Cuadernillo de ejercicios Métodos de Decisión

5º ADE

Curso 2004/05

Departamento de Estadística de Investigación Operativa II (Métodos de Decisión)

Facultad de Ciencias Económicas Universidad Complutense de Madrid

1. Se suponen cuatro dados d1; d2; d3 y d4, cuyas caras han sido numeradas. Los números asig-nados a cada cara para los dados han resultado ser:

d1 : 0 0 4 4 4 4

d2 : 3 3 3 3 3 3

d3 : 2 2 2 2 7 7

d4 : 1 1 1 5 5 5

Si se acepta que:

(a) un dado di �gana�a otro dj si al lanzarlos, el número obtenido con di es mayor que elobtenido por dj :

(b) un dado que �gana más a menudo que pierde�NO ES PEOR QUE un dado que pierdemás a menudo que gana.

¿Puede concluirse que esta relación binaria de�ne un preorden completo en el conjunto de losdados?.

2. Respecto de tres vendedores sometidos a control por parte de una empresa, se dispone de lainformación siguiente:

-el primero consigue 40 contratos en el 60 % de los clientes que visita, y 10 con el resto.

-el segundo consigue siempre 30 contratos.

-el tercero consigue 20 contratos en el 70 % de los clientes que visita y 60 en el resto.

Si la empresa considera que �un vendedor es mejor que otro�cuando el número de contratosque consigue es superior a los del otro con mayor frecuencia que inferior�, ¿Puede la empresaa la vista de estos datos y de tal criterio elegir entre los tres vendedores a uno de ellos comoel mejor?.

3. Probar que si sobre el conjunto = fwig se ha de�nido una relación binaria de preferencia-indiferencia %,wi % wj () wiRwj

en la forma: �el elemento wj no es preferido a wi", tal que dicha relación es de preorden com-pleto, sobre dicho conjunto queda de�nida una escala de preferencia. (Suponer i = 1; 2; 3; 4)

4. Si = fwig es un conjunto en el que se ha de�nido una relación binaria de preferencia-indiferencia tal que constituye un preorden completo, establecer si toda función real e isótonau, de�nida sobre es o no una función de utilidad.

5. Si = fwig es un conjunto en el que se ha de�nido una relación binaria de preferencia-indiferencia, tal que constituye un preorden, y u es una función real de�nida sobre que esrepresentación �el, demostrar que el preorden es completo.

6. Se considera la lotería bi-etápica L = f(0; 2;L1) ; (0; 5;L2; ) (0; 3;L3)g en la que:

L1 =

�0; 1 0; 5 0; 2 0; 2e1 e2 e3 e4

�

1

L2 =

�0; 3 0; 2 0; 4 0; 1e1 e2 e3 e4

�L3 =

�0; 2 0; 6 0; 1 0; 1e1 e2 e3 e4

�Determinar la probabilidad de cada uno de los �premios�e1; e2; e3 y e4 en la lotería L.

7. Se considera la lotería

L =

�0; 2 0; 4 0; 1 0; 17 0; 13e1 e2 e3 e4 e5

�y se supone que:

e1 � e5e2 '

��0; 6 e1

� �0; 4 e5

�e3 '

��0; 4 e1

� �0; 6 e5

�e4 '

��0; 2 e1

� �0; 8 e5

�Transformar la lotería L en otra equivalente con sólo dos premios, e1 y e5.

8. Se consideran las loterías siguientes:

L1 =

�0; 1 0; 3 0; 2 0; 15 0; 25e1 e2 e3 e4 e5

�L2 =

�0; 2 0; 2 0; 3 0; 2 0; 1e1 e2 e3 e4 e5

�L3 =

�0; 3 0; 05 0; 35 0; 15 0; 15e1 e2 e3 e4 e5

�y se supone que las preferencias manifestadas por un individuo son en la forma siguiente:

e2 '�0; 8 0; 2e1 e5

�e3 '

�0; 7 0; 3e1 e5

�e4 '

�0; 3 0; 7e1 e5

�e1 � e5

¿Cual de las tres loterías preferirá dicha persona?

9. Un hombre de negocios quiere decidir si emprender o no uno de dos contratos o ninguno.Dichos contratos proporcionan las opciones siguientes:

Contrato A Contrato BBene�cios Probabilidades Bene�cios Probabilidades100.000 0,2 40.000 0,350.000 0,4 10.000 0,40 0,3 -10.000 0,3-30.000 0,1

Si sus preferencias respecto de los distintos resultados las expresa de la forma siguiente:

50:000 '��0; 8 100:000

�;�0; 2 �30:000

�40:000 '

��0; 7 100:000

�;�0; 3 �30:000

�10:000 '

��0; 5 100:000

�;�0; 5 �30:000

�0 '

��0; 3 100:000

�;�0; 7 �30:000

�2

�10:000 '��0; 2 100:000

�;�0; 8 �30:000

�¿Emprenderá alguno de los contratos?. En caso a�rmativo ¿cuál de ellos?.

10. Un inversor proyecta colocar 10.000 euros en una operación A o en otra B. El rendimiento dela inversión A depende de la situación del mercado �nanciero en cada momento, de forma quesi existe ALZA dicho rendimiento es del 10 % y si existe BAJA es del -5 %. El rendimientode la operación B es siempre del 5 %.

El decisor estima que la probabilidad de que el mercado se encuentre en ALZA es del 0,7, yposee la siguiente función de utilidad sobre resultados monetarios:

Resultados -1.000 -500 0 500 600 700 800 1.000Utilidades 0 0,2 0,4 0,6 0,68 0,8 0,9 1

Establecer:

(a) ¿Qué inversión realizará?

(b) ¿Qué cantidad monetaria cierta le sería indiferente a otra opción de inversión de�nida

como: L =�A B0; 5 0; 5

�?

(c) ¿Qué probabilidad habría de asignar a la situación de ALZA para que resultara elegidala inversión B?

(d) Si el decisor considerase que la utilidad del dinero es proporcional a la cantidad, ¿cualsería su decisión?.

11. Supuesto que un decisor ajustándose a la racionalidad que se sigue de la axiomática de Lucey Rai¤a ha deducido la siguiente función de utilidad sobre los resultados monetarios:

Resultados -150.000 -50.000 0 75.000 100.000 180.000Utilidades -3 -2,5 -1 0 1 2

discutir la veracidad de las siguientes a�rmaciones:

A =

��50:000 00; 6 0; 4

�'�180:000 �150:0000; 18 0; 82

�B =

��150:000 100:0000; 2 0; 8

�'�180:000 �150:0000; 64 0; 36

�12. Es claro para Vd. que todo individuo preferirá con certeza la alternativa �vida�a la alternativa

�muerte�. Sin embargo, un individuo a�cionado al alpinismo, muestra preferencia por unalotería �vida y muerte�frente a la vida misma, esto es, a NO escalar.

Indique respecto a qué axioma de la axiomática de LUCE y RAIFFA tal comportamiento esinconsistente.

13. Parece que Vd. aceptará la ordenación que se propone a continuación: A � B � C, siendodichas alternativas las siguientes:

A: poseer 1.000 u.m.

B: poseer 0,001 u.m.

C: morir

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Indique respecto de qué axioma Vd. mostraría inconsistencia-irracionalidad, si se le plantearauna situación de este tipo.

14. Si u es una función real de�nida sobre el conjunto de loterías fLg tal que u es una función deutilidad-derivada de la axiomática de Luce y Rai¤a, comprobar que la función

u0= a � u+ b

donde a y b son dos constantes cualesquiera, con a > 0, es también función de utilidad sobredicho conjunto de loterías.

15. Se considera el conjunto de sucesos E = fe1; e2; e3; e4; e5g. Se supone que un individuo expresasus preferencias acerca de dichos sucesos en la forma

e1 � e5

e2 '�0; 8 0; 2e1 e5

�e3 '

�0; 6 0; 4e1 e5

�e4 '

�0; 2 0; 8e1 e5

�Determinar la función de utilidad de dicho individuo, de�nida sobre el conjunto E, tal que:

u1 = u (e1) = 4 u5 = u (e5) = �16

16. Supuesto que un decisor, ajustándose a la racionalidad que se sigue de la axiomática de Lucey Rai¤a, ha de�nido la siguiente función de utilidad sobre los resultados monetarios posiblesde las distintas alternativas:

Resultados: xi -250 -100 0 150 225 500Utilidades: u (xi) -2 -1 0 1 2 3

discutir la veracidad de la a�rmación A1 � A2 tal que:

A1 =

�0; 3 0; 7�100 225

�, A2 =

�0; 6 0; 4�250 500

�Si se plantea la opción entre las siguientes alternativas:

A1 =

�0; 5 0; 5�100 225

�, A2 =

�0; 3 0; 7�100 150

�Decidir razonadamente cuál elegiría.

17. A) Discutir razonadamente si la función

u = x2 + 3x� 4 � 4 � x � 1 (x en millones de euros).

puede o no ser la función de utilidad del dinero para un individuo.

B) Supuesto que u = x2 + 3x� 4 sea función de utilidad 8x 2 [�1; 5; 2], cuál sería la decisiónentre una operación �nanciera A, de la que pueden obtenerse los resultados 0 con probabilidad0,3 y 1,5 millones con probabilidad 0,7 y otra B cuyo resultado es 1,2 millones.

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18. Si un decisor ha asignado las siguiente utilidades de acuerdo con la axiomática de Luce yRai¤a

Resultados (wj) -150.000 -50.000 0 75.000 100.000 150.000 180.000Utilidades (uj) 2 3 4 5 6 7 8

determinar la utilidad, que según la función u, corresponde a las loterías:

A =

��50:000 75:0000; 2 0; 8

�B =

�0 100:0000; 6 0; 4

�19. Un decisor ha de�nido su función de utilidad del dinero de la siguiente forma:

u(x) = (x+ 2)2 � 1donde x representa miles de unidades monetarias. Establecer:

(a) Para qué valores de x dicha función es de utilidad.

(b) Razonadamente la actitud del decisor frente al riesgo.

(c) Siendo

l1 =

�0; 2 0; 81:000 0

�, l2 =

�0; 6 0; 4

�1:000 3:000

�, L =

�0; 9 0; 1l1 l2

�Determinar:

1. El equivalente cierto de L.2. La decisión que se adoptará entre L y una cantidad cierta C.

20. Si se ha de�nido u(x) = 15x� x3;8x 2 [0; 2], donde x viene expresado en miles de unidades.

(a) ¿Qué error se comete si se utiliza en lugar de u(x), la aproximación media-varianza paracada alternativa?.

(b) Dadas las alternativas:

A1 =

�0; 3 0; 70 2:000

�, A2 =

�0; 5 0; 5500 1:500

�, A3 =

�0; 5 0; 50 1:000

�y la función de utilidad anterior, establecer:

1. La comparación de dichas alternativas según criterio de �e�ciencia�.2. La ordenación de las mismas por la aproximación media-varianza.

21. Un decisor de�ne su función de utilidad del dinero mediante u(x) = 16x�x2 donde x representaunidades monetarias. Establecer:

(a) Para qué valores de x puede a�rmarse que u es función de utilidad.

(b) La actitud del decisor ante el riesgo.

(c) Si se le ofrecen a este decisor dos loterías:

l1 =

�0; 5 0; 55 3

�, l2 =

�0; 5 0; 53 7

�¿Son ambas e�cientes?. Determinar la prima de riesgo de l1:

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22. Una persona se plantea la posibilidad de participar en un negocio como socio capitalista otrabajador. La aportación inicial es de tres millones de euros. Con la primera modalidad puedeobtener unos bene�cios de tres millones de euros o nada, ambos con la misma probabilidad;con la segunda opción puede obtener uno o dos millones de euros, con probabilidades 0,4 y0,6 respectivamente. Si la función de utilidad del dinero de dicha persona es:

u(x) = 16x� x3

3(x en millones de euros)

Determinar:

(a) Para qué valores de x dicha función es de utilidad.

(b) La actitud frente al riesgo.

(c) La opción óptima según el criterio de la máxima utilidad esperada.

(d) ¿Sería necesariamente la misma si aplicara el criterio de la utilidad media-varianza?

(e) ¿Cuál es la forma más e�ciente de participar en el negocio?.

23. Un decisor pretende emplear la axiomática de Luce y Rai¤a para evaluar un conjunto dealternativas. Para ello tiene duda entre emplear una de las dos siguientes funciones

X �50 �25 0 50 100

v (x) �10 �8 0 30 100u (x) 0 0; 7 0; 3 0; 5 1

(a) Señalar de forma razonada, desarrollando los conceptos matemáticos que estime opor-tunos, cuál de las dos debería utilizar.

(b) Dada la siguiente lotería, determinar cuál debería ser el valor de p:

50 ��

p 1� p100 �50

�(c) ¿Con qué axioma de Luce y Rai¤a está relacionado el resultado anterior?

(d) Obtener la prima de riesgo de la lotería anterior, interpretar su signi�cado y deducirrazonadamente la actitud del decisor frente al riesgo.

(e) ¿Cuál es el error que se cometería al utilizar la aproximación media-varianza en la deter-minación de la utilidad de la lotería anterior?

24. Un decisor se enfrenta al siguiente problema, de�nido por la matriz:

E1 E2A1 10 12A2 5 15

Si se supone que los resultados son favorables al decisor, discutir de manera razonada, paraqué valores de p = P (E1); probabilidad del estado de la naturaleza E1, resultaría elegida laalternativa A2, de acuerdo con el criterio de valor monetario esperado.

En el caso anterior, y en ausencia de conocimiento de p, establecer la decisión correspondientesegún los criterios de Hurwicz y Savage.

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25. Una empresa valora en millones de euros los resultados que espera obtener al �nalizar elejercicio corriente según opte por uno de cuatro posibles tipos de inversión en función decuatro posibles situaciones de la coyuntura económica.

Dichos resultados, clasi�cados según el tipo de inversión que se elija, son:

A1 : 20 20 0 10A2 : 10 10 10 10A3 : 0 40 0 0A4 : 10 30 0 0

Determinar el tipo de inversión que será elegida si se dispone de información que permitasuponer que las situaciones previstas, para la evolución de la coyuntura van a darse conprobabilidades 0,20; 0,15; 0,25; 0,40; respectivamente. Establecer, en este caso, si resultaríaconveniente a la empresa tratar de mejorar su información estadística, y si realmente llegaráa mejorarla, supuesto que el coste de tal mejora fuese de seis millones de euros.

26. El coste para una empresa distribuidora de un determinado artículo es de 200 euros/unidad,siendo el ingreso por venta de 300 euros/u, de forma que las unidades adquiridas por laempresa han de ser abonadas al proveedor tanto si las vende como si no. La demanda diariapuede ser de 150 u, 200 u, o 250 u.

Se dispone de información acerca de las ventas realizadas por una empresa análoga en díasanteriores, siendo ésta:

no de unidades vendidas 150 200 250no de días 32 112 16

A la vista de esta información, ¿qué decisión tomará la empresa respecto del no de unidades aadquirir diariamente?.¿Cuál será el límite del coste correspondiente a la información adicionalque facilitará, cada día, el número exacto de unidades que se van a demandar?.

27. Una empresa distribuye dos artículos, cuyas cantidades respectivas representamos por x1 yx2. Los precios de venta semanales de dichos artículos (P1; P2) son aleatorios de acuerdo conla siguiente distribución de probabilidad:

(P1; P2) (1 : 3) (2 : 4) (4 : 3)P (P1 = r : P2 = s) 1=5 2=5 2=5

Si las alternativas posibles para la empresa son, en millones de unidades X1 = (0; 4), X2 =(4; 2) y X3 = (3; 3), determinar:

(a) El conjunto de resultados posibles evaluados para cada alternativa, y la distribución deprobabilidad asociada a los mismos.

(b) La decisión óptima.

(c) Si una empresa dedicada a estudios de mercado ofreciera su asesoramiento acerca de losniveles de precios alcanzables cada semana, por un precio de 487.000 euros. ¿Aceptarála empresa dicho asesoramiento?.

(d) Si el criterio de decisión fuera �elegir aquella decisión que otorgue mayor probabilidad aingresos superiores a 20 millones�, analizar la dominación estocástica entre las alterna-tivas, y establecer la decisión óptima.

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28. GANGA, S.A. es una empresa que se dedica a la comercialización de bienes de consumodestinados a las tiendas de �TODO A 0,60�. Esta empresa quiere ampliar su cifra de negocioentrando en un nuevo mercado. Por este motivo, realiza un estudio sobre la demanda desu producto en cuatro zonas distintas, I, II, III y IV, estimando una demanda en cada zonade 11.000, 12.000, 15.500 y 17.000 unidades respectivamente. Para poder abastecer el nuevomercado debe contar con un nuevo almacén; actualmente se alquilan tres, que tienen, cadauno, una capacidad de 11.000, 15.000 y 17.000 unidades. La estructura de costes mensuales(en miles de euros) que la empresa ha estimado para cada posible situación, queda recogidaen la siguiente tabla:

Almacénmercado

11.000 15.000 17.000

I 10 15 20II 10 17.5 15III 15 16 19IV 30 35 18

Si la probabilidad de alquilar el primer almacén es del 30 %, de conseguir el segundo del 40% y el tercero del 30 %, establecer:

(a) ¿Cuál será su decisión óptima respecto al nuevo mercado en el que desarrollará su ac-tividad si el objetivo que persigue es minimizar los costes?

(b) ¿Cuál será su decisión si además no acepta varianzas en los resultados superiores a 8.000euros?

29. En una extensión de cultivo de ocho hectáreas se desea plantar dos tipos de cultivos. Porcondiciones técnicas para el segundo cultivo se ha de dejar sin plantar tantas hectáreas comolas sembradas y el primer cultivo necesita triple número de horas de trabajo diario que elsegundo, disponiéndose tan sólo de un total de nueve horas de trabajo al día.

Los precios de venta de los cultivos por extensión plantada, son variables aleatorias con lassiguientes distribuciones de probabilidad: P1 � N(10; 2) y P2 � N(15; 1).

(a) Calcule la extensión que se debe plantar de cada cultivo para que el bene�cio esperadosea máximo.

(b) Compruebe que, para resultados superiores a 50, la regla de decisión utilizada en elapartado anterior veri�ca el criterio de dominación estocástica.

30. Una compañía de transportes debe decidir entre reparar la �ota de vehículos con una ciertaperiodicidad a lo largo de un año, o renovar ésta al comienzo del mismo. Los costes que seobtienen en el primer supuesto dependen de que el número de vehículos a reparar sea elevado,medio o bajo, siendo dichos costes de 15, 12 y 10 miles de euros respectivamente. Si serenuevan los vehículos al comienzo del año se espera un coste de 12 miles de euros.

(a) ¿Qué decisión adoptará la compañía de transportes?

(b) ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones en caso de existir más de una?.

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31. La proporción de unidades defectuosas de un lote de 1.000 unidades de un determinado artículopuede situarse en uno de estos cuatro niveles: 1 %, 5 %, 10 %, 20 %. La empresa destinatariadel lote incurrirá en un coste:

i) de 100 euros por unidad, en el supuesto de aceptarlo, como consecuencia de la identi�cacióny reparación de las unidades defectuosas que resulten del lote.

ii) de 200.000 euros en el supuesto de rechazarlo como consecuencia de los gastos que originala devolución del lote, si y sólo si la verdadera proporción de unidades defectuosas es del 5 %o menos.

A la vista de lo anterior, la empresa citada

(a) ¿aceptará o rechazará el lote?

(b) ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones posibles si es que hay más deuna?.

32. Una empresa proyecta lanzar un nuevo producto al mercado, pretendiendo establecer el preciode éste teniendo en cuenta que en el periodo en que sea lanzado, el precio de otro productoanálogo, lanzado por una empresa competidora puede ser �alto� (20 euros), �medio� (15euros), �bajo�(12 euros), para lo cual efectúa una estimación de la demanda que conseguiríacaptar en cada uno de los supuestos, según sea su precio y el �jado por la competencia,llegando a estos resultados (número de unidades demandadas)

Alto Medio BajoPrecio Alto 700 600 300

Medio 900 800 500Bajo 1.500 1.200 1.000

Supuesto que el coste unitario del producto sea de 10 euros, determinar:

(a) los resultados que se podrían obtener en cada situación.

(b) la decisión de la empresa en cuanto al precio de lanzamiento del producto.

33. Un proyecto de pavimentación de una carretera se puede realizar en cuatro, tres o cinco meses,habiéndose establecido de�nitivamente la fecha de comienzo del mismo. Si la pavimentaciónse realiza en cuatro meses, el coste básico del proyecto será de 80.000 u.m. disminuyendo en20.000 u.m. o aumentando en 40.000 u.m. según que la duración del proyecto se extienda a5 meses o se reduzca a 3 meses respectivamente. Sin embargo, los gastos de transporte (seconsideran incluidos en el coste básico) se pueden reducir en 10.000 u.m., si la carretera sepavimenta en tres meses en lugar de cuatro, incurriendo en un coste adicional de transportede 25.000 u.m. si el periodo de la obra se extiende a 5 meses.

Puesto que el proyecto se tiene que realizar durante un periodo de más tiempo, hay queconsiderar el gasto adicional debido a las condiciones meteorológicas, que pueden ser delluvia ligera, lluvia fuerte o lluvia y viento. Los costes por dichas condiciones están dados enla tabla siguiente:

3 meses 4 meses 5 mesesLluvia débil 10.000 15.000 5.000Lluvia fuerte 10.000 40.000 60.000Viento y lluvia 15.000 55.000 65.000

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A la vista de los datos anteriores establecer:

(a) La duración preferible para el proyecto

(b) ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones posibles si es que hay más deuna?.

34. Un distribuidor de cierto tipo de artículos debe realizar sus pedidos a un fabricante con undeterminado plazo de anticipación. Las ventas que se efectúen dependen de circunstancias nocontrolables por el distribuidor, circunstancias que pueden ser de tres diferentes tipos (A, B, C,respectivamente). El distribuidor considera que su actuación podría desenvolverse conformea alguna de las siguientes alternativas:

(a) No realizar nuevos aprovisionamientos, comercializando exclusivamente un stock disponible.

(b) Solicitar 1.000 nuevas unidades.

(c) Solicitar 3.000 nuevas unidades.

(d) Solicitar 10.000 nuevas unidades.

Los resultados que espera obtener, expresados en miles de unidades monetarias, se recogen enla tabla:

A B Ca -50 0 80b -10 30 35c 60 45 -30d 80 40 -45

Establecer qué decisión adoptará el distribuidor respecto del número de unidades que ha desolicitar.

35. Una empresa proyecta lanzar un producto en un mercado en el que la demanda es de carácteraleatorio, pudiendo los distribuidores agruparse en cinco bloques, en función del volumen quecada uno de ellos solicita. Esos volúmenes pueden ser, respectivamente, de mil, dos mil, tresmil, cuatro mil o cinco mil unidades al mes, ajustándose la producción de la empresa a lasprevisiones de �uctuación de la demanda. La empresa conoce que:

1o. El diseño del producto entraña un coste de 100.000.

2o. El coste variable por unidad producida es 200.

3o. Los excedentes de producción pueden ser colocados en un segundo mercado, a un precioigual a la cuarta parte del que se �je para el primer mercado.

4o. El precio que va a señalar para la colocación del producto es, por unidad, 400.

5o. Por su experiencia de situaciones similares, acaecidas en circunstancias anteriores, laempresa se otorga a sí misma una posibilidad de fracasar con el lanzamiento del producto del40 %.

¿Que decisión deberá adoptarse?.

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36. Con objeto de establecer la conveniencia de ampliar su red de ventas, una empresa estima losresultados que se seguirían de tal decisión, habida cuenta del posible incremento de clientes.

Incremento de clientes: 10% 25% 40%Resultados (miles euros): -10 10 25

(a) ¿Qué decisión adoptará la empresa?

(b) Si se estimarán las probabilidades de los distintos niveles de incremento de clientes en:P (E1) = 0; 5 P (E2) = 0; 35 P (E3) = 0; 15

¿Cuál será la decisión elegida?.

(c) Una empresa dedicada al estudio de mercados ofrece a la empresa anterior informaciónsobre sus posibilidades de captación de nuevos clientes. Si las únicas informacionesposibles son:X1: información consistentes en que el mercado es poco favorable.X2: información consistentes en que el mercado es muy favorable.y se estiman las probabilidades siguientes:P (X1=E1) = 0; 9 P (X2=E2) = 0; 6 P (X1=E3) = 0; 2

establecer:

1. ¿Qué decisión adoptará la empresa?2. ¿Qué valor otorga a la regla de decisión que se sigue del análisis pre-aposteriori dedicha información?

37. Una empresa pretende decidir si almacenar o no un nuevo producto. La decisión depende de lareacción de los potenciales consumidores del producto. Si se estiman los siguientes resultadosmonetarios (en miles de euros):

% de consumidores que aceptan el producto (�)�1 = 0; 1 �2 = 0; 2 �3 = 0; 3 �4 = 0; 4 �5 = 0; 5

A1 -10 -2 12 22 40A2 -4 6 12 16 16A3 0 0 0 0 0

donde A1: almacenar 100 unidades, A2: almacenar 50 unidades y A3: no almacenar.

Discutir:

(a) ¿Qué decisión deberá adoptar la empresa, si no utiliza otra información?

(b) ¿Qué decisión adoptará si estima que las probabilidades de las distintas situaciones re-ferentes a la captación de demanda son:P (�1) = 0; 2 P (�2) = 0; 3 P (�3) = 0; 3 P (�4) = 0; 1 P (�5) = 0; 1

(c) En el caso en que decida consultar a 4 clientes potenciales, elegidos aleatoriamente, acercade si demandarán o no el producto,

1. ¿cuál será la regla de decisión que se sigue del análisis pre-aposteriori de dicha in-formación?.

2. ¿cuál sera el coste al que estaría limitada la adquisición de dicha información?.

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38. Una empresa dedicada a la compra de televisores usados, para su reparación y venta posterior,sabe que, según su experiencia en los lotes adquiridos, el porcentaje de unidades que necesitanreparación puede ser del 5 % o del 10 %. La empresa opera habitualmente con dos proveedoresque cargan distintos costes de transporte a la mercancía. Los resultados netos (en miles deeuros) que la empresa espera alcanzar, dependen del porcentaje real de piezas defectuosas enel lote y de los costes, y estima que son los siguientes:

% defectuosas5 % 10 %

proveedor A 20 -10proveedor B 2 2

Establecer:

(a) la decisión de la empresa, en el caso de que no disponga de más información.

(b) la decisión, si estima que la probabilidad de que el porcentaje de piezas defectuosas seadel 5 % es de 0,4.

(c) la decisión, desde el punto de vista económico, si la empresa pudiese solicitar una muestradel lote e inspeccionarla, sabiendo que,-el coste de la muestra es de 0,2 miles.-si el lote contiene un 5 % de unidades defectuosas, la probabilidad de que en la muestraaparezcan como máximo el 6 % de piezas defectuosas es de 0,6; y si el lote contiene el 10% de defectuosas, la probabilidad anterior es de 0,4 %.

(d) valorar la información muestral desde el punto de vista de su e�ciencia.

39. A una empresa se le ofrece la posibilidad de adquirir un lote de cinco camiones como partedel excedente del equipo que elimina otra empresa. Al no poseer información exacta acercadel estado en que se encuentran dichos camiones, en el supuesto de contemplar la alternativaconsistente en la adquisición del lote, habrá de enfrentarse a la incertidumbre que le provoqueel número de camiones que necesitarán reparación antes de su puesta en funcionamiento.

La experiencia de situaciones análogas anteriores le permite cuanti�car la incertidumbre a laque se enfrenta, a través de las probabilidades �a priori�, recogidas en el cuadro siguientejunto al conjunto de las consecuencias económicas que se seguirían de tal decisión:

Probabilidades �a priori� 0; 35 0; 15 0; 10 0; 05 0; 10 0; 25No de camiones que necesitan reparación 0 1 2 3 4 5A1: ADQUIRIR LOTE 10 6 2 0 �2 �5A2: NO ADQUIRIR EL LOTE 0 0 0 0 0 0

donde los resultados vienen expresados en miles de euros, suponiendo bene�cio los positivosy pérdidas los negativos.

Elaborar:

(a) la regla de decisión que se sigue del análisis �pre-aposteriori�en el supuesto de que seopte por inspeccionar 3 camiones.

(b) el resultado esperado como consecuencia de la aplicación de tal regla de decisión.

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(c) el valor otorgado a la información consistente en que, inspeccionados 3 camiones, dos deellos necesiten reparación.

(d) el valor otorgado a la información que pueda proporcionar la inspección de tres camiones,tanto desde la perspectiva que se sigue del análisis coste-bene�cio, cuanto de la que sesigue del análisis de la e�ciencia de dicha información.

40. La empresa EXPORTCARDEL, S.A. tiene la posibilidad de hacer una operación en el ex-tranjero, que le reportaría un bene�cio de 10.000.000 u.m.. La operación está sometida adistintos avatares: por una parte, la probabilidad de que el cliente no pague es del 20 %; locual produciría una pérdida de 10.000.000 u.m.. Por otra parte, la probabilidad de que varíeel tipo de cambio es del 40 %; este hecho reduciría el bene�cio un 20 %.

Para paliar, en lo posible, estos problemas, la empresa se dirige a INFORMERC, S.L. em-presa especializada en información sobre mercados, que le ofrece informarle sobre el clienteen cuestión por un precio de 4.000 u.m.. Si el cliente es buen pagador, INFORMERC, S.L.acertará el 90 % de las veces. Si el cliente es mal pagador INFORMERC, S.L. acertará en un95 % de las veces.

Teniendo en cuenta la situación descrita, establecer la regla de decisión para la empresaEXPORTCARDEL, S.A.

41. Una empresa dedicada a la compra-venta de aparatos electrónicos discute la posibilidad deadquirir un lote de 1.000 unidades por un millón de euros. El Servicio de Estudios facilita lasiguiente información:

por experiencia anterior, presume que en el lote pueden aparecer un 5 %, un 10 % o un 15%de unidades defectuosas, cuya reparación supondría un coste de 500 euros por unidad.

puede considerarse que las probabilidades correspondientes a dichos niveles de unidades de-fectuosas son 0,4, 0,4 y 0,2 respectivamente.

el precio de venta que dichos artículos alcanzarán en el mercado es de 1050 euros por unidad.

Discutir:

(a) la decisión que adoptará la empresa a la vista de dicha información.

(b) la decisión, en el caso en que no se conocieran las probabilidades

El Servicio de Estudios de esta empresa, puede contratar asesoramiento sobre la situaciónplanteada de forma que, en el caso de que el lote contenga un 5 % de unidades defectuosas,la probabilidad de que se le recomiende la adquisición del mismo es de 0,8; si el lote contieneun 10 % de unidades defectuosas dicha probabilidad es de 0,6 y si el lote contiene un 15 % deunidades defectuosas la probabilidad citada es del 0,3. Establecer:

c. la regla de decisión.

d. el valor otorgado a dicha regla de decisión.

13

42. Una compañía dedicada a la prospección petrolífera tiene la posibilidad de perforar en doslugares distintos. En el primer lugar la prospección tendrá un coste de 100 millones en elcaso de que el terreno no falle. Si se optara por perforar en el segundo lugar el coste de laperforación sería de 60 millones, bajo el supuesto también de que el terreno no falle.

En el caso de que hubiera problemas con el terreno el coste sería de 150 millones en el primerlugar y de 180 millones en el segundo lugar. La probabilidad de que falle el terreno es de un10 % en ambos lugares.

La empresa puede solicitar, con un coste de medio millón de euros, un informe del compor-tamiento del terreno a perforar. El informe que la empresa consultora emitirá tras el estudiogeológico puede ser positivo o negativo. Si el terreno no va a fallar se ha estimado que elinforme será positivo el 95 % de las veces y si va a fallar el terreno el informe sería negativoel 90 % de las veces.

A la vista de lo anteriormente expuesto, determinar si la compañía petrolífera solicitará o noel informe a la empresa consultora y en caso de que lo solicite la regla de decisión asociada alproblema.

43. A comienzo de un ejercicio económico, una sociedad �nanciera proyecta realizar una inversiónadquiriendo títulos en Bolsa, a cuyos efectos puede adquirir dos tipos diferentes de títulosA y B. El Servicio de Estudios de la Sociedad, estima los precios de cotización que dichostítulos pueden haber alcanzado al �nalizar el ejercicio, según que el mercado se encuentre ensituación de ALZA, ESTABILIDAD o BAJA, y en base a ellos, los resultados posibles que serecogen en la tabla siguiente:

ALZA BAJA ESTABILIDADTITULOS �A� 600.000 -200.000 200.000TITULOS �B� 200.000 0 -200.000

Las tres situaciones en que puede encontrarse el mercado se consideran igualmente probables.

Con el �n de reducir la incertidumbre acerca de las distintas situaciones del mercado �nanciero,la Sociedad plantea a posibilidad de acudir a una empresa analista de mercados bursátiles,que le ofrece informar si el mercado se encontrará en situación de BAJA o no.

Dicho informe no es infalible, de tal manera que se estiman las siguientes probabilidades:

P (informe: �baja�/mercado en alza)= 0; 05

P (informe: �baja�/mercado estable)= 0; 25

P (informe: �baja�/mercado en baja)= 0; 90

Determinar si la Sociedad �nanciera solicitará o no el informe a la empresa consultora, y encaso a�rmativo, la regla de decisión asociada. ¿Qué valor otorgaría la Sociedad a dicha reglade decisión?.

44. Una empresa tiene la oportunidad de comprar tres máquinas usadas. Los resultados económi-cos, valorados en unidades monetarias, dependen del no de máquinas que necesiten reparación,habiéndose evaluado éstos en 10.000, 6.000, 0 y -5.000 si hay que reparar: ninguna, una, dos otres máquinas respectivamente. Las probabilidades �a priori�asignadas a dichos sucesos son:0,1, 0,4, 0,3 y 0,2 respectivamente. Con un coste de 100 u.m. la empresa puede revisar unamáquina. A la vista de la información anterior:

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(a) establecer la regla de decisión asociada al problema.

(b) el valor otorgado a dicha regla de decisión.

45. Una empresa estudia la posibilidad de lanzar un nuevo producto de carácter estacional almercado (A), pudiendo obtener unos resultados de �8; �1; 1; 5 ó 6 millones de euros depen-diendo del porcentaje de personas que adquieran el producto. Conforme a su experiencia desituaciones análogas acaecidas anteriormente, estima que dichos porcentajes pueden ser del1%, 5%, 10% ó 15% con probabilidades 0; 2; 0; 2; 0; 1 y 0; 5 respectivamente.

La empresa puede recibir información acerca del porcentaje de personas dispuestas a demandarel producto mediante uno de los siguientes procedimientos:

1) Realizando una encuesta entre los potenciales consumidores (X), con un coste de 200:000euros. Los resultados de la encuesta pueden indicar que la proporción de personas dispuestasa adquirir el producto se sitúa entre el 10% y el 20% (X1), entre el 10% y el 5% (X2) ó esinferior al 5% (X3).

2) Utilizando un panel de consumidores (Y ) cuyo coste sería 70:000 euros. Los resultadospueden indicar que el nuevo producto sería demandado por más de un 30% (Y1), por unaproporción comprendida ente el 20% y el 30% (Y2), por una proporción comprendida entre el10% y el 20% (Y3) ó por menos del 10% (Y4).

Las verosimilitudes para las distintas concreciones de X e Y son conocidas, y a partir de ellasse han obtenido las probabilidades �a posteriori�, los resultados esperados �a posteriori�y lasentropías condicionadas (en base el número e) que se indican en las siguientes tablas:

Xi E (A=Xi) P (Xi) H (E=Xi) Yi E (A=Yi) P (Yi) H (E=Yi)

X1154

310; 31 0; 61452 Y1

210; 5

370; 37 0; 24775

X266

420; 42 1; 2132 Y2

36; 5

230; 23 1; 2408

X3 �8527

0; 27 1; 1799 Y3 �137; 5245

0; 245 1; 111

Y4 �982; 5155

0; 155 0; 62677

Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:

(a) ¿Cuál es la alternativa óptima �a priori�?.

(b) Determinar e interpretar la entropía �a priori�(tomando logaritmos neperianos).

(c) Determinar el resultado esperado de la encuesta.

(d) ¿Realizará la empresa la encuesta?. En caso a�rmativo, ¿qué regla de decisión seguirá?.

(e) ¿Cuál sería el valor de la información X1?

(f) ¿Utilizará el panel?. En caso a�rmativo, ¿qué regla de decisión adoptará?.

(g) Si, a la vista de los resultados del panel, y en todas sus concreciones, el encargado detomar la decisión eligiese siempre la alternativa A ¿Cuál sería en este caso el valor otor-gado a dicha regla de decisión?¿Qué le indicaría esto al encargado de tomar la decisión?.

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(h) ¿Cuál de las dos informaciones le resulta más rentable?

(i) ¿Cuál de las dos informaciones es más e�ciente?

46. Una empresa discute la posibilidad de adquirir un lote de 1.000 piezas por un precio total de30.000 euros, para su venta posterior de la que se obtendría un ingreso de 50.000 euros. Laempresa ignora el porcentaje de piezas defectuosas del lote, cuya reparación, necesaria antesde la venta, supondría un coste de 30 euros por unidad.

Supuesto que como criterio de evaluación se considere el bene�cio asociado a la decisión,habida cuenta de los distintos costes a los que debe enfrentarse, establecer:

(a) los resultados asociados a las decisiones posibles y la distribución de probabilidad de losmismos.

(b) la decisión óptima en ausencia de otra información, así como el resultado esperado.

(c) la distribución de probabilidad de los resultados determinados anteriormente, supuestoque se dispusiera de la información obtenida de la inspección de n piezas elegidas aleato-riamente.

(d) la decisión óptima a posteriori de la decisión anterior, para los distintos resultados posi-bles de la misma, el valor otorgado a cada una de dichas informaciones, y el valor otorgadoa la información, cualquiera que sea su concreción.

(e) aplicación al caso en que se inspeccionen 30 piezas resultando 23 de ellas defectuosas.

47. Plantear el juego siguiente a través de la matriz de pagos, y discutir si existe equilibrio puro:

�Dos jugadores participan en el juego de �LOS DEDOS�en la forma siguiente: Cada jugadoradelanta uno o dos dedos y además conjetura los que va a adelantar el otro. Si sólo uno deellos acierta, gana una cantidad igual a la suma de los dedos adelantados por ambos. Siaciertan los dos o ninguno se considera empate, lo que no supone ganancia para ninguno�.

48. Si la matriz�2 �3 �4

�6 �1 1

�representa la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero, establecer:

(a) si existe o no solución al juego. ¿se trata de una solución pura?

(b) el valor del juego

49. Si la matriz0@ 6 5 28 4 �1

�2 4 3

1Arepresenta la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero, establecer la estrategiaóptima para ambos jugadores y el valor del juego. ¿Cuál es la máxima pérdida que el jugadorB estaría dispuesto a soportar?

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50. Si la matriz0@ 4 �2 5�1 3 1�2 �3 1

1Arepresenta la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero,

(a) establecer la estrategia óptima para ambos jugadores y el valor del juego.

(b) ¿Qué sucedería si ambos juegan según la estrategia mixta�1

2;1

2; 0

�?

51. Resolver el juego bipersonal de suma nula, dado por la matriz:0@ 4 03 3

�1 5

1Ay discutir si una solución posible óptima para el jugador B sería la elección de sus alternativasconforme a la siguiente estrategia mixta q� = (0; 35; 0; 65).

52. Dos empresas A y B que comercializan dos marcas de un mismo producto, en un mercado enel que la demanda es estable, se plantean la posibilidad de hacer una campaña publicitariaen radio, televisión, prensa, etc. La empresa A tiene cuatro posibles programas de publicidaddistintos y B tiene tres. Dependiendo del ingenio e intensidad de la campaña, cada empresapuede captar una proporción del mercado de la otra. Si se estima que la proporción de mercadocaptado o perdido por A es:

B1 B2 B3A1 �0; 3 0 0; 5A2 �0; 5 �0; 3 �0; 1A3 0; 2 0; 4 0; 1A4 0 0; 1 0; 4

Establecer razonadamente:

(a) Las características del juego.

(b) ¿Es razonable que B elija B1 porque es donde puede captar una mayor proporción declientes de A?

(c) ¿Cuáles son las estrategias óptimas para ambas empresas y el valor del juego?.

(d) Si A decide jugar de acuerdo con la distribución de probabilidad P = (1

2; 0;1

2; 0) y B

jugase con Q = (3

5; 0;2

5), establecer de forma razonada cuáles serían las consecuencias.

53. El vigilante de un recluso tiene cuatro posibilidades distintas de efectuar la vigilancia cadadía. El recluso tiene tres posibles formas de intentar escaparse. En función de lo que hagauno y otro se han estimado las probabilidades, conocidas por ambos, de que el recluso NOescape:

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B1 B2 B3A1 0; 1 0; 8 0; 9A2 0 0; 5 0; 3A3 0; 4 0; 4 0; 8A4 0; 9 0; 2 0; 6

(a) De�nir los elementos del problema de decisión y establecer sus características.

(b) ¿Sería razonable que el recluso escogiese B1 porque es la que maximiza su probabilidadde escapar?

(c) ¿Cuáles son las estrategias óptimas de ambos? Establecer el principio de racionalidadque permite determinarlas.

(d) Si el recluso (jugador B) adopta la estrategia Q =�3

7;4

7; 0

�y el vigilante (jugador A)

decide elegir según P =�0;1

2;1

2; 0

�, ¿cuál será la probabilidad, en términos medios, de

que el recluso no escape?. Interprete el resultado obtenido.

(e) Construir razonadamente el programa lineal que permite resolver el juego para el jugadorA estableciendo todos los supuestos en los que se basa dicha construcción.

54. Dos grandes cadenas de supermercados, A y B, van a abrir, en las mismas fechas, un nuevosupermercado en un centro comercial de una ciudad donde el número de clientes potencialeses de 100.000. El reparto del número de clientes potenciales entre las dos cadenas dependede la estrategia que cada una de las �rmas adopte en cuanto a campañas de publicidad yproductos en oferta. En función de la estrategia seguida por cada empresa, el número declientes potenciales que se adjudica a la cadena A, en miles, es el siguiente

B1 B2 B3A1 40 20 60A2 30 40 70A3 60 10 80

(a) ¿Cuáles son las características de este juego?

(b) ¿Cuál es el número mínimo de clientes que aceptará tener A?¿Y B?

(c) ¿Cuál es la estrategia óptima de A y B? A la vista de este resultado, ¿se puede a�rmarque A y B esperan repartirse por igual el número de clientes potenciales?

(d) ¿Qué ocurrirá si B decide adoptar una estrategia diferente a la óptima?

(e) Determine, razonadamente, el programa lineal para el jugador A.

55. Dada la siguiente matriz

B1 B2 B3A1 1;�1 �1; 1 �2; 0A2 1; 3 �2; 2 �1; 1A3 �2; 2 0;�1 �2; 1

(a) Caracterizar el juego propuesto.

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(b) Comprobar si existe equilibrio de Nash.

56. A veinte kilómetros de una gran ciudad se acaba de construir una importante zona residencial.De momento, no existe ningún transporte público que comunique la zona residencial, ni éstacon la ciudad; pero hay dos empresas de transporte que se están planteando la posibilidad decubrirlo. Si sólo una de las dos empresas pone la red de autobuses obtendrá unos bene�ciosde 100 millones de euros, pero si ambas la montan cada una de ellas tendrá una pérdida de50 millones de euros.

Si las dos empresas deben decidir simultáneamente si van o no a dar servicio a la nueva zona:

(a) Plantear el juego correspondiente y establecer sus características.

(b) Analizar los equilibrios de Nash existentes.

57. Dos individuos que han cometido un cierto crimen son detenidos con sólo leves indicios deculpabilidad. Se les aísla en celdas independientes, planteando a cada uno de ellos la posi-bilidad de que delate al otro. Si sólo uno de ellos colabora con la justicia, el que lo hace esabsuelto como recompensa y puesto en libertad, mientras que el otro es condenado a doceaños de cárcel. Si, por el contrario, los dos se delatan mutuamente, se obtienen pruebas quepermiten condenar duramente (5 años) a ambos. Finalmente, si ninguno de los dos colaboracon la justicia, ambos son condenados a penas menores (1 año) fundamentadas en los pocosindicios que la policía ha conseguido obtener. ¿Cuál es la decisión óptima a que debe optarcada uno de ellos supuesto un comportamiento racional acorde con la teoría de juegos?

58. Una pareja ha quedado para un día determinado y tiene que concretar dónde van a encontrarsey lo que van a hacer cuando llegue ese día. Ya anticipan cuáles son las posibilidades: ir alfútbol o de compras. Si hacen lo primero, se reúnen en el campo de fútbol a la hora delcomienzo del partido, por el contrario, si deciden hacer lo segundo, quedan, como siempre,en la puerta de ciertos grandes almacenes después de comer. No tienen teléfono, por lo quehan de concretar ahora la cita. Las preferencias de cada uno sobre las posibles alternativasestán claras: la chica pre�ere ir al fútbol antes que de compras, el chico, lo contrario. Encualquier caso, siempre preferirían hacer juntos cualquiera de las dos posibilidades que salirpor separado. Los pagos son como sigue

ChicoC F

Chica C 2,3 0,0F 1,1 3,2

donde C y F representan las estrategias �ir de compras�o �ir al fútbol�. ¿Cuál es la decisiónóptima a que debe optar cada uno de ellos supuesto un comportamiento racional acorde conla teoría de juegos?

59. Considérese el juego bilateral resumido por la siguiente tabla de pagos:

R S TA 3,0 2,2 1,1B 4,4 0,3 2,2C 1,3 1,0 0,2

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¿Que estrategias del juego sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias dominadas?Calcúlense los equilibrios de Nash, tanto en estrategias puras como mixtas.

60. Resolver el juego bipersonal de suma nula de�nido por la matriz de pagos:0@ �1 3 �32 0 32 1 0

1Adeterminando el valor del juego. ¿Puede a�rmarse que el pago esperado por el jugador B sielige la estrategia mixta Q = (1=10; 38=60; 16=60) y el jugador A elige la alternativa A3, serámenor que 4?

61. Un viajante debe realizar un trayecto en cuatro etapas, recorriendo distintas ciudades (nume-radas en el grá�co de 1 a 10) siendo las posibles rutas las señaladas en el grá�co. Se conocenlos costes de trayectos parciales entre dos ciudades, que aparecen en el grá�co entre paréntesissobre cada ruta. Determinar la ruta total de coste mínimo.

62. Un individuo dispone de 2 millones de euros para realizar un inversión en una campañapublicitaria a �n de promocionar un nuevo artículo en cuatro regiones económicas (A, B, C yD), y estima los posibles volúmenes de ventas en cada una de ellas, que se conseguirían segúnla cantidad invertida, en la forma siguiente:

RegiónCantidad invertida A B C D

0 0 0 0 01 28 25 15 202 45 41 25 33

Determinar la política óptima de inversión, aplicando la metodología de Programación Dinámica.

NOTA: Se supone que la inversión total puede repartirse sólo en cantidades iguales a 1 millónde euros y que las cifras de ventas vienen dadas en miles de unidades.

63. Para aprobar una asignatura un estudiante necesita superar tres pruebas y dispone únicamentede dos semanas para prepararlas. Dicho estudiante ha estimado la probabilidad de superarcada prueba dependiendo del número de semanas que dedique a la preparación de las mismas,siendo éstas las que aparecen en la siguiente tabla:

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Probabilidad de aprobarPruebas1a 2a 3a

no semanas 0 0,6 0,4 0,21 0,8 0,6 0,52 0,85 0,8 0,7

Si el estudiante no prepara ninguna prueba (dedica 0 semanas a cada una de ellas) la proba-bilidad de aprobar la asignatura sería: 0; 6 � 0; 4 � 0; 2 = 0; 048.Determine a través de la metodología de la programación dinámica cómo asignaría el estu-diante su tiempo a cada una de las pruebas para que la probabilidad de aprobar la asignaturasea máxima.

De�na todos los elementos que necesite para la resolución del problema.

64. La carga de un camión se distribuye con el propósito de maximizar el ingreso total. Seconsideran 3 posibles elementos a transportar. Sabiendo que el camión sólo puede transportar2.000 Kg y debe ir totalmente lleno y además que es necesario tranportar al menos un elementodel tipo 3, ¿qué elementos debe transportar?

Elementos 1 2 3Peso (en Kg) 500 750 250Bene�cio Unitario (euros) 50 100 25

Resolver el problema planteado utilizando la metodología de Programación Dinámica especi-�cando todos lo elementos que aparezcan.

65. La carga de un camión se distribuye con el propósito de maximizar el ingreso total. Seconsideran 5 posibles materiales a transportar y se necesita como mucho una unidad de cadauno de ellos. La compañía de transportes gana 5.000 euros por elemento transportado más unaboni�cación por cada uno de ellos. Sabiendo que el camión puede transportar como máximo2.000 Kg, ¿qué materiales debe transportar?

Materiales 1 2 3 4 5Peso (en Kg) 1.000 110 700 800 500Boni�cación (en miles de euros) 7 8 11 10 7

Resolver el problema planteado utilizando la metodología de Programación Dinámica especi-�cando todos lo elementos que aparezcan.

66. Obtener max(z1 �z2 �z3), siendo z1+z2+z3 = 6, y supuesto que cada variable z es una variablecontinua no negativa.

67. Obtener max(z21 + z22 + z

23), siendo z1 + z2 + z3 = 4 y zi � 0:

68. Obtener max(z21 + z22 + z

23), siendo z1 + z2 + z3 = 8 y zi � 0:

69. Una empresa papelera fabrica dos tipos de pasta de celulosa: pulpa de celulosa obtenidapor medios mecánicos y pulpa de celulosa obtenida por medios químicos. Las capacidadesmáximas de producción se estiman en 300 y 200 tm/día para cada uno de los dos tipos depasta de celulosa. Cada tm de pasta producida necesita un trabajador y la empresa dispone

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de 400 trabajadores. El margen bruto (ingresos menos costes variables) por tm de pastaobtenida por medios mecánicos se estima en 1000 u.m y en 3000 u.m la obtenida por mediosquímicos. Los costes de la papelera se estiman en 300.000 u.m/día. La empresa desearía, almenos, cubrir costes �jos. Las preferencias de la empresa se concretan en la maximizacióndel margen bruto (objetivo económico) y en la minimización del daño generado en el río enel que la papelera vierte sus residuos (objetivo ambiental). Este objetivo medioambiental setraduce en minimizar la demanda biológica de oxígeno. Se estima que los residuos producidospor cada tm de pasta obtenida por medios mecánicos y por medios químicos generan unasdemandas biológicas de oxígeno en las aguas del río de 1 y 2 unidades.

Resolver el problema:

(a) Por el método de las restricciones

(b) Por el método de las ponderaciones.

70. Una compañía de transporte urgente tiene establecidas sus tarifas en función del tiempo deentrega deseado del producto; para las entregas en 12 horas se establece un precio de 4000u.m. por bulto, para las de 24 h uno de 3000 u.m. por bulto y para las de 48 h 2000 u.m. porbulto. Además, el servicio de 12h admite hasta 40 Kg. de peso por viaje, el de 24h hasta 20Kg. y el de 48h hasta 15 kg.

Cada camión tiene espacio para un máximo de 80 bultos, con un límite de carga de 2400 kg.Por cada bulto del servicio 12h el camión gasta 3 litros de combustible, 2 litros por cada bultodel servicio de 24h y 1 litro por cada bulto del servicio 48h. El depósito del camión admitehasta 1400 litros.

¿Cuántos bultos de cada tipo de servicio debería admitir la empresa, por camión, para con-seguir el máximo ingreso con el mínimo peso total y el mínimo gasto total de combustible?Aplíquense los métodos de las restricciones y de las ponderaciones en la resolución del prob-lema.

71. Una empresa que busca diversi�car sus líneas de negocio se propone invertir un máximo de unmillón de euros en una nueva actividad. El director comercial propone los siguientes proyectos:

Proyecto 1 (P1)

Proyecto 2 (P2)

Proyecto 3 (P3)

El comité de dirección considera que puede participar en varios de los proyectos presentadosde forma que la rentabilidad de su inversión sea máxima al tiempo que el riesgo asumido seamínimo.

El departamento �nanciero de la empresa presenta en la siguiente tabla la rentabilidad esti-mada para cada proyecto así como una valoración del riesgo asociado a cada proyecto

Rentabilidad Estimada Nivel de riesgo por u.m.P1 14% 0,6P2 20% 1P3 13% 0,7

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El capital necesario para iniciar cada proyecto es de 300.000, 200.000 y 50.00 euros respecti-vamente. El director gerente no quiere que la empresa asuma riesgos que superen el 85% dela inversión total.

(a) Plantee el problema de decisión.

(b) Genere puntos e�cientes mediante el método de las restricciones.

(c) Genere puntos e�cientes mediante el método de las ponderaciones.

72. Una empresa, que produce componentes de tecnología solar, está considerando la posibili-dad de fabricar en serie 2 tipos de células solares para la conversión de energía: un módulocelular (Producto 1) para aplicarlo a los satélites meteorológicos y un chip celular (Producto2) para usarlo en las calculadoras solares. Desafortunadamente, el proceso de produccióncausa contaminantes en la atmósfera. Para evitar posibles enfermedades en la población sedesearia minimizar las emisiones de contaminación. Ademas tambien le gustaria maximizarel bene�cios.

En la siguiente tabla se recogen los imputs y los precios de venta de cada uno de los productos.

PROD. 1 PROD.2 DisponibilidadesUnidades de galenio requeridas 1 5 72Tiempo de la máquina (horas) 0,5 0,25 8Tiempo de montaje(hombres/hora) 0,2 0,2 4Coste de los materiales (u.m) 0,25 0,75Coste de la mano de obra (u.m) 2,75 1,25Precio de venta por unidad (u.m) 4 5Contaminación emitida(unidades) 3 2

(a) Plantear el problema multiobjetivo, de�niendo todos los elementos del mismo.

(b) ¿Existe una solución que minimize la contaminación y maximize el bene�cio?

(c) ¿Es una solución factible producir 12 unidades del primer producto y 8 del segundo? ¿ese�ciente?

(d) Represente gra�camente la frontera e�ciente en el conjunto de oportunidades de elecciony en el espacio de objetivos.

(e) Determine la matriz de pagos. ¿Cuál es el punto ideal?

(f) Obtenga el conjunto e�ciente por los métodos de las restricciones y de las ponderaciones.

(g) Si la empresa quiere elegir entre las soluciones e�cientes la más próxima al ideal, planteeel problema a resolver sabiendo que:- Para medir la proximidad al ideal utiliza la métrica L2.- Pre�ere aproximarse al ideal de contaminacion el doble que al de bene�cio.

(h) Determine grá�camente el conjunto compromiso con las métricas lineal y de Tchebyche¤si ambos objetivos son igualmente importantes para la empresa.

73. La empresa SUPERMOTOR se plantea la estructuración de un programa de producción enbase a los dos tipos de productos que fabrica y que denominaremos T1 y T2. Dicha empresa

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considera relevante conseguir el mayor bene�cio posible con la producción y venta de losproductos y (por razones de imagen pública) conseguir reducir al mínimo la polución delmedio ambiente derivada de los diferentes procesos productivos. Además, la empresa deberespetar algunas limitaciones o condiciones importantes relacionadas con las dos materiasprimas más importantes que utiliza, que denominaremos A y B. De la primera, dispone de1200 uds. y de la segunda de 600 uds. Además, y con el �n de mantener un cierto nivel deactividad, se considera que la producción total ha de superar las 300 uds. de producto. Seofrece la siguiente información en el cuadro:

T1 T2

Ben�cios unitarios 4 2Polución/uds. de producto 3 2Consumo unitario de materia prima A 2 3Consumo unitario de materia prima B 3 1

(a) Establecer los elementos del problema

(b) Modelar el programa de producción de la empresa. ¿Hay un problema de decisión?.

(c) Representación grá�ca del conjunto factible y del conjunto de objetivos.

(d) Encontrar el conjunto de soluciones e�cientes en el espacio de objetivos (discutir grá�ca-mente) y plantear un programa matemático que permita encontrar soluciones e�cientesextremas.

(e) Construir la matriz de pagos

(f) Supuesto que al centro decisor le interese encontrar aquella solución e�ciente más cercanaa la solución ideal, utilizando la métrica L1, ¿cuál sería el programa a resolver?.

(g) Desde el Parlamento Europeo se aconseja a las empresas que cuiden el medio ambiente yse establecen menciones de calidad para aquellas empresas que tengan unas buenas prác-ticas. Para poder acudir a esas menciones de calidad la empresa no debería contaminarmás de 700 u. Plantee el programa matemático correspondiente a esta situación.

(h) Resuelva grá�camente el problema del apartado (g). Sugerencia: apóyese en la repre-sentación grá�ca del apartado (d).

74. Una nueva agencia publicitaria con 10 empleados ha conseguido un contrato para promoverun nuevo producto. Puede contratar anuncios en radio y televisión. La siguiente tabla pro-porciona los datos acerca del número de personas a las que llega según el tipo de soporteempleado, además del coste y la fuerza laboral empleada.

Por cada minuto de anuncioRadio TV

Audiencia (millones de personas) 5 8Coste (miles de um) 8 24Empleados asignados 1 2

El contrato prohíbe a la agencia emplear más de 6 minutos de radio. La empresa desea sabercuantos minutos de radio y televisión debe utilizar para conseguir la mayor audiencia posiblecon el menor coste.

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(a) Plantee el problema, de�niendo todos sus elementos;

(b) ¿Existe una solución óptima? ¿Por qué?

(c) Existe alguna solución factible que no sea e�ciente?

(d) Determine la matriz de pagos, y los puntos ideal y anti-ideal;

(e) Plantee el problema por el método de las restricciones, sin resolverlo;

(f) Obtenga la solución compromiso con la métrica L1, si para la agencia $1 = $2;

(g) Si la empresa considera deseable que los anuncios de radio y televisión lleguen al menosa 45 millones de personas y establece un presupuesto meta de 100.000 um, y considerademás que la audiencia es el doble de importante que el coste, plantee el problemacorrespondiente, sin resolverlo;

(h) Si la solución al problema planteado en el apartado anterior es x1 = 5 minutos; x2 = 2; 5minutos; p1 = 5 millones de personas y el resto de variables son cero, ¿es esta soluciónsatisfactoria? ¿es e�ciente? ¿es factible? ¿constituye una solución racional?

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