cuaderno iii

CUADERNOSDE ESTUDIO III

Administración Nacional de Educación PúblicaConsejo Directivo Central

Programa para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanzade la Matemática en ANEPde la Matemática en ANEPde la Matemática en ANEPde la Matemática en ANEPde la Matemática en ANEP

© ANEP – Administración Nacional de Educación Pública

Queda autorizada la reproducción total o parcial del contenido de la presente obra, acondición de mencionar la fuente.

Administración Nacional de Educación Pública Av. del Libertador 1409. MontevideoPrgrama para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP

Foto de tapa y contratapa:Foto de tapa y contratapa:Foto de tapa y contratapa:Foto de tapa y contratapa:Foto de tapa y contratapa:Ing. José Luis Massera

Fotógrafos:Fotógrafos:Fotógrafos:Fotógrafos:Fotógrafos:Eduardo CollinsAurelio González

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OCTUBRE 2007OCTUBRE 2007OCTUBRE 2007OCTUBRE 2007OCTUBRE 2007

CONSEJO DIRECTIVO CENTRAL

Director Nacional de Educación PúblicaDr. Luis Yarzábal

Sub-Director Nacional de Educación PúblicaQ. F. Marisa García Zamora

ConsejerosMtro. Héctor FloritProf. Lilián D´Elía

Dirección de Formación y Perfeccionamiento DocenteDirector Ejecutivo: Prof. Oruam Barboza

Área de Perfeccionamiento Docente y Estudios SuperioresMag. Elsa Gatti

Programa para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la EnseñanzaPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanzade la Matemáticade la Matemáticade la Matemáticade la Matemáticade la Matemática

Coordinador: Prof. Ricardo Vilaró

Responsables de la PublicaciónResponsables de la PublicaciónResponsables de la PublicaciónResponsables de la PublicaciónResponsables de la PublicaciónProf. Carla Damisa

Prof. Ariel FrippMtra. Liliana Pazos

Mtra. Beatriz Rodríguez RavaProf. Ricardo Vilaró

ADMINISTRACIÓN NACIONALDE EDUCACIÓN PÚBLICA

CUADERNOS DE ESTUDIO II

CUADERNOS DE ESTUDIO4

PROGRAMA PARA EL MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN ANEP

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ÍNDICE

ÍNDICE

PresentaciónPresentaciónPresentaciónPresentaciónPresentación 77777

José Luis Massera: Matemático,José Luis Massera: Matemático,José Luis Massera: Matemático,José Luis Massera: Matemático,José Luis Massera: Matemático,político, humanistapolítico, humanistapolítico, humanistapolítico, humanistapolítico, humanista 99999

Presentación de documentosPresentación de documentosPresentación de documentosPresentación de documentosPresentación de documentos 1313131313

¿Medir es comparar?¿Medir es comparar?¿Medir es comparar?¿Medir es comparar?¿Medir es comparar? 1717171717

2/4 y 1/ 2 ¿iguales o equivalentes?2/4 y 1/ 2 ¿iguales o equivalentes?2/4 y 1/ 2 ¿iguales o equivalentes?2/4 y 1/ 2 ¿iguales o equivalentes?2/4 y 1/ 2 ¿iguales o equivalentes?¿Qué hacer en la escuela?¿Qué hacer en la escuela?¿Qué hacer en la escuela?¿Qué hacer en la escuela?¿Qué hacer en la escuela? 3737373737

La enseñanza de la Geometría: unaLa enseñanza de la Geometría: unaLa enseñanza de la Geometría: unaLa enseñanza de la Geometría: unaLa enseñanza de la Geometría: unaexperiencia en la formación de maestrosexperiencia en la formación de maestrosexperiencia en la formación de maestrosexperiencia en la formación de maestrosexperiencia en la formación de maestros 5353535353

La Matemática en la formación inicial de maestros:La Matemática en la formación inicial de maestros:La Matemática en la formación inicial de maestros:La Matemática en la formación inicial de maestros:La Matemática en la formación inicial de maestros:análisis de propuestas de exámenesanálisis de propuestas de exámenesanálisis de propuestas de exámenesanálisis de propuestas de exámenesanálisis de propuestas de exámenesAnálisis de propuestas de examen de MatemáticaAnálisis de propuestas de examen de MatemáticaAnálisis de propuestas de examen de MatemáticaAnálisis de propuestas de examen de MatemáticaAnálisis de propuestas de examen de Matemáticade los IFD e IINN de Montevideo (períodos 2005-2006).de los IFD e IINN de Montevideo (períodos 2005-2006).de los IFD e IINN de Montevideo (períodos 2005-2006).de los IFD e IINN de Montevideo (períodos 2005-2006).de los IFD e IINN de Montevideo (períodos 2005-2006). 7575757575

Reflexión en torno a algunas propuestas de examenReflexión en torno a algunas propuestas de examenReflexión en torno a algunas propuestas de examenReflexión en torno a algunas propuestas de examenReflexión en torno a algunas propuestas de examende Matemática correspondientes al períodode Matemática correspondientes al períodode Matemática correspondientes al períodode Matemática correspondientes al períodode Matemática correspondientes al períodode noviembre de 2006 en tres Institutos de Formaciónde noviembre de 2006 en tres Institutos de Formaciónde noviembre de 2006 en tres Institutos de Formaciónde noviembre de 2006 en tres Institutos de Formaciónde noviembre de 2006 en tres Institutos de FormaciónInicial de MaestrosInicial de MaestrosInicial de MaestrosInicial de MaestrosInicial de Maestros 9191919191

CUADERNOS DE ESTUDIO III



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PRESENTACIÓN

Esta publicación integra la serie “Cuadernos de Estudio”“Cuadernos de Estudio”“Cuadernos de Estudio”“Cuadernos de Estudio”“Cuadernos de Estudio” del Programa para elMejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP (PMEM).

Este Programa funciona en la órbita de la ANEP desde el año 2000 y desde su gestación seha desarrollado como un espacio para la indagación, el estudio, la producción deconocimiento didáctico y la elaboración de propuestas alternativas con el objetivo de mejorarla enseñanza de la Matemática en la ANEP.

Desde su constitución incorporó docentes de todos los susbsistemas y niveles de la ANEP ycontó con la presencia activa de dos matemáticos profesionales nombrados por los Consejosde las Facultades de Ciencias e Ingeniería de la Universidad de la República (UDELAR).

El PMEM ha realizado un abordaje de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática comoun continuo desde la Educación Inicial a la Media Superior, la Formación Docente y lasrespectivas interfases.

Como parte del trabajo de indagación y reflexión se ha realizado un esfuerzo derelacionamiento internacional y de relevamiento de información respecto a producción,planes y programas de otros países.

Los talleres, seminarios, cursos y acciones de desarrollo curricular realizados en la órbita delPrograma han tenido, además de su propio valor, la posibilidad de aportar a la indagacióny a la reflexión sobre los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática.

El PMEM se constituyó de este modo en un Programa con autonomía relativa para relevar,analizar, investigar y teorizar sobre los problemas de la enseñanza en toda la ANEP y paraestablecer un diálogo y una cooperación permanente con los diferentes subsistemas.

Ha ido construyendo sus saberes y enfoques desarrollando un nivel de estudio e investigacióny recogiendo - en la medida de sus posibilidades - la producción en documentos ypublicaciones.

Es en este marco en el que surge la serie “Cuadernos de estudio”“Cuadernos de estudio”“Cuadernos de estudio”“Cuadernos de estudio”“Cuadernos de estudio”. En cada una de estaspublicaciones se incluye una pequeña biografía y la imagen de un especialista que se hadestacado por su producción en Matemática y / o en su enseñanza. En este número se pretendehacer un reconocimiento al Ing. José Luis MasseraIng. José Luis MasseraIng. José Luis MasseraIng. José Luis MasseraIng. José Luis Massera como uno de los fundadores de lacomunidad matemática uruguaya.

PRESENTACIÓN

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PROF. JOSÉ LUIS MASSERA

JOSÉ LUIS MASSERA:MATEMÁTICO,

POLÍTICO,HUMANISTA

El trabajo académico, el estudio de viejos y nuevos problemas, el compromiso con laenseñanza y sus desafíos, se inscriben en un esfuerzo de creación y producción que se ha idoregistrando a través de la historia integrando el legado de hombres y mujeres a través deltiempo.

El Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en la ANEP en sus“Cuadernos de Estudio” ha intentado que la proyección de hombres de la talla del IngenieroRafael Laguardia, el Dr. Santaló, el Dr. Miguel de Guzmán y en este número, el IngenieroJosé Luis Massera, inspiren el compromiso profesional y académico de los docentes deMatemática.

Hemos aceptado el compromiso de escribir unas líneas en torno a la imponente personalidad,calidad científica y humana del Prof. José Luis Massera, matemático de relieve mundial,formador junto al Ing. Rafael Laguardia de la “Escuela de Matemática del Uruguay”, políticocomprometido con su país y su época, pensador humanista. Desafío que sentimos nos supera,pero no podíamos eludir.

Conocimos a Massera profesor en el año 1958. Tuvimos el privilegio de tenerlo como docenteen las clases teóricas en el curso de Análisis Matemático I y también en el subgrupo dePráctico de dos horas semanales. Esto último, como bien lo señala Juan Grompone, unprivilegio que habla de la calidad docente de Massera: no es común que un matemático desu talla atienda cursos prácticos y menos de un primer año de Facultad. Recuerdo estaratascado con un problema relativo a la exponencial compleja, y el profesor Massera se meacerca, y me dice: “saque esos complejos del bolsillo” y luego, con algo menos que unasugerencia me dio aire para continuar el trabajo.

Conocimos a Massera político, y recuerdo el impacto que me causó, al fijar una entrevista,observar que su agenda estaba dividida en franjas de 15 minutos. En todas sus actividadesla racionalidad, el rigor, el método, junto a su profunda formación e inteligencia le otorgabanla posibilidad de atender competentemente una variada diversidad de problemas y asuntoscomplejos.

Y nos reencontramos con Massera liberado luego de una larga y dura prisión, asumiendo lareconstitución de la comunidad matemática y científica, en el Instituto de Matemática yEstadística, en el Programa de Desarrollo de las Ciencias Básicas (PEDECIBA), acompañandoel proceso de creación de la Facultad de Ciencias, y dedicando su esfuerzo también a trabajaren torno a problemas de Filosofía de la Matemática.




Es muy vasto y rico el legado de Massera. Para los lectores a quienes dirigimos estos cuadernosde reflexión, maestros, profesores y formadores de futuros docentes de Matemática,realizamos las siguientes menciones:

1.Cuenta el profesor Massera1 “Cuando cursaba el sexto año del ciclo Primario,tuve un maestro que marcó mi vida profundamente. Nada más ni nada menos,él me enseño a pensar. Era algo adusto, no admitía fáciles simpatías, algunavez que no olvido me sancionó, y ante la protesta de mi padre anotó en sulibreta una sola palabra: “mimado”, cosa que pude leer, quizás porque élquería que lo leyera. Y estuve de acuerdo con él. Lo esencial fue lo que ya dijeantes: más allá de los conocimientos del programa, fue capaz de grabarfuertemente en mi mente que lo decisivo no era tal o cual aprendizaje particu-lar. Sino ayudarme a que yo mismo fuera capaz de entender, como cosa propia,mía, como pensando, hubiera podido llegar a él.” ¡Una cualidad docente porexcelencia destacada por un matemático!

2.En la misma conferencia cuenta que “en tercer año (de liceo) el profesor dematemática era un alemanote que sabía algo y me daba gusto, quizás comomanifestación incipiente de mi vocación”. Interpretamos esta referencia deMassera valorando en la formación de un docente la potencialidad deresponder a inquietudes y de abrir “ventanas” motivadoras del saber.

3.Como consecuencia del pasaje por Preparatorios de Ingeniería (hoy 5to y6to de Bachillerato) conoció a Laguardia, quien incorporando a jóvenes afi-cionados a la Matemática facilitó la formación de un grupo de estudio. Todoslos sábados se reunían; el que había leído un trabajo, un tema nuevo se loexponía a los otros. Pensando en los docentes de Matemática, recuerdo que afines de la década del 50 y primera mitad de la década del 60 en el LiceoLarrañaga, todos los domingos por la mañana nos reuníamos un grupo de 20a 30 profesores de Matemática de Preparatorios con la presencia a veces deLaguardia y de jóvenes futuros matemáticos a tratar temas nuevos deMatemática o nuevos enfoques para abordar temas conocidos. El trabajodocente no era entonces insalubre, la unidad docente estaba topeada en 21horas. Las tensiones previas a la dictadura, la destrucción de la cultura operadapor ésta, y las condiciones de la labor docente al recobrarse la democracia nofavorecieron este tipo de buenas prácticas entre profesores. La sobrecarga detrabajo, las bajas remuneraciones, la distancia institucional entre losmatemáticos y la formación de los Profesores de Matemática son factores quehan contribuido al deterioro de la calidad docente en nuestro país.

4.La presencia de Rey Pastor2, del italiano Beppo Levi, de Santaló y MischaCotlar en Argentina, constituyó una fuente de encuentros, seminarios y cursillosque potenció la formación matemática de este grupo de uruguayos que luegose incorporarían al Instituto de Matemática y Estadística de la Facultad deIngeniería fundado por Rafael Laguardia en 1942 bajo el decanato delIngeniero Eduardo García de Zúñiga3. No hay duda que Laguardia que habíaya realizado como lo menciona Massera “un curso superior con grandesprofesores franceses” fue un impulsor ideal de ese grupo de estudiantes con

1" Recuerdos de mi vida académica y política”, Conferencia del Prof. José Luis Massera, Museo Nacional de Antropología, Ciudadde México. 6 de marzo de 1998.

2 El mismo Massera menciona a Rey Pastor señalando “que hacía viajes anuales a Europa para actualizarse” poniendo énfasis enla voluntad de estudio, profundización y actualización en Matemática.

3 El Prof. Eduardo García de Zúñiga, distinguido profesor de Matemática de la Facultad de Ingeniería contribuyó en formaimportante a enriquecer la Biblioteca de la Facultad con obras científicas y principales revistas de Matemática del mundo.

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PROF. JOSÉ LUIS MASSERA

vocación marcada por la Matemática. Ambos, Laguardia y Massera mirabanlejos, proyectaban en forma singular a muy largo plazo, y se destacaron pordetectar motivaciones, dar alas y promover la formación de futuros matemáticos.Salvando las distancias, a nivel de la escuela y de la enseñanza media, maestrosy profesores en nuestra opinión tienen en su misión promover el gusto por elsaber, por explorar y buscar el conocimiento, por cultivar la mente, por plantearsedesafíos intelectuales; promover clubes de ciencia o de Matemática con susvirtudes de socialización y cooperación entre pares .

5.Terminada la segunda guerra mundial, Massera usufructuando una beca dela Fundación Rockefeller viajó a estudiar a EE.UU. Lo hizo en diversasUniversidades, con matemáticos de la talla de Polya y Szesgo, Courant,Friedrichs, Artin. El Dr. Ernesto Mordecki destaca de las múltiples contribucionesde Massera al desarrollo de la Matemática dos direcciones de trabajo: 1. lademostración del recíproco del método de Lyapunov en la estabilidad delmovimiento, descripción del conjunto de soluciones de un sistema de ecuacionesdiferenciales en el plano, estudio de las soluciones periódicas armónicas ysubarmónicas; resultados publicados en Annals of Mathematics, que como diceDr. Jorge Lewowicz “han sido y son hoy de uso frecuente por matemáticos,físicos, químicos, economistas, ingenieros electrotécnicos, químicos industri-ales, etc.”; 2. el estudio de las “relaciones entre la estabilidad condicional deuna ecuación lineal homogénea en un espacio de Banach y la existencia desoluciones “buenas” (acotadas, por ejemplo) de la ecuación no homogéneaasociada, exitada por una función buena”; trabajo realizado en conjunto conel Dr. J. J. Schäffer, publicando ambos en coautoría el libro “EcuacionesDiferenciales Lineales” de lectura obligatoria para los especialistas en esecampo.

Los docentes uruguayos tenemos en quienes inspirarnos. Es de desear que nuestra sociedadcontinúe produciendo vidas que con su trabajo y despliegue de esfuerzo y talento, mirenlejos, y contribuyan al desarrollo de la ciencia, y al bienestar de todos.

Prof. Ricardo VilaróOctubre 2007

Referencias:1.“Recuerdos de mi vida académica y política”, por José Luis Massera. Conferencia dictada enel Museo de Antropología Nacional de Antropología, Ciudad de México; 6 de marzo de 1998.http://www.cmat.edu.uy/massera

2.José Luis Massera. Matemático, Científico, Docente, Investigador. Testimonios para laexperiencia de enseñar. FHCE de la Universidad de la República Oriental del Uruguay. Facultadde Psicología de la Universidad de Buenos Aires, República Argentina. 1999.

3.José Luis Massera. Obituario de la Sociedad Uruguaya de Matemática y Estadística (SUME).Dr. Jorge Lewowicz.http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/massera/sobre/obituario.html

4.Una bibliografía de José Luis Massera, por Ernesto Mordecki.http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/massera/sobre/mordecki-biografia.html

5.José Luis Massera, humanista, por Juan Grompone. Bitácora 2002.http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/massera/sobre/grompone-bitacora.html

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PRESENTACIÓN DE DOCUMENTOS

PRESENTACIÓNDE DOCUMENTOS

Entre las actividades desarrolladas por el Programa para el Mejoramiento de la Enseñanzade la Matemática en la Administración Nacional de Educación Pública (PMEM) se puedeidentificar la producción de materiales elaborados a partir del estudio, discusión y análisisde experiencias llevadas a cabo por el propio Programa.

Los documentos que se producen tienen por finalidad la difusión de estudios realizados, deteorizaciones elaboradas a los efectos de aportar elementos que enriquezcan las discusionesde los diferentes colectivos docentes pertenecientes a la enseñanza primaria, media y a laformación de docentes.

En esta publicación se incluyen los siguientes trabajos:

· ¿Medir es comparar?· 2/4 y 1/ 2 ¿iguales o equivalentes? ¿Qué hacer en la escuela?· La enseñanza de la geometría: una experiencia en la formación de

maestros.· La matemática en la formación inicial de maestros: análisis de

propuestas de examen.Análisis de propuestas de examen de matemática de los IFD e IINN deMontevideo (períodos 2005-2006).

· Reflexión en torno a algunas propuestas de examen de Matemáticacorrespondientes al período de noviembre de 2006 en tres Institutos deFormación Inicial de Maestros.

El documento “¿Medir es comparar?” desnaturaliza el tema de la medida en el ámbito de laenseñanza primaria dejando en evidencia los múltiples aspectos involucrados en el tema.Tomando fundamentalmente como aportes producciones de Guy Brousseau y de Ma. delCarmen Chamorro se analizan los problemas del aprendizaje y de la enseñanza de dichocontenido. Se discuten y cuestionan algunas prácticas habituales que obstaculizan laapropiación del mismo. Se incluye una posible secuencia para el tercer nivel de la escuelaprimaria en la que se ponen en juego los diferentes aspectos estudiados a lo largo del trabajo.

“2/4 y 1/ 2 ¿iguales o equivalentes?” Aporta una valiosa mirada desde la Matemática conalgunas reflexiones históricas y didácticas.

Este documento surge a partir de las insistentes preocupaciones de algunos docentes conrespecto a la utilización y el alcance de los términos “igual” y “equivalente” en el trabajo confracciones; una cuestión que generó discusiones en el marco del Programa que incluyeron elanálisis de algunas creencias de los docentes con respecto al tema. Muchas veces nosenfrentamos a la preocupación del docente por “el rigor matemático” y la necesidad de“utilizar el lenguaje y la simbología correcta”. ¿Qué significado se le puede atribuir a estasexpresiones en el marco de la escuela primaria?.

Primeramente debemos explicitar que la Matemática como tal logra el rigor y la precisióndel lenguaje después de largos recorridos. También que la Matemática se ocupa de hacerrigurosos aquellos conceptos que se muestran fecundos, cuyos significados justifican su




introducción y desarrollo en el marco de una teoría. En el texto se invita a dar mayor énfasisa estos aspectos, relacionados con el sentido de los números, y con su uso en el marco denuestra cultura.

Pero volviendo al tema de formular teorías rigurosas, una característica propia de laMatemática, ¿es posible exigir al alumno de primaria lo que a la Matemática le costó siglos?Por otra parte deberíamos preguntarnos ¿qué aporta al niño la utilización del término“equivalente”? ¿los matemáticos centran sus discusiones en torno a esas disquisiciones obuscan hacer uso de un lenguaje entendible? En este documento integrantes del Programa yrepresentantes de la comunidad matemática nacional aportan valiosos elementos para lareflexión en torno a la reubicación de algunas cuestiones.

El documento “La enseñanza de la Geometría: una experiencia en la formación de maestros”recoge una experiencia realizada con un grupo de maestros durante el año 2006. En lamisma se plantea el estudio de un contenido geométrico, el cuestionamiento a prácticashabituales y la discusión de propuestas alternativas. Se integran en el documento el recorridorealizado por este grupo de maestros así como actividades para proponer en el aula.

Los dos documentos finales son estudios de propuestas de examen correspondientes a laformación inicial de maestros.

El primero de ellos es “La matemática en la formación inicial de maestros: análisis depropuestas de examen. Análisis de propuestas de examen de matemática de los IFD e IINNde Montevideo (períodos 2005-2006).”

El análisis realizado de propuestas de examen, es parte de una serie de actividades que elPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática (PMEM) desarrolla en elámbito de la Formación Inicial de Maestros.

En el año 2002 el PMEM realizó el “Primer estudio de la situación de la enseñanza de laMatemática en Formación Docente a partir de propuestas de examen”. Dicho análisis detectó,entre otras cosas, una gran disparidad en las propuestas de examen de los diferentes institutosdel país. Disparidad identificada en cuestiones relativas a enfoques, contenidos, nivel deprofundización y exigencia.

A partir de lo relevado en dicho trabajo el Programa para el Mejoramiento de la Enseñanzade la Matemática en ANEP en coordinación con la Dirección de Formación Docente y/o laSecretaría Técnica implementó una serie de proyectos con la finalidad de generar espaciosde estudio, de discusión, reflexión y aprendizaje por parte de los docentes de Matemática yTaller de Matemática, con la intención de que estos espacios se ampliaran en los respectivoscolectivos docentes.

En el año 2006 el PMEM consideró importante volver a analizar las propuestas de examende Matemática de los IFD e IINN de Montevideo luego de cuatro años de haber realizado elprimer estudio de los mismos y habiendo concretado las acciones mencionadas anteriormente.La intención, en esta oportunidad, fue la de detectar alguna variación en las propuestas conrespecto a las del año 2002 a través de la observación de los contenidos evaluados y laforma en que se hace.

El último documento que se incluye en esta publicación “Reflexión en torno a algunaspropuestas de examen de Matemática correspondientes al período de noviembre de 2006 entres Institutos de Formación Inicial de Maestros.” surge en el marco del Proyecto Grupo de

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PRESENTACIÓN DE DOCUMENTOS

reflexión y planificación de cursos: Matemática I y II y Didáctica /Taller de Matemática 1 enel cual se analizaron y discutieron propuestas de examen correspondientes a los Institutos deMontevideo, Paysandú y San Ramón.2

Este trabajo tuvo como finalidad ofrecer a los profesores de Matemática de los Institutos deFormación Inicial de Maestros un documento para la reflexión y discusión, que aporte a laconsideración crítica de la propia práctica docente. Es un documento “opinable”, abierto anuevos aportes, que permite a todos reflexionar y confrontar ideas en vistas a mejorar laacción docente en la formación de maestros.

1 Línea de Trabajo en el marco del Curso de Perfeccionamiento para Profesores de Matemática y Didáctica /Taller de Matemáticade IFD e IINN (2004 – 2005).2 Participaron de esta tarea los Profesores Carla Damisa, Adriana Ferreira, María de los Angeles Innella, Mercedes Laborde,Liliana Pazos, Inés Piedra Cueva, Beatriz Rodríguez Rava, Virginia Tort y Ricardo Vilaró.

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¿MEDIR ES COMPARAR?

¿MEDIR ESCOMPARAR?

Prof. Carla DamisaMaestra Liliana Pazos1

El tema de las magnitudes y la medida ocupa, generalmente, un lugar secundario en lasprácticas habituales de enseñanza.

En el primer ciclo de enseñanza primaria la tarea se centra usualmente en realizar algunasmediciones con unidades no convencionales, generalmente antropométricas2, para pasarrápidamente a las unidades convencionales de uso frecuente. El tema, en este nivel, no ocupaun lugar central en las preocupaciones de los docentes.

Sin embargo, es habitual escuchar entre los maestros de segundo y tercer ciclo preocupaciónpor las dificultades de los alumnos para resolver problemas de equivalencia de medidas.Parecería que cuando aparece el problema de las equivalencias, se revelan con mayorevidencia dificultades en la apropiación de estos saberes. En su intento por sortear estasdificultades los maestros plantean numerosos ejercicios de equivalencias poniendo en juegodiferentes “artificios”, especialmente tablas de múltiplos y submúltiplos de las diferentesunidades, para ayudar a los alumnos a ser exitosos en su resolución.

¿Cuáles podrían ser las razones de esta dificultad en un contenido en apariencia sencillo? Lamedida es un tema que los alumnos manejan en situaciones de su vida diaria, estánacostumbrados a oír sobre algunas unidades de medida, ven medidas en su entorno cotidiano.¿Será este conocimiento la base para construir a partir de él otros más complejos? ¿Laescuela organiza este contenido con criterios didácticos que permitan al alumno laconstrucción de los conceptos y procedimientos que el tema pone en juego? Tal vez el usosocial de la medida hace que no se tengan en cuenta todos los aspectos que involucra,manejándose en cambio como un saber práctico sin cuestionar sus razones.

Los numerosos problemas que encierra el tema de las magnitudes y la medida apareceránal ponerse en juego en situaciones especialmente planificadas para ello, que impliquenprácticas de medición efectiva que los hagan emerger. No se aprende sobre medida y no seavanza en este conocimiento si no se mide efectivamente. Sin embargo, siendo ésta unaafirmación casi obvia, preguntémonos cuántas veces durante su escolaridad los alumnos seven enfrentados a resolver problemas que impliquen la medición efectiva. Seguramenteestaremos de acuerdo en que estas oportunidades son escasas.

Algunas de las dificultades que implica la medida son independientes de la magnitud enjuego, son obstáculos propios del contenido y de la presentación escolar frecuente.Este análisis pretende enfrentarnos con los aspectos que deberían abordarse desde laenseñanza, sus dificultades, los obstáculos que aparecen, así como los problemas que lapráctica escolar habitual pone de manifiesto.

La presentación de las magnitudes y la medida como un campo conceptual3, implica pensaren los invariantes operatorios y esquemas de este concepto.1 Docentes del Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP.2 Unidades que refieren a diferentes partes del cuerpo: codo, pulgada, pie, etc.3 Tomamos la idea de campo conceptual de Vergnaud, G .(1991).




En el caso particular de las magnitudes, se encuentran aspectos relativos a la Matemáticaasí como a la Física por lo que el análisis didáctico se vuelve especialmente complejo tantopor esta dualidad como por las interrelaciones que deben establecerse con otros camposdel saber.

Los problemas de las magnitudes continuas, sus diferencias con las discretas, la necesidaddel uso de una unidad y el necesario fraccionamiento de la misma para hacer posible lamedición, así como la conveniencia del uso de un sistema de unidades, deberían ser objetode un tratamiento didáctico que permitiese a los alumnos la comprensión por encima de lamecanización.

Respecto al contenido medidaLos entornos de la medidaLos entornos de la medidaLos entornos de la medidaLos entornos de la medidaLos entornos de la medidaEl tema en sí es complejo; la confusión entre magnitud, cantidad de magnitud y medida esusual. Según Brousseau4, se pueden distinguir distintos aspectos en el tratamiento escolar dela medida.

1)Los objetos soporte en los cuales elegimos los caracteres a medir. En unmismo objeto soporte se pueden medir diferentes magnitudes. Elegiremosla magnitud a medir de acuerdo a la situación que tengamos que resolver.

2)La magnitud, “entendiendo por tal la cualidad común que les haceigualables y sumables”5.

3)El valor particular o cantidad de magnitud, relativo al objeto preciso queestamos considerando que puede ser representado por una clase deequivalencia.

4)La medida aplicación que hace corresponder a cada elemento de unconjunto medible (un segmento, una superficie, un suceso, una masa) unnúmero real positivo o cero.

5)El valor de la medida, número (no negativo) que la medida le hacecorresponder a un objeto medible. Por ejemplo la medida de determinadosegmento es 3.

6)La medida concreta dada por un número y una unidad. Por ejemplo: 3cm ó0,03m.

7)La medición o proceso de medir, operación material o método que permitedeterminar para un objeto un número, un intervalo de incertidumbre y unaunidad.

8)La evaluación de las medidas que sirven de control sobre las actividadesde medición, los cálculos o las comparaciones. Por ejemplo la determinacióndel orden de magnitud de una medida, el tamaño de un número, sus cifrassignificativas, etc.

4 Brousseau, G. y Brousseau, N. (1991).5 Puig Adam, P. ( 1973).

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Cada uno de estos ocho aspectos pertenece a contextos diversos, donde además son llamadosde distintas formas. Todos a su vez intervienen en la conceptualización y en las prácticas dela medida. Sería muy prematuro presentar todos estos elementos en la educación primaria,pero renunciar a su consideración como guía teórica conduce a renunciar también a tratarlos aspectos prácticos y conceptuales que conforman de manera compleja el tema. Es posibleen la escuela el abordaje de algunos entornos así como el acercamiento no formal a otros.

Trabajar con medida implica “entrar” al conjunto de los números racionales y de los númerosirracionales.

Quizás la relación más evidente entre medida y el conjunto de los números racionales, es lanecesidad de fraccionar la unidad durante el proceso de medición. En consecuencia laexpresión de la medida en estos casos corresponde a un número racional, por ejemplo: 3unidades y .

Sin embargo, la urgencia por abordar las expresiones decimales, hace que muchas veces enlas prácticas habituales la medición sea una “excusa” para presentar la escritura decimal dedécimos y centésimos. Estas expresiones decimales aparecen, en general, desvinculadas delas expresiones fraccionarias cuando, en realidad, las actividades de medición son un camporiquísimo para abordar las vinculaciones entre ambas expresiones.

La medición de una misma cantidad de magnitud utilizando distintas unidades permiteestablecer distintas medidas para esa cantidad en función de la unidad usada. Si la expresiónde esas medidas requiere de una fracción, se abre la posibilidad de establecer lasequivalencias entre esas escrituras y en consecuencia es una nueva forma de abordar eltratamiento de la equivalencia de fracciones.

A modo de ejemplo, si una superficie mide 1 12

A y también 3B, es interesante ver queB = 1

2A.

Se ha producido un cambio de unidad y en consecuencia ha cambiado la medida pero lacantidad de magnitud se mantiene.

Esta idea pone sobre la mesa, otras vinculadas con las fracciones: a “menor parte” (unidad)mayor número de partes (medida). Es decir que cuanto menor sea la unidad a utilizar, mayorserá el número que representa el valor de la medida.6

Del mismo modo, la posibilidad de usar fracciones de la unidad cada vez más pequeñaspara lograr un acotamiento mayor de la medida, acerca a la idea de densidad de los númerosracionales. Ésta se pone en evidencia, aunque no siempre se analiza, cuando usamos porejemplo, metro, decímetro y centímetro para expresar una cierta medida. Si aplicada laiteración de la unidad metro sobre lo que se quiere medir hay un resto de la cantidad demagnitud, se podrá dividir el metro en unidades menores (decímetros) y si aún tenemosresto, habrá que dividir el decímetro y usar centímetros y así sucesivamente. Esta idea decambio permanente de unidad habilita a pensar en:

· La densidad del conjunto de los números racionales. Entre dos númerosracionales siempre es posible encontrar otro. Es decir entre dos fraccionessiempre hay otra; por tanto infinitas.

· La equivalencia entre expresiones fraccionarias y decimales.

6Hacemos referencia a los entornos de medida analizados por Brousseau (1991) citados en la página 18.

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· El valor posicional en los “números con coma.”

1,23m se puede escribir también como: m + m + m.

· Las equivalencias entre las unidades en uso, la equivalencia de fracciones yla escritura decimal de las mismas.

m + m + m = 1,23m

m + m+ m = m + m =12,3dm

m + m + m = m =123cm

· Las fracciones que forman una proporción como fracciones equivalentes

= = 10dm =100cm

· La necesidad de multiplicar o dividir por las potencias de 10, resulta de estaforma una necesidad derivada de establecer la equivalencia de fracciones

al cambiar la unidad, ya que si A es B, aquello que mide A tendrácomo medida B puesto que cada 2A corresponde 1B por lo que = .

Esto tomará más adelante la forma:

si A es de B 5 A = B o 0,5B

que es lo mismo, trabajando con m y dm, que

5dm = 0,5m ya que = 7

· El trabajo con el inverso de una fracción ya que si A = B entonces

B = A

Tener en cuenta los aspectos listados anteriormente al tratar el contenido medicionesenriquecería el trabajo con las equivalencias de medida evitando un tratamiento meramentealgorítmico.

Algunos problemas del aprendizaje de la medida8

Tener en cuenta los procesos que deben desarrollarse para conceptuar este tema nos posibilitareflexionar acerca de las dificultades y obstáculos que se presentan en su tratamiento. Enconsecuencia nos acerca a la idea de que el trabajo con la medida necesita un largo períodode acercamientos sucesivos durante el cual se vayan abordando los diferentes aspectos.

La génesis de la idea de magnitud y medida en el niño debe superar diferentes momentospara su manejo adecuado:

· consideración y percepción de la magnitud pudiendo aislarla del objetosoporte (entorno 1)9,

· capacidad de comparar objetos teniendo en cuenta sólo la magnitudconsiderada (entorno 2),

11

210

3100

11

210

3100

1010

210

3100

1210

3100

100100

20100

3100

123100

1010

100100

12

26

13

26

13

210 = 5

10

510

0.51

344

3

7 En este caso no estamos frente a una equivalencia de fracciones sino a razones numéricas iguales, es decir a una proporción. Recordemos que una fracción es un número que puede ser representado por un cociente de enteros con b=0.8 Tomamos este análisis de Chamorro, Ma. del C. y Belmonte, J. M. (1994).9 Hacemos referencia a los entornos de medida analizados por Brousseau (1991) citados en la página 18.

ab

21



· conservación de la magnitud (entorno 3),· establecimiento de una relación entre la cantidad de magnitud y el número,

momento en que es capaz de medir (entorno 8).

Un primer acercamiento a la medición podría verificarse mediante la comparación perceptivaque evoluciona posteriormente hacia la posibilidad de desplazar los objetos para compararlosdirectamente o usando un intermediario que puede ser otro objeto o una parte de su propiocuerpo, haciéndose operativa la transitividad. Queda por superar el momento delfraccionamiento del intermediario de modo que pueda aplicarse como unidad de medida.

La constitución de esta unidad de medida seguiría, según Chamorro y Belmonte10, el siguienteproceso:

· Ligada al objeto que debe medirse (objetal).· Ligada al objeto a medir pero con la posibilidad de cambiar de un objeto a

otro teniendo en cuenta el orden de magnitud entre las partes (situacional).· La unidad se independiza aunque con tendencia a usar una unidad grande

para medir cantidades grandes (figural).· Se constituye la unidad propiamente dicha por lo que puede otorgarse un

número a la cantidad a medir.

Se ha ido pasando de una unidad intraobjeto a una unidad interobjeto.

En el caso particular de la longitud aparece un obstáculo propio: “la dimensión y la distanciason dos aspectos distintos de la longitud. Las dimensiones se entienden como ligadas aobjetos “llenos”, en donde la longitud tiene pleno sentido al tener algo material en queapoyarse. En la distancia, en cambio, no nos referimos a ningún objeto, sino al espaciovacío comprendido entre dos de ellos. La longitud entre dos objetos es su distancia. Ambasnociones van a ser complementarias”11 pero no se construyen simultáneamente.Se está considerando distancia entre dos puntos A y B a la medida de la longitud del segmentode extremos A y B.La expresión usada por los autores de “llenos” y “vacíos” hace referencia a la representacióno no respectivamente, de un segmento dado por sus extremos. Es decir “lleno” refiere al casoen el que la longitud a medir está representada, en cambio “vacío” hace referencia a ladeterminación de los extremos del segmento pero no “materializados” los puntospertenecientes a ese segmento.

La conservación de la longitud debe evaluarse en función de la conservación luego demovimientos y cambios de forma, teniendo en cuenta que en las primeras etapas el niñoevalúa la longitud fijándose sólo en los extremos, independientemente del movimiento o delcambio de la forma.

Como hemos visto, son muchos los aspectos a considerar, aspectos que se consolidan apartir de un recorrido que debe ser apoyado con actividades específicas. Tener en cuenta losdiferentes momentos del proceso no implica pensar en que los mismos sean compartimentosestancos o etapas rígidas. Implica tenerlos en cuenta a los efectos de diseñar secuencias deactividades que presenten problemas que permitan a los alumnos avanzar en este proceso.

10 Chamorro, Ma. del C. y Belmonte, J. M. (1994).11 Chamorro, Ma. del C. y Belmonte, J. M. (1994).




Algunos problemas de la enseñanza de la medidaComo decíamos al comienzo, el aprendizaje de la medida presenta obstáculosepistemológicos y didácticos.

Siguiendo la línea de María del Carmen Chamorro12, podríamos decir que estamos frente aun problema de transposición didáctica desequilibrado en el que se priorizan los aspectosmecánicos frente a la construcción de conceptos. Hay una invisibilidad didáctica que haceque algunos aspectos que deberían ser tratados en forma prioritaria se ignoren, obstruyendode esta manera la posibilidad de construcción de los mismos por parte de los alumnos. Paraevitar confusiones o contradicciones que no se sabe muy bien cómo tratar dada la complejidaddel tema, se tiende a ignorar las prácticas efectivas y a dejar para más tarde las aclaracionesteóricas, restringiendo este aprendizaje a un saber escolar débilmente utilizable.

En nuestro Programa Escolar el tema de las magnitudes y su medida se integra bajo el rótulomediciones. Como primer punto para primer grado aparece el tratamiento de las unidadesarbitrarias y convencionales. En los grados siguientes se realiza un planteo similar pero sólocon relación a las unidades convencionales. Los submúltiplos de las mismas se agregan unopor grado coincidiendo – sin que se lo explicite- con la presentación de las fraccionesdecimales y la escritura decimal correspondiente al orden de los submúltiplos presentados.Se agregan año a año otras magnitudes. Toda la presentación está atravesada por un fuerteénfasis en las equivalencias de unidades del Sistema Métrico Decimal (SMD).

Un gran número de contenidos se hacen invisibles en el currículo. A modo de ejemplopodríamos mencionar los criterios de ordenación, construcción y sentido de la graduación,técnicas de medición, el rápido “pasaje” del trabajo con unidades arbitrarias a unidadesconvencionales.

Esto hace necesaria una “lectura” del Programa Escolar por parte del docente que, a partirde los contenidos explicitados y de sus conocimientos teóricos sobre el tema, le permitadesagregar el contenido magnitud y medida con criterios didácticos. La planificación desecuencias didácticas que aborden en cada grado y a lo largo del ciclo escolar todos losaspectos que el tema implica, sería un apoyo para superar la transposición desequilibradaque mencionábamos.

En función de lo expresado podemos enumerar13 algunos aspectos de las prácticas usualesque pueden obstaculizar los avances de los alumnos en la construcción de este conocimientoy que deberían ser tenidos en cuenta a la hora de planificar las secuencias a las que nosreferíamos.

· Al no realizarse mediciones efectivas, no se adquiere la práctica de lamedición. De igual manera no se puede analizar el proceso de medición contodas las dificultades que supone.

· No se analiza el error inherente a la medida. Como consecuencia se obtienenresultados únicos y a veces alejados de la realidad.

· La ausencia de mediciones efectivas deja fuera de las prácticas escolaresalgunas situaciones relativas a la medida como son la aproximación y eltratamiento del error.

12 Chamorro, Ma. del C y Belmonte, J. M. (1994).13 Basado en Chamorro, Ma. del C. (2003).

23



· En general se confunde el instrumento de medición con la unidad. Los alumnosdicen usar para medir “la regla”, no se tiene conciencia de la unidad, ni de laiteración de la misma que se representa en la graduación de este instrumento.

· El uso de objetos soporte representados en el microespacio, casi siempredibujados y matematizados (es el caso del perímetro, la superficie y el volumenen polígonos y poliedros respectivamente), dificulta el reconocimiento en larealidad de las magnitudes en los objetos que nos rodean y hace casi imposibleslas acciones en referencia a la medida.

· El trabajo con los objetos dibujados no pone en juego la estimación. Enconsecuencia cuando se obtiene un resultado no se sabe evaluar el orden demagnitud de acuerdo al problema presentado.

· La medida de los objetos sobre los que se va a trabajar está dada. Por lotanto se plantean problemas en cuyos datos hay medidas asumiendo que seestá trabajando mediciones cuando en realidad los alumnos trabajan connúmeros que no refieren para ellos a ningún conocimiento sobre las magni-tudes y su medida. Se trabaja con números y no con medidas. Se opera conellos, se ordenan, se comparan, etc., es decir se “aritmetiza la medida”.

· Los instrumentos geométricos e instrumentos de medición se confunden tantoen su función como en el uso dado en la escuela, así como se abusa de lasmediciones en problemas vinculados a Geometría sin tener en cuenta losproblemas propios de la medida.

· En cuanto a la elección de la unidad, en general ésta es elegida menor queel objeto a medir y casi siempre permite ser iterada un número entero de vecessobre la cantidad de magnitud a medir. Esta situación lleva a que sussubdivisiones sólo se presenten cuando se trabaja dentro del Sistema MétricoDecimal.

· La presentación de una sola medida para una cantidad, obstaculizaidentificar que aún cuando se obtengan diferentes medidas para una cantidad,ésta no varía y por lo tanto que una misma cantidad puede expresarse coninfinitas medidas en función de la unidad usada.

· El tratamiento del cambio de unidades que es un problema clave paracomprender el concepto de medida, utiliza un procedimiento apoyadofundamentalmente en los algoritmos y en las memorizaciones de recursosaltamente didactificados. Construir la relación entre unidades es un procesocomplejo que necesita no sólo de la manipulación con unidades y fraccionesde las mismas sino de discusiones, confrontaciones y reflexiones para poderestablecer que a mayor unidad, menor es la medida.

· No se asegura la comprensión de las relaciones entre diferentes unidades ysus equivalencias para acercarse a la conservación de la cantidad de magnitud.

· Se enfatiza el trabajo con unidades convencionales. Sin embargo, esnecesario además trabajar con unidades no convencionales junto al tratamientodel Sistema Métrico Decimal. Esto permite reflexionar acerca de las ventajasde un sistema que se apoya en el Sistema de Numeración Decimal.




Los aspectos enumerados, producto de las prácticas habituales, pueden generar obstáculosen el acercamiento de los alumnos al concepto de medida. Tenerlos en cuenta a la hora deplanificar, permitirá proponer actividades que problematicen los distintos aspectos de estecontenido.

Aspectos del contenido “Medida” que deberíanabordarse durante la escolaridad.Intentaremos un recorrido de los aspectos que sería necesario abordar con relación al estudiode las magnitudes y la medida, algunos de los cuales hemos ido mencionando. Si bientodos los aspectos están relacionados, los agruparemos en tres grandes áreas al sólo efectode facilitar el análisis: aspectos relativos a la cuantificación, aspectos relacionados con elproceso de medición, aspectos relativos a la estimación y al orden de magnitud.

Aspectos relativos a la cuantificaciónAspectos relativos a la cuantificaciónAspectos relativos a la cuantificaciónAspectos relativos a la cuantificaciónAspectos relativos a la cuantificación

COMPARACIÓN Y MEDIDAUno de los momentos esenciales del trabajo en mediciones es el pasaje de la comparacióndirecta a la comparación mediante el uso de un intermediario que se constituye en unidad.Cuando la comparación directa no es posible se hace necesaria la determinación de unacantidad de la misma magnitud que oficie como intermediario entre ambas cantidades.Esta cantidad de magnitud, que es siempre arbitraria, es la que denominamos unidad.

Realizado el procedimiento de medición el alumno deberá contar la cantidad de veces queesta cantidad de magnitud contiene a la unidad, adjudicándole por medida el númeroresultante del conteo. La razón entre la cantidad a medir y la unidad es el valor de la medida.

El diseño de situaciones específicas pondrá en evidencia que el número solo no es suficiente sino se explicita cuál es la unidad usada, obteniendo de esta manera una medida concreta14.

Por ejemplo expresar 1,23 o 123 como medida de una longitud no es suficiente porque nonos informa sobre la magnitud medida ni sobre la medida concreta de esa cantidad demagnitud si no indica la unidad considerada, que en este caso podría ser metros o centímetros.

En este sentido es importante “pensar” la medida como una razón entre la cantidad a mediry la cantidad usada como unidad. Esta apreciación como razón nos permitirá más adelantevinculaciones con el conjunto de los números racionales. Es necesario diseñar actividadesespecíficas para que los alumnos puedan establecer estas relaciones.

ELECCIÓN DE LA UNIDADLa elección de la unidad se relaciona fundamentalmente con un problema de comunicación,de tal modo que si es el mismo sujeto quien va a usar esa medida es posible usar cualquiercantidad de esa magnitud como unidad, si se va a comunicar a otro que está presente, bastacon tener la representación de esa unidad, en un hilo, por ejemplo, para el caso de la longitud.Por el contrario si la medida debe ser comunicada a otros, es necesario usar unidadesuniversales.

Sin duda las unidades no convencionales son tan útiles como las convencionales dependiendode la situación. El apresuramiento por presentar en el aula las unidades del SMD puedeobstaculizar la construcción de la idea de unidad así como de la conveniencia de suuniversalidad.

14 Hacemos referencia a los entornos de medida analizados por Brousseau (1991) referidos en la página 18.

25



El aspecto que sí debe ser tenido en cuenta es la adecuación de la unidad a aquello que sequiere medir de manera de simplificar el procedimiento de medición.

EQUIVALENCIAS DE MEDIDASOtro aspecto que parece prioritario es la construcción de las equivalencias como expresionesde la misma cantidad en función de unidades diferentes. Las prácticas habituales reducenese aspecto a numerosos ejercicios de equivalencias de “medidas ficticias” propuestas porel docente, que se realizan mecánicamente teniendo en cuenta una tabla o las reglas demultiplicación o división por las potencias de diez que carecen, en general, de sentido paralos alumnos.

Sería importante realizar equivalencias de medidas de todas las magnitudes, nonecesariamente con unidades convencionales, desde los primeros grados. Usar comounidades de longitud por ejemplo, las antropométricas así como otras no convencionaleselegidas por los alumnos o por el docente en función del problema a resolver, dará lugar aestablecer una serie de equivalencias interesantes.

Nos enfrentamos en el proceso de medir con los números racionales y los números reales.La práctica reiterada de situaciones que obliguen a enfrentar este problema de cambio deunidad pone en juego otro de los soportes de las equivalencias: si la unidad es mayor, esnecesaria menor cantidad de esa unidad, por lo que el valor de la medida es menor pero lacantidad se mantiene. En tanto esta relación inversa entre unidad y medida no sea objeto deacción y reflexión, las equivalencias de medidas continuarán siendo una mecanización vacíade sentido.

Proponer este tipo de actividades ayudará a establecer relaciones entre diferentes unidades,haciendo aparecer por ejemplo relaciones del tipo inversas.15

FRACCIONAMIENTO DE LA UNIDADSin duda el fraccionamiento de la unidad puede hacerse de manera absolutamente arbitraria.En los primeros enfrentamientos con este tipo de situaciones una de las cantidades en juegopuede ser usada como unidad para medir otra. La necesidad de comparación de variascantidades, enfrentará a los alumnos con la conveniencia de una unidad independiente detodas ellas y con la necesidad de fraccionamiento de la misma a los efectos de lograr elmayor acotamiento.

Enfrentar a los alumnos a la conveniencia de fraccionamientos de la unidad que se integrenen un sistema de unidades, en el que las relaciones entre ellas sean “sencillas” es de sumaimportancia. Del mismo modo debería analizarse la conveniencia del uso de un sistema quese apoye en el sistema de numeración. Estas relaciones facilitan las equivalencias puestoque cada una de las unidades de magnitud, sus múltiplos y submúltiplos corresponden aórdenes del sistema de numeración, por lo cual el establecimiento de equivalencias se tornasimple. A tal punto se da esta relación que muchas veces, por omisión de los aspectosenumerados anteriormente, los alumnos terminan trabajando con números, pero no conmedidas.

Para concluir en esta “conveniencia” es necesario que los alumnos se vean enfrentadosrealmente a los inconvenientes y cálculos engorrosos que deben hacerse para buscarequivalencias cuando las unidades no mantienen “relaciones sencillas entre sí”.

15 Por ejemplo si la longitud de un segmento AB es u, si tomáramos como unidad la longitud de ese segmento AB para medir u,obtendremos que u = AB. Obsérvese que los números intervinientes sin considerar la unidad son inversos.

322

3




Aspectos relacionados con el proceso de mediciónMEDICIÓN EFECTIVAPartimos de la idea de que no se puede aprender sobre la medida y sus problemas si no se mideefectivamente en situaciones reales y con objetivos reales. Esto, que parece a primera vista unaverdad indiscutible, no es lo que usualmente acontece. El concepto avanzará si los alumnos seven enfrentados a los obstáculos que ofrece el procedimiento de medición, lo que se constituiráen un verdadero problema si el docente logra plantear situaciones en las que la medición seanecesaria y no se haga sólo por imposición docente. Las prácticas efectivas de medición que seefectúen en diferentes espacios (micro, meso y macro) habilitarán el uso de distintos procedimientos,distintos materiales y diferentes unidades.

MAGNITUD, CANTIDAD, MEDIDAUno de los problemas que deben enfrentar los alumnos es el de tomar decisiones sobre cuál delas magnitudes de las que un objeto es soporte es la que debe medirse de acuerdo al problemaque se debe resolver. Es el alumno quien debe decidir si necesita la medida de la capacidad deun recipiente o de su altura; si es necesario medir el largo, el ancho, la altura, la superficie o elpeso de una mesa de acuerdo a lo que se necesita hacer con ella, es decir cuál es la cantidad demagnitud que se debe medir para resolver la situación.

Una vez tomada esta decisión, el proceso de medición hará necesaria la iteración de una unidadsobre la cantidad de magnitud a medir, lo que supone el conteo del número de veces que launidad está contenida en dicha cantidad. El número obtenido es la medida de esa cantidad. Engeneral, en un primer momento, la medida se relaciona con el conjunto de los números natu-rales, procediéndose por acotamiento a los efectos de establecerla. Es un momento adecuadopara distinguir las magnitudes discretas - conjuntos que se miden efectuando un conteo directode los objetos - de las continuas, en las que es necesaria una subdivisión arbitraria de la cantidaden partes equivalentes tomadas como unidad para luego efectuar el conteo. Esto ayudaría aconceptualizar el resultado de un conteo como la medida de un conjunto, de manera que siempremedimos: cuando contamos objetos y cuando contamos unidades. Cuando contamos objetosla unidad está dada; es el propio objeto. Por el contrario, en el caso de las magnitudes continuases necesario especificar cuál ha sido la cantidad de magnitud que se ha tomado como unidad.El par número - unidad es la medida concreta o el valor de la medida.16

La falta de situaciones que enfrenten a los alumnos a estos problemas puede traer comoconsecuencia la permanente ausencia de unidad en los resultados a los que se arriba, así comola constitución de un fuerte obstáculo para encarar el trabajo con las equivalencias de medida.

LOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓNOtro de los aspectos a tener en cuenta es el uso de los instrumentos de medición. Las prácticashabituales presentan los instrumentos con su graduación, lo que puede ocasionar dificultadespara comprender cuál es su función. De allí muchas veces derivan reales errores en la mediciónque se producen por ejemplo, por no hacer coincidir el “0” con el extremo del segmento en elcaso de considerar la longitud o del semicírculo con uno de los lados y el vértice del ángulo en elcaso de la amplitud.Del mismo modo, muchas veces los alumnos no comprenden el significado de los númerosimpresos en los instrumentos o de las divisiones que se encuentran marcadas en dichos instrumentos.

En el Programa Escolar los instrumentos se presentan claramente diferenciados en Geometríay Mediciones. Sin embargo, la práctica habitual a veces confunde los instrumentos deGeometría, cuya función es el trazado de rectas, de ángulos rectos o el transporte de distancias,con los instrumentos de Medición cuya función es otra bien distinta. Lo que estos últimoshacen es auxiliar el conteo de unidades y facilitar los fraccionamientos de la misma.

16 Hacemos referencia a los entornos de medida analizados por Brousseau (1991) citados en la página 18

27



El instrumento de medición para las magnitudes lineales es una escala que debe interpretarse.Laconstrucción de escalas en las que primero se registre el resultado de iterar la unidad yposteriormente los fraccionamientos de la misma, debe ser construido por los alumnos movidospor situaciones que evidencien su necesidad a los efectos de lograr un uso comprensivo de losinstrumentos, no confundiendo éstos con la unidad usada. Por ejemplo si se debe medir unacantidad grande con una unidad muy pequeña, esto se tornará en un proceso incómodo, engorrosoy poco preciso. Esto podría poner en evidencia la conveniencia de marcar la iteración de launidad sobre una banda de papel (en el caso de las longitudes) y usar ese instrumento soportepara realizar el conteo de unidades. Más adelante y cuando sea pertinente a la situación habráque “señalar mitades y/o cuartos y/o décimos” en las unidades marcadas en la banda. De estaforma se irá construyendo la escala graduada para medir longitudes lo que permitirá despuésuna mayor comprensión en el uso de otras escalas (reglas, vasos medidores de capacidad,transportador, etc.)

ELECCIÓN DE LA UNIDAD17

Otro aspecto a tener en cuenta es que se debe propiciar que sea el alumno quien determinela unidad a usar de acuerdo a aquello que se quiere medir y al uso que se va a hacer de esamedida. Esta situación se suma a la que ya habíamos analizado en relación con determinarcuál de las cantidades de magnitud de un objeto es la que se hace necesario medir enfunción del problema. Por lo tanto, una situación de medición exige del alumno la toma deuna serie de decisiones, lo que implica poner en juego conocimientos acerca de la medida,oportunidad que no se presenta si el docente plantea la situación con las medidas dadas.

INTERVALO, ACOTAMIENTO, CIFRAS SIGNIFICATIVASRealizado el procedimiento de medición, queda por resolver el problema de la incertidumbreinherente a la medida. Se podrá analizar el hecho de que la medida resultado de una prácticaefectiva nunca es exacta habiendo siempre un orden de incertidumbre que es inherente alacto de medir. Ello debe discutirse con los alumnos a los efectos de establecer los márgenesde error o incertidumbre que la propia actividad determina como lógicos.

Realizar un proceso de medición efectiva implica la iteración de la unidad sin “montajes” ni“huecos”, la asignación del número correspondiente y la discusión en torno a distintasaproximaciones. La comprobación de que no obtenemos siempre la misma medida de unamisma cantidad, la discusión del intervalo posible a establecer o de la variación que unapequeña diferencia puede producir en un cálculo, son discusiones que deberían darse amenudo en clase y no saldarse con la adopción de la medida “exacta”, establecida por eldocente. De otra forma, la naturaleza y el origen de los errores permanecen para los alumnos,no solamente misteriosos sino amenazadores pues se confunden con una falta. En cambio,con los diferentes resultados recogidos a partir de una medición, se podrá obetener una“nube”18 de resultados que permitirá establecer relaciones y diversos procedimientos paraacordar la medida que se considerará. Sería un buen paso interrogarse al menos por lasdesviaciones y los errores tomándose las variaciones inherentes al acto de medir como erroresde medición y erradicar la idea de que la medida es exacta, idea ésta que es frecuente ennuestras aulas.Sería útil y posible distinguir entre:

· Las desviaciones debidas a la elección del sistema numérico de referencia,por ejemplo, la utilización de la medida natural (con números naturales) nopermite diferenciar ciertas magnitudes consideradas diferentes en el entorno.El problema es el mismo cuando se utilizan los decimales con un númerolimitado de cifras después de la coma.

17 El ítem se reitera puesto que este problema se vincula tanto con el proceso de medición efectiva como con el proceso decuantificación. La división se realiza al sólo efecto de un mejor análisis.18 El término “nube” refiere a la colección de medidas concretas recogidas en tanto sean pertinentes a la medición realizada.




· La elección de la unidad permite la utilización de números decimales, porejemplo 13,21.

· Los errores ligados al cálculo: errores de redondeo.

· Las incertidumbres debidas a la apreciación del instrumento, o a imprecisióndel instrumento de medida, a su falta de fidelidad, etc.

· Las incertidumbres ligadas a la inestabilidad del objeto medido o a lascondiciones en que se realizó la medición.

· Las faltas: errores de procedimiento o de cálculo que hacen el resultadoinaceptable. Los alumnos pueden aprender a identificar y a controlar el efectode estos errores.

Los procesos de medición arrojan un intervalo de confianza es decir un entorno en que lamedida concreta tiene sentido de acuerdo al instrumento utilizado. Para que este intervalode acotamiento sea cada vez menor con el fin de lograr con los instrumentos que se disponela mayor precisión posible, es necesario el fraccionamiento de la unidad.

Por lo tanto la expresión de la medida requiere de un acotamiento en un cierto intervalo quedependerá de la unidad usada y del instrumento elegido para realizar la medición pertinentea la situación. Se pueden presentar entonces diferentes casos según se usen instrumentos condiferentes graduaciones. Por ejemplo, es necesario medir el largo del salón de clase (6,54m).Si se usa una regla de longitud 1m, sin graduar, se obtendrá una medida que estará acotadaentre dos valores naturales, es decir se podrá afirmar que la longitud del salón estácomprendida entre 6m y 7m. Si se utilizara una regla graduada a decímetros, se obtendríaun error de 1dm, porque el instrumento con esa graduación habilita a leer esa medida, esdecir la medida estaría por ejemplo, en el intervalo 65dm - 66dm. A su vez si se tuviese unaregla graduada a centímetros, entonces la medida que se obtendría tendría un error de1cm, en nuestro caso sería 653cm- 655cm.

Aspectos relativos a la estimación y el orden demagnitudLa escasa presencia en las aulas de actividades de medición efectiva, puede obstaculizar eldesarrollo de habilidades que permitan estimar. Consecuentemente la falta de esta habilidadimpide manejar el orden de magnitud de una medida, lo que resulta en falta de control porparte de los alumnos de los resultados que obtienen.

“Estimar una cantidad es el proceso de obtener una medida sin la ayuda de instrumentos…”19

En definitiva es la medida realizada a “simple vista” de una cantidad de magnitud de unobjeto.

Sin embargo ese proceso de estimación tiene referentes muy fuertes en la realización demediciones efectivas que den un marco para poder realizar comparaciones. La comparaciónes el aspecto básico de la estimación. Por ejemplo si es necesario estimar la altura de unapuerta, esta se podrá comparar con la altura del sujeto que está realizando la estimación o elalto de la habitación donde se encuentre, logrando así un cierto encuadramiento de la cantidad

19 Frías, A.; Gil, F. y Moreno, M, (2001).

29



de longitud de la puerta. Estos procesos de estimación deberían ser objeto de enseñanza yaque son importantes a la hora de acercarse al concepto de medida y en consecuencia a laposibilidad de evaluar la misma a partir del orden de magnitud obtenido.La medición efectiva dotará de los necesarios referentes para lograr una estimación adecuada.

Como se ha visto las situaciones de medida deberían emerger de verdaderas situacionesproblema que obliguen a los alumnos a desarrollar actividades concretas de medición,generando situaciones cuya posterior discusión irá acercándolos al concepto que nos interesasea construido.

Una posible secuencia de actividades para el 3ernivel de la escolaridad.Las siguientes actividades integran un posible recorrido que trata de atender con un ejemplode cada tipo los diferentes aspectos a tratar, en este caso sobre longitud.

Actividad 1Actividad 1Actividad 1Actividad 1Actividad 1

Ordenar de mayor a menor las longitudes de:· el contorno del fondo de la papelera· el diámetro de la boca de la papelera· el contorno de la tapa del cuaderno· la altura del asiento de la silla· la altura de la papelera

Objetivo: comparar longitudes usando un intermediario.

ComentariosSe consideran longitudes similares a los efectos de que se haga necesaria la comparación.La altura de la silla y de la papelera puede compararse directamente.Las otras longitudes necesitan del uso de un intermediario para poder ser comparadas.

Se toma la base de la papelera con el fin de enfrentar las dificultades de medición de unacurva cerrada. Se presenta aquí la necesidad de elegir un instrumento flexible para poderrectificarla y de determinar un punto para comenzar la medición.Si lo comparamos con actividades en las que es necesario medir la longitud del contorno decualquier polígono (por ejemplo el contorno de la tapa del cuaderno), la elección de unpunto de referencia para comenzar la medición no se hace necesaria puesto que cualquierade los vértices puede oficiar como punto de partida de la medición y además ésta puederealizarse con un instrumento rígido.

La inclusión del diámetro de la boca de la papelera obedece a la intención de establecer ladiferencia entre longitud y distancia.


a - Ordenar la longitud de los contornos de las figuras. (Anexo)

b - Expresar la medida del contorno de cada una de las figuras utilizando solamente los materiales dados20

20 Figuras, hilos, pajillas, tijeras, cinta adhesiva.




Objetivo: ordenar y medir longitudes.

ComentariosEn esta actividad se utilizan figuras dadas a los efectos de asegurarnos las relaciones quebuscamos entre las longitudes. Si la actividad N° 1 arrojara resultados que permitiesenestablecer las mismas relaciones u otras de dificultad similar, se usarían esas longitudespara la presente actividad.

Se eligen longitudes entre las que se puedan establecer relaciones sencillas a los efectos defacilitar el uso de una misma unidad.


Expresar la longitud del contorno de la figura A utilizando como unidadla longitud del contorno de la figura E- la longitud del contorno de la figura F22

Objetivo: relación inversa entre unidad y medida.

ComentariosSe proponen relaciones que impliquen en el primer caso una unidad mayor que la cantidada medir y en el segundo caso una unidad menor que ella.

En ambos casos es necesario el fraccionamiento de la unidad y en el segundo es necesariaademás la iteración de la unidad.

La relación inversa entre unidad y medida se observa ligada a la idea de fracción: a mayorcantidad de partes, la parte es menor.Es decir que la medida de A corresponde a 0,8E y también a 2F, lo que pone en evidenciaesta idea de: a mayor unidad (F es mayor que E), menor medida ( 0,8 < 2).Puede establecerse en consecuencia la medida como razón

=

= y a partir de ello las relaciones existentes con el conjunto de los números racionales.


a - Comunicar la medida del contorno de G23 a dos de los equipos de la clasepara que ellos puedan determinar un segmento de la misma longitud.La información debe estar escrita de diferente manera para cada equipoPuedes usar como patrones A, F y E

b - Una vez realizada la comunicación completa los espacios1 A = .............E = ............. F

21 En las actividades siguientes llamaremos A a la longitud del contorno de la figura A, E a la longitud del contorno de la figuraE y F a la longitud de la figura F, refiriéndonos a las figuras entregadas en la actividad 2.22 Son las mismas que las figuras de la Actividad 2.23 Se incorpora una nueva figura -G- cuyo contorno mide 2A y 1F, información que los alumnos no conocen.

AE

810

AF

42

31



Objetivo: equivalencia de medidas a partir de diferentes unidades.

ComentariosSe pretende la medición efectiva de una curva con dos unidades diferentes y la comunicaciónde las medidas obtenidas. Para obtener estas medidas es necesario el fraccionamiento de launidad usada.

Se plantean relaciones de equivalencia, que permitan acercarse a la idea de que una cantidadde magnitud puede ser expresada con infinitas medidas en función de la unidad usada.

Una vez obtenidas las diferentes medidas, se deberán establecer las relaciones deequivalencia entre las unidades en uso. Es decir que si la medida obtenida es 4A en un casoy 2F en otro, entonces 1A = 2F.En este caso las relaciones que se plantean son las siguientes:

1A = E = 2F


A partir de los resultados de la actividad 3 completar la siguiente tabla

Objetivo: establecer medidas equivalentes.

ComentariosSe retoman las diferentes medidas para una misma cantidad de magnitud. En este caso sepropone establecer la relación entre dos cantidades de magnitud, tomando cada una deellas como unidad para medir la otra. De esta manera se podrá observar que una de lasmedidas se expresa por el inverso de la otra. Es decir que si A = 2B, entonces B = ½A.Esto permite establecer nuevas relaciones entre la medida de magnitudes y el conjunto delos números racionales, así como reflexionar sobre la relación entre dos cantidades comorazones, de manera que el orden de comparación determina cantidades inversas.


Expresar la medida del contorno de las figuras A, E, F con números naturales

Objetivo: conmensuración de la unidad.

ComentariosSe solicita la expresión de la medida utilizando el conjunto de los números naturales a losefectos de plantear la conveniencia de establecer una conmensuración que permita encontraruna unidad independiente de las trabajadas hasta ahora.

54

FFFFF AAAAA

FFFFFAAAAA

UnidadFigura





Completa la tabla, expresando las cantidades de longitud en las unidadesindicadas:Longitud del salón 6m m m .........m ........dm .........cm

Longitud A 1A ..........E .......... F ..........H

a - ¿Puede completarse toda la tabla?b - ¿Qué requisitos son necesarios para poder completar cada una de las filas?c - En caso de que alguna de las posibilidades no pueda completarse, buscala razón de ello.

Objetivo: sistema de unidades de medida.

ComentariosSe utilizan las unidades no convencionales ya utilizadas en las actividades anteriores,agregándose una unidad H cuya relación con el resto de las unidades se desconoce. Es asíque al desconocer la relación de la unidad H con el resto, no podemos establecer relacionesy equivalencias. Sin embargo en la longitud del salón tomada con unidades convencionales,no es necesario explicitarlas ya que conocemos de antemano las relaciones entre ellas porqueforman un sistema de unidades de medida.

De esta manera se pone en evidencia la necesidad de que aunque no se trabaje con unidadesconvencionales para establecer las equivalencias es necesario explicitar las relaciones entrelas unidades consideradas para poder llegar a establecer la medida sin problemas y lasequivalencias entre ellas.

Reflexiones finalesEs usual escuchar en nuestras escuelas la afirmación que da nombre a este trabajo: “Medires comparar”.

La secuencia presentada intenta abordar, a modo de ejemplo, los aspectos referidos a:· establecer las diferencias entre ordenar y medir,· considerar la medida como razón,· usar diferentes unidades convencionales y no convencionales,· expresar con diferentes medidas una misma cantidad de magnitud,· analizar la equivalencia de unidades así como la necesidad de crear un

sistema para comunicar una medida,· establecer relaciones con el conjunto de los números racionales y con el

sistema de numeración decimal.

A partir del análisis del “asunto de medir” evidenciamos varios aspectos que determinan lacomplejidad del tema. Podemos preguntarnos ¿medir es comparar?, ¿qué entendemos porcomparar? Si por comparar entendemos hacer explícito un cierto orden, por ejemplo, entrelas longitudes de ciertos objetos, entonces al comparar no necesariamente estamos midiendo.

No lo estamos haciendo porque la situación no exige dar como resultado un númeroacompañado de una unidad utilizada para tal fin.

210

3100

33



En definitiva, aparecen ciertos aspectos que quedan “oscuros” si solamente decimos quemedir es comparar. En una comparación no es necesario informar la cantidad de magnituden el objeto soporte que se está considerando, ni tampoco la unidad que se está teniendoen cuenta.

Hemos ido observando a lo largo del análisis del tema y en las actividades propuestas lanecesidad de considerar la unidad así como la arbitrariedad de su elección. Además hemosdado cuenta de la “necesidad” de unificar unidades para que la comunicación de la medidase logre sin inconvenientes así como la necesidad de su fraccionamiento, lo que permiteestablecer las relaciones entre los submúltiplos y/o múltiplos entre ellos y con la unidadconsiderada. Esto nos llevó a considerar que dada una cierta cantidad de longitud con launidad correspondiente, es decir la expresión de una medida, ésta es distinta si empleamosotra unidad, aún cuando la cantidad de magnitud es la misma

Sólo si estos aspectos han sido construidos caerá por no cierta la frase “medir es comparar”.O al menos se completará, agregando que medir es comparar una cantidad de magnitudcon otra cantidad de la misma magnitud usada como unidad expresando esta relaciónnuméricamente.

Hay diferencias, diferencias que deben ser producto de un largo recorrido, de mucho tiempode acciones y reflexiones, para el tratamiento de un contenido que necesita recuperar unlugar importante en las aulas, porque en realidad

“¿De qué sirve enseñar si no es para hacer comprender?24

24 Lesbesgue, H. en Turégano, P.(1996).




ANEXO

Figura A

Figura F

Figura E

25 Medidas de contorno: A – 8U; E – 10U, F – 4U;

25

35



Bibliografía consultadaBrousseau, G. y Brousseau, N.Brousseau, G. y Brousseau, N.Brousseau, G. y Brousseau, N.Brousseau, G. y Brousseau, N.Brousseau, G. y Brousseau, N. (1991) - “El peso de un recipiente. Estudio de losproblemas de la medición en CM.” Gran N Nº 50. Burdeos.

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37


2/4 Y 1/2 ¿IGUALES O EQUIVALENTES?

2/4 Y 1/2¿IGUALES O

EQUIVALENTES?¿Qué hacer en la escuela?

Programa para el Mejoramientode la Enseñanza de la Matemática (PMEM)

ANEP

Dr. Andrés AbellaDr. Omar Gil

Prof. Ricardo Vilaró1

Resumen ¿Es correcto afirmar que 2/4 es igual a 1/2? ¿O es incorrecto, pero correcto sostener queambas expresiones son equivalentes? Este debate parece merecer cierta atención en lasaulas escolares y en el ámbito de formación docente.

A propósito de una pregunta al respecto, formulada por un asistente a la presentación delPMEM en una jornada organizada por la Inspección Nacional de Práctica del Consejo deEducación Primaria, en el Museo pedagógico, el jueves 6 de julio de 2006, desarrollamosnuestra visión sobre este asunto.

En esta nota intentamos mostrar que es perfectamente adecuado referirse a ambasexpresiones como iguales, en tanto que, dependiendo del contexto, es muy forzado, o lisay llanamente equivocado, considerarlas equivalentes. Fundamentamos esta conclusión enla sección 3, en tanto que en la 4 recomendamos que en las aulas de formación docente yde la escuela se preste poca o nula atención a la cuestión que nos llevó a escribir estaspáginas.

En la sección 1 hacemos una introducción informal de los números racionales. En la 2revisamos dos presentaciones de la noción de número racional, sólo con el propósito deanalizar algunos aspectos teóricos necesarios para avanzar en las respuestas a las preguntasque abren este trabajo.

El lector más interesado por la presentación de los conceptos de número ante niños yadolescentes, o el que esté familiarizado con las distintas construcciones teóricas que lossustentan, bien puede leer en primera instancia las secciones 1 y 3 yendo sólo a las partes dela sección 2 que sienta necesidad de consultar. Hemos dispuesto un apéndice en el cual serepasa la noción de relación de equivalencia y sus propiedades básicas, pero que noencontramos imprescindible para la lectura del cuerpo principal del texto. Indicamos con N,Z, Q y R respectivamente a los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales yreales.

1 Integrantes del Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP




1.Breve introducción de los números racionales.Comenzamos por remitirnos a una breve descripción del conjunto de los números racionales,tomada del hermoso y clásico texto ¿Qué es la Matemática? de Richard Courant y HerbertRobbins [2]. Los números enteros son abstracciones del proceso de contar colecciones finitasde objetos. Pero en la vida diaria no es suficiente poder contar objetos individuales, es precisotambién medir cantidades tales como longitudes, áreas, pesos y tiempo. Si se quiere operarsin obstáculos con las medidas de estas cantidades, que son susceptibles de subdivisionesarbitrariamente pequeñas, es necesario extender el campo de la aritmética más allá de losnúmeros enteros. El primer paso será el de reducir el problema de la medida al de contar.

Comenzaremos por elegir, de modo completamente arbitrario, una unidad de medida. (...)Luego, contaremos el número de esas unidades contenidas en la cantidad que deseamosmedir. (...) Sin embargo, el proceso de contar no es suficiente en general, ya que la cantidaddada puede no ser exactamente medible mediante múltiplos enteros de la unidad elegida.(...) Cuando esto ocurra, avanzaremos un paso introduciendo nuevas subunidades, obtenidaspor subdvisión de la unidad inicial en un cierto número n de partes iguales. (...) En el simbolismode las matemáticas, una subunidad obtenida dividiendo la unidad inicial en n partes igualesse designa con el símbolo 1/n; y si una cantidad contiene exactamente m de estas subunidades,su medida se denota con el símbolo m/n. Este símbolo se llama fracción o razón. El pasosiguiente, sólo se dio de modo consciente después de varios siglos de tentativas. El resultadofue que el símbolo m/n quedó desposeído de referencias concretas a procesos de medidas ya las cantidades medidas, y fue considerado simplemente como un número, un ente en símismo, en el mismo plano que los números naturales. Cuando m y n son números naturales, elsímbolo m/n se llama número racional.

Continúa luego junto a las razones prácticas que indujeron a la introducción de los númerosracionales, existen otras (...) de carácter aritmético y típicas de una tendencia dominante en elproceso matemático. En la aritmética ordinaria de los números naturales se pueden efectuarsiempre las dos operaciones fundamentales: adición y multiplicación. En cambio, lasoperaciones inversas no son siempre posibles.

Efectivamente, la operación inversa de la adición es la resta. Sabemos desde el primer añoescolar que esta operación no es siempre posible en el marco de N, el conjunto de losnúmeros naturales. Entonces para que, por ejemplo, la diferencia

3 - 10

esté definida es necesario colocarse en un conjunto numérico más grande llamado el conjuntode los números enteros Z. En Z el resultado es un nuevo tipo de número, el entero negativo -7.

Algo similar ocurre con la división, operación inversa de la multiplicación. No hay ningúnnúmero entero que multiplicado por 2 arroje el resultado 3. En otras palabras, la ecuación

2x = 3

no tiene ninguna solución en el conjunto de los números naturales. Tampoco en el de losenteros. En cambio, la ecuación

2x = 4

tiene x = 2 como única solución en ese conjunto numérico.

39



Ocurre que la ecuación ax = b, donde a y b son dos números enteros cualesquiera, tienesolución entera si y sólo si b es un múltiplo de a. Por lo tanto, para poder resolver estasecuaciones con toda generalidad se hace necesario ampliar el concepto de número. Ex-tender un dominio por la introducción de nuevos símbolos, de tal modo que las leyes quevalen en el primero continúen rigiendo en el segundo, es uno de los aspectos del proceso degeneralización característico de la matemática. La generalización del concepto de númeronatural al de número racional satisface, por una parte, la necesidad teórica de suprimir lasrestricciones a la sustracción y a la división, y cumple, por otra la necesidad práctica de tenernúmeros para representar los resultados de mediciones. Del hecho de que los númerosracionales satisfagan esa doble necesidad resulta verdaderamente su gran importancia. (...)

Esta extensión del concepto de número ha sido posible por la creación de nuevos números enla forma de símbolos abstractos tales como 0, -2 y 1/4. Hoy acostumbrados como estamos atratarlos como cosa corriente, resulta difícil creer que hasta el siglo XVII no fueron admitidoscon los mismos derechos que los enteros positivos y que, aunque usados cuando se hacíannecesarios, no era sin ciertas dudas y prevenciones. A la natural tendencia humana a apoyarseen lo concreto, y como tales aparecían los números naturales, se debe la lentitud con que sedio este paso inevitable. Únicamente en el dominio de lo abstracto puede ser creado un sistemasatisfactorio de aritmética [2].

Es así que los números racionales se conocen y emplean desde la antigüedad. Ya lospitagóricos intentaban explicar el mundo en términos de razones entre números enteros.Pero la preocupación por construir una teoría rigurosa que justificara y fundamentara suexistencia es muy posterior. Sin considerar esta cuestión, los matemáticos operaron por sigloscon ellos de una manera que, examinada desde los estándares actuales de rigor, resultainsatisfactoria. Uno de los hechos más sorprendentes en la historia de la matemática es queno se acometiera la fundamentación lógica del sistema de los números reales hasta finalesdel siglo XIX. Hasta ese momento no quedaron establecidas ni siquiera las propiedades mássimples de los números racionales positivos y negativos y de los números irracionales, ni habíansido definidos estos números. (...) La comprensión intuitiva de esos números parecía suficientey los matemáticos se contentaban con operar con esa base [6].

Efectivamente, estas cuestiones quedaron fuera del foco de atención de muchas generacionesde científicos, hasta que la dificultad para interpretar los procesos del paso al límite y lasparadojas del infinito hicieron crisis y se hizo necesario examinar de cerca los cimientos detodo el edificio intelectual que hasta entonces se había construido. Recién en el siglo XIX,cuando en la matemática ocurre un proceso de revisión de los conceptos más básicos, queentre otros efectos condujo a la aritmetización del análisis, y se formalizaron diversasestructuras geométricas y algebraicas, se hizo patente la necesidad de contar con unafundamentación sólida de las estructuras numéricas.

Destacamos dos posibles construcciones del conjunto de los números racionales, que resultarondel proceso de revisión de los fundamentos que acabamos de describir:

1. La primera sólo requiere el conocimiento previo del conjunto Z de losnúmeros enteros. A partir de ellos se construyen de manera rigurosa los númerosracionales mediante una relación de equivalencia en un cierto conjunto depares de números enteros, que identifica todas las parejas que al dividir dan elmismo resultado.

2. La segunda presupone conocido el conjunto R de todos los números reales,e identifica a los números racionales como un cierto subconjunto de R.




En la actualidad, ambas son relativamente corrientes en diversos cursos y libros de texto. Laspresentaremos sucintamente a continuación en la sección 2. Desde ya adelantamos al lectorque en cualquiera de ellas es perfectamente correcto y tiene pleno sentido decir que 1/2 y 2/4son iguales, en el sentido de que ambas expresiones son dos maneras diferentes de representarel mismo número racional.

2.Dos posibles presentaciones de los númerosracionales.Presentamos en esta sección dos construcciones rigurosas del conjunto Q de los númerosracionales. No seremos exhaustivos en el desarrollo y omitiremos unos cuantos detalles,pero todas las afirmaciones que aparecen en esta sección pueden deducirse de los axiomasy definiciones que haremos explícitos, sin pérdida de rigor, ni necesidad de apelar a la intuiciónpara justificar las propiedades de este sistema numérico.

2.1 De los naturales a los enteros y luego a los racionales.2.1 De los naturales a los enteros y luego a los racionales.2.1 De los naturales a los enteros y luego a los racionales.2.1 De los naturales a los enteros y luego a los racionales.2.1 De los naturales a los enteros y luego a los racionales.Para comenzar admitamos como conocidos a los números naturales, es decir los númerosde la forma 0, 1, 2, 3... y sus propiedades básicas respecto a la suma, producto y orden. Unpunto de partida para ello puede ser, por ejemplo, la axiomática de G. Peano (1858-1932)o una construcción basada en la teoría de conjuntos. En realidad no es demasiado importanteescoger un procedimiento u otro, porque al final lo que importa son las propiedades de losnúmeros naturales. A efectos prácticos, tal como destacaba la cita de [2], interesa especialmenteel hecho de que estas propiedades están en correspondencia con muchos aspectos del mundoreal. En particular, con todo lo que tiene que ver con contar y manipular colecciones deobjetos.

El enfoque axiomático es bastante conveniente en este sentido, porque introduce laspropiedades básicas necesarias para trabajar y evita la construcción de los conceptos apartir de objetos cuya existencia hemos aceptado previamente. Pero antes de seguiravanzando observemos que la presentación axiomática de Peano fue introducida en 1889.¡Cuánta matemática y qué variada produjo la humanidad antes de esa fecha! En cualquiercaso, digamos que no nos interesa desarrollar mucho este aspecto de la teoría que cae fuerade la discusión que motiva este artículo. En lo que sigue nos centraremos en los problemasde construcción de los números enteros y racionales, que van más directamente al punto encuestión.

2.1.1 La construcción de los enteros y un comentario de yapa.2.1.1 La construcción de los enteros y un comentario de yapa.2.1.1 La construcción de los enteros y un comentario de yapa.2.1.1 La construcción de los enteros y un comentario de yapa.2.1.1 La construcción de los enteros y un comentario de yapa.Una idea básica para construir los enteros a partir del conjunto N de los números naturales esintroducirlos como los resultados de todas las posibles restas de naturales. Por ejemplo, podemosconsiderar que -3 es 7 - 10 o 1 - 4. Naturalmente estas restas no son posibles en N, pero elhecho de que arrojen el mismo resultado puede expresarse en términos de sumas, porque laigualdad”

7-10 = 1-4,

totalmente carente de sentido en N, es equivalente en cualquier contexto razonable a

7+4 = 1+10.

Esta última expresión sólo involucra sumas entre naturales. Una operación completamente lícita,para cualquier elección de los valores de los sumandos. Este hecho es la clave para la construcción.

41



Entonces aceptaremos que tanto la pareja (7,10) como (1,4) representan el mismo número -3,que desearíamos escribir como una cualquiera de las restas 7-10 o 1-4, imposibles en N. Engeneral, cualquier número entero quedará representado por una resta de naturales, en laforma

m-n.

Cuando n es mayor que m estamos aludiendo a un número negativo. Cada entero se describeentonces mediante una pareja (m,n) de naturales. Pero puede haber varias de ellas quedescriban el mismo número. Ya vimos que en este marco conceptual (7,10) y (1,4) son dosrepresentaciones posibles de -3.

La formalización de esto se hace a través de la idea de pensar que cada número entero es enrealidad el conjunto de todas las posibles parejas de números naturales que lo representan.Dos representaciones distintas del mismo número quedan de esta forma identificadas entresí y pasamos a considerarlas maneras diferentes de aludir al mismo entero.

Para implementar esta idea recurrimos a la noción de relación de equivalencia2 y la aplicamosal producto cartesiano N x N, es decir al conjunto de todas las posibles parejas ordenadasde números naturales. Nuestra intención es declarar equivalentes a dos parejas

(m1,n1), (m2,n2)

de números naturales que correspondan a un mismo número entero. Formalmente, las parejasdescribirán el mismo número cuando

m1 - n1 = m2 – n2,

pero esta igualdad puede no ser lícita en el campo de los números naturales. ¡Recordemosque en este enfoque los números enteros aún no existen, estamos construyéndolos! Por lo queadoptamos la forma equivalente

m1+ n2 = m2 + n1,

que no tiene ningún problema, porque siempre podemos hacer la suma de números natu-rales. Por lo tanto introducimos una relación de equivalencia ~ en NxN, definida por

(m1,n1) ~ (m2,n2) si y sólo si m1+ n2 = m2 + n1.

Es sencillo mostrar que efectivamente se trata de una relación de equivalencia. Cosa que noharemos, se trata de detalles que el lector puede completar o encontrar en la literatura. Larelación de equivalencia divide al conjunto de parejas de números naturales en clases deequivalencia. En cada clase están agrupadas todas las parejas que son equivalentes entre sí.

Llamamos número entero a cada una de estas clases. Por ejemplo, todas las parejas(0,4), (1,5), (2,6), (3,7) ...

son equivalentes entre sí y representan al entero -4. Este número es entonces igual a la clase[(0,4)] = (0,4), (1,5), (2,6) ... .

La notación con corchetes [ ] es corriente cuando se trabaja con relaciones de equivalenciae indica la clase de equivalencia del elemento que está entre los corchetes. El conjunto formadopor todas las clases de equivalencia es el conjunto Z de los números enteros, que extiende aN y al que también pueden extenderse las operaciones de suma y producto. Obviaremos losdetalles, el lector interesado puede consultar, por ejemplo, la referencia [7]. Pero nos interesadestacar:2 En el apéndice se recuerdan las relaciones de equivalencia y sus propiedades básicas.




· una vez concluida la construcción lo importante es el conjunto numérico quehemos fabricado y las propiedades de sus operaciones. Para ningún efectopráctico representaremos al entero -4 como [(0,4)] o como [(21,25)]. Muchomenos como (0,4), pues estaríamos cometiendo el error conceptual deconfundir la clase de equivalencia del elemento con el propio elemento;

· es también posible introducir los números enteros por procedimientosdiferentes, que eluden su presentación como clases de equivalencia denúmeros naturales. Ver, por ejemplo los comentarios sobre N y Z en la página8 de esta misma nota, y la cita [1].

LA YAPA. Ya esbozamos la construcción de los enteros. Ahora la yapa. A los efectos de ladiscusión entre la igualdad y la equivalencia de 1/2 y 2/4, acotamos que no hemos escuchadojamás la propuesta de que es inadecuado o incorrecto decir que 2-3 es igual a 4-5 y quecorresponde referirse a ambas expresiones como equivalentes. Todos admitimos que ambasson dos maneras diferentes de escribir el número entero -1, lo que es perfectamente lícito yriguroso. El problema que se suscita con las fracciones es completamente equivalente. ¿Oigual?

2.1.2 La construcción de los racionales.2.1.2 La construcción de los racionales.2.1.2 La construcción de los racionales.2.1.2 La construcción de los racionales.2.1.2 La construcción de los racionales.Una vez que hemos construido el conjunto Z de los números enteros y nos hemos familiarizadocon él, la construcción de los números racionales discurre por un camino similar. Ante laimposibilidad de hacer en Z cualquier cociente de enteros con denominador no nulotendremos que hacer una nueva extensión del campo numérico para poder manejarsubdivisiones de la unidad. La división de 1 entre 2 o la de 3 entre 6 deberían arrojar elmismo resultado, pero son operaciones que no tienen sentido en nuestro marco numérico.Tal como la igualdad entre restas prohibidas en N debía poder reinterpretarse como unaigualdad entre sumas legítimas en N, la igualdad

en el marco de la nueva teoría que pretendemos construir, tiene que ser equivalente a laigualdad

1×6 = 2×3,

que tiene pleno sentido en Z, donde siempre se puede multiplicar.

Repetimos entonces el procedimiento. Como antes definíamos números negativos por mediode parejas que sugerían restas, ahora introducimos números fraccionarios por medio deparejas que sugieren cocientes. Tenemos que tener la precaución de no dividir por 0, por loque nuestras parejas estarán en el producto cartesiano

Z x Z*

siendo Z* el conjunto de todos los enteros no nulos, es decir Z*=n ∈ Z : n=0.

En el conjunto Z x Z* de todas las posibles parejas ordenadas de enteros, donde el segundoes distinto de cero, definimos la relación de equivalencia

(p,q) ~ (r,s) si y sólo si p×s = q×r. (1)

43



El lector interesado en hacerlo, podrá completar los detalles para mostrar que (1) es unarelación de equivalencia.Dado (p,q) en Z x Z* llamamos o p/q a la clase de equivalencia del par (p,q), es decir

Por ejemplo

12

= [(1,2)] = (1,2), (2,4), (3,6), (4,8),..., (-1,-2), (-2,-4), (-3,-6), (-4,-8),....

Naturalmente, como (2,4) es otro representante de la misma clase, también tenemos

24

= [(1,2)] = (1,2), (2,4), (3,6), (4,8),..., (-1,-2), (-2,-4), (-3,-6), (-4,-8),....

Las expresiones 1 2

y 2 4

no son más que dos nombres diferentes, dos etiquetas diferentes,

para designar al mismo objeto. Es así que cada número racional admite infinitas expresiones.Por ejemplo, aplicando esta observación al ejemplo de 1/2 tenemos

− − −= = = = = =− − −

1 2 3 1 2 3... ...

2 4 6 2 4 6

Llamamos conjunto Q de los números racionales al conjunto formado por todas las clasesde equivalencia de la relación definida en (1). Naturalmente, a este conjunto puedenextenderse las operaciones de suma y producto. Estas operaciones en Q tienen todas laspropiedades de las operaciones en ñ a las que se incorpora una nueva: en Q siempre esposible dividir por cualquier número diferente de cero. Un conjunto numérico con estaspropiedades constituye lo que se llama un cuerpo. Una caracterización precisa de la estructurade cuerpo se encuentra en muchos lugares de la literatura, por ejemplo en [1,2,7]. Los detallesde esta construcción de Q se exponen en [7].

A modo de resumen, digamos que en este marco conceptual 1/2 es igual a 2/4 y el par (1,2)es equivalente con el (2,4). En particular 1/2 y 2/4 no son equivalentesno son equivalentesno son equivalentesno son equivalentesno son equivalentes para esta relaciónde equivalencia ya que ni siquiera pertenecen al conjunto Z x Z* en el cual está definida.

Una vez que hemos acabado con esta construcción, los números racionales ya son entes conexistencia propia y no tiene mucho sentido remitirse a estos detalles. Detalles que sólo sontécnicos y, como veremos a continuación al examinar otra presentación posible de los númerosracionales, para nada esenciales.

2.2 Los racionales como un subcuerpo de los números reales2.2 Los racionales como un subcuerpo de los números reales2.2 Los racionales como un subcuerpo de los números reales2.2 Los racionales como un subcuerpo de los números reales2.2 Los racionales como un subcuerpo de los números realesOtra posible presentación de los números racionales consiste en mostrarlos como unsubconjunto distinguido de un conjunto numérico aún más grande, el conjunto R de todos losnúmeros reales. Nos interesa desarrollar brevemente este enfoque, al que consideramos deun gran valor cultural, porque enfatiza la estructura del conjunto numérico que emplea nuestracivilización y brinda el contexto adecuado para entender a todos los números que suelenaparecer en la escuela, el liceo y la vida cotidiana.

(r,s) Z x Z*:(r,s)~(p,q)∈=[(p,q)]=pq

pq




El conjunto de los números reales tiene al menos dos características que lo hacen intuitivamenteaprehensible:

1. Reúne a todos los números que tienen difusión más o menos generalizadaen nuestra cultura3. Por supuesto, todos los números naturales, enteros yracionales están contenidos en R. También están en R algunos númeroscélebres que no son racionales, como , , , y la razón áurea .Otro número real muy importante es e, la base de los logaritmosneperianos. No es tan popular, pero aparece en el teclado de cualquiercalculadora científica. También son números reales todas las posiblesexpresiones decimales infinitas que uno se pueda imaginar.

2. Los números reales están en correspondencia uno a uno con los puntos deuna recta. Si en una recta fijamos un origen y le asignamos el 0 y colocamosuna segunda marca para determinar una unidad de longitud, a la queasignamos el 1, entonces cada número real se corresponde con un sólo puntode la recta y viceversa.

Los números reales tienen además una caracterización axiomática muy sencilla. Son el únicocuerpo ordenado y completo.

Que sean un cuerpo significa, a grandes rasgos, que en los números reales están definidasuna suma y un producto que verifican las propiedades habituales de estas operaciones,entre la que destacamos el hecho de que existen todas las restas y siempre se puede dividirpor un número cualquiera distinto de cero.

Que un conjunto sea un cuerpo ordenado significa que siempre se puede establecer unarelación de mayor o menor entre los números, y que además ese orden guarda cierta armoníacon las operaciones del cuerpo. Esto es lo que ocurre con el orden en Q y en R. Hasta aquí nohay ninguna diferencia entre ambas estructuras numéricas.

La gran novedad de R es que es completo. En términos geométricos esto pueden entendersediciendo que cada punto de la recta corresponde a un número real. Si nos limitáramos aconsiderar sólo los racionales entonces quedarían infinitos puntos en la recta sin sucorrespondiente número. Por ejemplo, no dispondríamos de los puntos a distancia odel punto correspondiente a 0. También es equivalente a esta propiedad de completitud elhecho de que cualquier expresión decimal infinita defina un número real. Los númerosracionales sólo alcanzan para representar a unos pocos4 de estos decimales: a los que apartir de cierto momento se vuelven periódicos, y empiezan a repetir una y otra vez la mismasecuencia de cifras. Por ejemplo

0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333...253,56134652782430100012345678901234567890123456789012345678901234567890...

cuando se extienden de la manera obvia que estas expresiones sugieren, son expresionesdecimales que corresponden a dos números racionales.

π2 3 (1+ )/25

π2

3 Los números complejos, que quedan fuera de este marco, se usan en todas partes. Por ejemplo, nuestros sistemas de comunicacionesy de distribución de energía eléctrica están ahí porque sabemos calcular con números complejos. Sin embargo no son tanconocidos para el público general como los demás números que mencionamos en este item.4 Son pocos en relación con los números reales, pero forman un conjunto infinito y en la vida cotidiana trabajamos habitualmentesólo con una muy pequeña cantidad de ellos. Ver, por ejemplo, el análisis del infinito que se hace en la sección IV del capítulo 2de [2].

45



Pero0,10100100010000100000100000010000000100000000100000000010000000000...

extendido hasta el infinito siguiendo la regla de que cada secuencia de ceros que apareceentre uno y uno tiene un cero más que la anterior, no representa a un número racional.

La completitud de R es una propiedad fundamental, sobre la que descansan las buenaspropiedades que este conjunto tiene para el análisis matemático y es la principal justificaciónpara introducir este conjunto numérico. En esta construcción de tipo axiomático, asumimosla existencia de un conjunto R llamado el conjunto de los números reales, el cual tiene unorden y dos operaciones llamadas suma y producto que le dan una estructura de cuerpoordenado y completo en el sentido que describimos anteriormente. Quizás no sea ociosodestacar, porque tiene que ver con el mismo tipo de discusiones acerca de la naturaleza delos objetos matemáticos que motivó la preparación de esta nota, que la completitud de losreales puede introducirse de muchas maneras diferentes, que dan lugar a teorías equivalentes.En el suplemento al capítulo 1 de [3] se examinan unas cuantas posibilidades.

La idea de la construcción de los racionales a partir de los reales es la siguiente. En R tenemosdos elementos distinguidos, 0 y 1, que son, respectivamente, el neutro de la suma y delproducto. Definimos N como el conjunto formado por 0, 1 y todas los números que se obtienensumando 1 repetidas veces. El conjunto Z se obtiene mediante todas las restas posibles denúmeros naturales y Q se obtiene mediante todas los cocientes posibles de números enteros.

De esta forma obtenemos los números naturales, enteros y racionales dentro de los reales.En este enfoque, el conjunto Q de los números racionales aparece como el subcuerpo máspequeño de un cuerpo mayor cuya existencia se había aceptado previamente, en vez de serla extensión de un dominio numérico preexistente. El texto [1] provee una descripción másdetallada de esta presentación.

Para cerrar esta rápida descripción, observemos que en esta teoría en ningún momento sehacen construcciones con clases de equivalencia que justifiquen el hablar de equivalenciasentre números racionales. La idea de que 1/2 y 2/4 sean equivalentes es completamenteajena a este marco conceptual, que por otra parte es perfectamente válido como manera deintroducir los números racionales y los números reales.

3. Resumen y conclusiones dirigidas al profesor y almaestroEn la sección 2 hemos esbozado dos teorías diferentes que dan fundamento a la noción denúmero racional. Independientemente de sus detalles, que no son importantes a los efectosde esta sección, ambos procedimientos tienen como único objeto hacer una presentaciónrigurosa, libre de ambigüedades y de la necesidad de recurrir a imágenes externas parasostenerse, del sistema numérico. Se resuelve así en el plano lógico, o de los fundamentos dela matemática, el problema de construir las fracciones y otros números con los que todos losmatemáticos, y muchos no matemáticos, trabajaron durante siglos, obteniendo resultadosextraordinarios en el campo de la matemática y en el de sus aplicaciones científicas y sociales. A los efectos de responder la pregunta que abre esta nota, destacamos

· las fracciones existieron antes de tener una fundamentación teórica;

· admiten varias maneras de ser introducidas. Presentaciones en principio muydiferentes originan distintas realizaciones del concepto número racional, todascon idénticas propiedades;




· tal como apuntábamos al final de la sección anterior, en la última de estaspresentaciones ni siquiera tiene sentido la cuestión de preguntarse acerca dela equivalencia de 1/2 y 2/4 porque jamás se introduce una relación deequivalencia durante la construcción de los racionales;

· aún en la presentación que usa clases de equivalencia, la equivalencia esentre pares de números enteros, como (1,2) y (2,4), no entre símbolos como 1/2o 2/4 que aluden directamente al número racional.

Creemos haber justificado entonces la afirmación de que es lícito y perfectamente rigurosohablar de igualdad entre las fracciones 1/2 y 2/4, o entre cualquier cociente de enteros quearroje el mismo resultado al operar en Q. Más aún, es básicamente inadecuado referirse a1/2 y 2/4 como equivalentes, en vez de iguales. En primer lugar, ya observamos que estaidea de equivalencia carece de sentido en algunas presentaciones de Q. En segundo lugar,en el momento de operar con números raciones y aplicarlos en problemas, lo que importanson sus propiedades y no hay razón para permanecer atado a la construcción de Q comoclases de equivalencia de parejas de enteros. Aún en el contexto de esta construcción, lossímbolos 1/2 y 2/4 son dos maneras diferentes de aludir a la misma clase de equivalenciaque eseseseses el racional un medio. A este nivel, ya no nos estamos preocupando por losrepresentantes. Es cierto que en un plano coloquial de lenguaje podemos llegar a decirfrases como que 1/2 y 2/4 son dos maneras equivalentes de escribir un mismo racional,porque en definitiva son dos símbolos diferentes que aluden al mismo objeto. Pero no espertinente trasladar este registro de lenguaje cotidiano al contexto de la teoría que fundamentaQ por medio de clases de equivalencia.

Sin embargo, admitimos que hay un pequeño resquicio por donde se puede argumentar afavor de referirse a 1/2 y 2/4 como equivalentes: la igualdad es una relación de equivalencia.Es una relación trivial de equivalencia, pero de equivalencia al fin. Es posible entonces decirque 1/2 y 2/4 son equivalentes, siempre que aclaremos que la relación de equivalencia queestamos usando es ¡la de igualdad! Correcto, riguroso, pero estéril e insufriblemente pesado5.En resumen, mirando a la primera de las preguntas que da título a este artículo desde lasteorías que sustentan la noción de número racional, consideramos que

· es correcto decir que 1/2 es igual a 2/4, y es lo más natural hacerlo, porquela afirmación tiene pleno sentido en los marcos teóricos actuales;

· puede ser correcto decir que 1/2 es equivalente a 2/4, pero para esto habríaque aclarar que la relación de equivalencia que usamos es la de igualdad, locual no es para nada natural;

· es incorrecto afirmar que la afirmación de que 1/2 es igual a 2/4 es incorrecta.

5 Aún así, este párrafo nos sirve para recordar algo: cuando se dice que dos objetos son equivalentes, siempre es necesario precisarcuál es la relación de equivalencia a la que se alude. ¿Cuál es la relación de equivalencia que está por detrás de la afirmación 1/2 es equivalente a 2/4? Si intentamos sostener la idea de la equivalencia para contestar esta pregunta, seguramente descubriremosque nos vemos forzados a interpretar 1/2 y 2/4 como una manera de aludir a los pares ordenados (1,2) y (2,4), objetos que no sonnúmeros racionales. No tiene ningún fundamento ni sostén histórico, ni está justificado por el uso, caer en este extremo de despojara la notación 1/2 o 2/4 de su significado habitual de aludir a un cierto número racional. En tanto 1/2 y 2/4 aludan a númerosracionales, son iguales. Y es completamente traído de los pelos inventar un nuevo significado a estos símbolos para tratarlos comoequivalentes por la vía de forzar su inclusión en uno de los posibles marcos teóricos que dan sustento a la noción de número racional.

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4. En el aula¿Qué decimos a los niños de todo esto? ¿Dos fracciones son iguales o son equivalentes?¿Tiene sentido introducir en un aula de primaria el símbolo de equivalencia cuando el signode igual es más pertinente? ¿Qué aporta este presunto y desorientado aparente rigor a suproceso para comprender las fracciones y su uso en el cálculo o en la resolución de problemas?

No consideramos que esta cuestión de la construcción de los números racionales sea unproblema pertinente para la Escuela ni para el Ciclo Básico. En el nivel de Formación Docentelos futuros profesores y maestros deberán tener ideas acerca de cómo se desarrollaron yfundamentaron los conceptos de números, con diferentes grados de profundidad y detallesegún a que subsistema se orienten, pero tampoco corresponde sobredimensionar estacuestión de las posibles fundamentaciones del concepto de número racional.

Por otra parte si los matemáticos y la humanidad en su conjunto operaron durante siglos sinmayor drama con los números racionales e incluso con los números reales, sin lafundamentación acabada que se logró recién en la segunda mitad del siglo XIX, ¿por quéobsesionarse con la presentación en la escuela, incluso en la enseñanza media, de lafundamentación rigurosa de estos conceptos? ¿Se tienen en cuenta los obstáculosontogenéticos y epistemológicos al tratar de trasladar inútilmente aspectos parciales einnecesarios de una teoría que es pertinente en niveles superiores alejados de la escuela?¿Se es consciente de los obstáculos didácticos que se generan?

Pensando desde el punto de vista de la utilidad de las fracciones en la vida cotidiana. ¿Paraqué las usamos habitualmente? Aparecen expresiones que involucran 1/2, 1/3, 3/4, que semanejan bien en términos intuitivos. Algunas otras en las que se mezclan con números enteros,como en un litro y medio. Pero habitualmente usamos en forma indistinta varias formas derepresentar a los racionales, por ejemplo el 1/2 kilo y los 500 gramos o para las botellas de3/5 de litro el 0,6 litro, o los 600 mililitros. Poner a las fracciones en el contexto general delmanejo de los números parecería ser un objetivo más razonable para la escuela primaria yla enseñanza media, que insistir sobre detalles teóricos, esencialmente técnicos.

Consideramos razonable en la perspectiva de enseñanza de una “matemática para todos”poner atención en el conocimiento cultural de las fracciones, el cálculo elemental con ellas,así como la comprensión de las fracciones como recurso para medir, como operador, comoporcentaje, como relación. En este sentido, vale la pena mencionar que hay actividades másinteresantes para trabajar con el sistema numérico y otros temas propios de los cursos dematemática en los niveles de bachillerato y formación docente, que detenerse excesivamenteen la construcción de los distintos sistemas numéricos y que en esa dirección habría queapuntar los esfuerzos. Por otra parte, estos problemas de fundamentación de las teoríasnuméricas han dejado de estar en el centro de interés de las matemáticas contemporáneas.Se trata de cuestiones que tuvieron su importancia a fines del siglo XIX y comienzos del XX,pero en la actualidad el acento está en otros temas. En particular, durante el siglo XX lamatemática ha cambiado mucho, han aparecido nuevas teorías, se han revitalizado antiguas.

Por ejemplo, una selección de problemas candentes de la matemática contemporánea puedeencontrarse en [8]; el texto [4] presenta una muestra de tópicos que ilustran algunos aspectosde cómo la matemática de nuestra época impacta en la vida cotidiana de todas las perso-nas; el artículo periodístico [5] contiene un apretado recorrido de ejemplos; la clasificacióntemática [9] adoptada por muchas bibliotecas matemáticas en todo el planeta, incluyendolas de nuestro país, ofrece una primera aproximación al paisaje de lo que es hoy lamatemática.




Dentro de toda esta rica novedad hay muchísimas posibilidades para explorar conceptosmatemáticos interesantes y formativos alrededor de temas cuya consideración aporte tambiéna la comprensión del mundo en que el estudiante vive. En particular, de la parte del mundoformada por la propia matemática. Este esfuerzo sería mucho más valioso que continuar ladiscusión sobre el tema que nos ha ocupado en esta nota, o que mantener la atenciónsobredimensionada que tiene en nuestro sistema educativo la fundamentación de los sistemasnuméricos.

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Anexo:relaciones de equivalenciarelaciones de equivalenciarelaciones de equivalenciarelaciones de equivalenciarelaciones de equivalencia

Recordemos que una relación que simbolizamos por ~ entre los elementos de un conjunto Aes una relación de equivalencia si verifica las propiedades idéntica, recíproca y transitiva:

Supongamos que ~ es una relación de equivalencia en A. Dados , decimos que a esequivalente con b cuando a ~ b. Para cada elemento definimos la clase de equivalencia dea como el conjunto que simbolizamos por [a] formado por todos los elementos de A que sonequivalentes con a, es decir

[a]=x A: x ~a

Cuidar de no confundir un elemento a cualquiera de A, con su clase de equivalencia [a], quees un subconjunto de A formado por a y, posiblemente, por otros elementos de A.

Con esta definición obtenemos inmediatamente que [a] = [b] si y sólo si a ~ b. Al conjunto delas clases de equivalencia de A le llamamos el conjunto cociente de A por la relación deequivalencia ~ y lo simbolizamos por A/ ~ , es decir

A/ ~ = [a]: a A.

Observar que los elementos de A/ ~ son subconjuntos de A.Por otro lado, dado un conjunto X, una familia6 P de subconjuntos de X es una partición de Xsi verifica las siguientes condiciones:

Observar que la última condición equivale a pedir que X coincida con la unión de todos loselementos de P (que son subconjuntos de X).

Dado un conjunto A, hay una correspondencia uno a uno entre las relaciones de equivalenciaen A y las particiones de A. Esta correspondencia viene dada en la forma siguiente:

· Si ~ es una relación de equivalencia en A, entonces el conjunto cocienteA/ ~ es una partición de A.

· Si P es una partición de A y definimos una relación ~ en A mediante

entonces ~ es una relación de equivalencia en A.

6 Estamos llamando familia a un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de un conjunto dado.




La correspondencia anterior nos dice que en general hay muchas posibles relaciones deequivalencia sobre un conjunto dado. De hecho, hay tantas como particiones del mismo.Más importante que lo anterior es que dado un conjunto A no tiene sentido la frase “a esequivalente con b” a menos que se especifique cual es la relación de equivalencia. Veamoslo anterior con un ejemplo. Dado el conjunto

A=(1,2), (2,4), (3,6), (0,1), (0,2),

consideremos las siguientes particiones de A:

P1= (1,2), (2,4), (3,6), (0,1), (0,2) P2= (1,2), (2,4), (3,6), (0,1), (0,2) P3= (1,2), (2,4), (3,6), (0,1), (0,2) P4= (1,2), (2,4), (3,6), (0,1), (0,2)

La partición P1 da lugar a una relación de equivalencia en la cual

(1,2) ~ (2,4) ~ (3,6), (0,1) ~ (0,2).

Observar que esta relación coincide sobre A con la que utilizamos para definir Q a partir de Z.


(1,2) ~ (2,4), (0,1) ~ (0,2).

En esta última relación el elemento (3,6) sólo es equivalente consigo mismo. Luego, adiferencia de lo que ocurría para la primera relación, resulta (1,2) no es equivalente a (3,6).


(1,2) ~ (2,4) ~ (3,6) ~ (0,1) ~ (0,2),

es decir que todos los elementos son equivalentes entre sí.

La partición P4 da lugar a una relación de equivalencia en la cual cada elemento sólo esequivalente consigo mismo, es decir que esta relación es la de igualdad.

Observar que en las dos últimas relaciones, mientras en una todos los elementos sonequivalentes entre sí, en la otra ningún elemento es equivalente con otro. Esperamos queeste ejemplo clarifique la afirmación anterior de que no tiene sentido la frase “a es equivalentecon b” a menos que se especifique cuál es la relación de equivalencia que se está considerando.

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AgradecimientosAgradecemos a Ariel Fripp, Rodolfo Louro y Beatriz Rodríguez Rava la lectura de este trabajoy sus observaciones.

ReferenciasReferenciasReferenciasReferenciasReferencias

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Disponible en http://www6.cityu.edu.hk/ma/people/smale/pap104.pdf.

[9] Mathematics Subject Classification, AMS[9] Mathematics Subject Classification, AMS[9] Mathematics Subject Classification, AMS[9] Mathematics Subject Classification, AMS[9] Mathematics Subject Classification, AMS, http://www.ams.org/msc/

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LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

LA ENSEÑANZA DE LAGEOMETRÍA:

1- PresentaciónDurante el año 2005 el Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemáticaen ANEP (PMEM) llevó adelante una experiencia de desarrollo curricular en la cual se trabajócon maestros de dos escuelas de Práctica de Montevideo (Escuela N° 14 y Escuela N° 25). Eneste marco se conformó un grupo de análisis y reflexión que profundizó en el tema fracciones.

Para ello el PMEM diseñó secuencias de actividades que fueron analizadas por los docentesy llevadas al aula, para discutir posteriormente lo sucedido en cada caso. Paralelamente, setrabajaron contenidos matemáticos y aportes de la Didáctica de la Matemática en instanciassemanales. En esos espacios docentes se fue generando en los maestros una manera par-ticular de entender los procesos de aprendizaje y las estrategias de enseñanza en Matemática.1

Al finalizar esa experiencia (2005) se evaluó como importante poder continuar el recorridorealizado por estos docentes. A partir de intercambios con la Inspectora Nacional de Práctica,Maestra Nancy Salvá, el PMEM resolvió conformar un grupo de estudio, reflexión y producciónpara trabajar durante el año 2006 algunos contenidos de Geometría. Para ello se hizo unllamado entre los maestros participantes en la experiencia 2005 y se seleccionaron cincodocentes: Carmen Cruxen, Mariana Farber, Beatriz Lemos, Virginia Méndez y Juan Pedro Mir.

Este nuevo grupo funcionó semanalmente en horario extraescolar, coordinado por el PMEM.

En cada encuentro se discutieron lecturas, se reflexionó sobre la enseñanza de la Geometría,se revisaron algunos conceptos vinculados con esta área de conocimiento y con su enseñanzay se apuntó a la producción de actividades para el aula.

2- Los docentesLos docentes participantes habían tenido una experiencia de trabajo similar el año anterior.Ello les permitió cuestionar su propia práctica, ensayar un modelo diferente de gestión ensus clases, buscar nuevas estrategias de enseñanza ajustadas al marco teórico que habíantrabajado y reflexionar frente a las propuestas, secuencias y actividades. El nivel de análisisfue más complejo y acompañó la necesidad de plantear problemas o problematizar elconocimiento a enseñar.

1 Ver Cuadernos de Estudio II.

UNA EXPERIENCIAEN LA FORMACIÓN

DE MAESTROS




Los maestros participantes buscaron su superación profesional y reconocieron sus problemascon la enseñanza de la Geometría, problemas que atribuyeron fundamentalmente a doscausas: las dificultades propias de la enseñanza de este contenido y su escasa formacióninicial en Geometría.

Se contó con la disposición de los maestros para exponerse y para aceptar la crítica y autocriticarse, para plantear sus dificultades y sus dudas desde lo matemático y desde lo didáctico,para mostrar que hay conocimientos, en este caso geométricos, que deben ser revisadospara pensar y “probar” nuevos abordajes.

Teniendo en cuenta que los docentes, en general, no solo están marcados por el peso de lasprácticas habituales sino además por su propia historia como estudiantes de una Geometríasimilar a la que enseñan, se intentó trabajar con una propuesta que les permitiese “hacerGeometría” y resignificar algunos de sus conocimientos desde su rol de enseñantes. Por estarazón nos propusimos como uno de nuestros objetivos brindar a los maestros la oportunidadde vivenciar un modelo de gestión diferente que les permitiese plantearse una forma distintade trabajo en Geometría.

3- La enseñanza de la GeometríaLa enseñanza de la Geometría tiene en la práctica escolar habitual, un lugar en cierta formadesdibujado. Esto puede deberse, entre otras causas, a los problemas que implica suenseñanza.

Los objetos geométricos son objetos ideales por lo que es necesario, en la escuela, trabajaren base a representaciones. La construcción del espacio geométrico conceptual requiere deun largo proceso en cuyo comienzo la exploración a partir de “figuras concretas” se haceindispensable. Si bien en estos primeros acercamientos hay una fuerte presencia de loperceptivo, el desafío es generar instancias de aprendizaje que permitan avanzar desde lomeramente perceptivo a una “mirada geométrica” de las figuras. Este complejo proceso seconvierte muchas veces en un obstáculo ante el cual, los contenidos son dejados de lado, oson objeto de una enseñanza que los deforma.

El Programa Escolar refiere a los contenidos geométricos a partir de los nombres de lasfiguras en una presentación paso a paso que va de los objetos “más simples” ( punto, recta,plano) a los “más complejos” (polígonos). Ello añade una dificultad importante ya que estapresentación no se corresponde con el proceso de aprendizaje que un alumno de los primerosgrados puede desarrollar, ni con criterios didácticos actuales.

Las prácticas habituales hacen que los contenidos se vean como un listado de nombres quesurgen del reconocimiento perceptivo de las figuras. De esta forma, las propiedades de lasfiguras, centro de estudio de la Geometría, quedan relegadas dando lugar a una enseñanzanominalista y ostensiva2 que deja de lado, entre otras cosas, la exploración de las figuras ylas relaciones inter e intrafigurales. En esta presentación toma, muchas veces, un lugarpredominante la definición dada por el docente pero no construida a partir de la exploracióny las sucesivas y necesarias aproximaciones realizadas por los alumnos. Del mismo modoocupan una situación de privilegio los trazados algorítmicos que los alumnos reproducen apartir de la modelización hecha por el docente sin poner en juego las propiedades de lasfiguras, que los sustentan.

2 Término acuñado por Ratsimba-Rajhon, Harrisson (1977).

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Asimismo, los “útiles de Geometría” generalmente se usan sin mediar las necesariasreflexiones sobre las razones que justifican su uso. Pocas veces los alumnos construyen“artesanalmente” las reglas, las escuadras, el compás, lo que permitiría poner en juegoconocimientos potentes desde la Geometría y daría la posibilidad de analizar las razonesde su utilización en las construcciones; tampoco se los convierte en fuente de problemasgeométricos.

Ante esta problemática, se pensó en la conveniencia de trabajar los contenidos de Geometríadesde un lugar que posibilitase una lectura diferente del Programa Escolar. Esta nueva miradapermitiría vincular aquellos contenidos geométricos que aparecen como inconexos así comorescatar las propiedades de las figuras como base indispensable sobre la cual construir elconocimiento geométrico. Fue necesario repensar de qué manera pueden acercarse losalumnos a estos conocimientos a partir del trabajo con representaciones que permitan unabordaje más adecuado al contenido geométrico y al modo de pensar propio de laGeometría.

El planteo de problemas en Geometría no es usual en nuestras aulas como se esboza enlíneas anteriores. Problematizar la enseñanza de la Geometría implica, entre otras cosas,promover la construcción de conocimiento por parte de los alumnos, así como cuestionarconocimientos que los alumnos ya tienen.

En este marco, la lectura del Programa Escolar podría ofrecer otra interpretación que,desprendiéndose de lo meramente perceptivo, busque las características, propiedades yrelaciones entre las figuras aportando a una mirada más integral de los contenidoscurriculares.

Desde este enfoque, comienzan a tomar nuevas dimensiones las construcciones, losinstrumentos y los diferentes materiales que promueven la experimentación por parte de losalumnos. Se hacen necesarias las figuras de análisis que permitan aventurar conjeturas eintentar soluciones únicas, múltiples o infinitas para un problema, las presentacionesdinámicas - en oposición a las estáticas que se ven habitualmente- que posibiliten convertiruna figura en otras analizando las propiedades que permanecen invariantes y las que cambian.Esta presentación es generadora de continuidades y quiebres que habilitan la caracterizacióndel objeto de conocimiento en función de lo que es pero también y necesariamente de loque no es.

Cabe agregar que esta manera diferente de plantear la enseñanza de la Geometría, pretenderomper con algunas prácticas comunes en nuestras aulas para presentar otra forma de trabajoposible.

4- Elección del temaEn este marco se resolvió trabajar con los maestros sobre el tema POLÍGONOS. Se buscó uncontenido que estuviese presente en toda la escolaridad como una manera de acercar a losmaestros a la necesidad de un trabajo que avance en cada grado integrando diferentesaspectos de un mismo contenido. Es decir que los conocimientos de los alumnos sobrepolígonos o sobre uno de ellos en particular debe ser – cada año- objeto de nuevasaproximaciones desde diferentes aspectos.

En esta experiencia se decide trabajar los polígonos a partir de las líneas notables comunesa varios de ellos con el objetivo de romper con la práctica habitual que presenta las figurasuna a una.




Desde esta perspectiva se puede, por ejemplo, abordar las diagonales de todos los polígonosque las poseen, analizando las particularidades de cada figura en relación con ellas. Esdecir no trabajamos el rectángulo aislado sino desde las características de sus diagonales,lo que permite diferenciarlo de otros polígonos (los que tienen distinto número de diagonales),establecer relaciones con los que tienen características en común (los que tienen dosdiagonales) y los que integran la clase que nos puede interesar trabajar ( aquellos cuyasdiagonales se cortan en sus respectivos puntos medios).

Este abordaje nos permite trabajar nuevas clasificaciones muy distintas a las que se presentanhabitualmente.

5- El trabajo con los docentesEn el primer encuentro realizado con los docentes se inicia el trabajo solicitándoles querealicen, individualmente, un listado de elementos relacionados con polígonos para intentardesde allí, formular colectivamente una definición. En esta discusión surge la posibilidad deelaborar más de una definición de polígono, rompiendo con la idea que a veces tienen losdocentes: “en Matemática existe una sola definición para cada objeto de estudio”. Estopermitió acercarse a la importancia de construir definiciones, la diversidad de posibilidadesy cómo la elección de una de ellas debe tener en cuenta la necesaria consistencia con eldesarrollo posterior. También fue necesario analizar las definiciones en función del contexto,ya que algunas veces no se adecuan al mismo. Un ejemplo de ello es la definición de alturacomo recta, que “entra en conflicto” con la necesidad de medirla para calcular el área de untriángulo.Asimismo, se pudo discutir cuál es la validez de presentar definiciones en el nivel en queestamos trabajando, ¿la misma se transforma en un enunciado sin sentido?.

Posteriormente los maestros analizaron el Programa Escolar para tratar de ubicar en él, “lostemas” que aparecen vinculados a los polígonos.Los docentes puntualizan:

· La palabra polígono aparece recién en 5° año, lo que podría suponer quelas figuras que se presentan anteriormente no integraran esa categoría.

· Se trabaja un polígono por grado, lo que no facilita trabajar las relacionesentre ellos.

· El Programa de 6° año no tiene casi contenidos geométricos, lo que puedeinterpretarse como que los contenidos que se abordaron en grados anterioresya están construidos.

Los maestros presentan sus dudas en cuanto a la conveniencia de tratar algunos “conceptosprimitivos” en 2° año tal como lo sugiere el Programa Escolar, ya que esta forma depresentación responde a otro paradigma, de lo simple a lo complejo, mientras que en estaexperiencia se están abordando los contenidos globalmente. Ello supone un trabajo queimplica la presentación conjunta de varias figuras, para ir acercándose a sus propiedades alo largo del ciclo escolar.

Se analizan entonces algunas formas alternativas de acercamiento desde otras figuras. Sediscute cómo una lectura literal de este documento escolar dificulta ver las generalidades ytener en cuenta semejanzas y diferencias para aportar al concepto geométrico que se quiereconstruir.

Analizar la recursividad necesaria durante todo el ciclo, enriqueciendo cada conceptomediante el abordaje de nuevas propiedades y relaciones fue el centro de una discusión

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interesante que posicionó a los docentes de otra forma frente al análisis de los contenidospor grado y obligó a una nueva lectura de las fundamentaciones que figuran en la primeraparte del Programa Escolar.

6- Caracterización de figurasContinuando el trabajo con polígonos se presenta la siguiente actividad: “descubrir la figura”.

Se dan varias figuras; el docente o un miembro del grupo elige una3 pero no explicita suelección.

Mediante preguntas a contestarse con sí o no, el resto del grupo debe decidir cuál fue lafigura elegida.

Esta actividad permite no sólo poner en juego propiedades para poder identificar la figurasino que, además, aquellas figuras que se van descartando pueden integrarse a una clase envirtud de la propiedad que no cumplen, mientras que las que se mantienen lo hacen enfunción de una propiedad que sí cumplen.Aparece entonces la clasificación como una manera de formar clases a partir de laspropiedades de las figuras (criterio que puede fijar el docente o el alumno y que no vienedado solamente por la Geometría).Se analizan las preguntas que formularon los maestros para identificar la figura elegida y apartir de ellas se caracteriza la figura integrando las preguntas de cada equipo.Hecho este análisis se solicita a los docentes, volver a la actividad pero esta vez deben elegirtodas las preguntas a realizar antes de comenzar a preguntar.A partir de esta actividad los docentes realizan una serie de reflexiones generales en torno altrabajo en Geometría, contraponiendo lo que se hace habitualmente con la potencialidadde este planteo.Se discuten posteriormente posibles modificaciones de la actividad que permitan proponerlaen diferentes grados. Se ven aquí las “figuras presentadas” como una variable didáctica.

3 En este caso se elige uno de los rectángulos.




Esto permite analizar la relación entre el objetivo y la actividad y discutir cómo las variablesintervinientes posibilitan la adecuación de la actividad al objetivo.

Los docentes plantean entonces las siguientes modificaciones:Para el primer nivelprimer nivelprimer nivelprimer nivelprimer nivel de la escolaridad, seleccionan siete figuras: tres polígonos y cuatro nopolígonos

con el objetivo de trabajar sus diferencias, las que irán apareciendo durante la “búsqueda”de la figura elegida. Se discute y se anticipan algunas posibles formas de resolución de losniños, lo que permite a los maestros revisar la elección de las figuras seleccionadas.

Acuerdan trabajar con figuras recortadas. Se analiza la pertinencia de esta variable (formade presentar las figuras), en tanto permite a los alumnos separar las figuras que vandescartando, centrando la atención en las que “van quedando”.

Al pensar la actividad para el segundo nivelsegundo nivelsegundo nivelsegundo nivelsegundo nivel se fija como objetivo trabajar el cuadradocomo rombo y rectángulo. Se discute la posibilidad de proponerla en dos grupos de laclase variando la consigna de modo que un grupo no pueda realizar preguntas que involucrenlos ángulos y otro no pueda realizar preguntas que involucren los lados. Se discute acerca dela conveniencia de entregar cuadriláteros o sólo paralelogramos. Los docentes se decidenpor la segunda opción ya que consideran que la presentación de otros cuadriláteros noaporta al objetivo que se persigue.

Pensando en el tercer niveltercer niveltercer niveltercer niveltercer nivel de la escolaridad, se discuten varias modificaciones que llevana pensar en otras actividades:

· Dar una serie de preguntas con las respuestas correspondientes (sí o no)para que los alumnos representen las figuras posibles.

· Dar las figuras y una serie de preguntas y respuestas para que identifiquen lafigura que corresponde a cada listado de preguntas.

· Dar la figura y preguntas para que descarten las preguntas innecesarias.· Dar la figura elegida, preguntas y respuestas y preguntar: ¿con esa

información se puede saber cuál es?· Dar la figura elegida y solicitar que se elaboren las preguntas para descubrirla.· Dar la figura y algunas preguntas, para que los alumnos propongan otras

preguntas necesarias para identificar la figura.· Dar la lista de preguntas incompleta de tal forma que sean varias las figuras

posibles y solicitar que los alumnos agreguen las preguntas que falten paraque la figura caracterizada sea única.

Estas propuestas son un buen insumo para analizar las relaciones entre el objetivo y la actividadpara poder ver cómo el manejo de las variables didácticas debe ser especialmente cuidadosoya que estas modificaciones pueden hacer variar el objetivo de la actividad y los procesosde resolución que empleen los alumnos.

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7- El trabajo con diagonalesUna vez realizadas estas consideraciones generales que promueven valiosas reflexiones enlos docentes se comienza el trabajo con diagonales.

Es interesante observar cómo algunos docentes al trazar las diagonales de diferentes polígonosque se les presentan, trasladan lo que conocen de cuadriláteros y representan en cada casoúnicamente dos.

Este trazado refiere además a la representación de diagonales en paralelogramospresentados tradicionalmente en una determinada posición.

Al analizar colectivamente las representaciones realizadas por algunos docentes puedepensarse acerca de cómo el trabajo con paralelogramos, y su disposición habitual en lahoja, puede convertirse en un obstáculo para la construcción de este conocimiento.

Algunos maestros mencionan la conveniencia de presentar polígonos de diferente númerode lados simultáneamente para trabajar diagonales, posibilidad que no habían pensadoanteriormente. Ejemplifican con un polígono no convexo y a partir de allí se ve una posibleclasificación en convexos y no convexos en función de sus diagonales (interiores o exteriores).Esta mirada permite una movilidad en las clasificaciones según diferentes propiedadesgeométricas. El cuadrado, por ejemplo, podrá integrar la clase de los paralelogramos (dosdiagonales que se cortan en sus respectivos puntos medios), la de los rectángulos (diagonalescongruentes que se cortan en sus respectivos puntos medios), la de los rombos (diagonalesperpendiculares que se cortan en sus respectivos puntos medios) o compartir la clase con lospolígonos regulares4 (diagonales congruentes) dependiendo del criterio de clasificación quese elija.

8- Problematización de las construccionesA los efectos de que los docentes puedan realizar un trabajo de análisis a partir de lasactividades de construcción se proponen problemas que no pueden resolverse con la meraaplicación de algoritmos y que en varios casos requieren del uso de figuras de análisis.

Para ello se solicita, por ejemplo, que a partir de dos vértices opuestos se represente uncuadrado. Primeramente representan el cuadrado utilizando instrumentos geométricos yposteriormente obtienen el cuadrado por plegado.

4 Se excluye en este caso el triángulo equilátero.




El análisis de los conocimientos puestos en juego en estas dos actividades que podríanaparecer como similares, promueve una rica discusión entre los maestros, acercándolos a laidea de que actividades que parecen similares pueden ser completamente diferentes enfunción de los conocimientos que se ponen en juego para su resolución, mientras que otras,aparentemente diferentes, no producen avances pues ponen en juego los mismosconocimientos.

En una segunda instancia se varía la consigna solicitando la construcción de un rectánguloen lugar del cuadrado, con las mismas condiciones del caso anterior.

Esta actividad deja en evidencia la diferencia entre ambas situaciones (aparentementesimilares) y permite analizar problemas con una solución única (caso del cuadrado) o coninfinitas soluciones ( caso del rectángulo), situación esta última que en general no se proponeen la escuela.

Este planteo se enmarca en un enfoque dinámico de enseñanza en el que los problemas deúnica, múltiples o infinitas posibilidades de construcción, revisten una enorme potencialidady permiten establecer relaciones que no podrían verse de otra forma. Los maestros analizanentonces la diferencia entre tener como posibilidad de construcción una única figura o tenerinfinitas figuras.

Sobre la base de ello se les pide que agreguen un dato a la consigna del problema deconstrucción del rectángulo con instrumentos geométricos, para que “la solución” sea únicalo que permite trabajar la determinación de una figura.

Los maestros discuten la posiblidad de agregar como datos: un lado, el ángulo comprendidoentre diagonales o el ángulo que determina la diagonal con el lado y arriban a las siguientesconclusiones:

· En todos los casos de determinación, se están usando criterios de congruenciade triángulos (por lo que se necesitan tres datos convenientemente elegidos).

· Un paralelogramo puede formarse a partir de dos triángulos congruentes.· En los casos en los que se trabaja con triángulos rectángulos, equiláteros o

isósceles es necesario dar menos datos porque los demás están dadosimplícitamente.

Se presentan entonces actividades de comunicación que implican la construcción de uncuadrilátero y que permiten poner en juego lo trabajado sobre determinación de una figura.Los maestros, divididos en equipos, deben comunicar a otro grupo la menor cantidad dedatos necesarios para que se pueda construir una figura del mismo tipo de la que se lesentregó.

La elección de la figura a comunicar se hace de tal forma que la solución óptima implique eltrabajo con las diagonales.

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Una vez que cada grupo entrega al otro las instrucciones para la construcción de la figura,el equipo receptor formula sus dudas y las mismas son devueltas a los emisores para sureformulación.

Se analiza posteriormente el valor de la actividad, destacándose como aspectos positivos:la discusión que promueve, la necesidad de precisar las instrucciones y la posibilidad deautovalidación. Los docentes valoran en este tipo de actividades la oportunidad de poner enjuego las propiedades de las figuras, que no se discuten ni explicitan en un trazadoalgorítimico.

A partir de ello se analiza cómo las figuras propuestas y las condiciones que se dan para lacomunicación, se convierten en variables didácticas de peso para adecuar la actividad alobjetivo que se persigue.

En el recorrido que se intenta realizar desde las líneas notables y apoyándonos en lo trabajadosobre triángulos y cuadriláteros, se proponen las siguientes actividades:

· Construir un rectángulo a partir de sus diagonales, usando regla y compás.· Inscribir un rectángulo en una circunferencia usando sólo escuadra (la

circunferencia, con su centro se entregan impresas).· Inscribir un rectángulo en una circunferencia.· Inscribir un cuadrado en una circunferencia.

Se solicita a los docentes que inscriban ambas figuras en una circunferencia, lo que permitereconocer a las diagonales de estos cuadriláteros como diámetros de las circunferencias.

Esto da la posibilidad de volver sobre problemas con más de una posibilidad de construcción.Este nuevo acercamiento da la oportunidad de que los maestros puedan reflexionarnuevamente sobre los instrumentos como variable didáctica de la situación, ya que en uncaso puede usarse la escuadra y en el otro no.

Es interesante pensar sobre las dificultades que se presentaron en cada situación y realizar elanálisis de los procedimientos que fue necesario poner en juego en cada caso. Una situaciónpuede convertirse en dos problemas que permiten avances conceptuales diferentes en funciónde los instrumentos usados.

Al analizar con los docentes los procedimientos que emplearon y presentar otros posibles, seevidencia que para la construcción del rectángulo inscripto se ponen en juego conocimientosque no pueden reconocer como tales para la construcción que se realiza con escuadra.

Es el caso del lugar geométrico de Thales ya que a pesar de haber trazado el primer rectánguloinscripto para lo cual este lugar geométrico se pone en evidencia, no pueden usarlo para lasegunda construcción.

Analicemos el problema en el que se vio la posibilidad de obtener infinitos rectángulos apartir de sus diagonales y tomemos algunos de los posibles.




Cada uno de los vértices de los ángulos rectos pertenece a la circunferencia que tiene pordiámetro a la diagonal del paralelogramo (lugar geométrico de Thales). En este caso elángulo siempre es un ángulo recto.

Sin embargo, al intentar inscribir un rectángulo en la circunferencia usando la escuadra, losdocentes no hacen uso de este conocimiento que había “aparecido” en el problema anteriory, luego de trazar el diámetro de la circunferencia van desplazando la escuadra hasta que elvértice de la misma que corresponde al ángulo recto “coincida” con la circunferencia y cadauno de los catetos, con los extremos del diámetro.

Queda en evidencia que “conocimientos” que están presentes en una resolución, no sonreconocidos como tales, por lo que no se convierten en herramienta para otros casos. Estopermite reflexionar sobre la importancia de explicitar con los alumnos los conocimientosque se ponen en juego para que los mismos, al ser reconocidos, puedan pasar a formarparte de “la caja de herramientas personal” para ser reutilizados.

La discusión generada permite analizar cómo la práctica escolar habitual de presentaciónostensiva de saberes puede generar un obstáculo para avanzar.

Sin duda, la experiencia de estos docentes ha hecho que siempre se asocien los polígonosinscriptos al trazado de los polígonos regulares por el ángulo al centro, tema “típico” de 5°año de educación primaria.

A partir de la reflexión sobre los instrumentos como variable didáctica se comienzan aidentificar los conocimientos que implica el uso de cada uno de ellos.

Luego de analizada la actividad, los docentes explicitan que es posible inscribir infinitosrectángulos en una misma circunferencia, aunque para ello no se apoyan en los conocimientosque emplearon para trazar un ángulo recto a partir de una circunferencia y su diámetro.

En el problema que planteaba inscribir un rectángulo y un cuadrado dada su diagonal (lamisma en ambos casos) los maestros pueden concluir que es suficiente construir una solacircunferencia cuando logran identificar al cuadrado como caso particular del rectángulo.

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La relación existente entre ambas figuras aparece recién cuando se analiza cuáles son “loslímites” y los casos particulares en las construcciones realizadas.

Posteriormente se trabaja con diferentes procedimientos para el trazado del rectánguloapelando a la perpendicularidad de los lados o simetrizando un triángulo inicial.

Se reflexiona también sobre el material a utilizar como otra variable didáctica.Los maestros deben analizar los posibles cuadriláteros que pueden obtenerse a partir de susdiagonales, para lo que se presenta como material a utilizar las varillas de cartón.Trabajando con este material se logra clasificar los cuadriláteros luego de valiosas discusionesen relación a trapecios y trapezoides. En el primer intento los docentes no tienen en cuentaque las diagonales pueden no cortarse.

Se analiza esta clasificación como otra forma de caracterizar los cuadriláteros, se ven lasintersecciones de las diagonales, se definen los paralelogramos a partir de ellas: cuadriláteroscuyas diagonales se cortan en sus respectivos puntos medios. Se explicita cómo cada una delas definiciones convierte a las restantes en propiedades.

A partir del intercambio, se realiza colectivamente un cuadro en el que pueden apreciarselas características de las diagonales en los paralelogramos y el caso particular del cuadradocuyas diagonales tienen las características de las diagonales del rectángulo (congruentes) ydel rombo (perpendiculares).




9- Líneas notables en polígonos.9.1- Base y altura9.1- Base y altura9.1- Base y altura9.1- Base y altura9.1- Base y alturaDe acuerdo a la planificación de este proyecto se continúa el trabajo con otras líneas no-tables de las figuras, centrándonos en las alturas.

En el taller se propone trazar un rombo a partir de dos datos dados: un lado y la alturacorrespondiente.

Se observan diferentes trazados y se analizan producciones erróneas que suelen aparecer:

· Confundir la altura del rombo con su diagonal menor.

“altura”

· Trazar una “altura “ en cada extremo del segmento tomado como base y nopoder continuar con la construcción.

· Representar una recta paralela a la que contiene al lado, a una distanciaigual a la altura dada. Medir el lado y apoyando la regla en uno de losextremos del mismo “hacerla girar”, manteniendo la medida del lado, hastacortar la paralela que se había trazado. En este caso, la regla oficia decompás.

Se les sugiere a los maestros el uso del compás para que puedan llevar adelante laconstrucción.

Teniendo en cuenta los procedimientos desarrollados se solicita la misma construcción perosin usar la regla graduada. Los instrumentos habilitados en esta segunda instancia son laregla no graduada, la escuadra y el compás. Se mantiene el uso de la escuadra para evitarel trazado de perpendiculares con regla y compás ya que hay demasiadas dificultades enlos otros aspectos y no interesa, en esta oportunidad, el trazado de perpendiculares concompás.

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Todos los maestros representan el segmento “base” paralelo al borde de la hoja.

Terminada y analizada esta construcción se pide que se repita a partir de un segmento “base”no paralelo al borde de la hoja.

En estas actividades se ponen en juego conceptos relacionados con la figura altura como: laperpendicularidad, el concepto de distancia punto - punto, punto – recta y entre rectasparalelas y el binomio base – altura.

Teniendo en cuenta las dificultades surgidas con respecto a las alturas se propone una actividadcon la finalidad de resignificar este concepto. Se deben trazar, si es posible, las alturas de lassiguientes figuras:

En las resoluciones de los docentes se pueden apreciar las siguientes situaciones:

· trazan las “alturas exteriores” en el rombo y el trapecio,· marcan diagonales en los hexágonos,· trazan la diagonal menor en el rombo y dos segmentos paralelos a ésta

como altura.

Surgen dudas en torno a varias figuras. Estas dudas se van aclarando durante las discusionesgeneradas en torno a las distintas resoluciones que se presentan.

Se proponen posteriormente construcciones de cuadriláteros dada la altura y el ladocorrespondiente a los efectos de analizar las infinitas posibilidades de construcción ycaracterizar algunos de los cuadriláteros obtenidos. Una vez que se ha concluido que esposible la construcción de infinitos paralelogramos y trapecios, con la misma altura, se vanmodificando ángulos y longitud de lados a los efectos de analizar qué modificaciones hacenque la figura cambie, centrando la atención en estos elementos. Los maestros comienzan atejer ciertas relaciones que les permiten explicitar características comunes a diferentes figurasy analizar cómo la variación de uno de los elementos determina una nueva figura.

Al modificar los ángulos y la longitud de los lados, pueden ver las relaciones entre rombo ycuadrado, cuadrado y rectángulo, rectángulo y paralelogramo, rombo y paralelogramo,pudiéndose obtener infinitos paralelogramos y trapecios con la misma altura.




Al trazar una recta paralela a la recta que contiene a la base, los docentes encuentran lassoluciones y pueden especificar cuáles son las relaciones necesarias, entre los lados y ángulos,para la construcción de cada una de las figuras. Concluyen que el cuadrado sólo tiene unaposibilidad e identifican las razones de ello (lado igual a la altura).

Se plantea entonces efectuar un “recorrido” a partir del trapecio escaleno e ir viendo cuálesson las “variaciones mínimas” que es necesario hacer para ir logrando cada una de lasrestantes figuras que se están trabajando.

Para profundizar en estas “variaciones” se apela al trabajo con varillas, material que posibilitaver cómo se “pasa” del paralelogramo al rectángulo y del cuadrado al rombo.

Esto permite identificar relaciones entre las diferentes figuras, lo que se enmarca en unavisión dinámica de la enseñanza de la Geometría. Este enfoque no estático permite ver lasfiguras en conjunto para analizarlas en función de sus relaciones, sus semejanzas, susdiferencias y las posibles modificaciones.

Si bien los maestros pueden relacionar cada cuadrilátero con su altura, no pueden identificarla multiplicidad de figuras posibles a partir del binomio base – altura variando ángulos olongitud de lados. Los docentes manifiestan claramente que es la primera vez que intentanpensarlo de ese modo. Se discute entonces cómo una presentación compleja favorece elanálisis de relaciones intrafigurales (hacia el interior de cada figura) e interfigurales (entrefiguras diferentes).

Expresan que les parece “rarísimo” no pensar en los cuatro paralelogramos separadamente.La generación de los mismos a partir de un lado y la altura correspondiente ofrece unanueva mirada de estos cuadriláteros.

Conceptualizan así a cada paralelogramo como caso particular de una relación más generallo que genera el cuestionamiento de algunas propuestas habituales y “entusiasmo” parapensar en otras totalmente diferentes a las que plantean usualmente en sus clases.

Surge con gran fuerza la necesidad de la figura de análisis como valioso auxiliar para laresolución. Los docentes expresan que su ausencia en la escuela responde a que generalmenteno se proponen problemas geométricos y que en el caso de las propuestas de trazados,éstos no se problematizan por lo que la figura de análisis carece de valor.

9.2- Base y altura en los triángulos9.2- Base y altura en los triángulos9.2- Base y altura en los triángulos9.2- Base y altura en los triángulos9.2- Base y altura en los triángulosPosteriormente se inicia el trabajo con la altura de los triángulos. Para ello se plantea unapropuesta similar a las anteriores en la que un lado y la altura correspondiente posibilitangenerar infinitos triángulos.

En un primer momento los docentes trazan un solo triángulo: rectángulo escaleno en uncaso e isósceles acutángulo en los otros.

Una maestra traza un triángulo acutángulo isósceles y otro triángulo rectángulo escaleno enotro semiplano.

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Ante la pregunta “¿hay otras posibilidades?”, inmediatamente dicen que es posible trazarotros si determinan la paralela a la recta que contiene al segmento considerado como base.

A partir de esto comienzan a explorar y encuentran múltiples soluciones. Se analiza cadacaso y se ven los límites de cada uno. Los docentes, trabajando en un solo semiplanoencuentran que es posible trazar infinitos triángulos acutángulos, dos triángulos rectángulose infinitos triángulos obtusángulos, así como tres triángulos isósceles e infinitos escalenos, yllegan a la conclusión de que no siempre es posible trazar un triángulo equilátero.

A partir de ello se realiza una clasificación de triángulos en función de la posición relativadel pie de altura respecto a la base correspondiente. Con ello se pretende volver sobre loscriterios de clasificación, su arbitrariedad y la posibilidad de que una figura se integre adistintas clases.

Triángulos obtusángulos Triángulos acutángulos Triángulos obtusángulos

Triángulo rectángulo Triángulo rectángulo

Se abordan luego otras líneas notables de los triángulos: medianas, mediatrices y bisectricesa partir de diferentes construcciones que implican también relaciones con otras figuras delplano.

Para abordar estos temas se presentan distintos problemas que promueven las reflexionesde los docentes para analizar algunos “saberes prácticos” que ellos manejan y poderencontrarles justificaciones geométricas.

Por ejemplo, se propone que determinen una circunferencia circunscripta a un triángulo,problema éste que se resuelve con el trazado de las mediatrices de los lados del triángulo.

Es necesario intervenir para que puedan buscar, como centro de la circunferencia, puntosque equidisten de los vértices del triángulo. Sin embargo, a pesar de saber trazar la mediatrizde un segmento y conocer su definición es difícil que logren poner en juego esta noción pararesolver este problema.

A partir de esta situación se revisan las líneas notables de los triángulos y los respectivospuntos de intersección, analizándose mediatrices y bisectrices como lugares geométricos. Seenumeran otros lugares geométricos que se han “usado” durante los encuentros como lo sonla unión de paralelas y la circunferencia.




Se trabaja con estos lugares geométricos en los trazados algorítmicos, destacando que variosde ellos sustentan las construcciones de triángulos y cuadriláteros que ya han realizado.

Algunos docentes manifiestan que nunca “se habían dado cuenta” que las propiedades dela circunferencia están en juego en estos algoritmos ni habían significado “los arquitos” queaparecen en la construcción del triángulo. Se retoma la condición de existencia del triánguloy se refiere a la posibilidad de trazar circunferencias secantes, tangentes, exteriores o interioresen función de la medida de los lados del triángulo.

10- Las actividades para la escuelaParalelamente al trabajo que se va haciendo en los encuentros semanales, los maestroscomienzan a proponer en sus clases algunas actividades que diseñan y analizan en el grupoo que modifican a partir de las lecturas y discusiones que van realizando.

En las reuniones también se discuten las lecturas realizadas y se destacan algunos aportesque los maestros sintieron como removedores:

· El trabajo con el esqueleto de los cuerpos.· El análisis de variables didácticas en las actividades que hace repensar sobre

cómo atender a ese aspecto para mejorar las actividades que vienendiseñando.

· La presentación de un enfoque exploratorio que requiere de laexperimentación por parte del alumno.

· La diferencia entre dibujo y figura.· La diferencia entre conocimiento espacial y geométrico. El valor del

pensamiento geométrico y su particular forma de validación.

A partir de las actividades que los docentes van aportando para comentar y discutir, seobservan progresivos avances en el análisis didáctico de las mismas. En el trabajo colectivose vuelve sobre algunos aspectos del mismo: objetivo - contenido, consigna, organización, yposibles procedimientos a emplear por los alumnos.

Los maestros comienzan a diseñar actividades en las que se proponen problemas o seproblematizan contenidos, lo que implica una importante diferencia con el punto de partidade cada uno de ellos.

El diseño de actividades, por parte de los docentes, intenta poner en juego lo que se hatrabajado en cuanto a problematizar la Geometría. Para ello se discuten algunas actividadespropuestas por el PMEM. Esto significó nuevas discusiones, nuevos avances y nuevas miradascríticas.

Desde este lugar “enriquecido” se comienzan a elaborar posibles secuencias de actividades.Se diseña una secuencia para el primer nivel en la que, partiendo de una copia de figuras, seapunta a que los alumnos puedan enumerar algunas características que diferencian elcuadrado y el rectángulo sin una referencia meramente perceptiva. Se incluyen algunasactividades que ayudan a analizar la relación entre los lados de ambas figuras y otras queexplicitan la perpendicularidad de los mismos. Se elaboran actividades de construcción,plegado y comunicación.

Se realiza el análisis didáctico de las actividades diseñadas para cada nivel, organizandoposteriormente la información en el siguiente cuadro.

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Las actividades que se van diseñando, son puestas en aula y posteriormente se analiza losucedido en cada clase. Esto permite revisar, modificar o agregar actividades a la secuencia.

En el caso de tercer año, se propone una actividad en la cual se debe construir un rectánguloa partir de dos lados consecutivos.

La docente de esa clase manifiesta que aún cuando los alumnos representan el rectángulo apartir de los lados dados como lados del ángulo, lo hacen perceptivamente por lo que sibien explicitan las características de los lados, no pueden hacerlo con respecto a laperpendicularidad de los mismos. Por lo anterior la maestra decide que los alumnos realicencolectivamente un “legajo” con lo que ya saben en relación a los lados del rectángulo. Laperpendicularidad (“tiene ángulos rectos”) aparece declarativamente pero nada da cuentade que los alumnos estén otorgándole sentido.

Posteriormente se propone una actividad en la que los alumnos deben pedir las varillasnecesarias para representar un rectángulo. Una vez obtenida la figura, el docente “mueve”la construcción para generar un paralelogramo “tipo”. Los alumnos insisten en que siguesiendo un rectángulo en virtud de las medidas de los lados. Muy pocos alumnos se centranen las modificaciones de la amplitud angular.

Se propone entonces la obtención de un rectángulo a partir del plegado de una banda debordes paralelos. Pocos alumnos argumentan cómo debe efectuarse el doblez (“sin que sesalga”) para obtener ángulos rectos. La maestra cierra la actividad explicitando laperpendicularidad. Se diseñan otras dos actividades que contemplan la dificultad observada.

Es interesante en este caso la reflexión del grupo de maestros sobre los resultados de lasactividades anteriores puesto que si bien los alumnos “hablan sobre la perpendicularidadde los lados” no pueden poner en juego esa idea ni identificar una nueva figura cuando loslados no forman ángulo recto. La discusión acerca de los supuestos que los maestros manejancon relación a los conocimientos de los alumnos y la necesidad de confrontarlos yproblematizarlos permanentemente toma, en estas discusiones, la debida relevancia.

Se discute en torno a la necesidad de apoyarse, en este nivel, en aspectos perceptivos, paraposteriormente superar estas formas de aproximación que deben ir variando a lo largo delciclo escolar.

Act iv idadAct iv idadAct iv idadAct iv idadAct iv idad ObjetivoObjetivoObjetivoObjetivoObjetivo Conocimientos puestosConocimientos puestosConocimientos puestosConocimientos puestosConocimientos puestosen juegoen juegoen juegoen juegoen juego

PPPPPosibles procedimientososibles procedimientososibles procedimientososibles procedimientososibles procedimientosde resoluciónde resoluciónde resoluciónde resoluciónde resolución Inst i tucionalizaciónInst i tucionalizaciónInst i tucionalizaciónInst i tucionalizaciónInst i tucionalización




La maestra de primer año aporta los resultados de una actividad de comunicación en laque los alumnos debían pedir por escrito las varillas necesarias para armar un rectángulo.Los diálogos y acciones de los alumnos dan cuenta que los niños, aún cuando reconocen y“representan rectángulos” no pueden, en la mayoría de los casos, identificar los elementos ypropiedades inherentes a la figura.

La docente de tercer año realiza comentarios similares en relación con la actividadmencionada anteriormente: completar el rectángulo a partir de un ángulo dado, cuyo objetivoera trabajar la perpendicularidad a partir de los lados consecutivos del rectángulo.

Frente a las dificultades encontradas se apunta a que los alumnos busquen argumentacionesde tipo geométrico para explicar sus acciones. También resulta interesante observar que lasconcepciones incompletas que se presentan en primer y tercer año son similares, lo que hacepensar en la necesidad de planificar la recurrencia y profundización a lo largo del cicloescolar en los diferentes aspectos de un mismo contenido.

La lectura de diferentes materiales bibliográficos permite a los maestros seleccionar de losmismos aquellas actividades que les resultan interesantes para proponer en sus clases talcomo se presentan o con algunas variaciones que estiman necesarias de acuerdo al objetivoque se plantean.

El análisis didáctico de las actividades seleccionadas o reformuladas permite estudiar, entreotras cosas:

a) la pertinencia de las actividades en relación al objetivo establecido,b) la elección de las variables didácticas y sus consecuencias.

En este marco se analiza la actividad “juego de memoria” con cartas, extraídas del NAP5 deprimer nivel. El objetivo de la actividad es buscar propiedades comunes a distintas figuras ( igualnúmero de lados, figuras semejantes, congruentes). Para ello se cuenta con un “juego de cartas”con figuras geométricas dibujadas para que los alumnos hagan pares con las “que se parezcan”.Esta actividad, que está planteada para Nivel Inicial, es retomada por los maestros y discutidapara llevar al aula. Durante el análisis didáctico de la actividad, se discuten algunas de lasvariables didácticas: forma de organizar el grupo, consigna, figuras a utilizar. La discusión hacever la necesidad de algunas modificaciones que, sin variar el objetivo (propiedades de algunasfiguras geométricas) permita complejizarla para proponerla en otros grados. De esta manera sevuelve sobre la idea que “problemas aparentemente iguales”, no lo son en tanto exijanconocimientos o procedimientos de resolución diferentes.

En relación con las variaciones posibles para esta actividad los maestros acuerdan:

· Inicial y primer año proponer un juego de tarjetas en las que aparece unamisma figura en diferentes posiciones para jugar al “roba montón”, buscandocon ello ver las propiedades de las figuras independientemente de su posiciónen la tarjeta.

· Para tercer año se propone armar un juego de cartas en las que haya algunascartas con figuras dibujadas y otras con propiedades de figuras escritasliteralmente. La idea es hacer corresponder una figura con una propiedad(lados iguales, lados opuestos paralelos, un par de lados paralelos, etc). Losmaestros plantean que hacer “pares” significa encontrar una sola propiedadde cada figura por lo que piensan en otros juegos con las mismas cartas quepermitan reunir varias propiedades con cada figura (por ejemplo una“canasta”)

5 Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP). Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. República Argentina. Buenos Aires.2005

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Se continúa el análisis de otras actividades pertenecientes al mismo documento6 y se tomauna propuesta que implica producir o identificar la huella que deja un poliedro a partir delentintado de una de sus caras o de la silueta de una de ellas. Los maestros encuentran enesta actividad un buen insumo para el trabajo y continúan pensando en posibles variaciones.

Plantean una interesante discusión en torno a los objetivos y pertinencia de esta actividad yde las de una posible secuencia diseñada a partir de ella.

Se ve cómo en las clases superiores este trabajo con huellas puede variarse de manera quelos alumnos busquen diferentes cuerpos que puedan dejar una misma huella y cómo esnecesario más de un punto de vista para asegurarse cuál es el cuerpo en cuestión.

11- Cierre del ciclo de trabajoLos maestros caracterizan y clasifican las actividades realizadas hasta el momento a losefectos de comenzar a preparar secuencias de actividades.

Retoman las actividades que habían diseñado e intentan construir un recorrido para el cicloescolar teniendo en cuenta los siguientes criterios:

Primer nivelPrimer nivelPrimer nivelPrimer nivelPrimer nivel::::: actividades de caracterización de figuras intentando descentrar al alumnodel reconocimiento perceptivo.

Segundo nivelSegundo nivelSegundo nivelSegundo nivelSegundo nivel::::: actividades que requieran poner en juego propiedades de las figuras.

TTTTTercer nivelercer nivelercer nivelercer nivelercer nivel::::: actividades que relacionen propiedades.

En este recorrido tratan de integrar actividades de representación: copia, plegado,construcción, armado; actividades de comunicación y actividades de clasificación. Del mismomodo se procura incluir la utilización de distintos materiales.

Comienzan entonces a prologar la secuencia que quieren armar como forma de ir registrandolos materiales que han producido.Esta decisión de los maestros de comenzar a escribir permite volver a la discusión desde ellugar del destinatario del escrito por lo que requiere un nivel de orden, claridad y análisisdiferente.

Esta es una nueva experiencia para los maestros: poner en texto el análisis didáctico deactividades que integren sus discusiones y reflexiones. Esta tarea de explicitar por escrito estaproducción, obliga al docente a posicionarse en otros lugares, lo que permite un nuevoenriquecimiento.

6 NAP.




12- Reflexiones finalesEl espacio generado a partir de este Proyecto posibilitó la realización de un valioso recorridoque aportó elementos para una nueva “mirada” de la enseñanza de la Geometría.

· La resignificación de conceptos a partir de la problematización de los mismos,las lecturas y discusiones posteriores, el análisis y la elaboración deactividades, permitieron, a los docentes, “vivenciar” una Geometría diferente;Geometría que “rompía” el clásico encasillamiento de figuras, dando laposibilidad de establecer relaciones interfigurales que potencian laresignificación de los objetos geométricos.

· Una Geometría que cuestiona la afirmación errónea “la Geometría está entodas partes” y permite pensar en los objetos ideales desde un contextogeométrico.

· La decisión de centralizar el estudio en algunas líneas notables – diagonales,bases y alturas – permitió el estudio de triángulos, cuadriláteros yparalelogramos desde otros lugares. Este abordaje posibilitó también laresignificación de rectas paralelas, circunferencia y mediatriz como lugaresgeométricos.

A partir de diferentes propuestas los maestros pudieron identificar el valorde los distintos tipos de actividades en Geometría: de representación, decomunicación y de clasificación.

· Las actividades de representación posibilitan poner en juego y analizarlas propiedades de las figuras de diferente forma. En este marco sepueden pensar las construcciones, los armados, los plegados, la copiade figuras, etc.

· Las actividades de comunicación implican seleccionar de toda lainformación que el alumno dispone, la necesaria para describir unafigura, explicitar y analizar propiedades, seleccionando aquellaspertinentes para esa descripción.

· Las actividades de clasificación dan la posibilidad de describir las figurasdesde diferentes lugares, revalorizando diversas características de lasmismas. Estas actividades “rompen” con la estática de las prácticashabituales, en las cuales se “encasilla” una figura en una clase,permitiendo, desde esta presentación, establecer relaciones entre lasdistintas clasificaciones.

· El análisis didáctico de actividades se constituyó en una valiosa herramientadidáctica que permitió a los maestros una toma de decisiones fundada yuna mirada crítica de las actividades.

· Las modificaciones de una actividad, manteniendo el objetivo y adecuándolaa los distintos niveles, el manejo de variables didácticas, la generación denuevas actividades a partir del objetivo docente, la elaboración de pequeñassecuencias para trabajar un contenido, fueron generadoras de conocimientodidáctico por parte del equipo de trabajo.

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· El estudio de las condiciones de realización de cada actividad posibilitóprofundizar en los aspectos a tener en cuenta en su diseño: objetivo –contenido, organización del grupo, materiales habilitados, puesta en común,confrontación, etc.

· La vivencia de un enfoque diferente, acompañado de una reflexiónpermanente sobre el mismo, brindó a los maestros herramientas para sutrabajo profesional.El análisis crítico de algunas prácticas habituales les permitió identificarobstáculos generados por presentaciones ostensivas y nominalistas,presentaciones en las que el docente, suponiendo que el objeto es conocidopor sus alumnos, muestra un dibujo y describe algunos elementos poniendoénfasis en el vocabulario específico. Lo anterior lleva a preguntarse cuálesson los supuestos implícitos de estas presentaciones que “muestran ynombran”. ¿Es suficiente “ver”, “mirar”, “poner nombre” para aprenderGeometría? ¿Son estas acciones las que permiten conceptualizar los objetosgeométricos?Estas preguntas conducen a repensar en posibles formas de hacer Geometríaen la Escuela Primaria y enriquecerlas.

Todas estas acciones aportan elementos a la formación permanente de los docentes, notaesencial de la verdadera profesionalización.

Los maestros participantes de esta experiencia son docentes adscriptores, por lo que hay unenriquecimiento en dos niveles: en el trabajo con los alumnos de su clase y en el trabajo deorientación al estudiante magisterial.

Para el PMEM esta experiencia significó un nuevo espacio de aprendizaje y la generación deconocimientos didácticos que fueron analizados y confrontados con los marcos teóricos queencuadran la actividad del PMEM

13- BibliografíaDidáctica de la MatemáticaDidáctica de la MatemáticaDidáctica de la MatemáticaDidáctica de la MatemáticaDidáctica de la MatemáticaBerthelot, R. Y Salin, M.H. (1993) – La enseñanza de la geometría en la escuela primaria.Grand N Nº53. Universidad de Bordeaux I IUFN de Aquitania.

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Tapia, C; Tapia, A; Vázquez, N. (1985) - Matemática 4. Estrada. Buenos Aires.

75


LA MATEMÁTICA EN LA FORMACIÓN INICIAL DE MAESTROS

LA MATEMÁTICAEN LA

FORMACIÓNINICIAL

DE MAESTROS:ANÁLISIS DE PROPUESTAS

DE EXAMEN

Análisis de propuestas de examen de Matemática de los IFD e IINN deAnálisis de propuestas de examen de Matemática de los IFD e IINN deAnálisis de propuestas de examen de Matemática de los IFD e IINN deAnálisis de propuestas de examen de Matemática de los IFD e IINN deAnálisis de propuestas de examen de Matemática de los IFD e IINN deMontevideo Montevideo Montevideo Montevideo Montevideo PPPPPeríodos 2005-2006eríodos 2005-2006eríodos 2005-2006eríodos 2005-2006eríodos 2005-2006

1. IntroducciónEl análisis realizado de propuestas de examen, es parte de una serie de actividades que elPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática (PMEM) desarrolla en elámbito de la Formación Inicial de Maestros.

En el año 2002 el PMEM realizó el “Primer estudio de la situación de la enseñanza de laMatemática en Formación Docente a partir de propuestas de examen”. Dicho análisis detectó,entre otras cosas, una gran disparidad en las propuestas de examen de los diferentes institutosdel país. Disparidad identificada en cuestiones relativas a enfoques, contenidos, nivel deprofundización y exigencia. Este estudio se complementó con el análisis del perfil de losdocentes responsables de los cursos y esta información fue cruzada con la surgida del estudiode las propuestas de examen.

A partir de lo relevado en dicho trabajo el Programa para el Mejoramiento de la Enseñanzade la Matemática en ANEP en coordinación con la Dirección de Formación Docente y/o laSecretaría Técnica implementó los siguientes proyectos:

“Experiencia Innovadora de actualización y reflexión para profesores deMatemática I y II de los Institutos Magisteriales” (2003) cuyos objetivos eran:

- Generar, a nivel nacional, una cultura coherente de formador de maestros.- Mejorar las prácticas de enseñanza en los institutos de formación magiste-

rial en el área de Matemática a través de la profundización disciplinar y elestablecimiento de relaciones con la Matemática enseñada en la escuela.

- Apuntar a que el formador logre articular en su práctica el “enseñar” y el“aprender” como procesos diferentes pero relacionados.

- Generar materiales escritos a partir del estudio, la reflexión y la discusión.




Propuestas de Primer AñoPropuestas de Primer AñoPropuestas de Primer AñoPropuestas de Primer AñoPropuestas de Primer Año 60Propuestas de Segundo AñoPropuestas de Segundo AñoPropuestas de Segundo AñoPropuestas de Segundo AñoPropuestas de Segundo Año 46

Total 106106106106106

1 Con fecha 26 de abril de 2006, la Dirección de Formación y Perfeccionamiento Docente resuelve autorizar al Área dePerfeccionamiento Docente y Estudios Superiores, de la cual depende el PMEM, a acceder a las propuestas de examen deMatemática I y Matemática II realizadas en los institutos de formación docente durante los períodos de noviembre-diciembre de2005 y febrero 2006.

“Dupla de Formadores” (2003-2004) con los siguientes objetivos:

- Recoger información para elaborar el perfil de formador en Matemática enla carrera magisterial.

- Definir una concepción de la Matemática como disciplina en constanteevolución, abierta al disenso y a la experimentación. Dentro de este marcollegar a determinar qué Matemática necesita un futuro maestro.

- Establecer relaciones entre las diferentes áreas de la Matemática y con otrasáreas del conocimiento.

- Experimentar metodologías de trabajo innovadoras evaluandopermanentemente su impacto.

- Establecer vínculos entre el currículo de la formación docente y el currículoescolar generando insumos para futuras modificaciones de los respectivosprogramas.

- Aportar a la discusión sobre formación de maestros en el marco de laelaboración del nuevo Plan (Componente Formación Docente – Mecaep III)

“Curso de Perfeccionamiento para Profesores de Matemática y Didáctica/Tallerde Matemática de los Institutos de Formación Docente e Institutos Normales deMontevideo” (Abril 2004 - Junio 2005) con el objetivo de profundizar enaspectos inherentes a la Matemática y su enseñanza, en el marco de latransformación de la Formación Inicial de maestros.

Estos proyectos generaron espacios de estudio, de discusión, reflexión y aprendizaje porparte de los docentes participantes y tuvieron la intención de que estos espacios se ampliaranen los respectivos colectivos docentes.

2. ObjetivoEl PMEM consideró importante volver a analizar las propuestas de examen de Matemáticade los IFD e IINN de Montevideo luego de cuatro años de haber realizado el primer estudiode los mismos y habiendo concretado las acciones mencionadas anteriormente. La intención,en esta oportunidad, es detectar alguna variación en las propuestas con respecto a las delaño 2002 a través de la observación de los contenidos evaluados y la forma en que se hace.

3. PoblaciónSe accedió1 a 106 propuestas de examen correspondientes a los 2 cursos de Matemática (1ºy 2º año) pertenecientes a 22 institutos de todo el país.

Los exámenes analizados corresponden a propuestas enmarcadas dentro de los siguientesplanes de estudio: Plan 92, Reformulado 2000 y Plan 2005.

77



2 Nos referimos a actividades con intersecciones en el espacio, posiciones relativas de rectas, caracterización de figuras espaciales, etc.

4. AnálisisSe organiza el análisis centrándose en algunos aspectos específicos:

¿Cuáles son los contenidos que tienen una mayor frecuencia de apariciónen los exámenes?¿Qué tipo de actividades suele proponerse?En un mismo instituto, ¿existen variantes en las propuestas de un período aotro?¿Qué relación guardan las diversas propuestas con respecto a los planes deformación de maestros?

4. A-1) De la frecuencia con la que aparecen ciertos contenidos.4. A-1) De la frecuencia con la que aparecen ciertos contenidos.4. A-1) De la frecuencia con la que aparecen ciertos contenidos.4. A-1) De la frecuencia con la que aparecen ciertos contenidos.4. A-1) De la frecuencia con la que aparecen ciertos contenidos.

PRIMER AÑO El contenido aparece en ...Operaciones 41 exámenes 68%Divisibilidad 33 exámenes 55%Fracciones 33 exámenes 55%Porcentajes 9 exámenes 15%Proporcionalidad 5 exámenes 8%Estadística 3 exámenes 5%Probabilidad 2 exámenes 3%

Figuras “distinguidas” del plano 35 exámenes 58%Lugares geométricos 17 exámenes 28%Isometrías 15 exámenes 25%Cálculo de áreas, volúmenes,amplitudes angulares, etc. 18 exámenes 30%Geometría del Espacio2 10 exámenes 17%

SEGUNDO AÑO El contenido aparece en ...Figuras “distinguidas” del plano 44 exámenes 73%Cálculo de áreas, volúmenes,amplitudes angulares, etc. 32 exámenes 53% Geometría del Espacio 18 exámenes 30%Lugares geométricos 15 exámenes 25%Isometrías 13 exámenes 22%Semejanza de Triángulos 5 exámenes 8%

4. A-2) De los contenidos que se abordan con mayor frecuencia.4. A-2) De los contenidos que se abordan con mayor frecuencia.4. A-2) De los contenidos que se abordan con mayor frecuencia.4. A-2) De los contenidos que se abordan con mayor frecuencia.4. A-2) De los contenidos que se abordan con mayor frecuencia.En las propuestas de examen de PRIMER AÑO el contenido aritmético que se registra conmayor frecuencia es OPERACIONES. Es propósito de esta sección indagar hacia lainterna de este contenido para identificar, entre otras cosas, qué aspectos de lasoperaciones se priorizan e individualizan en los conjuntos numéricos involucrados.En gran parte las actividades que proponen el tema en cuestión plantean trabajar confracciones positivas y con expresiones decimales positivas. Estas expresiones son utilizadasen operaciones combinadas, muchas de ellas, sorprendentes por su extensión. Se combinanadiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con potenciación y radicación. Sedestaca que en 8, de los 22 institutos de formación de maestros se proponen exámenes deprimer año que incluyen ejercicios relativos a operaciones combinadas.




3 Entendemos por problema una actividad que exige ser resuelta y para la cual el alumno no posee inmediatamente unaestrategia de resolución a diferencia de un ejercicio que solamente exige poner en juego mecanismos ya conocidos.4 La clasificación que se presenta utiliza términos acuñados por la Teoría de las Situaciones de Guy Brousseau pero los problemasde acción y los de validación de las propuestas de examen analizadas no se corresponden totalmente con los de la teoríamencionada.

Es casi nula la presencia de actividades con el objetivo de evaluar las operaciones dentrodel conjunto de los Números Naturales.

Al observar las actividades geométricas correspondientes a los exámenes de primer año, eltema FIGURAS DEL PLANO es el que se considera con mayor frecuencia. Bajo este rótulohemos englobado varias acciones de las que aparecen en las propuestas: trazado de figuraselementales, nominación de figuras y de sus elementos, utilización de relaciones intrafigurales(por ejemplo, construir un cuadrado a partir de diagonales dadas), clasificación de figuras,etc.

En SEGUNDO AÑO el contenido que se registra con mayor frecuencia también es FIGURASDEL PLANO a través de actividades de construcción de polígonos, destacándose por su númerolas construcciones de triángulos y paralelogramos (esto se constituye en una diferencia conlo que se observa en las propuestas de primer año).

En menor número aparecen exámenes que involucran conocimientos de Geometría delEspacio, en especial intersecciones en el espacio y posiciones relativas de rectas y planos.

4. B-1) Del tipo de actividades.4. B-1) Del tipo de actividades.4. B-1) Del tipo de actividades.4. B-1) Del tipo de actividades.4. B-1) Del tipo de actividades.Para realizar este análisis caracterizamos las actividades teniendo en cuenta, en primer lugar,si cada una de ellas es un ejercicio o un problema3 , para posteriormente analizar qué tipode actividad involucra el problema.

Interesa ver a cuál o cuáles de estas categorías corresponde la mayoría de las propuestas deexamen y en la medida de lo posible extraer conclusiones respecto a qué tipo/s de examen/es se propone dentro de un mismo instituto de formación.

Constatamos que en 11, de los 22 institutos, los tribunales han intentado problematizar loscontenidos a evaluar. Cabe destacar que la forma en que se llevó a cabo estaproblematización varió de un instituto a otro y resultó interesante analizar este tipo depropuestas para observar si las mismas se correspondían con actividades con predominiode acción o actividades que exigen validación.

Entendemos por actividades “de acción” aquellas en las cuales el alumno pone en juego loque sabe para resolver el problema sin necesidad de explicitar ni argumentar sobre lo hecho.Despliega conocimientos implícitos al “dialogar” con el problema planteado. Hemosdiscriminado dentro de este tipo de actividades aquellas que exigen reutilizar conocimientosconstruidos o en vías de construcción (problemas de reutilización) y aquellas que a través dela acción permiten que el alumno relacione algunos conocimientos y genere soluciones quelas integre (problemas exploratorios).

DE REUTILIZACIÓNEXPLORATORIO

EN UN SOLO PASOEN PASOS SECUENCIADOS

CON ANÁLISIS DE DISTINTAS SOLUCIONES

PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA44444

Con predominioDE ACCIÓN

ExigeVALIDACIÓN

79



5 Utilizamos este adjetivo porque existen consignas que dan a entender que solamente se exige una descripción sin validación.6 De los 106 exámenes analizados solamente 24 corresponden a lo que hemos dado en llamar problemas.

Por otro lado consideramos como actividad “de validación” aquella en la cual la propuesta,en forma explícita5, exige validar mediante una argumentación matemática. En los exámenesanalizados se encontraron propuestas que además de exigir argumentación matemáticasolicitaban a los estudiantes discutir el número de soluciones o analizar las distintas solucionesque tenía un problema al variar algunos de los datos dados. En ningún momento se propusovalidar el número de soluciones encontradas.

Presentamos a continuación una tabla que sintetiza lo planteado anteriormente.

Hemos analizado las propuestas según el tipo de actividades que involucra y consideramosoportuno detenernos específicamente en los problemas geométricos para destacar el tipode actividad que se le exige al sujeto en cada uno de ellos.

A estos problemas geométricos los clasificaremos en:

Problemas de construcción: trazado o construcción de figuras utilizando reglay compás.A modo de ejemplo citamos un problema de este tipo:

“Construye con regla y compás un paralelogramo ABCD tal que: el ánguloADB sea recto, AC = 9cm y AD = 4cm.”

Problemas de construcción que exigen validación: donde el alumno debíaargumentar, utilizando propiedades de las figuras, las aseveraciones que hacíao que el tribunal le planteaba analizar.

“Se considera el triángulo ABC rectángulo en A, tal que AC=2.AB, siendo AB=a y G subaricentro.

1º) Calcula BG justificando tu respuesta.

2º) Sea C la circunferencia circunscripta al ABC, BG C=B;D. Demuestra que, AO OD siendo O el punto medio del segmento BC.

Problemas de comunicación: nos referimos a aquellas propuestas en las quese exige un programa de construcción para una figura determinada oaquellos en los que se ofrece un programa para que el alumnoconstruya la figura correspondiente.

Propuestas de examenPropuestas de examenPropuestas de examenPropuestas de examenPropuestas de examen(total: 24)(total: 24)(total: 24)(total: 24)(total: 24)66666

PPPPProblemas “roblemas “roblemas “roblemas “roblemas “de Acciónde Acciónde Acciónde Acciónde Acción”””””ProblemasProblemasProblemasProblemasProblemas

“““““de Vde Vde Vde Vde Validaciónalidaciónalidaciónalidaciónalidación”””””

16(67%)

De reutilización ExploratoriosDe reutilización ExploratoriosDe reutilización ExploratoriosDe reutilización ExploratoriosDe reutilización Exploratorios

12(75%)

4(25%)

8(33%)

Problemas de validaciónProblemas de validaciónProblemas de validaciónProblemas de validaciónProblemas de validaciónque incluyen el análisis deque incluyen el análisis deque incluyen el análisis deque incluyen el análisis deque incluyen el análisis de

distintas solucionesdistintas solucionesdistintas solucionesdistintas solucionesdistintas soluciones8

(100%)

U




7 El destaque en negrita corresponde al PMEM.

“Represente el paralelogramo ABCD sabiendo que sus lados miden 7 y 4cm, el ángulo formadopor ellos es de 120º. Escriba el algoritmo de construcción empleado”

Al desglosar por cursos, obtenemos la siguiente información:

4. B-2) Con respecto a las consignas.4. B-2) Con respecto a las consignas.4. B-2) Con respecto a las consignas.4. B-2) Con respecto a las consignas.4. B-2) Con respecto a las consignas.La consigna de trabajo, en toda propuesta, ocupa un lugar fundamental. Es determinantedel quehacer del alumno pues habilita o bloquea procedimientos de resolución, respuestas,conclusiones, etc.

La elaboración de las consignas exige una clara formulación como texto matemático.En este marco llaman la atención algunas de las consignas correspondientes a los exámenesanalizados.

Para ejemplificar se citan, textualmente7, algunos casos. La lista de ejemplos que se presentana continuación pertenecen a diferentes institutos de formación y no integran todos un mismoexamen.

PRIMER AÑO:

• “Sea A=(4/3x+1/6).3/4-1/8. Calcular para x=0 y luego para x=1/2”• “M . ½ AD, N . ½ AB”

De la lectura de este enunciado suponemos que el tribunal pretende que los alumnosentiendan la expresión “. ½” como expresión sinónima de “punto medio”. Se deberá entenderentonces que M y N son puntos medios de los segmentos indicados.

SEGUNDO AÑO:

• “Sea un cuadrado de diagonal al cuadrado de 192.”

Nos preguntamos si a través de este enunciado, el tribunal pretende que los alumnosconsideren un cuadrado cuya diagonal mida (192)2.

• “¿Cuánto vale el área?”• “¿Es correcta la expresión d(C,I)=d(A,I)?”

4(5%)

De construcciónDe construcciónDe construcciónDe construcciónDe construcción De construcción queDe construcción queDe construcción queDe construcción queDe construcción queexige validaciónexige validaciónexige validaciónexige validaciónexige validación

De comunicaciónDe comunicaciónDe comunicaciónDe comunicaciónDe comunicación

PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOS

62(74%)

18(21%)

2(5%)

De construcciónDe construcciónDe construcciónDe construcciónDe construcción De construcción queDe construcción queDe construcción queDe construcción queDe construcción queexige validaciónexige validaciónexige validaciónexige validaciónexige validación

De comunicaciónDe comunicaciónDe comunicaciónDe comunicaciónDe comunicación

PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOS

28(70%)

10(25%)1º

2º34

(77%)8

(18%)2

(5%)

81



Si analizamos sintácticamente esta última frase, podemos afirmar que es correcta, que estábien formulada, respeta las reglas de la notación matemática. Suponemos que el tribunalpretende que el alumno se expida sobre la igualdad de las dos distancias involucradas en elproblema.

• “Investigar congruencias y semejanzas de triángulos”

La consigna es muy pretenciosa para una instancia de evaluación final. ¿Qué se espera quehagan los alumnos? La palabra “investigar” ha sido utilizada en el ámbito educativodeformando el verdadero significado de la misma. Ha sido empleada erróneamente comosinónimo de buscar, explorar o averiguar.

4. C-1) De las propuestas en un mismo instituto de formación.4. C-1) De las propuestas en un mismo instituto de formación.4. C-1) De las propuestas en un mismo instituto de formación.4. C-1) De las propuestas en un mismo instituto de formación.4. C-1) De las propuestas en un mismo instituto de formación.En este apartado nos interesa destacar la relación entre las distintas propuestas de examende un mismo curso, pertenecientes a un mismo instituto de formación docente como tambiéna la poca variación en las propuestas de un mismo curso en dos períodos consecutivos.Aparecen problemas iguales (o muy similares) en más de un período. Esta “igualdad” depropuestas no sólo se da en las actividades sino también en el formato de examen.Para ello se presentan las propuestas de examen de un instituto en particular las cuales ilustranlas observaciones planteadas anteriormente:

SEGUNDO AÑO (DICIEMBRE DE 2005)- INSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE Y

EJERCICIO 1“1º) Construye un triángulo isósceles ABC, de base AB, tal que la altura desde Csea congruente con la base (se da representado el segmento AB).2º) Traza la circunferencia circunscrita al triángulo”.

EJERCICIO 2“ABCD es un paralelogramo y ABE es un triángulo rectángulo isósceles (se da representado elparalelogramo y el punto E que pertenece al segmento AD)

1º) Calcula la medida de los ángulos del ABCD. Fundamenta los cálculos.2º) Sea E punto del segmento AD, tal que AE es un tercio de AD; AD mide 12cm.Calcula el área y perímetro del ABCD.

Calcula el área y perímetro del BCDE”.

EJERCICIO 3“ABCD es un rectángulo. La línea curva es media circunferencia y el triángulo es equilátero. Lamedida de BC es 16cm y la de CD es la mitad. Halla el perímetro y el área de la figurarayada”.

EJERCICIO 4“Construye el paralelogramo ABMQ con las siguientes medidas AB = 5cm; AM = 8cm y elángulo ABM de 105º”.

A

B C

D

E




SEGUNDO AÑO (FEBRERO DE 2005)- INSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE Y

EJERCICIO 1“1º) Construye un triángulo equilátero ABC de altura AH (se da representado elsegmento AH)2º) Traza la circunferencia inscrita al triángulo. Fundamenta lo que realizas”.

EJERCICIO 2“ABCD es un paralelogramo y DCE es un triángulo rectángulo isósceles (se da representado elparalelogramo y el punto E es el vértice del ángulo rectángulo isósceles que se menciona)

1º) Calcula la medida de los ángulos del ABCD. Fundamenta los cálculos.2º) Sea E punto del segmento AD, tal que DE es un tercio de AD; AD mide 18cm.Calcula el área y perímetro del ABCD.

Calcula el área y perímetro del BCEA”.

EJERCICIO 3“ABDE es un rectángulo. La línea curva es media circunferencia y el triángulo es equilátero. Lamedida de BC es 26cm y la de AB es la mitad. Halla el perímetro y el área de la figurarayada. Fundamenta la medidas utilizadas”.

EJERCICIO 4“Construye el paralelogramo PQRT con las siguientes medidas TP = 9cm; el ángulo TPQ de75º y el ángulo PTQ de 45º”.

Analizando las propuestas observamos que la modificación que se ha realizado de lasactividades de un período a otro no atiende a evaluar contenidos diferentes sino a evaluarlos mismos y desde un mismo aspecto. Frente a esto nos preguntamos ¿qué significado tienepara los docentes una instancia de examen?, ¿la de cumplir con un requisito para el cualalcanza con “manejar” propuestas de períodos anteriores y que los alumnos se ejerciten apartir de ellas? ¿Qué visión de la instancia de examen se promueve en los alumnosmagisteriales?, ¿la de un “simple” y a veces “costoso” trámite?

Ver Anexo I.

4. D-1) Las propuestas y su relación con los Planes de Formación Inicial de4. D-1) Las propuestas y su relación con los Planes de Formación Inicial de4. D-1) Las propuestas y su relación con los Planes de Formación Inicial de4. D-1) Las propuestas y su relación con los Planes de Formación Inicial de4. D-1) Las propuestas y su relación con los Planes de Formación Inicial deMaestros.Maestros.Maestros.Maestros.Maestros.Consideramos necesario analizar las propuestas en el marco de los programas de Matemáticacorrespondientes a la formación inicial de maestros es decir a una formación de nivel terciario.Los contenidos de los programas de este nivel ya han sido trabajados por los alumnosmagisteriales a lo largo de los 12 o 13 años de la escolaridad (Educación Primaria ySecundaria) previa al ingreso a Magisterio.

E

A B

C

D

83



(T C )(ABCD)=”DC

U

El objetivo en este nivel es volver a “visitar” dichos contenidos desde un punto de vistaprofesional como futuro maestro. Esta postura exige una nueva mirada a partir de laproblematización de dichos contenidos.

Desde esta óptica no podemos trasladar propuestas del bachillerato ni de la escuela primaria;si se hiciera se estaría desconociendo lo que se ha dado en llamar “conocimiento profesional”.

Al analizar las propuestas de examen encontramos gran disparidad en este sentido.Presentamos algunos ejemplos:

•“Una huerta tiene 1500m2 de superficie. Se siembra 1/3 del terreno conpapas y 2/5 del resto con arvejas. ¿Qué fracción queda aún libre?”

Consideramos que esta situación podría “vivir” en la escuela primaria. Apunta a relacionesnuméricas muy simples, en este caso con fracciones, que son contempladas en el ProgramaEscolar. No hay ninguna problematización de contenidos que lleve al estudiante magisteriala pensar de una manera distinta de lo que podría hacer un alumno de diez u once años.

•“Sea ABCD un rectángulo de lados 6 y 4cm. O punto medio del segmento BCy AO BD =H.

Hallar:a) CH(ABCD) = A’B’C’D’b) ABCD A’B’C’D’ y determinar su naturaleza.c)

Esta actividad exige una construcción. Observamos en ella una composición de isometríasmás pertinente a los objetivos perseguidos en los programas de bachillerato que a loscorrespondientes a un instituto de formación docente.

¿Qué aporta este tipo de propuesta a los conocimientos profesionales que necesita elestudiante magisterial? ¿Introduce elementos que le permiten incrementar sus conocimientoscon respecto a los contenidos que deberá enseñar?

En ningún momento afirmamos que no se deban trabajar los movimientos en el plano sinoque estos deberían ser abordados de tal manera que permitan al estudiante magisterialcuestionar lo que ya sabe y poder establecer fuertes relaciones entre diferentes conocimientosa los efectos de su resignificación.

•“ABCD es un cuadrilátero del cual se sabe que DC=9cm, AD=4cm,ángulo A = 150º, ángulo C=55º y ángulo D=35º.a) ¿Cuánto mide el ángulo B?b) Justificar si dicho cuadrilátero es o no un trapecio.c) Sea E el punto de intersección de AD y BC, clasificar por sus ángulosel triángulo AEB”

En esta propuesta el alumno debe poner en juego conocimientos que posee tanto paraindicar la medida del ángulo B como para argumentar si la figura es o no un trapecio. Esuna actividad que problematiza contenidos programáticos a nivel de la formación inicialde maestros.

Por otro lado se le exige una argumentación para la cual deberá activar los conocimientos quetiene sobre la figura involucrada, conocimientos estos que van más allá de la simple percepción.

U




5) Consideraciones generalesEn el análisis que hemos intentado realizar de los 106 exámenes, a los cuales accedió elPMEM, cabe destacar algunos puntos que muestran diferencias con respecto al primer análisisrealizado en el año 2002.

Constatamos una mayor preocupación de los tribunales a la hora de problematizarcontenidos lo cual se evidencia en el aumento de propuestas que van en este sentido.Esto llevaría a pensar que en algunos cursos anuales hay una intención de problematizar loscontenidos matemáticos favoreciendo de esta manera los aprendizajes de los estudiantes.

En el análisis que el PMEM realizó en el año 2002 se constató la presencia de propuestasdemasiado extensas para una instancia de examen final. En los exámenes estudiados enesta oportunidad, se observa que las propuestas planteadas permiten, en general, que losalumnos puedan abordarlas en el tiempo establecido para la prueba escrita.

Es positivo destacar también que se evidencia, con respecto al análisis del año 2002, unmayor número de actividades que podríamos catalogar como acordes al nivel terciariopropio de la formación inicial de maestros. Es esperable que la preocupación por respetareste nivel de las propuestas siga creciendo y llegue a todos los institutos de formación docentedel país.

Llama la atención que sigamos encontrando fuerte presencia de ejercitaciones vinculadascasi exclusivamente a operaciones o actividades geométricas elementales. Un buen númerode exámenes evalúa contenidos que sería pertinente evaluar a lo largo del año y noespecíficamente en una instancia de examen final. Un claro ejemplo de esto lo constituyenlas actividades que involucran las prioridades operatorias en los diferentes conjuntosnuméricos.

Se deben mencionar también, como preocupantes, los problemas de redacción de algunasconsignas de las actividades propuestas y el manejo conceptual que en aquellas se hace.

6) Docentes de los IFD e IINN responsables de loscursos de matemática durante el añoo 2005A los efectos de mantener el formato del estudio realizado en el año 2002 consideramos devalor analizar la composición del plantel docente que tuvo a su cargo los cursos de Matemáticaen la Formación Inicial de Maestros de todo el país durante el año 2005.

Este plantel estuvo integrado por 61 docentes que categorizamos de la siguiente forma:a)Con título docenteb)Sin título docente

En esta última categoría incluimos a aquellos docentes que poseen título universitario(nacional o extranjero) y los docentes que ingresan a Formación Docente por ser efectivos enalgún subsistema de Anep. (Ver Anexo II)

El 86% de los docentes de Matemática de los IFD e IINN de Montevideo poseen título docente;30% corresponde a título de Profesor de Matemática y el 56% a Maestro.Existen dos casos que tienen la doble titulación: maestro y profesor.

85



Los restantes docentes se distribuyen en tres categorías, de la siguiente manera:

Con título universitario nacional: 1,6%Con título universitario extranjero: 3,3%

Efectivos en Educación Secundaria: 10% .

PROFESORES DE LOS INSTITUTOS DE FORMACIÓN INICIAL DE MAESTROS

PROFESORES SIN TÍTULO DOCENTE

PROFESORES CON TÍTULO DOCENTE




¿Cómo se distribuyen estos docentes en los diferentes centros educativos del país?Los Institutos de Formación Inicial de Maestros que concentran una mayor cantidad dedocentes con título de Profesor de Matemática son:

Canelones 1 docente 100%Cerro Largo 2 docentes 100%La Costa 1 docente 100%Mercedes 2 docentes 100%Minas 1 docente 100%Montevideo 13 docentes 93%Paysandú 3 docentes 100%Rivera 3 docentes 100%Rocha 1 docente 100%San José 1 docente 100%San Ramón 1 docente 100%Trinidad 1 docente 100%

Se listan también aquellos institutos donde se concentran docentes con titulación de Maestros:

Florida 2 docentes 100%Fray Bentos 1 docente 100%Maldonado 2 docentes 67%Rosario 2 docentes 100%Salto 3 docentes 75%Tacuarembó 2 docentes 100%Treinta y Tres 2 docentes 67%

El hecho de que la mayoría de los cursos de Matemática estén a cargo de docentes con títulodocente provoca algunas reflexiones:

•Existe un alto porcentaje de docentes (57%) que tienen conocimiento delsubsistema en el cual sus alumnos se desempeñarán como maestros y queposeen conocimientos en Pedagogía, Psicología y Didáctica.

•Hay un porcentaje bastante bajo (30%) de docentes con formaciónmatemática específica.

¿Cómo interactúan los conocimientos que estos dos grupos de docentes, maestros yprofesores, poseen? ¿Qué pueden aportarse mutuamente?

¿Cómo lograr una articulación entre el conocimiento matemático y su enseñanza en laFormación Inicial de Maestros?

87



7) Reflexiones finalesConsideramos que en el transcurso de las instancias de formación, reflexión y estudiopromovidas desde el Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática enANEP para profesores de Matemática y Didáctica/Taller de Matemática, realizadas entre el2002 y el 2005, los docentes lograron avances en su formación profesional.

Es necesario explicitar que en estas instancias se evidenciaron grandes diferencias con respectoa los puntos de partida de los docentes participantes, diferencias que trascendían la formacióninicial de base de cada uno de ellos. Muchos comenzaron a recorrer un camino de reflexiónsobre sus prácticas y un aprendizaje de contenidos matemáticos y didácticos el cual deberíacontinuarse y pasar a formar parte de su formación permanente.

Frente a esto nos preguntamos ¿cómo lograr sostener la profesionalización del formador demaestros?, ¿cómo potenciar las Salas de Matemática de cada Instituto y la Sala Nacionalde Matemática?, ¿cuál es el “acompañamiento” que la Dirección de Formación yPerfeccionamiento Docente debería realizar en este proceso de profesionalización de susdocentes?, ¿qué aportes pueden hacer los equipos pertenecientes a ANEP o UdelaR quedesde hace años vienen estudiando, reflexionando y produciendo conocimiento matemáticovinculado a su enseñanza?

Los profesores de los institutos de formación inicial de maestros, en especial en el interior delpaís, se encuentran alejados de los ámbitos académicos productores de conocimiento, delos espacios de discusión e intercambio entre profesores de Matemática, matemáticos yespecialistas en Didáctica de la Matemática.

Sostenemos que es necesaria la instalación de canales de contacto, comunicación y reflexiónentre los docentes de formación inicial de maestros y los espacios productores de conocimientomatemático y didáctico.

Facilitar el funcionamiento permanente de estos canales de comunicación ayudaría a quelos docentes que hoy trabajan en los institutos magisteriales potencien su trabajo al logrartrascender la órbita de la formación docente.

Montevideo, agosto 2007




S (ABC)=AB

ANEXO IPropuestas similares dentro de un mismo Instituto de Formación.

PRIMER AÑO (DICIEMBRE DE 2005)- INSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE X

EJERCICIO 1“Sea el triángulo ABC con AB = 7cm, los segmentos BC y CA son iguales y el ángulo A mide50º.

1) Calcular los ángulos.2) Construirlo3) Clasificarlo4)5) Enumerar algunas propiedades de AC’BC”

EJERCICIO 4“Gasto 3/11 en el mercado, 5/8 del resto en la tienda y luego 1/3 de lo que me queda en elalmacén. Me quedan $200. ¿Con cuánto dinero salí? ¿Cuánto gasté en cada comercio?”

PRIMER AÑO (FEBRERO DE 2006) - INSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE X

EJERCICIO 1“Se considera el triángulo ABC, AB = 6,5cm; los segmentos BC y CA son iguales y el ángulo Cmide 70 grados.

1)Calcular los ángulos.2)Clasificarlo.3)4)Clasificar el cuadrilátero (ABA’C) y enunciar algunas propiedades”.

EJERCICIO 4Don Mario dedica 3/9 de su campo a forestación; 4/6 del resto a pradera y le quedan 12hectáreas para pastoreo. ¿Cuál es la extensión del campo? ¿Qué área dedica a cadaactividad?

S (ABC)=BC

89



ANEXO IIProfesores de los Institutos de Formación Inicial de Maestros, responsables del CursoMatemática II Año, 2005.

Artigas 1 1

Canelones 1

Carmelo 1 1

Cerro Largo 2

Durazno 1 1 1

Florida 2

Fray Bentos 1

La Costa 1

Maldonado 2 1 1

Mercedes 1 2 1

Minas 1

Montevideo 2 12 1 1

Pando 2 3

Paysandú 3

Rivera 3

Rocha 1

Rosario 2

Salto 3 1

San José 1

San Ramón 1

Tacuarembó 2

Treinta y Tres 2 1

Trinidad 1TOTALES 19 35 2 1 2 6

28%28%28%28%28% 59%59%59%59%59% 3,3%3,3%3,3%3,3%3,3% 1,6%1,6%1,6%1,6%1,6% 3,3%3,3%3,3%3,3%3,3% 10%10%10%10%10%

CON TÍTULO DOCENTE SIN TÍTULO DOCENTE

Maestro/a Profesor/aMaestro/a yProfesor/a

Con títulouniversitario

nacional

Con títulouniversitarioextranjero

Efectivo enEducaciónSecundaria

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REFLEXIONES EN TORNO A ALGUNAS PROPUESTAS DE EXAMEN...

REFLEXIÓN EN TORNOA ALGUNAS PROPUESTAS

DE EXAMEN DEMATEMÁTICA

¿Cómo se elaboró el presente trabajo?¿Cómo se elaboró el presente trabajo?¿Cómo se elaboró el presente trabajo?¿Cómo se elaboró el presente trabajo?¿Cómo se elaboró el presente trabajo?En el marco del Proyecto Grupo de reflexión y planificación de cursos: Matemática I y II yDidáctica /Taller de Matemática 1 se realizó una jornada de análisis y discusión de propuestasde exámenes correspondientes a los Institutos de Montevideo, Paysandú y San Ramón.2

En consecuencia el Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática enANEP inicia la tarea de elaboración de un marco teórico que posibilite la interpretación delas propuestas.

En última instancia se realiza una nueva jornada en la que se concreta la aprobación finalde este material.

¿Cuál es el propósito del trabajo?¿Cuál es el propósito del trabajo?¿Cuál es el propósito del trabajo?¿Cuál es el propósito del trabajo?¿Cuál es el propósito del trabajo?Ofrecer a los profesores de Matemática de los Institutos de Formación Inicial de Maestros undocumento para la reflexión y discusión, que aporte a la consideración crítica de la propiapráctica docente. Es un documento “opinable”, abierto a nuevos aportes, que permite atodos reflexionar y confrontar ideas en vistas a mejorar la acción docente en la formación demaestros.

Presentación:1.1.1.1.1. El esfuerzo de intercambio y reflexión que se ha llevado adelante a partir de mayo de2006, ha favorecido una franca confrontación de ideas que enriqueció las distintas accionesde aula, aportando a la planificación y enfoques didácticos a implementar, sin alcanzar unaplanificación única a desarrollarse en los diferentes cursos. El trabajo, que se inició recién enmayo con recorridos ya en marcha, supuso el análisis de propuestas de examen de losInstitutos anteriormente citados. Por lo tanto, no se consideró adecuado ni pertinente elaboraruna propuesta de examen común para aquellos Institutos en los que los miembros del equiporealizan su trabajo ya que estos sólo son un miembro más de los tribunales conformados endichas instituciones, respetándose la coordinación que los docentes debían realizar en elseno de cada institución. Los exámenes propuestos, sin eludir la responsabilidad de cadaintegrante, son actividades elaboradas por distintos tribunales.

2. 2. 2. 2. 2. Esta tarea permitió reflexionar en torno a la evaluación; en este caso a la evaluaciónfinal en la instancia del examen y obligó a formularse diferentes preguntas. Algunas deellas:

Correspondientes al período de noviembre de 2006 en tresInstitutos de Formación Inicial de Maestros

1 Línea de Trabajo en el marco del Curso de Perfeccionamiento para Profesores de Matemática y Didáctica /Taller de Matemáticade IFD e IINN.

2 Participaron de esta tarea los Profesores Carla Damisa, Adriana Ferreira, María de los Angeles Innella, Mercedes Laborde,Liliana Pazos, Inés Piedra Cueva, Beatriz Rodríguez Rava, Virginia Tort y Ricardo Vilaró.




A - A - A - A - A - a) ¿qué se desea evaluar?, b) ¿qué es posible evaluar?, c) ¿la evaluaciónpropuesta es coherente con los objetivos del curso?, d) ¿cómo se desarrolló eltrabajo durante el año?, ¿qué se privilegió respecto a contenidos ycompetencias matemáticas?, e) ¿se evaluaron (cómo y cuándo) contenidos ycompetencias que fueron formulados como intención previa al curso y no seregistran en la propuesta de evaluación final?, f) ¿qué lugar ocupa la actuacióndel alumno durante el curso?

B - B - B - B - B - Corresponde preguntarnos ¿cuáles son los objetivos básicos – contenidos ycompetencias – que es posible plantearse en cada uno de los cursos?

C - C - C - C - C - Respecto a la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática en el marcoinstitucional de Magisterio: ¿qué es enseñar Matemática en Magisterio?, ¿cómolograr que los alumnos “hagan Matemática”?, nosotros, los profesores ennuestra acción profesional ¿”hacemos Matemática”? (¿es posible trasmitir loque no se practica?), ¿qué es la Matemática como cultura y como ciencia de laque esperamos se apropie un futuro maestro en vistas a su trabajo con niños?

Al ingresar en el estudio crítico de las propuestas de examen estas preguntas y otras estaránpresentes y trataremos de abordarlas en lo posible sin pretensión de asumir cada una comouna sección del trabajo, pero sin duda, con el propósito de estimular la reflexión y búsquedade caminos que nos permitan aportar a la enseñanza de la Matemática en Magisterio.

I) Un marco para reflexionar respecto a la evaluaciónConsideramos los siguientes soportes para sistematizar el análisis y las reflexiones.

I.1) El informe Cockroft El informe Cockroft El informe Cockroft El informe Cockroft El informe Cockroft 33333 considera como aspectos esenciales involucrados considera como aspectos esenciales involucrados considera como aspectos esenciales involucrados considera como aspectos esenciales involucrados considera como aspectos esenciales involucradosen la actividad matemática los siguientes en la actividad matemática los siguientes en la actividad matemática los siguientes en la actividad matemática los siguientes en la actividad matemática los siguientes 44444:::::

HechosHechosHechosHechosHechos: objetos matemáticos aislados: una fórmula, el teorema de Pitágoras,una propiedad.

AlgoritmosAlgoritmosAlgoritmosAlgoritmosAlgoritmos: un proceso de sentencias ejecutables en forma secuenciada quenos conduce de una situación inicial a una final. Cuando un algoritmo devieneen rutina, por ejemplo construir el arco capaz de un segmento y ángulo dado,se considera una técnica.

Estructuras conceptualesEstructuras conceptualesEstructuras conceptualesEstructuras conceptualesEstructuras conceptuales: redes ricamente interconectadas de conceptos yrelaciones. Ejemplo de una estructura conceptual elemental: el concepto de“mediatriz” y su concurrencia en un punto del triángulo. Una estructura con-ceptual más compleja: la recta de Euler, los puntos privilegiados que ladeterminan, la relación nomotética entre éstos. La importancia de las estructurasconceptuales radica en su estabilidad en la memoria.

Estrategias generalesEstrategias generalesEstrategias generalesEstrategias generalesEstrategias generales: superprocedimientos o superprogramas que operansobre otros programas. Ejemplo: consideremos el conjunto de secuencias quenos permiten construir, dado un triángulo, el circuncentro, el baricentro y elortocentro y a partir de allí, como estrategia (general), la puesta en juego deconjeturas y caminos de validación de que estos puntos están alineados.

3 El Doctor W. Cockcroft presidió la Comisión de Investigación sobre la Enseñanza de la Matemática en las Escuelas en GranBretaña, que produjo el Informe Cockcroft bajo el título “Las Matemáticas sí cuentan”.

4 Ver: Vilaró, R. (1996) Matemática, Desafíos y Problemas. Ediciones Rosgal: Montevideo; Anyul, C; Hack, I; Migliaro, I; Pérez,T. Guía Curricular de Matemática 3er. Año. ANEP. Montevideo.

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En cada nivel de enseñanza o del trabajo matemático estos aspectos esenciales son cultivados;la enseñanza y la evaluación los involucra implícita o explícitamente, por lo que en elmomento de la evaluación sería conveniente analizar:¿Qué estamos evaluando?: ¿la ejercitación o apelación a un hecho?, ¿el desarrollo de unalgoritmo o la aplicación rutinaria de una técnica?, ¿la evocación a una rica estructura con-ceptual en un contexto pertinente?, ¿el despliegue y generación de una estrategia?

Consideramos que formularse estas preguntas a la hora de evaluar sólo será posible y tendrásentido si su formulación ha sido el hilo conductor del curso lo que constituye un gran desafíoa la actividad docente.

Esta línea de reflexión nos conduce a otras preguntas: ¿es posible evaluar todos estos aspectosen un examen final? Sin duda las condiciones de un examen establecen limitaciones a lapretensión de evaluar la totalidad de los cuatro aspectos anteriormente mencionados, conprofundidad. La prueba escrita permite evaluar más fácilmente hechos, técnicas y con algunasrestricciones estructuras conceptuales y estrategias generales. La etapa “oral” del examen, sibien habilita instancias más reflexivas y apropiadas para indagar, presenta condicionantesderivadas de la situación de tensión y nerviosismo que puede generarse ante preguntas muyabiertas.

I.2) Mogen Niss Mogen Niss Mogen Niss Mogen Niss Mogen Niss55555, en la introducción a la producción del ICME (1993) “Inves-, en la introducción a la producción del ICME (1993) “Inves-, en la introducción a la producción del ICME (1993) “Inves-, en la introducción a la producción del ICME (1993) “Inves-, en la introducción a la producción del ICME (1993) “Inves-tigations into assesment in mathematics Education” sostiene que en unatigations into assesment in mathematics Education” sostiene que en unatigations into assesment in mathematics Education” sostiene que en unatigations into assesment in mathematics Education” sostiene que en unatigations into assesment in mathematics Education” sostiene que en unamirada internacional los aspectos predominantes a evaluar serían:mirada internacional los aspectos predominantes a evaluar serían:mirada internacional los aspectos predominantes a evaluar serían:mirada internacional los aspectos predominantes a evaluar serían:mirada internacional los aspectos predominantes a evaluar serían:

a)Hechos Matemáticos: definiciones, teoremas, fórmulas.b)Métodos estándares y técnicas.c) Aplicaciones estándares.d)Heurística y métodos de prueba (en contextos no rutinarios)e)Resolución de problemas (abiertos, complejos)f) Modelización de problemas, complejos, no bien definidos (que exigen optarrespecto a las condiciones a establecer), matemáticos o extra matemáticos.g)Exploración y generación de hipótesis.

Este autor en su trabajo sitúa los ítems d, e y f como de evaluación más limitada en lapráctica y agrega que “muy raramente” se evalúa el ítem g.

En la línea de los comentarios anteriores queda claro que las evaluaciones en los exámenesabarcan los ítems a, b y c registrándose excepcionalmente el ítem e. Pero, ¿qué ocurre en loscursos?, ¿trabajamos situaciones que convocan a los ítems d, e, f, g? En el caso de nohacerlo estaríamos “escamoteando” lo esencial de la actividad matemática, presentandouna Matemática “raquítica”, sin sustancia.

Los aspectos expuestos por Mogen Niss nos conducen a preguntarnos ¿qué Matemáticaenseñamos?, ¿qué Matemática practicamos nosotros los profesores? En otras palabras:¿nuestro quehacer matemático, como docentes, involucra la totalidad de los ítems? De otramanera: ¿estamos estudiando temas nuevos de Matemática?, ¿nos enfrentamos nosotros,los profesores, a problemas o a desafíosproblemas o a desafíosproblemas o a desafíosproblemas o a desafíosproblemas o a desafíos que nos obliguen a poner en marcha los aspectosinvolucrados en los ítems mencionados por Mogen Niss?

5 Matemático danés, secretario general del ICME.




I.3) Contenidos y competenciasContenidos y competenciasContenidos y competenciasContenidos y competenciasContenidos y competencias

Un modo de ampliar la reflexión en torno a la evaluación exige, a partir del análisis de losProgramas de Matemática, identificar los contenidos básicos (en el sentido de centrales ymínimos) que se espera que estudiantes dominen al finalizar el curso, así como lascompetencias que se aspira hayan desarrollado.

El listado de contenidos nos situará predominantemente en el marco de los Hechos, de lasTécnicas y en forma acotada de ciertas estructuras conceptuales básicas.

El estudio de las competencias nos situará en una mirada que pone el acento en el marcode la generación de algoritmos, de las conexiones y aplicaciones en diversos contextos, deldesarrollo de ricas estructuras conceptuales, del desarrollo de estrategias. En términos de losítems presentados por Mogen Niss, focalizará la atención en los ítems d, e, f y g.

Las competencias se construyen y desarrollan a través de contenidos y la distinción es útilpara el análisis. En otras palabras, la atención respecto a los ítems d, e, f y g supondráinevitablemente la atención respecto a los ítems a, b y c.

En términos que nos son familiares:

1. La competencia de “ver” ante una configuración geométrica en el plano oen el espacio, de visualizar, puede desarrollarse a partir de facilidades natu-rales en el alumno o en un proceso de largo aliento y superación de obstáculoscognitivos6, a través del dominio de propiedades y de un razonamientocomunicable. No obstante, en ambos casos, las propiedades básicas en juego– hechos y estructuras conceptuales básicas -, serán ineludibles en lainstancia de explicar y validar conclusiones.

2. Las competencias heurísticas que habilitan a conjeturar y luego a validaruna conjetura, exigirán el dominio de hechos, técnicas y estructurasconceptuales básicas.

3.La competencia de resolución de problemas distinguida netamente de laresolución de ejercicios y aplicación de rutinas involucrará necesariamente eldominio de hechos, generación de algoritmos, técnicas, redes conceptuales.Está comprometida con el “hacer Matemática”, objetivo central del curso encada nivel. Su evaluación merece atender a las cuatro fases establecidas porPolya7 respecto a la resolución de un problema: comprensión del problema,búsqueda de una estrategia, su ejecución, y reflexión respecto a lo hecho ylogrado.

4.La Modelización es una competencia que requiere un alto nivel de dominiode contenidos e involucra otras competencias matemáticas.

5. La competencia de comunicación matemática en lenguaje corriente osimbólico conjugará a todas las anteriores. Implicará así mismo laargumentación al trasmitir los fundamentos de la validación y la prueba.

6 En la Enseñanza Media, es un proceso que debe alimentarse a lo largo de los 6 años, de primero a sexto año.7 Polya, G (1965) – Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México.

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I.4) Una nueva mirada: un esquema organizador presentado por el Dr Una nueva mirada: un esquema organizador presentado por el Dr Una nueva mirada: un esquema organizador presentado por el Dr Una nueva mirada: un esquema organizador presentado por el Dr Una nueva mirada: un esquema organizador presentado por el Dr. De. De. De. De. DeLangeLangeLangeLangeLange

Ahora estamos en condiciones de atribuirle mayor sentido al agrupamiento que De Lange8

(1994) propone en tres niveles como objetivos bajo, medio y alto a tener en cuenta en laeducación matemática y por tanto en sus evaluaciones.

El nivel bajoEl nivel bajoEl nivel bajoEl nivel bajoEl nivel bajoConcierne a conocimientos de hechos, definiciones, habilidades técnicas y algoritmosrutinarios o habituales.

El nivel medioEl nivel medioEl nivel medioEl nivel medioEl nivel medioCaracterizado por cuestiones que demandan de los estudiantes relacionar dos o másconceptos o procedimientos, haciendo conexiones, integrando situaciones y resolviendoproblemas. Incluye problemas que posibilitan distintas estrategias de resolución o más deuna aproximación al resolverlo.

El nivel altoEl nivel altoEl nivel altoEl nivel altoEl nivel altoEste nivel, el más alto, involucra asuntos complejos como pensamiento y razonamientomatemático, comunicación, actitudes críticas, comunicación creativa, interpretación, reflexión,generalización y matematización de situaciones complejas. Las propias construcciones delos estudiantes son el más importante componente de este nivel.

Estos tres niveles a considerar en la evaluación, agrupan los aspectos esenciales señaladosen el informe Cockroft así como los ítems presentados por Mogen Niss. Observando lapirámide reconocemos la libertad en la especificación de contenidos, y la posibilidad deatender a la mayor o menor dificultad de la propuesta.

NIVEL ALTO

NIVEL MEDIO

NIVEL BAJO (Reproducción)

Máxima dificultad

Más fácil A G N E y P

Álgebra (A) Geometría (G) Números (N) Estadística y Probabilidad (E ) y (P)

8 Dr. De Lange, investigador del Instituto Hans Freundethal (Utrecht, Holanda) y miembro del grupo de expertos consultores en elPrograma PISA.




II) Una posible reflexión respecto a esta primeraparte del trabajo:1. 1. 1. 1. 1. La evaluación es inherente a la planificación y a la implementación anual del curso.Nuestra reflexión respecto a “qué evaluar” nos conduce a la reflexión sobre qué es lo que seconsidera “contenidos y competencias a evaluar”. No es posible evaluar integralmentecontenidos y competencias en las instancias del examen (escrito y oral). Los momentos yrecursos de evaluación durante el año son parte importantísima de la misma, sin quitarlevalor al examen final. Por tanto, destacamos dos problemas para la reflexión:

a)¿Qué aspectos o ítems corresponde evaluar durante el curso, y no debenconstituirse en materia, al menos explícita,9 en la propuesta de examen? ¿Cómoevaluarlos a lo largo del año?b)¿Qué ítems o aspectos son apropiados para centrar la evaluación final en laprueba escrita y cuáles son abordables en la prueba oral?

2. 2. 2. 2. 2. Finalmente, tres aspectos no abordados en el esfuerzo de organización de nuestro análisisrespecto a la evaluación:

a)))))El factor tiempo. ¿Qué valoración se le da a la velocidad de ejecución?¿Tiene sentido favorecer al alumno que se destaca por su rapidez respecto aaquel que procede en forma más pausada? La propuesta de examen deberealizarse en un tiempo acotado (2 horas). Esto impone una limitación que nodebe forzarse “saturando” la propuesta, a veces pretendiendo recargar elvolumen de contenidos y competencias a evaluar y otras veces reiterandoejercicios, preguntas o problemas de la misma naturaleza. La reflexión siguienteaporta en este sentido.

b) La formulación de las propuestas. Nos referimos a dos asuntos: la necesidadde su formulación, con consignas “cuidadas” y la preocupación por que lamisma favorezca un trabajo reflexivo.

c) Los criterios de corrección..... Debería ser una costumbre saludable que unavez elaborada la propuesta se establezcan las pautas de corrección. El tribu-nal se obliga a reflexionar respecto a la propia propuesta, identificando susdificultades, elaborando criterios de valoración de las posibles formas deresolución esperable por parte de los alumnos. Esto permitiría entonces, evaluarla calidad de la respuesta; un mismo problema puede tener una respuesta delnivel de reproducción de De Lange y también una respuesta que involucre elnivel de análisis.

III) Análisis de las propuestas de examenUna mirada generalUna mirada generalUna mirada generalUna mirada generalUna mirada general1. 1. 1. 1. 1. Si bien los contenidos matemáticos abordados, exceptuando las propuestas de Geometríadel espacio, son todos asuntos del Ciclo Básico de Enseñanza Media, en varios problemas,ejercicios o preguntas formuladas se reconoce, como debe ser, una profundidad yrequerimientos de mayor reflexión que los acostumbrados en dicho nivel.

9 Con la palabra explícita queremos resaltar que es ineludible y necesario que exista una armonía y fuertes conexiones entre“contenidos y competencias” así como “aspectos esenciales de la actividad matemática” que se evaluarán durante el curso y queen alguna forma condicionarán la propuesta de examen (escrita y oral).

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2. 2. 2. 2. 2. Hay conocimientos que deberían estar adquiridos, previos al curso, por lo tanto seríarecomendable su tratamiento y evaluación a lo largo del año y no en la evaluación final (porejemplo algunos aspectos algorítmicos operatorios).

3. 3. 3. 3. 3. En algunas propuestas se constata: a) son excesivamente largas, b) existen ejercicios opreguntas que aluden al mismo contenido o competencia a evaluar.

4. 4. 4. 4. 4. Reconocemos la existencia de un criterio de evaluación que justifica la extensión de lapropuesta en la intención de ofrecer una mayor gama de actividades al alumno. Se considera,en esta concepción, que propuestos 5 ejercicios se alcanzan los 12 puntos realizando 4 deellos completos. Cabe preguntarse: ¿esta posibilidad de elección no pone en marcha unfactor de dispersión en el alumno, que puede conducir a una pérdida de tiempo y deconcentración? O por el contrario ¿brinda al alumno mayores posibilidades de poner enjuego lo aprendido y a su vez permite al docente evaluar una diversidad de temas?

5. 5. 5. 5. 5. Observamos problemas de texto así como formulaciones que pueden ser mejoradas aefectos de favorecer un trabajo más reflexivo, autónomo y poner en evidencia competenciasconquistadas por los alumnos en el curso.

A continuación analizaremos las propuestas de examen comentando10 en cada una de ellasunidad por unidad (problema, ejercicio, pregunta)

III.1. Propuestas de los II.NN. de MontevideoIII.1. Propuestas de los II.NN. de MontevideoIII.1. Propuestas de los II.NN. de MontevideoIII.1. Propuestas de los II.NN. de MontevideoIII.1. Propuestas de los II.NN. de Montevideo1111111111

III.1.1. Examen de Matemática 1er año – 6 de noviembre de 2006III.1.1. Examen de Matemática 1er año – 6 de noviembre de 2006III.1.1. Examen de Matemática 1er año – 6 de noviembre de 2006III.1.1. Examen de Matemática 1er año – 6 de noviembre de 2006III.1.1. Examen de Matemática 1er año – 6 de noviembre de 2006

I .I .I .I .I .1) Si aÎN 0<a<100, ¿es posible indicar el resultado de multiplicar los ciennúmeros siguientes: (a-100)x(a-99)x(a-98)x···x(a-2)x(a-1)? Justificar.

Comentario: La dificultad está en observar la existencia de un factor 0 (y saberque en N si un factor es cero el producto también).

2) Sean a y b racionales. Hallar a y b sabiendo que axb = 9 y 104 + ax(1+b) = 120.

Comentario: exige un trabajo algorítmico elemental y la utilización de lapropiedad distributiva.

3) Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas y justificai) Si a+b = 58 entonces 50 - a - b = -8ii) Sabiendo que a+b = 58 no se puede deducir el resultado de 50-a - biii)Si a + b = 58 entonces a2 + b2 = 582

iv)Si a + b = 58 entonces (a + b)2 = 582

Comentario: Indaga conocimientos de “hechos” y competencias básicas. Implica un trabajoalgorítmico elemental y el dominio de fórmulas elementales. La parte ii) apela a la validaciónde una implicancia lógica.

En resumen: Hechos y algoritmos; ítems a y b (Mogen Niss); nivel de reproducción (De Lange).¿No están involucradas propiedades elementales que deben entrar en juego en un problema

10 Los comentarios aparecen en itálica.11 En las propuestas de examen de los IINN de Montevideo se habilita el manejo de materiales (libros, apuntes, etc).




que tenga otros objetivos más elevados? ¿Algunas de estas cuestiones no podrían ser evaluadasdurante el Curso? ¿ No es éste un problema que usualmente se propone en 2do año de CicloBásico en Secundaria? 12

I I .I I .I I .I I .I I .1) Hallar todos los números de cuatro cifras que sean múltiplos de 11 y menoresque 1.100. Justificar procedimiento.

Comentario: La pregunta habilita diferentes modos de resolución. Nonecesariamente exige el reconocimiento de condiciones de los dígitos para queun número sea múltiplo de 11. Puede implicar desde un simple conteo hastarazonamientos del tipo: 1100 es múltiplo de 11; 99 es múltiplo de 11 luego loes 1001 y por tanto, serán 10 los múltiplos de 11.

2) Justificar que en nuestro sistema de numeración decimal, los números decuatro cifras de la forma abba con a 0 no son primos.

Comentario: Apela al manejo del sistema de numeración decimal, la propiedaddistributiva, definición de número primo y criterios de divisibilidad.

3)Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas.“ Sabiendo que a y b son múltiplos de 3 se cumple que:i) a+b =3 (múltiplo de 3)ii) a·b = 9 (múltiplo de 9)iii) 2 a + 2 b = 6 (múltiplo de 6)

Comentario: Demanda un manejo de “hechos” elementales y habilita unavalidación con diferentes niveles de formalización.

En resumen: Hechos y algoritmos; ítems a y b (Mogen Niss); nivel de reproducción (De Lange).El problema podría implicar, dependiendo del camino de resolución, un nivel de análisis anivel de Magisterio (De Lange).

I I I .I I I .I I I .I I I .I I I .1) Escribir los divisores de 72x3

2) Escribir los números que sean divisores comunes de 72x3 4 y 73x32x5.

Comentario: Convoca a “hechos”: descomposición de un número en factoresprimos; condiciones de divisibilidad y a una simple enumeración. Una preguntaque exija el conteo ¿ no habría movilizado otro nivel más allá de los “hechos”?

3) Un importador debe colocar en cajas 3969 discos. En cada caja debe colocarsiempre una misma cantidad mayor de 49 y menor de 567.

a) ¿De cuántas maneras podrá colocar todos los discos?b) ¿Cuántos discos colocará en cada caso en cada caja?c) ¿Cuántas cajas necesitará en cada caso?

(En todos los casos se debe mostrar el procedimiento realizado).

12 En los comentarios que se irán realizando respecto a los problemas propuestos, queda en evidencia que se promueve lareflexión en torno a las exigencias que los contenidos propuestos requieren y se toma como una referencia el Ciclo Básico y 1eraño de Bachillerato, que constituyen un antecedente común a todos los estudiantes en Magisterio. Más adelante, en la página25 se hace referencia en detalle a este asunto.

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Comentario: Apela a “hechos, algoritmos y estructuras conceptuales” . Se relaciona,intencionalmente, con las partes 1y 2. Incursiona en el nivel de análisis (De Lange) en lanecesidad de modelizar las posibilidades y proceder a su conteo. Ingenioso con un grado deartificialidad; tal vez falte una formulación que impulse a decidir un criterio para elegir quétipo de caja es más conveniente utilizar.

En resumen: Hechos, algoritmos, estructuras conceptuales; ítems a) y b) (Mogen Niss); nivelde reproducción y también de análisis (De Lange).

IVIVIVIVIV.1) Dados una recta r y un punto A, sabiendo que d(A; r) = 1cmEncontrar puntos P del plano que cumplan simultáneamente las siguientescondiciones: d(P; r) < 4cm y d(P; A) < 5cmExplicar procedimiento utilizado y sombrear la zona correspondiente.

Comentario: Situar puntos en el plano que cumplan dos condiciones (hechos).

2) Encontrar los puntos B del plano que cumplan las siguientes condicionessimultáneamente, discutiendo el número de soluciones según la distancia de A a r,[d(A; r)]:

d(B; r) = 4cm y d(B; A) = 5cm

Comentario: Situar puntos en el plano que cumplan dos condiciones (hechos).La discusión propicia un escalón de análisis reflexivo.

En resumen: Fuertemente dominado por un nivel de “hechos y técnicas”.

VVVVV.....Realiza la siguiente construcción

1) Dibuja dos puntos A y B / d(A,B) = 4 cm.

2)Traza la circunferencia de centro A que contiene a B.

3)Sea X un punto de dicha circunferencia tal que <ABX = 60º

4)Sea la recta r paralela a la recta AB por X tal que r C = X,P siendo C lacircunferencia trazada.Determinar la medida de la amplitud del ángulo AXP y clasificar el cuadriláteroABXP. Justifica.¿Cómo son los segmentos AX y PB? Argumentar.

Comentarios: Los ítems 1 y 2 exigen “aplicación de una técnica”; el ítem 3 manejo de “hechos”para determinar el punto X; el 4 dominio de “hechos” para el cálculo de un ángulo y validaciónal clasificar una figura geométrica.

En resumen: No despega del nivel de “hechos y técnicas”. No obstante, apela a cierto nivel demanejo de “ estructuras conceptuales” en el item 4.

∩∩∩∩∩




Conclusiones con respecto a la totalidad de la propuesta de examen:Conclusiones con respecto a la totalidad de la propuesta de examen:Conclusiones con respecto a la totalidad de la propuesta de examen:Conclusiones con respecto a la totalidad de la propuesta de examen:Conclusiones con respecto a la totalidad de la propuesta de examen:

1)La propuesta es muy extensa.

2)Es accesible ( grado de dificultad: fácil).

3)Se propone evaluar “hechos” y “técnicas” elementales cuyo dominio debieraser condición para realizar el curso o al menos para aprobarlo y ganar elderecho a examen.

4)¿Tiene sentido proponer los ejercicios IV y V? o ¿alcanzaría con proponeruno de ellos? ¿No sería pertinente una pregunta más reflexiva que completeuno de ellos?

5)No despega en general del Nivel de Reproducción de De Lange,excepcionalmente compromete el Nivel de análisis.

6)¿Implica un nivel de profundización de contenidos y competencias del CicloBásico de Enseñanza Media?

III.1.2. Examen de Matemática 2° año – 22 de noviembre de 2006III.1.2. Examen de Matemática 2° año – 22 de noviembre de 2006III.1.2. Examen de Matemática 2° año – 22 de noviembre de 2006III.1.2. Examen de Matemática 2° año – 22 de noviembre de 2006III.1.2. Examen de Matemática 2° año – 22 de noviembre de 2006

EJERCICIO IDado el prisma recto de base cuadrada ABCDEFGH (ver figura) de altura 3a y área de labase 4a2

iv) Calcular el volumen de TTTTT en función de a y determinar la relación numérica que hay entreel volumen del prisma y el de TTTTT.c) Sean M, N, P y Q puntos medios de los segmentos HG, FG, BC y CD respectivamente.Clasificar justificando el cuadrilátero MNPQ.

Comentario: La parte a) implica “hechos” (definición de triedro; intersección de figuras) yvisualización básica espacial. La parte b (i) apela a “hechos” (definición de triedro, prisma;intersección de figuras), “estructuras conceptuales” involucradas en el proceso de clasificacióny justificación. Los apartados b(ii) y (iii) exigen el dominio de “hechos”, “técnicas” y algoritmos

G H

C D

B A

F E

Determinar: i) triedro (G,ABD) (F,G,C)ii) triedro (G,ABD) (B,D,G)iii) triedro (G,ABD) (A,B,C)

b) Sea TTTTT = triedro (G,ABD) Ç prismai) Clasificar TTTTT. Clasifique cada una de sus caras. Justifiqueii) Realizar el desarrollo de TTTTT, identificando los lados igualesiii) Construir en verdadera magnitud, con regla y compás lacara ABG siendo AB:

Realizar el programa de construcción.

A B

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

101



de construcción; el punto b(iv) una acción de cálculo que involucra fórmulas. La parte c apelaa “estructuras conceptuales” y a procesos de validación y prueba.

En resumen: El ejercicio I exige- hechos, algoritmos y técnicas, redes conceptuales,- un nivel de visualización y capacidad de organización euclidiana del espacio- desafíos de validación.- dominio de una temática y desarrollo de competencias que son básicas para que unfuturo maestro se sienta seguro al trabajar con situaciones espaciales13.

EJERCICIO IIa) Construir con regla y compás un triángulo ABR, rectángulo en R, tal que el

ángulo RAB sea de 60º y conociendo el segmento AR:Realizar un programa de construcción.

Comentarios: Exige el dominio de “hechos” y diseño de un algoritmo elemental.

b) Sea el punto C perteneciente a la semirrecta opuesta a la RA /CR=RAPor C, se traza la recta r perpendicular a BA; rrrrr BR = H. Sea D BR / HR=RD,D ∉ (AC,B). Clasificar el cuadrilátero ABCD.c) Sea P rrrrr en op(AB,C) / d(A, P) = AB. Clasificar los cuadriláteros PBCA y PBRA.

d) Sea aaaaa = AR Calcular el área del PBRA en función de aaaaa.e) Hallar los puntos del ABCD que estén a menor distancia de A que de B y a lavez que equidisten de A y de C. Colorear y justificar.

Comentarios: Competencias de comunicación relativas a la aplicación de secuencias deejecución de sentencias (construcciones). Dominio de “estructuras conceptuales” y de procesosde validación, análisis y cálculo.

f) Sea y . Se considera el prisma recto de base ABC: ABCA’B’C’.Determinar:

i) diedro (ArM) (A,B,C) , siendo r=BB’ y M punto medio del segmento ACii) diedro (ArM) (A,C,C’)iii) diedro (ArM) (M,B,B’)

Comentarios: Aborda tópicos espaciales, con objetivos distintos que en el ejercicio I. En elejercicio I el centro es la representación, en el ejercicio II, el centro es clasificar, determinarpuntos a partir de condiciones dadas y construir. Cabe la pregunta: ¿es posible reservar unode los objetivos para la parte escrita y organizar el otro objetivo en el trabajo en la instanciaoral del examen?

13 Obsérvese que con respecto a la temática, se pueden encontrar menciones en los programas de Matemática de Ciclo Básico y1er año de Bachillerato y sólo ha sido efectivamente abordada por aquellos alumnos que cursaron Matemática B de OrientaciónCientífico y Matemática C en 3er año de Bachillerato de Ingeniería.

A R

∈∈∈∈∈

∈∈∈∈∈

∩∩∩∩∩

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

α=(A,B,C) αP∉∉∉∉∉




Conclusiones con respecto a la totalidad de la propuesta: Es una propuesta que exige:

- “hechos, algoritmos y técnicas, redes conceptuales”,- un nivel de visualización, y de análisis y capacidad de organización euclidiana

del espacio,- desafíos de validación que apelan al dominio de ricas estructuras conceptuales

abarcativas de propiedades básicas de la Geometría euclidiana.Combina:- los tres niveles de De Lange.

En este examen se evalúa solamente contenidos geométricos

III.2. PIII.2. PIII.2. PIII.2. PIII.2. Propuestas del I. Fropuestas del I. Fropuestas del I. Fropuestas del I. Fropuestas del I. F. D. D. D. D. D. de P. de P. de P. de P. de Paysandúaysandúaysandúaysandúaysandú

III.2.1. Examen de Matemática 1er año – 14 de noviembre de 2006III.2.1. Examen de Matemática 1er año – 14 de noviembre de 2006III.2.1. Examen de Matemática 1er año – 14 de noviembre de 2006III.2.1. Examen de Matemática 1er año – 14 de noviembre de 2006III.2.1. Examen de Matemática 1er año – 14 de noviembre de 2006

EJERCICIO 1:Construye (sólo con regla y compás):

a )a )a )a )a )Un triángulo IFD tal que el ángulo FID=30º, ID=4cm y DF=2.IDb )b )b )b )b )Un rectángulo, de modo que sus diagonales midan 8cm y formen 120º entre sí.

Escribe el algoritmo de construcción de la parte a)a)a)a)a) o de la parte b)b)b)b)b)

Comentarios: Requiere el manejo de “hechos” elementales en el análisis de una figura apartir de ciertos datos, y establecer un “algoritmo” elemental de construcción.

EJERCICIO 2:Del dibujo adjunto se sabe además que:rIIs, AB=AC Calcula la medida de losángulos:

a) a) a) a) a) interiores del triángulo ABCb) b) b) b) b) a y b

Justifica tus respuestas.

Comentarios: apunta al dominio de “hechos” (la suma de los ángulos de un triángulo es18000000; ángulos alternos – internos; propiedades internas de una figura) y establecer una cadenade validaciones.

EJERCICIO 3:ABC es un triángulo rectángulo en A tal que AC=24cm y AB=10cm. Se construyen exteriormentelos triángulos equiláteros ABF y ACR. Calcula área y perímetro de la figura AFBCR.

Comentarios: Exige una construcción elemental. Cálculo (perímetro, área de figuras) apelandoa” hechos” (Pitágoras)

103



EJERCICIO 4:a )a )a )a )a )Una agencia propone un viaje a todos los empleados de una determinadaempresa. Inicialmente interesa el viaje a una tercera parte del grupo. Cuandose concreta el precio, se retira el 60 % de los que pensaban ir. Por causas diversas,una semana antes se retira 1/6 de los que quedaban. Si al final van 20 perso-nas al viaje. ¿Cuántos empleados hay en dicha empresa? ¿Cuál es la fraccióny el porcentaje del total de empleados que va al viaje?

Comentarios: “hechos” (porcentajes, fracciones) en un contexto cotidiano; “técnicas” ;dependiendo de la forma de resolución puede o no implicar acciones del nivel de análisis deDe Lange.Posibles estrategias de resolución:

(i) Una ecuación de primer grado:(ii) fracciones como operador;(iii) retrocediendo a partir de 20;(iv) método gráfico:

El rectángulo de mayor superficie representa al número total que integra el grupo, del cual,1/3 en principio decide ir al viaje (parte en blanco).En cada uno de los diagramas siguientes, la parte coloreada representa a las personas queno van al viaje.

Este rectángulo es la 3ª parte del grupoY un 60% se retira, o sea 3/5 de éstos.

Por último se retira 1/6 de los que iban.

Como se sabe que finalmente van 20 personas al viaje, éstas deben repartirse equitativamenteen los cinco “rectangulitos” blancos que representa al grupo que viaja.

x3

.0,4. =20; x=18056




Entonces se reparte 20 en 5 obteniendo:

15 “rectangulitos” representan1/3 del total, o sea, 15x4=60 personas

Y luego,

60x3=180 personas integran el grupo total.

b )b )b )b )b ) Determina las posibles cifras XXXXX e YYYYY para que el número 5XXXXX29Y Y Y Y Y sea divisibleentre 11 y entre 4 a la vez. Justifica tus respuestas.

Comentarios:”hechos” (SND; condiciones de divisibilidad); “técnicas” (resolución de un sistemaelemental de ecuaciones en dos variables). ¿Es posible proponerlo en 1er año de Ciclo Básicode Enseñanza Media?

En resumen: “hechos, algoritmos y técnicas, redes conceptuales”. Desafíos de validación queapelan al dominio de estructuras conceptuales abarcativas de propiedades básicas de laGeometría euclidiana. Una propuesta con gran peso del nivel de reproducción y ciertaapelación al nivel de análisis de De Lange.Es una propuesta adecuada en extensión.

III.2.2. Examen de Matemática 2º año – 30 de noviembre de 2006III.2.2. Examen de Matemática 2º año – 30 de noviembre de 2006III.2.2. Examen de Matemática 2º año – 30 de noviembre de 2006III.2.2. Examen de Matemática 2º año – 30 de noviembre de 2006III.2.2. Examen de Matemática 2º año – 30 de noviembre de 2006

EJERCICIO 1:ABCDEFGH es un prisma recto de base rectangular, AB=4cm, BC=3cm y AE=AC

a )a )a )a )a ) Representa la figura BCDH en perspectiva, clasifícala y calcula su volumen.b )b )b )b )b ) Calcula el área del triángulo BCH e indica la naturaleza del mismo.c )c )c )c )c ) Realiza el desarrollo plano de la figura BCDH en verdadera magnitud.

Comentarios: La parte a) implica “hechos” y redes conceptuales (reconocimiento y clasificaciónde un tetraedro) y visualización básica espacial. La parte b) apela a “hechos” (propiedadesbásicas de geometría del espacio; teorema de Pitágoras), “estructuras conceptuales”involucradas en el proceso de clasificación. La parte c) el dominio de una” técnica” (desarrollode figuras) y competencias de visualización.

E

H G

F

A B

CD

105



EJERCICIO 2:a )a )a )a )a )Demuestra que el natural N=aba-bab es siempre múltiplo de un númeronatural que se determinará, con a>b y no nulos.b )b )b )b )b )Las calificaciones obtenidas en Biología por ocho alumnos han sido:10, 6, 7, 4, 5, 8, 2, 8. Calcula media, moda y mediana. ¿Cuál parámetro esel más representativo? ¿y el menos representativo? Justifica tus respuestas.

Comentarios: La parte a)implica “hechos”: el conocimiento del SND, el manejo de la propiedaddistributiva y divisibilidad, así como competencias de validación de afirmaciones. La parteb) apela al manejo de “hechos” (medidas de tendencia central) en un contexto familiar,provocando una reflexión crítica respecto al significado de los valores hallados.

EJERCICIO 3:Sea P P P P P un pentágono regular.

a )a )a )a )a )¿Cuántos triángulos se pueden formar con los vértices de PPPPP?b )b )b )b )b )¿Cuántos triángulos de los anteriores tienen al punto Acomo vértice?

Nombra cuales son dichos triángulos

Escribe los procedimientos, planteos, diagramas, etc. queconsideraste en cada caso.

Comentarios: Ambas partes constituyen un problema de conteo en contexto geométrico. De laespecificación de los procedimientos puede evidenciarse la calidad de los razonamientos.Se considera que si bien la consigna es muy abierta seguramente los alumnos se limitarán aconsiderar los triángulos cuyos tres vértices son vértices del pentágono.

En resumen: la propuesta exige “hechos, algoritmos y técnicas, redes conceptuales,visualización espacial”. Desafíos de validación que apelan al dominio de estructurasconceptuales de geometría del plano y el espacio, conteo y propiedades del cálculo aritmético,estadística descriptiva. Una propuesta que combina los tres niveles de De Lange, conpredominancia del nivel de reproducción.Propuesta adecuada en extensión y abarcativa de varios tópicos del programa.

II.3. PII.3. PII.3. PII.3. PII.3. Propuestas del I. Fropuestas del I. Fropuestas del I. Fropuestas del I. Fropuestas del I. F. D. D. D. D. D. de San R. de San R. de San R. de San R. de San Ramónamónamónamónamón

II.3.1. Examen de Matemática 1er año - 9 de noviembre de 2006II.3.1. Examen de Matemática 1er año - 9 de noviembre de 2006II.3.1. Examen de Matemática 1er año - 9 de noviembre de 2006II.3.1. Examen de Matemática 1er año - 9 de noviembre de 2006II.3.1. Examen de Matemática 1er año - 9 de noviembre de 2006

PROBLEMA I:a )a )a )a )a )Traza T(ABC) sabiendo que: AB = 8 cm, MA punto medio de [B,C], el ánguloMB MA C= 60º y el lado BC = 12 cm. Justifica la construcción.

Comentarios: Requiere el manejo de “hechos” elementales en el análisis de una figura apartir de ciertos datos, y establecer un “algoritmo” elemental de construcción.

b )b )b )b )b )¿Qué puedes decir de los triángulos T(ABC) y T(MB MA C)?c )c )c )c )c )Determina el vértice D del paralelogramo ABCD. Justifica.

Comentarios: los puntos b) y c) apelan a “estructuras conceptuales” (semejanza, definición deparalelogramo).

d )d )d )d )d )Construir otro triángulo T(PQR) igual (congruente) con el T(ABC).

A

B

CD

E




Comentarios: implica, nuevamente, una acción elemental del nivel de reproducción (porejemplo: criterio LLL de igualdad de triángulos)

1) Construye la circunferencia circunscripta al T(PQR).2) Construye el incentro I del T(PQR)3) Construye el baricentro G del T(PQR).

Comentarios: Requiere el manejo de “hechos” elementales básicos.

En resumen: Esencialmente se sitúa en el nivel de reproducción de De Lange, sin dificultadesmayores.

PROBLEMA II:

II.1.Calcular en Q:

a) 11 – (18 – 24) – (28 – 20) – 5×7 + 18:12 =

b) 2 63 2× =

c)4 6 3

2 7 2

3 5 7 0,63 5 7

× × − =× ×

Comentarios: Nivel de reproducción de De Lange. “Hechos y técnicas” básicas que debenincorporarse en el primer ciclo de Educación Media. ¿Es apropiada su inclusión explícita enuna propuesta de examen final?

II.2. En la recta numérica, tomando como 1 cm el intervalo [0,1] representarlos números obtenidos en la parte II.1.

Comentarios: Se considera que es una propuesta apropiada para la evaluación de estosaspectos durante el curso.

II.3. Expresar en la forma m/n el siguiente cálculo: 2/3 – 0,35

Comentarios: Dominio de una “técnica”. Nivel de reproducción de De Lange.

PROBLEMA III:Un insecticida se vende en latas de 1 litro y se prepara en la proporción que indica elsiguiente cuadro

Litros de insecticida 1 3 20 40

Un insecticida se vende 4 20

107



i) Completa la tablaii) Determina la constante de proporcionalidadiii) Anticipa qué tipo de gráfico se obtendrá tomando en el eje de las xxxxx lacantidad de insecticida en litros y en el eje de la yyyyy la preparación para utilizaren litros.

Comentarios: manejo de “hechos” y “redes conceptuales”.

PROBLEMA IV:Analiza el cuadro siguiente que relaciona la variación de la Presión P y el volumen V de uncierto gas a temperatura constante, y responde a las siguientes preguntas:

Presión P 1 2 2,5 4 10

Volumen V 50 25 20 12,5 5

a)¿Se trata de una función de proporcionalidad? Justificab)Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, ¿cuál es la constante?c) Esboza el gráfico correspondiente, representando la presión en el eje de la x

Comentarios: manejo de “hechos” y “redes conceptuales”.

PROBLEMA V:a)Si 38 = 9*q + r dar una pareja (q,r) que verifique la igualdad, en los siguientescasos: i) que se corresponda con la definición de división entera; ii) que no secorresponda.b)Sean aa y bb dos números dados en el Sistema de Numeración Decimal. Seefectúa la multiplicación de los números aa y bb: i) ¿(aa)*(bb) es múltiplo de11? Justifique; ii) Especifique las condiciones de los dígitos a y b para que elnúmero (aa)*(bb) sea múltiplo de 3.

Comentarios: manejo de “hechos”, “técnicas” y “redes conceptuales”. Apela al nivel dereproducción pero implica una acción heurística y de validación, situándose en el nivel deanálisis de De lange. La parte a) ¿es posible proponerla en 1er año del Ciclo Básico deEnseñanza Media?

En resumen: Una propuesta que combina acciones en el nivel de reproducción de De Lange,sin dificultades mayores, apelando a “hechos, técnicas” y a “estructuras conceptuales”incursionando en desafíos que alcanzan al nivel de análisis de De Lange.¿Tiene sentido proponer el ejercicio III y IV? O ¿alcanzaría con proponer uno de ellos? ¿Nosería pertinente una pregunta más reflexiva que complete uno de ellos?

Observación: El puntaje (12 ) se obtiene realizando correctamente 4 de los 5 problemaspropuestos.

III.3.2. Examen de Matemática 2° año - noviembre de 2006III.3.2. Examen de Matemática 2° año - noviembre de 2006III.3.2. Examen de Matemática 2° año - noviembre de 2006III.3.2. Examen de Matemática 2° año - noviembre de 2006III.3.2. Examen de Matemática 2° año - noviembre de 2006

PROBLEMA IEn un plano se considera un triángulo T(ABC) rectángulo en A, con un cateto [A,B] de 5cm, que mide la mitad de la hipotenusa [B,C]. Se considera la recta a perpendicular alplano en el punto A.

a)Determinar en uno de los semiplanos determinados por α un punto D a talque el tetraedro (ABCD) tenga un volumen de 75 cm3.

∈∈∈∈∈

ααααα

ααααα




Comentarios: exige “hechos y técnicas”(Relación de Pitágoras, cálculo de volumen de untetraedro) y dominio de visualización espacial.

b)Sea H el pie de la perpendicular desde el punto A al segmento [BC]: i) ¿Quépuede decir de las rectas AD y BC? Justifique su respuesta; ¿Cómo son lasrectas DH y BC? Justifique su respuesta.

Comentarios: apunta a “hechos” y “estructuras conceptuales”(análisis de situación relativade rectas en el espacio), un dominio de visualización espacial y un proceso de validación.

c) Desarrollo en verdadera magnitud del tetraedro (ABCD).

Comentarios: exige “técnicas”(desarrollo de un tetraedro en verdadera magnitud) que requierenun dominio de visualización espacial.

En resumen: Un problema que involucra “hechos, técnicas, estructuras conceptuales”, procesosde validación, visualización espacial. Abarca los niveles de reproducción y análisis de DeLange.

PROBLEMA II:Se considera un cono generado por la rotación de un triángulo rectángulo T(AOB) de ángulorecto en O, ángulo OAB = 30ooooo y AO de 8 cm de longitud.

a)Representar el cono en perspectiva.b)Calcular el volumen del cono.

Comentarios: Un dominio de “hechos, técnicas, cálculo y estructuras conceptuales elementales”.

Problema IIILa descomposición factorial de un número t es: t =2xxxxx.5yyyyy.11zzzzz.17wwwww

Sabemos que 0 x 3 ; 0 y 4; 0 z 2; 0 w 2a)¿Cuántos números t distintos es posible escribir?b)¿Cuántos de estos son impares?

Comentarios: un problema de conteo en un contexto matemático. Involucra los tres niveles deDe Lange, con un grado de dificultad básico.

c) Si se tira un dado (números del 1 al 6) cuatro veces en forma sucesiva paradeterminar los valores de x, y, z, w: ¿Cuál es la probabilidad de obtener unnúmero de los t?

Comentarios: Un problema de conteo y probabilidad en contexto matemático.

PROBLEMA IVSe lanzan dos dados, uno rojo y uno azul:

a)Describir el espacio muestralb)Dar un ejemplo de suceso Ac) Calcular la Pb (A)

Comentarios: Las partes a, b, c procuran la puesta en acción de las definiciones básicas deprobabilidad, “hechos”.

d)Halla la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga:

<<<<< <<<<< <<<<< <<<<< <<<<< <<<<< <<<<< <<<<<

Ω

109



i) El suceso B: en el primero un número par y en el segundo un número impar.ii) El suceso C: dos números de la misma paridad (sugerencia: observar elespacio muestral).iii)Una suma de puntos igual a 11.

En resumen: El problema en su conjunto es una propuesta básica posible de proponerse enun curso de 3er año del Ciclo Básico de Enseñanza Secundaria.

PROBLEMA VSe han observado 180 enfermos de la piel tratados con un nuevo antibiótico y otros 180enfermos no tratados. Anotadas las curaciones al cabo de dos semanas, los resultados hansido:

TRATADOS NO TRATADOS TOTAL CURADOS 160 60 NO CURADOS 20 120 TOTAL

Si se emplean esos datos para asignar probabilidades:

a)¿Qué probabilidad existe de que un enfermo curado haya sido tratado?b)¿Qué probabilidad existe de que un enfermo curado no haya sido tratado?c) Si tuviera dicha enfermedad de piel: ¿se trataría? Justifique.

Comentarios: Un problema de probabilidad condicional resuelto por identificación en la tabladel espacio muestral en cada caso; apela en la parte c) a una reflexión respecto a los númerosobtenidos.

En resumen: Se involucran “hechos, técnicas, estructuras conceptuales”, procesos de reflexióny validación, abarcando en la propuesta los tres niveles de De Lange, con grados básicos dedificultad.Se considera que la propuesta es muy extensa.

Observación: El puntaje (12 ) se obtiene realizando correctamente 4 de los 5 problemaspropuestos.

IV) Reflexión sobre contenidos evaluados y nivelesindagados (De Lange; Mogen Niss; Cockcroft). En qué grado se

supera el Ciclo Básico y la Enseñanza Media.

IVIVIVIVIV.1. Los contenidos y competencias evaluados, su grado de dificultad.1. Los contenidos y competencias evaluados, su grado de dificultad.1. Los contenidos y competencias evaluados, su grado de dificultad.1. Los contenidos y competencias evaluados, su grado de dificultad.1. Los contenidos y competencias evaluados, su grado de dificultadEl análisis realizado nos indica que en las propuestas de examen, se registran pocos problemasen contexto no matemático, que predomina el nivel de reproducción de De Lange, y que laapelación a problemas o situaciones que exijan el nivel de análisis de De Lange no ocupa ellugar y el peso relativo deseable. Es probable que el momento oral del examen habilite apreguntas, situaciones, problemas que requieran un mayor nivel de reflexión del alumno. Sibien se reconoce el valor de las instancias orales para la formación y experiencia de unfuturo maestro, se debe tener en cuenta que, en muchos casos, es la primera vez que elestudiante magisterial enfrenta esta situación lo que podría condicionar esta prueba.




Los docentes que asumimos estos cursos, conjuntamente con el resto de los colegas de cadaInstituto propusimos los exámenes analizados. Sin embargo no estamos conformes ( dejandode lado los magros porcentajes de aprobación) con estas propuestas. Sin perjuicio de todolo expresado en nuestro análisis, observamos que de acuerdo a los cursos desarrollados, nose encuentran espacios para propuestas muy distintas.

Esta constatación nos conduce a dos reflexiones, que pueden situarse en los términos de lapresentación del presente trabajo:

1.Existen condiciones estructurales de los Institutos de Formación Docente(organización institucional y académica, grado de formación de sus docentes,condiciones de ingreso de sus alumnos, plan de estudio y su incidencia en lapráctica de los alumnos) que constriñe a sus docentes de Matemática adesarrollar ciertos tipos de curso y culminar expresando en estas propuestas deexamen sus objetivos reales para el curso.

2.El examen - que debe implicar otra profundidad de contenidos y decompetencias en juego – no sería el lugar más propicio para poner en juegolos ítems d, e, f y g que caracterizan la actividad matemática y que debenmanifestarse naturalmente a lo largo del curso. ¿Pero esta es la realidad en losdistintos cursos en la formación inicial de los futuros maestros? Corresponderíala realización de un trabajo de reflexión en torno a los orales (segunda partedel examen). ¿Es posible pensar en un proceso de preguntas que apunten aponer en juego competencias permitiendo así su evaluación?

IVIVIVIVIV. 2. La evaluación en el curso. Necesidad de otra mirada respecto a los. 2. La evaluación en el curso. Necesidad de otra mirada respecto a los. 2. La evaluación en el curso. Necesidad de otra mirada respecto a los. 2. La evaluación en el curso. Necesidad de otra mirada respecto a los. 2. La evaluación en el curso. Necesidad de otra mirada respecto a loscontenidos y competencias a desarrollarcontenidos y competencias a desarrollarcontenidos y competencias a desarrollarcontenidos y competencias a desarrollarcontenidos y competencias a desarrollar.....El soporte de análisis consultado a partir del Informe Cockroft, de Mogen Niss y De Lange,organizador de nuestra reflexión en torno a la evaluación, refiere en general a la evaluaciónen Matemática más allá del nivel – en nuestro caso la formación inicial de maestros – y lamodalidad, el examen final de curso.

No obstante, nuestra reflexión apunta a propiciar el tratamiento de contenidos ycompetencias apropiadas para la formación en Matemática de un futuro maestrodesarrollando un trabajo matemático en el aula que no quede confinado a los ítemsa, b y c presentados por Mogen Niss o al nivel de reproducción de la pirámide deevaluación de De Lange.

Contenidos y competenciasEn varias ocasiones formulamos la pregunta en el sentido de si la propuesta no podía habersido formulada en un curso de Ciclo Básico en Enseñanza Media. Es momento de precisar elsentido de la misma. En la educación matemática de un futuro maestro importan loscontenidos, las competencias conquistadas y la capacidad de desarrollar una mirada detercer nivel de las matemáticas desarrolladas en la escuela y en la Enseñanza Media. Unproblema formulado en un examen a nivel del Magisterio puede ocurrir que también seapropuesto en el Ciclo Básico de Enseñanza Media. El punto a focalizar es el siguiente: losmétodos de abordaje, la reflexión y formas de resolución, las competencias movilizadas y ladiscusión del mismo debe asumir exigencias acordes al nivel terciario. Entonces la preguntaes clara: ¿qué se pretendía, cuáles eran las exigencias en la instancia de corrección?Formulemos un ejemplo: analicemos la propuesta extraída de un examen de Paysandú,Ejercicio 4, parte b): Determina las posibles cifras XXXXX e YYYYY para que el número 5XXXXX29Y Y Y Y Y seadivisible entre 11 y entre 4 a la vez. Justifica tus respuestas. Sin duda esto puede ser propuestoen el Ciclo Básico y también en 2do año de Bachillerato. Lo que importa entonces son los

111



conocimientos y competencias puestas en juego en su resolución: pueden ir desde un tanteoordenado a la apelación a propiedades y conceptos básicos de divisibilidad.

En el marco de este trabajo no es posible abordar el tema – contenidos y competencias - entoda su complejidad y dimensión. Pero es posible aportar algunas ideas básicas que ofrezcanun punto de partida para la discusión.

A) Estadística Descriptiva:A) Estadística Descriptiva:A) Estadística Descriptiva:A) Estadística Descriptiva:A) Estadística Descriptiva:No parece estar en discusión la inclusión del tema en la formación inicial demaestros. No obstante, en algunos cursos en que se trata, no se supera un nivelde reproducción de las técnicas de cálculo de las medidas de tendencia cen-tral y tal vez de la desviación típica. Se convierte en una “gimnasia” más omenos “vestida” – y esto es preferible al cálculo por el cálculo - en un contextopoblacional familiar. Pero la inferencia estadística y la toma de decisiones conlos datos organizados, no están presentes. No se supera el nivel de reproducción.Somos conscientes que algunas de estas pretensiones que consideramosineludibles no son viables en las condiciones actuales.

B) Probabilidad y conteo:B) Probabilidad y conteo:B) Probabilidad y conteo:B) Probabilidad y conteo:B) Probabilidad y conteo:Consideramos, sin lugar a duda, que es un tema básico en el pensamientocontemporáneo. Sin embargo, por tradición cultural, es un escollo para lamayoría de los docentes en nuestro país. Tiene vínculos importantes con eltema anterior.Implica contar en forma sistemática una colección de objetos (que no faltecontar un objeto y que ninguno haya sido contado dos veces o más), esfuerzosde conteo en generalizaciones (castillos de naipes: cuántos naipes requiere elpiso n) y conteo utilizando las reglas de la suma y el producto (sean A y B dosconjuntos disjuntos respectivamente de cardinales a y b, el cardinal de la sumaes (a+ b) y el del producto (a. b)). Estos son recursos que es necesario procesary conquistar para abordar la combinatoria necesaria en Enseñanza Media yen los IFD. Con estos recursos y con la Ley de Laplace es posible encarar laprobabilidad clásica y sus aplicaciones. Este planteo conduce naturalmente alcálculo, al manejo de porcentajes, de números racionales, de estimación. Todoesto conlleva a otorgarle significado a la información que nos aporta unnúmero.

C) Geometría plana y del espacio:C) Geometría plana y del espacio:C) Geometría plana y del espacio:C) Geometría plana y del espacio:C) Geometría plana y del espacio:Por supuesto que no es un objetivo su presentación axiomática, aunque sí unainformación histórica que evidencie los desafíos que durante más de 2000años constituyó el V postulado de Euclides y la revolución del siglo XIX con lasGeometría no Euclidianas.Cabe preguntar ¿qué es la Geometría hoy?El estudio de la forma y de las figuras geométricas básicas es un material for-midable para el trabajo en la escuela. Otorga oportunidades al desarrollo decompetencias (visualizar, construir, clasificar, ordenar, abordar y resolverproblemas), la apropiación de “ hechos” y “estructuras conceptuales”, eldesarrollo del pensamiento heurístico y el pensamiento deductivo, laformulación de conjeturas y su validación. Favorece una práctica matemáticaque involucra varios ítems (del a al g) de Mogen Niss.

D) Los números y el cálculo:D) Los números y el cálculo:D) Los números y el cálculo:D) Los números y el cálculo:D) Los números y el cálculo:En primer lugar, no interesa en absoluto la organización axiomática ni laconstrucción genética del conjunto de los números reales. Lo que importa es




que el futuro maestro conquiste el sentido del número. Interesa la familiaridadcon los números reales que son los números del universo cotidiano; que puedacalcular; que desarrolle competencias en el cálculo mental, escrito y con lacalculadora, y la comprensión del significado del redondeo y de laaproximación; que comprenda que las fracciones decimales, los númerosdecimales finitos constituyen un conjunto denso en el conjunto de los númerosreales, y que por lo tanto aproximo “lo que necesite” con el “error” tolerable alproblema. Las reglas de cálculo y las propiedades son exigencias para elcálculo, en mayor medida que los axiomas o teoremas. La propiedaddistributiva de la multiplicación respecto a la adición, es un axioma sin duda;pero lo que interesa es que la necesito, que es útil al cálculo. Conquistar esanecesidad es lo fundamental. Es posible proponer problemas significativos que“lateralmente” nos familiarizan con esta propiedad.¿Cómo se escribe un número? Apropiarse del Sistema de Numeración Deci-mal (SND) y comprender que la base puede ser 10, 2 u otra. Las nociones dedivisibilidad y múltiplo tienen su propio valor en el campo de la Matemática yde necesidad, en problemas de diversos contextos.

Lo desarrollado en torno a estos 4 grandes temas exige:1.una actitud y un hacer matemática por parte del profesor;2.mayor tiempo de aula, análisis y reflexión exigente;3.estudio extra aula por parte del estudiante.

La evaluaciónLa evaluación es inherente al curso y a su planificación. En consecuencia, hay contenidos ycompetencias que luego de la evaluación diagnóstica deben evaluarse exclusivamente du-rante el curso y la obtención de resultados mínimos aceptables debería ser la condiciónpara poder presentarse a examen.

Las operaciones combinadas, la construcción de un arco capaz (si es que interesa) o de lamediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo, el desarrollo del binomio, el cálculode un promedio, la descomposición de un número en factores primos, para poner algunosejemplos, no deberían ser asuntos de un examen, aunque puedan constituir “hechos” o“técnicas” que el alumno deberá poner en marcha para encarar un desafío de otro orden ymagnitud al abordar un problema de examen.

El profesor dispone de distintos recursos (orales, trabajos escritos, intervenciones en un de-bate o análisis de una situación problemática o teórica, monografías14) para evaluar y conocerel proceso que realiza el alumno, sus dificultades y sus fortalezas. Estas situaciones en lamedida en que la Matemática que se procura hacer en el curso involucra diversos ítems (dela al g) de Mogen Niss, permitirá una evaluación en consecuencia en circunstancias menostensas, con menos ansiedad que el examen de hoy en día. Seguramente, permitirá formularotro tipo de propuesta de examen final y fundamentalmente implicará el desarrollo decursos muy diferentes a los actuales.

V) PV) PV) PV) PV) Para abrir una discusiónara abrir una discusiónara abrir una discusiónara abrir una discusiónara abrir una discusiónComo lo hemos expuesto en el presente trabajo, factores diversos en su naturaleza ygravitación condicionan la calidad y pertinencia de la formación matemática15 que se ofrecea los futuros maestros. Por supuesto que los caminos de superación requieren soluciones de

14 Las monografías tienen valor si no se reducen a la copia de párrafos y definiciones de artículos o libros. Deben de concebirsede modo que exista un trabajo reflexivo y de producción por parte del estudiante.

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fondo y de largo plazo, que no se abordan en nuestro trabajo. Aclarado lo anterior, nospermitimos poner a discusión, además del trabajo en si mismo, algunas propuestas conposibilidades de aplicación en el corto plazo:

· Examen de ingreso no eliminatorio que conduzca o bien a un curso “0” o biena clases de apoyo obligatorias16

· Dos escritos obligatorios nacionales (por ejemplo: mayo y setiembre), quepropicien una homogeneidad básica en los cursos de todo el país. Estos escritos,obligatorios, no tendrían ningún peso especial, más allá de la importanciaque el profesor le asigna a un escrito y la nota que asienta en el libro delprofesor.17

· Discusión en las Salas de Matemática del enfoque de los cursos, la priorizaciónde contenidos, las formas de evaluación, etc.

Abril 2007

15 La naturaleza y gravedad del problema trasciende a la enseñanza de la Matemática en la Formación Inicial de Maestros,abarcando al conjunto de la formación. La superación de esta realidad angustiante, es un asunto de largo plazo (una décadaal menos). No existen soluciones milagrosas. Son procesos a desarrollar con intencionalidad y esfuerzo colectivo apelando adiversas instituciones y el compromiso de la sociedad.

16 Somos conscientes de las dificultades de ingeniería horaria que esta propuesta implica.17 Esta propuesta no implica ninguna modificación al Reglamento de Evaluación y Pasaje de Grado. El PMEM podría colaborar en

la elaboración de las condiciones e instrumentos para poner en marcha una iniciativa de este tipo en acuerdo con losformadores de los Institutos de Formación Inicial de Maestros.

cuaderno iii

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