control de procesos químicos - prof. juan · pdf filecomportamiento dinámico de...

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Prof: Ing. (MSc).

Juan Enrique Rodríguez C.

1 Octubre, 2013

Índice

Función de Transferencia

Polos y ceros de una función de transferencia

Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden

2

3


La Función de transferencia y sus aplicaciones en el modelado de procesos

4

Función de transferencia

El uso de las transformadas de Laplace, nos permite formar una muy simple, conveniente y

significativa dinámica de los procesos químicos. Es simple, ya que utiliza sólo ecuaciones

algebraicas (no ecuaciones diferenciales). Es conveniente, ya que permite un rápido análisis de la

dinámica del proceso y, por último, es significativa ya que proporciona directamente la relación

entre las entradas (perturbaciones, variables manipuladas) y las salidas (variables controladas).

Función de Transferencia de un proceso con una única salida

Considere la posibilidad de un sistema de proceso simple con una sola entrada y una sola salida.

5


Después de tomar la transformada de Laplace y las condiciones iniciales en cero, nos

encontramos con que:

01

1n

1n

n

n asa...sasa

bsG

sF

sY

Si el proceso tiene dos entradas, f1(t) y f2(t), como se muestra en la figura, entonces su modelo

dinámico es:


sF*sGsF*sGsY

o

sF*asa...sasa

bsF*

asa...sasa

bsY

2211

2

01

1n

1n

n

n

21

01

1n

1n

n

n

1

Después de tomar la transformada de Laplace y las condiciones iniciales en cero, nos

encontramos con que:

6

Función de transferencia Resumiendo todo lo anterior, podemos definir la función de transferencia como la relación entre

una entrada y una salida de la siguiente manera:

desviación de formaen entrada, la de Laplace de daTransforma

desviación de formaen salida, la de Laplace de daTransformasG

Ejemplo: El modelo matemático del calentador del tanque agitado en términos de las variables

de desviación que se desarrolló es:

stt

iit T'*

Cp*ρ*V

A*U'T*

V

FT'*

Cp*ρ*V

A*U

V

Fi

dt

dT'

entonces

Cp*ρ*V

A*Uc ;

V

Fb ;

Cp*ρ*V

A*U

V

Fia :Sea tit

sT'*as

cs'T*

as

bsT'

sT'*cs'T*bas*sT'

sT'*cs'T*bsT'*asT'*s

Laplace de ada transformla aplicando T'*c'T*bT'*adt

dT'

sti

sti

sti

sti

7


Definimos las dos funciones de transferencia

sT'*sGs'T*sGsT'

Entonces

sT'

sT'sG y

s'T

sT'sG

st2i1

st

2

i

1

La siguiente figura, muestra el diagrama de bloques para el calentador del tanque.

8

Función de transferencia Matriz de Función de Transferencia de un proceso con varias salidas

Considere la posibilidad de un proceso, como el que se muestra en la figura, con dos entradas,

f1(t) y f2(t), y dos salidas, y1(t) y y2(t). El modelo matemático dado por las siguientes dos

ecuaciones diferenciales lineales, con todas las variables ya en forma de desviación son:

tfbtfbyayadt

dy

tfbtfbyayadt

dy

2221212221212

2121112121111

Las condiciones iniciales son: y1(0)= y2(0) = 0

Luego, aplicando la transformada de Laplace, tenemos

9


sF

sF*

sGsG

sGsG

sY

sY

:es matricial formaEn

sP

babasbsG

sP

babasbsG

sP

babasbsG

sP

babasbsG

:son G ,G ,G ,G ncia transferede funciones las Donde

sF*GsF*GsY

sF*GsF*GsY

forma la de reescribir puede se que loPor

aaaasaassP

:por definido ticocaracteris polinomio el es sP

sF*sP

babassF*

sP

babassY

sF*sP

babassF*

sP

babassY

2

1

2221

1211

2

1

221112212222

211111212121

122222121212

112221121111

22211211

2221212

2121111

221121122211

2

212212211

111212111

2

222121222

121121122

1

10


Polos y Ceros de una Función de transferencia

11

Polos y Ceros de una función de transferencia

En general, la función de transferencia G(s) será el cociente de dos polinomios:

sP

sQsG

Para los sistemas físicamente realizables, el polinomio Q(s) será siempre de orden menor que el

polinomio P(s). Las raíces del polinomio Q(s) se llaman los ceros de la función de transferencia,

o los ceros del sistema cuya dinámica está descrita por la función de transferencia G(s). Las

raíces del polinomio P(s) se llaman los polos de la función de transferencia, o de forma

equivalente, los polos del sistema. Los polos y los ceros de un sistema desempeñan un papel

importante en la análisis dinámico de sistemas de procesamiento y el diseño efectivo de

controladores. A medida que avanzamos, su utilidad será más clara.

Ejemplo 1: Determine los ceros y polos de la siguiente función de transferencia.

44s-s

1-ssG

2

La raíz del numerador es: s=1 (un cero)

La raíces del denominador es: s=2 (dos polos)

Reescribiendo la función en términos de las fracciones parciales

22

2

1

44ss

1ssG

s

s

12

Ejemplo 2: El modelo de entrada-salida del tanque calentador fue desarrollado en el ejemplo.

sT'*sGsT'*sGsT' st2i1

La función de transferencia G1(s) es:

as

bsG1

Esta función, no tiene ceros y tiene un polo en s = -a. Del mismo modo, la función de

transferencia G2(s), que está dada por:

as

csG2

Esta función, no tiene ceros y tiene un polo en s = -a. Tenga en cuenta que las funciones de

transferencia tienen un polo en común.

Análisis cualitativo de la respuesta de un Sistema

Supongamos que la función de transferencia de un sistema está dada por:

544

m

321

2ps*pspspspsps

sQ

sP

sQsG

Donde: p1, p2, p3, p4, p4* y p5 son las raíces de P (s)

La expansión de las fracciones parciales de G(s) se obtendrán los siguientes términos:


13


5

5

4

4

4

4

m

3

3m

2

3

32

3

31

2

2

1

12

ps

C

*ps

*C

ps

C

ps

C...

ps

C

ps

C

ps

C

ps

CsG

Las siguientes observaciones se pueden hacer para la localización de los polos:

1. Reales, polos distintos, tales como p1 y p2, se encuentran en el eje real (ver figura).

2. Múltiples, polos reales, como p3, que se repite m veces.

3. Polos complejos conjugados, como p4 y p4*.

4. Polos en el origen: Polo p5 se encuentra en el origen del plano complejo.

14



15


¿Qué es un sistema de primer orden?

Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) es modelada por una ecuación diferencial

de primer orden. Así, en el caso de sistema lineal (o linealizado). Tiene la siguiente forma:

tbfyadt

dya 01

Donde f(t) es la función de forzamiento, y a0, a1 y b son constantes, ahora si dividimos toda la

ecuación entre a0, siempre y cuando a0≠0, tenemos

tfa

by

dt

dy

a

a

00

1

Definamos como:

p

0

p

0

1 Ka

by τ

a

a

Entonces:

tfKydt

dyτ pp

τp: se conoce como la constante de tiempo del proceso.

Kp: se denomina como la ganancia en estado estable o ganancia

estática o, simplemente, la ganancia del proceso.

16


Si y(t) y f(t) están en términos de las variables de desviación en torno al estado estable, las

condiciones iniciales son y(0) = 0 y f(0) = 0. Se puede encontrar fácilmente la función de

transferencia de primer orden del proceso.

1sτ

K

sF

sYsG sF*

1τ

KsY

sF*K1τ*sY sF*KsYsY*sτ

Laplace de ada transformla Aplicando

tfKydt

dyτ

p

p

p

p

pppp

pp

s

s

En un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación anterior, es

conocida como retardo de primer orden, retardo lineal, exponencial o retardo de transferencia.

s

K'

sF

sYsG sF*

K'sY s*FK'sY*s

tenemosLaplace, Aplicando

tfK'dt

dy tf

a

b

dt

dy tbf

dt

dya

pp

p

p

1

1

s

Ahora si, a0 = 0, tenemos

En tal caso, el proceso se denomina puramente capacitivo o integrador puro.

17

Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden Modelado de procesos como sistemas de primer orden

Los procesos de primer orden se caracterizan por:

1. Su capacidad para almacenar material, energía o impulso.

2. La resistencia asociada con el flujo de masa, energía, o el impulso para llegar a la capacidad.

Por lo tanto, la respuesta dinámica de los tanques que tienen la capacidad de almacenar líquidos o

gases se pueden modelar como de primer orden. La resistencia se asocia a las bombas, válvulas,

vertederos, y los tubos que están unidos a la entrada y salida de líquidos o gases. Del mismo

modo, la respuesta de la temperatura en los sistemas sólidos, líquidos o gaseosos que pueden

almacenar energía térmica (capacidad térmica, cp) es modelado como de primer orden.

Ejemplo: Considere el tanque que se muestra en la figura. El flujo volumétrico a la entrada es

Fi, y la tasa de flujo volumétrico de salida es Fii. En la corriente de salida hay una resistencia al

flujo, tal como un tubo, válvula, o vertedero. Supongamos que el efluente de flujo F0, está

relacionada linealmente con la presión hidrostática, a través de la resistencia R, a través de la

siguiente ecuación:

flujo del aresistenci

flujo del impulsora fuerza

R

hFii

18


1sτ

KsG

ncia transferedefunción la Entonces,

proceso del ioestacionar estado del gananciaRK

proceso del tiempode constanteAR:Donde

R*sFisHsH*s*R*A


FFF'

hhH':Donde

F'*RH'dt

dH'R*A

forma la de Quedando,

F*Rh

: tenemosioestacionar estado elen Donde

R*Fhdt

dhR*A

R

hFFF

dt

dhA

p

p

p

p

i,0ii

0

i

i,00

iiiii

19


Ejemplo: Sistema de primer orden con una capacidad de almacenamiento de energía

El líquido de un tanque se calienta con vapor saturado, que fluye a través de un serpentín

sumergido en el líquido (Ver figura). El balance de energía para los rendimientos del sistema es:

TT*A*UQdt

dT*Cp*ρ*V st

Donde:

U = coeficiente de transmisión térmica global entre el vapor y el líquido

Tst = temperatura del vapor saturado

El estado estacionario viene dado por:

0st,0 TT*A*U0

En términos de la variable de desviación:

st,0stst

0

st

T-TT'

TTT':Donde

T'T'*A*Udt

dT'*Cp*ρ*V

Aplicando la transformada de Laplace, tenemos:

1sτ

K

1sA*U

Cp*ρ*V

1

sstT'

sT'sG

p

p

20


Ejemplo: Considérese el tanque con agitación continua ilustrado en la figura, se tiene interés en

conocer la forma en que responde la temperatura de salida, T(t), a los cambios en la temperatura

de entrada, Ti(t).

En este ejemplo se supone que los flujos volumétricos de entrada y salida, la densidad de los

líquidos y la capacidad calorífica de los líquidos son constantes y que se conocen todas estas

propiedades. El líquido en el tanque se mezcla bien y el tanque está bien aislado, es decir, el

proceso es adiabático.

La relación que se desea entre la temperatura de entrada y la de salida da como resultado un

balance de energía en estado dinámico, el cual es:

dt

tdU*ρ*VtH*ρ*FtH*ρ*F ii

O, en términos de la temperatura:

21


dt

tdT*Cv*ρ*VtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F iii

Donde:

ρi, ρ = densidad del líquido a la entrada y a la salida, respectivamente, en kg/m3

Cpi, Cp = capacidad calorífica a presión constante del líquido a la entrada y a la salida,

respectivamente, en J/KgºC

CV = capacidad calorífica a volumen constante del líquido, en J/KgºC

V = volumen del líquido en el tanque, m3

Hi, H = entalpia especifica del líquido a la entrada y a la salida, respectivamente, J/Kg

U = energía interna especifica del liquido en el tanque, J/Kg.

Puesto que se supone que la densidad y la capacidad calorífica permanecen constantes, sobre todo

el rango de temperatura de operación, la última ecuación se puede escribir como:

dt

tdT*Cv*ρ*VtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F i

En estado estacionario:

0tT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F 0i,0

Luego, tenemos que:

dt

TtTd*Cv*ρ*VtTtT*Cp*ρ*FtTtT*Cp*ρ*F 0

0i,0i

22


Las variables de desviación, son:

tTtTtT'

tTtTtT'

0

i,0ii

Ahora, con la representación de las variables de desviación, se tiene:

dt

tdT'*Cv*ρ*VtT'*Cp*ρ*FtT'*Cp*ρ*F i

sT'1sτ

1sT'

sT'1sτ*sT'

sT'sT'sT'*sτ


tT'tT'dt

tdT'*τ

Entonces

τCp*ρ*F

Cv*ρ*V :sea tT'

dt

tdT'*

Cp*ρ*F

Cv*ρ*VtT'

i

p

ip

ip

ip

pi

La ecuación, se puede reordenar como sigue:

23


Ahora, si a la función de forzamiento, Ti(t) sufre un cambio en un escalón con A ºC, es decir:

A*0,632e1*A0e1*AtT

tienese 0Ty , t hace se sí análisis, de objetoA

Te1*AtT e1*AtT'

:a llega se inversa ada transformla de mediopor y parciales fracciones las de uso elCon

1sτ*s

AsT

obtiene se do,Sustituyen

s

AsT'

tienese Laplace, de ada transformla Aplicando

tu*AtT'

1τ

τ

0p

0

τ

t

τ

t

p

i

i

p

p

pp

24


Es decir, en una constante de tiempo se alcanza el 63,2% del cambio total, lo cual se ilustra

gráficamente en la figura siguiente; en consecuencia, la constante de tiempo guarda relación con

la velocidad de respuesta del proceso. Mientras más lenta es la respuesta de un proceso a la

función de forzamiento o entrada, más grande es el valor de τp; tanto, más rápida es la respuesta

del proceso a la función de forzamiento, cuanto más pequeño es el valor de τp.

Si alguna de estas características cambia (volumen de líquido en el tanque, V; o las capacidades

caloríficas, CP y CV; o el flujo del proceso, F); la constante de tiempo también cambia. Otra

manera de expresar lo anterior es que, si alguna de las condiciones del proceso cambia, también

cambia la “personalidad” del proceso y ello se refleja en la velocidad de, respuesta del proceso o

constante de tiempo.

25

Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden Hasta ahora se supuso que el tanque esta bien aislado, lo que propicia un proceso adiabático; es

decir, no hay pérdidas de calor hacia la atmósfera y, en consecuencia, no existe término de

pérdida de calor en el balance de energía. Si se elimina la suposición de operación adiabática y se

toma en cuenta la pérdida de calor en el balance de energía, se llega a la siguiente ecuación:

dt

tdT*Cv*ρ*VtTtT*A*UtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F

ó

dt

tdT*Cv*ρ*VtQtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F

siii

iii

Donde:

U = coeficiente global de transferencia de calor, J/m2.ºK.s

A = área de transferencia de calor, m2

Ts(t) = temperatura ambiente, ºC, que es una variable de entrada

El coeficiente global de transferencia de calor, U, es una función de diversos factores; uno de

ellos es la temperatura que, sin embargo, para este ejemplo en particular, se supone es constante.

Puesto que se supone que la masa y la densidad del líquido en el tanque también son constantes,

entonces la altura del líquido es constante y, en consecuencia, el área de transferencia de calor, A,

también es constante.

26


El balance de energía en estado estacionario para el proceso:

dt

TtTd*Cv*ρ*VTtTTtT*A*UTtT*Cp*ρ*FTtT*Cp*ρ*F

Luego

0TT*A*UT*Cp*ρ*FT*Cp*ρ*F

0s,0s00i,0iii

s,000i,0ii

Con la nueva variable de desviación para el proceso:

T’s(t)=Ts(t)-Ts,0

p

p2

p1

si

siii

τA*UCp*ρ*F

Cv*ρ*V

KA*UCp*ρ*F

A*U

KA*UCp*ρ*F

Cp*ρ*F

:Donde

tT'dt

tdT'*

A*UCp*ρ*F

Cv*ρ*VtT'

A*UCp*ρ*F

A*UtT'*

A*UCp*ρ*F

Cp*ρ*F

dt

tdT'*Cv*ρ*VtT'tT'*A*UtT'*Cp*ρ*FtT'*Cp*ρ*F

27


Aplicando la transformada de Laplace, tenemos:

sT'*1sτ

KsT'*

1sτ

KsT'

tienese ecuación, la oreordenandy 0T' Pero

sT'T'sT'*τsT'*KsT'*K

s

p

p2

i

p

p1

0

0psp2ip1

Si la temperatura ambiente permanece constante, Ts(t) = Ts,0 y T’s(t) = 0, entonces la función de

transferencia que relaciona la temperatura del proceso con la del agua que entra es:

1sτ

K

sT'

sT'

p

p1

i

Si la temperatura del líquido que entra permanece constante, Ti(t) = Ti,0 y T’i(t) = 0, la función de

transferencia que relaciona la temperatura del proceso con la temperatura ambiente es:

1sτ

K

sT'

sT'

p

p2

s

Para conocer el significado físico de esta ganancia, supóngase que la temperatura de entrada al

tanque se incrementa en A ºC; entonces la respuesta de la temperatura a esta función de

forzamiento se expresa mediante:

28


0

τ

t

p1

τ

t

p1

p

p1

Te1*K*AtT e1*K*AtT'

tenemosinversa, ada transformla aplicando

1sτ*s

K*AsT'

pp

La respuesta se ilustra gráficamente en la figura. A*Kp1 expresa la cantidad total de cambio; la

ganancia multiplica el cambio en la función de forzamiento.

29


Se, puede decir que: la ganancia indica cuánto cambia la variable de salida por unidad de

cambio en la función de forzamiento o variable de entrada: es decir, la ganancia define la

sensibilidad del proceso.

La ganancia se define matemáticamente como sigue:

La ganancia es otro parámetro relacionado con la “personalidad” del proceso que se controla y,

en consecuencia, depende de las propiedades físicas y los parámetros de operación del proceso.

entrada de variableΔ

salida de variableΔ

ΔE

ΔSKp

control de procesos químicos - prof. juan · pdf filecomportamiento dinámico de...

Documents