construcción de nociones geométricas y desarrollo del
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CONSTRUCCIÓN DE NOCIONES GEOMÉTRICAS Y DESARROLLO DEL
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO EN ESTUDIANTES DE LA ESCUELA PRIMARIA
POR MEDIO DE DEMOSTRACIONES VISUALES
Programa de Maestría en Educación Matemática
Tesis presentada como requisito para optar al título de Magister en Educación
Matemática
Karen Tatiana Barreiro Másmela
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Bogotá D.C.
2020
ii
CONSTRUCCIÓN DE NOCIONES GEOMÉTRICAS Y DESARROLLO DEL
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO EN ESTUDIANTES DE LA ESCUELA PRIMARIA
POR MEDIO DE DEMOSTRACIONES VISUALES
Programa de Maestría en Educación Matemática
Tesis presentada como requisito para optar al título de Magister en Educación
Matemática
Karen Tatiana Barreiro Másmela
DIRECTOR DE TESIS
Mary Falk de Losada (Ph.D)
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Bogotá D.C.
2020
iii
Nota de aceptación:
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Firma del presidente del jurado
__________________________________
Firma del jurado
__________________________________
Firma del jurado
Bogotá D.C. Noviembre de 2020
iv
AGRADECIMIENTOS
A la Dra. Mary Falk de Losada, por su paciencia, sugerencias, orientaciones y apoyo
incondicional que me permitieron culminar este proceso, así mismo al Dr. Gerardo por
su apoyo y sugerencias en la aplicación de las actividades de esta investigación.
A todos mis profesores de maestría, por sus enseñanzas que han sido fructíferas para
mi crecimiento académico y personal.
A mis estudiantes que participaron activamente y con alegría en cada una de las
actividades planteadas en esta investigación.
A mis padres por su paciencia y confiar en mí.
A mi gran amor Oscar, por su amor, apoyo incondicional, paciencia, sugerencias y
creer siempre en mí aun cuando yo no lo hacía.
¡Infinitas gracias!
v
DEDICATORIA
A Dios y a mi madre por darme la vida.
A mí, por tanta paciencia y darme la posibilidad
de continuar creciendo académicamente.
vi
SINTESIS
El propósito de esta investigación es la construcción de demostraciones visuales a
partir de las nociones geométricas planteadas en el Libro I de los Elementos de
Euclides en estudiantes de ocho a diez años de colegios privados ubicados en la
ciudad de Neiva y municipio de Rivera Huila. La metodología desarrollada está basada
en la metodología del diseño, ya que cada actividad posterior toma en cuenta lo que
sucedió en la actividad anterior para rediseñar. Se diseñaron nueve actividades, las
cuales fueron implementadas con 24 estudiantes de manera virtual. Las primeras
actividades se diseñaron en busca que los estudiantes comprendieran algunas
nociones geométricas planteadas en el Libro I de los Elementos de Euclides, con el fin
de identificar sus particularidades. En las actividades finales, se usaron rompecabezas
para construir conjeturas válidas para demostrar a partir de la visualización y material
manipulativo. En el proceso de solución de cada actividad planteada se inicia con
construcciones con regla y compás apoyado de videos caseros que mostraban un
paso a paso de cada una de ellas. Finalmente, en cada actividad se plantea actividades
de pensamiento independiente que permiten desarrollar pensamiento geométrico en
los estudiantes. La implementación y análisis de cada una de las actividades y los
resultados de la encuesta permitieron evidenciar las estrategias utilizadas por los
estudiantes en el proceso de solución de las diferentes actividades, y comprobar que
efectivamente se pueden iniciar con actividades demostrativas a partir de
demostraciones visuales con estudiantes de ocho a diez años a través de material
manipulativo diseñando y rediseñando actividades que hagan que el estudiante piense
matemáticamente.
vii
ABSTRACT
The purpose of this research study is to explore the construction of visual
demonstrations based on geometric notions that appear in Book 1 of Euclid´s Elements
by students eight to ten years old from private schools located in the city of Neiva and
the municipality of Rivera, Huila. The methodology of the research is based on research
as design, since each subsequent activity takes into account what happened in the
previous activity in order to redesign it. Nine activities were designed which were
implemented virtually with 24 students. The first activities were designed to allow
students to understand and construct with ruler and compass different objects and
notions posed in Euclid´s Elements Book 1, in order to identify their particularities. In
the final activities, puzzles were used to build valid conjectures to be proven visually
and with the support of manipulatable material. Each activity designed begins with
constructions with ruler and compass supported by home-made videos that show a
step by step process for each of them. Finally, in each activity problems of independent
thought are posed that allow the students to develop their geometric thinking. The
implementation and analysis of each of the activities and the results of the survey given
to the students allowed the identification and analysis of the strategies used by students
in the process of solving the different activities, and the verification that young students
can effectively start activities related to proving by designing and redesigning activities
that lead the student to think mathematically.
viii
CONTENIDO
PÁGINAS
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1
CAPITULO 1. ESTADO DEL ARTE .................................................................................13
1.1. La enseñanza y aprendizaje de la demostración .........................................14
1.1.1 Si no demuestro ¿enseño matemática? .................................................14
1.1.2. Acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la demostración en matemáticas ...............................................................................................................15
1.1.3. Pre-Service Classroom Teachers´ Proof Schemes in Geometry: A Case Study of Three Pre-Service Teachers .........................................................18
1.2. La enseñanza y aprendizaje de la demostración con estudiantes de la escuela primaria. ..........................................................................................................20
1.2.1. Development of beginning skills in proving and proof-writing by elementary school students. ..................................................................................20
1.2.2. The notion of proof in the context of elementary school mathematics ..............................................................................................................22
1.2.3. Proofs through exploration in dynamic geometry environments .....23
1.3. Estrategias didácticas en la enseñanza y aprendizaje de la geometría en la escuela primaria ........................................................................25
1.3.1. Material lúdico-manipulativo para el aprendizaje de geometría en cuarto grado de educación primaria .....................................................................25
1.3.2. Teaching and Learning of Geometry in Primary School Using GeoGebra ...................................................................................................................27
Conclusiones Capítulo 1 .............................................................................................31
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO ....................................................................................32
Marco de pensamiento geométrico ..........................................................................32
2.1. Desarrollo de pensamiento geométrico en la escuela primaria ..............32
Marco demostrativo .....................................................................................................38
2.2. Demostración en la escuela primaria ............................................................38
Marco matemático ........................................................................................................42
2.3. Algunos temas de geometría para tercer grado tomados del Libro I de los Elementos de Euclides .....................................................................................42
Marco didáctico.............................................................................................................45
2.4. Manipulables ......................................................................................................45
2.5. Comunidad de práctica de Wenger ...............................................................48
Conclusiones Capítulo 2 .............................................................................................51
CAPITULO 3. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN .............................................52
ix
3.1. Método de investigación ...................................................................................52
3.2. Población y muestra ..........................................................................................54
3.3. Actividades ..........................................................................................................54
Conclusiones Capítulo 3 .............................................................................................69
CAPITULO 4. APORTES DE LA INVESTIGACIÓN .......................................................70
CONCLUSIONES ............................................................................................................. 120
Referencias.......................................................................................................................... 135
ANEXOS ............................................................................................................................ 137
ANEXO 1: Grabación, sin edición, de la experiencia. Se adjunta en medio magnético ..................................................................................................................... 137
ANEXO 2: Actividad 1. Construcción de triángulos equiláteros con regla y compás. ......................................................................................................................... 137
ANEXO 3: Actividad 2. Construcción de triángulos isósceles con regla y compás. ........................................................................................................................................ 139
ANEXO 4: Actividad 3. Construcciones con regla y compás de rectas perpendiculares, triángulo rectángulo, triángulo escaleno. ...................................... 141
ANEXO 5: Actividad 4. Construcción de rectas paralelas, ángulos y del cuadrado con regla y compás. ..................................................................................................... 143
ANEXO 6: Actividad 5. Construcción de rectas paralelas y cuadrado con regla y compás. ......................................................................................................................... 146
ANEXO 7: Actividad 6. Comenzar a construir el concepto de área. ..................... 148
ANEXO 8: Actividad 7. Iniciar a demostrar a través de manipulables. ................. 152
ANEXO 9: Actividad 8. Iniciar a demostrar a través de manipulables. ................. 154
ANEXO 10: Rompecabezas actividad 7 y 8 ........................................................... 156
ANEXO 11: Actividad 9. Demostración visual del teorema de Pitágoras. ............ 157
ANEXO 12: Encuesta ................................................................................................. 161
1
INTRODUCCIÓN
La investigación que se adelanta y da lugar a la presente tesis se motiva en el análisis
y discusión que se lleva a cabo en la comunidad de investigadores en educación
matemática acerca de los papeles que deben tener el demostrar y la demostración en
la formación matemática del estudiante.
El tema se aborda en muchos niveles, desde el álgebra “temprana” (early algebra) para
estudiantes de la escuela primaria hasta la transición de la matemática del bachillerato
a la matemática universitaria, transición cuyo mayor desafío es el cambio de énfasis
de la matemática procedimental a la matemática formal que incluye la presentación de
proposiciones generales y la demostración de las mismas.
El álgebra temprana incluye nociones de generalización y argumentación, por ejemplo,
el uso de argumentos de paridad, desde tercer grado de la escuela primaria (ver James
Kaput y Rómulo Lins, “The Early Development of Algebraic Reasoning: The Current
State of the Field” in ICMI Study 12, The Future of the Teaching and Learning of
Algebra, 2004).
Haciendo una extensión de las mismas ideas, la presente investigación ha querido
abordar el tema de la generalización y argumentación (i.e. la demostración) desde
experiencias con la geometría euclidiana, en especial las proposiciones del Libro I de
los Elementos, con estudiantes del tercer grado elemental. Es un tema retador en
especial por el nivel de desarrollo lógico de los niños quienes pueden tener entre 8 y
10 años de edad.
2
Se puede decir, entonces, que la presente investigación se inspira y se justifica en
preguntas de interés para los investigadores en educación matemática. No por ello
pierde interés ni vigencia para el aprendizaje de la matemática en la escuela,
particularmente teniendo en cuenta la posición de Schoenfeld (1992) quien afirma que
el fin práctico de la educación matemática es el de desarrollar el pensamiento
matemático del estudiante.
En años recientes, la enseñanza y el aprendizaje de la demostración en matemáticas,
en los niveles de primaria, secundaria y universidad ha sido objeto de estudio por parte
de los investigadores en educación matemática, principalmente por los múltiples
cuestionamientos que se han hecho en torno a su enseñanza y su aprendizaje.
Evidencia de lo anterior es la revista International Newsletter on the Teaching and
Learning of Mathematical Proof y los resultados de la conferencia del 19° ICMI Study:
Proof and Proving in Mathematics Education. Algunas de las presentaciones en la
conferencia fueron:
Koichu, Boris “What can Pre-Service Teachers Learn from Interviewing
High School Students on Proof and Proving”;
Leikin,Roza: “Multiple Proof Tasks: Teacher Practice and Teacher Education”;
Lo, Jane-Jane & McCrory, Raven: “Proof and Proving in a Mathematics Course
for Prospective Elementary Teachers”;
Pietropaolo, Ruy César & Campos, Tania. “Considerations about Proof in School
Mathematics and in Teacher Development Programmes”;
Ufer, Stefan, Heinze, Aiso & Reiss, Kristina: “What Happens in Students’ Minds
When Constructing a Geometric Proof? A Cognitive Model Based on Mental Models”;
3
Raman, Manya, Sandefur, Jim & Birky, Geoffrey, Campbell, Connie & Somers,
Kay “Is That a Proof? Using Video to Teach and Learn How to Prove at the University
Level.
En lo que sigue se centra la atención en aquellos investigadores en educación
matemática que han identificado la inclusión de la demostración en el aula como
práctica pedagógica que debe ser trabajada en los estudiantes de todos los niveles
escolares como una necesidad. De igual forma se discute la viabilidad de trabajar la
visualización como estrategia para la enseñanza de la demostración en estudiantes de
básica primaria. Todo ello será una base para el desarrollo de esta investigación.
Pensando en iniciar este proceso de enseñanza de la demostración desde la básica
primaria, Hanna (2001) aclara: “Pero en el aula el papel clave de la demostración es
la promoción de la comprensión matemática, y por lo tanto nuestra el desafío más
importante es encontrar formas más efectivas de usar la demostración para este
propósito”1.
Según, Stylianides (2007) “Muchos investigadores y marcos curriculares recomiendan
que el concepto de demostración, y la actividad correspondiente de demostrar se
conviertan en parte importante de las actividades curriculares que se desarrollan en la
clase, iniciando desde los estudiantes que ven matemáticas en primaria hasta nivel
universitario. Sin embargo, existe una brecha en la literatura y aún no está claro lo que
significa demostrar en las matemáticas escolares, específicamente en los grados
de primaria”2.
1 Hanna, G. (2001). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, p.1. 2 Stylianides, A. J. (2007). Proof and Proving in School Mathematics. Journal for Research in Mathematics
Education, p. 289.
4
De hecho, Hanna (2001) afirma: “La demostración es una parte importante de las
matemáticas y por lo tanto debemos discutir con nuestros estudiantes la función de la
demostración en matemáticas, señalando tanto su importancia como sus
limitaciones”3.
Igualmente, Ross (1998) asegura que: “la esencia de la matemática reside en la
demostración”4. Knuth (2002) señala que, sin embargo, “sorprendentemente, el papel
de la demostración en las matemáticas de la escuela secundaria ha sido poco común
y generalmente limitada al dominio de la geometría euclidiana”5.
Por otra parte, Schoenfeld (1994) insiste que “la demostración no es una cosa
separable de las matemáticas, como parece ser en nuestros planes de estudio; es un
componente esencial de hacer, comunicar y registrar las matemáticas y creo que
puede estar incrustado en nuestros planes de estudio, a todos los niveles”6.
Hanna (como se citó en Stylianides 2007), afirma, además, que “La razón más
importante de este énfasis es que la demostración contiene fundamentos para hacer
y conocer las matemáticas que son la base de la comprensión matemática y esencial
para desarrollar, establecer y comunicar conocimientos matemáticos”7. Además, la
demostración también juega un papel importante en el descubrimiento o la creación
de nuevas matemáticas.
3 Hanna, G. (2001). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, p.5. 4 Ross, K. (1998). Doing and proving: The place of algorithms and proof in school mathematics. American
Mathematical Monthly, p.254. 5Knuth, E. J. (2002). Secondary School Mathematics Teachers' Conceptions of Proof. Journal for Research in
Mathematics Education, p.379. 6 Schoenfeld, A. (1994). What do we know about mathematics curricula? Journal of Mathematical Behavior, 13,
p. 76. 7 Stylianides, A. J. (2007). Proof and Proving in School Mathematics. Journal for Research in Mathematics
Education, p. 289.
5
Para ilustrar mejor lo anterior, de Villiers (1999) afirma que: “Hay numerosos ejemplos
en la historia de las matemáticas donde se descubrieron o inventaron nuevos
resultados de una manera puramente deductiva, por ejemplo, las geometrías no
euclidianas”8. Este papel de la demostración se manifiesta en la relación de la
demostración con la conjetura y resolución de problemas (Pólya, 1957).
Otro aspecto fundamental en el proceso de demostración hace referencia a la forma
de representar la demostración, especialmente a la manera como los estudiantes la
expresan oralmente y por otro lado la representación escrita que hacen de ella. Estos
dos procesos requieren de una cuidadosa interpretación para lograr verificar los
hallazgos y comparaciones que han realizado los estudiantes (Buchbinder, Pfeiffer y
Stylianides, 2016).
En particular, según Stylianides (como se citó en Antonini, 2016) se centra el papel de
la representación en el argumento de los estudiantes en las construcciones, además
analiza los resultados de un experimento de diseño basado en el aula que sugiere que
el uso de un modo de representación oral puede ser más probablemente exitoso, en
comparación con un modo escrito, para apoyar la construcción de un argumento que
se aproxima o cumple el estándar de la prueba.
Así mismo la visualización cumple un papel importante en el proceso de demostración,
tanto así que los investigadores recomiendan el uso de representaciones visuales en
la enseñanza de las matemáticas (Hanna, 2001). (Cómo citó Hanna (2001), Brown
8 Villiers, M. (1999). Rethinking proof with the Geometer's Sketchpad. Emeryville, CA: Key Curriculum Press,
(p.5).
6
(1999) asegura que el uso de algunas representaciones podría conducir a errores; sin
embargo, no da razones para creer que la visualización no abre posibilidades para la
investigación y la enseñanza).
Se debe agregar que Hanna (2001) enfatiza que: “Una pregunta clave planteada por
el estudio de la visualización es en qué medida se pueden utilizar las representaciones
visuales, no sólo como evidencia visual sino también en la justificación”9.
Según Hanna (2001) “Las representaciones y otras ayudas visuales se han utilizado
durante mucho tiempo para facilitar la comprensión y han sido recibidos como
acompañamientos heurísticos a la prueba, donde pueden inspirar tanto el teorema
para ser probado y enfoques de la prueba en sí. En este sentido, es bien aceptado que
una representación sirve como un componente legítimo de un argumento matemático.
Los docentes saben que las representaciones visuales son fundamentales en el
currículo, ayudan a transmitir conocimientos, aunque no se ha considerado sustituirlas
por la prueba tradicional. Hoy en día se ha discutido sobre este tema y está siendo
explorada por varios investigadores”10.
Así mismo, como cito Hanna (2001): “Borwein y Jorgenson de CECM también han
examinado el papel de la visualización en el razonamiento en general y en
matemáticas en particular. Las dos preguntas que se plantearon a sí mismos fueron:
"¿Puede contribuir directamente al cuerpo del conocimiento matemático?" y "¿Puede
una imagen actuar como una forma de 'demostración visual'?”11. Los dos responden a
9 Hanna, G. (2001). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, p.15. 10 Hanna, G. (2001). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, p. 15 11 Hanna, G. (2001). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, p.16.
7
estas preguntas en positivo, aunque insisten en que una representación visual debe
cumplir ciertas características para que sea aceptada como prueba.
Como citó Hanna (2001), Borwein (1997) y Jorgenson (1997) citan las muchas
diferencias entre los modos visuales y lógicos de presentación. Mientras que una
demostración matemática, como secuencia de inferencias válidas, se ha presentado
tradicionalmente en modo verbal, una representación visual que pretende constituir
una demostración visual se presentaría como una imagen estática. Señalan que tal
imagen bien puede contener la misma información que la demostración tradicional,
pero no mostraría un camino explícito a través de esa información y, por lo tanto, en
su opinión, dejaría al espectador para establecer lo que es importante y lo que no lo
es y en qué orden deben evaluarse las dependencias.
Por otra parte, según Hanna (2001) “Por esta razón, estos investigadores creen que
las pruebas visuales exitosas son pocas y distantes entre sí, y tienden a ser limitadas
en su alcance y capacidad de generación”12. No obstante, reconocen que existe una
serie de pruebas visuales convincentes como las publicadas en el libro Proofs without
words (Nelsen, 1993).
“Pero la pregunta que surge para que una demostración tenga validez es ¿cómo
extraer la información adecuada de una demostración visual de tal manera que se
produzca una demostración válida?” Hanna (2001). Aquí se puede tener en cuenta las
pruebas visuales. Por otra parte, Barwise (1991) y Etchemendy (1996) muestran
ejemplos de derivaciones informales, como el uso de diagramas de Venn, y sugieren
que las demostraciones visuales perfectamente válidas se pueden construir de manera
12 Hanna, G. (2001). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, p.16
8
similar sobre la manipulación directa de objetos visuales y hasta táctiles. Y es aquí
donde se quiere enfocar la presente investigación, llevar a cabo el proceso de
demostración a través de demostraciones visuales en estudiantes de tercer grado de
primaria que permitan desarrollar el pensamiento geométrico en ellos, por medio de
actividades geométricas basadas en el Libro I de los Elementos de Euclides.
Esta investigación es importante y significativa para la academia por cuatro razones
fundamentales. En primer lugar, busca generar un cambio en la enseñanza de las
matemáticas, específicamente en la habilidad de demostración, de acuerdo a la
opinión de autores como Hanna (2001) y Stylianides (2007). Además, contribuye a la
tendencia actual que busca resolver los múltiples cuestionamientos en cuanto a la
enseñanza y aprendizaje de la demostración en todos los niveles académicos desde
la primaria hasta la universidad. Evidencia de ello se encuentra en los múltiples
estudios, publicaciones y libros que se enfocan en la demostración, algunos de los
cuales ya han sido mencionados anteriormente.
En segundo lugar, aporta a los cuestionamientos que surgen a partir de la enseñanza
y aprendizaje de la demostración en el aula de primaria, tales como capacitación
docente, el rol de la demostración en la enseñanza, desarrollo del pensamiento del
estudiante de primaria, y contribuye a uno de los retos más complejos que es encontrar
formas y prácticas efectivas que permitan usar la demostración para promover la
comprensión matemática, según pretende Hanna (2001) cuando dice que la
demostración de interés para el aprendizaje no sólo muestra que algo es cierto, sino
revela por qué es cierto. Adicionalmente cambia el foco de las matemáticas y la
demostración como eje central de las actividades curriculares o experiencias que se
9
deben desarrollar en la clase. Lo anterior muestra la importancia y la necesidad de
desarrollar esta investigación en este contexto.
En tercer lugar, aporta a la literatura de la educación matemática con respecto a la
demostración, puesto que se encontró que existe una brecha en la literatura con
respecto a la enseñanza y aprendizaje de la demostración en niveles de primaria y
secundaria (Hanna, (2001); Stylianides, (2007)).
La presente investigación profundiza en un aspecto significativo de la enseñanza y
aprendizaje de la demostración y es la manera como los estudiantes se expresan tanto
de forma oral como en la representación escrita cuando abordan la misma. Así,
explora, cuestiona y analiza el rol de la representación en el argumento de los
estudiantes y sus representaciones. Ahora bien, según Stylianides (2007), el uso de
un modo de representación oral puede ser más probable de lograr en comparación
con un modo escrito.
Según lo antes mencionado, la presente investigación deja abierta la duda para
desarrollar e investigar todas las inquietudes, aspectos y perspectivas que puedan
surgir en el desarrollo de la demostración en matemáticas. Este último claramente es
un término que abarca muchos más aspectos de la enseñanza y aprendizaje, tales
como representación, argumento y construcciones.
En cuarto lugar, se explora un método de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
por medio de la manipulación y visualización y su rol dentro del proceso. Actualmente
este medio tiene un grupo importante de autores a su favor que incluye a Stylianides
(2007) y Hanna (2001). Sin embargo, aún hace falta más exploración dado que Brown
(1999) aseguró que el uso de algunas representaciones podría conducir a errores.
10
Desde otro punto de vista, según Hanna (2001), la visualización no sólo sirve como
evidencia, sino también como justificación. Igualmente, haciendo un uso apropiado de
software dinámico en geometría, autores como Arcavi (2018) y Moreno (1996) están
defendiendo una ampliación de lo que se acepta como demostración, al menos en la
escuela, dentro de la comunidad de educadores matemáticos. Debido a estas
tendencias, se considera que esta investigación tiene el potencial de contribuir a la
actual transición en la práctica educativa de la demostración tradicional hacia una
demostración visual que ha sido explorada por diferentes autores.
Por lo anterior, se propone el siguiente problema de investigación: ¿Cómo desarrollar
el pensamiento geométrico de los estudiantes de grado tercero a través de la
demostración, y en particular, las demostraciones visuales? Se precisa como objeto
de estudio: Proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría. El campo de acción
de la investigación es: El proceso de desarrollo del pensamiento geométrico a través
de las proposiciones del Libro I de los Elementos de Euclides, haciendo uso de
actividades que trabajan con demostraciones visuales apropiadas para niños de grado
tercero de educación básica. Se plantea como objetivo general: Favorecer, por medio
de construcciones geométricas y demostraciones visuales, la construcción de
significado de objetos y conceptos geométricos presentados en el Libro I de los
Elementos de Euclides, que propicien el desarrollo del pensamiento geométrico en los
estudiantes de ocho a diez años.
Y como objetivos específicos se precisan:
11
Diseñar actividades, que hagan que los estudiantes de ocho a diez años
construyan objetos y conceptos geométricos y los interrelacionan por medio de
construcciones y demostraciones visuales.
Aportar a la caracterización del pensamiento geométrico de los estudiantes de
ocho a diez años involucrado en la construcción de demostraciones visuales por
medio del análisis del desarrollo de las actividades planteadas.
Analizar y sustentar una posición crítica con el fin de establecer si las
experiencias desarrolladas sustentan y contribuyen a justificar los planteamientos
de Gila Hanna (2001), frente al pensamiento geométrico cuyo desarrollo se
observa en la construcción de demostraciones visuales y con manipulables.
Para el cumplimiento de los objetivos y para contribuir a la solución del problema
planteado, se presenta la siguiente hipótesis de investigación: El desarrollo de
actividades demostrativas que involucren procesos intuitivos de conjeturación y
pruebas visuales de proposiciones matemáticas, específicamente las del Libro de I de
los Elementos de Euclides, favorecen el desarrollo del pensamiento geométrico de los
estudiantes.
Esta tesis está estructurada en introducción, cinco capítulos, conclusiones,
recomendaciones, bibliografía y anexos. En el Capítulo 1, se describe la situación
actual en la que se encuentran estudios dirigidos al desarrollo del pensamiento
geométrico, identificando formas de enseñanza que son utilizados en la comunidad
educativa para la enseñanza de la geometría en la escuela primaria. En el Capítulo 2,
se presenta el marco teórico en el cual fue basada esta investigación. Este se dividió
en cinco partes; en la primera se expone un marco geométrico, en donde se toma el
12
desarrollo del pensamiento geométrico en la escuela primaria basado en autores como
Piaget (1982) y Tall (2013); en la segunda se estudia la demostración en primaria,
tomando la demostración pictórica y visual y la demostración visual usando colores;
en la tercera se exponen algunos temas de geometría para niños de ocho a diez años,
tomados del Libro I de los Elementos de Euclides; en la cuarta se estudia un marco
didáctico tomando como referencia manipulables basados en el trabajo de Dienes
(2004) y el uso de rompecabezas en la demostración de problemas de área; y en la
quinta se describe el modelo de Wenger de una comunidad de práctica. En el Capítulo
3 se presenta la metodología en que se desarrolla esta investigación y los pasos en
que se diseña y aplica las actividades. En el Capítulo 4 se presenta la implementación
de la propuesta metodológica y descripción de las actividades realizadas en busca de
llegar a la demostración visual por medio de rompecabezas del teorema de Pitágoras.
13
CAPITULO 1. ESTADO DEL ARTE
En la parte introductoria del presente escrito se ha discutido ampliamente el papel de
la demostración en los estudios matemáticos escolares.
Por otra parte, numerosas son las investigaciones que han trabajado acerca de la
demostración en matemáticas, buscando llegar a una precisión en la caracterización
de la misma, características que se proyectan con el fin de desarrollar a cabalidad el
pensamiento de los estudiantes. Igualmente, hay abundantes contribuciones
investigativas al tema de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria. A
continuación, se presentará un conjunto de investigaciones con los puntos de vista de
algunos investigadores y aportes que estos hacen que en alguna medida son
representativos de la literatura que hay y serán significativos para el desarrollo de la
presente investigación.
Esta descripción está dividida en tres categorías en cada una de las cuales se
puntualizará en investigaciones que se han desarrollado que sean representativas de
unas categorías del trabajo que se han hecho y que en conjunto darán un panorama
de comparación y contraste en el que se estructurará la presente investigación.
1. La enseñanza y aprendizaje de la demostración.
2. La enseñanza y aprendizaje de la demostración con estudiantes de la escuela
primaria.
3. Investigaciones acerca de estrategias didácticas en la enseñanza y aprendizaje de
la geometría en la escuela primaria
14
1.1. La enseñanza y aprendizaje de la demostración
1.1.1 Si no demuestro ¿enseño matemática?13
Este artículo explora la concepción de la matemática y busca exponer razones por las
que no es conveniente eliminar la demostración de la formación matemática de los
alumnos. Además, muestra que la función y el sentido de ésta debe estar acorde al
desarrollo cognitivo de los alumnos y a consideraciones epistemológicas. Cabe
resaltar que las conjeturas y las argumentaciones son una manera de aprender a
construir demostraciones, presentando como ejemplo el concepto de unidad cognitiva
de teoremas, el cual se basa en la continuidad existente entre la producción de una
conjetura y la construcción posible de una demostración. En otras palabras, plantea
que existe un ciclo continuo del tipo:
Figura 1. Ciclo para la posible construcción de una demostración. Tomado del artículo de Víctor Larios
O. “Si no demuestro… ¿enseño matemáticas?”
En este proceso, las dos primeras etapas incluyen la parte del proceso relacionado
con la producción de conjeturas, en la cual se llevan a cabo exploraciones,
conjeturaciones, discusiones de tales afirmaciones y una primera sistematización de
los enunciados; y las últimas etapas del proceso están enfocadas en la propia
construcción de la demostración, después de una segunda exploración, de la
13 Osorio, V. M. (2003). Si no demuestro... ¿enseño matemática? Educación matemática. Vol. 15, No. 2, agosto,
p 163-178
Explorar Conjeturar Explorar Organizar una
demostración
15
búsqueda de argumentos convenientes y convincentes, y del encadenamiento
deductivo necesario.
Así se concibe la demostración, hablando específicamente en el contexto educativo,
lo cual tiene una influencia decisiva (para el caso del docente) sobre la manera en que
se aborda la temática en clase.
La metodología planteada en esta investigación se adelanta en una secuencia de
procesos basada en un ciclo continuo (explorar, conjeturar, explorar, y organizar una
demostración) que, adecuada a las necesidades de los estudiantes y objetivos de la
investigación, es un buen insumo para el diseño de una metodología acorde para la
presente investigación.
1.1.2. Acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la demostración en
matemáticas14
Esta investigación realiza una recopilación bibliográfica de las principales
investigaciones acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la demostración, con el
fin de aportar fuentes de consulta a la comunidad de educadores en matemáticas
interesados en el tema. Propone los siguientes autores por la forma como ellos
plantean las tareas a sus estudiantes para la investigación.
Bell (1976) es pionero al sugerir proponer a los estudiantes tareas de investigar
situaciones que pueden conducir a diversas conjeturas formuladas por ellos, a la
necesidad de resolver conflictos entre puntos de vista diferentes, a la presentación
14 Fiallo, Jorge, Camargo, Leonor & Gutiérrez, Ángel. (2013). Acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la
demostración en matemáticas. Revista Integración. Vol.31, No. 2, julio-diciembre, p 181-205
16
de evidencias y a la construcción de argumentos formales. Cuando esta idea es
llevada a la práctica, por ejemplo, el primero de ellos sugiere que los problemas
propuestos incluyan la observación de patrones de regularidad, pues esto conduce
a la elaboración de argumentos empíricos inductivos y a explicaciones deductivas
sobre por qué un patrón puede continuar.
Radford (1994) hace una descripción más detallada del tipo de tareas para
geometría, proponiendo la reformulación de teoremas relevantes en términos de
problemas abiertos que dan lugar a una conjetura correspondiente al enunciado
del teorema seguida de actividades que buscan mostrar que una figura no puede
constituirse en una demostración y de otras experiencias o tareas que procuran la
comprensión del funcionamiento de una demostración, las cuales incluyen
demostraciones incompletas o cuyos pasos están desordenados con la finalidad
de completarlas u organizarlas, respectivamente.
Radford (1994) dice que por esa vía los estudiantes pueden ver los teoremas como
algo significativo y se motivan a demostrarlos. Evalúa el éxito de su propuesta
analizando progresos individuales en la realización de demostraciones.
Harel (1998) introduce un elemento nuevo en la selección de teoremas al proponer
que estos den lugar a demostraciones ‘explicativas’, pues son las que motivan a
los estudiantes a aprender a demostrar.
Marrades, Gutiérrez (2000) y Jones (2000) llaman la atención sobre la necesidad
de organizar secuencias de enseñanza cuidadosas, graduar los problemas según
el grado de dificultad, y dar suficiente tiempo a los estudiantes para trabajar en los
problemas propuestos.
17
Además de las tareas, otro aspecto que resaltan son los recursos que se ponen a
disposición de los estudiantes.
Groman (1996) es uno de los primeros enfocados en aspectos sociales del aprendizaje
de la demostración donde se emplea como mediador la geometría dinámica. La
investigadora señala que la presencia de la tecnología produce un cambio en la forma
de hacer el curso hacia una práctica de tipo social. A partir de la exploración de figuras
geométricas para producir conjeturas y preguntas de la forma “qué pasa si...”, los
estudiantes, futuros profesores, pueden construir por sí mismos significados
matemáticos en un ambiente social de investigación, donde el profesor es uno más de
los participantes en el proceso.
Aunque la revisión presentada en este documento no pretende ser absoluta, sí intenta
mostrar una amplia panorámica de las investigaciones acerca de la enseñanza y el
aprendizaje de la demostración. La complejidad de los asuntos implicados hace
necesario enfocar la mirada en algunos aspectos, dejando otros como entretelón de
los estudios investigativos.
Algunas direcciones de investigación didáctica importantes que se han mencionado
pero no discutido en profundidad son el aprendizaje de la demostración en la
enseñanza primaria, los aspectos semióticos de la demostración, la influencia de las
formas de escritura de demostraciones en el aprendizaje, las concepciones de
profesores y futuros profesores sobre la demostración y su influencia en el aprendizaje
de sus alumnos, o el papel que puede jugar la tecnología, en particular los programas
informáticos de geometría dinámica, en el aprendizaje de la demostración. En cada
18
una de estas direcciones de investigación, los didactas están tratando de dar
respuestas a diversas cuestiones e hipótesis.
De las propuestas tratadas, se prevé que la metodología de Radford da la posibilidad
de adaptarse a los propósitos de la presente investigación.
1.1.3. Pre-Service Classroom Teachers´ Proof Schemes in Geometry: A Case
Study of Three Pre-Service Teachers15
El propósito de este estudio fue determinar el esquema que desarrollan los docentes
al demostrar un teorema de geometría. En este sentido, el estudio estuvo orientado
por la pregunta de investigación: ¿qué esquemas de demostración utilizan los
maestros al hacer demostraciones en geometría? Para esto, los autores realizaron un
estudio de caso apoyados de un examen detallado de un tema en particular. Para
iniciar, realizaron una pregunta abierta y luego realizaron entrevistas
semiestructuradas. Los tres estudiantes investigados en este estudio fueron
seleccionados considerando sus puntuaciones de matemática básica: dos mujeres
que tienen puntuaciones máximas y un varón que tiene una puntuación mínima. Los
investigadores les pidieron a los estudiantes que demostraran "la suma de las medidas
de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°". Después de probar esto, cada
estudiante fue entrevistado en torno a lo que pensaban acerca de las demostraciones.
Los resultados del estudio revelaron que los profesores no están en la capacidad de
demostrar incluso un teorema de geometría simple. Lo que subyace a esto es que se
15 Oflaz, Gülçin & Bulut, Neslihan & Akçakın, Veysel. (2016). Pre-Service Classroom Teachers' Proof Schemes
in Geometry: A Case Study of Three Pre-service Teachers. Eurasian Journal of Educational Research, Turquía,
p 133-152
19
cree que los maestros no tienen conocimientos suficientes sobre las definiciones de
conceptos geométricos, así como sí tener conceptos erróneos sobre el tema. Otros
resultados se refieren a que los estudiantes no experimentan ningún proceso de
demostración en los grados anteriores. Por lo tanto, los alumnos deben darse cuenta
de lo valioso que es demostrar y adquirir conocimiento a través de las
recomendaciones que hacen los maestros.
Esta investigación, la cual desarrolla la demostración en geometría permitirá soportar
un adecuado proceso de enseñanza de la demostración que llevará al estudiante a
tener conciencia de lo valioso que es demostrar y adquirir conocimientos a través de
las recomendaciones realizadas por los docentes. Además, durante la recolección de
datos, se entrevistaron a los estudiantes por medio de una entrevista
semiestructurada, tomando en cuenta su opinión sobre el demostrar. La autora de la
presente tesis considera que es una actividad bastante acertada para inducir a los
estudiantes al concepto de demostración, por supuesto diseñando una actividad
adecuada para que el estudiante pueda solucionarla, para luego entrevistarlo y
escuchar lo que piensa acerca de la actividad que realizó. Esto permitirá ver el
progreso que llevará a cabo cada estudiante en esta investigación y al final tener
resultados más acertados.
20
1.2. La enseñanza y aprendizaje de la demostración con estudiantes de la
escuela primaria.
1.2.1. Development of beginning skills in proving and proof-writing by
elementary school students16.
Esta investigación se centró en el desarrollo del razonamiento deductivo entre los
estudiantes de primaria. Para cumplir con este propósito, se optó por una metodología
de investigación basada en el diseño (Edelson, 2002). Este método es de naturaleza
cíclica y cada ciclo consta de cinco etapas:
1. Enseñar escritura de secuencias de pasos argumentativos.
2. Hacer pruebas en clase de la secuencia.
3. Analizar datos experimentales retrospectivamente.
4. A la luz de este análisis, reevaluar las hipótesis teóricas, las opciones didácticas
y las rutas de aprendizaje previstas.
5. Como resultado de la reevaluación, realizar ajustes en el diseño de la secuencia
de enseñanza para luego comenzar un nuevo ciclo.
La primera etapa de la metodología de investigación basada en el diseño la
desarrollaron por medio de ocho tareas que generarían la aparición espontánea del
razonamiento deductivo en los estudiantes de sexto grado, así como estimular la
transición de la geometría práctica (Geometría I) a la geometría teórica (Geometría II).
Las tareas se centraron en los conocimientos esenciales identificados en la literatura
16 Cyr Stephane (sin fecha). Development of Beginning Skills in Proving and Proof Writing by Elementary School
Students. Recuperado el día 27 de marzo de 2020 en el URL:
http://www.cerme7.univ.rzeszow.pl/WG/1/Cerme7_WG1_Cyr.pdf
21
del programa de educación primaria de Quebec, de modo que se fusionaran
fácilmente en la planificación docente regular y no agregaran contenido de nuevas
asignaturas.
Las ocho sesiones que se programaron durante un período de dos meses permitieron
llevar a la mayoría de los estudiantes a cambiar de práctica (G1) a geometría teórica
(G2) espontáneamente. Al hacerlo, se estableció para los estudiantes un entorno
propicio para el uso de razonamientos deductivos en situaciones de validación. Esta
experimentación validó su hipótesis inicial, que generar un razonamiento deductivo es
un proceso exigente que requiere tiempo y amplia experiencia para ser ejercitado
adecuadamente. De hecho, se tomaron cuatro sesiones antes de que los estudiantes
comenzaran a mostrar alguna mejora en el razonamiento deductivamente. Sin
embargo, los estudiantes que mejoraron menos todavía pudieron comprender los
conceptos de geometría y las habilidades en las tareas dadas en el curso de la
experimentación.
La investigación reportada plantea un método basado en ocho tareas, similar en
método a una investigación anterior. Estas dos, replanteadas y organizadas en
concordancia con la población y objetivos de la presente investigación, son un insumo
adecuado para el diseño de un instrumento que será útil y productivo para el
aprendizaje de las propiedades geométricas de figuras y demás conceptos
geométricos que sean necesarios en el desarrollo de ella.
22
1.2.2. The notion of proof in the context of elementary school mathematics17
Esta investigación caracteriza la noción de demostración a nivel de la escuela
primaria, examinando cuatro características planteadas así: fundamento, formulación,
representación y dimensión social, para que el argumento pueda contar como
demostración en el nivel de la escuela primaria. Para ello, el autor recopiló la
información durante un año a través de videos de las clases, el trabajo de los
estudiantes, notas de campo y el diario del maestro. Durante cada sesión se trabajó
a través de la exploración de una actividad individualmente o en parejas, luego en
pequeños grupos y finalmente en grupo completo. Uno de los objetivos de la docente
a cargo de la clase era ayudar a los estudiantes a convertirse en razonadores
matemáticos hábiles, y para promover este objetivo modeló el aula como una
comunidad de discurso matemático, inspirado por la noción de honestidad intelectual
de Bruber (1960).
La metodología utilizada por el autor se basó de dos guías para conceptualizar los
principios de la noción de demostración en matemáticas escolares: la primera basada
en el principio de honestidad intelectual y la segunda basada en el principio continuo.
Los principios anteriores sirvieron a los estudiantes como principios para la realización
de juicios que pueden contar como demostración; además apoyaron una idea más
amplia para una posible conceptualización de argumento para la demostración en la
escuela primaria.
17 Stylianides, A, J. (2007). The Notion of Proof in the Context of Elementary School Mathematics. Educ Stud
Math. Vol. 65, p 1–20
23
Esta investigación aporta en la forma como la docente modela el aula de clase, a
generar razonamiento en los estudiantes (comunidad de discurso matemático,
inspirado por la noción de honestidad intelectual). Para efectos de la presente
investigación, se considera que involucrar este tipo de modelo en el aula es nuevo
para los estudiantes y puede generar muchas expectativas por parte del docente,
además de desarrollar habilidades para conceptualizar los principios de la noción de
demostración en matemáticas escolares.
1.2.3. Proofs through exploration in dynamic geometry environments18
En este artículo los autores analizan las implicaciones del desarrollo de un software
para la enseñanza de la demostración para hacer que ésta sea más significativa para
los estudiantes. Los autores describen cómo tres futuros maestros de primaria
exploraron problemas en la geometría y cómo sus construcciones y conjeturas los
llevaron a hacer demostraciones en SGD (software de geometría dinámica).
Ellos conjeturan que la SGD proporciona un contexto adecuado en el que la
importancia de la demostración puede ser reconocida. Para ello, consideran que es
necesario el desarrollo de tareas apropiadas, haciendo referencia a que "apropiado"
significa aquellas tareas en las que la demostración puede estar proporcionando
información sobre por qué un resultado es cierto. Por lo anterior verificaron que los
problemas abiertos parecían más apropiados por dos razones principales. Primero,
los enunciados son cortas y no sugieren ningún método de solución en particular, y,
segundo, las preguntas son diferentes de las expresiones tradicionales, como
“demostrar que… ".
18 Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M., Pitta. P.D. (2004) Proofs Through Exploration in Dynamic
Geometry Environments. International Journal of Science and Mathematics Education, Vol. 2 (3), p. 339-352
24
Los problemas abiertos dan a los estudiantes la oportunidad de participar en un
proceso que utiliza toda una gama de funciones de demostración: explorar una
situación, hacer conjeturas, validar conjeturas y demostrarlas. La suposición implícita
es que durante este proceso los estudiantes no tendrían que probar algo que se les
presenta y no entienden, sino algo que han descubierto, validado y que es significativo
para ellos.
En este estudio se examinaron dos hipótesis principales. En primer lugar, si el uso de
SGD podría ayudar a los estudiantes a identificar conjeturas basadas en sus
construcciones, y, en segundo lugar, si el uso de SGD podría ayudar a los estudiantes
a buscar argumentos matemáticos para apoyar sus conjeturas y así proporcionar
explicaciones razonables.
El objetivo principal de este estudio fue identificar las funciones de SGD, lo que según
los autores puede permitir a los estudiantes pasar de la exploración empírica de un
problema a la demostración, presentando un conjunto de observaciones que ilustran
las relaciones matemáticas que surgieron de las interacciones de los estudiantes con
las tareas proporcionadas.
En la fase de pre-demostración, se muestra cómo las tareas rutinarias que aparecen
en la geometría tradicional podrían abordarse con el uso de la tecnología como
problemas abiertos. En esta fase, el software permitió a los estudiantes construir las
figuras apropiadas y luego actuar sobre ellas utilizando las funciones de arrastre de
SGD con el fin de identificar conjeturas que no son fáciles de observar. Estas acciones
fueron importantes para los estudiantes durante la fase de demostración y la fase del
desafío intelectual, ya que les permitió buscar argumentos matemáticos para apoyar
sus conjeturas. La interacción entre la acción y las propiedades proporcionó a los
25
estudiantes el motivo y el contexto para explicar sus conjeturas y llegar a la
demostración a través del razonamiento (Hanna, 2001).
Esta investigación realiza un trabajo importante con apoyo del software de geometría
dinámica para el proceso de demostración, a través de la exploración empírica de
tareas apropiadas, que más adelante lleva los estudiantes a la demostración
geométrica, basándose en las particularidades que presentan los problemas o tareas
que les llevarán a describir propiedades importantes para finalmente iniciar un proceso
de demostración. Los autores muestran que hacer un buen trabajo en la fase
exploratoria permitirá al estudiante desarrollar adecuadamente este proceso de
demostración.
1.3. Estrategias didácticas en la enseñanza y aprendizaje de la
geometría en la escuela primaria
1.3.1. Material lúdico-manipulativo para el aprendizaje de geometría en cuarto
grado de educación primaria19
En la investigación en la que se basa este artículo se realiza una propuesta didáctica
sobre geometría en grado cuarto de primaria con la aplicación de recursos
manipulativos con el fin de lograr la motivación en los estudiantes en el momento de
adquirir conocimientos geométricos, específicamente formas planas, simetrías y
cuerpos geométricos. Se propuso una metodología que permitió trabajar la geometría
a través de materiales manipulativos con el fin de introducir y consolidar los conceptos
19 Miguens Pereda, P. (2016). Material lúdico manipulativo para el aprendizaje de la geometría de cuarto de
educación básica primaria. Recuperado el 13 de febrero del 2019 en el URL
https://reunir.unir.net/bitstream/handle/123456789/4289/MIGUENS%20PEREDA%2C%20PATRICIA.pdf?sequ
ence=1&isAllowed=y
26
geométricos, lo anterior dado que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas
utilizando materiales incentiva la creatividad, la participación activa y la cooperación
entre los estudiantes. Adicionalmente, fomenta la observación, la atención, la
imaginación y el espíritu crítico, pasando el estudiante a ser el centro de su propio
aprendizaje. De esta forma, hay una mayor motivación por parte de los estudiantes. A
partir de la observación de la naturaleza u objetos concretos, la manipulación despierta
el interés y la intuición de los aprendices. Utilizando una metodología activa y
participativa se logra que el docente se convierta en mediador entre los conocimientos
y el alumno y además, a lo largo de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje,
aprenda de los alumnos.
Por lo tanto, haciendo uso de manipulativos y de la experimentación, así como la
observación, como sus fuentes principales, los investigadores lograron fomentar la
autonomía de los alumnos, consiguiendo que ellos fueran el centro de la intervención
educativa y ofreciéndoles recursos y herramientas para poder desarrollarse
íntegramente. En general comprobaron que utilizando recursos lúdicos-manipulativos
los alumnos están más atentos, relajados y receptivos.
Esta investigación realiza un aporte significativo para la metodología de la presente
investigación, ya que propone la enseñanza de la geometría a través de materiales
manipulativos con el fin de introducir y consolidar los conceptos geométricos. En ella
se utilizaron materiales que incentivan la creatividad, la participación activa y la
cooperación entre los estudiantes. Además, por medio del uso de manipulativos, la
experimentación y la observación, se fomenta la autonomía en los estudiantes. En la
presente investigación las actividades se desarrollan con ayuda de herramientas
27
manipulativas, con apoyo de los aspectos ya mencionados, para llevar a los
estudiantes a realizar demostraciones visuales y táctiles.
1.3.2. Teaching and Learning of Geometry in Primary School Using
GeoGebra20
El propósito de este artículo es discutir el uso que se le puede dar a GeoGebra
para enseñar el concepto de ángulo en la clase de geometría con estudiantes de
primaria. Los autores obtuvieron los resultados reportados después de dos
semanas de exploración. Los docentes utilizaron GeoGebra como herramienta de
enseñanza para hacer las clases más creativas e innovadoras, además, con el fin
de mostrar la relación que tienen las formas geométricas con diferentes ángulos
en diferentes polígonos. Para ello, los estudiantes usaron GeoGebra para construir,
arrastrar o aplicar, en lugar de dibujar en una hoja de papel. Además de eso, todas
las actividades creadas por los estudiantes fueron guardadas como documentos
para futura referencia. Al finalizar las dos semanas de exploración, les pidieron a
los alumnos que respondieran las preguntas de una encuesta sobre su experiencia
con el uso de GeoGebra.
Estas son las preguntas que les realizaron a los estudiantes:
¿Tenía una buena comprensión del concepto de ángulo antes de tomar la lección?
¿Tenía un alto nivel de interés de usar el software GeoGebra antes de tomar la
lección?
20 Boo, J., Leong, K., (2016), Teaching and Learning of Geometry in Primary Using GeoGebra. Recuperado el 19
de abril del 2020 en el URL:
https://www.researchgate.net/publication/311912319_Teaching_and_Learning_of_Geometry_in_Primar
y_School_Using_GeoGebra
28
¿Sintió que aprender y usar GeoGebra para aprender el concepto de ángulo
podría ser útil antes de tomar la lección?
¿Apreció el uso de GeoGebra en el aprendizaje del concepto de ángulo después
de tomar la lección?
¿Ha mejorado su comprensión sobre el concepto de ángulo después de tomar la
lección?
¿Ha mejorado GeoGebra su comprensión de los temas de matemáticas
explorados después de tomar la lección?
¿Su experiencia trabajando con GeoGebra durante las últimas dos semanas le ha
dado una idea de la importancia de integrar la tecnología en el aula después de
tomar la lección?
La mayoría de los alumnos hicieron comentarios después de que fueron
encuestados sobre cómo se sentían y manifestaron que dos semanas no eran
suficientes para ellos. Deseaban tener más tiempo asignado para usar GeoGebra
para construir y desarrollar más conocimientos. Sin embargo, les dieron la opción
a los estudiantes de visitar el sitio web de GeoGebra en casa, hacer trabajo
independiente y compartir sus resultados en el sitio web.
A través de estas actividades de instrucción, los investigadores descubrieron que
a los alumnos les gustaba aprender matemáticas y tenían más comprensión sobre
el concepto de ángulo. Además, el uso de GeoGebra ayudó a los alumnos a pensar
y explicar qué y cómo tienen que hacer para llegar a una solución matemática.
En conclusión, los autores encuentran que usar GeoGebra ayuda a mejorar el proceso
de enseñanza y aprendizaje, y sugieren que los docentes deben adecuar el tiempo de
29
la clase para que los estudiantes exploren la construcción de cada polígono regular o
irregular, y escribir los pasos para que sus alumnos puedan recordar lo que ya han
trabajado, fortaleciendo la comprensión.
Además, GeoGebra aporta una nueva dimensión a la enseñanza de la geometría de
la escuela primaria en tanto mediante el uso de software dinámico, el concepto de
ángulo se puede desarrollar de manera más eficaz. Finalmente, la representación
gráfica de los ángulos se puede construir de forma más atractiva y creativa en
comparación con el método tradicional utilizando sólo lápiz y papel; los autores opinan
que lo mismo puede suceder con cualquier otro objeto matemático que se desee
abordar en la clase. Por lo tanto, la construcción de ángulos usando GeoGebra se
puede convertir en una parte muy importante del desarrollo de conceptos geométricos
entre los estudiantes de primaria. Cabe resaltar que la encuesta realizada por los
investigadores es un insumo adecuado para evaluar y conocer el punto de vista de los
estudiantes frente a las actividades realizadas, permitiendo al finalizar la aplicación de
las actividades, conocer el punto de vista de los estudiantes frente a las actividades
realizadas.
1.3.3. Geometry Sketching Software for Elementary Children: Easy as 1, 2, 321
En este artículo se analizan los conocimientos sobre el uso del software de geometría
para enseñar conceptos geométricos desde el jardín hasta el grado 4. Los autores
crearon recursos prácticos que incorporan tecnología en un entorno fácil de usar.
Cuando se trabaja usando Geometer’s Sketchpad con estudiantes de secundaria, los
21Furner, J., Marinas, C., (2007), Geometry Sketching Software for Elementary Children 2, 3. Eurasia Journal
of Mathematics, Science & Technology Education. Vol. 3, p 83-91
30
docentes notaron la facilidad con la que usaban el software estos estudiantes y,
después de crear actividades, sintieron que éstas también se podían utilizar en grado
cuarto. Los estudiantes de grado cuarto de escuela primaria que participaron en las
actividades comentaron sobre lo divertido y fácil que es el manejo de este tipo de
software comparándolo con Paint.
Un ejemplo utilizando el Geometer’s Sketchpad muestra la representación
bidimensional de los objetos de la vida real y pide a los estudiantes que utilicen las
herramientas de SGD para trazar varias formas geométricas. La actividad culminante
pide a los estudiantes que encuentren sus propios ejemplos en Internet para incluirlos
en sus proyectos.
Otra actividad sobre los tipos de triángulo ayuda a los estudiantes a aprender acerca
de las diferentes clasificaciones de triángulos, percibiendo las clasificaciones de
triángulos por lados y luego por ángulos. Así mismo, se pueden crear muchas
actividades para introducir a los estudiantes en las herramientas de SGD y ayudarles
con la transición de objetos de la vida real a los gráficos informáticos bidimensionales.
Los investigadores concluyen que el software de geometría, como Geometer’s
Sketchpad, sirve como una herramienta de motivación dinámica para ayudar a los
estudiantes a desarrollar la comprensión, mientras disminuye cualquier ansiedad o
renuencia a estudiar matemáticas. Además, como docentes es importante presentar
a los estudiantes programas como apoyo tecnológico para las clases, mediante el uso
de software. Los profesores lo están implementando en el plan de estudios y
preparando mejor a los jóvenes para utilizar las tecnologías que les rodean en un
ambiente siempre avanzado y competitivo a nivel mundial.
31
Conclusiones Capítulo 1
En los últimos años, la enseñanza y el aprendizaje de la demostración en matemáticas,
en los niveles de primaria, secundaria y universidad ha sido objeto de estudio por parte
de los investigadores en educación matemática, principalmente por los múltiples
cuestionamientos que se han hecho en torno a su enseñanza y su aprendizaje.
En el capítulo se ha centrado la atención específicamente en aquellos investigadores
en educación matemática que han identificado la inclusión de la demostración en el
aula como práctica pedagógica que debe ser trabajada en los estudiantes primaria y
secundaria. Adicionalmente, se discute la viabilidad de trabajar la visualización como
estrategia para la enseñanza de la demostración en estudiantes de básica primaria.
Todo lo anterior, como base para el desarrollo de esta investigación.
32
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO
Este capítulo tiene como objetivo situar al lector de la presente investigación en la
perspectiva conceptual utilizada para la construcción de demostraciones visuales en
geometría en estudiantes de ocho a diez años a través de representaciones.
El marco teórico está dividido en cinco partes. Primero se expone un marco que
concierne el pensamiento geométrico, donde se desarrollará el pensamiento
geométrico en la escuela primaria basado en autores como Jean Piaget con el
desarrollo del concepto de espacio en el niño y David Tall con los tres mundos de las
matemáticas. Segundo, en el marco demostrativo, se estudia la demostración en la
escuela primaria, tomando la demostración pictórica o visual y la demostración visual
usando colores. Tercero, en el marco matemático, se tendrán, algunos temas de
geometría para tercer grado, tomados del Libro I de los Elementos de Euclides. En la
cuarta parte sobre el marco didáctico, se trabajará manipulables, basados en el trabajo
de Dienes (2004), el uso de rompecabezas en la demostración de problemas de área,
y finalmente se tomará en cuenta el trabajo en grupo, basado en las comunidades de
práctica de Wenger (1998), el cual afirma que el conocimiento se origina en la
interacción social, en diferentes roles culturales y en diferentes ciencias. Todo lo
mencionado anteriormente será un apoyo para el desarrollo de esta investigación y se
abordará cada temática detenidamente en el desarrollo de este capítulo.
Marco de pensamiento geométrico
2.1. Desarrollo de pensamiento geométrico en la escuela primaria
2.1.1. Jean Piaget y el desarrollo del concepto de espacio en el niño
33
Piaget considera una noción que es destacada en su trabajo del “concepto de espacio
en el niño” que es la noción de representación. El propósito del autor en esta obra es
"el estudio de la intuición como factor simbólico en la naturaleza de la geometría del
espacio y el concepto de representación que encierra la representación gráfica por
medio del dibujo”22. Se trata específicamente del análisis del espacio gráfico del niño
en donde no hace referencia a la teoría de la representación, sino a la teoría de la
intuición, teniendo en cuenta que ambos conceptos, representación e intuición, están
combinados entre sí, ya que la representación por imágenes es lo mismo que la
intuición representativa.
Lo mencionado anteriormente, se tendrá como base para esta investigación en la cual
se tomarán los resultados de Piaget acerca de la representación para luego
desarrollarlos, específicamente en la representación a través de imágenes en
estudiantes de 8 a 10 años para llegar a demostraciones visuales. Para ello, se
abarcarán algunos aspectos acerca del espacio gráfico y la perspectiva tomadas de
dicha obra, que aportarán a la teoría de la presente investigación.
Se inicia con el espacio gráfico, donde el interés principal radica en verificar si “para
analizar y descubrir las relaciones elementales que juegan en este espacio
representativo, es necesario recurrir al dibujo, es decir, al espacio gráfico” Carratalá
(1982).
“El desarrollo de esta representación espacial se analiza a través de tres grandes
espacios que corresponden con lo descrito por Luquet: el niño empieza dibujando
22 Carratalá, E. (1982). La representación del espacio en el niño en la obra de Jean Piaget. Revista
Mallorquina de pedagogía. España, p. 147.
34
líneas y rayas por el mero hecho de trazarlas. Aun a sabiendas de que los dibujos
ajenos pueden representar algún objeto determinado, no llega a atribuirse esta
facultad. Sólo más tarde, después de captar un posible parecido entre sus garabatos
y algún objeto real, llegará a representar algún objeto, previa invención del mismo. La
primera fase del dibujo infantil es de un realismo fortuito, que se transformará en un
realismo intencionado a través de una serie continua de etapas”23.
Dado lo anterior, se desarrollan las tres fases que Piaget retoma para describir la
representación espacial a través del espacio gráfico. En la primera fase, llamada fase
del realismo frustrado, el niño quiere que su dibujo sea lo más sensato posible, es decir
que su dibujo se asemeje lo más posible al original, pero encuentra algunos
obstáculos.
“El primer obstáculo es de orden puramente físico; el niño aún no sabe dirigir y limitar
sus movimientos gráficos a fin de dar a su trazo la forma deseada". La otra dificultad
no es de orden motriz sino de carácter puramente psíquico; se refiere a la imperfección
global del dibujo, y es lo que Luquet llama "incapacidad sintética”24.
El niño, aún no está en la capacidad de incluir todos los elementos propios de su dibujo,
aunque los conoce, pues en otras oportunidades ha incluido aquellos que ahora omite
y viceversa. La ausencia de algunos detalles tiene su explicación, por cuanto en el
momento en que el niño piensa en alguno de ellos, está ofuscado por incluirlo en su
dibujo.
23 Carratalá, E. (1982). La representación del espacio en el niño en la obra de Jean Piaget. Revista
Mallorquina de pedagogía. España, p. 156. 24 Carratalá, E. (1982). La representación del espacio en el niño en la obra de Jean Piaget. Revista
Mallorquina de pedagogía. España, p. 157.
35
“Hipnotizado por este detalle, olvida todos los que ya ha dibujado, aunque los tenga
delante de la vista. Ademas, mientras que en la percepción visual del objeto su mente
capta de golpe el conjunto de elementos, y por ahí, las relaciones que estos mantienen
entre sí, en la representación sucesiva y discontinua de los mismos, estas relaciones
se le escapan; realmente las conoce, pero no piensa en ellas”25.
En la segunda fase, llamada fase del realismo intelectual, el niño ya puede realizar sus
dibujos dentro de unos esquemas realistas. Es importante tener en cuenta que, antes
de llegar a un realismo visual, el niño debe superar completamente esta fase.
“En este nivel del realismo intelectual se encuentra un comienzo del dibujo correcto en
cuanto a las formas euclidianas, y un comienzo en la construcción de relaciones
proyectivas, pero sin alcanzar coordinación, perspectiva general ni comprensión de las
proporciones, ni, por supuesto, aparición de sistemas de coordenadas”26.
Finalmente se encuentra la fase del realismo visual. Aquí el niño ha logrado desarrollar
su capacidad de atención, permitiéndole en la práctica ver la irrealidad del realismo
intelectual. Así vemos como la transparencia se sustituye por la confusión, y el
aplanamiento y el cambio de enfoque se sustituyen por la perspectiva. Estas fases
mencionadas anteriormente son de gran importancia para el desarrollo del espacio
gráfico en los niños, ya que evidencian las conexiones espaciales fundamentales que
son reflejadas en los primeros dibujos del niño.
25 Carratalá, E. (1982). La representación del espacio en el niño en la obra de Jean Piaget. Revista
Mallorquina de pedagogía. España, p. 157. 26 Carratalá, E. (1982). La representación del espacio en el niño en la obra de Jean Piaget. Revista
Mallorquina de pedagogía. España, p.158.
36
“Para que un dibujo guarde un cierto parecido con el modelo, debe contener todos los
elementos reales del objeto, incluso los que por cualquier razón no son visibles, y por
otra parte dar a cada uno de estos elementos su forma característica”27.
Por otro, para abarcar la perspectiva, se tomará el nivel IIIB que se desarrolla alrededor
de los 8 a 9 años. Aquí el niño comprende que de cada posición de observar se puede
deducir un sistema de relaciones que puede suponer cuatro perspectivas: derecha,
izquierda, delante y detrás, que correspondería con su propia perspectiva. A cada
punto de vista le corresponde una posición particular del observador. La coordinación
entre las perspectivas se comprenderá cuando se entienda la correspondencia de los
cuatro puntos de vista.
En un nivel determinado (subestadio IIA) el niño es capaz, ante objetos aislados, de
descubrir su propia perspectiva, es decir, aquella desde la cual él ve el objeto. La
explicación de esta aparente contradicción radica en que el sujeto no conoce en
realidad que este punto de vista sea el suyo, porque su pensamiento es egocéntrico.
Piaget dice que su propio punto de vista se rige como una especie de "falsa absoluta",
que no necesita de representaciones de perspectivas, sino que está montado sobre
una ilusión ilegítimamente centrada en él mismo. No llegará a conocer su propio punto
de vista si no es a través del conocimiento y diferenciación de los puntos de vista
ajenos. Se diría que conocerá "su perspectiva”, por medio de "su no perspectiva".
Por ejemplo, es hasta el subestadio IIIB (8-9 años) que el estudiante tome verdadera
conciencia de las referencias utilizadas en la construcción de los rombos. Las
27 Carratalá, E. (1982). La representación del espacio en el niño en la obra de Jean Piaget. Revista
Mallorquina de pedagogía. España, p.157.
37
similitudes en rectángulos, triángulos y figuras abiertas, no es sino resultado de la
aplicación a diversas formas de relaciones ya implícitas. Se trata de ver si el sujeto
aplica correctamente el principio de generalización a partir de la noción. La
transposición tiene numerosos matices: por ejemplo, un cuadrado dará lugar a varias
transposiciones en cuanto es referido a un cuadrado más grande. Se tendrán en
cuenta a la forma general (el cuadrado como tal), los valores de los ángulos (que
siempre son rectos), las relaciones dimensionales de los lados (iguales entre sí en
cada figura), y las dimensiones de las diagonales (también iguales entre sí en cada
figura), esto que ya se indicó, se centra en la similitud de los triángulos y de los
rectángulos. Por medio de identificación de grupos de figuras y clasificación de las
mismas, se analizan los criterios que sigue el niño para el reconocimiento y
comparación de las formas.
2.1.2 David Tall y los tres mundos de las matemáticas
Tall (2013) quien se ha dedicado al trabajo en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas en cada uno de los niveles desde el preescolar hasta los niveles
superiores, reflexiona acerca del proceso de enseñanza que se lleva a cabo en cada
una de estas etapas, y considera que el éxito de ésta se basa en los conocimientos
previos que han logrado los estudiantes en etapas anteriores y además tiene un efecto
significativo en el desarrollo de cada estudiante en etapas posteriores.
Tall (2013) afirma que el pensamiento matemático comienza en la percepción y acción
sensoria motora a través del lenguaje y del simbolismo. Adicionalmente, Tall
categoriza el pensamiento geométrico como visual desarrollando dicho pensamiento
como abstracción a partir de objetos.
38
Tall (2013) resalta diferentes formas del desarrollo del pensamiento matemático, y
además plantea una diferenciación fundamental en la naturaleza del pensamiento
geométrico y la del pensamiento aritmético - algebraico. Pero, para el desarrollo de
esta investigación, se debe tener en cuenta que éstas van articuladas en la geometría,
pues se promueve la abstracción, partiendo o bien de los objetos o bien de acciones
que realiza la persona para ejecutar transformaciones y así construir demostraciones
visuales a través de material manipulativo (por ejemplo, en estudiantes de 8 años).
Marco demostrativo
2.2. Demostración en la escuela primaria
2.2.1 La demostración pictórica o visual
Incluir la demostración matemática en la escuela primaria actualmente se ha
convertido en un reto en la educación matemática; por tal razón algunos investigadores
en este campo se han propuesto desarrollarla y llevarla al aula de clase. Autores como
Hanna afirman que “La mejor demostración es una que también ayuda a entender el
significado del teorema que se está demostrando: ver no sólo que es verdad, sino
también por qué es verdad”28.
Es importante tener en cuenta que una demostración puede tener otros valiosos
beneficios, puede revelar la necesidad de mejores definiciones o producir un algoritmo
útil. Incluso puede hacer una contribución a la sistematización o comunicación de
resultados, o la formalización de un cuerpo de conocimiento. Hanna (2001).
28 Hanna, G. (2001). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, p.8.
39
Se tomará la siguiente lista en la cual se desglosa el proceso para llevar a cabo una
demostración y que será de apoyo para esta investigación (Bell, 1976; de Villiers, 1990,
1999; Hanna y Jahnke, 1996):
verificación (preocupada por la veracidad de una declaración),
explicación (proporcionar información sobre por qué es verdad),
sistematización (organizar diversos resultados en un sistema deductivo de
axiomas, grandes conceptos y teoremas),
descubrimiento (descubrir o inventar nuevos resultados),
comunicación (transmitir conocimientos matemáticos),
construcción de una teoría empírica,
exploración del significado de una definición o las consecuencias de una
suposición,
incorporación de un hecho bien conocido en un nuevo marco y así verlo desde
una nueva perspectiva.
Dado lo anterior, surge frecuentemente una pregunta en el aula al abordar un proceso
de demostración y es el ¿por qué?', teniendo en cuenta que en el ámbito educativo es
importante ver la demostración como una explicación y es de vital importancia llevar a
los estudiantes a que expliquen demostraciones basándose en argumentos
soportados que permitan responder la pregunta anterior.
Sin embargo, como afirma Hanna, no siempre se puede encontrar una demostración
explicativa para cada teorema que se desea demostrar. Como es el caso de la mayoría
de temas matemáticos, algunos teoremas necesitan ser demostrados usando técnicas
de demostración como la contradicción o la inducción matemática. Pero sucede que la
40
geometría goza de una posición especial que permite que los estudiantes desarrollen
las demostraciones de forma explicativa, haciendo que su comprensión sea más
adecuada y fácil.
Lo anterior permitirá el desarrollo de esta investigación, teniendo en cuenta el proceso
que plantea Hanna y además tomando la explicación como base para llegar a construir
y escribir demostraciones en geometría.
2.2.2 La demostración visual usando colores
En las demostraciones visuales que se abordan en la presente investigación, se tiene
en cuenta la obra de Oliver Byrne, aunque la obra de Byrne (2013) se dirige
originalmente a estudiantes de la escuela secundaria. En The Elements in Color, Byrne
en el año 1847, escribió una versión del libro Elementos de Euclides en la cual utilizaba
explicaciones gráficas y en color de todos los principios geométricos planteados en la
versión original. Esta versión hace reflexionar acerca de la forma de enseñanza que
se desea plantear a los estudiantes, a través de la inclusión de actividades
demostrativas visuales que permite verificar particularidades propias y proyectar el
pensamiento del niño hacia la generalidad. La presente investigación desarrollará,
entre otras estrategias, un trabajo de demostración basada en actividades visuales
referidas a las fundamentadas en el libro Los Elementos a color. Se busca realizar un
recorrido en el cual se estudia una selección de proposiciones del Libro I, para
finalmente llegar a la demostración del teorema de Pitágoras.
Para el desarrollo de esta idea, se describen algunas de las proposiciones de Euclides
del Libro I, que se ilustran con diferentes combinaciones de colores y formas (así como
41
están planteadas en el libro de Byrne) a través de fichas de rompecabezas, que serán
construidas teniendo en cuenta las proposiciones que serán desarrolladas con los
estudiantes, la edad, y aspectos que fueron mencionados anteriormente en el trabajo
realizado por Piaget, con el objetivo de llegar a la conceptualización de una forma más
sencilla, clara y por supuesto visual para los estudiantes. Puesto que se ha probado
en investigaciones de autores como Stylianides (2007), Waring (2004) y Hanna (2001),
que la demostración juega un papel valioso en el desarrollo del pensamiento y
habilidades en los estudiantes y que debería iniciarse en la escuela primaria, una
manera adecuada de realizarlo es a través de la visualización y manipulación de
material concreto (Swan & Marshall, 2010).
A continuación, se muestra un ejemplo del trabajo de Byrne.
Proposición 35: los paralelogramos que están sobre la misma base y entre las
mismas paralelas son iguales entre sí.
Debido a las paralelas
42
Pero
Por tanto
Y
Por tanto
Figura 2. Proposición 35 29
Marco matemático
2.3. Algunos temas de geometría para tercer grado tomados del Libro I de los
Elementos de Euclides
El libro de geometría titulado Elementos, el cual se cree que fue escrito alrededor del
año 300 a. de C. por un griego llamado Euclides que enseñaba matemáticas en
Alejandría, ha perdurado durante más de 20 siglos y sigue siendo pertinente en el
aprendizaje de las matemáticas. A pesar de ser un libro tan antiguo, su interés en el
campo de la matemática y en particular la geometría no es solo histórico. Actualmente,
se usa para escribir libros de matemáticas; además, es un libro referencia en el
momento que se discute sobre el origen de determinados conceptos en geometría o
29 Byrne, O. (2013). The first six books of The Elements of Euclid. TASCHEN.
43
en teoría de números, o cuando se escribe sobre axiomatización o lógica matemática.
Navarro (2003).
Euclides, matemático y filósofo griego, es identificado históricamente por su legado
geométrico plasmado en esa gran obra en la cual fundamenta axiomáticamente las
construcciones de los elementos geométricos, aritméticos y algebraicos desarrolladas
para ese momento. La obra se divide en trece libros. Los libros I, II, III, IV, y VI se
dedican a la geometría plana, y los libros XI, XII y XIII a la geometría del espacio o
geometría sólida. El libro V es dedicado a la teoría de la proporción y el libro X a la
clasificación de las longitudes irracionales. Los libros VII, VIII y IX están dedicados a
la aritmética (teoría de números).
En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones
(como punto, línea y superficie), 5 postulados y 5 nociones comunes (o axiomas,
exigidos por Aristóteles para las ciencias demostrativas).
Las nociones comunes, que están planteadas en el Libro I de Los Elementos son:
1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.
Los postulados, que están planteados en el libro de Elementos son:
Primer postulado: postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta
un punto cualquiera.
44
Segundo postulado: y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
Tercer postulado: y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
Cuarto postulado: y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
Quinto postulado: y que, si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos
internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que
dos rectos.
Se ha tenido muy en cuenta el hecho que las proposiciones euclidianas son de dos
tipos fundamentales, las que involucran problemas que en general son problemas de
construcción de entes geométricos y las que involucran enunciados de propiedades
generales de las figuras planas. Y las demostraciones que se espera desarrollar con
los niños tomarán muy en cuenta las demostraciones visuales o demostraciones sin
palabras tan hábilmente exploradas por la escuela pitagórica.
En la presente investigación, las actividades a realizar corresponden a la demostración
de las proposiciones del Libro I que permitirán llevar a cabo la demostración de la
proposición 47: “En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el lado opuesto al
ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados sobre los lados que comprenden el
ángulo recto” Byrne (1847), a través de demostraciones visuales.
Dichas proposiciones son:
Proposición 1: construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada
Proposición 11: trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una recta dada,
desde un punto dado en ella.
45
Proposición 12: trazar una línea perpendicular a una recta infinita dada desde un
punto dado que no esté en ella.
Proposición 35: los paralelogramos que están sobre la misma base y entre las
mismas paralelas son iguales entre sí.
Proposición 46: trazar un cuadrado a partir de una recta dada.
Proposición 47: en los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el
ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Lo anterior, se desarrollará a través de demostraciones visuales, las cuales serán
tratadas en el marco de la demostración que está planteado en este capítulo.
Marco didáctico
2.4. Manipulables
2.4.1. Zoltan Paul Dienes
Este autor es conocido por su teoría de practicar un modelo matemático aproximando
a los estudiantes al aprendizaje matemático con el manejo de materiales manipulables,
desarrollando los conceptos matemáticos de una forma más agradable y visualizando
el aprendizaje como un proceso de evolución asociado a la madurez. Los niños
pequeños aprenden por la interacción con objetos concretos. En la medida en que el
niño va creciendo, va cambiando de operaciones concretas a representaciones
visuales, alcanzando el pensamiento abstracto alrededor de los 10 a 12 años de edad.
Hincapié & Riaño (2008)
46
Por lo anterior, Dienes sugiere la siguiente secuencia de aprendizaje en la enseñanza
de conceptos matemáticos.
1. Usar objetos que den una representación física del concepto, ya que se aprende
mejor aquellas cosas que hacemos, que tocamos, que movemos, que vemos o que
oímos. Estas son experiencias que un libro no puede proporcionar. Se necesita hacer
esto con los alumnos para introducir los conceptos que se abordan en el currículo.
2. Promover el uso de dibujos elaborados en clase o gráficas que representen el
concepto que se está enseñando. También se pueden incluir fotografías o dibujos del
libro de texto, aunque algunas veces esas gráficas son engañosas para el estudiante.
Construir paso a paso un concepto con los dibujos suele ser mejor que usar las que
se encuentren en el libro de texto.
3. Relacionar los dibujos con el concepto matemático. Una parte decisiva en este
proceso de aprendizaje es el paso de representaciones a símbolos abstractos.
4. Luego de que los alumnos hayan construido un significado del concepto, se
pueden usar símbolos para representar variables, operaciones y relaciones. Estos
símbolos tendrán un gran significado si preliminarmente los estudiantes conocieron,
manejaron y contestaron ejercicios, antes de transcribirlos o de identificarlos de
manera impresa en el libro de texto. Es vital que el estudiante comprenda la operación
o algoritmo representado por los símbolos.
La anterior teoría afirma, una vez los estudiantes lleven a cabo correctamente el
proceso descrito, están listos para practicar o aplicar conceptos matemáticos con
operaciones o relaciones. Esta práctica ayuda a memorizar, además, facilita la
comprensión y permite la aplicación de conceptos; es la ocasión de usar una variedad
47
de actividades prácticas. Después de que los estudiantes han dominado el concepto,
memorizado ciertos hechos y manipulado operaciones correctamente, es tiempo de
demostrar propiedades y teoremas.
2.4.2. Uso de rompecabezas en la demostración de problemas de área
Swan y Marshall (2010), plantean la importancia del uso de manipulativos como
estrategia para llegar a que los niños puedan construir significado de conceptos
matemáticos a través de la interacción con estos, llamando la atención a la afirmación
que sólo en un trabajo posterior a la experiencia con material manipulativo es
aconsejable proceder al uso de elementos virtuales. Aunque en la presente
investigación no se abarcará el uso de elementos virtuales, sí se cumplirá la etapa de
trabajo con manipulativos.
Una de las cosas que más les preocupaba a los autores era la afirmación de que para
el uso de materiales manipulativos en matemáticas era necesario justificar las bases en
las que los estudiantes involucran el aprendizaje de las matemáticas. Esta justificación
simplemente no fue suficiente para los autores, creando una nueva definición de un
material manipulativo de matemáticas que abarcara la idea que los estudiantes necesitan
involucrarse con lo manipulativo y que el pensamiento debe ser estimulado.
Teniendo en cuenta los resultados de la investigación de Swan y Marshall (2010) y la
propuesta de usar primero el material manipulativo, proporcionando a los estudiantes
experiencias con lo real que permiten a los estudiantes construir de una manera más
adecuada los conceptos matemáticos, en la presente investigación se trabajará con niños
de 8 a 10 años usando material manipulativo acorde a las actividades que les permitirá
llegar a desarrollar demostraciones visuales.
48
2.5. Comunidad de práctica de Wenger
El propósito de esta investigación es analizar el desarrollo de aprendizaje de un grupo
de estudiantes de grado tercero de primaria del Colegio Colombus American School
del municipio de Rivera, Huila, quienes participarán en el desarrollo de actividades
matemáticas para construir colectivamente la habilidad de demostrar y construir
demostraciones visuales. La metodología de trabajo de los estudiantes en el
transcurso de la actividad asociada con la investigación se basa en la teoría de la
comunidad de práctica de Wenger, en especial para el desarrollo de algunas de
actividades, cuyo principal interés reside en el aprendizaje como participación social.
Cuando hace referencia a la participación, no sólo se refiere a los eventos de
compromiso con ciertas actividades y con determinadas personas, sino también a un
proceso que consiste en participar de una manera activa en las prácticas de las
comunidades sociales y en construir identidades en relación con estas comunidades.
Por ejemplo, “Los estudiantes van a la escuela y, cuando se reúnen, nacen
comunidades de práctica por todas partes: en el aula o en el patio de recreo, de una
manera oficial o espontánea. Y, a pesar del currículo, la disciplina y la exhortación, el
aprendizaje que es más transformador en el plano personal es el aprendizaje que se
deriva de la afiliación a estas comunidades de práctica”30.
Esta participación no sólo da forma a lo que se hace, sino que también conforma
quiénes son los sujetos participantes y cómo ellos interpretan lo que están haciendo.
30 Wenger, E. (1998). Communities of prcatice: Learning, meaning and identity. p.24.
49
Por lo anterior, Wenger parte de las tres hipótesis siguientes.
1. Somos seres sociales. Este hecho, lejos de ser una verdad trivial, es un aspecto
esencial del aprendizaje.
2. El conocimiento es una cuestión de competencia en relación con ciertas
empresas valoradas como, por ejemplo, cantar afinado, descubrir hechos científicos,
arreglar máquinas, escribir poesía, ser cordial, crecer como un muchacho o una
muchacha, etc.
3. Conocer es cuestión de participar en la consecución de estas empresas, es
decir, de comprometerse de una manera activa en el mundo (Wenger, 1998).
En consecuencia, una teoría social del aprendizaje debe integrar los componentes
necesarios para caracterizar la participación social como un proceso de aprender y de
conocer. Estos componentes, como los describe Wenger, son los siguientes:
1. Significado: una manera de hablar de nuestra capacidad (cambiante) en el plano
individual y colectivo de experimentar nuestra vida y el mundo como algo significativo.
2. Práctica: una manera de hablar de los recursos históricos y sociales, los marcos
de referencia y las perspectivas compartidas que pueden sustentar el compromiso
mutuo en la acción.
3. Comunidad: una manera de hablar de las configuraciones sociales donde el
seguir nuestras empresas se define como valiosa y nuestra participación es
reconocible como competencia.
4. Identidad: una manera de hablar del cambio que produce el aprendizaje en
quiénes somos y de cómo crea historias personales de devenir en el contexto de
nuestras comunidades.
50
Es evidente que estos elementos están profundamente interconectados y se
fundamentan mutuamente, y se tendrán en cuenta en la presente investigación de la
siguiente forma.
Para el desarrollo de esta investigación se definirá cada componente, teniendo en
cuenta el contexto y la población en la que se desarrollará. El primer componente, la
construcción del significado, se busca llevar a cabo teniendo en cuenta el proceso de
enseñanza – aprendizaje y el apoyo de los estudiantes en un grupo de trabajo
determinado, permitiendo así la construcción del conocimiento colectivo, a través de
la interacción e intercambio de ideas de los estudiantes, quienes son los que
conforman la comunidad de clase.
Para el segundo componente, al generar participación en los estudiantes, en el
momento que se estén desarrollando las diferentes actividades para la construcción
colectiva de las demostraciones visuales con ayuda del material manipulativo, cada
grupo debe generar compromisos que le lleven a cumplir su objetivo y no le desvíen
de este.
Para el tercer componente, es importante aclarar que, al tratarse de un grupo de
trabajo, se encontrarán diferencias; para ello, cada grupo debe tener la capacidad de
aportar ideas que lo lleven al feliz desarrollo de las actividades que el docente está
planteando, para llegar a la solución. Además, el papel del docente es clave en este
proceso, ya que se convierte en un mediador entre los conocimientos y los estudiantes.
Finalmente, frente a la construcción de la identidad, al final de cada actividad, la
comunidad de clase tendrá la posibilidad de expresar los avances y experiencias que
más llamaron la atención en el proceso de construcción de cada actividad
demostrativa.
51
Nota. En condiciones de pandemia hubo que reinterpretar los planteamientos de
Wenger (1998). Se abrieron varios grupos virtuales pequeños de voluntarios que
trabajaron por separado en comunidades virtuales de aprendizaje e intercambiaron
ideas ante todo el grupo sin discusiones locales o más personalizadas. Sin ser ideal,
así se llevó a cabo la investigación y los resultados serán discutidos en los capítulos 4
y 5.
Conclusiones Capítulo 2
El marco teórico de la presente investigación se construyó sobre cinco marcos.
1. Se evalúa la importancia del pensamiento geométrico y los planteamientos de
Euclides para demostrar proposiciones y dar solución a través de la visualización.
2. Los cuestionamientos de la propuesta de Tall en la cual se realiza la
caracterización del pensamiento matemático, resaltando las formas para el desarrollo
del mismo planteando una diferenciación fundamental en el pensamiento geométrico
y pensamiento algebraico.
3. La importancia de construir demostraciones visuales a través de la
representación y rompecabezas.
52
CAPITULO 3. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
Este capítulo describe la metodología de la presente investigación y las
características de las actividades que componen el aporte práctico de la misma.
3.1. Método de investigación
Esta investigación es de tipo descriptivo ya que busca especificar propiedades de un
objeto en sí a través del aprendizaje que desarrolla un grupo de estudiantes que se
encuentra en edad escolar, evaluando los cambios que presente cada uno de ellos en
las diferentes etapas de desarrollo.
La metodología de la presente investigación en sí sigue el paradigma cualitativo de la
investigación como diseño. Este método surge recientemente por la necesidad de
incluir en la teoría de investigación los diseños e innovación en las nuevas prácticas
educativas.
La teorización relacionada con el diseño en la investigación en educación matemática
se desarrolló considerablemente durante la década de 2000. Kieran (2019), dice, “las
orientaciones filosóficas generales de los asuntos educativos, como el constructivismo,
son importantes para la práctica educativa, pero a menudo no proporcionan una guía
detallada en la organización de la instrucción. La pregunta fundamental que debe
plantearse es si la teoría informa el diseño prospectivo y, de ser así, ¿de qué manera
exactamente? En lugar de grandes teorías de aprendizaje que pueden ser difíciles de
proyectar en circunstancias particulares, el diseño de experimentos tiende a enfatizar
un alcance teórico intermedio” 31.
31 Kieran, C. (2019). Task Design Frameworks in Mathematics Education Research: An Example of a Domain-
Specific Frame for Alegebra with Technological Tools. ICME-13 Monographs (págs. 265-287). Hamburg :
Springer Open, p. 10-11.
53
Adicionalmente “los experimentos de diseño se llevan a cabo para desarrollar teorías,
no simplemente para ajustar empíricamente lo que funciona: una teoría del diseño
explica por qué diseña trabajos y sugiere cómo pueden adaptarse a nuevas
circunstancias” 32.
Algunas de las particularidades que valen la pena destacar para la investigación
basada en el diseño, teniendo en cuenta (Design-Based Research Collective, 2003)
se detallan a continuación. Los principales objetivos del diseño en el aprendizaje y el
desarrollo de teorías de aprendizaje están relacionados, el desarrollo y la investigación
son implementados a través de ciclos continuos de diseño y rediseño, deben explicar
cómo funcionan los diseños en escenarios reales, están basados en una estricta
colaboración entre investigadores y participantes, y, finalmente, implican el
compromiso de construir y explicar teorías mientras se resuelven problemas reales.
Adicionalmente, cabe resaltar que en los últimos años las teorías sobre el diseño han
estado presentes en las discusiones de investigación, ejemplo claro se encuentra la
conferencia PME, 2005: “The significance of task design in mathematics education” la
cual se dedicó al diseño de tareas. En ICME-11 en 2008, el comité del programa
científico inició la idea de tener un grupo de estudio (TSG) sobre diseño de tareas
llamado “Research and development in task design and analysis”. El entusiasmo
generado con respecto a esta área de investigación fue grande de tal manera que se
colocó un TSG similar en el programa para ICME-12 en 2012, así como para ICME-13
32 Kieran, C. (2019). Task Design Frameworks in Mathematics Education Research: An Example of a Domain-
Specific Frame for Alegebra with Technological Tools. ICME-13 Monographs (págs. 265-287). Hamburg :
Springer Open, p. 9.
54
en 2016 y para ICME-14 en 2020. Este interés fue ilustrado además por la celebración
del ICMI Study 22 (2013).
3.2. Población y muestra
La presente investigación está centrada en estudiantes de 8 a 10 años de colegios
privados de la ciudad de Neiva y el municipio de Rivera - Huila. La investigación se
desarrolla con 24 estudiantes (11 niños y 13 niñas), de los cuales, tres son de 8 años,
catorce estudiantes son de 9 años y seis estudiantes que son de 10 años. Estos
estudiantes fueron organizados en pequeños grupos distribuidos de la siguiente
manera: el grupo del martes estaba conformados por 6 estudiantes, dos de ellos de 8
años, tres de 9 años y uno de 10 años; el grupo del miércoles estaba conformado por
7 estudiantes, de los cuales seis son de 9 años y la otra estudiante de 10 años; el
grupo del jueves estaba conformado por 7 estudiantes, seis de ellos de 9 años y la otra
estudiante de 10 años; finalmente, el grupo del viernes estaba formado por 4
estudiantes, en donde solo uno tiene ocho años y los demás 10 años.
3.3. Actividades
Cada actividad está conformada por los objetivos, los puntos a desarrollar, y los
espacios destinados a recoger los trabajos desarrollados por los estudiantes. Cada
actividad contiene al menos un punto a desarrollar que busca el desarrollo del
pensamiento independiente y autónomo por parte del niño.
Originalmente pensadas para ser desarrolladas en trabajo de grupo a la manera de la
comunidad de práctica de Wenger, las actividades se desarrollaron – como se dijo
anteriormente – por medios virtuales en pequeños grupos, con comunicación e
55
intercambio constante entre todos sus integrantes incluyendo la intervención informal
o guía del docente.
Las actividades fueron desarrolladas de manera virtual por las plataformas Microsoft
Teams y Zoom. Se aplicaron un total de 9 actividades, desarrolladas semanalmente
en nueve semanas, en estos pequeños grupos de 6 a 7 estudiantes, distribuidos
teniendo en cuenta sus edades, grado y colegio, como se informó anteriormente.
Se trabaja con un análisis que busca interpretar las representaciones, conjeturas y
estrategias de solución a cada problema o proposición abordado, y de esta forma
indagar sobre las diferentes etapas y procesos de pensamiento geométrico que
desarrolla el estudiante para llegar a producir conjeturas válidas y procedimientos que
se acerquen a una demostración. Como se diseñaron actividades que fueron
implementadas en pequeños grupos esto permitió observar el desarrollo de los
estudiantes.
Se realizaron videos caseros en los que se les presentaron a los estudiantes el paso
a paso de las construcciones con regla y compás de algunos objetos y nociones
geométricas planteadas en el Libro I de los Elementos de Euclides.
Adicionalmente cada una de las actividades fue grabada en busca de analizar las
estrategias utilizadas por los estudiantes cuando están ejecutando sus respectivas
actividades. Esto sirvió para el mejoramiento continuo de las actividades, para así
perfeccionar el material y rediseñar la siguiente actividad.
Se diseñó y realizó una serie final de actividades para determinar si los estudiantes
lograron realizar conjeturas válidas que les acercaran a la realización de
demostraciones visuales a partir de representaciones gráficas. Para verificar si esta
56
secuencia de actividades puede ser desarrollada por los estudiantes, se propuso la
siguiente secuencia, conservando un orden de construcción de algunos objetos
geométricas, para finalmente llegar a construir la demostración visual del teorema de
Pitágoras planteada en el Libro I de los Elementos de Euclides.
1. Actividades basadas en construcciones con regla y compás. Para la aplicación
de estas actividades se realizaron videos caseros donde se mostró el paso a paso para
la construcción de algunos objetos geométricos planteados en el Libro I de los
Elementos como son triángulos equiláteros, isósceles, escaleno, rectas
perpendiculares y paralelas, triángulos rectángulos, ángulos, cuadrado. Además, cada
una de estas actividades estaba acompañada de una experiencia de pensamiento
independiente que buscaba desarrollar el pensamiento geométrico autónomo. Este
tipo de actividades permitió que cada niño comprendiera las particularidades que tiene
cada una de estas nociones.
2. Actividades basadas en la construcción del concepto de área. El estudiante
resolvió problemas aplicando la descomposición y recomposición de figuras y por
medio de un plano con medidas reales en el dibujo. Además, se trabajó observación
de diagramas que les permitió a los niños identificar particularidades con respecto a
triángulos y concepto de área.
3. Actividades basadas en la demostración visual a través de material manipulable.
Se trabajó con rompecabezas elaborados en cartón que permitió al estudiante a través
de la manipulación y la visualización proponer conjeturas válidas que llevaron a
procesos demostrativos. Esta actividad fue diseñada buscando que los niños
demostraran el teorema de Pitágoras planteada en el Libro I de los Elementos.
57
Las actividades se trabajan de la siguiente manera:
ACTIVIDAD 1: Construcción de triángulo equilátero con regla y compás33
METODOLOGIA:
1. Se inicia la clase recordando a los estudiantes las partes de los triángulos y se
hace énfasis en los triángulos equilátero, isósceles, rectángulo y escaleno.
2. La docente realiza a los estudiantes la siguiente pregunta ¿cómo creen que se
puede dibujar cada uno de estos tipos de triángulos, haciendo uso de regla y compás?
3. En grupos se dialoga acerca de la construcción pensada.
4. Se proyecta un vídeo con el paso a paso de la construcción de un triángulo
equilátero. (Trazar un segmento, nombrar sus puntos A y B, trazar una circunferencia
con centro en A, de la longitud del segmento AB, trazar una circunferencia con centro
en B, de la longitud del segmento AB, Marcar C, en punto donde se cortan las dos
circunferencias. El triángulo ABC es equilátero.) Los estudiantes inician con la
construcción del triángulo equilátero en un octavo de cartulina.
5. Actividad de pensamiento independiente: Cada estudiante debe construir un
triángulo equilátero en el cual la medida de longitud del lado sea diferente al anterior,
teniendo en cuenta la instrucción dada por la docente. Un estudiante realizará una
construcción con una longitud de medida 7 cm, otro de 8 cm, otro de 9 cm. Luego se
realiza una discusión al respecto.
Como elemento de pensamiento geométrico autónoma, se plantea a los estudiantes
la pregunta de cuál es el triángulo equilátero más grande que se puede construir en
un octavo de cartulina.
33 Ver Anexo 2.
58
ACTIVIDAD 2: Construcciones con regla y compás del triángulo isósceles.
METODOLOGIA:
Se inicia la sesión recordando a los estudiantes que los triángulos isósceles tienen dos
lados de igual longitud.
Primera opción:
Para la construcción del triángulo isósceles se propone a los estudiantes el siguiente
paso a paso: trazar un círculo con centro en A, y luego tomar dos puntos cualesquiera
(llamados B y C) sobre la circunferencia trazada. El triángulo ABC es isósceles. Esta
construcción también es proyectada a través de un video.
Preguntar:
¿Qué pasa si los puntos B y C son los extremos de un diámetro del círculo?
Segunda opción:
Con ayuda de la regla, dibuja un segmento horizontal de 10 cm en la parte superior de
la cartulina con color rojo. Ahora, en la parte inferior y en el centro de la hoja, dibuja un
segmento horizontal de 8 cm. Nombra sus puntos extremos como A y B. Con el
compás, toma la longitud del segmento que dibujaste en la parte superior de la
cartulina, traza un arco de circunferencia con centro en A y radio igual a la longitud del
segmento rojo. Traza un arco de circunferencia con centro en B conservando el mismo
radio, marcar C el punto donde se cortan las dos circunferencias, traza un segmento
de A hasta B y de B hasta C. El triángulo ABC es isósceles.
Actividad de pensamiento independiente:
¿Puedes construir un triángulo isósceles con longitud de la base igual a 8cm y cuyos
otros dos lados miden 5 cm?
59
¿Puedes construir un triángulo isósceles con longitud de la base igual a 8cm y cuyos
otros dos lados miden 4 cm?
Si la base mide 8 cm, halla otra longitud de los dos lados iguales que sí sirve para
formar un triángulo isósceles.
Si la base mide 8 cm, halla otra longitud de los dos lados iguales que no sirve para
formar un triángulo.
1. Se socializan estas construcciones y se discute con ellos acerca de lo
planteado.
ACTIVIDAD 3: Construcciones con regla y compás de rectas perpendiculares,
triángulo rectángulo, triángulo escaleno.
METODOLOGIA.
1. Se inicia la sesión con la construcción de rectas perpendiculares.
Dibuja un segmento AB.
Desde el punto A y con radio AB traza un arco de circunferencia.
Desde el punto B y con radio BA traza un arco de circunferencia.
Marca los puntos C y D donde se intersecan los arcos de circunferencias.
Traza un segmento de C a D.
Los segmentos de recta son perpendiculares.
Actividad de pensamiento independiente:
2. Se continúa con la construcción de triángulo rectángulo.
Observa la construcción anterior de rectas perpendiculares y teniendo ésta en
cuenta realiza la construcción de un triángulo rectángulo e isósceles.
3. Teniendo en cuenta las actividades anteriores, proponer una construcción de
triángulo escaleno.
60
Pista:
Dibuja un segmento de 10 cm.
Dibuja un segmento de 7 cm.
Dibuja un segmento 6 cm.
Ahora, realiza un triángulo escaleno con medidas diferentes a las anteriores.
4. Construya un triángulo rectángulo y escaleno.
ACTIVIDAD 4: Construcción de rectas paralelas, ángulos de diferentes tipos y del
cuadrado con regla y compás.
METODOLOGIA:
Dada la siguiente ilustración, se desarrollan las siguientes actividades.
Figura 3. Ilustración para resolver la actividad 4
Se comienza recordando o estableciendo qué son ángulos agudos, obtusos y
rectos y qué significa que dos segmentos sean perpendiculares o paralelos.
1. ¿Dónde puedes ubicar un punto T en la circunferencia para que el ángulo OFT
sea un ángulo agudo?
2. ¿Puedes encontrar otro punto S tal que el ángulo OFS sea agudo?
61
3. ¿Cuántos puntos X puedes encontrar tales que el ángulo OFX sea agudo?
4. ¿Dónde puedes ubicar un punto R en la circunferencia para que el ángulo OFR
sea un ángulo obtuso?
5. ¿Puedes encontrar otro punto N tal que el ángulo OFN sea obtuso?
6. ¿Cuántos puntos Y puedes encontrar tales que el ángulo OFY sea obtuso?
7. ¿Hay un punto V en la circunferencia tal que el ángulo OFV sea un ángulo recto?
8. Traza un segmento MN. Repite la construcción del triángulo equilátero, hasta
obtener puntos de intersección de los arcos de circunferencias trazados en los
dos lados del segmento MN. Llama estos puntos Q y R. Traza el segmento QR.
¿Cómo son los segmentos MN y QR que acabas de obtener?
Ahora construiremos una perpendicular a un segmento dado en un punto P que
está sobre el segmento MN.
Para ello, usemos de nuevo el segmento MN y toma un punto P (que esté sobre el
segmento MN), por el cual se quiere trazar la perpendicular. Toma el punto P, como
centro y trazar un arco de circunferencia, siendo A y B los dos puntos de intersección
de la circunferencia con el segmento MN.
Finalmente, repita la construcción del triángulo equilátero teniendo como base el
segmento AB, cuando tenga los dos puntos de intersección de las dos circunferencias
(con centro en A y radio AB y con centro en B y radio BA), se unen esos dos puntos
de intersección y se tiene construida la perpendicular a MN en el punto P.
¿Cómo son esas rectas que acabas de obtener con respecto al segmento AB?
Ahora construiremos una perpendicular a un segmento dado en un punto P’ que NO
está sobre el segmento MN.
62
Para ello, usemos de nuevo el segmento MN y toma un punto P’ (que NO esté sobre
el segmento MN), por el cual se quiere trazar la perpendicular. Con el punto P’ como
centro trazar un arco de circunferencia, siendo A’ y B’ los dos puntos de intersección
de la circunferencia con el segmento MN.
Finalmente, repita la construcción del triángulo equilátero teniendo como base el
segmento A’B’. Cuando tenga los dos puntos de intersección de las dos
circunferencias (con centro en A’ y radio A’B’ y con centro en B’ y radio B’A’), se unen
esos dos puntos de intersección y se tiene construida la perpendicular a MN en el
punto P’.
¿Cómo son esas rectas que acabas de obtener con respecto al segmento A’B’?
9. Construye un cuadrado con regla y compás.
ACTIVIDAD 5: Construcción de rectas paralelas y cuadrado con regla y compas.
METODOLOGÍA
Se comienza recordando qué significa que dos rectas o segmentos sean paralelos.
1. Traza un segmento AB
2. Ubica un punto E que esté por fuera del segmento AB.
3. Desde el punto E traza un arco de circunferencia que corte al segmento AB.
4. El punto que se corta en el segmento AB llámalo C.
5. Ahora, desde el punto C con la misma abertura del compás traza un arco de
circunferencia, el punto que corta del segmento AB llámalo D.
6. Toma el radio de circunferencia de ED.
7. Traza un arco de circunferencia con centro en C
8. Marca F donde corta el arco de circunferencia anterior.
63
9. Finalmente une E con F
¿Cómo son esas rectas que acabas de obtener?
¿Puedes construir otra recta similar, desde cualquier otro punto H que esté ubicado
fuera de la circunferencia?
¿Cuántas rectas paralelas a la recta AB puedes trazar con regla y compas?
Construye un cuadrado con regla y compás.
ACTIVIDAD 6: Comenzar a construir el concepto de área.
METODOLOGIA
Para la construcción del concepto de área se desarrollarán las siguientes situaciones.
A Verónica le están construyendo una hermosa casa de muñecas en madera. El día
de ayer, sus padres le mostraron los planos de la casa, ya que quieren que ella dé
algunas recomendaciones de cómo le gustaría que quedara al finalizar la construcción.
El plano de la casa en el papel tiene 8 cm x 21 cm y la parte rectangular que SI está
construida corresponde al 96 𝑐𝑚2 en el plano y uno de sus lados mide 8 cm.
1. ¿Cuáles son las medidas de los lados que corresponde a esta parte de la casa
que está construida?
2. ¿Cuál es medida de la superficie que aún no está construida?
3. Si en la parte del dibujo de la casa que NO está construida, Verónica quiere que
le hagan un baño de 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚, cuarto de lavado de 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚, una habitación para
su Barbie favorita de 5c𝑚 × 4𝑐𝑚, un armario personal para su Barbie favorita de 3𝑐𝑚 ×
3𝑐𝑚 y en el espacio restante desea ubicar la piscina de Barbie que le regalaron sus
abuelos, ¿cuál es el área de la superficie del plano que tiene Verónica para ubicar la
piscina?
64
4. Muestra dos maneras en que Verónica pueda adecuar este espacio (que NO
está construido) teniendo en cuenta lo que ella desea y sin dejar espacios sin utilizar.
Observa las siguientes figuras y responde:
Figura 4. Figura para resolver la parte 2 de la actividad 6
¿Qué tipo de triángulos se observa en la figura?
¿Los triángulos anteriores tienen igual tamaño?
Si el área del triángulo sombreado es 18 cm², ¿cuál es el área de uno de los cuadrados
pequeños?
¿Cuántos triángulos de los pequeños caben en el triángulo sombreado?
¿Cuál es el área de uno de los triángulos más pequeños?
¿Cuántos triángulos de los pequeños caben en el cuadrado grande (la figura total)?
¿Cuál es el área del cuadrado grande?
65
Figura 5. Figura para resolver la parte 2 de la actividad 6
¿Qué tipo de triángulos se observa en la figura?
¿Los triángulos anteriores tienen igual tamaño?
¿Cuántos triángulos como el sombreado caben en el anterior diagrama?
Si el área del triángulo sombreado es 4 cm², ¿cuál es el área del cuadrado que se ve
en el centro del rectángulo?
¿Cuál es el área del rectángulo total?
ACTIVIDAD 7: iniciar a demostrar a través de manipulables.
METODOLOGIA
Se inicia recordando a los estudiantes los tipos de paralelogramos.
Cada estudiante tendrá un rompecabezas de 6 piezas y una base en cartón.
Las piezas son las siguientes: 𝑨𝑫𝑷𝑩, 𝑫𝑬𝑷, 𝑩𝑷𝑪, 𝑬𝑭𝑪𝑷, 𝑨𝑬𝑩 𝑦 𝑫𝑭𝑪.
Se desarrollarán las siguientes actividades con el material:
1. Identifica en tu cartulina la base de los paralelogramos.
2. Busca en tus piezas recortadas un triángulo AEB, ahora, ubícalo de tal manera
que encaje en tu cartulina base.
66
3. Ahora, busca en tus piezas recortadas el triángulo DFC y ubícalo en tal manera
que encaje en tu cartulina base.
4. Ubica el triángulo AEB sobre el triángulo DFC, ¿Cómo son estos triángulos?
5. Toma las piezas ADPB y DEP, ubícalas en tu cartulina base. ¿Qué triángulo
formas con estas dos piezas?
6. Toma las piezas DEP y EFCP, ubícalas en tu cartulina base, ¿Qué triangulo
formas con estas dos piezas?
7. Ubica las piezas ADPB, DEP y EFCP en tu cartulina base, ¿Cómo son las áreas
de los triángulos AEB y DFC?
8. Quita la pieza triangular DEP. ¿Qué sabes de las áreas ADPB y EFCP?
9. Coloca la pieza triangular BPC. ¿Qué sabemos de las áreas de los
paralelogramos ADCB y EFCB?
10. ¿Qué es BC? ¿Qué se sabe de la altura de los dos paralelogramos?
Cada uno de los niños debe mostrar sus figuras finales a todos los demás porque van
a ser todos diferentes (por que empezaron con figuras diferentes), pero en cada caso
van a concluir que los dos paralelogramos tienen áreas iguales (esto es lo más cercano
que se puede llegar a la generalidad por esta vía de trabajar con manipulables).
ACTIVIDAD 8: iniciar a demostrar a través de manipulables.
METODOLOGIA:
Se abordarán las siguientes preguntas con los estudiantes:
1. En tu cartulina base, identifica rectas paralelas, clasifica cada uno de los
triángulos y nombra un ángulo que sea agudo, uno que sea obtuso y uno recto.
67
2. Identifica los paralelogramos que encuentras en tu cartulina base, señala su
área.
3. ¿Qué es BC? ¿Qué se sabe de la altura de los dos paralelogramos?
4. Nombra cada una de las piezas que conforma el rompecabezas.
5. Toma los triángulos AEB y DEP de tal manera que encajen en tu cartulina base.
6. Busca dos piezas de tal manera que encajen exactamente en el triángulo AEB
y el en triángulo DEP, ¿Cuáles son estas piezas? ¿Cómo son las áreas de estas piezas
con respecto al triángulo AEB y el triángulo DEP?
7. Tomas las piezas ADPB y PCFE, ¿Cómo son sus áreas? ¿Cómo puedes probar
esto?
8. ¿Existen otras piezas que tengan igual área? ¿Cuáles son? ¿Cómo podemos
probar esto?
ACTIVIDAD 9: Demostración visual del teorema de Pitágoras.
METODOLOGIA
ACTIVIDAD 1: Cada estudiante tendrá cuatro tipos de triángulos, uno de color azul
oscuro, uno de azul claro y los otros dos triángulos son de color blanco, como los
siguientes y se desarrollarán las siguientes preguntas.
Se les pedirá a cada estudiante que busque un triángulo entre sus piezas que encaje
perfectamente con el lado a del triángulo azul oscuro, así mismo con los demás lados
del triángulo b y c, la misma actividad se realizará con el triángulo de color azul claro.
Se les preguntará a los estudiantes:
¿Qué tipo de figura forma el triángulo azul oscuro junto con el triángulo blanco con el
lado a, lado b y lado c?
68
¿Qué tipo de figura forma el triángulo azul claro junto con el triángulo blanco con el
lado a, lado b y lado c?
ACTIVIDAD 2: Cada estudiante tendrá un rompecabezas de 9 piezas y una base en
cartón.
Las piezas son las siguientes: cinco paralelogramos (morado, azul claro, azul oscuro,
mitad azul claro, mitad azul oscuro y gris), cuatros triángulos (amarillo, naranja, rosado
y verde) y un triángulo rectángulo.
1. ¿Cómo es el triángulo?
2. ¿Cómo son los segmentos de color azul?
3. ¿Cómo son los ángulos del paralelogramo azul y el paralelogramo gris?
4. Identifica un ángulo obtuso en el triángulo amarillo y otro ángulo obtuso en el
triángulo naranja.
5. ¿Cómo son los lados de color verde?
6. ¿Cómo son los triángulos naranja y amarillo?
7. Observa el paralelogramo gris y el triángulo amarillo. ¿Puedes ver que están
entre las mismas rectas paralelas? ¿Cuántas veces cabe el triángulo amarillo en el
paralelogramo gris?
8. Observa el paralelogramo azul claro y el triángulo anaranjado ¿Puedes ver que
están entre las mismas rectas paralelas? ¿Cuántas veces cabe el triángulo naranja en
el paralelogramo azul claro?
9. ¿Cómo son los paralelogramos (cuadrado) gris y (rectángulo) azul claro?
¿Cómo puedes verificar esto?
69
10. Observa los triángulos rosado y verde. ¿Cuántas veces cabe el triángulo verde
en el paralelogramo azul oscuro? ¿Cuántas veces cabe el triángulo rosado en el
paralelogramo (cuadrado) morado?
11. ¿Cómo son los paralelogramos morado y azul oscuro? ¿Cómo puedes verificar
esto?
12. Finalmente, ¿cómo son los paralelogramos (cuadrados) morados y gris, con
respecto al paralelogramo (cuadrado) que está pintado de dos colores azul? ¿Cómo
puedes verificar esto?
En anexos se presenta un facsímil de cada actividad que fue desarrollada, y en el
siguiente capítulo se encuentran muestras del trabajo que realizaron los estudiantes,
análisis del mismo, conclusiones a las que llegaron, y su análisis y valoración de las
experiencias.
Conclusiones Capítulo 3
Teniendo en cuenta cada una de las particularidades, se diseñó y planteó las
actividades, las cuales serán desarrolladas con el grupo de estudiantes al cual va
dirigida esta investigación. Se tuvieron en cuenta aspectos planteados en el estado del
arte y el marco teórico para su adecuado diseño.
70
CAPITULO 4. APORTES DE LA INVESTIGACIÓN
En el presente capítulo se da un reporte de la ejecución de la investigación señalando
objetivos, metodología, resultados y conclusiones de cada una las actividades.
Actividad número 1.
Objetivo: Representa diferentes tipos de triángulos haciendo uso de regla y compás,
los clasifica según sus lados.
Desarrollo
Se inicia recordando a los estudiantes las partes de los triángulos y se hizo énfasis en
los triángulos equilátero, isósceles, rectángulo y escaleno. Algunos estudiantes tenían
muy claro la clasificación de triángulos de acuerdo a la medida de sus lados.
Para iniciar con la construcción de un triángulo equilátero, se proyecta un vídeo con el
paso a paso de la construcción de un triángulo equilátero. Los estudiantes inician con
la construcción del triángulo equilátero en un octavo de cartulina, presentando
dificultades en la manipulación del compás ya que antes no lo habían realizado.
Adicionalmente se propone una actividad de pensamiento independiente: Cada
estudiante debe construir un triángulo equilátero, en donde la medida de longitud era
diferente a la anterior, un estudiante realizó una construcción con una longitud de
medida 7 cm, otro de 8 cm, otro de 9 cm.
Finalmente, a cada estudiante se le pregunta ¿Cuál es el triángulo equilátero más
grande que podían construir en un octavo de cartulina? A esta pregunta los estudiantes
respondieron, que dependía del radio de circunferencia que lograran trazar con su
compás, además al trazar la base del triángulo debían hacerlo en la parte inferior de
la cartulina para que el triángulo quedara bien en la cartulina.
71
Conclusiones
Al realizar la construcción del segundo triángulo equilátero los estudiantes encontraron
que no era necesario trazar los arcos de circunferencias completos para poder
construir el triángulo equilátero. Al recortar los dos triángulos y compararlos, los
estudiantes llegaron a la conclusión superponiéndolos que sus ángulos eran iguales,
es decir no importa que la longitud de lados de los dos triángulos equiláteros sea
diferente, sus ángulos tienen la misma medida, por tanto son iguales; todos los
triángulos equiláteros tienen los mismos ángulos. Además, para la construcción del
triángulo más grande en el octavo de cartulina, los estudiantes mostraron claridad que
el radio de circunferencia es importante para esta construcción, que dependía de su
compás y la ubicación correcta en la cartulina para que este quedara bien elaborado.
Figura 6. Soluciones planteadas por los estudiantes de la actividad 1. 34
34 Opiniones de los estudiantes.
72
ACTIVIDAD NÚMERO 2.
Objetivo: Representa diferentes tipos de triángulos haciendo uso de regla y compás,
y los clasifica según sus lados.
Metodología:
Para esta actividad, se construye con regla y compás un triángulo isósceles. Se
plantearon a los estudiantes dos construcciones.
Primera construcción: se proyecta un vídeo con el paso a paso de la construcción de
un triángulo isósceles. Traza un círculo con centro en A como uno de los vértices del
triángulo a construir, toma dos puntos cualesquiera (llamados B y C) sobre la
circunferencia trazada. El triángulo ABC es isósceles.
Una vez finalizada la construcción se les pregunta a los estudiantes: ¿Qué pasa si los
puntos B y C son los extremos de un diámetro del círculo? A lo que contentaron: No
se puede construir un triángulo si A debe ser uno de sus vértices.
Figura 7. Soluciones planteadas por los estudiantes de la actividad 2. 35
35 Opiniones de los estudiantes.
73
Segunda construcción: Con ayuda de la regla, dibuja un segmento horizontal de 10
cm en la parte superior de la cartulina con color rojo. Ahora, en la parte inferior y en el
centro de la hoja, dibuja un segmento horizontal de 8 cm. Nombra sus puntos extremos
como A y B. Con el compás, toma la longitud del segmento rojo que dibujaste en la
parte superior de la cartulina, traza un arco de circunferencia con centro en A y radio
igual a la longitud del segmento rojo. Traza un arco de circunferencia con centro en B
conservando el mismo radio, marcar C el punto donde se cortan las dos
circunferencias, traza un segmento de A hasta B y de B hasta C. El triángulo ABC es
Isósceles.
Figura 8. Soluciones planteadas por los estudiantes de la segunda parte de actividad 2. 36
Finalmente se propuso una actividad de pensamiento independiente.
¿Puedes construir un triángulo isósceles con longitud de la base igual a 8cm y cuyos
otros dos lados miden 5 cm?
36 Opiniones de los estudiantes.
74
Figura 9. Solución planteada por un estudiante de la actividad de pensamiento independiente. 37
¿Puedes construir un triángulo isósceles con longitud de la base igual a 8cm y cuyos
otros dos lados miden 4 cm?
Figura 10. Soluciones planteadas por dos estudiantes de la actividad de pensamiento independiente.38
Si la base mide 8 cm, halla otra longitud de los dos lados iguales que sí sirve para
formar un triángulo.
A esta pregunta los estudiantes respondieron: “para poder construir un triángulo
isósceles de base 8 cm, la medida de sus lados debe ser mayor al radio de
circunferencia: 5, 6, 7, 8, 9”39.
Si la base mide 8 cm, halla otra longitud de los dos lados iguales que no sirve para
formar un triángulo.
37 Opiniones de los estudiantes. 38 Opiniones de los estudiantes. 39 Opiniones de los estudiantes.
75
A esta pregunta los estudiantes respondieron: “la medida de sus lados debe ser menor
o igual al radio de circunferencia: 4, 3, 2, 1”40
Conclusiones:
Para esta segunda actividad, los estudiantes manejaron fácilmente el compás,
logrando que la construcción de triángulo isósceles fuera más sencilla.
No se puede construir un triángulo con tres puntos sobre un mismo segmento y esto
sucede cuando la base mide 8 y el radio de las circunferencias sea menor o igual a 4.
Verificaron por medio de construcciones con regla y compás una instancia de la
desigualdad triangular. A saber, que no era posible construir un triángulo isósceles de
base 8 cm y radio de circunferencias menor o igual a 4, pero sí se puede construir un
triángulo isósceles de base 8 cm y radio de circunferencia mayor a 5cm.
Es de notar que los estudiantes sólo propusieron trazar circunferencias cuyos radios
fueran enteros.
ACTIVIDAD NÚMERO 3
Objetivo: Representa diferentes tipos de triángulos haciendo uso de regla y compás,
los clasifica según sus lados.
Metodología:
Se inicia la clase recordando sobre las rectas perpendiculares, triángulos rectángulos
y escalenos. Los estudiantes no tenían clara la representación gráfica de dos rectas
perpendiculares. Se realizó la construcción de estas rectas paso a paso: dibuja un
40 Opiniones de los estudiantes.
76
segmento AB, desde el punto A y con radio AB traza un arco de circunferencia, desde
el punto B y con radio BA traza un arco de circunferencia, marca los puntos C y D
donde se intersecan los arcos de circunferencias. Traza un segmento de recta de C a
D. Las rectas son perpendiculares. Esta construcción fue muy fácil para ellos, ya que
la relacionaron con la construcción de triángulos equiláteros e isósceles.
Figura 11. Solución planteada por un estudiante de la actividad número 3. 41
Como actividad de trabajo independiente, se propone la construcción del triángulo
rectángulo, teniendo en cuenta la construcción anterior de rectas perpendiculares
41 Opiniones de los estudiantes.
77
Figura 12. Soluciones planteadas por dos estudiantes de la actividad de trabajo independiente. 42
Figura 13. Paso a paso de la construcción de un triángulo rectángulo con regla y compás, planteado
por un estudiante. 43
Los estudiantes proponen un paso a paso para la construcción de un triángulo
rectángulo:
“Se realiza un arco de circunferencia (se traza un segmento)
Se realiza una recta perpendicular
Se marcan puntos como A, B, C y D
42 Criterios de los estudiantes. 43 Criterios de los estudiantes.
78
Se unen los puntos A con C de la forma que se desee” 44
Finalmente, se propone una construcción de triángulo escaleno.
Figura 14. Paso a paso de la construcción de un triángulo escaleno con regla y compás, planteado por
un estudiante. 45
Paso a paso para construir un triángulo escaleno:
Elige 3 medidas al azar
“Con un número que elegí lo puse para la base y los marqué en A y B
Los dos números que quedan los puse para el resto de los lados (trazo las
circunferencias con centro en A y con centro en B)
Los uno y marco la punta del triángulo en C.”46
Notamos que aquí no se tiene la precaución de asegurar, usando sus propias palabras
por supuesto, que se cumpla la desigualdad triangular a pesar de la actividad anterior.
ACTIVIDAD NÚMERO 4.
44 Criterios de los estudiantes. 45 Criterios de los estudiantes. 46 Criterios de los estudiantes.
79
Objetivo: construir los siguientes objetos matemáticos: ángulos, segmentos, lados,
rectas perpendiculares.
Metodología:
Para esta actividad, se inicia recordando qué son ángulos agudos, obtusos, rectos y
qué significa que dos segmentos sean perpendiculares.
Se plantean dos actividades; en la primera se desarrollan algunas actividades a partir
de una ilustración para comprender el concepto de ángulos y su clasificación. En la
segunda se realiza una construcción con regla y compás de rectas perpendiculares;
para esto, se propone dos formas de construcción, la primera perpendicular a un
segmento dado MN en un punto P que está sobre el segmento MN y la segunda
perpendicular a un segmento dado en un punto P’ que no está sobre el segmento MN.
Actividad 1:
Dada la siguiente ilustración (ver Figura 15) en la que OK es un diámetro, desarrolla
las siguientes preguntas.
Figura 15. Ilustración para solucionar la actividad 4
80
1. ¿Dónde puedes ubicar un punto T en la circunferencia para que el ángulo
OFT sea un ángulo agudo? ¿Puedes encontrar otro punto S tal que el ángulo
OFS sea agudo?
Figura 16. Respuestas de algunos estudiantes de la primera pregunta de la actividad 4. 47
2. ¿Cuántos puntos X puedes encontrar tales que el ángulo OFX sea agudo?
Para esta pregunta, los niños contestaron que
47 Criterios de los estudiantes.
81
Figura 16. Respuestas de algunos estudiantes de la segunda pregunta de la actividad 4. 48
Nótese en estas últimas respuestas que los niños vuelven a pensar únicamente en
medidas enteras.
3. ¿Dónde puedes ubicar un punto R en la circunferencia para que el ángulo
OFR sea un ángulo obtuso? ¿Puedes encontrar otro punto N tal que el
ángulo OFN sea obtuso?
Figura 17. Respuestas de algunos estudiantes de la tercera pregunta de la actividad 4. 49
48Criterios de los estudiantes. 49 Criterios de los estudiantes.
82
4. ¿Cuántos puntos Y puedes encontrar tales que el ángulo OFY sea obtuso?
Figura 18. Respuestas de algunos estudiantes de la cuarta pregunta de la actividad 4. 50
5. ¿Hay un punto V en la circunferencia tal que el ángulo OFV sea un ángulo
recto?
Figura 19. Respuestas de algunos estudiantes de la quinta pregunta de la actividad 4. 51
50 Criterios de los estudiantes. 51 Criterios de los estudiantes.
83
Actividad 2:
Construir una perpendicular a un segmento dado en un punto P que está sobre el
segmento MN.
Para ello, usemos un segmento MN y toma un punto P (que esté sobre el segmento
MN), por el cual se quiere trazar la perpendicular. Toma el punto P, como centro y
traza un arco de circunferencia, siendo A y B los dos puntos de intersección de la
circunferencia con el segmento MN.
Finalmente, repita la construcción del triángulo equilátero teniendo como base el
segmento AB, cuando tenga los dos puntos de intersección de las dos circunferencias
(con centro en A y radio AB y con centro en B y radio BA), se unen esos dos puntos
de intersección y se tiene construida la perpendicular a MN en el punto P.
¿Cómo son esas rectas que acabas de obtener con respecto al segmento AB?
Figura 20. Respuesta de un estudiante de la segunda parte de la actividad 4. 52
52 Criterios de los estudiantes.
84
Ahora construiremos una perpendicular a un segmento dado en un punto P’ que NO
está sobre el segmento MN.
Para ello, usemos un segmento MN y toma un punto P’ (que NO esté sobre el
segmento MN), por el cual se quiere trazar la perpendicular. Con el punto P’ como
centro traza un arco de circunferencia, siendo A’ y B’ los dos puntos de intersección
de la circunferencia con el segmento MN.
Figura 21. Respuesta de dos estudiantes de la segunda parte de la actividad 4. 53
Finalmente, repita la construcción del triángulo equilátero teniendo como base el
segmento A’B’, cuando tenga los dos puntos de intersección de las dos circunferencias
(con centro en A’ y radio A’B’ y con centro en B’ y radio B’A’), se unen esos dos puntos
de intersección y se tiene construida la perpendicular a MN en el punto P’.
Conclusiones
Esta actividad se desarrolla sin contratiempos. En la actividad número uno, los
estudiantes ubicaron los puntos para formar los ángulos correspondientes. Cabe
resaltar que, para las preguntas ¿Cuántos puntos puedes encontrar tales que el ángulo
sea agudo u obtuso?, algunas respuestas de los estudiantes estaban basabas en la
53 Criterios de los estudiantes.
85
amplitud del ángulo, si un ángulo agudo es menor que 90°, sus repuestas fueron 89
ángulos, para los ángulos obtusos, que su medida debe ser menor a 180° contestaron
270 ángulos, sin tener en cuenta que la medida de estos ángulos debe ser mayor que
90° y menor que 180°. (Aparentemente asociaron la circunferencia con 360° y estaban
pensando en que fueran menores que 360°.) Estas respuestas dadas por los
estudiantes se deben a que solo conocen los números naturales; sin embargo, algunos
otros estudiantes contestaron, muchos o varios. Lo importante, es que los estudiantes
comprendieron que se podía construir más de un ángulo con esas características y
que todos los ángulos que se construyeran en la parte inferior de la circunferencia, es
decir después de K (recorriendo la circunferencia en el sentido de las manecillas del
reloj) son agudos y todos los que se construyan en la parte superior de la circunferencia
es decir arriba de K son obtusos y solo se puede ubicar un punto V de tal manera que
se forme un ángulo recto.
Para la actividad número dos, los estudiantes siguieron el paso a paso para construir
rectas perpendiculares, verificaron que estas rectas forman ángulos rectos y que con
ayuda de estas se puede construir triángulos rectángulos.
ACTIVIDAD NÚMERO 5.
Objetivo: construir los siguientes objetos matemáticos: rectas paralelas y cuadrado.
Metodología: Para esta actividad se inicia recordando a los estudiantes la
representación gráfica de dos segmentos paralelos. Para esta actividad se realiza un
paso a paso la construcción de rectas paralelas con regla y compás: traza un segmento
AB, ubica un punto E que esté por fuera del segmento AB, desde el punto E traza un
86
arco de circunferencia que corte al segmento AB, el punto que se corta en el segmento
AB llámalo C, ahora, desde el punto C con la misma abertura del compás traza un arco
de circunferencia, el punto que corta del segmento AB llámalo D, toma el radio de
circunferencia de ED, traza un arco de circunferencia con centro en C, marca F donde
corta el arco de circunferencia anterior, finalmente une E con F.
Esta construcción fue difícil y confusa para los estudiantes, y no lograron el objetivo,
ya que al ubicar el punto F, el segmento EF no era paralelo al segmento AB. Una de
las falencias presentadas fue en el trazo del arco de circunferencia con centro en C ya
que no tomaron correctamente el radio de circunferencia ED.
Figura 22. Respuesta de tres estudiantes de la actividad 5. 54
Solo dos estudiantes lograron hacer la construcción correctamente
Figura 23. Respuesta correcta de dos estudiantes de la actividad 5. 55
54 Criterios de los estudiantes. 55 Criterios de los estudiantes.
87
Con esta construcción, se trabajó la siguiente pregunta: ¿Cuántas rectas paralelas
a la recta AB puedes trazar con regla y compás? La respuesta de los estudiantes
fue “se pueden construir muchas”, ya que teniendo en cuenta la construcción de
rectas perpendiculares dado un punto externo al segmento, se evidenció que se
hicieron distintas rectas perpendiculares, ya que cada estudiante tomo un punto P
diferente, obteniendo diferentes rectas perpendiculares. Finalmente, cada
estudiante construyó un cuadrado con regla y compás y escribió el paso a paso
que utilizó para su construcción.
Figura 24. Respuestas de cuatro estudiantes del paso a paso para la construcción de un cuadrado con
regla y compás. 56
Paso a paso para la construcción de un rectángulo.
56 Criterios de los estudiantes.
88
Propuesta número 1:
1. Marque un cuadrado con regla y compás y se puede de cualquier medida con
puntos en los bordes.
2. En cada punto trazar un círculo de la misma medida de los puntos.
3. Después los marcas como A, B, C y D en cada punto.
Propuesta número 2:
1. Hice un segmento de 10 cm y con el compás tomé la medida y empecé a formar
unas líneas y con eso me guie.
Propuesta número 3:
1. Hice un segmento vertical de 10 cm
2. Hice un segmento horizontal de 10 cm
3. Marque los puntos ABCB donde se cruzaban los segmentos.
Conclusiones: Para la construcción del triángulo rectángulo y cuadrado los
estudiantes hicieron uso de la construcción de rectas perpendiculares. Es importante
aclarar que esta es la primera construcción que ellos realizan de manera independiente
y a pesar de que aún es muy difícil para ellos escribir la forma en que realizaron la
construcción, sus construcciones son buenas, destacando la propuesta número tres.
Aquí la estudiante trazó un par de perpendiculares, luego tomó un radio de
circunferencia y con centro en uno de sus extremos trazo un arco de circunferencia,
obteniendo así un cuadrado, finalmente marco los puntos A, B, C y D.
ACTIVIDAD NÚMERO 6
89
Objetivo: Comenzar a construir el concepto de área.
Metodología:
Para la construcción del concepto de área se desarrollaron dos actividades. En la
primera se realizó la siguiente situación con cuatro preguntas que fueran trabajadas
paso a paso de la siguiente manera:
A Verónica le están construyendo una hermosa casa de muñecas en madera. El día
de ayer, sus padres le mostraron los planos de la casa, ya que quieren que ella dé
algunas recomendaciones de cómo le gustaría que quedara al finalizar la construcción.
El plano de la casa en el papel tiene 8 cm x 21 cm y la parte rectangular que sí está
construida corresponde al 96 𝑐𝑚2 en el plano y tiene un lado de longitud 8 cm.
Cada estudiante contaba con un plano en forma de rectangular de 8 cm x 21 cm, el
cual representaba la parte que estaba construida y la parte que no lo estaba. Una vez
observado detalladamente, se preguntó a los estudiantes.
¿Cuál es la medida de los lados de la parte que no está construida?
Figura 24. Respuestas de un estudiante de la primera pregunta de la actividad 6. 57
57 Criterios de los estudiantes.
90
Para poder responder esta pregunta los estudiantes observaron el plano y encontraron
que la altura del plano es 8 cm y para encontrar la otra medida, buscaron un número
que multiplicado por 8 les diera 96, ya que para calcular el área de una superficie
cuadrada o rectangular se multiplica las longitudes de lado por lado o la base por la
altura, al realizar sus cálculos encontraron que 12cm x 8 cm = 96 cm².
¿Cuáles son las medidas de los lados que corresponden a esta parte de la casa
que está construida?
Esta pregunta fue muy fácil para ellos, ya que al conocer la media de la parte que de
no estaba construida y la media total del plano de la casa, solo restaron 21cm-
12cm=9cm y así obtuvieron las medidas de la parte de estaba construida, 9 cm x 8cm
¿Cuál es medida de la superficie que está construida?
Al obtener las medidas de los lados de la parte que sí estaba construida, multiplicaron
9cm x 8cm = 72cm², obteniendo así la medida de la superficie que está construida.
En esta última pregunta de la primera actividad se les pide a los niños que en la parte
del dibujo de la casa que NO está construida, Verónica quiere que le hagan un baño
3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚, un cuarto de lavado de 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚, una habitación para su Barbie favorita
de 5c𝑚 × 4𝑐𝑚, un armario personal para su Barbie favorita de 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚 y en el
espacio restante desea ubicar la piscina de Barbie que le regalaron sus abuelos, los
niños propusieron las siguientes distribuciones.
91
Figura 25. Respuestas de cuatro estudiantes de la actividad 6. 58
Finalmente, se les pregunta a los niños ¿cuál es el área de la superficie del plano que
tiene Verónica para ubicar la piscina?
Aquí los niños calcularon las áreas de cada lugar ubicado en el plano:
Baño: 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚 = 9𝑐𝑚2
Cuarto de lavado: 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚 = 9𝑐𝑚2
Habitación: 5𝑐𝑚 × 4𝑐𝑚 = 20𝑐𝑚2
Armario personal: 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚 = 9𝑐𝑚2
Luego, sumaron las áreas anteriores: 9𝑐𝑚2 + 9𝑐𝑚2 + 20𝑐𝑚2 + 9𝑐𝑚2 = 47𝑐𝑚2
Finalmente, para conocer el área de la superficie del plano que corresponde para la
piscina, restaron 72𝑐𝑚2 − 47𝑐𝑚2 = 25𝑐𝑚2
Estas respuestas se obtuvieron de manera oral y algunos estudiantes las escribían por
el chat.
58 Criterios de los estudiantes.
92
Figura 26. Respuesta de un estudiante de la actividad 6. 59
Segunda actividad.
Metodología:
Se presenta a los estudiantes la siguiente figura y a partir de ella se respondieron
algunas preguntas.
Figura 27. Figura para responder la segunda parte de la actividad 6
¿Qué tipo de triángulos se observa en la figura?
Uno de los estudiantes contesta que es equilátero porque era la mitad de un cuadrado,
hay que aclarar que él no contaba con la hoja impresa, estaba trabajando con la
imagen proyectada. Al preguntar a una estudiante que tenía la hoja impresa y al pedirle
59 Criterios de los estudiantes.
93
que tomara las medidas de los lados del triángulo los estudiantes lograron ver que el
triángulo era isósceles, ya que dos de sus lados tenían igual medida.
¿Los triángulos anteriores tienen igual tamaño?
Si, pues todos tienen la misma medida y lo comprobaron al tomarlas con la regla.
¿Cuántos triángulos como el sombreado caben en el anterior diagrama?
Los estudiantes contaron los triángulos visibles en el diagrama y cuando llegaron a la
figura del centro, concluyeron que ahí se encontraban dos triángulos, y que en total
había 8 triángulos isósceles iguales en todo el diagrama.
Si el área del triángulo sombreado es 4 cm², ¿cuál es el área del cuadrado que
se ve en el centro del rectángulo?
Como ellos tenían claro que dentro del cuadrado cabían dos triángulos, si cada uno
tiene un área de 4 cm², se suman las áreas y área total del cuadrado es 8 cm². Sin
embargo, antes de llegar a esta conclusión, los niños presentaron confusiones, ya que
algunos multiplicaban 4 x 4 y otros estaban tomando nuevamente las medidas del
triángulo para calcular el área. Se les explicó que íbamos a suponer que el triángulo
naranja tenía como área 4 cm², si tenemos dos triángulos de igual área, es decir 4 cm²
y 4 cm², ¿cuál sería el área total del cuadrado? Finalmente, se llegó a la conclusión
que se buscaba.
¿Cuál es el área del rectángulo total?
Está pregunta fue muy fácil para los niños, ya que al conocer el área del triángulo y el
total de triángulos que tiene el diagrama, los estudiantes calcularon el área total y lo
hicieron de tres formas.
1. Multiplicaron el área por el total de triángulos: 4 cm2 × 8 = 32 cm2
94
2. Multiplicaron los triángulos 4 cm2 × 6 = 24cm2 y luego sumaron el área del
cuadrado 24cm2 + 8 cm2 = 32 cm2
3. Sumaron el área de todos los triángulos: 4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 +
4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 = 32 cm2
Estas respuestas, se obtuvieron de manera oral y algunos estudiantes las escribían
por el chat.
Conclusiones
En general, esta actividad fue muy fácil para los estudiantes, se evidenció que tienen
claro el concepto de área y la forma cómo se debe calcular en cuadrados y rectángulos.
A pesar de que todos plantean soluciones diferentes y que todos los niños están en
diferentes grados, se llega a una misma respuesta.
ACTIVIDADES NÚMERO 7 y 8.
Para el desarrollo de estas dos actividades se usó el mismo material.
Objetivo: iniciar a demostrar a través de manipulables.
Metodología:
Esta actividad se divide en dos partes, debido a que la actividad 7 fue muy difícil de
trabajar con los niños, se volvió a retomar en la actividad 8 algunos puntos con el fin
de que estos quedaran claros y que los niños estuvieran preparados para la actividad
final.
Actividad número 7
Objetivo: iniciar a demostrar a través de manipulables.
Materiales:
95
1. Rompecabezas
2. Hoja de trabajo impresa.
Metodología:
Para esta actividad, se proponen tres tipos de rompecabezas.
Se inició recordando a los estudiantes los tipos de paralelogramos.
Cada estudiante tenía un rompecabezas de 6 piezas y una base en cartón.
Las piezas eran las siguientes:
𝐴𝐷𝑃𝐵 (𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎), 𝐷𝐸𝑃 (𝑇𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒), 𝐵𝑃𝐶(𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜), 𝐸𝐹𝐶𝑃(𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙 ),
𝐴𝐸𝐵 (𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑔𝑟𝑖𝑠)𝑦 𝐷𝐹𝐶 (𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎).
Figura 28. Rompecabezas 1
96
Figura 29. Rompecabezas 2
Figura 30. Rompecabezas 3
Los estudiantes identificaron las piezas del rompecabezas sin ningún inconveniente.
Se desarrollaron las siguientes actividades con el material.
97
1. Identifica en tu cartulina base los paralelogramos. Los estudiantes tuvieron
dificultad en identificar los paralelogramos dibujados en la base de cartón, la
docente presentó los tres tipos de rompecabezas y guió a los estudiantes a
encontrar los paralelogramos a través del concepto de rectas paralelas.
Finalmente, los estudiantes señalaron con su dedo los dos paralelogramos que se
encontraban en su base de cartón.
Busca en tus piezas recortadas un triángulo AEB, ahora, ubícalo de tal manera
que encaje en tu cartulina base.
2. Ahora, busca en tus piezas recortadas el triángulo DFC y ubícalo en tal manera
que encaje en tu cartulina base.
3. Ubica, el triángulo AEB sobre el triángulo DFC, ¿Cómo son estos triángulos?
Las preguntas 2 y 3 fueron desarrolladas sin ningún inconveniente, la manipulación
del material fue muy práctico para los niños. Sin embargo, al llegar a la pregunta
4, los estudiantes no lograban visualizar que los triángulos eran iguales, ya que no
comprendían cómo poner el triángulo AEB sobre el triángulo DFC. A esta pregunta
ellos contestaban: es un triángulo equilátero, isósceles, escaleno o recto, pero no
que eran iguales. Dada esta situación, se les explicó a los niños que, si tomábamos
uno de los triángulos en nuestra mano y luego poníamos el otro triángulo encima
del primero, que vieran cómo eran estos dos triángulos. Finalmente, los
estudiantes lograron ver que estos triángulos eran iguales.
4. Toma las piezas ADPB y DEP, ubícalas en tu cartulina base. ¿Qué triángulo
formas con estas dos piezas?
98
Teniendo clara la pregunta anterior, esta pregunta fue más fácil para los
estudiantes, ya que lograron ver que estas dos piezas formaban el triángulo AEB,
se podía ver muy claro al manipular las piezas del rompecabezas
5. Toma las piezas DEP y EFCP, ubícalas en tu cartulina base, ¿Qué triángulo formas
con estas dos piezas?
De igual manera esta pregunta fue muy fácil para los estudiantes; estas dos piezas
formaban el triángulo DFC.
6. Ubica las piezas ADPB, DEP y EFCP en tu cartulina base, ¿Cómo son las áreas
de los triángulos AEB y DFC?
Al llegar a esta pregunta, nuevamente hubo mucha dificultad a pesar de que el
concepto de área estaba totalmente claro en la actividad número seis y que ya esta
pregunta era similar a la pregunta 4. Aun para los estudiantes no era claro a qué se
hacía referencia cuando hablábamos de área y seguían clasificando los triángulos por
la medida de sus lados. Se vuelve a retomar el concepto de área, señalando la
superficie de los triángulos. Los estudiantes manipularon el material poniendo uno
encima del otro y finalmente vieron que las áreas de estos triángulos eran iguales,
concluyendo que si los triángulos son iguales sus áreas también lo eran.
7. Quitar la pieza triangular DEP. ¿Qué sabes de las áreas ADPB y EFCP?
Se finaliza esta actividad con esta pregunta; es importante resaltar que aquí los
estudiantes contestaron que eran iguales expresándose en términos como los
siguientes.
99
“Si tomo las dos figuras y pongo una encima de la otro, que me queden alineadas, esta
parte que me sobra la puedo poner encima de la otra parte y van a ser iguales” 60
“Sí son iguales, si pongo una encima de la otra y recorto en mi mente la parte que me
sobra y luego la pongo en el espacio que me sobró del triángulo van a ser iguales”61
Finalmente, se les pidió a los estudiantes que recortaran y lo verificaran; al hacerlo
comprobaron que su teoría sí era cierta y el área de estos dos paralelogramos eran
iguales.
Conclusiones
A pesar de que la última pregunta se abordó de manera correcta por parte de los
estudiantes y sin tanta dificultad, se propone la actividad 8, en busca de lograr una
mayor comprensión y que los chicos estuvieran preparados para la actividad final.
Además, nuestra conclusión final de que dos figuras combinadas eran igual a otra, aun
no era clara para los niños.
ACTVIDAD NÚMERO 8
Objetivo: iniciar a demostrar a través de manipulables.
Metodología
1. En tu cartulina base, identifica rectas paralelas, clasifica cada uno de los
triángulos y nombra un ángulo que sea agudo, uno que sea obtuso y uno recto.
2. Nombra los paralelogramos que encuentras en tu cartulina base, señala su
área.
60 Criterios de los estudiantes. 61 Criterios de los estudiantes.
100
3. Nombra cada una de las piezas que conforma el rompecabezas.
Las preguntas 1, 2 y 3 fueron desarrolladas sin ningún inconveniente por los
estudiantes; identificaron cada uno de los objetos sin problema.
4. Toma los triángulos AEB y DEP de tal manera que encajen en tu cartulina base.
5. Busca dos piezas de tal manera que encajen exactamente en el triángulo AEB
y en el triángulo DEP. ¿Cuáles son estas piezas? ¿Cómo son las áreas de estas piezas
con respecto al triángulo AEB y el triángulo DEP?
Al llegar a las preguntas 4 y 5, había más claridad del área de las figuras y rápidamente
los estudiantes lograron ver que efectivamente las áreas de estos triángulos eran
iguales. Se evidenció que los estudiantes comprendieron que al descomponer una
figura con las piezas del rompecabezas se obtenía uno de los triángulos grandes.
6. Toma las piezas ADPB y PCFE. ¿Cómo son sus áreas? ¿Cómo puedes probar
esto?
Al retomar esta pregunta, los estudiantes volvieron a verificar que estas piezas tenían
igual área y lo volvieron a probar poniendo una encima de otra y recortando las figuras.
7. ¿Existen otras piezas que tengan igual área? ¿Cuáles son? ¿Cómo podemos
probar esto?
Aquí, para responder, los estudiantes retomaron los triángulos y paralelogramos.
Las áreas de los paralelogramos ADPB y EFCB
Las áreas de los triángulos grandes AEB y DFC
En el caso del rompecabezas del paralelogramo y rectángulo, los triángulos pequeños
DEP y PCB.
101
Conclusiones
La actividad número ocho ayuda a afianzar algunos conceptos permitiendo que los
estudiantes a través de las fichas del rompecabezas visualizaran áreas de figuras y
comprendieran que, al tener dos figuras, estas podían tener la misma área que una
dada, sin importar la forma que ella tenga. Esta conclusión fue dada a través de la
visualización y la probaron poniendo una encima de la otra y recortando.
Todas las respuestas de los estudiantes que aquí se transcriben fueron obtenidas de
las grabaciones de cada uno de los talleres que se desarrollaron virtualmente.
ACTIVIDAD NÚMERO 9
Objetivo: demostración visual del teorema de Pitágoras.
Metodología:
Para la actividad final, se propusieron dos actividades.
Primera actividad: Cada estudiante tiene cuatro tipos de triángulos, uno de color azul
oscuro, uno de azul claro y los otros dos triángulos son de color blanco, como los
siguientes. Se desarrollaron las siguientes preguntas.
Figura 31. Figuras para la primera parte de la actividad 9
102
¿Qué tipo de figura forma el triángulo azul oscuro junto con el triángulo blanco
uniéndolos por el lado a, lado b y lado c? A esta pregunta los estudiantes contestaron,
que estos dos triángulos formaban paralelogramos, buscaron entre sus piezas un
triángulo igual al triángulo azul oscuro y los organizaron de tal manera que cada uno
de sus lados sucesivamente coincidiera con un lado del triángulo blanco.
Figura 31. Respuestas de dos estudiantes de la primera pregunta de la primera parte de la actividad 9.62 63
¿Qué tipo de figura forma el triángulo azul claro junto con el triángulo blanco con el
lado a, lado b y lado c? De la misma manera, hicieron procesos similares con el
triángulo azul claro, los estudiantes verificaron que al unir cada uno de sus lados junto
con el lado correspondiente del triángulo blanco, se formaba un paralelogramo (y en
un caso este era rectángulo).
Figura 32. Respuestas de dos estudiantes de la segunda pregunta de la primera parte de la actividad
9. 64
62 Criterios de los estudiantes. 63 Criterios de los estudiantes. 64 Criterios de los estudiantes.
103
ACTIVIDAD 2: Cada estudiante tiene un rompecabezas de 9 piezas y una base en
cartón.
Las piezas son las siguientes: cinco paralelogramos (morado, azul claro, azul oscuro,
mitad azul claro y mitad azul oscuro, y gris), cuatros triángulos (amarillo, naranja,
rosado y verde) y un triángulo rectángulo.
Figura 33. Rompecabezas de la segunda parte de la actividad 9
1. ¿Cómo son los segmentos de color azul?
Para iniciar con esta pregunta se les pidió a los estudiantes que observaran el
siguiente diagrama. Al observar los segmentos de color azul, los estudiantes
contestaron que eran paralelos y que entre esas paralelas azules estaba construido
el rectángulo de color azul claro.
104
Figura 34. Rompecabezas de la segunda parte de la actividad 9
2. ¿Cómo son los ángulos del paralelogramo azul y el paralelogramo gris?
Al observar el paralelogramo azul y el paralelogramo gris, los estudiantes respondieron
que todos sus ángulos eran rectos, y que sus lados eran iguales, y lo probaron al
sobreponer el azul sobre el gris. Compararon esta situación con la actividad número
uno de los ángulos de un triángulo equilátero.
3. Identifica un ángulo obtuso en el triángulo amarillo y otro ángulo obtuso en el
triángulo naranja.
Los estudiantes verifican que el triángulo amarillo y triángulo naranja eran iguales y lo
probaron al sobreponer uno encima del otro. Para identificar el ángulo obtuso en estos
triángulos, tenían claro por la actividad número 4 que estos ángulos tienen una
amplitud mayor al ángulo recto, con sus dedos señalaron los ángulos obtusos de sus
triángulos.
105
Figura 35. Respuesta de una estudiante a la pregunta 3 de la segunda parte de la actividad 9. 65
4. ¿Cómo son los lados de color verde?
Para trabajar esta pregunta, se les pidió a los estudiantes que observaran el siguiente
diagrama, se les pidió que observaran los lados de color verde, a lo que respondieron
que estos lados eran iguales, ya que se formaban un ángulo recto y además los lados
de un cuadrado son iguales. Se les preguntó por los lados de color rojo y los lados de
color café y el argumento fue el mismo.
Figura 36. Rompecabezas de la segunda parte de la actividad 9
65 Criterios de los estudiantes.
106
5. ¿Cómo son los triángulos naranja y amarillo?
Al llegar a esta pregunta, los estudiantes ya habían verificado que estos triángulos eran
iguales, lo realizaron sobreponiendo uno encima del otro.
6. Observa el paralelogramo gris y el triángulo amarillo. ¿Puedes ver que están entre
las mismas rectas paralelas? ¿Cuántas veces cabe el triángulo amarillo en el
paralelogramo gris?
Esta pregunta, fue más difícil de trabajar con los estudiantes, ya que no lograron
observar que el paralelogramo gris y el triángulo amarillo estaban entre las mismas
paralelas. Pero, al verificar para responder la pregunta “¿Cuántas veces cabe el
triángulo amarillo en el paralelogramo gris?” lograron probar que este cabe dos veces,
y lo hicieron sobreponiendo el triángulo amarillo en el paralelogramo gris. Al realizar
esto, el triángulo quedó dividido en dos partes iguales, quedando en el paralelogramo
gris cuatro pedazos de triángulo amarillo. Además, como sabían que el triángulo
amarillo y el triángulo naranja eran iguales, usaron los dos triángulos para
sobreponerlos, probando que efectivamente se necesitan dos triángulos como el
amarillo para cubrir exactamente el paralelogramo gris.
Figura 37. Respuestas de dos estudiantes a la pregunta 6 de la segunda parte de la actividad 9.66
66 Criterios de los estudiantes.
107
7. Observa el paralelogramo azul claro y el triángulo naranja ¿Puedes ver que están
entre las mismas rectas paralelas? ¿Cuántas veces cabe el triángulo naranja en el
paralelogramo azul claro?
Para los niños, fue más fácil visualizar que el triángulo y el paralelogramo estaban
entre las mismas paralelas ya que en la pregunta uno, se habían visto estas paralelas.
Para responder la pregunta “¿Cuántas veces cabe el triángulo naranja en el
paralelogramo azul claro?”, usaron el mismo argumento que en el punto 6 y verificaron
que efectivamente cabía dos veces
Figura 38. Respuesta de una estudiante a la pegunta 7 de la segunda parte de la actividad 9. 67
8. ¿Cómo son los paralelogramos (cuadrado) gris y (rectángulo) azul claro? ¿Cómo
puedes verificar esto?
Para esta pregunta, los estudiantes al mirar estos dos paralelogramos respondieron
que no eran iguales. Sin embargo, decidieron probarlo sobreponiendo el rectángulo
azul en el cuadrado gris, y al hacer esto, quedaron muy sorprendidos ya que eran
67 Criterios de los estudiantes.
108
iguales, llegando a la conclusión que siempre era necesario verificar y una forma de
hacerlo era sobreponiendo y recortando las figuras.
9. Observa los triángulos rosado y verde. ¿Cuántas veces cabe el triángulo verde en
el paralelogramo azul oscuro? ¿Cuántas veces cabe el triángulo rosado en el
paralelogramo (cuadrado) morado?
Los estudiantes ya sabían que estos triángulos son iguales. Al contestar la pregunta
“¿Cuántas veces cabe el triángulo verde en el paralelogramo azul oscuro?”, les costó
un poco más de trabajo, ya que a simple vista parecía que solo cabía una vez. Fue
necesario verificarlo, sobreponiendo, recortando y efectivamente encontraron que
cabían dos triángulos como el verde en el paralelogramo azul oscuro. Para la pregunta
“¿Cuántas veces cabe el triángulo rosado en el paralelogramo (cuadrado) morado?”,
igual que en la pregunta anterior, probaron que cabía dos veces. Así llegaron a la
conclusión que el paralelogramo azul oscuro y el paralelogramo morado eran iguales,
ya que al realizar las preguntas anteriores pudieron verificarlo. Describieron su
razonamiento así: “triángulo verde más triángulo verde es igual a paralelogramo azul
oscuro, triángulo rosado más triángulo rosado es igual a cuadrado morado, como los
triángulos verde y rosado son iguales, los paralelogramos azul oscuro y paralelogramo
morado son iguales”
10. ¿Cómo son los paralelogramos morado y azul oscuro? ¿Cómo puedes verificar
esto?
Esta pregunta, los estudiantes la probaron en la pregunta anterior.
11. Finalmente, ¿cómo son los paralelogramos (cuadrados) morados y gris, con
respecto al paralelogramo (cuadrado) que está pintado de dos colores azul?
¿Cómo puedes verificar esto?
109
Esta actividad les tomó un poco más de tiempo a los estudiantes, ya que se tomaron
el espacio para probarlo, sobrepusieron el cuadrado gris en el cuadrado azul, al ver
que al sobreponer el cuadrado morado quedaba mucho espacio, decidieron que era
necesario recortar e ir acomodándolo para así poder ver cómo eran estos cuadrados.
Finalmente, los estudiantes lograron ver que estos dos paralelogramos cabían
exactamente en el paralelogramo azul (ver Figura 39), concluyendo que: “cuadrado
morado más cuadrado gris es igual al cuadrado azul”68.
Figura 39. Respuesta de cinco estudiantes a la pregunta 11 de la segunda parte de la actividad 9. 69
68 Criterios de los estudiantes. 69 Opiniones de los estudiantes.
110
Conclusiones
Para esta actividad final, se logra evidenciar que los estudiantes tenían claros los
objetos matemáticos trabajados en el transcurso del taller (tipos de triángulos, rectas
paralelas, ángulos, paralelogramos, área). Siendo así, el desarrollo que esta actividad
resultó mucho más fácil para ellos. Cabe resaltar que el concepto de área los niños lo
tenían muy claro, y en el momento de trabajar las preguntas de “¿Cuántas veces cabe
una figura en otra?”, la mayoría de los niños antes de contestar, lo probaron
sobreponiendo, recortando. Los niños comprendieron que antes de dar respuesta a
una pregunta era necesario verificar la respuesta que iban a dar, ya que a pesar de
que se encuentran figuras que parecen diferentes sus áreas pueden ser iguales.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
La metodología que propone esta investigación está basada en la investigación como
diseño y cumple con el objetivo planteado para esta investigación “Favorecer, por
medio de demostraciones visuales, la construcción de significado de objetos y
conceptos geométricos presentados en el Libro I de los Elementos de Euclides, que
propicien el desarrollo del pensamiento geométrico en los estudiantes de ocho a diez
años”. Este cumplimiento se aprecia en cuanto cada actividad posterior toma en cuenta
lo que sucedió en la actividad anterior para rediseñar y esto se ve reflejado en cada
una de las actividades. De esta manera se realiza un recorrido construyendo objetos
y conceptos para finalmente demostrar, a través de la visualización y la manipulación,
el teorema de Pitágoras (proposición 46 del Libro I de los Elementos). Además, cabe
resaltar que se cumplieron, al menos parcialmente, los objetivos planteados en cada
una de las actividades, obteniendo así las siguientes conclusiones.
111
Actividades 1, 2 y 3.
En estas primeras actividades los estudiantes realizaron construcciones con regla y
compás de triángulos equiláteros, isósceles y rectángulos a partir de videos caseros
mostrados por la docente. Los estudiantes evidencian que, para estas construcciones,
no era necesario trazar los arcos de circunferencias completos. Además, en el caso
de la Actividad 1 al construir los triángulos equiláteros y superponerlos, los estudiantes
llegaron a la conclusión que sus ángulos eran iguales, es decir, se dieron cuenta que,
no importa que las longitudes de los lados dos triángulos equiláteros sean diferentes,
sus ángulos tienen la misma medida. Cuando se trabaja la construcción de los
triángulos isósceles, fue muy interesante ver que los estudiantes se dieron cuenta que
no se puede construir un triángulo con tres puntos sobre un mismo segmento y esto
sucede cuando la base mide 8 y el radio de las circunferencias sea menor o igual a 4.
Verifican por medio de construcciones con regla y compás una instancia de la
desigualdad triangular. A saber, que no era posible construir un triángulo isósceles de
base 8 cm y radio de circunferencias menor o igual a 4, pero sí se puede construir un
triángulo isósceles de base 8 cm y radio de circunferencia mayor o igual a 5 cm.
Para la Actividad 3, los estudiantes construyen con regla y compás rectas
perpendiculares sin contratiempos; además compararan esta construcción con la del
triángulo equilátero, verificaron que estas rectas forman ángulos rectos y que con
ayuda de estas se puede construir triángulos rectángulos.
Recomendaciones
112
El video casero de cada una de las construcciones con regla y compás
presentadas a los estudiantes sin duda es una herramienta que se recomienda
llevar al aula, ya que se evidenció en esta investigación que fue de gran apoyo
para que los estudiantes siguieran el paso el paso y lograran hacer sus
construcciones. Solo fue necesario ver el video en dos oportunidades para que
los estudiantes comprendieran la construcción y la realizaran.
Si se desea trabajar tipos de triángulos, se recomienda hacerlo de la forma en
que se desarrollaran estas actividades.
Actividad 4.
Esta actividad fue muy agradable para los niños. Los estudiantes ubicaran los puntos
sin dificultad para formar los ángulos correspondientes. Cabe resaltar que el concepto
de ángulo es muy claro para ellos y para las preguntas “¿Cuántos puntos puedes
encontrar tales que el ángulo sea agudo u obtuso?”, algunas respuestas de los
estudiantes estaban basadas en la amplitud del ángulo. Si un ángulo agudo es menor
que 90°, sus repuestas fueron 89 ángulos, para los ángulos obtusos, que su medida
debe ser menor a 180° contestaron 270 ángulos, sin tener en cuenta que la medida de
estos ángulos debe ser mayor que 90° y menor que 180°. Estas respuestas dadas por
los estudiantes se deben a que solo conocen los números naturales; sin embargo,
algunos otros estudiantes contestaron, muchos o varios. Lo importante, es que los
estudiantes comprendieron que se podía construir más de un ángulo con esas
características y que todos los ángulos que se construyeran en la parte inferior de la
circunferencia, es decir después de K en el sentido de las manecillas del reloj son
agudos y todos los que se construyan en la parte superior de la circunferencia es decir
113
arriba de K son obtusos y solo se puede ubicar un punto V de tal manera que se forme
un ángulo recto.
Recomendaciones
Realizar construcciones de ángulos con regla y compás, a través de videos caseros.
Actividad 5.
Es importante aclarar que esta propuso la primera construcción que los estudiantes
debían realizar de manera independiente y que, a pesar de que aún era muy difícil
para ellos escribir la forma en que realizaron la construcción, sus construcciones son
buenas y se acercan a lo que se estaba buscando, y que desarrollaran su pensamiento
matemático.
Recomendaciones
Trabajar esta actividad en dos partes, buscando que los estudiantes tomen más tiempo
en pensar las construcciones, y tomar algunas de esas construcciones y socializar con
el grupo para identificar aspectos positivos y a mejorar. Finalmente, el docente puede
mostrarles a los estudiantes una propuesta de construcción por medio de un video
casero para que esta quede mucho más clara para ellos.
Actividad 6.
En general, esta actividad fue muy fácil para los estudiantes. Se evidencia que tienen
claro el concepto de área y la forma cómo se debe calcular aritméticamente en
cuadrados y rectángulos. A pesar de que todos plantean soluciones diferentes y que
todos los niños están en diferentes grados, se llega a una misma respuesta.
114
Recomendaciones
Verificar que los planos de los estudiantes tengan las medidas correspondientes, ya
que en el momento de abarcar esta actividad, los estudiantes imprimieron la hoja de
trabajo pero modificaron el documento. Esto hizo que las medidas de los lados del
plano cambiaran y al hacer la actividad fue necesario construir un rectángulo con las
medidas correspondientes.
Para la parte dos de esta actividad, se recomienda trabajarla en forma de
rompecabezas para que los estudiantes logren visualizar y manipular el material. Se
podría trabajar una sola actividad con ejercicios similares a este y así lograr una mayor
comprensión del concepto de área.
Actividades 7 y 8.
En esta actividad se buscaba que los estudiantes comprendieran que, al tener dos
figuras, estas podían tener la misma área que una dada, sin importar la forma que ellas
tengan. Es importante aclarar que en la actividad número siete los estudiantes prueban
y concluyen lo que se estaba buscando, sin embargo, se realiza otra actividad similar
que ayuda a afianzar algunos conceptos. Esto permite tener mayor certeza que los
estudiantes estaban listos para una actividad final, ya que efectivamente se evidencia
que los estudiantes a través de las fichas del rompecabezas visualizan áreas iguales
en figuras diferentes.
Recomendaciones
Se sugiere trabajar con un material muy bien construido, fuerte y fácil de manipular
para los estudiantes. Además, así como en la actividad final, las piezas de este
115
rompecabezas también deberían llamarse por colores y no con letras, ya que es más
fácil para los estudiantes manipular el material de esta forma.
Actividad 9
Para esta actividad final, se logra evidenciar que los estudiantes tenían claros los
objetos matemáticos trabajados en el transcurso del taller (tipos de triángulos, rectas
paralelas, ángulos, paralelogramos, área). Siendo así, el desarrollo de esta actividad
fue más fácil para ellos. Cabe resaltar que el concepto de área los niños lo tenían muy
claro. En el momento de trabajar la pregunta “¿Cuántas veces cabe una figura en
otra?”, la mayoría de los niños antes de contestar, lo probaron sobreponiendo,
recortando. Los niños comprendieron que antes de dar respuesta a una pregunta era
necesario verificarla, ya que a pesar de se encuentran figuras que parecen diferentes
sus áreas podían ser iguales.
Recomendaciones
Verificar que todos los estudiantes tengan su material completo antes de iniciar; así
mismo, dar a los estudiantes un buen material fuerte y fácil de manipular.
Al iniciar la actividad es importante familiarizar a los estudiantes con el material,
observando cada una de sus piezas e identificando sus particularidades, clasificando
los triángulos y paralelogramos.
Con estos resultados, se ratifica que el modelo de investigación como diseño ayuda a
los docentes a incluir en el aula de clase actividades demostrativas por medio de la
visualización con niños a partir de los ocho años.
116
Es importante aclarar que en la metodología prevista para las actividades se había
propuesto trabajar en comunidades de práctica, algo que fue imposible realizar debido
a la emergencia sanitaria por COVID-19. Esto hizo que las actividades se aplicaran de
manera virtual, a través de la plataforma TEAMS y Zoom, en cuatro grupos pequeños
distribuidos así: martes (6 estudiantes), miércoles (7 estudiantes), jueves (7
estudiantes) y viernes (4 estudiantes), para un total de 24 estudiantes. De esta forma
se aplicó una actividad por semana. Esto permitió que los resultados fueran favorables,
ya que las actividades fueron más guiadas y personalizadas. Además, se comprobó
que trabajar con la totalidad de los estudiantes no era adecuado, puesto que hubo una
actividad que se trabajó con todos los estudiantes y los resultados no fueron
favorables.
Encuesta
Al finalizar el taller se aplica una encuesta a los estudiantes con tres preguntas. En la
primera se les pedía a los estudiantes que seleccionaran los nuevos aprendizajes
alcanzados en el transcurso del taller. Se transcriben a continuación algunas de sus
respuestas.
117
Figura 40. Respuesta de dos estudiantes de la primera pregunta de la encuesta.70
La mayoría de los conceptos y objetos trabajados en el transcurso del taller eran
nuevos para los estudiantes; algunos estudiantes manifestaban no haberlos trabajado
aún en el colegio y otros no los recordaban.
A la segunda y la tercera pregunta los estudiantes respondieron:
70 Criterios de los estudiantes.
118
Figura 41. Respuesta de tres estudiantes a las preguntas 2 y 3 de la encuesta. 71
En la pregunta dos, la mayor parte de los estudiantes contestan que les habían gustado
las actividades de construcciones con regla y compás y las actividades con
rompecabezas en donde se trabajó descomposición de figuras para hallar áreas
iguales. Así mismo en la pregunta tres, donde se les preguntaba por lo que más se les
71 Criterios de los estudiantes.
119
dificultó, la mayoría coincidió con las primeras actividades en donde se hizo uso de la
regla y compás.
Se recomienda en caso de aplicar este modelo de manera virtual, hacerlo en grupos
aún más pequeños (máximo tres estudiantes), para que pueda haber un mayor
intercambio de ideas entre los estudiantes y que el trabajo pueda ser más guiado y así
obtener resultados aún más positivos.
120
CONCLUSIONES
El propósito del estudio estuvo centrado en hacer aportes prácticos a la forma en que
se aprende geometría a través de la construcción, conjeturación y prueba de
conceptos y objetos matemáticos del Libro I de los Elementos de Euclides, mediante
actividades demostrativas visuales, con ayuda de manipulables que propician el
desarrollo del pensamiento geométrico en los estudiantes de ocho a diez años.
Quienes han abordado la cuestión de las maneras en que se aprende geometría lo
han hecho en varios contextos y con diferentes estrategias. Existe una gran variedad
de aportes por parte de la comunidad de investigadores en educación matemática
principalmente en un intento por responder los múltiples cuestionamientos que se han
hecho en torno a su enseñanza y su aprendizaje.
En este panorama se destacan dos aspectos en los que se han hecho importantes
aportes. En el primero, autores como Hanna (2001), Stylianides (2007), Schoenfeld
(1994) discuten acerca de la importancia de incluir el concepto de demostración en los
marcos curriculares desde la primaria hasta el nivel universitario. Y en el segundo, se
analiza el papel que cumple la visualización en el proceso de demostración, haciendo
referencia a la forma de representar la demostración, especialmente a la manera cómo
los estudiantes la expresan oralmente y por otro lado la representación escrita que
hacen de ella. Lo anterior se aborda teniendo en cuenta que autores como Brown
(1999) aseguran que el uso de algunas representaciones podría conducir a errores,
manteniendo de todas formas que la visualización abre posibilidades para la
investigación y la enseñanza.
121
Dado lo anterior, la metodología que se ha implementado en la presente investigación
está basada en la investigación como diseño y se dirige al objetivo general planteado
para ella, a saber, “Favorecer, por medio de demostraciones visuales, la construcción
de significado de objetos y conceptos geométricos presentados en el Libro I de los
Elementos de Euclides, que propicien el desarrollo del pensamiento geométrico en los
estudiantes de ocho a diez años”.
De acuerdo con la metodología, cada actividad posterior toma en cuenta lo que
sucedió en la actividad anterior para efectos de rediseñarla cuando se conceptúa, con
base en la experiencia con los niños, que es necesario reproyectarla. Esto se ve
reflejado en cada una de las actividades y en la forma de entrelazarlas de modo que
se realizara un recorrido construyendo objetos y conceptos para finalmente abordar a
través de la visualización una demostración del teorema de Pitágoras (proposición 46
del Libro I de los Elementos). Además, cabe resaltar que se cumplieron, parcial o
totalmente, los objetivos planteados en cada una de las actividades. Evidencia de lo
anterior se encuentra en los resultados de cada una de las actividades desarrolladas
con los estudiantes descritos en el capítulo anterior.
Como la finalidad de la investigación se centra en diseñar una forma de aprender
geometría a través de la construcción, conjeturación y prueba de conceptos y objetos
matemáticos, la primera acción está basada en la construcción de los objetos y
nociones planteadas en el Libro I de los Elementos y esta se logra en cuanto el
estudiante a través de construcciones con regla y compás aborda y desarrolla dichos
objetos y nociones geométricos. Con base en las primeras construcciones, el
estudiante realiza triángulos equilátero, isósceles, escaleno, ángulos de diferentes
122
tipos, triángulo rectángulo, rectas paralelas, rectas perpendiculares y cuadrados,
identifica las particularidades que tiene cada uno de ellos, y en este contexto desarrolla
actividades de pensamiento independiente hasta llegar a plantear sus propios métodos
de construcción paso a paso.
Lo anterior se evidencia en las actividades 1, 2, 3, 4 y 5, en las cuales se buscaba
diseñar y desarrollar tareas que hicieron que los estudiantes de ocho a diez años
analizaran, identificaran y probaran propiedades de objetos geométricos a través de
demostraciones visuales. Esto da cumplimiento a lo dicho por Piaget cuando afirma
que el pensamiento geométrico percibe el concepto que encierra la representación
gráfica o dibujo. Si observamos en el capítulo anterior las conclusiones de cada
actividad, se aprecia que las representaciones por medio de un dibujo realizadas por
los estudiantes de estos objetos, permitió el análisis y comparación de ellos.
Una segunda acción está basada, en la comparación de figuras que tienen igual área
utilizando la descomposición y composición de figuras a través de rompecabezas para
encontrar áreas iguales. La conclusión que se busca es doble: primero, que se
entiende que figuras que se pueden superponer y hacer coincidir exactamente (son
congruentes) tienen igual área y, segundo, que es posible que figuras que no tengan
la misma apariencia (no sean congruentes) puedan tener igual área. Así se prepara la
demostración visual del teorema de Pitágoras planteada en el Libro I de los Elementos
de Euclides, donde se buscaba llegar a la conclusión que la suma de las áreas de dos
figuras dadas es igual al área de otra figura dada.
Las actividades 7, 8 y 9 permiten analizar y sustentar una posición crítica teniendo en
cuenta los planteamientos de Gila Hanna (2000) basados en el desarrollo del
123
pensamiento geométrico y la construcción de demostraciones visuales y hasta táctiles,
a través del trabajo de comparación, descomposición y composición de figuras
distinguidas por colores y con manipulables (rompecabezas).
Para responder el problema de investigación de ¿cómo desarrollar el pensamiento
geométrico a través de demostraciones visuales?, se plantea un objetivo general y tres
objetivos específicos. El objetivo general busca favorecer, por medio de
construcciones geométricas y demostraciones visuales, la construcción de significado
de objetos y conceptos geométricos presentados en el Libro 1 de los Elementos de
Euclides, que propicien el desarrollo del pensamiento geométrico en los estudiantes
de ocho a diez años, el cual se evidencia en el desarrollo de las actividades 1, 2 y 3,
apoyado en situaciones que incitan el pensamiento independiente que requiere
análisis y creatividad para su desarrollo, las cuales se relacionan a continuación.
Construir el triángulo equilátero más grande que se puede en un octavo de cartulina,
analizar la posibilidad de construir o no un triángulo isósceles sobre una base dada y
con longitudes de los lados iguales dadas, determinar el número de ángulos agudos,
obtusos, rectos que se pueden construir con base en dos puntos dados en una
circunferencia y la construcción con regla y compás de un triángulo rectángulo,
escaleno y un cuadrado ideada independientemente por el estudiante.
Así mismo, en uno de los objetivos específicos planteados, se busca diseñar
actividades que permitan que los estudiantes de ocho a diez años construyan objetos
y conceptos geométricos y los interrelacionan por medio de construcciones y
demostraciones visuales. Se puede evidenciar que en el planteamiento de las
actividades 3, 4 y 5, se hace un rediseño con respecto a la construcción independiente
124
de los triángulos isósceles, rectángulo, escaleno y cuadrado con regla y compás,
debido a que, al finalizar la actividad número 4 no estaba clara la construcción de
cuadrado con regla y compas, siendo necesario retomarla en una actividad posterior;
lo mismo sucede entre las actividades 7 y 8.
Otro de los objetivos específicos planteados aporta a la caracterización del
pensamiento geométrico de los estudiantes de ocho a diez años, involucrado en la
construcción de demostraciones visuales por medio del análisis del desarrollo de las
actividades planteadas. Esta caracterización se ha realizado teniendo en cuenta los
procesos que llevaron a cabo los estudiantes en el momento de desarrollar las
actividades 8 y 9, cuando se les preguntó: ¿Cómo son sus áreas? ¿Cómo puedes
probar esto? ¿Cuántas veces cabe el triángulo verde en el paralelogramo azul oscuro?
¿Cuántas veces cabe el triángulo rosado en el paralelogramo (cuadrado) morado? Sus
respuestas muestran los avances obtenidos con respecto al desarrollo de pensamiento
en los estudiantes.
¿Cuántas veces cabe el triángulo verde en el paralelogramo azul oscuro?, les costó
un poco más de trabajo, ya que a simple vista parecía que solo cabía una vez. Fue
necesario verificarlo, sobreponiendo, recortando y efectivamente encontraron que
cabían dos triángulos como el verde en el paralelogramo azul oscuro. Para la pregunta
“¿Cuántas veces cabe el triángulo rosado en el paralelogramo (cuadrado) morado?”,
igual que en la pregunta anterior, probaron que cabía dos veces.72
72 Respuestas de algunos estudiantes a las preguntas de la actividad 7 y 8.
125
Como último objetivo específico, se buscaba analizar y sustentar una posición crítica
con el fin de establecer si las experiencias desarrolladas sustentan y contribuyen a
justificar los planteamientos de Gila Hanna (2000), frente al pensamiento geométrico
cuyo desarrollo se observa en la construcción de demostraciones visuales y con
manipulables. En estos análisis cabe resaltar la forma en que varios estudiantes
muestran que están pensando solo en la posibilidad de usar números enteros como
medidas en las preguntas: ¿Cuántos puntos X puedes encontrar tales que el ángulo
OFX sea agudo? ¿Cuántos puntos Y puedes encontrar tales que el ángulo OFY sea
obtuso?, de la actividad número 4.
En relación con este tercer objetivo, es importante resaltar que al analizar una de las
dificultades presentadas por los estudiantes en la actividad 7, cuando se pretendía
llegar a la conclusión que dos figuras que coinciden perfectamente al suponerlos (son
congruentes) tienen igual área (conclusión que se necesita en las actividades 7 y 8),
se debió al diseño de la actividad 6 parte 1, ya que esta fue enfocada al uso
completamente aritmético del concepto de área desenfocando la atención y la
construcción de significado del concepto de área requerida en el contexto euclidiano.
Tanto fue así que, al llegar a la actividad 7 y desarrollar en las actividades preguntas
sobre áreas en el caso de dos figuras que coinciden perfectamente al superponerlos,
resulta difícil para los estudiantes llegar a una conclusión ya que se habían distraído
de la manera de pensar euclidiana cuando se les dirige la atención al cálculo aritmético
de áreas. Afortunadamente, pudieron darse cuenta que dos figuras que no tienen la
misma forma pueden tener igual área, con el problema de construir paralelogramos
126
distintos uniendo dos triángulos congruentes iguales al hacer coincidir en cada caso
un par distinto de lados iguales.
Adicionalmente, vale la pena enfatizar en dos puntos importantes. El primero, está
relacionado con la insistencia por parte de los estudiantes en que hay que “verificar” lo
cual, es equivalente en algún modo a demostrar. El segundo punto, y no menos
importante, está relacionado en la forma como los estudiantes lo hicieron, es decir, en
la forma en que los niños “verificaban” (recortando y haciendo coincidir diferentes
piezas del rompecabezas). Cabe resaltar que esto no estaba previsto en el diseño de
las actividades; se pretendía llegar a que basaran sus conclusiones en tres
proposiciones euclidianas: la primera, que paralelogramos entre las mismas paralelas
y sobre la misma base tienen igual área; la segunda, que paralelogramos entre las
mismas paralelas y sobre bases iguales tienen igual área; y la tercera, que el área de
un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo sobre la misma base que
el triángulo y entre las mismas paralelas.
Los estudiantes, al lograr la verificación recortando y haciendo coincidir las piezas o
pedazos del rompecabezas, mostraron que habían asimilado la comparación de áreas
por descomposición y (re)composición y que la supieron utilizar para llegar a sus
conclusiones, pero al mismo tiempo mostró que no pudieron ver cómo usar las tres
proposiciones euclidianas que se prepararon en las actividades 7, 8 y primera parte de
la 9.
Otro punto a destacar en esta investigación es que nunca se preparó a los estudiantes
que probarían la igualdad de áreas (de un cuadrado y un rectángulo lo cual se hace
dos veces en la demostración del teorema de Pitágoras) de dos figuras recortando una
127
de las figuras y rearmando los pedazos de modo que coincidieran con la otra figura.
Tampoco se pensó en otras muy buenas demostraciones visuales del teorema de
Pitágoras que se conocen, sino que se siguió la línea de razonamiento del mismo
Euclides. Posiblemente habría sido mejor para los niños acudir a alguna de ellas,
como, por ejemplo se muestra en la Figura 41.
Figura 41. Demostración visual del teorema de Pitágoras
Hacia el futuro, de seguir trabajando en el problema investigado, quizás sería mejor
contemplar estas otras alternativas de demostraciones visuales.
Finalmente, se anexa algunas imágenes de algunas de las respuestas de los
estudiantes en el transcurso del desarrollo de las actividades, en las que se evidencia
que en efecto estaban pensando geométrica y matemáticamente (ver Figura 42).
¿Qué pasa si los puntos B y C son los extremos del diámetro?
128
Figura 42. “No se puede construir un triángulo”73
¿Puedes construir un triángulo isósceles con longitud de la base igual a 8cm y cuyos
otros dos lados miden 4 cm?
Figura 43. “No se puede construir un triángulo”74
73 Criterios de los estudiantes. 74 Criterios de los estudiantes.
129
Figura 44. “Es imposible hacer el triángulo, no se puede construir un triángulo”75
Paso para la construcción de un triángulo rectángulo:
Figura 45. “Se realiza un arco de circunferencia, se realiza una recta perpendicular, se marcan puntos
como A, B, C y D, Se unen los puntos A con C de la forma que se desee”76
Pasó a paso para construir un triángulo escaleno:
Figura 46. “Elige 3 medidas al azar, Con un número que elegí lo puse para la base y los marqué en A
y B, los dos números que quedan los puse para el resto de los lados, los uno y marco la punta del
triángulo en C.”77
¿Cuántos puntos Y puedes encontrar tales que el ángulo OFY sea obtuso?
75 Criterios de los estudiantes. 76 Criterios de los estudiantes. 77 Criterios de los estudiantes.
130
Figura 47. Respuesta de los estudiantes a la pregunta planteada. 78
“E5: 270
E7: Yo pienso que 270
E8: 270
E9: Yo pienso que 280
E4: en verdad para lo del agudo 89 y obtuso serian 270”79
¿Cuántos puntos X puedes encontrar tales que el ángulo OFX sea agudo?
78 Criterios de los estudiantes. 79 Criterios de los estudiantes.
131
Figura 47. Respuesta de los estudiantes a la pregunta planteada. 80
E4: Umm, no sería un número específico pero muy grande.
E5: 89
E6: Yo digo también 89
E7: Yo pensaría que 89
E8: Yo también digo que 89
¿Cuántas veces cabe el triángulo amarillo en el paralelogramo gris?
80 Criterios de los estudiantes.
132
Figura 47. Estudiante verificando la pregunta anterior, teniendo en cuenta los triángulos amarillo y
naranja eran iguales. 81
¿Cuántas veces cabe el triángulo naranja en el paralelogramo azul claro?
Figura 48. Estudiante verificando la pregunta anterior. 82
¿Cómo son los paralelogramos (cuadrados) morados y gris, con respecto al
paralelogramo (cuadrado) que está pintado de dos colores azul? ¿Cómo puedes
verificar esto?
Figura 49. Estudiante verificando la pregunta anterior. 83
81 Criterios de los estudiantes. 82 Criterios de los estudiantes. 83 Criterios de los estudiantes.
133
Es importante aclarar, que en el marco teórico se propuso trabajar en comunidades de
práctica, algo que fue imposible realizar debido a la emergencia sanitaria por el
COVID-19. Esto hizo que las actividades se aplicaran de manera virtual, a través de la
plataforma TEAMS y Zoom, en cuatro grupos pequeños distribuidos así: martes (6
estudiantes), miércoles (7 estudiantes), jueves (7 estudiantes) y viernes (4
estudiantes), para un total de 24 estudiantes. En cada grupo se generan
conversaciones que permite a los estudiantes intercambiar ideas e interactuar con el
docente quien juega el papel de guía tanto con el grupo completo como de manera
personalizada. De esta manera se aplicó una actividad por semana. [Además se
comprueba, que trabajar con la totalidad de los estudiantes no era adecuado, puesto
que hubo una actividad que se trabajó con todos los estudiantes y los resultados no
fueron favorables].
La importancia de los hallazgos y aportes implica que es necesario continuar
avanzando en generar una forma de aprender geometría a través de la construcción,
conjeturación, prueba de conceptos y objetos matemáticos a partir de la visualización
y representación desde la escuela.
134
RECOMENDACIONES
A través del tiempo la comunidad de investigadores en educación matemática ha
analizado y discutido acerca del papel que deben tener el demostrar y la demostración
en la formación matemática del estudiante. En la educación matemática escolar
colombiana, en los planes de estudio, se ha evidenciado que no se desarrollan
actividades demostrativas. Con base en estos cuestionamientos los estudiantes no
desarrollan pensamiento geométrico ni mucho menos realizan conjeturas a través de
demostraciones visuales y representaciones gráficas. La presente investigación
propone un diseño para iniciar con los estudiantes de ocho a diez años en la
elaboración de conjeturas para dar inicio a procesos demostrativos. De esta forma, se
recomienda a las escuelas llevar una práctica diferente en el aprendizaje de nociones
de los objetos geométricos a través de actividades demostrativas por medio de la
visualización y manipulación que permitan promover el pensamiento geométrico, por
medio de actividades que reten el aprendizaje independiente en los estudiantes.
Adicionalmente es necesario explorar, adaptar y diseñar actividades para el estudiante
que permitan incluir actividades demostrativas en los planes de estudios actuales.
Finalmente, se recomienda difundir esta investigación a profesores de básica primaria
e iniciar con este proceso desde grado segundo, así mismo se adopte en la formación
de profesores en las facultades de educación en Colombia.
135
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137
ANEXOS
ANEXO 1: Grabación, sin edición, de la experiencia. Se adjunta en medio
magnético
ANEXO 2: Actividad 1. Construcción de triángulos equiláteros con regla y compás.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 1
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de 8 a 10 años, a
través de demostraciones visuales?
OBJETIVO: Representa diferentes tipos de triángulos haciendo uso de regla y
compás, los clasifica según sus lados.
MATERIALES: 2 octavos de Cartulina blanca, compás, regla, lápiz, transportador, hoja
de trabajo.
METODOLOGIA:
1. Se inicia la clase recordando a los estudiantes las partes de los triángulos y se
hace énfasis en los triángulos equilátero, isósceles, rectángulo y escaleno.
2. La docente realizará a los estudiantes la siguiente pregunta ¿cómo creen que
se puede dibujar cada uno de estos tipos de triángulos, haciendo uso de regla
y compás?
3. En grupos, se dialogará acerca de la construcción pensada.
4. Se proyectará un vídeo con el paso a paso de la construcción de un triángulo
equilátero. (Trazar un segmento, nombrar sus puntos A y B, trazar una
circunferencia con centro en A, de la longitud del segmento AB, trazar una
138
circunferencia con centro en B, de la longitud del segmento AB, Marcar C, en
punto donde se cortan las dos circunferencias. El triángulo ABC es equilátero.)
Los estudiantes inician con la construcción del triángulo equilátero en un octavo
de cartulina.
5. Actividad de pensamiento independiente: Cada estudiante debe construir un
triángulo equilátero, en donde la medida de longitud sea diferente al anterior,
teniendo en cuenta la instrucción dada por la docente. Un estudiante realizará
una construcción con una longitud de medida 7 cm, otro de 8 cm, otro de 9 cm.
Luego se realiza una discusión al respecto.
Construye el triángulo más grande que puedas en tu octavo de cartulina.
TIEMPO: Una sesión de 45 minutos.
PRODUCTO:
1. Construcciones con regla y compás de triángulo equilátero.
2. Particularidades del triángulo equilátero.
139
ANEXO 3: Actividad 2. Construcción de triángulos isósceles con regla y compás.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 2
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de grado tercero a
través de demostraciones visuales?
OBJETIVO: Representa diferentes tipos de triángulos haciendo uso de regla y
compas; y los clasifica según sus lados.
MATERIALES: 3 octavos de Cartulina blanca, compás, regla, lápiz, transportador, hoja
de trabajo.
TIEMPO: Una sesión de 45 minutos.
PRODUCTO:
1. Construcciones con regla y compás de triángulo isósceles.
2. Particularidades de este triángulo. (longitud de sus lados y medida de sus
ángulos)
Sugerencia de construcción 1:
Trazar un círculo con centro en A.
Tomar dos puntos cualesquiera (llamados B y C) sobre la circunferencia
trazada.
El triángulo ABC es isósceles.
Sugerencia de construcción 2:
140
Con ayuda de la regla, dibuja un segmento horizontal de 10 cm en la parte superior de
la cartulina con color rojo. Ahora, en la parte inferior y en el centro de la hoja, dibuja un
segmento horizontal de 8 cm. Nombra sus puntos extremos como A y B. Con el
compás, toma la longitud del segmento que dibujaste en la parte superior de la
cartulina, traza un arco de circunferencia con centro en A y radio igual a la longitud del
segmento rojo. Traza un arco de circunferencia con centro en B conservando el mismo
radio, marcar C el punto donde se cortan las dos circunferencias, traza un segmento
de A hasta B y de B hasta C. El triángulo ABC es Isósceles.
TIEMPO: Una sesión de 45 minutos.
PRODUCTO:
1. Construcciones con regla y compás de triángulo isósceles.
2. Particularidades del triángulo isósceles.
141
ANEXO 4: Actividad 3. Construcciones con regla y compás de rectas
perpendiculares, triángulo rectángulo, triángulo escaleno.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 3
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de grado tercero a
través de demostraciones visuales?
OBJETIVO: Representa diferentes tipos de triángulos haciendo uso de regla y
compas, los clasifica según sus lados.
MATERIALES: 2 octavos de Cartulina blanca, compás, regla, lápiz, transportador, hoja
de trabajo y computador.
METODOLOGIA:
1. Se inicia la sesión con la Construcción de rectas perpendiculares.
Dibuja un segmento AB.
Desde el punto A y con radio AB traza un arco de circunferencia.
Desde el punto B y con radio BA traza un arco de circunferencia.
Marca los puntos C y D donde se intersecan los arcos de circunferencias.
Traza una semirrecta de C a D.
Las rectas son perpendiculares.
ACTIVIDAD DE TRABAJO INDEPENDIENTE
2. Se continúa con la construcción de triángulo rectángulo.
Observa la construcción anterior de rectas perpendiculares y teniendo en
cuenta está realiza la construcción de un triángulo rectángulo e isósceles.
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3. Teniendo en cuenta las actividades anteriores, proponer una construcción de
triángulo escaleno.
Pista:
Dibuja un segmento de 10 cm.
Dibuja un segmento de 7 cm.
Dibuja un segmento 6 cm.
Realiza un triángulo escaleno con medidas diferentes a las anteriores.
4. Construya un triángulo rectángulo y escaleno.
TIEMPO: Una sesión de 90 minutos.
PRODUCTO:
1. Construcciones con regla y compás de rectas perpendiculares, triángulo
rectángulo y escaleno.
2. Particularidades de rectas perpendiculares, triángulo rectángulo y escaleno.
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ANEXO 5: Actividad 4. Construcción de rectas paralelas, ángulos y del cuadrado
con regla y compás.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 4
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de grado tercero a
través de demostraciones visuales?
OBJETIVO: construir los siguientes objetos matemáticos: ángulos, segmentos, lados,
rectas perpendiculares.
MATERIALES: hoja de trabajo impresa, lápiz, regla, compás.
METODOLOGIA:
Dada la siguiente ilustración, se desarrollarán las siguientes actividades.
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Se comienza recordando o estableciendo qué son ángulos agudos, obtusos y
rectos y qué significa que dos segmentos sean perpendiculares o paralelos.
1. ¿Dónde puedes ubicar un punto T en la circunferencia para que el ángulo
OFT sea un ángulo agudo?
2. ¿Puedes encontrar otro punto S tal que el ángulo OFS sea agudo?
3. ¿Cuántos puntos X puedes encontrar tales que el ángulo OFX sea agudo?
4. ¿Dónde puedes ubicar un punto P en la circunferencia para que el ángulo
OFR sea un ángulo obtuso?
5. ¿Puedes encontrar otro punto N tal que el ángulo OFN sea obtuso?
6. ¿Cuántos puntos Y puedes encontrar tales que el ángulo OFY sea obtuso?
7. ¿Hay un punto V en la circunferencia tal que el ángulo OFV sea un ángulo
recto?
8. Traza un segmento MN.
Repite la construcción del triángulo equilátero, hasta obtener puntos de intersección
de los arcos de circunferencias trazados en los dos lados del segmento MN. Llama
estos puntos Q y R. Traza el segmento QR. ¿Cómo son los segmentos MN y QR
que acabas de obtener?
Ahora construiremos una perpendicular a un segmento dado en un punto P que esta
sobre el segmento MN.
Para ello, usemos de nuevo el segmento MN y toma un punto P (que este sobre
el segmento MN), por el cual se quiere trazar la perpendicular. Toma el punto
P, como centro y trazar un arco de circunferencia, siendo A y B los dos puntos
de intersección de la circunferencia con el segmento MN.
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Finalmente, repita la construcción del triángulo equilátero teniendo como base
el segmento AB, cuando tenga los dos puntos de intersección de las dos
circunferencias (con centro en A y radio AB y con centro en B y radio BA), se
unen esos dos puntos de intersección y se tiene construida la perpendicular a
MN en el punto P.
¿Cómo son esas rectas que acabas de obtener con respecto al segmento AB?
Ahora construiremos una perpendicular a un segmento dado en un punto P’ que NO
esta sobre el segmento MN.
Para ello, usemos de nuevo el segmento MN y toma un punto P’ (que NO este
sobre el segmento MN), por el cual se quiere trazar la perpendicular. Toma el
punto P’, como centro y trazar un arco de circunferencia, siendo A’ y B’ los dos
puntos de intersección de la circunferencia con el segmento AB.
Finalmente, repita la construcción del triángulo equilátero teniendo como base
el segmento A’B’, cuando tenga los dos puntos de intersección de las dos
circunferencias (con centro en A’ y radio A’B’ y con centro en B’ y radio B’A’), se
unen esos dos puntos de intersección y se tiene construida la perpendicular a
MN en el punto P’.
¿Cómo son esas rectas que acabas de obtener con respecto al segmento A’B’?
TIEMPO: Una sesión de 90 minutos.
PRODUCTO: Definición de objetos matemáticos
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ANEXO 6: Actividad 5. Construcción de rectas paralelas y cuadrado con regla y
compás.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 5
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de 8 a 10 años a
través de demostraciones visuales?
OBJETIVO: construir los siguientes objetos matemáticos: rectas paralelas y cuadrado.
MATERIALES: compás, regla, lápiz, hoja de trabajo impresa.
METODOLOGÍA:
Se comienza recordando, qué significa que dos segmentos sean paralelos.
1. Traza un segmento AB
2. Ubica un punto E que este por fuera del segmento AB.
3. Desde el punto E traza un arco de circunferencia que corte al segmento AB.
4. El punto que se corta en el segmento AB llámalo C.
5. Ahora, desde el punto C con la misma abertura del compás traza un arco de
circunferencia, el punto que corta del segmento AB llámalo D.
6. Toma el radio de circunferencia de ED.
7. Traza un arco de circunferencia con centro en C
8. Marca F donde corta el arco de circunferencia anterior.
9. Finalmente une E con F
¿Cómo son esas rectas que acabas de obtener?
¿Puedes construir otra recta similar, desde cualquier otro punto H, que esté
ubicado fuera de la circunferencia?
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¿Cuántas rectas paralelas a la recta AB puedes trazar con regla y compas?
Construye un cuadrado con regla y compás.
TIEMPO: Una sesión de 90 minutos.
PRODUCTO:
1. Definición de objetos matemáticos.
148
ANEXO 7: Actividad 6. Comenzar a construir el concepto de área.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 6
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de ocho a diez
años a través de demostraciones visuales?
Objetivo: Comenzar a construir el concepto de área.
Materiales:
1. Hoja de trabajo.
2. Tijeras
3. Regla.
4. Marcadores o colores.
5. Lápiz y borrador.
6. Anexos impresos en cartulina.
Metodología:
Para la construcción del concepto de área se desarrollarán las siguientes situaciones.
A Verónica le están construyendo una hermosa casa de muñecas en madera. El día
de ayer, sus padres le mostraron los planos de la casa, ya que quieren que ella dé
algunas recomendaciones de cómo le gustaría que quedara al finalizar la construcción.
El plano de la casa en el papel tiene 8 cm x 21 cm y la parte que SI está construida
corresponde al 96 𝑐𝑚2 en el plano.
1. ¿Cuáles son las medidas de los lados que corresponde a esta parte de la
casa que está construida?
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2. ¿Cuál es medida de la superficie que aún no está construida?
3. Si en la parte del dibujo de la casa que NO está construida, Verónica quiere
que le hagan un baño, cuarto de lavado de 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚, una habitación para
su Barbie favorita de 5c𝑚 × 4𝑐𝑚, un armario personal para su Barbie favorita
de 3𝑐𝑚 × 3𝑐𝑚 y en el espacio restante desea ubicar la piscina de Barbie que
le regalaron sus abuelos, ¿cuál es el área de la superficie del plano que tiene
Verónica para ubicar la piscina?
4. Muestra dos maneras para que Verónica pueda adecuar este espacio (Que
NO está construido) teniendo en cuenta lo que ella desea y sin dejar
espacios sin utilizar.
Observa las siguientes figuras y responde:
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¿Qué tipo de triángulos se observa en la figura?
¿Los triángulos anteriores tienen igual tamaño?
Si el área del triángulo sombreado es 18 cm², ¿cuál es el área de uno de los cuadrados
pequeños?
¿Cuántos triángulos de los pequeños caben en el triángulo sombreado?
¿Cuál es el área de uno de los triángulos más pequeños?
¿Cuántos triángulos de los pequeños caben en el cuadrado grande (la figura total)?
¿Cuál es el área del cuadrado grande?
¿Qué tipo de triángulos se observa en la figura?
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¿Los triángulos anteriores tienen igual tamaño?
¿Cuántos triángulos como el sombreado caben en el anterior diagrama?
Si el área del triángulo sombreado es 4 cm², ¿cuál es el área del cuadrado que se ve
en el centro del rectángulo?
¿Cuál es el área del rectángulo total?
TIEMPO: Una sesión de 90 minutos.
Producto: Avances en la construcción del concepto de área.
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ANEXO 8: Actividad 7. Iniciar a demostrar a través de manipulables.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 7
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de grado tercero a
través de demostraciones visuales?
Objetivo: iniciar a demostrar a través de manipulables.
Materiales:
1. Rompecabezas
2. Hoja de trabajo impresa.
Metodología:
Se inicia recordando a los estudiantes los tipos de paralelogramos.
Cada estudiante tendrá un rompecabezas de 6 piezas y una base en cartón.
Las piezas son las siguientes: 𝑨𝑫𝑷𝑩, 𝑫𝑬𝑷, 𝑩𝑷𝑪, 𝑬𝑭𝑪𝑷, 𝑨𝑬𝑩 𝒚 𝑫𝑭𝑪.
Se desarrollarán las siguientes actividades con el material:
1. Identifica en tu cartulina base los paralelogramos.
2. Busca en tus piezas recortadas un triángulo AEB, ahora, ubícalo de tal manera
que encaje en tu cartulina base.
3. Ahora, busca en tus piezas recortadas el triángulo DFC y ubícalo en tal manera
que encaje en tu cartulina base.
4. Ubica, el triángulo AEB sobre el triángulo DFC, ¿Cómo son estos triángulos?
5. Toma las piezas ADPB y DEP, ubícalas en tu cartulina base, ¿Qué triángulo
formas con estas dos piezas?
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6. Toma las piezas DEP y EFCP, ubícalas en tu cartulina base, ¿Qué triangulo
formas con estas dos piezas?
7. Ubica las piezas ADPB, DEP y EFCP en tu cartulina base, ¿Cómo son las áreas
de los triángulos AEB y DFC?
8. Quitar la pieza triangular DEP. ¿Qué sabes de las áreas ADPB y EFCP?
9. Coloca la pieza triangular BPC. ¿Qué sabemos de las áreas de los
paralelogramos ADCB y EFCB?
10. ¿Qué es BC? ¿Qué se sabe de la altura de los dos paralelogramos?
Cada uno de los niños debe mostrar sus figuras finales a todos los demás porque van
a ser todos diferentes (por que empezaron con figuras diferentes), pero en cada caso
van a concluir que los dos paralelogramos tienen áreas iguales (esto es lo más cercano
que se puede llegar a generalidad).
Tiempo: Una sesión de 90 minutos.
Producto: Avances en la idea de hacer una demostración usando manipulables.
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ANEXO 9: Actividad 8. Iniciar a demostrar a través de manipulables.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 8
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de grado tercero a
través de demostraciones visuales?
Objetivo: iniciar a demostrar a través de manipulables.
Materiales:
Rompecabezas
Metodología:
Se abordaran las siguientes preguntas con los estudiantes:
1. En tu cartulina base, identifica rectas paralelas, clasifica cada uno de los
triángulos y menciona un ángulo que sea agudo, uno que sea obtuso y uno
recto.
2. Menciona los paralelogramos que encuentras en tu cartulina base, señala su
área.
3. ¿Qué es BC? ¿Qué se sabe de la altura de los dos paralelogramos?
4. Nombra cada una de las piezas que conforma el rompecabezas.
5. Toma los triángulos AEB y DEP de tal manera que encajen en tu cartulina base.
6. Busca dos piezas de tal manera que encajen exactamente en el triángulo AEB
y en triángulo DEP, ¿Cuáles son estas piezas? ¿Cómo son las áreas de estas
piezas con respecto al triángulo AEB y el triángulo DEP?
7. Tomas las piezas ADPB y PCFE, ¿Cómo son sus áreas? ¿Cómo puedes
probar esto?
155
8. ¿Existen otras piezas que tengan igual área? ¿Cuáles son? ¿Cómo podemos
probar esto?
Tiempo: Una sesión de 90 minutos.
Producto: Avances en la idea de hacer una demostración usando manipulables.
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ANEXO 10: Rompecabezas actividad 7 y 8
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ANEXO 11: Actividad 9. Demostración visual del teorema de Pitágoras.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD NÚMERO 9
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de ocho a diez
años a través de demostraciones visuales?
Objetivo: demostración visual del teorema de Pitágoras.
Materiales:
Rompecabezas
Metodología:
ACTIVIDAD 1: Cada estudiante tendrá cuatro tipos de triángulos, uno de color azul
oscuro, uno de azul claro y los otros dos triángulos son de color blanco, como los
siguientes y se desarrollaran las siguientes preguntas:
Se les pedirá a cada estudiante que busque un triángulo entre sus piezas que encaje
perfectamente con el lado a del triángulo azul oscuro, así mismo con los demás lados
del triángulo b y c, la misma actividad se realizará con el triángulo de color azul claro.
Se les preguntara a los estudiantes:
¿Qué tipo de figura forma el triángulo azul oscuro junto con el triángulo blanco con el
lado a, lado b y lado c?
¿Qué tipo de figura forma el triángulo azul claro junto con el triángulo blanco con el
lado a, lado b y lado c?
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ACTIVIDAD 2: Cada estudiante tendrá un rompecabezas de 9 piezas y una base en
cartón.
Las piezas son las siguientes: cinco paralelogramos (morado, azul claro, azul oscuro,
mitad azul claro, mitad azul oscuro y gris), cuatros triángulos (amarillo. Naranja, rosado
y verde) y un triángulo rectángulo.
1. ¿Cómo es el triángulo?
2. ¿Cómo son los segmentos de color azul?
3. ¿Cómo son los ángulos del paralelogramo azul y el paralelogramo gris?
4. Identifica un ángulo obtuso en el triángulo amarillo y otro ángulo obtuso en el
triángulo naranja.
5. ¿Cómo son los lados de color verde?
6. ¿Cómo son los triángulos naranja y amarillo?
7. Observa el paralelogramo gris y el triángulo amarillo. ¿Puedes ver que están
entre las mismas rectas paralelas? ¿Cuántas veces cabe el triángulo amarillo
en el paralelogramo gris?
8. Observa el paralelogramo azul claro y el triángulo anaranjado ¿Puedes ver que
están entre las mismas rectas paralelas? ¿Cuántas veces cabe el triángulo
naranja en el paralelogramo azul claro?
9. ¿Cómo son los paralelogramos (cuadrado) gris y (rectángulo) azul claro?
¿Cómo puedes verificar esto?
10. Observa los triángulos rosado y verde. ¿Cuántas veces cabe el triángulo verde
en el paralelogramo azul oscuro? ¿Cuántas veces cabe el triángulo rosado en
el paralelogramo (cuadrado) morado?
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11. ¿Cómo son los paralelogramos morado y azul oscuro? ¿Cómo puedes verificar
esto?
12. Finalmente, ¿cómo son los paralelogramos (cuadrados) morados y gris, con
respecto al paralelogramo (cuadrado) que está pintado de dos colores azul?
¿Cómo puedes verificar esto?
Tiempo: Una sesión de 90 minutos.
Producto: Demostración visual del teorema de Pitágoras.
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ANEXO 12: Encuesta
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ENCUESTA
¿Cómo desarrollar el pensamiento geométrico de los estudiantes de ocho a diez
años a través de demostraciones visuales?
Nombre del estudiante:
Edad:
Grado:
Lee la siguiente pregunta y selecciona las opciones que consideres, teniendo en
cuenta el trabajo realizado en el transcurso del taller.
1. Selecciona, los nuevos aprendizajes alcanzados en el transcurso del taller.
Manejar el compás.
Construir triángulos con regla y compás.
Tipos de triángulos y ángulos.
Hallar el área.
Descubrir áreas iguales.
Tipos de paralelogramos.
Descomponer figuras
Otros, ¿cuál?
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Contesta la pregunta 2 y 3 teniendo en cuenta el trabajo realizado en el trascurso
del taller.
2. Escribe, ¿cuáles fueron las actividades que más te gustaron de todas las
trabajadas en el taller?
3. Escribe, ¿cuáles fueron las actividades que más se te dificultaron de todas las
trabajadas en el transcurso del taller?
¡Muchas gracias por tus respuestas!