DIVISIBILIDAD

Conceptos yCriterios de Divisibilidad

Criterios de Divisibilidad

TODOS LOS NÚMEROS NATURALES SON DIVISIBLES POR “1” Y POR ÉL MISMO.

Ejemplo: 2:1=2

2:2=1

Criterios de Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si

acaba en 0 o en cifra par.

Ejemplos: Números divisibles por 2:

36 – 94 – 521342 – 40 ...

9436

52134240

Criterios de Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplos: Números divisibles por 3: 36, 2142, 42

36

2142

42

3 + 6 = 9

2+1+4+2= 9 4+2 = 6

Criterios de Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si :

acaba en 00 o sus últimos dos dígitos son un múltiplo de 4.

Ejemplos: Números divisibles por 4:

900 – 216 - 521,320 - 400,...

Criterios de Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5,

si la última de sus cifras es 5 ó 0.

Ejemplos: Números divisibles por 5:

35 – 2,145 – 40 ...35

214540

Criterios de Divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6 si

Es divisible por 2 y por 3.

Ejemplos: Números divisibles por 6: 126 = es divisible por 2 y por 3, por lo tanto es por 6

9012 – 606 – 462

Criterios de Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9

si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplos: Números divisibles por 9: 36, 2142, 693,…

3+6=9

2+1+4+2=9

6+9+3=18

Criterios de Divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10 si

si la última de sus cifras es 0.

Ejemplos: Números divisibles por 10:

350 – 21450 - 40...

Criterios de Divisibilidad por 11

La suma de las cifras de las posiciones impares (-) menos la suma de las cifras de las posiciones pares, son (=) igual, a 0 ó múltiplo de 11.

EJEMPLO: 462, 968, …

4 + 2= 6 9 + 8 = 17

6 - 6 = 0 17 – 6 = 11

M.C.D. • El máximo común divisor, M.C.D. de dos o

más números es el mayor número común que divide a todos exactamente. (Nº más pequeño.).

Cálculo del máximo común divisor:• 1. Se descomponen los números en factores

primos.• 2. Se toman los factores

comunes con menor exponente.

Ejemplo:

• Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.• 1. 72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5• 2. m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12 12 es el mayor número que divide a : 72, 108 y 60.

m.c.m. Mínimo común múltiplo• Es el menor de todos múltiplos comunes a

varios números, excluido el cero. (Nº grande)

Cálculo del mínimo común múltiplo:• 1. Se descomponen los números en factores

primos.• 2. Se toman los factores comunes y no

comunes con mayor exponente.

• 72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5• m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1080

Ejemplo:

SUMA DE FRACCIONES• Hay dos casos:• Fracciones que tienen el mismo denominador;• Fracciones que tienen el distinto denominador

• Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

4/5 + 2/5 = 6/5

SEGUNDO CASO (distinto denominador)• Tenemos (3/4 + 4/2)• 1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m.

de (4 y 2) = 4. Ya sabemos que todos lo denominadores son 4.• 2º Calculamos los numeradores. Para poder calcularlos

seguiremos estos pasos:• Dividimos el m.c.m. (4) por el denominador y el resultado lo

multiplicamos por el numerador.• Numerador de la primera fracción: (4:4=1), (1x3=3).• Primera fracción 3/4.• Numerador de la segunda fracción: (4:2=2), (2x4=8).• Segunda fracción 8/4.• 3º Tenemos pues una suma sencilla de fracciones, que son: 3/4 + 8/4 = 11/4

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar fracciones, multiplicaremos los numeradores entre sí, para conseguir el numerador final y para calcular los denominadores también los multiplicaremos entre sí, para tener el denominador final.

EJEMPLO:

3/5 x 6/2 = ?

3x6=18 numerador y 5x2=10 denominador

18 10

DIVISIÓN DE FRACCIONESPara dividir fracciones, multiplicaremos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda para conseguir el numerador final y lo mismo haremos con el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda para conseguir el denominador final.( En cruz.)

EJEMPLO:

3/5 : 6/2 = ? 3 x 2 = 6 5 x 6 = 30

Resultado final 6/30 = 1/5 (fracción reducida)

3 6 65 2 30 EN CRUZ DIVIDIR FRACCIONES

• Fracciones propias: Son todas las fracciones que tienen el

numerador menor que el denominador, por tanto son:

menores que la unidad <1Ejemplo: 3 4

TIPOS DE FRACCIONES

• Fracciones impropias: Son todas las fracciones que tienen el

numerador mayor que el denominador, por tanto son :

mayores que la unidad >1Ejemplo: 5 4

TIPOS DE FRACCIONES

• Fracciones aparentes: Son todas las fracciones que tienen el

numerador igual que el denominador, por tanto son :

la unidad =1Ejemplo: 5 5

TIPOS DE FRACCIONES

Para saberlo, siempre deberemos poner los denominadores comunes (m.c.m.), para compararlos como si de una suma se tratase.

EJEMPLO: 3 y 4 de un pastel. 5 7Calculamos el m.c.m. de los denominadores

que es (5 x 7) = 35 (porque los dos son primos)

CONTINUA

COMO SABER, CUAL ES LA FRACCIÓN

MÁS GRANDE O MÁS PEQUEÑA.

• Tenemos las siguientes fracciones, listas para poder compararlas: (35 es el denominador común).

35:5=7 ; 7 x 3=21 21 7x3 : denominador x numerador 35 35:5

35:7=5 ; 5 x4=20 20 5x4 35 35:7 En este caso la fracción más grande es: 21 3 35 5

• ¿COMO CALCULAR EL % DE UN Nº?• 1er Método: Mediante una regla de tres simple. Ejemplo: Calcular el 10% de 300€. Tenemos que el 100% 300€

10% X Multiplicamos 10 x 300 y lo dividimos por 100 10x300 30€ 100

• 2º Método: Calcular el % de cualquier Nº con la siguiente fórmula: % . X = % . X 100 Ejemplo: 10% de X = 10 . X 0.1 . X 100 10% de 300 € = 300 x 0.1 = 30€

Siempre el Nº que indica el % se divide por 100.10 : 100 = 0.1

• 3er Método: Cálculo mental. ÍNDICE:

Este valor es el resultante de dividir cualquier Nº de % , por 100.

1Ejemplo: 10% de 78 = 10:100 x 78= 7.8

ÍNDICE 0.12º Ejemplo: 20% de 300€ = 0.2 x 300 = 60€ 20:100 0.2 es el ÍNDICE