Coordinación Matemática básica

Taller 3.

2018-1

Objetivo: Afianzar los conceptos fundamentales de la matemática como conjuntos numéricos,

potenciación, y álgebra, vía la manipulación de ejercicios y problemas enmarcados en diferentes

contextos.

Requisitos: Operaciones con enteros, operaciones con fracciones, potenciación, productos notables,

factorización.

Temas: Operaciones con expresiones racionales, ecuaciones, racionalización

1. Ejecute la adición o sustracción y simplifique

− − −

+ −

− − −

+ − −

− + −

� −�− + ��+

+ + + + ++ +

+ − − − + ++ −

− + − + + −

+ +

+ + −

+ − + + + −

− − ++

+ − +

2. Simplifique la expresión racional

+−

4.

+ + −− + +

+ +−

+ℎ −ℎ

− − − −

+− + −

− + −+

+ ℎ−ℎ

+ −− −

− − +− + +

− − −− + −

+ −+ −

−+8 − + +

+

− − −+ + −

− − + − −− − −

− + +++ − −− ∗ +− ∗ + −

3. Resolver las ecuaciones dadas

+ = + +

− + [ − − + − ] = −

− − + + = −

− . + . = . −

√ − √ = √

− = +

− = − +

+ = +

− = +−

− − = −−

+ − − = + −

+ − = +

4. De las siguientes ecuaciones despeje la variable indicada

�� = ���, despejar R

= + � − , despejar n

++ = despejar x

− [ − − ] = despejar

+ = − + +, despeje

= � + , despejar v y luego t

� �� +� = � despejar �

� = � + � despejar i

5. Resolver las ecuaciones siguientes por cualquier método

− =

+ = −

+ =

+ + =

= −

= − +

− =

− =

− = −

− =

+ + =

=

= +

− + − =

+ − − + =

− + + =

− − + =

+− = + + −

− − =

− + =

− + =

6. Racionalizar

√

√ numerador

−√

−√ +√

√ +√ +ℎℎ√ numerador

√ + −

√ − − √

7. Hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones

{ − =+ =

{ − == −

{ − + =+ + =

{ − =+ =

{ =+ =

{ + =− = −

{ =+ =

{ − =+ =

{ − =+ =

{ + == −

{ = − ++ = −

{ = −− =

{ − = −− =

{ = −= −

{ + ==

8. Problemas de aplicación. Plantee y resuelva los siguientes problemas de aplicación

a. La suma de dos enteros consecutivos es 31. Hallar los enteros

b. La suma de tres enteros impares consecutivos es 69. Calcular los enteros

c. Felicia invierte $12,000 , una parte de los cuales gana una tasa de interés simple de 4.5% al año

y el resto gana una tasa del % al año. Después de un año, el interés total ganado sobre estas

inversiones fue de $525. ¿cuánto dinero invirtió ella a cada una de las tasas?

d. Una ejecutiva de una compañía de ingeniería gana un salario mensual más un bono de navidad

de $8500. Si ella gana un total de $ 97, 300, ¿cuál es su salario mensual?

e. Una mujer gana 15% más que su esposo. Junto ganan $68,875, ¿Cuál es el salario anual del

esposo?

f. Durante su carrera en las ligas mayores, Hank Aaron conectó 41 cuadrangulares más que los

conectó Babe Ruth en su carrera. Juntos conectaron 1469 cuadrangulares. ¿Cuántos conectó

Babe Ruth?

g. Un monedero contiene igual número de monedas de un centavo, de cinco centavos y de diez

centavos. El valor total es de $1.44. ¿cuántas monedas de cada tipo contiene el monedero?

h. Un jardín rectangular mide 25 pies de ancho. Si su área es 1125 �� , ¿cuál es la longitud del

jardín ?

i. Un lote de terreno cuadrado tiene una construcción de 60 pies de largo y 40 pies de ancho en

una esquina. El resto de terreno fuera del edificio forma un estacionamiento de. Si éste tiene un

área de 12,000 �� , ¿cuáles son las dimensiones de todo el estacionamiento?

j. Un jardín rectangular mide 10 pies más de largo que de ancho. Su área es de 875 �� .¿Cuáles

son sus dimensiones?

k. Calcular la longitud x de las siguientes figuras

l. Alejandro pinta con acuarela en una hoja de papel de 20 pulgadas de ancho por 15 pulgadas de

alto. Luego coloca su acuarela sobre una base de modo que quede una franja de ancho uniforme

alrededor de la pintura. El perímetro del marco de cartón es de 102 pulgadas. ¿Cuál es el ancho

de la franja del marco de cartón que se ve alrededor de la pintura?

m. Un hombre está alejándose de un poste de alumbrado que tiene una fuente de luz a 6 m. sobre

el suelo. El hombre mide 2 m de alto. ¿Cuál es la longitud de la sombra cuando el hombre está a

10 m. del poste? (Use semejanza de triángulos)

n. Una caja de base cuadrada y sin tapa ha de hacerse de una pieza cuadrada de cartón al córtale

cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblar los lados , la caja ha de contener � �.

¿De qué dimensiones se necesita la pieza de cartón?

o. Un alambre de 360 pulgadas se corta en dos piezas. A una de estas se le da forma de cuadrado

y de circulo a la otra. Si las dos figuras tienen la misma área, ¿cuáles son las longitudes de las dos

piezas de alambre?

p. Un tallo de bambú de 12 pies de largo se parte de tal manera que la punta toca el suelo a 3 pies

de la base del tallo, ¿a qué altura se produjo el quiebre? (Usar el teorema de Pitágoras: += )

Imágenes tomadas del libro STEWART, James y otros. Precálculo. Quinta edición. México:

Thomson, 2007.

Ejercicios propuestos preparación parcial 4. Matemá ticas Básicas. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. jaimeaj@conceptocomputadores.com. ITM 2018-1

9. Simplifique la expresión

i.

22

11

yx

x

y

y

x

−

−

ii.

++−+

+

yx

yxyx

yx

2211

10. Escribir en forma simplificada:

12

11 2

12

1

1

1

1−

−−

−−÷

+−

− x

xx

xx Ecuaciones lineales

11. Resuelva la ecuación:

a) 93126 +=−− xxx b) )4(2)3(3 −=− xx c)

5

1

4

31

3

112 xxx +=−−−

d) xxx

213

1

2

1 +=++− e)

2

12

4

325

3

21

xxx −−−=−+ f) 10

549

2

7

2

27 −+=− xx

12. La suma de las edades de Hernán y Pedro es de 84 años, y Pedro es 8 años menor que

Hernán. Hallar ambas edades.

13. Pague $87 000= por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 000= más que el

libro y $20 000= menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo?

14. La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.

15. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar ambos números.

16. Entre Andrés y Bernardo tienen $1 154 000=. Bernardo tiene $506 000= menos que Andrés

¿Cuánto dinero tiene cada uno?

17. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar

los números.

18. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

19. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse

abriendo los dos grifos a la vez?

20. El consumo de tabaco o cigarrillo constituye un problema de salud pública a nivel mundial. El en año

de 2008 la OMS trato de hacer una aproximación matemática para determinar la edad de muerte de los

consumidores después de iniciar el consumo en función de los cigarrillos consumidos por día, la edad

a la que se inició el consumo y los hábitos de actividad física en el consumidor.

� = � 70

1,65 ∗ � + ����� + ���

E= edad promedio de muerte del consumidor.

Eic=edad de inicio del consumo.

C= cantidad de cigarrillos consumidos por día.

K= hábitos de actividad física, K=0,5 si no se realiza deporte. K=1 si se realiza deporte.

a. A qué edad fallece una persona que en promedio consume cuatro cajetillasde cigarrillo por día (1 cajetilla=20 cigarrillos), no realiza actividades deportivas e inicio el consumo a los 22 años de edad

b. Cuantos cigarrillos por día consumió en promedio una persona que realizaba actividad física y falleció a los 42 años. Y que inicio a fumar a los 15 años.

Ecuación cuadrática:

21. Resuelva la ecuación (Encuentre si es posible las soluciones complejas)

a) 0252 =−x b) 392 =x c) xx 142 = d) 0122 =− xx e) 058 2 =− xx f) 056152 =++ xx g) 051712 2 =−+ xx h) 020236 2 =++ xx i) 01657 2 =−+ xx j) 05114 2 =−+ xx k) 017158 2 =++ xx l) 025309 2 =++ xx

22. Resuelva la ecuación (Si existen soluciones complejas determínelas)

23. Un terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Si el largo se aumenta en 40m y el ancho en 6m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno original.

24. Un automóvil ha recorrido 200km en cierto tiempo, para haber recorrido esa distancia en 1,0 h menos, la velocidad debía haber sido 10 km/h más. Hallar la velocidad del automóvil.

25. Determine las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 36 cm y la suma de los catetos es 21 cm

26. Determine los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 56 m y su área es 180m2.

27. Un rectángulo tiene 24 m de perímetro y 35 2m de área. Hallar las dimensiones.

m) xxx 2257 2 −=− n) ( ) 2352)13( xxx =−− o) 22 85854 xxx −−=+

p) 222261542 2 ++=+ xxx q) 012109 2 =−+ xx r) xxx 433216 2 −=+

a) 713 +=− xx b) 0187 24 =−− xx c)

04

3

8

1 2 =++ xx

d) ( )( ) 2113 −=−+ xx e) )3)(12()1)(24( −+=+− xxxx f)

32

3427

+−=+x

xx

g) x

x

x

x

x +−+=−

−−

1

441

1

32

h)

xx

x

3

1

3

11 =

+

− i) 5296 −=−− xxx

j) x

x

x

x −=+

+ 4

4

204 k)

12

21212

+=++

xxx l) 3342 =−+ xx

m) 3

2

62 =

+−+

xx

n) 11

204

3

3 =−x

x

o) 032 24 =−− xx

p) 2

x 6x 8 0+ + = q) 2

x 5x 14− = r) 2

4x 24x 11 0+ − =

s) 2

x 4 12x+ = t) ( ) 7223 =+xx u) 2 2

7x 10x 2x 155+ = +

28. La base de un rectángulo es 2 m mayor que la altura. Si a la base se le aumenta 1 m y a la altura en 2 m, resulta otro rectángulo cuya área es 24 2m mayor que el primero. Calcular las dimensiones de este.

29. Un deportista caminó 36 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 1 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

30. Una persona compró cierto número de calculadoras por $150 000=. Podría haber comprado 5 más, si cada una hubiese costado $5 000= menos. ¿Cuántas calculadoras compró? ¿Cuánto costó cada calculadora?

31. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las

dimensiones de la finca.

32. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halle la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m²

33. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

34. Una llave tarda dos horas más que otra en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se

llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

35. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja

36. Calcula el lado de un cuadrado, sabiendo que el producto del área de dicho cuadrado por el área del rectángulo que se obtiene al aumentar la base en 2 cm y disminuir la altura en 2cm es igual a 6237 cm2.

37. (Usar dos variables) El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

38. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6 años. Determine la edad actual.

39. Determine el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga: a. Dos soluciones reales y distintas. b. Dos soluciones reales e iguales. c. Dos soluciones que no sean números reales

40. Calcule el valor de b en la ecuación 065 2 =++ bxx 5x2 + bx + 6 = 0, sabiendo que una de sus

soluciones es 1. ¿Cuál es la otra solución de la ecuación?

41. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de un pedazo cuadrado de cartón, cortando un cuadrado de 5 cm en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 80 cm3, ¿qué dimensiones debe tener el pedazo de cartón?

42. Dada la ecuación:

8x2 – ( k– 1 ) x + k – 7 = 0,

qué valores se deben dar a k para que las raíces sean reales e iguales.

43. Encuentre los valores de k en las ecuaciones para que se satisfaga la condición que se indica: a) 2x2 – kx+ 8 = 0, tiene raíces complejas

b) kx2 + (3k – 4)x- 5 = 0, tiene una raíz = ½

c) (2k + 1) x2 – 4kx = 1 – 3k, las raíces sean iguales.

44. Un rectángulo áureo es un rectángulo que puede dividirse en un cuadrado y en otro rectángulo, que también es áureo, semejante al original. En la figura, ABCD es un rectángulo áureo porque puede dividirse en un cuadrado AFED y en un rectángulo áureo FBCE. Estableciendo una proporción de las longitudes de los lados de los rectángulos se obtiene

a ba b a

=+ . Si b = 1, resuelve la ecuación para a.

45. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tiene una velocidad de 10km/h en aguas tranquilas, ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

46. Cierto grupo de caminantes recorrió 12 Km en cierto teimpo, si su velocidad hubiera sido 0,8 m/s más rápida; el recorrido habría tardado 15 minutos menos. ¿En cuanto tiempo se hizo el recorrido?

47. Un prado rectangular de 50m de largo y 34m de ancho, tiene a su alrededor un camino (exterior) de ancho uniforme; si el área del camino es 864m2, encuentra el ancho del camino.

48. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2,4 horas en llenarlo. Si se

abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto

tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

b

a

a B

CD

A F

E

49. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

a)

−=−−=+

2

12

yx

yx b)

=+=+

524

42

yx

yx c)

=−=+

4520

3410

yx

yx d)

− + =− =

x y

x y

2 5

2 4 3

e) 2 5 8 0

4 11 0

x y

x y

− + =− + + =

f)

=+=−

1

43

yx

yx g)

x y

x y

− =− + =

7 5

2 5 21 h)

=+

=+

3

424

236

yx

yx

i)

=+−=+

1264

52

yx

yx j)

−=−−=+

1236

824

yx

yx k)

=−+

=−

032

1443

yx

yx

l)

−=−

=+

2

1943

02

12

yx

yx

50. Resuelva los siguientes SEL y muestre su representación gráfica:

a)

=−−=+−

2025

3648

yx

yx

b)

=+−−=−1896

422114

yx

yx

c)

=−−=+−2172

191113

yx

yx

d)

=−−=+−

211612

36129

yx

yx

e)

−=−

=+−

622

7

4

9

314

7

8

9

yx

yx

f)

=+=+−54

43

yx

yx

51. Un cliente de una cafetería compra una mezcla de dos tipos de café: uno proveniente de Kenia que

cuesta 3.50 dólares cada libra y uno de Sri Lanka, que cuesta 5.60 dólares la libra. Compra tres libras

de la mezcla, que le cuesta 11.55 dólares. ¿Cuántas libras de cada clase de café van en la mezcla?

52. Un farmacéutico debe preparar 25 ml de unas gotas para los ojos para un paciente con

glaucoma. La solución de las gotas debe contener 4% de un ingrediente activo, pero el

farmacéutico solo tiene una solución al 10% y otra al 1% en su farmacia. ¿Qué cantidad de

cada tipo de solución debe usar para preparar la receta?

53. Un químico tiene dos grandes recipientes de solución de ácido sulfúrico, con diferentes

concentraciones de ácido en cada contenedor. Al mezclar 300 mL de la primera solución y 600

mL de la segunda obtiene una mezcla que es ácido al 15%, en tanto que 100 mL de la primera

mezclada con 500 mL de la segunda da una mezcla de ácido al 12%. ¿Cuáles son las

concentraciones de ácido sulfúrico en los recipientes originales?

54. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6

conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en

cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?

55. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos

luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8

patas).

56. Las cajas de un medicamento vienen en presentaciones de 10 unidades y de 15 unidades.

En determinado estante se sabe que hay 204 cajas que en total contienen 2645 unidades.

¿Cuántas de estas cajas son de 10 unidades y cuántas de 15?

57. Las cajas de un medicamento vienen en presentaciones de 12 unidades y de 18 unidades.

En determinado estante se sabe que hay 142 cajas que en total contienen 2064 unidades.

¿Cuántas de estas cajas son de 12 unidades y cuántas de 18?

58. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15;

mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

59. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3

y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.

60. La gerente de un restaurante quiere comprar 200 juegos de platos. Un modelo cuesta $25 000

por juego, mientras que otro cuesta $45 000 por juego. Si sólo dispone de $7 400 000 para

este gasto, ¿cuántos juegos debe pedir de cada modelo?

Sistemas de ecuaciones lineales 3x3

61. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

a) 1 2 3

1 3

1 2

5

3 0

2 1

x x x

x x

x x

− + = −− + = + =

b) 1 2 3

1 3

1 2

0

3 0

2 0

x x x

x x

x x

− + =− + = + =

c)

=+=−

=−

42

1632

6

zy

zx

yx

d)

=−−−=−+−

=−+

7343

7322

032

321

321

321

xxx

xxx

xxx

e)

=++=++

=−−

235

2223

032

zyx

zyx

zyx

f)

=++−−=+−

−=+−

1252

15234

4

zyx

zyx

zyx

g)

=−−=−+=−+

46

127

15936

zyx

zyx

zyx

h)

=+−=−+−

=+−

10889

3232

1425

zyx

zyx

zyx

i)

=−+=−+

−=+−

1323

1542

3235

zyx

zyx

zyx

62. Tres amigos suben a una báscula de dos en dos. Andrés y Benjamín suman 173 kg., Andrés y

Carlos 152 kg., mientras que entre Benjamín y Carlos pesan 165 kg. ¿Cuánto pesa cada uno?

63. Una compañía produce tres marcas de alicates: groso, transverso y ergos los costos de

producción de una unidad son $28 000, $39 000, y $47 000 y sus precios de venta $36 000=,

$49 000= y $61 000= respectivamente. Si la producción diaria de 350 alicates representa un

costo total de $13 616 000 y por su venta se facturan $17 484 000, determine cuantos alicates

de cada marca son elaborados diariamente.

64. Un inversionista posee tres grupos de acciones: A, B y C. Los precios de las acciones al cierre

en tres días comerciales consecutivos se proporcionan en la tabla.

Acciones A Acciones B Acciones C

Lunes $10 $25 $29

Martes $12 $20 $32

Miércoles $16 $15 $32

A pesar de la volatilidad en los precios de las acciones, el valor total de las acciones del inversionista permanece sin cambios en 74 000 dólares al final de cada uno de estos tres días. ¿Cuánto posee de cada acción el inversionista?

65. Hacer prendas de vestir Un fabricante de ropa hace sacos, camisas y pantalones. Los tiempos

necesarios para cortar, coser y empacar cada artículo se muestran en la tabla. ¿Cuántos de cada uno

debe hacer para usar todas las horas de mano de obra disponibles?

Sacos Camisa

s Pantalones

Tiempo dispoCortar 20 min 15 min 10 min 115hr

Coser 60 min 30 min 24 min 280 hr Empacar 5 min 12 min 6 min 65 hr

66. Encuéntrense a, b, y c tales que la parábola y = ax2 + bx + c pase por los puntos (—2, —32), (1, 4),

y (3, —12).

67. Hay tres cadenas que pesan 450, 610 y 950 libras, cada una de las cuales está formada por eslabo-

nes de tres tamaños diferentes. Cada cadena tiene 10 eslabones pequeños. Las cadenas tienen

también 20, 30 y 40 eslabones medianos y 30, 40 y 70 eslabones grandes, respectivamente.

Encuentre los pesos de los eslabones pequeños, los medianos y los grandes.

68. Nutrición Una bióloga está efectuando un experimento sobre los efectos de varias combinaciones

de vitaminas. Quiere alimentar a cada uno de sus conejos de laboratorio con una dieta que

contenga exactamente 9 mg de niacina, 14 mg de tiamina y 32 mg de riboflavina. Tiene tres tipos

distintos de marcas comerciales de alimento; su contenido vitamínico por onza se proporciona en la

tabla. ¿Cuántas onzas de cada tipo de alimento deben comer todos los días los conejos para cumplir

con los requisitos del experimento?

Sistemas de ecuaciones lineales mxn

69. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:

i.

=++−=+−+

=−+−−=+−+

162423

22

484725

21623

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

ii.

−=+−+−−=++−

=+−+=−+−

125

4754

03222

15923

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

Inecuaciones

70. Resolver las siguientes inecuaciones lineales:

a) xx 2432 −<− b) xx −<+ 435 c) 9

2

10331 −≤+<− x

71. Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar gráficamente su solución en la recta real:

a) 3

1

42 −≤ a+a

b) 4

6 - 5123

xx ≤− c) 3

3

3 ≥

+x

Tipo A TipoB TipoC

Niacina (mg) 2 3 1 Tiamina (mg) 3 1 3 Riboflavina (mg)

8

5

7

72. Resolver las siguientes inecuaciones no lineales y representar gráficamente su solución:

a) 083x5x2 <++− b) 010210125 2 <+xx − c) 4

3

42x ≤

−

+x

d) 044x23 <+xx −− e) ( ) ( ) 011 22 ≤⋅− +xx f)

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0

13

124 ≥⋅

−⋅−⋅−+x+x

xxx

g) x2− 9x− 1≥ 0

h) 562745 22 −+<+− xxxx i) 16

4

3

12>

++

− x

x

x

x

Funciones exponenciales y logarítmicas

25. Resuelva.

a) ( )log log 9 1x x+ − = b) ( )log log 9 1x x+ + = c) ( )log log 3 1x x− + = −

d) ( )log 9 log 1x x+ − = − e) ( ) ( )4 4log 3 log 3 2x x+ + − = f) ( ) ( )5 5log 4 log 4 2x x+ + − =

26. Desafío: encuentre X +Y +Z ,dado que.

( )[ ] 0logloglog 432 =X

( )[ ] 0logloglog 423 =Y

( )[ ] 0logloglog 234 =Z

27. calcule el valor de K en cada uno de los siguientes casos:

a) 16log36log =+ KK b) 2

916log2log =+ KK c) 16log8log 11 =+ ++ KK

28. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) ( ) 99log7 =+X b) 2log3log 44 =+ XX c) 08log2log 52

5 =−− XX

29. Complete las siguientes tablas y represente en el mismo sistema de coordenadas ortogonales.

X XY 3log= X XY 3=

1 0

3 1

3

1

-1

9 2

9

1

-2

30. Resuelva la ecuación exponencial:

i. 32122

=+x ii. 13x2

4

1 +x

=

iii. 01224 =−− xx

iv. 232 35 +− = xx v. 03525 1 =x+x −⋅− vi. 1833 1 =x+x −

31. Resuelva la ecuación logarítmica:

i. 4

7

2log2log −

x=x ii. x=

32

1log2

iii. log6 x= 3

iv. log5 x= 2,5 v. log2 8x= 7 vi. 2 22log ( 1) log 4 5x − + =

vii. ( ) ( ) 11log21log 33 =−−+ xx viii. ( ) ( ) ( )6log315log24log 222 −+=+++ xxx

32. Resuelva la ecuación:

i. ( ) 29log4log2 33 =−+x ii. ( ) 42lnln =++ xx iii. 01222 22 =−+ +xx

iv. ( ) ( ) ( ) ( )3log2log6log1log ++−=+−− xxxx aaaa v. x

x

53

41

=

−

vi. 2.18 =−x vii. ( ) 2

222

3 xx=

− viii. 3

2=+ −xx ee

ix.

( ) 8434 =− −xx x. ( ) 6262 =− −xx

xi. 2512 67 +− = xx

33. El tamaño de cierto cultivo de bacterias puede expresarse mediante la función te

y4.025.01

25.1−+

= .

Donde y es la masa del cultivo en gramos y t es el tiempo en horas. Determine:

a. Cuál será la masa del cultivo para t=0?

b. Cuál será la masa del cultivo para t=1?

c. Cuál será la masa del cultivo para t=10?

d. En qué momento el cultivo tendrá una masa de 1.15 gramos?

34. Suponga que en alguna ciudad la población se duplica cada 26 años. Si a principios de 1 931 su

población era de 190 000 habitantes

a. Cuál era la población a principios de 1 957?

b. Cuál era la población a principios de 1 983?

c. Si continúa cumpliéndose este patrón de crecimiento, cuál será al iniciar 2 009?

d. Cuál será al iniciar 2014?

e. Cuándo la población será de 1 000 000 de habitantes?

35. Si una pastilla de 100 miligramos de un medicamento para el asma se toma oralmente y si nada de esta

droga está presente en el cuerpo cuando se toma la primera pastilla, la cantidad total A en miligramos,

en el torrente sanguíneo después de t minutos se pronostica que es:

)9,01(100 tA −= para 0 ≤ t ≤ 10

a) Trace la gráfica de la ecuación. b) Determine la cantidad de miligramos presente en el torrente sanguíneo, a los 5 minutos de

haber ingerido la pastilla. c) Determine el número de minutos necesarios para que 50 miligramos de la droga hayan

entrado al torrente sanguíneo.

36. La tasa de crecimiento de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando esta bacteria

crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especimenes se duplica cada 20 minutos.

i. Si la población inicial es 100, determine la función que exprese el crecimiento exponencial de la

cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t.

ii. Si la población inicial fuera 3500, ¿cómo se vería afectado el modelo?

37. El yodo radiactivo 131I, que se usa con frecuencia en estudios de rastreo de la glándula tiroides, se

desintegra según tNN )5,0(0= , donde 0N es la dosis inicial y t es el tiempo en días.

a) Trace la gráfica de la ecuación si 640 =N

b) Encuentre la vida media del 131I.

38. La población mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la población continúa

creciendo con la razón actual de aproximadamente 2% por año:

i. encuentre la función Q(t) que expresa la población mundial (en miles de millones)

como función del tiempo t (en años), donde t=0 corresponde al inicio de 1990.

ii. Según este modelo, ¿cuál sería la población mundial al inicio de 2007?

39. Cierta región minera tiene una población que está decreciendo según la función: 0.0327500 tP e−= , donde

t son los años después de 1995.

i. Encuentre la población en 2006.

ii. En qué año la población será de 15092 habitantes?

40. Una máquina se compra en 10 000 USD y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra.

Su valor después de t años está dado por la fórmula: 0.210000 tV e−= .

a. Determina el valor de la máquina después de 8 años.

b. ¿Cuándo su valor será de 7 000 USD ?

41. La población en una ciudad en el año 2000 era de 83,750 personas. ¿Cuándo alcanzará esta ciudad

una población de 100,000 habitantes, suponiendo que continúe con una tasa de crecimiento del 3%

anual?

42. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si se invierte a una tasa del 15% compuesto anual?

43. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modelado

con la siguiente ecuación ( ) kteA=tA 0 . Si inicialmente habían 1000 mosquitos y después de un día la

población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos habrán en la colonia después de 3 días?

¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

44. Un cultivo de bacterias tiene inicialmente 500 bacterias. Más tarde un biólogo realiza un conteo en el

cultivo y encuentra que crece 40% por hora.

a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas.

b) ¿Cuál es la población de bacterias estimada después de 10 horas?

c) En qué tiempo se triplico la población de bacterias.

45. Cierta sustancia radiactiva se descompone de acuerdo con la fórmula exponencial

t

oeSS 04.0−=

Donde So es la cantidad inicial de la sustancia y S es la cantidad de dicha sustancia que queda después de t

años. Si al principio hay 50 gramos de la sustancia radiactiva, ¿cuánto tiempo se necesitará para que se

descomponga la mitad?

46. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas del ángulo � si cos� = −�

� y sen� < 0

47. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas del ángulo � si sen � =�

� y

�

�≤ � ≤ �

48. Si sen α =�

�y sen β =

��

�� y si � y �están en el segundo cuadrante, halle el valor de cot�� + ��

49. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas del ángulo � si 3tan −=α y sen � < 0

50. Demuestre la siguiente identidad

xsenxsenx

2sec21

1

1

1 =−

++

51. Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica en el intervalo �0, 2��

5tan3sec4 2 =− xx

52. Demuestre la siguiente identidad

1

1 − sen � = sec� � + tan � sec �

53. Demuestre la siguiente identidad

3 cos� � − 5 sen � − 5

cos� � = 3sen � − 2

1 + sen �

54. Demuestre la siguiente identidad

�sec � + tan ���csc � − 1� = cot �

55. Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica.

2 tan� � + tan � − 1 = 0

56. Demuestre la siguiente identidad para � > 0

cos�2 tan�� �� = 1 − ��

1 + ��

57. Demuestre la siguiente identidad

sen � + cos ��tan ��� − 1

=�cos ���

sen � − cos �

58. Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica

sen 2� − 1 = tan � +�4�

59. Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica en el intervalo �0, 2��

cos � + 1 = sen �

60. Resuelva la siguiente ecuación trigonométricaen el intervalo 0 ≤ � ≤ 2�

1 + sen � = 2 cos� �

61. Resuelva la siguiente ecuación para � > 0

cos�� �34 − sen��

4

5= sen�� �

62. Resuelva la siguiente ecuación

tan��(� + 1) + tan���� − 1� = 2 tan��8

31

63. Resuelva la siguiente ecuación

( )

=

−− −−−

3

2tan

2

3tan2tan 111 xx

64. Resuelva la siguiente ecuación

tan�� � + tan���1 − �� = 2 tan���� − ��

65. Resolver el problema

66. Resuelva el ejercicio:

67.

Calcule la altura de la torre.

68. Un poste está amarrado al suelo por dos cuerdas de 4 y 5 metros, ubicadas en sentido contrario una de la otra. Si las bases de las cuerdas están colineales con la base del poste, y se encuentran a 7 m de distancia entre ellas:

¿Qué ángulo forma cada cuerda con el piso?

¿Cuál es la altura del poste?

a) Si un hombre mira hacia delante, observa un árbol que está a 4m de distancia. Su parte más alta tiene un ángulo de elevación de 70°. Si mira hacia atrás, observa un poste a 2m cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de 35°. Determine la distancia entra las partes más altas de ambos objetos.

69. Halle la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol de 21 m. proyecta una sombra de 24 m.

70. Halle la altura de una antena de radio si su sombra mide 100 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 30º con la horizontal

71. Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media?

72. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40º. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

73. Resolver el siguiente problema:

a) La puerta del portamaletas de un vehículo mide 42 pulgadas de largo. Un soporte de 24 pulgadas de largo se ha de conectar a la puerta y carrocería del auto de modo que, cuando la puerta se abra por completo, el soporte sea vertical y el espacio libre trasero sea de 32 pulgadas, como se ve en la figura. Calcule laslongitudes de los segmentos TQ y TP

b) La distancia entre las márgenes del río que se ve en la figura se puede hallar sin medir

ángulos. Se seleccionan dos puntos B y C de la orilla opuesta y los segmentos de recta AB y AC se prolongan como se muestra. Los puntos D y E se seleccionan como se indica y se miden las distancias BC, BD, BE, CD y CE. Supongaque BC=184 ft, BD=102 ft, BE=218 ft, CD=236 ft y CE=80 ft

i. Calcule las distancias AB y AC. ii. Calcule la distancia más corta que hay del punto A al otro lado del río.

c) El ángulo de elevación de la cima de una torre medido desde un punto C de

La horizontal es de 22º. Avanzando 12 metros hacia a la torre, volvemos a medir El ángulo de elevación que es de 45º. Calcula la altura de la torre. d) Un globo aerostático se eleva verticalmente desde el punto P (en el suelo), su ángulo de

elevación desde el punto Q (en el suelo también) situado a 250 m del punto P, cambia de 23° a 35°. Determine que tanto se eleva elglobo durante este cambio.

74. Resolver el siguiente problema:

a) Un péndulo se mueve un ángulo de 20 grados cada segundo. Si tiene 40 pulgadasde largo cuánto se mueve su punta cada segundo?

b) Un aspersor riega agua a una distancia de 30 pies al girar un ángulo de 135º ¿Quéárea del pasto recibe agua?

c) El minutero de un reloj tiene 6 pulgadas de largo ¿qué distancia recorre la puntadel minutero en 15 minutos? ¿cuánto se mueve en 25 minutos?

d) Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre.

e) Clara y Mauricio quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Clara es de 25º y el ángulo del vértice en el que está Mauricio es de 140º.¿A qué distancia se encuentra Clara del castillo? ¿A qué distancia está Mauricio?