulo como: 𝐴 = 𝑥 ∙ 𝑦

Pero en esta función tenemos dos variables independientes. Para simplificarla tenemos

que tener en cuenta que el perímetro de cualquiera de los rectángulos posibles siempre

es 16 cm. Planteemos esta condición:

𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 = 16

𝑦 = 8 − 𝑥 Sustituyendo obtenemos la función del área con respecto a la longitud de la base:

𝐴(𝑥) = 𝑥 ∙ (8 − 𝑥)

Ahora que disponemos de la ecuación de la función construyamos su gráfica a partir de

una tabla de valores.

Podemos observar que la gráfica resultante es una curva especial a la que denominamos

parábola.

Podemos realizar la gráfica de una parábola a partir de hacer una tabla de valores o

como veremos a continuación identificando los elementos notables de esta curva.

x A

1 7

2 12

3 15

4 16

5 15

6 12

7 7

8 0


46

Elementos de la parábola

La curva de una función cuadrática posee los siguientes elementos característicos:

a. Ordenada al origen: Se denomina así al punto donde la curva interseca con el eje

de las ordenadas (vertical). Se calcula reemplazando la variable independiente por 0.

𝑓(0)

b. Raíces: Denominamos de esta manera a los puntos de intersección entre la curva y

el eje de las abscisas. Se calcula resolviendo la ecuación 𝑓(𝑥) = 0

c. Vértice: Este punto es donde la parábola cambia su crecimiento. Es decir donde

pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Además dependiendo de este cambio

podemos decir que el vértice es el máximo o mínimo de la función. Para calcularla se

debe tener en cuenta que la abscisa se calcula como el punto medio de las raíces y la

ordenada como la imagen de esa abscisa.

d. Eje de simetría: Es una recta vertical que pasa por el vértice. Se denomina de esa

manera porque cada punto de un lado de este eje tendrá su simétrico al otro lado, a la

misma distancia.

Formas de la función cuadrática

Toda función cuadrática puede ser expresada en cualquiera de las tres formas siguientes:

f(x) = ax2 + bx + c → Forma polinómica

f(x) = a(x − xv)2 + yv → Forma canónica

f(x) = a(x − x1)(x − x2) → Forma factorizada

A continuación veremos cómo graficar la función cuadrática identificando los

elementos de la parábola en las distintas formas.

Forma Polinómica: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3

a. Ordenada al origen: Según su definición 𝑓(0) = 02 + 2 ∙ 0 − 3 = −3

b. Raíces: Se calcula resolviendo la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0

Para resolverla podemos utilizar en este caso la ecuación resolvente

𝑥1; 𝑥2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−2 ± √22 − 4 ∙ 1 ∙ (−3)

2 ∙ 1=

−2 ± 4

2

𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = −3

c. Vértice: Según su definición

𝑥𝑣 =𝑥1+𝑥2

2=

1−3

2= −1

𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) = 𝑓(−1) = (−1)2 + 2(−1) − 3 = −4

d. Eje de simetría: Es la recta vertical cuya ecuación es:

𝑥 = 𝑥𝑣

𝑥 = −1


47

Veamos la gráfica:

En el grafico podemos observar marcados la ordenada al origen, las raíces, el vértice y

el eje de simetría. Además de los cuatro puntos nombrados podemos ver que se marcó

un quinto punto por simetría de la ordenada al origen.

Forma canónica: 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − 1)2 + 8

a. Ordenada al origen: Según su definición 𝑓(0) = −2(0 − 1)2 + 8 = 6

b. Raíces: Se calcula resolviendo la ecuación −2(𝑥 − 1)2 + 8 = 0

Para resolverla podemos despejar la ecuación

(𝑥 − 1)2 = 4

𝑥 − 1 = ±2

𝑥 = ±2 + 1

𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = −1

c. Vértice: En este caso por definición de la ecuación canónica podemos observar

que el vértice tiene las siguientes coordenadas: V = (1; 8)

Podemos comprobarlo aplicando como en el caso anterior

𝑥𝑣 =𝑥1 + 𝑥2

2=

3 − 1

2= 1

𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) = 𝑓(1) = −2(1 − 1)2 + 8 = 8


𝑥 = 𝑥𝑣

𝑥 = 1


48

Veamos la gráfica:

Forma factorizada: 𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒)

a. Ordenada al origen:

Según su definición 𝑓(0) =1

2(0 − 2)(0 + 4) = −4

b. Raíces: Se calcula resolviendo la ecuación 1

2(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 0

Para resolverla podemos utilizar propiedad del producto nulo:

(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 0

𝑥 − 2 = 0 ó 𝑥 + 4 = 0

𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = −4

c. Vértice: Para calcularlo utilizamos la definición vista

𝑥𝑣 =𝑥1 + 𝑥2

2=

2 − 4

2= −1

𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) = 𝑓(−1) =1

2(−1 − 2)(−1 + 4) = −

9

2


𝑥 = 𝑥𝑣

𝑥 = −1

Veamos la gráfica:


49

Parámetro cuadrático

Hemos visto que todas las formas de la ecuación de una función cuadrática poseen en

común un solo parámetro, el cuadrático, “𝑎”.

Veamos qué cambios provoca los distintos valores que puede tomar este parámetro.

Para ello primero graficaremos parábolas cuyos parámetros son positivos.

Grafiquemos las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 y ℎ(𝑥) =1

3𝑥2

Podemos observar que todas estas funciones cuadráticas poseen en común lo que

denominaremos concavidad. En este caso diremos que son parábolas cóncavas hacia

arriba porque las ramas de la parábola abren en esa dirección. Además podemos

observar que para valores mayores a 1 la parábola se acerca al eje de las ordenadas y

para valores menores a 1 se acerca al eje de las abscisas.

Veamos que sucede si graficamos funciones cuadráticas con valores de 𝑎 negativos.

Para simplificar la idea tomaremos las mismas funciones pero con los valores de a

opuestos.

Como se puede observar para valores negativos las parábolas son cóncavas hacia abajo.

La concavidad de las parábolas permite saber si el vértice es un máximo o un mínimo de

la función.

a. Para 𝑎 > 0 la parábola es cóncava hacia arriba por lo que el vértice es un

mínimo.

b. Para 𝑎 < 0 la parábola es cóncava hacia abajo por lo que el vértice es un

máximo.


50

Ejercicios 12:

Marquen con una X la fórmula de la función que corresponde a cada gráfico.

Ejercicio 13:

Completen las siguientes oraciones correspondientes a las gráfica de 𝑦 = −3𝑥2 + 𝑥 + 2

Los coeficientes de los términos de la función son: 𝑎 =........... 𝑏 =........... 𝑐 = .........

El vértice de la parábola es el punto............

El eje de simetría de la parábola es la recta...............

La ordenada al origen de la función es el punto..................

Las raíces de la función son 𝑥1 =......... 𝑥2 = ..............

2.11. Inecuaciones

Los enunciados matemáticos en los que figuran los símbolos < , >, ≤, ≥se llaman

desigualdades. Una solución de una desigualdad es cualquier número que la hace cierta.

El conjunto de todas las soluciones es llamado conjunto solución. Cuando hemos

encontrado todas las soluciones de una desigualdad, decimos que la hemos resuelto.

A partir de la definición anterior podemos decir que las inecuaciones son desigualdades

matemáticas entre dos miembros, en los cuales aparecen valores desconocidos a los que

llamamos incógnitas.

Para verificar que un valor determinado es solución de la una inecuación solo hace falta

sustituir dicha incógnita por el valor y observar si la desigualdad se cumple.

Ejemplos:

Determinar si los valores -2, 5 y 0 son soluciones posibles de la inecuación 𝑥 + 3 < 6

Sustituyendo 𝑥 = −2 podemos observar

−2 + 3 < 6 → 1 < 6 → La desigualdad se cumple por lo que -2 es solución de la

inecuación

Sustituyendo 𝑥 = 5 podemos observar

𝑦 = −1

2𝑥2 + 3

𝑦 = −1

2𝑥2 − 3

𝑦 =1

2𝑥2 + 3

𝑦 =1

2𝑥2 − 3

𝑦 = 2𝑥2 +1

2𝑥

𝑦 = 2𝑥2 −1

2𝑥

𝑦 = −2𝑥2 +1

2𝑥

𝑦 = −2𝑥2 −1

2𝑥


51

5 + 3 < 6 → 8 < 6 → La desigualdad no se cumple por lo que 5 no es solución de la

inecuación

Sustituyendo 𝑥 = 0 podemos observar

0 + 3 < 6 → 3 < 6 → La desigualdad se cumple por lo que 0 es solución de la

inecuación

Como se puede ver la inecuación tiene como solución a más de un valor, hemos

encontrado dos, pero es posible encontrar muchos más.

Conjunto solución

Denominamos así a todos los posibles valores que verifican la desigualdad.

En la inecuación anterior hemos encontrado dos valores que pertenecen al conjunto

solución pero no hemos determinado todos los valores posibles.

Ejemplo:

Determine el conjunto solución de la inecuación 𝑥 < 2

Determinar el conjunto solución de esta inecuación es mucho más intuitivo. Podemos

afirmar que todos los valores menores a 2 serán solución de esta inecuación. Lo

escribiremos 𝑆 = {𝑥: 𝑥 < 2} = (−∞; 2)

El conjunto solución de esta inecuación es infinito porque existen infinitos valores

menores a 2. Este conjunto se puede marcar en la recta numérica como mostraremos a

continuación.

En los ejemplos anteriores pudimos observar que para una inecuación sencilla como

𝑥 < 2 es sencillo expresar su conjunto solución pero para una inecuación como

𝑥 + 3 < 6 no lo es.

Para trabajar con inecuaciones donde su conjunto solución no sea evidente convendrá

aplicar propiedades para transformar la inecuación en una equivalente más sencilla.

Veamos dichas propiedades.

Propiedad aditiva de la desigualdad

Para las desigualdades hay una propiedad de la adición similar a la de la igualdad.

Si un número se suma o resta a ambos miembros de una desigualdad que es cierta, se

obtiene otra desigualdad que también lo es.

En símbolo:

Si a < 𝑏 es cierta, entonces a + c < 𝑏 + 𝑐 es cierta para cualquier número real 𝑐.

Lo mismo se puede decir de los símbolos>,≤ y ≥

Propiedad multiplicativa de la desigualdad

Considera la desigualdad 4 < 9

Si multiplicamos ambos números por 2 obtenemos la desigualdad 8 < 18 también

cierta.

Si multiplicamos ambos números por -3 obtenemos una desigualdad que es falsa

−12 < −27 No obstante, si invertimos el símbolo de desigualdad, obtenemos la desigualdad

−12 > −27 que es cierta.


52

Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número positivo,

obtenemos una desigualdad cierta. Si multiplicamos ambos miembros de una

desigualdad por un número negativo, e invertimos el símbolo de desigualdad,

obtenemos otra desigualdad cierta.

En Símbolo: Si a < 𝑏 es cierta, entonces

a. ac < 𝑏𝑐 es cierta para cualquier número real positivo 𝑐, 𝑦

b. ac > 𝑏𝑐 es cierta para cualquier número real negativo 𝑐

Lo mismo se puede decir de los símbolos<,≤ y ≥

Al resolver desigualdades, utilizamos las propiedades aditiva y multiplicativa de la

misma forma a como lo hacemos cuando resolvemos ecuaciones.

Ejemplo: Resuelve.

16 − 7𝑦 ≥ 10𝑦 − 4

−16 + 16 − 7𝑦 ≥ −16 + 10𝑦 − 4

Sumando -16

7𝑦 ≥ 10𝑦 − 20

10𝑦 − 7𝑦 ≥ −10𝑦 + 10𝑦 − 20

Sumando -10y

−17𝑦 ≥ −20

−1

17(17𝑦) ≤ −

1

17(−20)

Multiplicando por -1/17

𝑦 ≤20

17

Conclusión: El conjunto solución es {𝑦: 𝑦 ≤20

17}

Ejercicio: Resuelve las siguientes desigualdades

a. 6 − 5𝑦 ≥ 7

b. 3𝑥 + 5𝑥 < 4

c. 17 − 5𝑦 ≤ 8𝑦 − 5

Resolvemos problemas: Empleo de desigualdades

Ejemplo: En un curso de historia habrá tres exámenes. Para obtener un 10 necesitas un

total de 270 puntos. En los dos primeros exámenes has obtenido, respectivamente, 91 y

86 puntos. ¿Qué puntuación necesitas en la última prueba para obtener un 10?

Datos: Las dos primeras calificaciones fueron 91 y 86.

Sea 𝑥 la calificación que vas a obtener en el último examen.

Puntuación total ≥ 270

91 + 86 + 𝑥 ≥ 270

177 + 𝑥 ≥ 270

Verificamos: Si la tercera calificación es 93


53

91 + 86 + 93 = 270

Si la tercera calificación es mayor que 93, digamos 95, entonces

91 + 86 + 95 = 272

Respuesta: La puntuación en el tercer examen debe ser al menos 93 para obtener un 10.

Ejemplo: En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes de pago distintos.

Plan A: Un salario mensual de $600 más una comisión del 4% sobre el total de ventas.

Plan B: Un salario mensual de $800 más una comisión del 6% sobre el total de ventas

una vez rebasados los $10 000.

¿Para qué cantidad del total de ventas es mejor el plan A que el plan B suponiendo que

el total de ventas es siempre superior a los 10000 dólares?

Datos:

Plan A: $600 al mes más 4% de comisión.

Plan B: $800 al mes más 6% de comisión sobre las ventas que superen los $10000.

Utilizamos 𝑥 para representar las ventas del mes.

Ingreso en el plan A = 600 + 4% x.

Ingreso en el plan B = 800 + (x - 10000) 6%.

Ingreso del plan A > Ingreso del plan B

600 + 0,04𝑥 > 80 + (𝑥 − 10000)0,06

600 + 0,04𝑥 > 200 + 0,06𝑥

400 > 0,02𝑥

20000 > 𝑥

Respuesta: Cuando el total de ventas es inferior a $20 000, el plan A es mejor que el

plan B.

Practica 2

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones

a. 𝑦 −𝑦

2+

𝑦

3−

𝑦

4=

𝑦

5

b. 7+2(𝑥+1)

3=

8𝑥

5

c. 2𝑦−7

3+

(8𝑦−9)

14=

3𝑦−5

21

d. 2(𝑝 − 1) − 3(𝑝 − 4) = 4𝑝

Ejercicio 2: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas

a. 7𝑥2 − 3 = 0

b. 14𝑥2 − 9𝑥 = 0

c. 19𝑥2 − 8𝑥 = 0

d. 𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0

e. 𝑥2 + 9𝑥 + 14 = 0


54

f. 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

g. 2𝑥2 + 13𝑥 + 15 = 0

h. 9𝑡2 + 15𝑡 + 4 = 0

i. 3𝑦2 + 10𝑦 − 8 = 0

j. 6𝑥2 + 4𝑥 = 10

Ejercicio 3: Con una pieza rectangular de cartón de 10 cm por 20 cm se hará una caja

abierta cortando un cuadrado de cada una de sus esquinas. El área del fondo de la caja

deberá ser de 96 cm2. ¿Cuál es la longitud de los lados de los cuadrados que serán

cortados en las esquinas?

Ejercicio 4: El marco de un cuadro mide 14 cm. por 20 cm. En su interior, el cuadro

ocupa 160 cm2. Calcula el ancho del marco.

Ejercicio 5: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 m. Uno de los careros es

14 m más largo que el otro. Calcula las longitudes de los catetos.

Ejercicio 6: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 km. La longitud de uno

de los catetos es 17 km menor que la del otro cateto. Calcula las longitudes de los

catetos.

Ejercicio 7: Determina la naturaleza de las raíces de cada ecuación

a. 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0

b. 𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 0

c. 𝑥2 + 7 = 0

d. 𝑥2 + 2 = 0

e. 𝑥2 − 2 = 0

f. 𝑥2 − 5 = 0

g. 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0

h. 4𝑥2 + 8𝑥 − 5 = 0

Ejercicio 8: Representa gráficamente

a. 𝑥 ≤ 4

b. 𝑦 < −1

c. 𝑥 > 5

d. 𝑥 ≥ 34

Ejercicio 9: Resuelve las siguientes inecuaciones

a. 𝑥 + 8 > 3

b. 𝑦 + 4 < 10

c. 𝑎 + 7 ≥ 5 − 13

d. 𝑥 − 9 ≤ 10

e. 𝑥 − 11 ≤ −2

f. 8𝑥 ≥ 24


55

g. 9 𝑡 < − 81

h. 0,3𝑥 < −18

i. −9𝑥 ≥ −8,1

j. 2𝑥 + 7 < 19

k. −3

4𝑥 ≥ −

5

8

l. 2𝑦 − 7 < 5𝑦 − 9

m. 8𝑥 − 9 < 3𝑥 − 11

n. 0,4𝑥 + 5 ≤ 1,2𝑥 − 4

Ejercicio 10: Resuelve los siguientes problemas

a. A un pintor se le puede pagar de dos maneras.

Plan A: $500 más $15 por hora.

Plan B: $20 por hora.

Supón que la realización de un trabajo tarda 𝑛 horas. ¿Para qué valores de 𝑛 es mejor el

plan A para el pintor?

b. Un automóvil se renta por $13.95 diarios más $0,10 por milla. Tu presupuesto

diario para la renta de automóviles es de $76.00. ¿Para qué millaje te puedes mantener

dentro del presupuesto?

c. Estás tomando un curso de historia. Habrá cuatro exámenes. Tus calificaciones

en los tres primeros exámenes son 89, 92, Y 95. Para obtener una A necesitas un total

de 360 puntos. ¿Qué puntuación necesitas en el último examen para obtener una A?

d. Vas a invertir $25 000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima

cantidad que puedes invertir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un

año sea al menos de $3600?

Ejercicio 11: Resuelve y grafica las siguientes inecuaciones

−2 < 𝑥 + 2 < 8

−1 < 𝑥 + 1 ≤ 6

1 < 2𝑦 + 5 ≤ 9

3 ≤ 5𝑥 + 3 ≤ 8

−10 ≤ 3𝑥 − 5 ≤ 1

Ejercicio 12: Resuelve los siguientes problemas

a. La suma de dos números es -42. El primero de ellos menos el segundo es 52

Calcula estos números.

b. La soja tiene un 16 % de proteínas y el maíz un 9 %. ¿Cuántos kilogramos de

cada uno de estos ingredientes se debería mezclar para obtener una mezcla de 350

kilogramos de proteínas?

c. Una bebida refrescante tiene 15 % de jugo de naranja y otra 5 % de esta

sustancia. ¿Cuántos litros de cada una de ellas debería mezclar para obtener 10 l de

bebida refrescante de jugo de naranja?


56

d. Se hicieron dos inversiones por un total de $8800. En cierto año estas

inversiones produjeron $1326 de interés simple. Una parte de dinero se invirtió al 14 %

y otra al 16 %, Encontrar la cantidad invertida a cada tipo de interés.

e. Un tren sale de una estación y viaja hacia el norte a 75 Km/h. Dos horas más

tarde un segundo tren deja la estación sobre un vía paralela y viaja hacia el norte a 125

Km/h. ¿A qué distancia de la estación dará alcance el segundo tren al primero?

f. Dos automóviles salen de una ciudad viajando en dirección contraria. Uno viaja

a 80 Km/h y el otro a 96 km/h. ¿En cuánto tiempo se encontraran a 528 kilómetros de

distancias entre sí?

g. Carlos es 8 años mayos que su hermano Roberto, hace 4 años la edad de María

era dos tercios la de Carlos. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

h. El perímetro de un campo rectangular es 628 m. El largo del campo excede a su

ancho en 6 m. Calcula las dimensiones.

i. Iván y Luís son profesores de matemática. En total llevan 46 años dando clases.

Hace 2 años, Iván llevaba 2,5 veces las años que tenía Luís como profesor. ¿Cuantos

años llevan en la enseñanza cada uno?

j. Nancy corre y camina a la escuela cada día, tiene un promedio de 4 Km/h

caminando y 8 Km/h corriendo. La distancia de su hogar a la escuela es de 6 Km y

realiza el viaje en una hora. ¿Qué distancia hace corriendo?

Ejercicio 13: Hallar y graficar

a. La ecuación de la recta paralela a 𝑦 =1

3𝑥 + 1 que pase por el punto (-3; 2)

b. La ecuación de la recta perpendicular a 𝑦 = 2𝑥 − 3 que pase por el punto (-2; 1)

Ejercicio 14: Hallar la ecuación explicita de cada una de las siguientes rectas.

a. 𝑥

2+

𝑦

5= 1

b. 𝑥1

3

+𝑦

−2= 1

c. 𝑥

−5

2

+𝑦1

4

= 1

Ejercicio 15: Hallar la ecuación de la recta que cumple cada una de las siguientes

condiciones:

a. Pasa por el punto (1; 5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-2; 3) y

(0; -1)

b. Corta al eje en 𝑥0 = 2 y es paralela a la recta 𝑥

−1+

𝑦

2= 1

c. Pasa por el punto (-2; -1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-

1;4) y (3;1)

d. Corta al eje en 𝑦0 = 3 y es perpendicular a la recta 𝑥2

3

+𝑦

−1= 1

Ejercicio 16: Para las siguientes funciones cuadráticas hallar el vértice, raíces, eje de

simetría y ordenada al origen

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

b. 𝑔(𝑡) = −3𝑡2


57

c. ℎ(𝑥) = 2(𝑥 + 1)2

Ejercicio 17: Completar el siguiente cuadro y representar gráficamente las funciones

dadas.

FUNCIÓN a b c Raíces Vértice Eje de

simetría

Ordenada

al origen

𝑦 = −𝑥2 + 2

𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 1

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 − 5


58

3. POLINÓMICAS

Para comenzar este capítulo primero deberemos definir que es un polinomio, dar sus

características fundamentales y realizar operaciones.

3.1. Polinomios en una variable

En general, un polinomio de grado n, en la variable x se simboliza:

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 con 𝑎𝑛 ≠ 0

Veamos que representa cada símbolo:

Los coeficientes son números reales, o sea 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, con 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 ; (n ∈N)

La 𝑥 representa un número real.

Los exponentes son números enteros no negativos de cero a 𝑛.

Monomios

Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma ni

resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término.

Ejemplos:

a. 8ab3

b. −2

3xab3

c. −5x4

Monomios semejantes o términos semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal; es decir tienen las

mismas letras o variables con los mismos exponentes, difieren en los coeficientes

Ejemplos:

a. 2

3x

b. 4x

c. −5x

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen.

Se simboliza 𝑔𝑟[𝑃(𝑥)].

Ejemplo: P(x) = 4x3 + 2x − 3

¿Cuántos factores literales hay en cada uno de los términos?

En efecto en el primer término hay tres factores literales (𝑥3 = 𝑥 𝑥 𝑥), en el segundo

hay uno (𝑥) y en el tercero no hay factores literales.

Por tal razón se dice que tales términos o monomios son de grado tres, uno y cero,

respectivamente y según la definición de grado de un polinomio, el grado de P(x) es el

el del monomio de mayor grado, o sea 𝑔𝑟[𝑃(𝑥)] = 3

Los tres monomios difieren únicamente en el

coeficiente, por lo tanto son monomios

semejantes.


59

Coeficiente Principal

El coeficiente del término de mayor grado de un polinomio se denomina coeficiente

principal del polinomio. Si es uno, el polinomio se dice reducido, normal o mónico.

Ejemplo:

El coeficiente principal del polinomio 𝑄(𝑡) = 4𝑡 + 8𝑡3 − 1 + 𝑡10 es uno y por lo tanto

el polinomio es reducido.

Polinomio ordenado

Decimos que un Polinomio está ordenado cuando todos sus términos están dispuestos

de modo que los exponentes de la variable vayan aumentando o disminuyendo

sucesivamente desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente o

decreciente según que los exponentes de la letra vayan de menor a mayor o viceversa.

Ejemplos:

a. C(x) = 5x3 − x2 + 3

b. P(y) = 10y + 2y3 + y5 − 42y8

c. M(t) = t2 − 2t + 7

Polinomio completo

Un polinomio se dice que está completo cuando contiene términos desde el de mayor

grado hasta el grado cero.

Ejemplo:

a. 𝑁(𝑥) = 7𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 + 4

b. 𝑄(𝑦) = 8𝑦4 − 2𝑦3 + 𝑦2 − 𝑦 + 8

Cabe destacar que si un polinomio es incompleto, es posible completarlo escribiendo las

potencias de la variable que faltan con coeficiente cero.

Ejemplo:

a. 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥2 − 6

b. 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 + 0𝑥3 − 5𝑥2 + 0𝑥 − 6

Ejercicio 1: Complete el siguiente cuadro, consignando si, no, o el número que

corresponda en las respectivas columnas.

POLINOMIO Grado Coeficiente

Principal

Reducido o

Monico Completo

Termino

Independiente

𝑃 = 3𝑥2 − 4𝑥 − 1

𝑄 = −𝑡3 + 4

𝑆 = 𝑟2 ∙ (1 + 3𝑟3)

𝑇 = −3 + 𝑚8 +2

3𝑚2


60

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio 𝑃(𝑥) para 𝑥 = 𝑎, es el número que se obtiene al

resolver las operaciones después de haber reemplazado en el polinomio a la variable

𝑥 por 𝑎. Se simboliza: 𝑃(𝑎)

Ejemplo:

Hallar el valor del polinomio 𝑇(𝑠) en 𝑠 = −1; siendo 𝑇(𝑠) = −5𝑠3 + 𝑠2 − 3

Hacemos el reemplazo y operamos, resulta:

𝑇 (−1) = −5(−1)3 + (−1)2 − 3

𝑇(−1) = 3

Se dice que 3 es el valor numérico del polinomio T(s) para s = -1

Ejercicio 2:

¿Cuál es el valor numérico de 𝑇(𝑠) para 𝑠 = 2, para 𝑠 = 0 y para 𝑠 = −2?

Respuesta:

𝑇(2) = −39; 𝑇(0) = −3 y 𝑇(−2) = 41

Debemos agregar que:

Si 𝑃(𝑎) es igual a cero, se dice que 𝑎 es una raíz o cero del polinomio 𝑃(𝑥).

Ejemplo:

¿Cuáles de los números que siguen -3; 0;1

2 ; y 1 son raíces del polinomio?

𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥22𝑥 − 3

Reemplazando en lugar de 𝑥 por los valores dados se obtiene que:

𝑃(−3) = 2(−3)3 + 7(−3)2 + 2(−3) − 3 = 0

𝑃(0) = 2(0)3 + 7(0)2 + 2(0) − 3 = −3

𝑃 (1

2) = 2 (

1

2)

3

+ 7 (1

2)

2

+ 2 (1

2) − 3 = 0

𝑃(1) = 2(1)3 + 7(1)2 + 2(1) − 3 = 8

Los números −3 y 1

2 son raíces del polinomio 𝑃(𝑥)

3.2. Operaciones con polinomios

Hemos llamado polinomio en una indeterminada a una expresión de la forma:

P(x) = anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a2x2 + a1x + a0 con an ≠ 0

Si los coeficientes 𝑎0,𝑎1,𝑎2,…, 𝑎𝑛 son números reales, decimos que es un polinomio

real formal en 𝑥, siendo 𝑥 la indeterminada o variable.

Definimos algunas operaciones siguiendo reglas similares a las de las operaciones en

los Reales.

Adición: Se suman los coeficientes de los términos semejantes y se obtiene un

polinomio de grado igual al del término de mayor grado entre los polinomios sumandos.


61

Ejemplo:

Sean 𝑃 y 𝑄 dos polinomios: 𝑃 = 2 +1

2𝑥 −

3

2𝑥2 y 𝑄 = −5 +

3

2𝑥 −

3

4𝑥3

𝑃 + 𝑄 = (2 − 5) + (1

2+

3

2) 𝑥 −

3

2𝑥2 −

3

4𝑥3 = −3 + 2𝑥 −

3

2𝑥2 −

3

4𝑥3

Sustracción: Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo

Ejemplo:

Sean 𝑃 y 𝑇 dos polinomios: 𝑃 = 10 + 5𝑥2 − 9𝑥3 y 𝑇 = 6 + 8𝑥 − 𝑥4

𝑃 − 𝑇 = (10 + 5𝑥2 − 9𝑥3) + (−6 − 8𝑥 + 𝑥4) = 4 + 8𝑥 + 5𝑥2 − 9𝑥3 + 𝑥4

Producto de un polinomio por un monomio: Se procede a multiplicar cada término

del polinomio por el monomio.

Ejemplo:

Sea 𝑄(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥 + 1 un polinomio y 𝐶(𝑥) = 3𝑥2 un monomio, entonces

𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) = 2𝑥3 ∙ 3𝑥2 − 4𝑥 ∙ 3𝑥2 + 1 ∙ 3𝑥2 = 6𝑥5 − 12𝑥3 + 3𝑥2

Producto de dos polinomios: Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto

de la suma o resta y se respetan las propiedades de producto de potencias de igual base.

Al multiplicar un polinomio de grado 𝑝 por otro de grado 𝑞, se obtiene un polinomio de

grado 𝑝 + 𝑞.

Ejemplo:

Sea 𝑄(𝑥) = 2𝑥5 − 𝑥3 + 3𝑥2 y 𝑅(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 − 4 dos polinomios; entonces

𝑄(𝑥) ∙ 𝑅(𝑥) = (2𝑥5 − 𝑥3 + 3𝑥2) ∙ (−𝑥2 + 𝑥 − 4)

= −2𝑥7 + 𝑥5 − 3𝑥4 + 2𝑥6 − 𝑥4 + 3𝑥3 − 8𝑥5 + 4𝑥3 − 12𝑥2 Se aplicó la definición de producto de dos polinomios.

= −2𝑥7 + 2𝑥6 − 7𝑥5 − 4𝑥4 + 7𝑥3 − 12𝑥2

Se agrupó los términos semejantes y se ordenó el polinomio.

Productos Especiales

a. Cuadrado de un binomio

Sea por ejemplo:

(𝑥 + 𝑎)2 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎)

(𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 𝑥𝑎 + 𝑎𝑥 + 𝑎2

Regla: El cuadrado de un binomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término

más el doble producto del primero, por el segundo.

Ejemplos:

(3 + 𝑥)2 = 9 + 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 + 𝑥2 = 9 + 6 ∙ 𝑥 + 𝑥2


62

(𝑥 −1

2)

2

= 𝑥2 − 2 ∙ 𝑥 ∙1

2+ (

1

2)

2

= 𝑥2 − 𝑥 +1

4

b. Cubo de un binomio

Sea (𝑥 + 𝑎)3 Se resuelve aplicando las propiedades de la potenciación de números

reales.

(𝑥 + 𝑎)3 = (𝑥 + 𝑎)2(𝑥 + 𝑎) Se aplica producto de potencias de igual

base.

(𝑥 + 𝑎)3 = (𝑥2 + 2𝑥𝑎 + 𝑎2)(𝑥 + 𝑎) Se aplica cuadrado de un binomio y

propiedad distributiva

(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 𝑥2𝑎 + 2𝑥2𝑎 + 2𝑥𝑎2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3 se obtiene

(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3 Se suman términos semejantes y se ordena

el polinomio

Regla: El cubo de un binomio es igual a la suma de los cubos de cada término, más el

triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del

primero por el cuadrado del segundo.

Ejemplos:

(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 ∙ (2x)2 ∙ 5 + 3(2x) ∙ 52 + 53

= 8𝑥3 + 3 ∙ 4 ∙ 𝑥2 ∙ 5 + 3 ∙ 2𝑥 ∙ 25 + 125

= 8𝑥2 + 60𝑥2 + 150𝑥 + 125

(−2𝑥3 −3

2)

3

= (−2𝑥3)3 + 3 ∙ (−2𝑥3)2 ∙ (−3

2) + 3 ∙ (−2𝑥3) ∙ (−

3

2)

2

+ (−3

2)

3

= −8𝑥9 + 12𝑥6 (−3

2) + 3 ∙ (−2𝑥3) ∙

9

4−

27

8

= −8𝑥9 − 18𝑥6 −27

2𝑥3 −

27

8

c. Producto de la suma por la diferencia de dos términos

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) Se aplica propiedad distributiva

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 – 𝑥𝑎 + 𝑎𝑥– 𝑎2 = 𝑥2– 𝑎 2 Se agrupan los términos semejantes

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2

Regla: El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos es igual

a la diferencia de los cuadrados de dichos términos.

Ejemplos:

(−1

2𝑥2 + 3𝑥) (−

1

2𝑥2 + 3𝑥) = (−

1

2𝑥2)

2

− (3𝑥)2 =1

4𝑥4 − 9𝑥2

(1

5𝑥3 +

4

3𝑥2) (

1

5𝑥3 +

4

3𝑥2) = (

1

5𝑥3)

2

− (4

3𝑥2)

2

=1

25𝑥6 −

16

9𝑥4

Ejercicio 3: Marque con una cruz todas las afirmaciones verdaderas, luego indique la

respuesta correcta en el caso de que resultasen falsas.

Sea dos polinomios 𝑃 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 𝑄 = 2𝑥 – 4; entonces:


63

Ejercicio 4: Marque con una cruz los enunciados verdaderos. En la segunda columna

justifique cada respuesta verdadera simbolizando el enunciado, y cada respuesta falsa

proporcionando un ejemplo. A modo de guía le presentamos la respuesta del primer

ítem.

Enunciado Verdadero Justificación

El polinomio nulo es neutro en

la adición de polinomios x

Cualquiera sea 𝑃:

𝑃 + 0 = 0 + 𝑃 = 𝑃

El polinomio nulo carece de

grado.

El grado de la suma de dos

polinomios 𝑃(𝑡) y 𝑄(𝑡) es

igual a la suma de los grados de

los polinomios sumados.

En el polinomio que es neutro

en la multiplicación de

polinomios, carece de grado.

Ejercicio 5: Resuelva las siguientes operaciones

(3𝑥2 + 2𝑥)2 =

(−1

4𝑥3 − 2)

2

=

(2

5𝑥3 − 5𝑥2)

2

=

(2

3𝑥2 +

3

4𝑥)

3

=

(3

4+ 𝑥2) (

3

4+ 𝑥2) =

(−2 −1

3𝑥) (−2 −

1

3𝑥) =

Afirmación Verdadera Respuesta correcta

𝑃 + 𝑄 = 𝑥2 − 2𝑥

𝑃 − 2𝑄 = 𝑥2 − 8𝑥 + 12

3𝑃 ∙ 𝑄 = 6(𝑥 − 2)3

𝑃 ∶ 𝑄 = 𝑥 − 2

𝑄2 = 4(𝑥 − 2)2

𝑃(−3) ≠ −25

La raíz de 𝑄 es 2

Las raíces de 𝑷 son 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = 2


64

d. División de Polinomios

La división de polinomios se realiza de acuerdo con las reglas de propiedades de la

división de números Reales aunque la indeterminada 𝑥 no sea un número Real.

Sean 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) dos polinomios tales que 𝑔𝑟[𝑃(𝑥) = 𝑚], 𝑔𝑟[𝑄(𝑥) = 𝑛] y 𝑚 ≥ 𝑛.

Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que verifican la siguiente

expresión: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥)

Siendo:

𝑃(𝑥) el dividendo

𝑄(𝑥) el divisor

𝐶(𝑥) el cociente

𝑅(𝑥) el resto.

Cuando 𝑅(𝑥) = 0

𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥)

Se dice entonces que 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑄(𝑥), o que 𝑄(𝑥) es divisor exacto de 𝑃(𝑥).

En el caso de que 𝑅(𝑥) 0, el 𝑔𝑟[𝑅(𝑥)] < 𝑔𝑟[𝑄(𝑥)]

Para facilitar lo dicho anteriormente podemos comparar la división de polinomios con la

división de números enteros estudiadas en el primer capítulo. Observemos sus

similitudes:

División Entera División de Polinomios

𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑟 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝑅

𝑟 < 𝑏 o 𝑟 = 0 𝑔𝑟[𝑅] < 𝑔𝑟[𝐵] o 𝑅 es nulo

Ejemplo:

Sean 𝑃(𝑥) = 8𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 y 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 1 entonces 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) es:

8𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 2𝑥2 + 𝑥 − 1

−8𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥 4𝑥 − 1

0 −2𝑥2 + 2𝑥 + 5

2𝑥2 + 𝑥 − 1

+3𝑥 + 4

Al 4𝑥 se lo va multiplicando por cada término de 𝑄(𝑥) y al resultado se lo anota debajo

del término semejante de 𝑃(𝑥) pero con el signo cambiado. Luego se suma y se baja el

otro término, al igual que en una división entera. A continuación se procede de la misma

manera con el – 1.

Con lo cual: 𝐶(𝑥) = 4𝑥 – 1 y 𝑅(𝑥) = 3𝑥 + 4 y se verifica que

𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) ya que:

8𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 = (2𝑥2 + 𝑥 − 1) ∙ (4𝑥 − 1) + (3𝑥 + 4)

8𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 8𝑥3 + 4𝑥2 − 4𝑥 − 2𝑥2 − 𝑥 + 1 + 3𝑥 + 4

8𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 8𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 5


65

Observación: Cuando 𝑃(𝑥) no es un polinomio completo ni ordenado es necesario

completarlo y ordenarlo en forma decreciente para poder realizar los cálculos.

Ejemplo:

Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥 + 3𝑥3; ordenado y completo queda

𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 + 0𝑥2 − 2𝑥 + 0 y luego realizamos la división.

e. División de un polinomio por otro de la forma (𝒙 − 𝒂) Regla de Ruffini

Para resolver este tipo de cociente se utiliza la Regla de Ruffini.

Ejemplo:

Explicación del método.

Sean:𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 + 12 y 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2

Calcular 𝑃(𝑥): 𝑄(𝑥)

Se emplea la siguiente disposición práctica:

En la primera fila se escriben los coeficientes del polinomio dividendo completo y

ordenado en forma decreciente

4 5 −1 12

En la segunda fila, a la izquierda se escribe a, en este caso 2.

4 5 −1 12

2

Observación: si el polinomio divisor hubiese sido 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2, 𝑎 hubiese sido

−2, pues 𝑥 + 2 = 𝑥 − (−2)

En la tercera fila se escriben los coeficientes del cociente que se van obteniendo,

mediante la siguiente regla:

El primer coeficiente del cociente es 4. Ahora, 4 ∙ 2 = 8 este valor se escribe debajo

del coeficiente 5, y se suma 5 + 8 = 13.

El segundo coeficiente es 13. Luego, 13 ∙ 2 = 26, se escribe debajo del coeficiente – 1

y se suma – 1 + 26 = 25 .

El tercer coeficiente es 25. Por último, 25 ∙ 2 = 50 se escribe debajo del coeficiente 12

y se suma 12 + 50 = 62.

El resto es 𝑅 = 62.

4 5 −1 12

2 8 26 50

4 13 25 62 = 𝑅

El cociente es 𝐶(𝑥) = 4𝑥2 + 13𝑥 + 25


66

Ejercicio 6: Halle los siguientes cocientes

(−3

2𝑥5 + 2𝑥4 − 0,1𝑥3) ∶ (

−2

3𝑥2) =

(1

2𝑥3 + 5) ∶ (𝑥 + 2) =

3.3. Teorema del Resto

El resto de la división de un polinomio 𝑃(𝑥), por otro de la forma (𝑥 + 𝑎) es igual a

𝑃(−𝑎).

Demostración

Si 𝑃(𝑥): (𝑥 + 𝑎) = 𝐶 y 𝑅 es el resto

Entonces: 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 𝑎) ∙ 𝐶 + 𝑅

Hacemos 𝑥 = −𝑎

𝑃(−𝑎) = (−𝑎 + 𝑎) ∙ 𝐶 + 𝑅 𝑃(−𝑎) = 0 ∙ 𝐶 + 𝑅 𝑃(−𝑎) = 𝑅

Ejemplos:

a. ¿Cuál es el resto de dividir 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1 por 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2?

𝑃(−2) = (−2)3 − (−2)2 + (−2) + 1 = −13

Si 𝑃(𝑎) = 0 entonces 𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥 – 𝑎)

Porque: 𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 0 = 𝐶(𝑥) ∙ (𝑥 − 𝑎) siendo 𝐶(𝑥) el cociente.

b. Si 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥 + 16 con 𝑎 = −2

𝑃(−2) = (−2)3 + 4(−2) + 16 =– 8– 8 + 16 = 0

Divido 𝑃(𝑥) por (𝑥 + 2) usando la Regla de Ruffini:

1 0 4 16

−2 −2 4 −16

1 −2 8 0 = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜

Entonces 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥 + 16 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 8)

3.4. Raíces de un polinomio

Decimos que un número real a es raíz o cero del polinomio P(x) sí y solo sí se verifica

que 𝑃(𝑎) = 0

Ejemplos:

El número real 𝑎 =√2

2 es raíz o cero de 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 1 porque:

𝑃 (√2

2) = 2 ∙ (

√2

2)

2

− 1 = 2 ∙2

4− 1 = 0

Análogamente, el número real 𝑏 = −√2

2 es también raíz de 𝑃(𝑥):


67

𝑃 (−√2

2) = 2 ∙ (−

√2

2)

2

− 1 = 2 ∙2

4− 1 = 0

El polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2 no admiten ceros o raíces reales porque al plantear

𝑥2 + 2 = 0 , vemos que no existen valores reales que satisfagan la igualdad.

Para encontrar los ceros o raíces de 𝑆(𝑡) = 2𝑡2 − 𝑡 − 1 debemos recordar cómo se

resuelven las ecuaciones cuadráticas de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Las raíces de esta expresión están dadas por la fórmula:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

En nuestro ejemplo:

𝑡1,2 =−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−1)

2 ∙ 2=

1 ± √1 + 8

4

De donde 𝑡1 = 1 y 𝑡2 = −1

2

Luego 𝑡1 = 1 y 𝑡2 = −1

2 son raíces de 𝑆(𝑡).

Ejercicio 7: Encontrar los ceros o raíces del siguiente polinomio:

𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥 + 4

Solución

Si planteamos como en los ejemplos anteriores: 𝑥3 − 6𝑥 + 4 = 0, nos encontramos con

la dificultad de no poder despejar 𝑥, y no contar con una fórmula como en el caso

cuadrático.

Para dar respuesta a este último problema usaremos el siguiente enunciado, que no

demostraremos, y se llama Lema de Gauss.

3.5. Lema de Gauss

Definición: Sea 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑥𝑛−1 + … + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎0 un polinomio con

coeficiente enteros.

Si 𝑃(𝑥) admite al número entero 𝑎 como raíz, entonces 𝑎 es divisor de 𝑎0.

Si 𝑃(𝑥) admite al número racional 𝑎 =𝑝

𝑞 como raíz, entonces 𝑝 es divisor de 𝑎0 y 𝑞 es

divisor de 𝑎𝑛.

Así, para 𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥 + 4, donde 𝑎0 = 4 y 𝑎3 = 1, si 𝑅(𝑥) admite una raíz

racional 𝑎 =𝑝

𝑞 se deberá verificar que 𝑝 es divisor de 4 y que 𝑞 es divisor de 1.

Luego, los posibles valores son: {𝑝 = ±1; ±2; ±4

𝑞 = ±1

De donde, las posibles raíces racionales son: {𝑎 =𝑝

𝑞= ±1; ±2; ±4}

Las posibles raíces racionales (en este caso, como 𝑎3 = 1, son posibles raíces enteras),

si existen, son ±1; ±2; ±4.

Veamos que ocurre en cada caso:


68

𝑅(1) = 1 − 6 + 4 = −1 ≠ 0

𝑅(1) = 1 − 6 + 4 = 9 ≠ 0

𝑅(2) = 8 − 12 + 4 = 0 → 𝑥 = 2 es raíz de 𝑅(𝑥)

𝑅(−2) = −8 + 12 + 4 = 8 ≠ 0

𝑅(4) = 64 − 24 + 4 = 44 ≠ 0

𝑅(4) = −64 + 24 + 4 = −36 ≠ 0

Luego la única raíz racional es 𝑥 = 2.

Claramente, este resultado no nos ayuda a encontrar las raíces irracionales de 𝑅(𝑥), si

es que la tiene. Pero al encontrar una raíz (𝑥 = 2) sabemos que, por la definición del

Cociente: 𝑅(𝑥) = (𝑥 − 2) ∙ 𝐶(𝑥)

Es decir, (𝑥 − 2) es divisor de 𝑅(𝑥) o bien: 𝐶(𝑥) = 𝑅(𝑥)(𝑥 − 2)

Aplicando Ruffini:

1 0 −6 4

2 2 4 −4

1 2 −2 0

Luego: 𝐶(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 2

𝑅(𝑥) se escribe: 𝑅(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 − 2)

Ahora bien, como las raíces de 𝐶(𝑥), también lo son de 𝑅(𝑥), busquémoslas:

𝑥1,2 =−2 ± √4 − 4 ∙ (−2)

2=

−2 ± √12

2=

−2 ± 2√3

2

Luego: 𝑥1 = −1 + √3 y 𝑥2 = −1 − √3 son las raíces irracionales de 𝑅(𝑥).

Así todas las raíces de 𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥 + 4, son:

𝑥1 = −1 + √3

𝑥2 = −1 − √3

𝑥3 = 2

Ejercicio 8: Halle todas las raíces del polinomio

𝑄(𝑥) = 𝑥5– 𝑥4– 7𝑥3 + 𝑥2 + 6𝑥

3.6. Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio de coeficientes reales de grado 𝑛 tiene 𝑛 raíces (reales o complejas)

contadas con su multiplicidad.

Ejemplo:

¿Cuáles son las raíces de 𝑃(𝑥) = 2(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 3)3?

El polinomio, según el teorema fundamental del álgebra, tiene 4 raíces. Haciendo

𝑃(𝑥) = 0 hallamos sus raíces: 𝑎 = 1 con multiplicidad uno y 𝑎 = −3 con

multiplicidad tres.


69

Cuando se cuentan las raíces de un polinomio se lo hace contando su multiplicidad.

(Nótese que 𝑃(𝑥) es de grado 4)

Ejercicio 9: Indique sin efectuar cálculos, los ceros, multiplicidad y el grado del

sigiente polinomio

𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

3.7. Factorización

Como ya hemos visto, algunos números enteros se pueden factorizar, y en

consecuencia, expresarlos como producto de esos factores.

Así, por ejemplo, el número 15, puede expresarse como un producto de números

primos , 15 = 3 ∙ 5, algo similar ocurre con las expresiones algebraicas enteras, es decir,

hay algunos polinomios que pueden expresarse como el producto de otros polinomios,

por cada uno de los cuales son divisibles, dichos polinomios se llaman polinomio primo

o polinomio irreducible.

Definición:

Un polinomio P, de grado mayor que cero, es primo o irreducible sí y solo si toda

descomposición del mismo, de la forma 𝑃 = 𝑄 ∙ 𝐶 es tal que, algunos de los factores es

de grado cero.

Con los siguientes ejemplos, podremos comprender mejor.

Ejemplo:

3𝑥 + 7 es primo ya que: 3𝑥 + 7 = 3 ∙ (𝑥 +7

3) o

3𝑥 + 7 = 7 ∙ (3

7𝑥 + 1) o

3𝑥 + 7 = 9 ∙ (1

3𝑥 +

7

9)

Observemos que en todos los casos, alguno de los factores es de grado cero.

Ejemplo:

El polinomio 𝑄 = 𝑥2– 10𝑥3 no es primo pues 𝑥2– 10𝑥3 = 𝑥2(1 – 10𝑥), siendo:

El grado de 𝑥2 > 0 y el grado de (1– 10𝑥) > 0

Para empezar a hablar de factorización vamos a utilizar el concepto de polinomio primo

o irreducible que recién estudiamos.

Decimos que: Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de una

constante por polinomios primos o irreducibles.

Para ello, tenemos en cuenta las siguientes propiedades:

a. Todo polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛, tiene 𝑛 raíces.

b. Todo polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛, tiene a lo sumo 𝑛 raíces reales.

Ejemplo:

𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑥2– 8𝑥 + 4

Sus raíces son: 1; −2; y 2

3

Pues 𝑃(1) = 0; 𝑃(−2) = 0 y 𝑃 2

3= 0


70

Por ser 1 raíz de 𝑃(𝑥), según hemos visto, este resulta divisible por (𝑥– 1). Aplicando

Ruffini.

3 1 −8 4

1 3 4 −4

3 4 −4 0 = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜

O sea:

𝑃(𝑥) = (𝑥 – 1). 𝐶(𝑥) (*)

𝑃(𝑥) = (𝑥 – 1) ∙ (3𝑥2 + 4𝑥 – 4)

Pero – 2 también es raíz de 𝑃(𝑥) y por lo tanto, lo es de 𝐶(𝑥); luego 𝐶(𝑥) es divisible

por (𝑥 + 2).

3 4 −8 −4

−2 −6 4 4

3 −2 −4 0 = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜

O sea: 𝐶(𝑥) = (𝑥 + 2). (3𝑥– 2)

O bien: 𝐶(𝑥) = 3(𝑥 + 2) ∙ (𝑥 −2

3) (**)

2

3 es otra raíz de 𝑃(𝑥)

Reemplazando (**) en (*) se tiene: 𝑃(𝑥) = 3(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 −2

3)

Observar que el polinomio dado ha quedado expresado como el producto de su

coeficiente principal: 3, por factores mónicos de la forma (𝑥– 𝑥𝑛); siendo 𝑥𝑛 todas las

raíces de 𝑃(𝑥).

Es decir, 𝑃(𝑥) está factorizado de tal manera que quedan en evidencia sus raíces.

En general, enunciamos que:

Si un polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 ∙ 𝑥2 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎0 con

𝑎𝑛 ≠ 0 tiene sus 𝑛 raíces racionales, puede expresarse factorizado en función de las

mismas, de la siguiente manera: 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) ∙ … . . .∙ (𝑥 − 𝑥𝑛).

3.8. Casos particulares de factorización

a. Factor Común

Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio

cuando aparece repetida en cada uno de esos términos.

Ejemplos:

7𝑥3 + 49𝑥2 = 7𝑥2(𝑥 + 7) el factor común es 7𝑥2

𝑏𝑎2 – 3𝑏2𝑎3 = 𝑏𝑎2 (1 − 3𝑏𝑎) el factor común es 𝑏𝑎2

4𝑥3𝑦2 − 2𝑥2𝑦 +8

9𝑥6𝑧𝑦5;

el factor común es 2𝑥2𝑦

Por consiguiente, sacando 2𝑥2𝑦 como factor común, resulta:


71

2𝑥2𝑦 (2𝑥𝑦 − 1 +4

9𝑥4𝑦4𝑧)

Como se puede ver, al sacar factor común, el polinomio se transforma en productos; por

lo tanto, queda factorizado.

Luego, si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho

polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta de dividir cada

término por ese factor.

b. Factor Común por Grupos (que tienen la misma cantidad de términos)

Ejemplo:

3𝑥 − 2𝑎𝑏 + 𝑛𝑥 − 2𝑏𝑥 + 𝑎𝑛 + 3𝑎

Vemos que no existe factor común a todos los términos, pero agrupando los términos

que admiten factor común, al polinomio dado podemos escribirlo como:

(3𝑥 + 𝑛𝑥 − 2𝑏𝑥) + (−2𝑎𝑏 + 𝑎𝑛 + 3𝑎) = 𝑥(3 + 𝑛 − 2𝑏) + 𝑎(−2𝑏 + 𝑛 + 3)

Sacando factor común bn 23 de esta última expresión, resulta:

(3 + 𝑛 − 2𝑏)(𝑥 + 𝑎)

c. Trinomio Cuadrado Perfecto

Llamamos así al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro

es el doble producto de las bases de esos cuadrados: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Puesto que (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 , podemos usar esta igualdad

para factorizar algunos trinomios de segundo grado:

Ejemplo:

𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 𝑥2 + 2 ∙ 5 ∙ 𝑥 + 52 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 5)

25𝑥2 + 10𝑥𝑦2 + 𝑦2 = (5𝑥 + 𝑦2)2

d. Cuatrinomio Cubo Perfecto

Llamamos así a todo cuatrinomio de la forma: 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Puesto que (𝑎 + 𝑏)3= (𝑎 + 𝑏)2(𝑎 + 𝑏)=𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Podemos usar esta igualdad para factorizar algunos cuatrinomios de tercer grado:

Ejemplo:

𝑄(𝑡) = 𝑡3 + 6𝑡2 + 12𝑡 + 8 = 𝑡3 + 3 ∙ 2 ∙ 𝑡2 + 3 ∙ 22𝑡 + 23 = (𝑡 + 2)3

Ejemplo:

0,001𝑎3 + 30𝑎𝑏2 − 1000𝑏3 − 0,3𝑎2𝑏 = (0,1𝑎 − 10𝑏)3

e. Diferencia de cuadrados

Todo polinomio que es diferencia de cuadrado es igual al producto de la diferencia de

las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir:

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏).


72

Ejemplos:

𝑏2 − 9 = (𝑏 + 3) ∙ (𝑏 − 3)

𝑥4 − 16𝑎4 = (𝑥2 − 4𝑎2)(𝑥2 + 4𝑎2) = (𝑥 − 2𝑎)(𝑥 + 2𝑎)(𝑥2 + 4𝑎2)

𝑎2𝑥4 − 𝑦2 = (𝑎𝑥2 − 𝑦)(𝑎𝑥2 + 𝑦)

Ejercicio 9: Factoriza las siguientes expresiones, combinando los distintos casos de

factores:

5𝑎2𝑏 + 125𝑏6𝑥8 − 50𝑎𝑥4𝑏4 =

𝑎2𝑚 − 𝑏2𝑚 − 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 =

20

9𝑥5𝑏3 − 5𝑥3𝑏 =

𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 =

3.9. Resolución de ecuaciones polinómicas

Para resolver una ecuación polinómica como por ejemplo 𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥2 = 3, debemos

tener en cuenta que es equivalente a buscar las raíces del polinomio 𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥2 − 3,

con lo cual podremos valernos de los métodos de factoreo vistos.

Ejemplo:

𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥2 = 3,

En este caso podremos factorizar por grupos

𝑥(𝑥2 + 3) − (𝑥2 + 3) = 0

(𝑥2 + 3)(𝑥 − 1) = 0

𝑥2 + 3 = 0 ó 𝑥 − 1 = 0

𝑥 = ±√−3 ó 𝑥 = 1

En este caso la ecuación posee una solución real y dos imaginarias.

Ejemplo:

2𝑥3 + 7𝑥2 − 27𝑥 + 18 = 0

En este caso utilizaremos el Lema de Gauss para determinar las posibles raíces del

polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥2 − 27𝑥 + 18:

Posibles raíces racionales {𝑎 =𝑝

𝑞= ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18; ±

1

2; ±

3

2; ±

9

2}

𝑃(1) = 2.13 + 7.12 − 27.1 + 18 = 0

𝑃(−1) = 2. (−1)3 + 7. (−1)2 − 27. (−1) + 18 = 50

Podríamos continuar buscando las siguientes raíces o utilizar la raíz que hemos

descubierto para factorizar el polinomio:

2 7 −27 18

1 2 9 −18

2 9 −18 0 = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜


73

Por lo que la ecuación queda factorizada

(𝑥 − 1)(2𝑥2 + 9𝑥 − 18) = 0

Por ser un producto nulo sabemos que se debe cumplir

𝑥 − 1 = 0 ó 2𝑥2 + 9𝑥 − 18 = 0

De la primera ecuación obtenemos la solución que ya teníamos 𝑥1 = 1. Luego debemos

resolver la ecuación cuadrática, para la cual podemos aplicar la formula resolvente:

𝑥2,3 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−9 ± √92 − 4 ∙ 2 ∙ (−18)

2 ∙ 2=

−9 ± 15

4

𝑥2 =3

2 ; 𝑥3 = −6

Con lo cual hemos obtenido las tres soluciones de la ecuación.


Ejercicio 1: Halla las siguientes sumas

a. 5

7𝑎2 +

2

3𝑎2 + 𝑎2 =

b. (3𝑥2 − 2𝑥 + 3) + (2𝑥 − 𝑥2 −1

2=)

c. (5

2ℎ2 − 2ℎ) + (−ℎ + 2) + (

3

2ℎ − 5) =

d. (2𝑚 −1

3𝑚2 + 2) + (

2

5𝑚 − 1) + (3 +

1

3𝑚2 −

3

5𝑚) =

Ejercicio 2: Halla las siguientes diferencias:

a. 5

2𝑚 − (−

1

2𝑚) =

b. 4 − (3

5𝑎 −

1

2𝑎2 +

2

3) − (−

5

2𝑎2 +

1

2𝑎 −

1

3) =

c. 8 − (−1

6𝑠3 − 𝑠2 + 0,1) − (0,1𝑠3 − 0,9𝑠2 − 𝑠 +

1

10) =

d. (0,32𝑦 + 3𝑦3 − 0,7) − (−0,2𝑦 + 0,07 − 1,2𝑦2) =

Ejercicio 3: Realiza las siguientes operaciones:

a. 3

2𝑎 − (−

1

4) −

3

4𝑎 +

1

2𝑎 =

b. (3𝑎 − 4𝑎2) + (2𝑎 +1

2𝑎2) − (5𝑎 − 2𝑎2) =

c. − (0,4𝑥 − 𝑥2 +1

2) − (−0,2𝑥 + 𝑥2) + (0,3 − 5𝑥) =

d. [3

4ℎ − (−

1

2ℎ)] − [−

1

4ℎ + (−

2

3ℎ)] =

e. {−𝑦 +2

3𝑦 − [− (−

1

5𝑦) − (−2𝑦) + 𝑦2]}

f. (3𝑧 −5

2𝑧 + 𝑧2) − (2𝑧 +

1

2𝑧 + 3) + (𝑧2 −

1

2) =


74

Ejercicio 4:

Dados: 𝑃(𝑑) = −1

5𝑑4– 𝑑 𝑄(𝑑) = 0,2𝑑2– 3𝑑 y 𝑅(𝑑) = 0,2𝑑4– 2𝑑 +

1

2𝑑2

Calcular:

a. P + Q + R

b. P + Q − R

c. P – Q − R

Ejercicio 5: Multiplicación de polinomios

a. −3b. 4b3

b. −(−x) ∙ (−1

2x) ∙ (−2x) ∙ 3x2

c. −5m2 ∙ (−1

3) ∙ (−2m) ∙

3

10∙ m3

d. (−2a)(a − 3a2 + 2a3 − a4

e. (a + 3) ∙ ((a + 5)

f. (x2 + x + 1)(x − 1)

Ejercicio 6: Calcula el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a. (2𝑥3– 9𝑥2 + 4𝑥 + 10): (2 𝑥 – 5) =

b. (𝑥4 – 2 𝑥3– 2 𝑥2 – 3): (𝑥2– 2𝑥 + 1 =

c. (𝑥4 – 13 𝑥2 + 17𝑥 + 17)𝑥 + 4) =

d. (32𝑥5– 1 ): (2𝑥– 1) =

e. (𝑥5 + 𝑥3 + 1): (𝑥2 + 1) =

f. (𝑥2– 2𝑥 + 1) ∶ (𝑥2 + 3𝑥– 2) =

g. (𝑥3– 0,1𝑥2 + 2,3𝑥 + 1): (0,5𝑥 + 0,2) =

h. (𝑥6 + 2 𝑥4– 14 𝑥2 + 6): (𝑥2 + 5) =

i. (1

2𝑥12 −

19

6𝑥9 +

3

2𝑥6 −

1

6𝑥3) ∶ (𝑥3 −

1

3) =

Ejercicio7: Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a. (𝑥3– 7𝑥2 + 14𝑥– 21): (𝑥– 2) =

b. (𝑥2 + 7𝑥 + 12): (𝑥– 3) =

c. (25

2𝑥2 − 10𝑥 −

5

2) ∶ (𝑥 +

1

5) =

d. (1

9𝑥4 −

4

27𝑥3 +

1

3𝑥2 + 3𝑥 −

7

1) ∶ (𝑥 + 3) =

e. (2𝑥5 − 𝑥3 + 𝑥 −1

6) ∶ (𝑥 + 1) =

f. (𝑥5 + 32): (𝑥 + 2) =


75

Ejercicio 8: Hallar los valores de 𝑎 y 𝑏.

El polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 𝑎 𝑥3 + 𝑏𝑥2 tiene como raíces 𝑥 = 3 y 𝑥 = − 1.

Ejercicio 9: Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios sabiendo que 𝑟 es una

de ellas:

a. 𝐴(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 𝑟 = 1

b. 𝐵(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 8 𝑟 = 4

c. 𝐶(𝑥) = 2 𝑥3 + 6 𝑥2 + 2𝑥 + 6 𝑟 = −3

d. 𝐷(𝑥) = 3 𝑥4 + 5 𝑥3 − 5 𝑥2 −5𝑥 + 2 𝑟 =

1

3

e. 𝐸(𝑥) = 6𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑟 = −

1

3

Ejercicio 10: Hallar la única raíz real de 𝑄(𝑥).

El polinomio 𝑄(𝑥) = 2𝑥3 − 18𝑥2 + 𝑥– 9 es divisible por 𝐺(𝑥) = 2 𝑥2 + 1.

Ejercicio 11: Encontrar los valores de 𝑎 tales que al dividir

𝑥2 + 5𝑥 − 2 por (𝑥 − 𝑎) el resto sea igual a −8.

Ejercicio 12: Expresar los siguientes polinomios como productos y hallar sus raíces

reales.

a. 𝐴(𝑥) = 𝑥4– 𝑥

b. 𝑃(𝑥) = 2𝑥7 + 3𝑥6 − 5𝑥5

c. 𝐿(𝑥) = 5𝑥3 − 10𝑥2 + 5𝑥– 10

d. 𝐵(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9

e. 𝑅(𝑥) = −2𝑥2 + 162

f. 𝑆(𝑥) = 𝑥4– 81

g. 𝑊(𝑥) = 4 𝑥7 + 4𝑥

h. 𝑁(𝑥) = 3 𝑥2– 15

i. 𝐶(𝑥) = 𝑥4 + 12𝑥2 + 36

j. 𝑀(𝑥) = 2𝑥3 − 48𝑥2 + 288𝑥

Ejercicio 13:

El desplazamiento lateral de una barra de choques, 𝑡 segundos después del momento en

que un vehículo la golpea, está dado por 𝑓(𝑡) = 𝑘𝑡(𝑡 − 3)2

a. Hallar el valor de k sabiendo que dos segundos después del impacto, el

desplazamiento lateral es de 40 cm.

b. Para ese valor de k, hallar los ceros de f (t).


76

Ejercicio 14:

El servicio meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura (en

grados centígrados) durante cierto día, la siguiente fórmula:

𝑝(𝑡) = 0,04𝑡(𝑡 − 12)(𝑡 − 24)

Donde 𝑡 está medido en horas, y 𝑡 = 0 corresponde a las 6 am. ¿A qué hora la

temperatura fue de 0º?

Ejercicio 15:

El crecimiento de dos poblaciones A y B responden a las siguientes fórmulas:

𝑃𝐴(𝑡) =5

2𝑡 + 30

𝑃𝐵(𝑡) = 𝑡3 − 12𝑡2 + 44𝑡 − 8

Donde 𝑡 es el tiempo de conteo expresado en semanas. Si ambas poblaciones coinciden

en la cuarta semana, ¿tienen en algún otro momento el mismo número de individuos?

Ejercicio 16: Factoriza las siguiente expresiones:

a. 6𝑥4 + 21𝑥3 − 18𝑥2=

b. 6𝑎 − 9 − 𝑎2 =

c. 2𝑚2 + 11𝑚 − 21 =

d. 𝑥3 + 64 =

e. 9𝑛2 + 12𝑛 + 4 =

f. 1

4𝑥2 − 3𝑥 + 9 =

g. 2𝑚𝑏 − 𝑎𝑛 + 2𝑚𝑛 − 𝑎𝑏 =

h. 33 + 2𝑥2 − 15𝑥 =

i. 𝑦𝑧 − 2𝑥𝑤 + 2𝑦𝑤 − 𝑥𝑧 =

j. 6𝑎2 + 7𝑎 − 20 =


77

4. Funciones Exponencial y Logarítmicas

4.1. Funciones Exponenciales

La función f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 donde 𝑏 > 0 ; 𝑏 ≠ 1 y el exponente 𝑥 cualquier

número real, es llamada Función Exponencial con base 𝑏.

No confunda la función exponencial 𝑦 = 2𝑥 con la función potencia 𝑦 = 𝑥2 que tiene

una base variable y un exponente constante.

Grafica de funciones exponenciales

a. Grafica de una función exponencial con 𝒃 > 1.

Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 2𝑥

Completamos la tabla y utilizando el sistema de referencia usual de coordenadas

cartesianas, ubicamos los puntos y uniéndolos, obtenemos la gráfica de la figura.

Podemos hacer algunas observaciones acerca de esta gráfica. El dominio de cada

función es el conjunto de todos los números reales y el rango todos los números reales

positivos. La gráfica tiene intercepción con el eje 𝑦 en el punto (0,1). Además, esta

grafica tiene la misma forma general. Asciende de izquierda a derecha. Conforme 𝑥

aumente, 𝑓(𝑥) también aumenta. De hecho 𝑓(𝑥) aumenta sin límite. En el segundo

cuadrante vemos que cuando 𝑥 se hace más pequeño la gráfica de la función se

aproxima al eje 𝑥. Esto explica que los valores sean muy cercanos a 0.

𝑥 𝑦 = 2𝑥

−2 1

4

−1 1

2

0 1

1 2

2 4

3 8


78

b. Grafica de una función exponencial con 0 < 𝑏 < 1

Ejemplo: 𝑓(𝑥) = (1

2)

𝑥

Se procede de igual manera que en el ejemplo anterior. Se construye la tabla, ubicando

los puntos y uniéndolos, obtenemos la gráfica de la figura.

Observe que el dominio son todos los números reales y el rango todos los números

reales positivos. La grafica tiene intercepción con el eje 𝑦 en el punto (0,1).

Comparando con la gráfica del ejemplo anterior, aquí la gráfica desciende de izquierda a

derecha. Esto es, conforme 𝑥 aumente, 𝑓(𝑥) disminuye. Observe que cuando 𝑥 toma

valores positivos cada vez más grandes 𝑓(𝑥) toma valores muy cercanos a cero y la

gráfica se aproxima al cero. Sin embargo, cuando 𝑥 toma valores negativos la función

crece indefinidamente.

En general, la gráfica de una función exponencial tiene una de las dos formas de los

ejemplos dados, dependiendo del valor de la base 𝑏.

Propiedades de la función exponencial 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒙

El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El

rango es el conjunto de todos los números positivos.

La grafica de 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 tiene intercepción con el eje 𝑦 en el punto (0,1).

Si 𝑏 > 1, la gráfica asciende de izquierda a derecha.

𝑥 𝑦 =1

2

𝑥

−2 4

−1 2

0 1

1 1

2

2 1

4

3 1

8


79

Si 0 < 𝑏 < 1, la gráfica desciende de izquierda a derecha.

Si 𝑏 > 1, la gráfica se aproxima al eje 𝑥 conforme 𝑥 toma valores negativos cada vez

más grandes en valor absoluto.

Si 0 < 𝑏 < 1, la gráfica se aproxima al eje 𝑥 conforme 𝑥 toma valores positivos cada

vez más grandes.

Función exponencial con base 𝒆

Uno de los números más útiles para base de una función exponencial es cierto número

irracional denotado por la letra 𝑒, en honor del matemático suizo Leonardo Euler (1707-

1783):

𝑒 = 2,71828 … …

La grafica de 𝑦 = 𝑒𝑥 se muestra en la siguiente gráfica. La tabla adjunta a la figura

indica los valores de 𝑦 con dos decimales.

𝑥 𝑦 = 𝑒𝑥

−2 0,14

−1 0,37

0 1

1 2,72

2 7,39

Algunas aplicaciones de la función exponencial

a. Crecimiento de Bacterias

El número de bacterias presentes en un cultivo después de 𝑡 minutos está dado por:

𝑁(𝑡) = 300 (4

3)

𝑡

Observe que 𝑁(𝑡) es un múltiplo constante de la función exponencial (4

3)

𝑡

¿Cuántas bacterias están presentes al inicio?

Solución: Aquí queremos determinar 𝑁(𝑡) cuando 𝑡 = 0

𝑁(0) = 300 ∙ (4

3)

0

= 300(1) = 300

Así que 300 bacterias están presentes inicialmente.

¿Aproximadamente cuantas bacterias están presentes después de 3 minutos?

Solución:

Tenemos: 𝑁(3) = 300 (4

3)

5

= 30064

27=

6400

9≈ 711

Así que aproximadamente 711 bacterias están presentes después de 3 minutos.


80

b. Crecimiento Poblacional

La población proyectada 𝑃 de una ciudad está dada por 𝑃 = 100.000𝑒0,05𝑡 donde 𝑡 es

el número de años después de 1990. Pronosticar la población del año 2010.

Solución: El número de años desde 1990 hasta 2010 es 20, de modo que hacemos

𝑡 = 20. Entonces: 𝑃 = 100.000𝑒0,05(20) = 100.000𝑒1 = 100,000𝑒 ≈ 271.828

c. Decaimiento radiactivo

Por su naturaleza los elementos radiactivos tienden a disminuir hasta agotarse conforme

transcurre el tiempo. Por ello decimos que un elemento radiactivo decae. Si 𝑁 es la

cantidad en el tiempo 𝑡, entonces puede demostrarse que:

𝑁 = 𝑁0𝑒−2𝑡

La constante 𝑁0 representa la cantidad del elemento presente en el tiempo 𝑡 = 0 y es

llamada la cantidad inicial. La constante depende del elemento en particular que se

esté tratando y es la constante de decaimiento.

Ejemplo:

Un elemento radiactivo decae de modo que después de 𝑡 días el número de miligramos

presentes 𝑁, está dado por 𝑁 = 1000𝑒−0.062𝑡

¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente?

Solución: Esta ecuación tiene la forma de la ecuación 𝑁 = 𝑁0𝑒−2𝑡, donde 𝑁 = 100 𝑦

= 0,062 ; 𝑁0 es la cantidad inicial y corresponde a 𝑡 = 0. Así, inicialmente están

presentes 100 miligramos.

¿Cuántos miligramos están presentes después de 10 días?

Solución: Cuando 𝑡 = 10

𝑁 = 100𝑒−0,62 ≈ 53,8

Así que aproximadamente 53.8 miligramos están presente después de 10 días.

4.2. Funciones Logarítmicas

La función logarítmica de base 𝑏, donde 𝑏 > 0 y 𝑏 ≠ 1, es denotada por 𝑙𝑜𝑔𝑏 y es

definida por: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 si y solo si 𝑏𝑦 = 𝑥

El dominio de 𝑙𝑜𝑔𝑏 es el conjunto de todos los números reales positivos y el rango el

conjunto de todos los números reales.

Puesto que una función logarítmica invierte la acción de la correspondiente función

exponencial y viceversa, cada función logarítmica es llamada inversa de su

correspondiente función exponencial y cada función exponencial es la inversa de su

correspondiente función logarítmica.

Recuerde: cuando decimos que 𝑦 es el logaritmo en base 𝑏 de 𝑥, queremos decir que 𝑏

elevado a la potencia 𝑦 es igual a 𝑥.

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 significa 𝑏𝑦 = 𝑥


81

Conversión de forma exponencial a forma logarítmica

Forma Exponencial Forma Logarítmica

52 = 25 entonces 𝑙𝑜𝑔525 = 2



Conversión de forma logarítmica a forma exponencial

Forma Logarítmica Forma Exponencial

𝑙𝑜𝑔101000 = 3 significa 103 = 1000

𝑙𝑜𝑔648 =1

2 significa 64

12 = 8

𝑙𝑜𝑔2

1

16= −4 significa 2−4 =

1

16

Grafica de una función logarítmica

a. Grafica de una función logarítmica con 𝒃 > 1.

Ejemplo: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥

Completamos la tabla, usando la forma 𝑥 = 2𝑦

𝑥 𝑦

1

4 −2

1

2 −1

1 0

2 1

4 2

8 3


82

b. Grafica de una función logarítmica con 𝟎 < 𝑏 < 1

Ejemplo: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥

Para trazar los puntos usamos la forma exponencial equivalente 𝑥 = (1

2)

𝑦

𝑥 𝑦

1

4 2

1

2 1

1 0

2 -1

4 −2

8 -3

Resumiendo los resultados de los ejemplos anteriores podemos decir que la gráfica de

una función logarítmica tiene una de dos formas generales, dependiendo si 𝑏 > 1 o si

0 < 𝑏 < 1

Para 𝑏 > 1 la gráfica asciende de izquierda a derecha; conforme 𝑥 se acerca a 0, los

valores de la función decrecen sin una cota y la gráfica se acerca al eje 𝑦.

Para 0 < 𝑏 < 1 la gráfica desciende de izquierda a derecha; conforme 𝑥 se acerca a 0,

los valores de la función crecen sin una cota y la gráfica se acerca al eje 𝑦.

Propiedades de la función logarítmica 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙

El dominio de una función logarítmica es el intervalo (0; ∞) esto es, no existe logaritmo

de números negativos ni del cero.

El rango es el intervalo (−∞; ∞).

El logaritmo de 1 es 0, y corresponde a la intercepción con el eje 𝑥 en el punto (1; 0)

Observaciones

Los logaritmos de base 10 son llamados logaritmos comunes. Fueron utilizados con

frecuencia para propósitos computacionales antes de la época de las calculadoras. En

general, se omite el subíndice 10 de la notación:


83

𝑙𝑜𝑔 𝑥 significa log10 𝑥

Los logaritmos de base 𝑒 son importantes en cálculo y son llamados logaritmos

naturales. Usamos la notación “𝑙𝑛” para tales logaritmos:

ln 𝑥 significa log𝑒 𝑥

Algunas aplicaciones

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Ejemplo 1: Resolver: log2 𝑥 = 4

Solución: Podemos obtener una expresión explicita para 𝑥 escribiendo la ecuación en

forma exponencial. Esto da: 24 = 𝑥 de modo que 𝑥 = 16.

Ejemplo 2: Resolver: ln(x + 1) = 7

Solución: La forma exponencial da: 𝑒7 = 𝑥 + 1 por lo tanto 𝑥 = 𝑒7 − 1

Ejemplo 3: Resolver: log𝑥 49 = 2

Solución: En forma exponencial, 𝑥2 = 49 de modo que 𝑥 = 7 .Se desecha -7, ya que

un número negativo no puede ser base de una función logarítmica.

Ejemplo 4: Resuelva: 𝑒5𝑥 = 4

Solución: Podemos obtener una expresión explicita para 𝑥 escribiendo la ecuación en

forma logarítmica. Esto da ln 4 = 5𝑥, entonces 𝑥 =𝑙𝑛4

5

Practica del Capítulo 4

Ejercicio 1: Grafique cada una de las siguientes funciones.

a. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥+2

b. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 23 − 1

c. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3(2)𝑥

Ejercicio 2: La población proyectada 𝑃 de una ciudad está dada por

𝑃 = 125.000(1,12)𝑡

20 donde 𝑡 es el número de años a partir de 1995.

¿Cuál es la población estimada para el año 2015?

Ejercicio 3: De un elemento radiactivo, queda 𝑁 gramos después de 𝑡 horas, donde

𝑁 = 10𝑒0,028𝑡

a. ¿Cuántos gramos están presentes inicialmente?

b. ¿Cuántos gramos permanecen después de 10 horas?

c. ¿Y de 50 horas?

d. En base a su respuesta del inc c). ¿Cuál es su estimación de la vida media del

elemento?

Ejercicio 4: En cierto tiempo 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Decae de

modo que después de 𝑡 años el número de miligramos presentes 𝑁, esta dado por

𝑁 = 100𝑒−0,035𝑡 ¿Cuántos miligramos están presentes después de 20 años? Dé su

respuesta al miligramo más cercano.

Ejercicio 5: Grafique las siguientes funciones.


84

a. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 − 4)

b. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2(−𝑥)

c. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −2 ln 𝑥

Ejercicio 6: La ecuación de oferta de un fabricante es 𝑝 = log (10 +𝑞

2) donde 𝑞 es el

número de unidades ofrecidas con el precio 𝑝 por unidad.

¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?

Ejercicio 7: La magnitud 𝑀 de un temblor 𝑦 su energía 𝐸 están relacionadas por la

ecuación 1,5𝑀 = log (𝐸

2,5𝑥1011) .Aquí 𝑀 esta dada en términos de la escala Ritcher de

1958 y 𝐸 está en ergios.

Resuelva la ecuación para 𝐸.

Ejercicio 8: La presión atmosférica 𝑝 varía con la altitud ℎ sobre la superficie de la

Tierra. Para altitudes arriba de los 10 kilómetros, la presión 𝑝 (en milímetros de

mercurios) está dada en forma aproximada por 𝑝 = 760𝑒−0,125ℎ donde ℎ está en

kilómetros.

a. Encuentre 𝑝 a una altitud de 7.3 km.

b. ¿A qué altitud la presión será de 400 mm de mercurio?

Ejercicio 9: Una muestra de 100 miligramos de actinio radiactivo )(227 227 Ac decae de

acuerdo con la ecuación 𝑁 = 100𝑒−0,0319𝑡 donde 𝑁 es el número de miligramos

presentes después de 𝑡 años.

Determine la vida media del Ac227 a la décima de año más cercana.

Ejercicio 10: Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales

a. 2𝑥+1 = 32

b. 64𝑥 = 8

c. 4𝑥 =1

16

d. 8

27

𝑥=

4

9

e. 32𝑥+2 = 2𝑥2+4

f. 5𝑥2−3𝑥 = 625

g. 𝑒𝑥2= 𝑒7𝑥−12

Ejercicio 11: Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas

a. log𝑥 32 = 5

b. ln 𝑥 = 3,7

c. log𝑥 2 = −0,5

d. ln 𝑥2 = −2

e. log(𝑥 + 1) − log(𝑥 − 2) − log 2 = 0

f. ln 𝑥 + ln(𝑥 + 6) =1

2ln 9


85

5. TRIGONOMETRÍA

5.1. Ángulos orientados en el plano

Definición de ángulo

Un ángulo está definido por una semirrecta 𝑟, que gira alrededor de su origen 𝑂 (punto

fijo), desde la posición inicial 𝑟 hasta la posición final 𝑟.

Si la rotación es en sentido antihorario (contrario a las agujas del reloj), el ángulo

generado es positivo. Si la rotación es en sentido horario el ángulo generado es

negativo. A continuación mostramos ambos casos.

Observemos que la semirrecta puede pasar a la posición final 𝑟 directamente, o después

de dar 1, 2, 3, ó 𝑘 giros completos en sentido positivo o negativo. Como los lados de

estos ángulos coinciden aunque no son iguales, pues difieren en uno o más giros, se

llaman congruente respecto de los giros.

Los ángulos y son congruentes respecto de los giros porque difieren un giro

En general, se puede expresar como = + 𝑘 giros

Sistemas de medición

Los sistemas de medición de ángulos más frecuentemente usados son el Sistema

sexagesimal y el sistema radial o circular.

Sistema sexagesimal

La unidad de medida de éste sistema es el grado (º), definido como la noventa avas

partes de un ángulo recto.

Así 1° =𝑅

90 siendo 𝑅 la medida del ángulo recto.

𝑂

𝑟

𝑎 > 0 𝑟

𝑂 𝛽 < 0 𝑟

𝑟


86

En éste sistema los submúltiplos de la unidad, son el minuto () y el segundo ()

definidos como la sesenta avas partes y 3600 avas partes respectivamente de la unidad.

Es decir: 1 =1°

60 y 1 =

1°

3600=

1

60

Sistema radial o circular

Este sistema se basa en la medición de los arcos de circunferencia, que se describe al

girar la semirrecta 𝑟 hasta 𝑟´. Observemos la siguiente figura, la semirrecta 𝑟 gira en torno a O hasta 𝑟 generando el

ángulo 𝛼 = 𝑟�̂�𝑟 y el arco de circunferencia 𝑟 𝑟´.̂

En el sistema radial o circular se define como la unidad de medida al radián, que es la

medida del arco de circunferencia, cuya longitud es igual al radio de la circunferencia a

la que pertenece.

O sea, si la longitud de la semirecta 𝑂𝑟 es igual a la longitud del arco 𝑟 𝑟´̂ , entonces el

ángulo 𝛼 se llama ángulo correspondiente a 1 radián.

Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el radial

Dado que un giro completo en grados es 360º y medido en radianes es 2𝜋, entonces

podemos escribir para cada ángulo medido en grados la siguiente correspondencia en

radianes.

𝛼 = 360° → 2𝜋 radianes

𝛽 = 180° → 𝜋 radianes

𝛾 = 90° → 𝜋

2 radianes

Luego, para saber cualquier otra medida aplicamos regla de tres simple y obtenemos los

resultados. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: ¿A cuántos grados sexagesimales equivale 1 radián?

Solución: Por regla de tres simple obtenemos:

𝜋 radianes → 180°

1 radian → 𝑥 =1 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛 ∙ 180°

𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛=

180°

3,14159= 57,296° = 57° 17 45,6

Ejercicio 1: Expresar las siguientes medidas en radianes.

a. 25° b. 60°


87

c. 30° d. 240,5°

Ejercicio 2: Expresar las siguientes medidas en grados sexagesimales.

a. 1,5

b. 0,017453292

c. 15,84

d. 2

5.2. Funciones Trigonométricas en un triángulo rectángulo.

La geometría realiza un estudio de las distintas figuras geométricas reconociendo y

estudiando los elementos que componen dicha figura, aunque no establece una relación

estricta entre esos elementos.

La trigonometría hace un estudio exhaustivo de la relación entre los elementos

fundamentales (lados y ángulos) de las figuras geométricas. De estas figuras

consideramos una de las más simples como es el triángulo rectángulo (uno de sus

ángulos es de 90°) relacionando sus lados y ángulos mediante “las definiciones

fundamentales de la Trigonometría”.

Sea el triángulo rectángulo 𝐴�̂�𝐶

α = Uno de sus ángulos agudos.

𝑎 = Cateto opuesto al ángulo α

𝑏 = Cateto adyacente al ángulo α

𝑐 = Hipotenusa del triángulo rectángulo.

α + β + 90° = 180° (suma de los ángulos interiores del

triángulo rectángulo).

𝛼 = 90° − 𝛽

Relacionemos el cateto opuesto al ángulo α(𝑎) la hipotenusa (𝑐) y el ángulo α

mediante la definición de la función :

𝑠𝑒𝑛 α =𝑎

𝑐=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Relacionemos el cateto adyacente al ángulo α (𝑏) con la hipotenusa (𝑐) y el ángulo

αmediante la definición de la función:

cos α =𝑏

𝑐=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒


Relacionemos los catetos del triángulo rectángulo (𝑎) y (𝑏) mediante la definición de la

función:

𝑡𝑔 α =𝑎

𝑏=



Las relaciones recíprocas (no inversas) de las anteriores definen las siguientes

funciones.


88

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 α =1

𝑠𝑒𝑛 α=

𝑐

𝑎=



sec α =1

cos α=

𝑐

𝑏=



𝑐𝑜𝑡𝑔 α =1

𝑡𝑔 α=

𝑏

𝑎=



Además podemos relacionar los tres lados entre sí por el teorema de Pitágoras, De

acuerdo al triángulo de la figura: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 .Si dividimos ambos miembros por 𝑐2,

(𝑎

𝑐)

2

+ (𝑏

𝑐)

2

= 1 reemplazando en el primer miembro por la funciones seno y coseno

nos queda:

(𝑠𝑒𝑛 α)2 + (cos α)2 = 1

𝑡𝑔 α =𝑠𝑒𝑛 α

cos α

Conocida la función trigonométrica seno podemos calcular las cinco funciones

restantes.

cos α = ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2α

𝑡𝑔 α = ±𝑠𝑒𝑛 α

√1 − 𝑠𝑒𝑛2α

Y las tres restantes haciendo las recíprocas del seno α, coseno α y tangente α

Ejercicio 3: Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de los

siguientes ángulos

𝜋

6

3

2𝜋

5.3. Resolución de triángulos

Resolución de Triángulos Rectángulos

Los triángulos rectángulos tienen muchas aplicaciones, en parte porque son muchas las

situaciones en el mundo real que los comprenden. Antes de resolver algunos problemas,

observemos que hay seis medidas asociadas con cada triángulo rectángulo; la medida de

sus tres ángulos en grados y las medidas de sus tres lados. Debido a que el triángulo es

rectángulo siempre conocemos una de esas medidas (uno de los ángulos es de 90º). Si se

dan “dos” de las cinco medidas restantes, incluyendo la medida de por lo menos un

lado, entonces podemos calcular las otras tres por medio de:

a. Las funciones trigonométricas 𝑠𝑒𝑛 α, cos α y 𝑡𝑔 α

b. La suma de los ángulos internos.

c. El teorema de Pitágoras.


89

Datos: La hipotenusa y un lado

Hallamos: Un lado y los dos ángulos

𝑏 = √ℎ2 − 𝑎2 = √9 − 4 = √5 = 2,236

cos𝛼 =𝑎

ℎ=

2

3⇒𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 cos

2

3

𝛼 = 48°; 19 = 48° 11 24

𝛽 = 90° − 48° 11 24 = 41° 48 36

Después de haber determinado las seis medidas, decimos que el triángulo rectángulo

está resuelto.

Ejemplos: A continuación damos distintos casos que se pueden presentar en

trigonometría.

𝛽 = 90° − α = 45°

𝑎 = ℎ cos 45° = 3√2

2

𝑏 = ℎ 𝑠𝑒𝑛 45° = 3√2

2

Datos: Un ángulo y la hipotenusa

Hallamos: Un ángulo y los dos lados

𝛽 = 90° − 𝛼 = 60°

𝑏

𝑎= 𝑡𝑔 30° ⇒ ℎ =

𝑏

𝑡𝑔 30°= 2√3 = 3,464

𝑏

ℎ= 𝑠𝑒𝑛 30° ⇒ ℎ =

𝑏

𝑠𝑒𝑛 30°= 2𝑏 = 4

Datos: Un ángulo y un lado

Hallamos: Un ángulo, un lado y la hipotenusa

ℎ = √𝑏2 + 𝑎2 = √9 + 4 = 3,6

𝛽 = 90° − 56° 18 36 = 33° 41 24

Datos: Dos lados.

Hallamos: Los dos ángulos y la hipotenusa.

𝑡𝑔 𝛼 =3

2⇒ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

3

2= 56°,31

𝛼 = 56º 18 36


90

Ejercicio 6: La altura de la torre de la figura es de 35,083 m. Calcular la distancia AB

entre las dos posiciones sucesivas de un observador, si 𝛼 = 50° 12 y 𝛽 = 32° 54

Teorema del seno y teorema del coseno

Si tenemos un triángulo del cuál conocemos tres datos (entre los cuales figura la

longitud de un lado) podemos calcular todas las medidas de sus elementos.

Estableceremos dos fórmulas generales.

Consideremos un triángulo de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶. y llamemos𝛼, 𝛽 y 𝛾 a los ángulos

correspondientes a los tres vértices, y con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 a las longitudes de los lados opuestos

a 𝐴, 𝐵 y 𝐶 (ver Figura siguiente)|

Trazamos la altura correspondiente a un vértice, por ejemplo al vértice 𝐴, y sea ℎ la

longitud de esta altura. Analizando los dos triángulos rectángulos producidos: el 𝐴𝑀𝐵 y

el 𝐴𝑀𝐶 tenemos lo siguiente:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =ℎ

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝛾 =ℎ

𝑏

Luego: ℎ = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 (I) y ℎ = 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛾 (II)

Igualando (I) y (II) y dividiendo ambos miembros por: 𝑠𝑒𝑛 𝛽. 𝑠𝑒𝑛 𝛾 tenemos:

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽=

𝑐

𝑠𝑒𝑛𝛾 (III)

Igualmente, si ahora consideramos la altura correspondiente al vértice 𝐶, obtenemos,

ℎ = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 (IV) y ℎ = 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 (V)

Igualando (IV) y (V) y dividiendo ambos miembros por: 𝑠𝑒𝑛 𝛽. 𝑠𝑒𝑛 ∝ tenemos

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽=

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝛼 (VI)

Igualando (VI) y (III) tenemos:

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝛼=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝛾=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽 Este resultado es conocido como:


91

Teorema del seno:

En todo triángulo, las razones obtenidas al dividir la longitud de cada lado por el seno

del ángulo opuesto, son iguales.

Utilizando la Figura anterior podemos deducir otra fórmula que podrá sernos muy útil

en la búsqueda de los elementos de un triángulo.

Llamemos 𝑥 a la longitud del segmento 𝑀𝐵 e y a la longitud del segmento 𝑀𝐶;

aplicando Pitágoras a los triángulos rectángulos 𝐴𝑀𝐵 y 𝐴𝑀𝐶, obtenemos:

Por Pitágoras:

𝑏2 = ℎ2 + 𝑦2

= ℎ2 + (𝑎 − 𝑥)2

= ℎ2 + 𝑎2 + 𝑥2 − 2𝑎𝑥

= (ℎ2 + 𝑥2) + 𝑎2 − 2𝑎𝑥

= 𝑐2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑥 (VII)

Pero como: 𝑥

𝑐= cos 𝛽 → 𝑥 = 𝑐 ∙ cos 𝛽 y reemplazando 𝑥 en (VII) resulta:

𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑐. cos 𝛽 Esta fórmula se denomina:

Teorema del coseno:

En todo triángulo, la longitud de uno de sus lados elevada al cuadrado es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los mismos

por el coseno del ángulo que forman.

Al tratar de resolver un triángulo pueden servir ambas fórmulas, pero una buena

elección puede ahorrar mucho trabajo y producir menores errores de cálculo.

Además la elección de la fórmula depende mucho de los datos del triángulo que

tengamos.

Ejemplo 1: Sabiendo que el lado 𝑎 = 60,36 𝑐𝑚, 𝛽 = 62° 26 y 𝛾 = 70° 24 calcular

las longitudes de los otros lados y el área del triángulo (ver figura siguiente)

Solución: Como 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋, tenemos que 𝛼 = 47° 10 y luego, usando la fórmula

del teorema del seno, despejando y resolviendo:

𝑏 =𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑠𝑒𝑛 𝛼= 60,36 ∙

0,8865

0,7333≅ 72,96 𝑐𝑚


92

𝑐 =𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑠𝑒𝑛 𝛼= 60,36 ∙

0,94

0,7333≅ 77,54 𝑐𝑚

Para calcular el área, si tomamos como base el lado 𝑎, entonces la altura es:

ℎ = 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛾

Luego

𝑆 =1

2𝑎ℎ =

1

2𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛾 =

1

2∙ 60,36 ∙ 72,96 ∙ 0,94 ≅ 2070 𝑐𝑚2

Ejemplo 2: Siendo: 𝑎 = 20; 𝑏 = 30 y 𝛾 = 11°, hallar los demás elementos del

triángulo.

Solución: En este caso, conviene aplicar el teorema del coseno y así obtenemos:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ cos 𝛾 = 400 + 900 − 2 ∙ 20 ∙ 30 ∙ cos 11° = 122,05

𝑐 = √122,05 ≅ 11

Para obtener las medidas de 𝛼 y 𝛽 empleamos nuevamente la expresión del teorema del

coseno:

cos 𝛼 =(𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2)

2𝑏𝑐=

(900 + 121 − 400)

6600,94

Como cos 𝛼 > 0, esto nos dice que 𝛼 es un ángulo del primer cuadrante y por lo tanto,

𝛼 ≅ 19° 47 42 con lo cual,

𝛽 = 180° − (19° 47 42 + 11°) = 149° 12 18

Para calcular 𝛽 podríamos también usar:

cos 𝛽 =(𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2)

2𝑎𝑐=

(400 + 121 − 900)

440≅ −0,86

𝑎𝑟𝑐 cos 𝛽 ≅ 149° 12 18

Lo que confirma nuestro cálculo anterior de 𝛽


Ejercicio 1: Complete el siguiente cuadro

Grados

sexagesimales. 0 60 180 270 360

Radianes 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

2

Ejercicio 2: ¿Cuántos grados sexagesimales equivalen a 3

10𝜋?

a. 93°

b. – 27° c. 27° d. 54° e. −56°


93

Ejercicio 3: ¿Cuántos grados sexagesimales equivalen a 𝜋

9 radiales?

a. 10° b. 20° c. 30° d. 57,3° e. 45°

Ejercicio 4: Un pino gigante proyecta una sombra de 160 𝑚 de largo. Determine la

altura del árbol si el ángulo de elevación de Sol es de 25,7°.Como muestra la siguiente

figura.

Ejercicio 5: Desde un punto sobre el suelo a 150 𝑚 de la base de un edificio, se

observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del edificio es de 24° y que el

ángulo de elevación hasta la parte superior de la bandera del edificio es de 27° como

muestra la figura. Determine la altura del edificio y la longitud del asta de la bandera.

Ejercicio 6: Una escalera de 12 𝑚 de largo está apoyada contra un edificio como

muestra la figura. Si la base de la escalera está a 2𝑚 de la base del edificio, ¿cuál es el

ángulo formado entre la escalera y el edificio?


94

Ejercicio 7: Determine los valores de las seis razones trigonométricas del ángulo en los siguientes triángulos:

Ejercicio 8: Un depósito de agua está a 98 𝑚 de un edificio (ver figura). Desde una

ventana del edificio se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del

depósito es de 39° y el ángulo de depresión a la parte inferior es de 25°.¿Cuál es la

altura del depósito? ¿A qué altura está la ventana?

Ejercicio 9: Para encontrar la distancia de un lado al otro de un río, una topógrafa

selecciona los puntos 𝐴 y 𝐵 que están separados 60 𝑚 de un lado del río (ver figura).

Entonces ella escoge un punto de referencia 𝐶 del lado opuesto del río y determina que

el ángulo 𝐵𝐴𝐶 ≅ 82° y el ángulo 𝐴𝐵𝐶 ≅ 52°.

Calcule aproximadamente la distancia de 𝐴 a 𝐶.


95

Ejercicio 10: Un piloto está volando sobre una ruta recta. Él encuentra que los ángulos

de depresión a dos postes indicadores de kilómetros (Km.), a 8 𝑘𝑚. de distancia entre sí

tienen los valores de 32° y 48°, según se observa en la figura.

a. Determine la distancia del aeroplano al punto A.

b. Determine la altitud del aeroplano.

Ejercicio 11: La órbita de un satélite alrededor de la Tierra, hace que pase directamente

por encima de dos estaciones de rastreo que están separadas 80,5𝑘𝑚. Cuando el satélite

está entre las dos estaciones, se miden los ángulos de elevación desde 𝐴 y desde 𝐵, y

éstos son de 87° y 84.2°, respectivamente.

a. ¿A qué distancia está el satélite de la estación A?

b. ¿A qué altitud sobre el nivel del suelo está el satélite?

Ejercicio 12:

Los observadores 𝑃 y 𝒬 están en la ladera de una colina que forma un ángulo con la

horizontal de 32°. El observador en 𝑃 determina que su ángulo de elevación a un globo

aerostático es de 62°, en el mismo momento, el observador en 𝒬 mide su ángulo de

elevación al globo y es de 71°. Si 𝑃 está ubicado 60 𝑚 colina debajo de 𝒬, determine la

distancia de 𝒬 al globo.


96

Ejercicio 13: Utilice la ley de los cosenos para determinar el lado indicado 𝑥 o el

ángulo en cada uno de los siguientes triángulos

Ejercicio 14: Dos remolcadores que están separados 37 𝑚 tiran de una barcaza, como

se muestra. Si la longitud de un cable es de 65𝑚 y la del otro es de 70𝑚, determine cuál

es el ángulo que forman los cables.

Ejercicio 15: Un niño está haciendo volar dos barriletes simultáneamente. Una de ellas

tiene 103 𝑚 de cordón y la otra 128 𝑚. Se supone que el ángulo entre los dos cables es

de 30°.Estime la distancia entre los barriletes.


97

Ejercicio 16: Una montaña muy abrupta tiene una inclinación de 74° con la horizontal

y se eleva 1.036 𝑚 por encima del terreno circundante. Se debe instalar un funicular

desde un punto a 244 𝑚 de la base hasta la cima de la montaña tal y como se muestra.

Determine cuál es la longitud más corta de cable necesario.

Ejercicio 17: La torre 𝐶𝑁 en Toronto, Canadá es la torre más alta del mundo. Una

señora en la plataforma de observación a 350 𝑚 sobre el nivel del piso desea determinar

la distancia entre dos marcas sobresalientes sobre el piso. Observa que el ángulo entre

las líneas de visión a estas marcas, es de 43°, también observa que el ángulo entre la

vertical y la línea de visión de una de las marcas es de 62°, y a la otra es de 54°.

Determine la distancia entre las dos marcas sobresalientes.


98

6. BIBLIOGRAFÍA

Cadoche, L. y otros. (2004). Matemática preuniversitaria. Ediciones UNL.

Engler, A., Müller, D., Vrancken, S. (2010). Matemática. Funciones y nociones de

trigonometría. Santa Fe. Ediciones UNL

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Prentice – Hall. 10ª Ed.

Smith y otros. (1998). Álgebra y trigonometría. Ed. Addison - Wesley Longman

Stewart, J.,Redlin, L., Watson, S. (2005). Precálculo. Ed. Thomson. 3ªEd.

Facultad de Ingeniería .Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco. (2003).

Curso de apoyo en matemática.

Facultad Regional Reconquista. Universidad Tecnológica Nacional. Seminario de

ingreso en Matemática

UTN. Secretaría Académica. Rectorado. Seminario Universitario – Matemática.

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