cuaderno actividades rostro humano

El rostro humano de las matemticas

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Las actividades que se proponen han sido elaboradas por el profesorado participante en la actividad El rostro humano de la matemticas que se desarroll en el Centro de Profesorado de Sevilla de enero a mayo de 2010. Este profesorado es:

Ponente: .- D. Jos Muoz Santonja

Asistentes: .- D. Diego Cabrera Ramrez .- Da. Corona Garca Agudo .- Da. Lourdes Holgado Cuenca .- Da. Mara Estbaliz de Miguel Riz .- Da. Laura Olas lvarez .- Da. Mara del Carmen Rosa Hernndez .- Da. Beln Torres Vallejos

Coordinador: .- D. Mariano Real Prez.

INTRODUCCIN.

Este cuadernillo tiene la pretensin de ofrecer una serie de actividades para que el profesorado pueda sacar rendimiento didctico a la exposicin El Rostro Humano de las Matemticas. Contiene el material elaborado entre el ponente y los asistentes a la parte presencial del curso del mismo nombre convocado por el Centro del Profesorado de Sevilla.

Este material est estructurado de la siguiente forma. Para cada uno de los matemticos y matemticas presentes en la exposicin, al menos aquellos que nos ha dado tiempo, hemos creado tres tipos de actividades:

1) Preguntas sobre el panel. Se compone de una serie de preguntas para contestar con la informacin que aparece en el panel. Sera una especie de cuestionario para rellenar mientras se visita la exposicin. El principal objetivo es desarrollar la competencia lingstica del alumnado, de forma que tengan que leer atentamente la informacin, sean capaces de entenderla y despus se expresen por escrito de forma adecuada respondiendo a las cuestiones planteadas.

2) Ampliacin de la informacin del panel. Las preguntas anteriores se amplan con otras sobre la vida y obra de la persona en concreto, o bien de otras personas importantes en la historia y que tuvieron


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relacin con el matemtico o matemtica concreto, pero no aparecen en otro panel de la exposicin. Todo lo que aparece puede ser encontrado en Internet, algunas son ms evidentes y otras un poco ms rebuscadas. Aparte de desarrollar la competencia digital y de tratamiento de informacin, se pretende potenciar la de autonoma e iniciativa personal y la de aprender a aprender.

3) Actividades complementarias. Esta ltima parte incluye actividades ms matemticas para realizar en el aula. En cierta forma son actividades de las mismas que realizamos normalmente en clase, pero en este caso justificadas histricamente por la persona sobre la que trabajamos. Suelen ser aspectos matemticos trabajados por la propia persona en s, o por matemticos relacionados con ellas, por ser coetneos, porque la persona que nos ocupa ha trabajado sobre el trabajo de esos matemticos, o por pertenecer a las reas de trabajo de quin est representado en el panel.

Esta ltima parte ha sido la ms complicada de realizar pues hay personas de las que no se guardan ejemplos concretos de su trabajo y hemos pretendido cubrirla como hemos podido, por ejemplo, al no guardarse ninguna muestra del trabajo de Hipatia, pero al saber que realiz comentarios sobre la Aritmtica de Diofanto, hemos aadido algunos problemas tomados de esta publicacin. En otros casos, especialmente a partir del siglo XVII y XVIII nos hemos encontrado con que la matemtica desarrollada por nuestros personajes sobrepasa ampliamente el nivel de conocimientos en que nos estamos moviendo. Por eso habr algunos personajes en los que no aparecer esta parte.

En general, las preguntas que amplan a las propias del panel las hemos tomado de Internet o de algunos textos biogrficos sobre los personajes de la exposicin, en especial de la coleccin Las matemticas en sus personajes de la Editorial Nivola.

Dado que hemos trabajado poca gente durante poco tiempo, no ha sido posible realizar un estudio exhaustivo de los 31 personajes de la exposicin, por eso hemos desarrollado aquellos que hemos tenido oportunidad, quedando la ampliacin de actividades y el cubrir los huecos para cuando se vuelva a realizar el curso en aos prximos.

Una ltima cosa que queramos que quedara clara es que este cuadernillo es un banco de actividades para que el profesor seleccione. No est pensado para fotocopiar directamente y llevarlo tal cual a clase sino para que el profesor que desee utilizarlo haga una labor de seleccin escogiendo las preguntas que les parezcan ms interesantes para el tipo de alumnado que tenga. Las actividades de la tercera parte las hemos dividido, cuando ha estado claro, en tres partes: 1er ciclo de ESO, 2 ciclo de ESO y Bachillerato. Eso no quiere decir que no haya actividades que puedan realizarse en Primaria o que alguna de esas actividades no puedan cambiar de nivel, segn el alumnado que las trabaje.

Esperamos que sepis perdonar los posibles errores, que los habr, y que os sea un material de utilidad para sacarle mucho ms rendimiento a la exposicin y para desarrollar aspectos histricos y, en algunos momentos, culturales y artsticos en vuestras aulas.

Jos Muoz Santonja


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INDICE.

PERSONAJE Pgina Pitgoras 5 Euclides 9 Arqumedes 12 Apolonio 14 Hipatia 17 Al-Khowarizmi 21 Fibonacci (Leonardo de Pisa) 26 Tartaglia (Nicolo Fontana) 31 Gernimo Cardano 36 Ren Descartes 38 Pierre de Fermat 43 Isaac Newton 46 Gottfried Wilhelm Leibniz 48 Madame de Chatelet 51 Leonard Euler 52 Joseph Louis Lagrange 56 Sophie Germain 62 Carl Friedrich Gauss 65 Evariste Galois 70 Sonia Kovalevskaya 71 David Hilbert 73 Emmy Noether 76 Julio Rey Pastor 78 Pedro Puig Adam 84


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PITGORAS

Busca el panel del matemtico ms conocido de la historia de la matemtica y responde a las siguientes preguntas:

Pitgoras acuo los trminos Filosofa y Matemtica, indica como las defini.

Toda su filosofa la resuma en una famosa frase, cul?

Cul es su Teorema ms famoso? Escribe su enunciado.

Aparte de las Matemticas, qu otras materias estudi?

Qu descubri de forma emprica? En qu siglos vivi? Qu resultados se le atribuyen en Geometra? A qu otro matemtico, tambin presente en la exposicin, se hace referencia en

este panel? Segn el panel, Pitgoras es el principal responsable del origen en Grecia, de

qu?

INVESTIGACIN:

En qu ciudad naci Pitgoras? A qu regin perteneca dicha ciudad? Como se llamaba su escuela ms famosa? Busca el nombre de varios matemticos que pertenecieron a su escuela. Quin fue Teano? Que relacin guard con Pitgoras? Los pitagricos estudiaron los nmeros perfectos, define dichos nmeros e indica

alguno de ellos. Cul era el smbolo de los pitagricos? Que es la tetractus o tetractis? Por qu tuvo que huir Pitgoras de Samos? Que afirmaban los pitagricos sobre la estructura del Universo? Pitgoras crea en la transmigracin de las almas, en que consiste? Dibuja o localiza un mapa donde aparezcan las ciudades ms famosas donde vivi

o estuvo Pitgoras.


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ACTIVIDADES EXTRAS:

Se llama terna pitagrica a un tro de nmeros a, b y c que verifican a2+b2=c2.

1er ciclo de ESO:

De las siguientes ternas indica cules son pitagricos: a) 3, 4 y 5 ; b) 1, 2 y 3 ; c) 5, 12 y 13.

Comprueba que todas las ternas de la forma 3x, 4x y 5x donde x es un nmero cualquiera son Pitagricas.

Utilizando el resultado anterior indica cunto miden los catetos de un tringulo rectngulo cuya hipotenusa sea: a) 20 ; b) 125 ; c)12.

Los pitagricos buscaron vidamente el camino para encontrar ternas a, b y c que verifiquen a+b=c. Encontraron una ley de formacin que se puede expresar en la siguiente forma:

m a b c 3 5 7 9

a m= (siendo m impar) ; ( )21 12b m= ; ( )2

1 1

2c m= +

Utiliza la relacin anterior para rellenar la siguiente tabla. Qu relacin observas entre b y c? Comprueba que se verifica que a + b = c.

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Platn encontr otra ley de formacin para las ternas pitagricas. Siendo m un nmero natural, los valores a=2m, b=m-1 y c=m+1.

m a b c 2 3 4

Completa la siguiente tabla. Qu relacin encuentras entre b y c? Comprueba que efectivamente a, b y c forman una terna pitagrica.

5 Busca entre los primeros 30 nmeros naturales los dos primeros nmeros

perfectos (ten presente que un nmero primo nunca puede ser perfecto). Los nmeros figurados eran aquellos que podan representarse, geomtricamente,

dispuestos como polgonos regulares. As los nmeros triangulares es posible expresarlos como tringulos equilteros (el primero se supone que es el 1). Halla los 10 primeros nmeros triangulares. Fjate en la ley de formacin que aparece en el dibujo.


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Pitgoras demostr que es posible encontrar un cuadrado que puede descomponer en suma de dos cuadrados, es decir, a=b+c. Este resultado se puede generalizar. Busca un cuadrado que pueda descomponerse en suma de tres cuadrados. Es decir, encuentra cuatro nmeros a, b, c y d que verifiquen a=b+c+d.

2 ciclo de ESO:

Los pitagricos encontraron que los nmeros de la forma

a m= (siendo m impar) ; ( )21 12b m= ; ( )2

1 1

2c m= +

forman ternas pitagricas, es decir, verifican a+b=c. Comprueba que es cierto. Halla el valor de c-b. Que relacin hay, por tanto, entre b y c? Repite las dos actividades anteriores para la ley de formacin encontrada por

Platn. Calcula la altura de un tringulo equiltero de lado 3 cm. Pitgoras descubri la frmula con la que se obtiene la medida del ngulo interior

de un polgono regular de n lados, que viene dada por ( 2)180n

n

. Utilizando ese

resultado resuelve las siguientes cuestiones: Qu polgono regular tiene como ngulo interior? a) 144 ; b) 162 ; c) 180 Calcula el rea de un pentgono regular inscrito en una circunferencia de radio

15 cm. Uno de los tpicos pitagricos ms fascinantes y que

ms influencia ha tenido sobre el arte, la msica, la biologa e incluso la magia ha sido la razn aurea. Su

valor es 1 52

+= La podemos encontrar en el pentgono, el smbolo de la escuela pitagrica. Comprueba, midiendo sobre el pentgono, que ACAF

=.

La divina proporcin (otro nombre de la razn aurea) en su forma de rectngulo de oro se aplica en la actualidad al diseo de elementos u uso comn como las tarjetas o los documentos de identidad. Coge tu DNI, bonobs, folio, tarjeta, etc. y calcula el cociente entre el largo y el ancho de dicho elemento. Comprueba que se acerca al nmero de oro.

La proporcin aurea tambin es muy comn en nuestro cuerpo. Halla la divisin


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entre los siguientes pares de medidas y comprueba cul se acerca ms a la razn aurea:

La altura de una persona y la medida desde su ombligo hasta el suelo. La distancia del hombro a los dedos y del codo a los dedos. La altura de la cadera y la altura de la rodilla. El cociente entre la 1 falange y la 2 o entre la 2 y la 3.

Encuentra una frmula que te d el nmero tringular que ocupa el lugar n. Busca la ley de formacin de los nmeros cuadrangulares. Es decir, los nmeros

figurados que pueden dibujarse como cuadrados. Si sumamos dos nmeros tringulos consecutivos, qu obtenemos?

Bachillerato:

Dibuja un tringulo rectngulo y comprueba que, para cualquier ngulo no recto, se verifica la relacin fundamental de la trigonometra: sen2 + cos2 = 1.

Cul es la longitud mxima que puede tener un listn de madera para que entre en un ascensor de medidas 2,05 x 1,20 metros.

La razn aurea proviene de dividir un segmento en dos partes, de forma que la proporcin entre el segmento original y el lado mayor, sea la misma que entre la divisin mayor y la menor. Plantea esa proporcin a partir de la grfica adjunta y comprueba que se obtiene el nmero aureo.


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EUCLIDES

El griego Euclides escribi el libro de texto de matemticas ms famoso de la historia. Visita su panel y contesta a las siguientes cuestiones:

Como se describe a Euclides en el panel. Entre qu siglos vivi? Su obra principal, los Elementos de Euclides,

qu consideracin reciben?, por qu? De cuntos libros de compone? Qu recoge esa importante recopilacin? Euclides est considerado como una persona

irnica. Cuenta qu ancdotas de su vida ilustran ese pensamiento.

En el panel se citan otros matemticos griegos. Indica cules conoces de tus clases de matemticas y con qu resultados se relacionan.

En el panel se cita la Divina Proporcin, en relacin con qu? El libro VI se dedica a las figuras semejantes, Qu son figuras semejantes? Entre los poliedros regulares que aparecen al final del panel, hay dos imgenes

que estn cambiadas, es decir, dos de los slidos tienen mal sus nombres, indica cules son.

Copia el nombre de los cinco poliedros platnicos e indica sus caractersticas (n de caras y polgonos que forman esas caras).

INVESTIGACIN:

Busca qu significa que dos nmeros o cantidades sean inconmensurables. Investiga qu significa POSTULADOS. Encuentra los 5 postulados de Euclides. A travs de los cuales se fundament toda

la matemtica de sus Elementos. Segn se nos dice en el panel, Euclides recopil los conocimientos de otros

matemticos anteriores a l: Tales, Pitgoras, Hipcrates de Quios, Demcrito, Eudoxo y Teeteto. Busca las fechas aproximadas en que vivieron y crea una lnea de tiempo ordenando a dichos matemticos.

Localiza que se conoce como divina proporcin. Con qu otros nombres se hace referencia al mismo elemento?

Quin fue Leonardo Da Vinci? Qu relacin tuvo con las matemticas?


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Quin fue Luca Paccioli? Los poliedros platnicos que aparecen en el panel son los nicos que pueden

formarse, en cada caso, con un solo polgono regular. A partir de ellos produciendo cortes en los vrtices o uniendo distintos polgonos regulares se pueden obtener los poliedros arquimedianos. Haz una pequea investigacin sobre ellos buscando que tipo de poliedro son y cuntos hay. Elige tres de ellos para los que debes escribir su nombre indicar de qu tipo de polgonos se compone y de donde provienen, en el caso de que provengan de uno regular al que se le han producido cortes.

ACTIVIDADES EXTRAS:

1er ciclo de ESO:

En los libros XI y XII se estudia la geometra de slidos. En concreto rea y volmenes como el rea del crculo. Indica cul es el rea de un crculo y el volumen de una esfera en funcin del radio.

Euclides defina el rea del crculo como la semicircunferencia multiplicada por el radio. Es correcta esa definicin?

Dentro de los teoremas que componen Los Elementos, se encuentran muchos de los que se estudian actualmente en la escuela. Por ejemplo, que la suma de los ngulos interiores de un tringulo vale 180. Haz una tabla con los polgonos desde 3 a 8 lados y escribe la suma de los ngulos interiores de cada uno de ellos.

Si los polgonos anteriores fuesen regulares, es decir, todos sus ngulos interiores valiesen lo mismo, cunto valdra el ngulo interior de cada uno de ellos?

Aunque fueron descubiertos por Pitgoras, Euclides trabaj con los nmeros perfectos, que son aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores menos l mismo. Comprueba que los nmeros 6 y 28 son nmeros perfectos.

2 ciclo de ESO:

En el libro VIII se trabajan los nmeros que estn en progresin geomtrica. Define que es una progresin geomtrica. Si los nmeros 6 y 9 son los dos primeros nmeros de una progresin geomtrica indica cul es la razn y halla su trmino general.

Aunque actualmente est en desuso, durante muchos aos se utiliz el llamado Algoritmo de Euclides para hallar el mximo comn divisor de dos nmeros. El proceso era el siguiente: se divide el mayor entre el menor, una vez hecha la divisin se divide el divisor entre el resto obtenido, esto ltimo se repite hasta obtener de resto cero. Una vez conseguido esto ltimo, el ltimo divisor utilizado es el mximo comn divisor. Utiliza este mtodo para hallar el M.C.D. de los nmeros


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693 y 504. Cuando tenemos dos nmeros el mnimo comn mltiplo es igual al producto de

ambos nmeros dividido entre el MCD. Halla el m.c.m. de los nmeros anteriores. Euclides descubri que los cuatro primeros nmeros perfectos vienen dados por la

frmula ( )12 2 1n n siendo n los cuatro primeros nmeros primos. Encuentra los cuatro primeros nmeros perfectos.

El siguiente nmero perfecto tiene 8 cifras y se encuentra para n=13. Hllalo. Relacionados con los nmeros perfectos estn los nmeros abundantes que son

aquellos en los que la suma de sus divisores, salvo l mismo, es mayor que el propio nmero. Encuentra entre los 20 primeros nmeros, cules son abundantes.

La mayora de los nmeros abundantes son pares, el primer nmero abundante impar es el 945. Comprueba que es abundante.

De forma similar se definen los nmeros deficientes como aquellos en los que la suma de sus divisores, sin el propio nmero, es menor que el propio nmero. Cules son los nmeros ms deficientes, es decir, aquellos que la suma de sus divisores, salvo l mismo, es ms pequea?

Comprueba que el nmero anterior y el posterior a los dos primeros nmeros perfectos son ambos deficientes.

Ocurre lo mismo con el tercer nmero perfecto?

Bachillerato:

Demuestra que los nmeros primos y las potencias naturales de los nmeros primos son siempre nmeros deficientes.


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ARQUMEDES

Visita el panel de uno de los personajes que ms aplic las matemticas a la resolucin de problemas cotidianos y contesta las siguientes cuestiones:

En qu siglo vivi Arqumedes? Qu ciudad ayud a defender Arqumedes

con sus inventos? Qu significa Eureka? Con que adjetivos se reconoce a Arqumedes

en las matemticas? Cul era su nacionalidad? Cmo muri? A qu principios se asocia Arqumedes? Por qu es singular el estilo de Arqumedes? Cul es la razn matemtica que relaciona el

volumen de un cono, una semiesfera y un cilindro de idnticos radio y altura?

A qu es igual el volumen de una esfera?

INVESTIGACIN:

Qu grandes matemticos conoces que vivieran antes que Arqumedes? A qu se refera cuando dijo dadme un punto de apoyo y levantar el mundo? Qu principio descubri estando dndose un bao? Qu parte de las ciencias son la Esttica y la Hidrosttica? Qu famoso matemtico se cree que fue profesor suyo? Qu aproximacin del nmero pi dio en su obra De la medida del crculo? Qu epitafio solicit que figurara en su tumba? Busca un dibujo que represente la espiral de Arqumedes. Qu es el tornillo de Arqumedes?, para qu lo invent?, en qu provincia

andaluza lo usaron los romanos? Gran parte de la obra de Arqumedes ha llegado hasta nosotros a travs de un

palimpsesto del siglo XIII, qu es un palimpsesto?


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ACTIVIDADES EXTRAS:

Arqumedes descubri la relacin o razn que exista entre el volumen de un cilindro, el de una semiesfera y el de un cono de idnticos radio y altura. Basndote en dicho resultado y sabiendo que el volumen de un cilindro de radio r y altura h es 12m2, calcula el volumen de un cono de igual radio y altura. Cul sera el volumen de la semiesfera de igual radio?

Arqumedes dijo que el nmero pi estaba comprendido entre los nmeros 310/71 y 31/7. Qu nmeros son stos? Esto permiti usar una buena aproximacin que cometa un error absoluto y uno relativo que se pretende que calcules usando cinco decimales

Usando polgonos inscritos y circunscritos, Arqumedes calcul el rea de un cilindro. Calcula por este mtodo (usando hexgonos y tus conocimientos de trigonometra) un intervalo que contenga el rea de un crculo de radio la unidad.

Arqumedes afirm que el rea de una esfera era cuatro veces el rea de su crculo mayor, o sea, demostr que el rea de una esfera era:

Arqumedes demostr que el volumen de una esfera es: , calcula el volumen de una esfera de radio 3cm.

En el libro Sobre la medida del crculo, Arqumedes demostr que el rea de un crculo es igual al rea de un tringulo rectngulo de catetos el radio y la longitud de la circunferencia. Aprovecha este resultado y tus conocimientos de trigonometra para calcular el rea de un crculo de radio 20cm.

Otro resultado de Arqumedes sobre el rea de un crculo es que coincide aproximadamente: , donde d indica el dimetro del crculo. Calcula de este modo el rea del crculo del ejercicio anterior y el error absoluto y relativo que cometa Arqumedes con esta aproximacin.


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APOLONIO

Visita el panel del gran gemetra de la forma y contesta las siguientes cuestiones:

Con quin estudi Apolonio? Qu otro matemtico fue su rival? Qu tres matemticos gobernaron la Geometra griega? Cuntos libros se conservan de su obra ms

importante? Qu matemticos pueden considerarse seguidores de

la obra de Apolunio? Qu nombres dio Apolonio a las cnicas obtenidas a

travs de un nico cono? En qu libro estudia la interseccin de las cnicas? Y

las asntotas de la hiprbola? Qu estudia en el libro III? Describe el plano de corte necesario para conseguir cada una de las cnicas en un

nico cono. Represntalo grficamente.

INVESTIGACIN:

Las cuatro figuras ms destacadas de la antigedad clsica son: Euclides, Arqumedes, Apolonio y Pitgoras. La mayor parte de la obra de estos autores se han preservado gracias al aporte de otra cultura por medio de traducciones a esa lengua. Cul fue esa cultura? Quin fue el traductor de Las cnicas de Apolonio a esa lengua? Dnde se encuentran estos manuscritos?

A principios del siglo XVIII se public Las cnicas de Apolonio por primera vez para el mundo occidental, quin fue el autor de la traduccin? en qu idioma estaba escrita?

Qu es el helenismo? Dnde naci Apolonio? Dnde vivi y trabaj durante un largo periodo de tiempo? Qu relacin existe entre Kepler y Apolonio? El problema de Pappus es una de las cuestiones ms importantes de todo la

historia de la Geometra. Fue planteado por los gemetras griegos a partir de Euclides y estudiado por Apolonio. Cul es el enunciado de este famoso problema?

Qu relacin tuvo Apolonio con un rey?


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ACTIVIDADES EXTRAS:

1er ciclo de ESO:

Busca en el centro elementos que contengan alguna figura cnica. Indica qu tipo de cnica es y donde la has encontrado.

La cnica ms simple es la circunferencia, qu propiedad tienen todos los puntos de la circunferencia?

Qu elementos caracterizan a una circunferencia? Indica cul es la longitud de la circunferencia y la superficie del crculo en funcin

del radio.

2 ciclo de ESO:

Reciben el nombre de cnicas las curvas que resultan de cortar una superficie cnica con un plano. Segn la inclinacin del plano con respecto al eje de la superficie cnica, puede obtenerse una circunferencia, una elipse, una hiprbola o una parbola. Sabras decir qu ngulo debe tener el plano con respecto al eje del cono para generar cada una de las curvas?

Qu sucedera si el plano contiene al eje de la superficie cnica? Y a la generatriz del cono?

Dados cuatro puntos sobre la recta A, B, C y D y el nmero , determina otro punto

P sobre la misma recta tal que

PA PCPB PD

= .

Dada la recta 2x+3y=6, considera sobre ella cuatro puntos A, B, C y D, determina otro punto P

sobre la misma recta tal que 4

PA PCPB PD

= .

Problema de Apolonio: Dados tres puntos A(0,1), B(1,2) y C(3,2) calcula la ecuacin de la circunferencia que pasa por ellos.

Dadas tres rectas halla una circunferencia que se tangente a ellas. (Hacerlo en ESO de forma geomtrica, hallando el incentro, en Bachillerato


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de forma analtica). Dadas las rectas r/ 3x2y+12=0 ; s/ 3x+y12=0 ; t/ 2x+3y+12=0 encuentra la

ecuacin de la circunferencia tangente a ellas. Dadas las tres rectas anteriores encuentra la ecuacin de la circunferencia que

pasa por lo tres puntos de corte de las rectas.

Bachillerato: Apolonio estudia diez casos en los que, dados tres objetos que pueden ser puntos, recta o circunferencias, se pide dibujar una circunferencia tangente a los tres objetos. Veamos algunos de los casos: Dadas tres circunferencias hallar otra circunferencia tangente a las tres. Hallar la ecuacin de un circunferencia que pasa por los puntos A(2,1), B(3, 3) y

que es tangente a la recta de ecuacin 3x4y+10=0. Hallar la ecuacin de un circunferencia que pasa por los puntos A(2,1), B(3, 3) y

que es tangente a la circunferencia de ecuacin x+y+10x+6y+3=0. Calcula el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya distancia a la recta y = 3

sea el cuadrado de la distancia a la recta x+y+1=0. Halla el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de las rectas 3x+4y2=0 y

6x8y+13=0.


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HIPATIA

En el panel sobre la mujer ms antigua que figura en la exposicin puedes encontrar respuesta a los siguientes interrogantes:

De Hipatia no se conoce a ciencia cierta cuando naci, pero s la fecha de su muerte. Por qu se conoce tan bien esa fecha?

Qu significa el nombre de Hipatia? Quin fue su padre? Cul era su profesin? Aparte de las matemticas, a qu otras disciplinas se

dedic? Fue considerada como la ltima cientfica de qu? Cmo se llamaba el libro que escribi? Tanto de forma individual como junto con su padre

coment diversas obras de grandes matemticos, cules fueron estas obras?

Que instrumentos astronmicos construy? Quienes fueron sus asesinos?

INVESTIGACIN: Dnde estaba situada la ciudad donde naci? Su padre estaba encargado de una importante institucin, a cul nos referimos? Se le considera la ltima cientfica pagana, que quiere decir pagana en este

caso? Indica que es un astrolabio, para qu se utiliza? Otro de los instrumentos construidos por Hipatia fue un hidroscopio. Explica qu es

dicho aparato. Escribe una pequea biografa de Diofanto. Indica algo sobre la vida y obra de Tolomeo. Cul era el esquema del universo que defenda Tolomeo? Tuvo un gran enfrentamiento con uno de los lderes religiosos de Alejandra, quin

fue este personaje? Las obras de Hipatia no se han conservado y conocemos de su existencia a travs

de sus discpulos. Quienes estn considerados como sus discpulos?


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ACTIVIDADES EXTRAS: De las aportaciones personales de Hipatia no tenemos referencias, pero sabemos que una de sus trabajos fue un comentario sobre la Aritmtica de Diofanto. Vamos a incluir aqu algunos de los problemas de ese libro. Vamos a mezclar los enunciados originales con problemas de la misma lnea sobre los que trabaj Diofanto en su libro.

1er ciclo de ESO: Problema 1 del libro I: Descomponer un nmero dado en dos partes cuya diferencia

sea dada. Entre t y yo tenemos 15 tebeos distintos y yo tengo tres ms que t. Cuntos tenemos cada uno de nosotros?. (Pista: como x+y=15 y xy=3, si sumamos las dos cantidades, qu obtenemos?)

Problema 2 del libro I: Descomponer un nmero dado en dos partes que estn en una razn dada. Mi padre nos da todas las semanas 40 euros para que las repartamos entre mi hermana pequea y yo. Si yo recibo el triple que mi hermana, cunto nos corresponde a cada uno?. (Pista: Si yo recibo el triple de mi hermana, entre ella y yo cuantas veces recibimos la parte de mi hermana?)

Problema 7 del libro I: Restar dos nmeros dados de un mismo nmero, de modo que las diferencias estn en una razn dada. Encuentra un nmero al que si le restamos 2 unidades se obtiene el triple del que se obtiene si le restamos 12 unidades.

Problema 16 del libro I: Encontrar tres nmeros que sumados de dos en dos den nmeros dados. Tengo tres sobrinos, Mara, Juan y Rodrigo que edad tienen cada uno de ellos si te digo que la suma de las edades de Mara y Juan es 26, la de las edades de Mara y Rodrigo es 22 y la de Juan y Rodrigo 18. (Pista: si sumamos las tres cantidades 26+22+18, qu obtenemos?)

Uno de los problemas tradicionales relacionados con Diofanto es la leyenda que aparece en su lpida, en donde habla de su vida y se pide cul es la edad de Diofanto. Encuntrala a partir del siguiente texto: Dios le concedi ser nio durante una sexta parte de su vida, y una duodcima parte de ella ms tarde cubri de vello sus mejillas; encendi en l la antorcha del matrimonio tras una sptima parte, y cinco aos despus le concedi un hijo. Ay! Un chico de nacimiento tardo y enfermizo al que el fro destino se llev cuando alcanz la edad de la mitad de la vida total de su padre. ste consol su afliccin con la ciencia de los nmeros durante los cuatro aos siguientes, tras los cuales su vida se extingui


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2 ciclo de ESO: Problema 21 del libro I: Encontrar tres nmeros tales que el mayor exceda al

mediano en una fraccin dada del menor, el mediano exceda al menor en una fraccin dada del mayor, y el menor exceda a un nmero dado en una fraccin del mediano. Encuentra tres nmeros sabiendo que el primero menos el segundo es la mitad del tercero, el segundo menos el tercero es la tercera parte del primero y el tercero menos 3 unidades es la sptima parte del segundo.

Problema 26 del libro I: Dados dos nmeros, encontrar otro que multiplicado por cada uno de ellos d, respectivamente un cuadrado y el lado de este cuadrado. Encontrar un nmero que al multiplicarlo por 2 y por 12 obtengamos el lado y la superficie de un cuadrado.

Problema 27 del libro I: Encontrar dos nmeros tales que su suma y su producto sean nmeros dados. Descomponer el nmero 126 como producto de dos nmeros cuya suma sea 23.

Problema 28 del libro I: Encontrar dos nmeros tales que su suma y la suma de sus cuadrados sean nmeros dados. La suma de los lados de dos cuadrados vale 16 unidades y la suma de sus cuadrados es 130 unidades cuadradas. Encuentra el lado de cada uno de los cuadrados.

Dados los nmeros 6 y 8 encontrar un tercer nmero de forma que los productos de cada dos de ellos sean tres nmeros que estn en progresin aritmtica (esta es una simplificacin del problema 39 del libro I).

Dentro del apndice del libro I hay bsquedas de distintas condiciones, veamos algunas de ellas: a) Si buscamos dos nmeros tales que la suma de sus cuadrados sea a y el

producto de los dos nmeros sea b, que relacin podemos encontrar entre a y b?

b) Si la diferencia de dos nmeros es a y la suma de los cuadrados de los dos nmeros es b, cmo tiene que ser 2b-a?

Bachillerato: Problema 14 del libro I: Encuentra dos nmeros tales que su producto est en una

razn dada con su suma. Encuentra dos nmeros sabiendo que su producto es el triple que su suma. Los nmeros tienen que ser enteros. Cuntas soluciones hay? Si consideramos slo los naturales, cules son los valores ms pequeos que lo cumplen? Encuentra alguna solucin en que los dos valores sean negativos. Escribe una funcin que te de el valor de uno de los nmeros en funcin del otro. Qu tipo de funcin es?

Si la diferencia entre dos nmeros es a y la diferencia entre sus cuadrados es b comprueba que se debe cumplir que a


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El problema 8 del libro II pide descomponer un cuadrado dado en suma de dos cuadrados, es decir, dado a encontrar x e y que verifiquen que x+y=a. Ese resultado, te recuerda a algn Teorema conocido?, a cul?, enncialo. Todos los valores (x,y) que verifican esa ecuacin, qu figura geomtrica generan?

Encontrar un nmero tal que si se le suma 4 o se le suma 17 se obtienen en ambos casos cuadrados perfectos (una variacin sobre el problema 11 del libro II).

Del apndice del libro II extraemos este problema. Encontrar tres nmeros tales que sus cuadrados perfectos estn en progresin aritmtica.

El problema 10 del libro III pide encontrar tres nmeros tales que el producto de dos cualesquiera de ellos, aumentado en un nmero dado, forme un cuadrado. Para simplificarte el clculo te indicamos que los nmeros buscados son x=2, y=2 y

z=18 encuentra que nmero hay que sumarle al los tres productos de cada dos de

ellos para obtener tres cuadrados perfectos. El siguiente problema pide lo mismo, pero ahora el valor se resta, en lugar de

sumrselo a los productos binarios. Si el nmero que se resta es 4 y te damos la pista de que los cuadrados que se obtienen al restar 4 son tres cuadrados pares consecutivos, encuentra los tres nmeros

El problema 11 del libro IV pide encontrar dos nmeros tales que la diferencia entre ellos sea la misma que la diferencia entre sus cubos. Te damos la pista de que

ambos nmeros son mltiplos de la fraccin 113 .


21

AL-KHOWARIZMI

Este matemtico rabe es considerado por muchos el padre del lgebra, visita su panel y responde a las siguientes cuestiones:

De dnde proviene la palabra lgebra? Qu califa rein durante la vida de Al-

Khowarizmi? En qu escuela trabaj? Cul es su obra ms importante? Qu contenidos trabaj en sus cinco tratados? Qu tres clases de nmeros utilizaba? En el panel aparecen los tipos de ecuaciones que

resolva Al-Khowarizmi. Indica si las siguientes ecuaciones podan ser resueltas por l, indicando la razn: x+5x+7=0 ; xx6=0.

INVESTIGACIN:

Sita en un mapa la ciudad de Bagdad. Encuentra una imagen del sello postal de Al-Khowarizmi. Qu conmemoraba

dicho sello?, cundo se emiti? De Al-Khowarizmi proviene una palabra que se utiliza actualmente, cul es?, qu

significa? Los rabes difundieron el sistema de numeracin decimal que utilizamos

actualmente por toda Europa pero, Quines lo crearon realmente? Encuentra el nombre de otros sabios que trabajaron con Al-Khowarizmi en su

misma escuela y comenta algo de sus obras. En concreto busca informacin sobre la vida y obra de Thbit Ibn Qurra. En El Quijote se citan a unas personas llamndolas algebristas, pero no se refera

a personas que se dedicaran al lgebra, a quines se estaban refiriendo?

ACTIVIDADES EXTRAS:

1er ciclo de ESO:

Al-Khowarizmi utilizaba la palabra cosa para referirse a la incgnita de una ecuacin, de esa manera la ecuacin x+c=bx l la llamaba cuadrado de la cosa


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ms nmero igual a cosa, donde sola considerar el cuadrado con coeficiente la unidad y al hablar de cosa consideraba que la incgnita (x en nuestro caso) iba multiplicada por un nmero. Escribe en lenguaje algebraico actual las restantes ecuaciones que l citaba de la siguiente forma:

Cosa igual a nmero Cuadrado de la cosa igual a nmero Cuadrado de la cosa igual a cosa Cuadrado de la cosa ms cosa igual a nmero Cuadrado de la cosa igual a cosa ms nmero

Al-Khowarizmi utiliza una aproximacin para hallar la raz cuadrada de un nmero. Lo que haca era descomponer dicho nmero en un cuadrado perfecto ms otro nmero y entonces realizaba la siguiente aproximacin.

2

2bN a b aa

= + +

Utiliza la aproximacin anterior para hallar la raz cuadrada de 11 y compara el resultado con el obtenido con la calculadora. Cuntas cifras exactas obtienes por el mtodo anterior?

2 ciclo de ESO:

Al-Khowarizmi utiliza una aproximacin para hallar la raz cuadrada de un nmero. Lo que haca era descomponer dicho nmero en un cuadrado perfecto ms otro nmero y entonces realizaba la siguiente aproximacin.

2

2bN a b aa

= + +

Halla, por ese mtodo, la raz cuadrada de 89. Calcula el error absoluto y relativo que se comete al tomar esa aproximacin como valor de 89 .

Resuelve, utilizando el mtodo de Al-Khowarizmi que has visto en el panel, la ecuacin x+6x=16.

En esa poca, solo tenan sentido las soluciones positivas de las ecuaciones, ya que al convertir las ecuaciones en figuras geomtricas no tenan sentido los elementos negativos. Por esa razn, cuando calculaba la raz cuadrada solo consideraba el valor positivo. Si quisieras obtener las dos soluciones de la ecuacin anterior, qu deberas modificar en el mtodo de Al-Khowarizmi?, hazlo para hallar la otra solucin de la ecuacin anterior.

Uno de los coetneos de Al-Khowarizmi fue Thbit Ibn Qurra que trabaj la aritmtica y la geometra en muchas vertientes. Encontr una regla para hallar pares de nmeros amigos (que son aquellos en los que cada uno es igual a la suma de los divisores del otro nmero, salvo el propio nmero). Ibn Qurra descubri que siendo n>1, si son primos los nmeros


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P=32n11 ; Q=32n1 ; R=922n11 Entonces los nmeros 2nPQ y 2nR son nmeros amigos. Comprubalo para n=2.

Bachillerato:

Thbit Ibn Qurra es autor de varias demostraciones del teorema de Pitgoras, todas ellas bastante visuales. En una de ellas, parta de colocar los dos cuadrados sobre la hipotenusa juntos, como vemos en la figura 1, la suma de las reas es a+b. Despus trazaba la lnea para obtener el tringulo rectngulo cuya hipotenusa es c. Intenta recomponer ahora esas tres piezas para formar un cuadrado de lado, con lo que demostraras que c=a+b.

Figura 1 Figura 2

Algunos de los problemas que resolvi Al-Khowarizmi provienen de los babilnicos, en concreto uno de los que retom Hern de Alejandra fue el siguiente. Se quiere inscribir un cuadrado dentro de un tringulo issceles de base 12 unidades y lados iguales 10 unidades. Se desea saber cunto medir el lado de dicho cuadrado. Intenta encontrar dicha medida.

El mtodo de Al-khowarizmi para resolver ecuaciones puede simplificarse completando el cuadrado aadiendo rectngulos solo en dos lados del cuadrado de lado x. Esos rectngulos tienen una amplitud p correspondiente a la mitad del coeficiente de x (cuando la ecuacin tiene como coeficiente principal la unidad, es decir, es de la forma x+2px=c).

Utiliza este mtodo geomtrico para deducir la frmula que resuelve la ecuacin general de segundo grado ax+bx+c=0.

Ahora vas a realizar otra demostracin del Teorema de Pitgoras atribuida a Ibn Qurra. El matemtico parte de la figura adjunta. Razona por qu los tringulos ABC, BDE, CFL, CFM, AGH y EFG son iguales. Una vez demostrado halla el rea de la figura ABDFH de dos maneras distintas, una como suma del cuadrado grande y los tringulos exteriores y otra


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como suma de los cuadrados sobre los catetos del tringulo ms los tringulos que los complementan. Al igualar deduce el Teorema de Pitgoras.

Las ecuaciones de la forma x+c=bx tenan una forma de resolucin un poco ms complicada que la que hemos visto en el panel para aquellas en la que la cosa estaba en el primer miembro. El planteamiento de Al-Khowarizmi era el siguiente. Construa un cuadrado de lado x y junto a l un rectngulo cuya rea equivala al valor c. De esa manera, tena un rectngulo ampliado cuya rea corresponda al primer miembro de la ecuacin. Para que se cumpliera la ecuacin, el ancho del nuevo rectngulo es x y la longitud debera ser b. Al-Khowarizmi continuaba de la siguiente forma: 1. Hallaba la mediatriz de la longitud del segmento y la prolongaba hasta obtener

un cuadrado de lado la mitad de la longitud del rectngulo (como puedes ver en la figura 3).

2. En la parte inferior, separaba un cuadrado correspondiente al valor que sobresale del rectngulo anterior (figura 4).

Figura 3 Figura 4 3. Demuestra, algebraicamente, que los dos rectngulos que aparecen

sombreados en la figura 5 tienen la misma rea. 4. Debido a lo anterior, la figura que aparece resaltada en la figura 6 tiene un rea

equivalente a c.

Figura 5 Figura 6 5. Basta por tanto encontrar qu cuadrado (el pequeo en blanco de la figura) hay

que sumar a ese valor c para obtener el cuadrado correspondiente al valor 2b

.

Para obtener el valor de x basta restarle el lado de ese cuadrado pequeo al lado del cuadrado grande, es decir, a

2b

. Dicho de otro modo, es necesario

encontrar el valor de 2

2bd c =

y la solucin de la ecuacin sera

2b

x d= .

Aplica este proceso para hallar la solucin de la ecuacin x+40=14x.


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Comprueba que la otra solucin de la ecuacin proviene de sumarle el valor d a

2b

, en lugar de restarlo.

Demuestra, a partir de la construccin general anterior, que el valor de x equivale a la frmula para resolver la ecuacin de 2 grado.


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FIBONACCI

Este matemtico es conocido por la sucesin que lleva su nombre, unida a un problema de conejos. Busca su panel y contesta a las siguientes cuestiones:

Cul era su verdadero nombre? Dnde naci? Por qu pases viaj? Dnde aprendi las nuevas matemticas indio-

arbigas? Quienes fueron sus maestros? Cul es el libro ms conocido de Fibonacci?, con

cuntos aos lo escribi? Cul es el tema ms importante de este libro?,

qu otros temas trat? Copia el enunciado ms famoso del libro de

Fibonacci y escribe la sucesin a que da lugar.

INVESTIGACIN:

Investiga qu significa el seudnimo de Fibonacci. Qu nmeros forman el sistema indio-arbigo? Qu aport la cultura india y la

rabe a ese sistema? En el panel se habla de distintos elementos de la naturaleza y del arte donde

puede encontrarse la sucesin de Fibonacci, busca ejemplos de ese tipo en Internet y captura alguna imagen.

La sucesin de Fibonacci comenz a ser conocida en el siglo XIX gracias al matemtico francs douard Lucas. Escribe un pequeo prrafo hablando de su vida y obra.

Fibonacci particip, a lo largo de su vida, en varios torneos de matemticas. Busca informacin sobre alguno de ellos.

Investiga qu es el nmero de oro y que relacin tiene con la sucesin de Fibonacci.

OTRAS ACTIVIDADES:

1er ciclo de ESO:

Hay muchas sucesiones que pueden formarse utilizando la misma regla de formacin que la sucesin de Fibonacci, que sera la ms simple de esas caractersticas. La siguiente ms simple comienza con los nmeros 1 y 3 y es conocida como Sucesin de Lucas. Halla sus diez primeros trminos.


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La sucesin de Fibonacci guarda entre sus nmeros muchas curiosas propiedades. Si multiplicamos dos nmeros que ocupen lugares pares consecutivos, el resultado es igual a una unidad menos que el cuadrado del nmero comprendido entre ellos. Por ejemplo 13 = 21 [2 4 = (3) 1]. Comprubalo con los restantes trminos pares entre los 12 primeros trminos de la sucesin que aparecen en el panel.

Si en lugar de multiplicar dos trminos de lugar par, se hace con dos trminos que ocupen lugares impares consecutivos el resultado es una unidad ms que el cuadrado del nmero comprendido entre ellos. Por ejemplo 25=3+1 [3 5 = (4)+1]. Comprubalo con los restantes trminos impares entre los 11 primeros trminos de la sucesin que aparecen en el panel.

Tambin se cumple que la suma de los 3 primeros trminos es el 5 menos 1, la de los cuatro primeros es el 6 menos 1 y as sucesivamente, la suma de los n primeros trminos es una unidad menos que el trmino n+2. Comprubalo con las sumas desde los cinco primeros trminos hasta los diez primeros trminos.

Comprueba que la suma de los diez primeros trminos de la sucesin de Fibonacci es igual al sptimo trmino multiplicado por 11.

Comprueba que la propiedad anterior tambin se cumple en la Sucesin de Lucas. El Liber Abaci contiene muchos problemas que hoy estn considerados como

matemtica recreativa y como tal aparecen en curiosidades y pasatiempos. Uno de los ms conocidos es el siguiente: Un campesino lleg a la orilla de un caudaloso ro con una gran col, un lobo y una oveja. Para cruzar el ro solo dispona de una pequea embarcacin que le permita cruzar l y uno de los animales o la col. Poda pasarlos en varios viajes, pero el problema es que no poda dejar solos a la col y la oveja porque sta se comera el vegetal y tampoco puede dejar solos al lobo y la oveja pues, sin su presencia, el primero se comera a la segunda. Cmo se las apa para pasar al otro lado del ro con los tres elementos?

El ltimo captulo del Liber Abaci est dedicado a problemas de geometra como el siguiente: En lo alto de una torre hay un mstil de 20 pies de altura. El mstil cae a tierra sin desprenderse de la torre, de modo que su extremo toca el suelo a una distancia de 12 pies de la base de la torre. Se trata de saber la altura de la torre.

2 ciclo de ESO:

Busca una regla que relacione dos trminos de lugar par consecutivos con el nmero comprendido entre ellos, parecida a la de la sucesin de Fibonacci, pero para la sucesin de Lucas.

Haz lo mismo para dos trminos de lugar impar consecutivos. Busca que relacin hay en la sucesin de Lucas entre la suma de los primeros n

trminos de la sucesin y el trmino n+2 (busca algo parecido a lo visto en la de Fibonacci).

Comprueba que la suma de los veinte primeros trminos de la sucesin es once veces la suma del sptimo ms el decimosptimo trminos.


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Escribe dos nmeros genricos a y b y calcula los trminos de la sucesin de Fibonacci en funcin de ellos. Qu caracterstica encuentras?

De qu forma sera el trmino 15 de esa sucesin anterior? Particularzalo en la sucesin de Lucas y comprueba tu resultado.

Demuestra que si partimos de dos nmeros cualesquiera a y b y aplicamos la ley de formacin de Fibonacci (cada trmino es la suma de los dos trminos anteriores) siempre se cumple que la suma de los diez primeros trminos de la sucesin es once veces el trmino sptimo.

Los captulos 6 y 7 del Liber Abaci tratan sobre fracciones. Fibonacci trabaja con varios tipos de ellas, entre ellas las llamadas unitarias o egipcias (pues fueron las que trabajaban los antiguos egipcios), es decir, aquellas cuyo numerador es la unidad. Cualquier otra fraccin la expresaban como suma de fracciones de ese tipo sin repetir. Por ejemplo 11 1 1 1

12 12 3 2= + + . Expresa, mediante fracciones unitarias, las

fracciones: 1330

, 2340

, 4990

.

En el Liber Abaci se incluyen tambin muchos problemas que trabajan la proporcionalidad o la resolucin de problemas. Incluso algunos de ellos es posible encontrrselos hoy da en los libros de texto. A continuacin te presentamos varios de ellos para que los resuelvas. Un hombre entr a una huerta que tena siete puertas y tom un cierto nmero

de manzanas. Al abandonar la huerta le dio al primer guardia la mitad de las manzanas que llevaba ms una. Al segundo guardia la mitad de las manzanas que le quedaban ms una. Hizo lo mismo con los guardias de cada una de las cinco puertas que le faltaban. Cuando se fue de la huerta le quedaba una manzana; cuntas manzanas haba tomado en un principio?

Siete mujeres viajan a Roma. Cada una de ellas lleva siete mulas. Cada mula lleva siete sacos, cada uno de ellos con siete piezas de pan. En cada pieza de pan hay siete cuchillos y cada uno de ellos tiene siete dientes. Cuntos dientes de cuchillo viajan a Roma?

Un hombre invierte un denario a una tasa de inters tal, que al cabo de cinco aos tiene dos denarios y as cada cinco aos su dinero se duplica. Cuntos denarios tendr al cabo de cien aos?

Un rey mand treinta hombres a su huerta a plantar rboles. Si pudieron plantar mil rboles en nueve das, en cuntos das podrn treinta y seis hombres plantar cuatro mil cuatrocientos rboles?

Un comerciante compr manzanas y pag 1 dinar por cada 7 manzanas. Al da siguiente vendi todas las manzanas ganando 1 dinar por cada 5 manzanas. Si el beneficio que obtuvo fue de 12 dinares, cuntas manzanas compr?

Dos torres de 30 y 40 pies de altura estn situadas a 50 pies una de otra. Entre ellas hay una fuente. Desde lo alto de cada torre, dos pjaros inician al mismo tiempo el vuelo hacia la fuente a la misma velocidad y la alcanzan simultneamente. Dnde estaba la fuente?


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Tambin dentro del Liber Abaci incluye el siguiente truco de magia: Si alguien lanza tres dados al aire y quieres saber cuantos puntos tiene cada dado, dile que multiplique por 2 los puntos de un dado y que a este doble le aada 5. Que multiplique el total por 5 y que aada 10, as como el nmero de puntos del segundo dado, a este producto. Que multiplique el resultado por 10 y que al producto le aada los puntos del tercer dado y que te diga el resultado. Para adivinar los puntos de cada dado basta restar 350. Del resultado, las centenas son los puntos del primer dado, las decenas los puntos del segundo dado y las unidades son los puntos del tercer dado. Utilizando expresiones algebraicas comprueba que este truco funciona siempre, sean cules sean los valores de los dados.

Resuelve este otro problema de geometra de dicho libro: Tenemos dos mstiles, de 35 y 40 pies de altura, separados por una distancia de 12 pies. Si uno de ellos cae sobre el otro, a qu distancia del suelo queda su extremo superior?

Tambin se pueden encontrar problemas de progresiones como el siguiente: Al cabo de cuantos das dos viajeros habrn caminado lo mismo, sabiendo que el primero anda 20 millas diarias y el otro 1 milla el primer da, 2 el segundo, 3 el tercero, y as sucesivamente.

El problema con el que acaba el Liber Quadratorum tiene el siguiente enunciado: encuentra tres nmeros tales que si a su suma se le aade el cuadrado del primero da otro nmero cuadrado, si a la suma anterior se le aade el cuadrado del segundo se obtiene otro cuadrado y si a la suma total se le aade el cuadrado del tercero se obtiene tambin otro cuadrado. Si los nmeros originales son 35, 144 y 360, encuentra los nmeros cuyos cuadrados se obtienen como resultados de las sumas

Bachillerato:

Cualquier nmero natural se puede escribir como suma de varios trminos de la sucesin de Fibonacci. Comprubalo con los nmeros 85 y 500.

El nmero primo 28657 pertenece a la sucesin de Fibonacci y el lugar que ocupa, el 23, tambin es primo. Eso ocurre con todos los trminos de la sucesin a partir del 5. Si el nmero es primo, el lugar que ocupa tambin es un nmero primo. Comprubalo con los 20 primeros trminos.

Comprueba que la suma de los cuadrados de n trminos de la sucesin de Fibonacci es igual al producto del ltimo de los trminos por el siguiente. Utiliza los primeros 10 trminos.

La suma de los n primeros trminos de lugar impar es igual al primer trmino de lugar par siguiente. Comprubalo.

Comprueba que tambin se cumple que la suma de los n primeros trminos de lugar par es igual a una unidad menos que el trmino de lugar impar siguiente al ltimo que se ha sumado.


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Escribe dos nmeros cualesquiera de dos cifras. A partir de ellos halla los primeros 30 trminos de una sucesin con la misma ley de formacin que la de Fibonacci. Divide el ltimo trmino entre el trmino anterior. Es posible que obtengas el valor 1,6180339? Quin es ese nmero?

El matemtico douard Lucas, del que ya hemos hablado, investig a fondo la sucesin de Fibonacci y encontr una regla para hallar cualquier trmino de dicha sucesin sin necesidad de calcular las anteriores (otros autores asignan esta regla al matemtico francs Binet). La expresin para hallar el trmino que ocupa el lugar n viene dada por

Utiliza una calculadora cientfica o una hoja de clculo para hallar los trminos del 6 al 10 y compralos con los obtenidos por el mtodo usual.

En 1225, al pasar el emperador Federico II por Pisa, dos miembros de su squito plantearon un torneo matemtico para comprobar la fama que tena Fibonacci. Le plantearon tres problemas que fueron resueltos por el matemtico y que posteriormente incluy en dos de sus obras editadas en ese ao, en particular en el Liber Quadratorum. El primero de los retos matemticos deca: encontrar un nmero tal que si a su cuadrado se le suma cinco y se le resta cinco se obtienen otros dos cuadrados. Este problema no tiene solucin para nmeros enteros. Comprueba que la solucin que encontr Fibonacci, 41

12, verifica esas condiciones.

Para resolver el anterior problema, Leonardo parti de la que, a veces, se suele conocer como Identidad de Fibonacci:

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 24 2m n mn m n m n mn+ = Utiliza las identidades notables para demostrar que esa igual es cierta siempre sean cuales sean m y n.

Otro de los problemas que le propusieron a Fibonacci en el torneo matemtico deca: Tres hombres se reparten al azar un capital. A continuacin, el primero aporta a un fondo comn la mitad de su porcin, el segundo un tercio y el tercero un sexto. Despus hacen con el fondo tres partes iguales, y cada cual toma una parte para s. Cunto tuvo cada uno en el primer reparto, si la cantidad final fue, para el primero, la mitad del capital inicial, para el segundo la tercera parte y para el tercero la sexta parte? (Nota: segn el nivel de los alumnos se puede simplificar la resolucin suponiendo que la cantidad a repartir es 47 282).

El matemtico francs Albert Girard encontr una relacin entre tres nmeros consecutivos de la sucesin de Fibonacci. Si tn representa el trmino de lugar n,

demostr que ( ) 12 1 1 1 nn n nt t t + = . Elige tres trminos consecutivos de Fibonacci (que no incluyan ni el primer trmino ni el segundo).


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NICOLS FONTANA (TARTAGLIA)

Visita su panel y contesta las siguientes cuestiones.

Dnde y cuando naci y muri? Entre qu siglos?

Por qu recibi el mote de Tartaglia? Qu significa que era autodidacta? A qu se dedicaba? Cul fue su principal aportacin a las

Matemticas? De qu otros dos matemticos italianos se

habla en el panel? Cul es el nombre del tratado matemtico

ms importante que escribi? De cuntas partes se compone el libro?

De qu tratan dichas partes? En qu obra public Cardano la resolucin de la ecuacin de tercer grado? Qu es el tringulo de Tartaglia? Para qu se utiliza fundamentalmente?

INVESTIGACIN:

El principio del siglo XVI fue muy conflictivo en el norte de Italia. Hubo muchas luchas en Lombarda entre varios ejrcitos. Investiga un poco y encuentra qu pases intervinieron en esas luchas y el nombre de quin comandaba las tropas en la Toma de Brescia cuando el pequeo Nicols fue gravemente herido.

Tartaglia participaba en torneos matemticos. Busca informacin sobre dichos torneos.

Encuentra los ttulos de las cuatro obras ms importantes escritas por Tartaglia. El tringulo de Tartaglia tambin es llamado tringulo de P______ por otro gran

matemtico francs que estudi sus propiedades. Haz una pequea biografa de este otro gran matemtico.

Es sabido que dicho tringulo no lo descubri Tartaglia sino que era conocido desde mucho antes. Qu otros tres grandes pueblo conocan su existencia con anterioridad al Renacimiento italiano?

Investiga qu interrelaciona las ecuaciones de tercer grado y cuarto grado.


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Qu reyes gobernaban en Espaa durante la primera mitad del siglo XVI? Tena Espaa, en ese tiempo, intereses en Italia? Qu famosa batalla ganaron los ejrcitos espaoles muy cerca de Brescia en ese siglo? Quines comandaban los ejrcitos implicados?

OTRAS ACTIVIDADES:

Un nio tena curiosidad en saber el ao en que muri el matemtico Tartaglia y pregunt a su padre por la fecha. El padre le aport los siguientes datos: "muri en el siglo XVI, la suma de las cifras que forman dicho ao es 18 y la cifra de las unidades excede a la de las decenas en dos." Cul es la fecha?

Tartaglia escribi varios libros con problemas de contenido ldico-recreativos. Entre ellos hemos entresacado los siguientes enunciados:

Tres personas quieren repartiese el aceite que hay en una garrafa de 24 litros. Determinar cmo puede hacerse el reparto si se dispone de tres garrafas vacas con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros.

Ana y Pedro son dos nios que estn con sus padres. Quieren cruzar el ro, pero no hay puente, solamente una barquita en la que caben dos nios o una persona mayor. Cmo harn para cruzar los cuatro a la otra orilla?

Tres matrimonios (en los cuales los maridos son extremadamente celosos) quieren cruzar un ro en una barca en la que caben como mximo dos personas. Determinar cmo debe planificarse el cruce si no puede dejarse a ninguna mujer en compaa de un hombre a menos que su marido est presente.

En plena tormenta, un capitn de barco se da cuenta que debe aligerar el peso del mismo. Aunque tira toda la mercanca al agua, an debe desalojar ms peso... la mitad de la tripulacin! La tripulacin est formada por quince marineros venecianos y quince turcos. Los coloca formando un crculo y, contando a partir de cierto punto, cada ocho marineros ser lanzado al agua. Cmo debe disponer a la tripulacin para que nicamente los turcos sean los designati dalla sorte per essere gettati a mare?

Muy racista el problema! Pero era la poca , estaban en guerra....

Un tonel est lleno de vino. Cada da se vacan dos cubos que son reemplazados por dos cubos de agua. Al cabo de seis das hay la mitad de vino y la mitad de agua. Qu capacidad tiene el tonel?

Dividir un segmento de un largo dado en tres trozos que formen un tringulo rectngulo. Utilizar slo para la divisin la regla y el comps.

Hallar el lugar geomtrico de los puntos interiores a un tringulo tal que con los segmentos determinados entre dicho punto y cada uno de los vrtices pueda formarse un tringulo rectngulo.


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Tringulo de Tartaglia

Completa el siguiente tringulo:


34

Dicho tringulo tiene muchsimas propiedades muy interesantes:

Cmo se calcula el nmero que est en cada celdilla? La suma de los nmeros de cada fila es igual a 2 elevado al nmero de la fila.

Comprubalo. Cada fila expresa las sucesivas potencias del nmero 11, las cuatro primeras de

forma clara, y a partir de la quinta fila, si una casilla est formada por ms de una cifra, efectuamos una sencilla suma llevndonos alguna cifra. Ejemplos: 110 = 1, 111 = 11, 112 = 121, 113 = 1.331, 114 = 14.641 Ahora comienzan los cambios: 115 sera 15(10)(10)51, pero hacemos la suma llevndonos las decenas y obtenemos: 115 = 161.051 Quin sera 116 , 117, ....?

La segunda diagonal, situada al lado de la diagonal formada por los unos exteriores, contiene la evidente sucesin de nmeros naturales.

La tercera diagonal, coloreada en amarillo, determina la serie de nmeros triangulares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, etc.

El algoritmo que generan estos nmeros triangulares es: ( 1)

2nn n

a+

=

La serie de los nmeros triangulares presenta muchas curiosidades o propiedades interesantes, como: La suma de dos trminos consecutivos an y an-1 de esta serie es igual al cuadrado del nmero n. Por ej.: 3 + 1 = 4, 6 + 3 = 9, 10 + 6 = 16, etc.

Encuentra en el tringulo los nmeros poligonales:


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Suma de diagonales:

El "stick de hockey"

Tartaglia y la sucesin de Fibonacci:

Tartaglia y el biomio de Newton:

(a+b) = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + a3 ....

Hallar (a+b)4 , (a+b)5, (a+b)11..... (x+1)2 ; (x+1)3; (x+1)4 . (x -1)2 ; (x-1)3; (x-1)4 .

( )231+ ; ( )431+ ; ( )731+

Tartaglia y el nmero de caminos para ir en una cuadrcula desde el (0,0) al (n,n) dirigindonos hacia la derecha y hacia arriba: 2, 6, 20 ,.....

Ms posibilidades se encuentran en: a) Tartaglia y la trigonometra,.... b) Tartaglia y tringulo de Sierpinski:


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CARDANO

Este matemtico predijo la fecha exacta de su muerte. Tras visitar su panel responde a las siguientes cuestiones:

Donde naci? En qu siglo vivi? Cul fue su obra ms importante? Quin lo inici en las matemticas? Por qu fue encarcelado? Cmo muri? Cmo obtuvo sus primeros conocimientos en

probabilidad? Por qu le cerraron las puertas en el Colegio de

Mdicos? Para qu tipo de ecuaciones encontr mtodos de resolucin? Aparte del lgebra, en qu otras ciencias o ramas trabaj? Con qu tipo de nmeros generaliz la resolucin aproximada de ecuaciones de

cualquier grado? Copia la frmula que descubri para resolver las ecuaciones de tercer grado.

INVESTIGACIN:

Qu es la probabilidad? Cmo se llama la primera obra escrita sobre probabilidad? Cul fue el origen de la probabilidad? En qu siglo? Qu significa Ars Magna? Qu es la criptografa? Con qu otro matemtico tuvo un enfrentamiento? Por qu ocurri dicho

enfrentamiento? En qu consisten las relaciones Cardano-Vietta? Busca un ejemplo o aplicacin. Haz un mapa donde aparezcan las cuatro ciudades en que vivi Cardano. Da el nombre y la nacionalidad de tres matemticos con los que se relacion. Que hizo con la fortuna que le dej su padre?


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ACTIVIDADES EXTRAS:

Resuelve la ecuacin x33x+2=0 utilizando la frmula de Cardano que aparece en el panel. Halla las otras races y descompn en producto de factores primos el polinomio x33x+2.

Aplica la frmula ahora a la ecuacin x3+9x+26=0. Una vez hallada la solucin, comprueba que no existen ms soluciones reales de dicha ecuacin. Descompnla en producto de factores primos.

Busca la distancia de Pava a las otras tres ciudades que aparecen en el panel. Resuelve la ecuacin x 6x + 8 = 0 y comprueba que las soluciones cumplen las

relaciones de Cardano-Vietta para ecuaciones de 2 grado. Utilizando las relaciones de Cardano-Vietta resuelve la siguiente ecuacin

algebraica sabiendo que tiene una raz doble y una simple. x35x2+8x4=0. Con ayuda de una hoja de clculo y la frmula del panel halla una solucin de las

ecuaciones x3+3x+4=0 y x3+3x+14=0.


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DESCARTES

A Descartes se le considera el padre de la Geometra Analtica. Visita su panel y contesta las siguientes cuestiones:

En qu localidad francesa naci? Qu disciplinas estudi? Quin fue su profesor de matemticas? A qu colegio jesuita perteneci? Indica los pases en que vivi Descartes. Su obra principal se public como apndice de un

famoso libro, cul es su ttulo? Explica en qu consiste la Geometra Analtica. Cuenta, con tus palabras, la ancdota que dio

origen a la idea de la nueva Geometra. Para qu utilizaba Descartes las ltimas letras del alfabeto?

Para ampliar la informacin: bsqueda en Internet.

Haz una pequea biografa de Isaac Beeckam. Descartes viaj a Italia para conocer a Galileo Galilei pero nunca se produjo el

encuentro. Quin fue Galileo Galilei? Cul fue su relacin con las matemticas. Descartes defenda las ideas copernicanas, cules eran esta ideas? En qu idioma escriba Descartes sus obras? Por qu? Descartes demostr la ley de la refraccin de la Diptrica. Enuncia dicha ley. Qu

otro matemtico dio posteriormente una nueva demostracin de esta misma ley? Encuentra la clasificacin de Palpos de los problemas de la geometra griega? Sita en un mapa la localidad francesa donde naci. A qu se debi que Descartes nunca formase su propia familia? A pesar de este

hecho, tuvo descendencia, quin?, qu le ocurri? De qu muri Descartes?

Actividades extras:

Los ejes de coordenadas, que utilizamos normalmente para situar elementos en el plano, reciben el nombre de ejes cartesianos en honor de Descartes, que fue quin ide su


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utilizacin. Vamos a realizar una serie de actividades con ellos.

1er ciclo de ESO: Indica las coordenadas de los puntos

que aparecen sealados en los siguientes ejes.

Representa en los ejes de coordenadas los puntos: A(2,2), B(2,5), C(1,5), D(0,4), E(4,0), F(3, 1), G(1.3). Une, mediante una lnea, cada punto con el siguiente y el ltimo punto con el primero. Qu figura obtienes?

Representa en unos ejes cartesianos el segmento de extremos A(1,3) y B(4,2). Representa el simtrico de dicho segmento respecto del eje de ordenadas. Haz lo mismo respecto al eje de abscisas.

El Ministerio de Agricultura anota anualmente la cantidad de cereales recogidos en nuestro pas. En la grfica siguiente aparecen los millones de toneladas de cereales (trigo, cebada, avena,.) recogidos en los ltimos veinte aos del siglo anterior. Responde a las siguientes preguntas: Cunto cereal se recogi en

1985?, y en 1997? En qu ao se recogi una cosecha ms cercana a los 15 millones de toneladas? En qu ao se obtuvo la mayor cosecha?, cunto se recogi? En qu ao se recogi la peor cosecha?, cunto fue? Entre qu dos aos hubo la mayor subida en la cantidad de cosecha recogida?

Uno de los problemas de la Geometra Clsica es la duplicacin del cubo, es decir, dado un cubo construir otro que tenga doble volumen. Este problema se demostr que no tiene solucin con regla y comps. Pero su equivalente en el plano si es posible, es decir, dado un cuadrado encontrar otro que tenga doble superficie. Dibuja unos ejes de coordenadas y en ellos un cuadrado cualquiera. A partir de l dibuja otro que tenga doble rea.

Descartes resolva los problemas y operaciones de forma geomtrica. Tena una forma muy curiosa de hallar la raz cuadrad de un nmero. Para hallar la raz cuadrada del valor a, segua los siguientes pasos: 1) Dibujaba un segmento de longitud a y le

aada un segmento de longitud 1. 2) Hallaba el punto medio del segmento

aumentado. Trazaba la semicircunferencia con centro en dicho punto y que pasaba por los extremos.

3) Levantaba una perpendicular en el extremo del


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segmento original (el de longitud a) y el segmento determinado por el punto de corte de esa perpendicular con la semicircunferencia trazada era el valor de la raz cuadrada de a. Dibuja un segmento de longitud 9 cm. y haz la construccin para comprobar que se obtiene la raz de dicho valor.

2 ciclo de ESO: Dada la funcin 2( ) 5 6f x x x= + , represntala grficamente e indica: el eje de

simetra, el vrtice, los puntos de corte con el ejes cartesianos y el intervalo de crecimiento y de decrecimiento de la funcin.

Dada la funcin ( ) 3f x x= , represntala grficamente y estudia sus caractersticas (dominio, recorrido, crecimiento, etc.).

Dada la figura en la Imagen 1, dibuja las figuras simtricas de ella respecto: el eje de ordenadas. el eje de abscisas. el origen.

Traslada la figura que aparece en la Imagen 2 de manera que el punto A se transforme en el punto A(3,1).

Gira, alrededor del origen, la figura de la Imagen 3 un ngulo de 90 en el sentido contrario de las agujas del reloj. Gira ahora la figura resultante de nuevo 90. Hay alguna transformacin que nos lleve desde la figura original hasta la obtenida en segundo lugar?, existe alguna transformacin que no sea un giro?

Imagen 1 Imagen 2 Imagen 3

La Geometra de Descartes est dividida en tres libros plantea problemas similares a los que podemos encontrar hoy en da en los libros de texto, veamos un par de ejemplos:

Encontrar dos nmeros cuya suma sea 17, de modo que la suma de sus cuadrados sea 169.

De entre los tringulos rectngulos cuya hipotenusa mide 13, construye el de permetro 20.

Siguiendo con el lgebra, Descartes descubri lo que l llam la Regla de los Signos que le permita saber cuantas races verdaderas (reales positivas) o falsas


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(reales negativas) poda tener una ecuacin de cualquier grado. Supona que la ecuacin estaba en la forma x+bc+c=0. Descartes indic que la ecuacin tendra como mucho tantas races verdaderas como cambios de signo en los coeficientes y tantas races falsas como permanencia de signo. (Utilizaba la expresin como mucho para tener en cuenta las posibles races no reales de la ecuacin). Comprueba esa regla resolviendo las siguientes ecuaciones: x+5x+4=0; x7x+12=0; x32x5x+6=0.

Todos los problemas que se planteaba Descartes los resolva de forma geomtrica. Tena el siguiente mtodo para resolver ecuaciones de la forma x+ax=b.

1) Dibujaba un tringulo rectngulo cuyos catetos midieran a/2 y b.

2) Trazaba una circunferencia con centro en el vrtice correspondiente al lado a/2 y esa misma amplitud.

3) Esa circunferencia cortaba a la hipotenusa en el punto P. La distancia del punto P al otro vrtice era la solucin positiva de la ecuacin.

Con ayuda de regla y comps, utiliza ese mtodo para hallar la solucin de la ecuacin x+6x=16.

Bachillerato:

Representa en los mismos ejes de coordenadas las funciones f(x)=2x, g(x)=3x y h(x)=4x. Estudia sus caractersticas comunes e indica qu cumplen las funciones de la forma ax.

A partir de una tabla de datos, representa la funcin f(x)=log2x. Indica sus caractersticas (dominio, recorrido, crecimiento, etc.)

Utiliza el Teorema de Pitgoras y los productos notables para demostrar que el segmento obtenido en la construccin de la raz cuadrada es efectivamente la a para cualquier valor de a.

Demuestra algebraicamente que la medida del segmento PC de la figura es la solucin de la ecuacin x+ax=b. (Para ello llama c al segmento PC y escribe el segmento AC de dos formas diferentes, una a partir del Teorema de Pitgoras y otra como suma de c y del radio de la circunferencia. Igualando las dos expresiones llegars a que c+ac=b con lo que se demuestra que c es la solucin de la ecuacin).


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Si damos el salto del plano al espacio, el sistema que rige la localizacin de cada punto est formado por tres ejes de coordenadas, perpendiculares entre s. Cada dos ejes da lugar a un plano coordenado y los tres planos coordenados dividen al espacio entre 8 octantes. Sita los siguientes puntos en su octante correspondiente: A(1,2,3), B(2,1,5), C(3,2,6) y D(2,4,0)


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FERMAT

Una de las personas que, sin ser matemticos profesionales, fue un entusiasmado por esta materia y dej resultados ms apasionantes sobre teora de nmeros. Contesta las siguientes preguntas tomadas de su panel:

Quin demostr la conjetura de Fermat? En qu ao? En quin se bas para desarrollar su Geometra

Analtica? Cul fue su profesin? En qu campos de la Matemtica trabaj? Qu teora desarroll basndose en las matemticas de

Diofanto? Dnde escriba Fermat sus observaciones y hallazgos? En dnde nos quedan constancia de lo esencial de su

obra?

INVESTIGACIN:

Localiza en un mapa los lugares donde naci u muri Fermat. Cita los nombres de, al menos, cinco grandes matemticos coetneos de Fermat,

es decir, que vivieran en el siglo XVII. En que universidades estudi? Quin difundi los trabajos y teoras de Fermat? Por qu no quera publicar sus

trabajos? Busca en Internet algn sello relacionado con algunos de sus trabajos. En qu libro escribi Fermat: He descubierto una demostracin verdaderamente

maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla? Localiza la ecuacin de la espiral de Fermat y su representacin grfica. Qu son nmeros amigos? Pon un ejemplo. Qu es un nmero perfecto? Por un ejemplo.

Fermat conjetur que todos los nmeros naturales de la forma 22 1n

nF = + eran primos. Quin demostr que no era cierto? Cmo lo hizo?


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ACTIVIDADES EXTRAS:

1er ciclo de ESO:

Se ha demostrado que no es posible encontrar tres nmeros enteros que permitan descomponer el cubo de uno de ellos como la suma de los cubos de los otros dos, es decir, no hay solucin entera para x3+y3=z3, pero si es posible descomponer un cubo en suma de tres cubos. Comprueba que 33+43+53=63.

El ms famoso Teorema de Fermat dice que no es posible encontrar dice que no es posible encontrar tres nmeros enteros que verifiquen n n nx y z+ = siendo n mayor que 2. Quin demostr que para n=2 si se verificaba la igualdad?

Un nmero de Fermat es un nmero natural de la forma 22 1n

nF = + . Calcula los tres primeros nmeros de Fermat.

Fermat conjetur que los nmeros anteriores eran todos primos. Lo son los que tu has calculado?

Euler demostr que F5 no era primo. Calcula ese nmero y comprueba que es divisible entre 641.

Fermat dedujo que cada nmero primo, que es mayor en una unidad a un mltiplo de 3, est compuesto por un cuadrado y el triple de otro cuadrado (Es decir, los nmeros de la forma 3k+1 que sean primos se pueden escribir como p+3q). Entre los nmeros primos menores que 50, encuentra lo que son de la forma 3k+1.

En la misma lnea que lo anterior demostr que: Cada nmero primo que es una unidad mayor o tres unidades mayores que un mltiplo de 8, est compuesto por un cuadrado y el doble de otro cuadrado. Localiza los nmeros menores de 50 que son de ese tipo.

2 ciclo de ESO:

Un nmero de Fermat es igual al producto de todos los anteriores mas 2. Comprubalo para F3 y F4.

Fermat dedujo que cada nmero primo, que es mayor en una unidad a un mltiplo de 3, est compuesto por un cuadrado y el triple de otro cuadrado (Es decir, los nmeros de la forma 3k+1 que sean primos se pueden escribir como p+3q). Entre los nmeros primos menores que 50, encuentra lo que son de la forma 3k+1 y comprueba que se pueden descomponer como dedujo Fermat.

En la misma lnea que lo anterior demostr que: Cada nmero primo que es una unidad mayor o tres unidades mayores que un mltiplo de 8, est compuesto por un cuadrado y el doble de otro cuadrado. Localiza los nmeros menores de 50 que son de ese tipo y descompnlos en la suma de cuadrados que se indica.

Uno de los problemas que le plante el Caballero de Mr a Pascal y que dio lugar al nacimiento de la probabilidad tras la consulta de ste a Fermat fue el siguiente: Qu es ms probable, obtener un 6 en 4 lanzamientos de un dado, u obtner un


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doble 6 en 24 lanzamientos de dos dados? Halla ambas probabilidades y resuelve la duda del Caballero de Mr.

El Teorema de Fermat sobre la Suma de Cuadrados, que fue demostrado por Euler, dice: todo nmero primo de la forma 4k+1 (es decir es una unidad ms que el cudruplo de un nmero) puede expresarse como suma de dos nmeros cuadrados. Encuentra los nmeros primos menores de 50 que son de esa forma y descomponlos en suma de dos cuadrados.

Uno de los teoremas que plante, y que fue demostrado aos ms tarde por Gauss, deca que todo nmero entero es posible descomponerlo como suma de tres nmeros triangulares. Los nmeros triangulares, descubiertos por Pitgoras, son aquellos que pueden dibujarse como tringulo equilteros representados por puntos. Los primeros son 1, 3, 6, 10, 15, Comprueba que todos los nmeros comprendidos entre 50 y 60 pueden descomponerse como indica el teorema.

Bachillerato: Otro de los Teoremas que plante Fermat, y que demostr aos ms tarde Euler,

es el llamado Pequeo Teorema de Fermat: si p es un nmero primo, entonces es divisor de ap-a donde a es un nmero natural cualquiera. Comprueba el teorema en los siguientes casos:

p=2 y a=7. p=7 y a=3. p=3 y a=12.

Pascal le propuso a Fermat un problema sobre el reparto justo en un juego. Su planteamiento era el siguiente: Dos jugadores se apuestan 64 monedas que se llevar el primero que gane tres partidas. Por problemas externos, el juego se detiene cuando van 2 a 1. Cmo deben repartirse las 64 monedas?


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NEWTON

Este matemtico predijo la fecha exacta de su muerte. Tras visitar su panel responde a las siguientes cuestiones:

A qu se dedic Newton para pagarse sus estudios? Cules son las ramas cientficas que estudi? Cul fue su obra ms importante? Cmo defina fluente y fluxin? Qu cargo honorfico fue dado a Newton? Dnde naci Newton? En qu siglos vivi Newton? Qu tipo de clculo alumbr Newton? Indica uno de los hobbies de Newton. Cmo consideraba Newton a los cientficos anteriores a su poca?

INVESTIGACIN:

Cmo se llamaba el primer profesor de matemticas de Newton? Por qu tena miedo a publicar sus obras? Qu notacin utilizaba Newton para indicar una derivada? Dnde se sigue

usando esa notacin? Qu otros personajes famosos estn enterrados con l? Busca algn sello dedicado a Newton. Qu es la Casa de la Moneda? Qu es una epstola? Qu es un algoritmo? Qu es un binomio? Qu descubri Newton sobre las potencias de binomios? Enuncia las tres leyes de Newton.

ACTIVIDADES EXTRAS:

2 ciclo de ESO:

La notacin que usamos para expresar el discriminante de una ecuacin de segundo grado, = b4ac, fue dada por Newton. Recuerda la relacin que hay


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entre el rango del discriminante y el nmero de soluciones de la ecuacin y d cuntas soluciones tienen las siguientes ecuaciones:

a) 3x+5x+8=0 b) 2x5x3=0 c) 4x4x+1=0

Halla, por multiplicacin, los valores de (a+b) y (ab). Crees que esto tiene algo que ver con el binomio de Newton? Razona la respuesta.

Bachillerato:

Newton fue el primero en utilizar las coordenadas polares en el plano. Te acuerdas de cul era la expresin en forma polar de un nmero complejo? Expresa los siguientes nmeros complejos en forma polar a) 1+i b) 3 3

2 2i c) 2+4i

Usando la expresin del binomio de Newton, desarrolla la siguiente expresin (x+y)5.

Cul ser el coeficiente que completa el trmino x3y6 en el desarrollo de la expresin (x+y)9.

Algunos autores hablan del siguiente problema de probabilidad planteado en una correspondencia con Newton: Qu es ms probable, obtener un 6 al lanzar seis veces un dado u obtener dos veces seis al lanzar un dado doce veces. Responde a esa cuestin.


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LEIBNIZ

Uno de los responsables del mayor enfrentamiento matemtico de la historia, tras visitar su panel podrs responder a las siguientes preguntas.

Qu gran idea persegua, al igual que Lulio? En qu rama de la matemtica dej una huella

ms importante? De qu depende el rea de una curva? Quin lo introdujo en el gusto por las

Matemticas? Qu matemticos influyeron en l? Era Leibniz una persona introvertida? Razona la

respuesta. Para qu utiliz los ndices como nmeros

indicando posicin? Aparte de destacar en Filosofa y Matemticas qu

otras disciplinas abarc?

INVESTIGACIN:

Con qu edad aprendi latn? Y griego? En qu ciudad naci? Sitala en el mapa. De qu Academia de las Ciencias fue su primer presidente? Qu rey la fund? Durante su vida public muchos panfletos y artculos acadmicos, pero slo dos

libros filosficos, cmo se llamaron? Qu son las mnadas? Voltaire caricaturiz a Leibniz en su novela cmica Candide a travs de un

personaje. Cmo se llamaba? Leibniz fue el primero en utilizar el trmino anlisis situs, que posteriormente se

utiliz para referirse a qu?

ACTIVIDADES EXTRAS:

1er ciclo de ESO:


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a) Calcula el rea de cada uno de los rectngulos de la figura 1 y halla su suma. b) Haz lo mismo con los rectngulos de la figura 2.

Figura 1 Figura 2

c) Calcula el rea del trapecio ABCD y compralas con las de los apartados anteriores. d) Haz el mismo estudio que en los apartados 1 y 2 pero dibujando ahora 6 rectngulos de base la unidad. Comprueba que encuentras una mejor aproximacin al valor obtenido en c).

Dibuja todas las banderas de 3 franjas horizontales y de 3 colores distintos que podemos hacer con los colores: Rojo, Amarillo, Verde y Azul.

Con los nmeros 1, 2 y 3, cuntos nmeros de tres cifras distintas podemos obtener? Y si podemos repetir los nmeros?

En una clase hay cinco voluntarios para ser ayudantes TIC: Mara, Luisa, Vctor, Manuel y Antonio. El profesor debe elegir a dos de ellos. Cuntas parejas diferentes puede hacer?

2 ciclo de ESO:

Realiza los apartados a, b y c de la primera actividad del 1er ciclo. Calcula los errores absoluto, relativo y porcentual cometidos en la aproximacin del rea del trapecio por la suma de las reas de los rectngulos.

Representa la parbola de ecuacin y=x2+10x16 y calcula una aproximacin al rea comprendida entre la parbola y el eje de abscisas de la misma forma que en el ejercicio anterior.

Repetir los tres ltimos ejercicios del 1er ciclo utilizando las frmulas de Combinatoria.

El sistema binario est formado nicamente por 0 y 1 y la relacin entre la forma binaria y decimal puedes verla en los dos siguientes ejemplos:


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1101(2) = 123+122+021+120 = 13 ; 110(2) = 122+121+020 = 6 Determina a qu nmeros del sistema decimal corresponden los siguientes

nmeros expresados en binario: 1011, 11001, 11101.

Para pasar a binario basta ir dividiendo entre 2 sucesivamente los cocientes resultantes hasta obtener el cociente 1. El nmero binario est formado por el ltimo cociente y los restos obtenidos en orden inverso. Observa el ejemplo (figura 3) para pasar a binario el nmero 6 = 110(2). Pasa a binario los nmeros 17, 20, 25 y 37.

Figura 3

Bachillerato:

Calcula el rea encerrada entre la parbola y=x2+10x16 y el eje de abscisas. Determina el rea de la figura encerrada por las curvas: f(x)=x2 y g(x)=x3. Determina el rea encerrada por la funcin f(x)=sen(x) y el eje de abscisas en el

intervalo [0,pi].

Calcula integral definida 4

0

sen x dxpi

. Tiene sentido este resultado?

Leibniz demostr la frmula para hallar la derivada de un producto: ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f g x f x g x f x g x= +

a) Calcula, usando la definicin de derivada, la derivada del producto de f(x)g(x) siendo f(x)=x+2 y g(x)=8.

b) Aplica la frmula anterior para hallar ( )2 1 'x sen x + y ( )2 2 4 1 'xe x + . c) Deduce una frmula para derivar el producto de tres funciones.

Calcula la matriz ( )2 3x ijA a= tal que aij = (1)i+j(2i+3j). Halla la matriz de orden 4 ( )ijB b= con la regla de formacin bij = ij. Comprueba que la cuarta lnea del tringulo de Tartaglia se corresponde con:

4 4 4 4 40 1 2 3 4

y utilzalos para calcular (2x+y)4.


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MADAME DE CHTELET

Contesta a las preguntas sobre la informacin que aparece en el panel de Gabrielle milie Le Tonnelier de Breteuil.

Qu libro de Newton comenz a traducir en 1745? Cundo se public su traduccin? Qu ttulo nobiliario tena milie? Para qu escribi el libro Las instituciones de la Fsica? Cuntos aos vivi Madame de Chtelet? Gracias a quin comprendi las relaciones entre

Metafsica y Ciencia? Con cuntos aos se cas con el Marqus de Chtelet-

Lamon? El crater de un planeta lleva el nombre de Chtelet en su honor, de qu planeta se

trata.

INVESTIGACIN:

Cmo se conoce hoy da al siglo en que naci? Por qu? Qu tres hombres acompaaron a Madame de Chtelet en su lecho de muerte? Qu enfrentamiento hubo entre el matemtico Kning y ella? En qu ciudad francesa naci? Sitala en el mapa. Qu ttulo nobiliario posea su padre? A qu se dedicaba? Qu idiomas conoca aparte del francs? Madame de Chtelet tocaba el clavecn, qu tipo de

instrumento musical es? Con quin contrajo matrimonio en 1725? A qu se

dedicaba? Cuntos hijos tuvo con su esposo? Qu relacin haba entre milie y el mariscal

Richelieu? En una traduccin de los Principia de Newton aparece

la imagen adjunta. Quines estn representados en la imagen?


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EULER

Lean a Euler, lean a Euler, l es el maestro de todos nosotros.

Laplace

Leonhard Euler est considerado como el matemtico que ms obras escribi. Busca su panel y, tras leer detenidamente la informacin, contesta a las siguientes preguntas:

En qu pases desarroll su principal labor matemtica?

Cuntos aos vivi? En qu siglo? Qu problemas fsicos tuvo al final de su vida? Qu disciplinas quera su padre que estudiara? Sobre qu trataba su primer trabajo cientfico?, con cuntos aos lo public? Ante quin present el anterior trabajo? Cuntas veces fue premiado por el estamento anterior? Euler ha dejado a la posteridad muchas de las notaciones que utilizamos

actualmente. Indica algunas de ellas, explicando qu representan. Indica cul es la frmula de Euler que relaciona los elementos que componen un

poliedro. En el panel de Euclides aparecen los cinco poliedros regulares. Rellena la siguiente

tabla y comprueba la frmula de Euler (ten cuidado pues hay dos poliedros que tienen cambiados entre si los nombres).

Poliedro n caras n vrtices n aristas C + V = A + 2

INVESTIGACIN:

Localiza en qu pas naci Euler y en cul muri. Uno de los profesores de Euler fue Johann Bernouilli. Escribe un prrafo de un


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mximo de 10 lneas, hablando sobre su vida y obra. En la igualdad que relaciona las cinco constantes numricas, conocida por el fsico

Richard Feynman como la frmula ms reseable en matemticas, seguramente conocers el 0, el 1 y el nmero pi. Busca informacin sobre el nmero e y el nmero i. Indica de qu tipo son y cules son sus valores.

Existe un asteroide con el nombre de Euler en su honor. Busca informacin sobre dicho asteroide.

Tambin lleva el nombre de Euler un crter de la Luna de los llamados de impacto. Busca informacin sobre ese crter.

A lo largo de la historia se han dedicado muchos sellos postales a la figura de Euler. Busca algunos de ellos, captura sus imgenes y cuenta algn detalle sobre cuando fue editado, en qu pas, etc.

Un ao antes de presentar el primer trabajo cientfico del que se hablaba en el panel, present su tesis doctoral en la Universidad de Basilea, sobre qu trataba?

Una de las caractersticas de Euler era una memoria fotogrfica, se deca que poda recordar palabra por palabra una obra clsica, cul?, de qu autor?

ACTIVIDADES EXTRAS.

1er ciclo de ESO:

Uno de los mltiples campos en los que investig Euler fue en la Teora de Nmeros, en la que se introdujo gracias a su amistad con el matemtico prusiano Christian Goldbach. Este matemtico es famoso por su conjetura, que an nadie ha podido demostrar, segn la cual todo nmero par, mayor que 2, se puede expresar como suma de dos nmeros primos. Escribe todos los nmeros pares comprendidos entre 10 y 30 y comprueba que la Conjetura se cumple.

Hay nmeros pares que pueden escribirse como suma de dos nmeros primos de distintas formas, por ejemplo, el nmero 130 puede escribirse de 7 formas distintas como suma de dos primos. Encuentra al menos cuatro de ellas.

2 ciclo de ESO:

En el campo de la geometra, Euler descubri que el baricentro, ortocentro y el circuncentro de un tringulo estn siempre en lnea recta. En su honor, a dicha lnea se le llam Recta de Euler. Dibuja un tringulo cualquiera y halla esos puntos notables. Comprueba que estn en lnea recta.

En qu tipo de tringulos se cumple que el incentro tambin pertenece a dicha recta?

En su obra Propietates triangulorum, qurum anguli certan Inter. se tenent rationen


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(Propiedades de los tringulos cuyos ngulos tienen entre s alguna razn) plante once prob

cuaderno actividades rostro humano

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