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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 1

Son procedimientos básicos necesarios para la construcción y resolución de la mayoría de losproblemas y trazados geométricos.

MEDIATRIZ de un segmento:Recta perpendicular al segmento y que pasapor su punto medio.

PARALELA MEDIACuando tenemos dos rectas paralelas, se llama paralela media a otra recta paralela a las anteriores yque está a la misma distancia de ambas.

BISECTRIZ de un ángulo:Recta que divide al ángulo en dos ángulosiguales, pasando por el vértice.

A

A

B

B

V

2

2

2

1

1

1

Se toma con el compás una medida claramentemayor que la mitad del segmento. Haciendocentro en los extremos y del segmentotrazamos dos arcos que se cortan en los puntosy . La recta que pasa por ellos es la mediatriz.

A B1

2

Con se traza unaperpendicular a las dos rectas paralelas, quecortará en los puntos y . Se traza ahora lamediatriz del segmento , que será la paralelamedia buscada.

escuadra y cartabón

A BAB

Se toma con el compás una medida cualquiera yse traza un arco con centro en el vértide delángulo, obteniendo los puntos y . Se traza lamediatriz del segmento que resulta ser labisectriz.

1 21-2

PARALELA MEDIA

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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO en 2,4,8,16... partes iguales

bisectriz;

Podemos dividir cualquier ángulo en partes iguales siempre que sean pares y múltiplo de 2 al cuadrado,es decir: 2, 4, 8, 16... siempre el doble del anterior. Se divide el ángulo en dos iguales con una

cada uno se vuelve a dividir en dos de nuevo, tantas veces hasta el número requerido.

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO EN TRES PARTES IGUALES ( )TRISECCIÓNTrisección bisecciónsignifica división en tres partes, como significa división en dos partes. Algunosángulos se pueden dividir en tres partes iguales, el más sencillo e importante el de 90º.

V

V V

V V

V

Con centro en y una medida cualquiera trazamos unarco, que cortará en los puntos y

V1 2.

Con centro en el punto ytrazamos otro arco desde que cortará al primeroen el punto .

2V,

4

sin mover el compás

Con centro en el punto ytrazamos otro arco desde que cortará al anterioren el punto .

1V,

3


Uniendo el vértice con los puntos y obtenemosla trisección buscada.

V 3 4

2

2

2

2

1

1

1

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4 4

3

3

3

2

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ÁNGULOS CON COMPÁS Y REGLAEn muchas ocasiones debemos dibujar ciertos ángulos con compás, aunque puedan trazarse tambiéncon escuadra y cartabón. Lo más idóneo dependerá del tipo de trabajo de estemos ejecutando. Sonsencillos ya que se basan en conocer el de 60º, la bisectriz y la suma o resta de ángulos.

ÁNGULO de 60ºSe basa en la construcción de un triángulo equilátero, que no es necesario dibujar (2º paso), peroquitando un lado.

ÁNGULO de 30ºHacemos la bisectriz del de sesenta.

ÁNGULO de 45ºHacemos la bisectriz del de noventa.

ÁNGULO de 15ºHacemos la bisectriz del de sesenta y despuésla del de 30º.

ÁNGULO de 135ºHacemos la bisectriz del de 90º pero por el ladocontrario. La suma de 90 más 45 nos da el de135º

Dibujamos el lado origen. Con centro enel vértice trazamos un arco, que secorte en el punto con el lado.

V1

Con centro en el punto yhacemos otro arco que pase

por V y se corte con el anterior en .

1

2

sin mover el

compás,

Uniendo con obtenemos el ladofinal y el ángulo de 60º. Si uniéramos 1con 2 nos saldría un triánguloequilátero.

V 2


V V

60º

30º

45º135º

15º

V

V V

2 2

2 2

1 1 1

1

1

V V

2 2

1 1

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ÁNGULO de 120ºSe consigue sumando dos de sesenta, es decir, construyendo uno de sesenta sobre otro de sesenta.

ÁNGULO de 75ºPartimos de uno de 90º y sobre el lado origen construimos uno de 60º. El que nos queda medirá 30º.Haciendo la bisectriz del de 30º nos quedará uno de 15º, que sumado al anterior de 60º nos da el de 75º.

Realizamos la misma construcción que para el desesenta, pero prolongando el primer arco.

Uniendo con el punto obtenemos el lado final.V 3

Dibujamos un ángulo de 90º. Sobre el lado origendibujamos otro de Se observa que el pequeñodebe medir 30º.

60º.

Con centro en el punto y ,hacemos otro arco que pase por y se corte con elprimero en .

2V

3


Se puede conseguir también restando a 180º uno desesenta. Construimos el de 60º mirando hacia laizquierda; el de la derecha son 120º.

Trazamos la mediatriz del de 30º, quedando dosángulos de 15º. Se observa que, el de 60º más el de15º inmediatamente situado, nos dan un total de

.75º


V V

V V

120º 120º

2 3

3

2

2 2

1 1

1

1

60º

60º

30º 15º

75º

V V

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POSICIÓN BÁSICA DE ESCUADRA Y CARTABÓN

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON ESCUADRAY CARTABÓNEl uso más frecuente e importante es el trazado de paralelas y perpendiculares.

PARALELASSe utiliza normalmente el cartabón como regla de apoyo y la escuadra como regla de dibujo, perosegún el dibujo que se realice se pueden utilizar de muchas formas:

PERPENDICULARESPOSICIÓN BÁSICA,Adiferencia de lo anterior, las perpendiculares se hacen siempre a partir de la como

se indica debajo, con el cartabón como regla de apoyo y la escuadra en posición de “V”.

Para trazar perpendicular a una recta dada haremos coincidir primero la escuadra, despuéscolocaremos el cartabón y finalmente giraremos la escuadra.


Se hace coincidir el ladolargo de la escuadra (hipotenusa) conla recta dada.

exactamente Se sujeta bien la escuadra y se adosa elcartabón , sin golpes,procurando que la escuadra no semueva.

perfectamenteGiramos la escuadra sujetando elcartabón, apoyándola sobre el otrolado igual (cateto). Sujetamos bien lasdos y trazamos la perpendicular.

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ÁNGULOS CON ESCUADRAY CARTABÓNLos ángulos más importantes y más utilizados se construyen con rapidez y precisión con la escuadra y elcartabón, si se utilizan correctamente.

ÁNGULO

semirrectas

origenfinal

Un ángulo es la parte del plano comprendida entredos . Consta de un vértice y dos lados,se mide en grados utilizando el transportador deángulos, normalmente en el sentido contrario a lasagujas del reloj. Al primer lado se le llama yal segundo .

ÁNGULO CUALQUIERANo es necesaria ninguna construcción especial. Se dibuja el vértice, con un punto. Con la escuadra o elcartabón se traza una semirrecta por el vértice y después una segunda semirrecta.

ÁNGULO DE 90ºperpendiculares posición principalSe trazan dos por el vértice, utilizando la de escuadra y cartabón.

VÉRTICE

VÉRTICE

LADO ORIGEN

LADO FINAL


Los ángulos rectos llevan el símbolo

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ÁNGULO DE 45ºSe construye a partir de la posición básica de escuadra y cartabón, similar a las perpendiculares perodibujando sobre el lado superior de la escuadra, como en el ejemplo.

ÁNGULO DE 30ºEl lado origen se construye con la posición básica, se baja un poco la escuadra y después se dibuja elángulo con el cartabón, como en el ejemplo.


45º

45º

Trazamos el primer lado con la posiciónbásica, desde el vértice del ángulo.

Desplazamos hacia abajo uno o doscentímetros la escuadra, sin mover elcartabón.

Para hacerlo en sentido contrario, eldebe colocarse en el otro lado.

cartabónal principio

Situamos el cartabón sobre laescuadra, que es ahora la regla deapoyo, y trazamos el lado final.

Para hacerlo orientado en sentidocontrario sólo hay que colocar elcartabón hacia el otro lado.

30º

30º

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ÁNGULO DE 60ºEs similar al de treinta grados pero utilizando el ángulo de 60º del cartabón.

ÁNGULO DE 120ºSe parte de la posición del de sesenta, pero con el cartabón orientado hacia el otro lado, como en elejemplo.


Trazamos el primer lado con la posiciónbásica, desde el vértice del ángulo.

Desplazamos hacia abajo uno o doscentímetros la escuadra, sin mover elcartabón.



Nos basamos en 60º a 180º, conlo que nos queda 120º.

restar

60º

60º

120º

60º

Para hacerlo orientado en sentidocontrario sólo hay que colocar elcartabón hacia el otro lado.

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ÁNGULO DE 150ºEl mismo método que para 120º, restando 30º a 180º, nos quedan 150º

ÁNGULO DE 135ºTrazamos el lado origen con el cartabón y colocamos la escuadra como en el ejemplo.


Colocamos el cartabón con los 30ºmirando hacia el lado contrario.

Trazamos el lado origen con elcartabón, dejando el vértice por elcentro.

Deslizamos el cartabón uno o doscentímetros sobre la escuadra.

Deslizamos el cartabón uno o doscentímetros sobre la escuadra.

150º

135º

45º

30º

Nos basamos en 30º a 180º, conlo que nos queda 150º.

restar

Nos basamos en 45º a 180º, con loque nos queda 135º.

restar

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ÁNGULOS mediante sumas y restasPueden conseguirse otros ángulos como combinaciones de sumas y restas de los anteriores.

ÁNGULO DE 75ºSe consigue sumando el de 45º de la escuadra más el de 30º del cartabón.

ÁNGULO DE 15ºNo es una ángulo muy utilizado y se puede conseguir restando 75º al de 90º. Pero puede construirsedirectamente colocando las reglas de esta forma:

75º

15º

Colocamos el cartabón sobre el ladoorigen.

Ahora colocamos la escuadra como enel dibujo y trazamos el lado final.

Desplazamos el cartabón apoyándoloen la escuadra para que no se incline.

Como en los casos anteriores, si sequiere hacer hacia el otro lado secolocan las reglas en sentido contrario.


Trazamos el lado origen por debajo delcartabón y colocamos encima laescuadra.

Sujetamos la escuadra y cambiamos elcartabón de lugar, contra el otro

de la escuadra.cateto

Usamos el cartabón ahora como reglade apoyo y deslizamos la escuadrahasta que pase por el vértice,trazando el lado final.

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MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULOtransportador de ángulos.Para medir un ángulo es necesario el Para transportar un ángulo podemos

utilizar bien el transportador, bien el compás.

Básicamente hay dos tipos de transportador: semicircular y circular. El circular es más cómodo ya quepodemos medir ángulos mayores de 180º sin modificar su posición. Pueden venir divididos en 360º(sexagesimal) o en 400g (centesimal). Los ángulos suelen ir representados en sentido contrario a lasagujas del reloj, aunque pueden tener una segunda escala en sentido de las agujas del reloj; esto aveces provoca confusiones a la hora de “leer” el ángulo.

Transportador semicircular.

El centro está en el bordedel transportador.

Transportador circular.

Centro poco preciso.Centros bien definidos.

MUY IMPORTANTE: independientemente de la forma que tenga, es imprescindible que eltransportador lleve clara, precisa e inequívocamente marcado el CENTRO. Puede venir marcado conuna cruz, un círculo, una raya, combinaciones de estas cosas, etc.

Para medir un ángulo correctamente es necesario hacer dos cosas :1. Hacer coincidir el del ángulo con el del transportador.2. Hacer coincidir el del ángulo con el del transportador.

simultáneamentevértice centrolado origen 0º

En esta posición tomamos la lectura del lado final del ángulo, que será la medida del ángulo. Paraevitar errores al tomar la lectura, es preferible contar las divisiones en lugar de mirar directamente lacifra en el transportador.

VVLADO ORIGEN LADO ORIGEN

LADO

FINAL

0º

41º

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MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO (continuación)Si cualquiera de las dos cosas, vértice o lado origen, no coinciden, la medida estará mal.

Finalmente, es muy importante para hacer una lectura correcta que los lados del ángulonunca queden por dentro o debajo.

sobrepasen elborde exterior del transportador,

V

V

V V

V V

V

VLADO ORIGEN LADO ORIGEN

LADO

FINAL

LADO

FINAL

0º

0º

¿37º? ¿44º?

SÍ NO

NONO

Vértice mal colocado. Lado origen mal colocado.

TRASLACIÓN DE UN ÁNGULO CON EL TRANSPORTADORDibujar un ángulo con una medida concreta o trasladar una medida de un ángulo a otro es la mismaoperación. Supongamos que queremos trasladar un ángulo de 58º:

Dibujamos el lado origen del ángulo,marcando claramente el vértice.

Buscamos contando la medidacorrespondiente y marcamos con ellápiz.

Hacemos coincidir centro y 0º convértice y lado origen respectivamente.

Unimos la marca con el vértice,trazando el lado final del ángulo.

58º

58º

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MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO (continuación)

TRASLACIÓN DE UN ÁNGULO MAYOR DE 180ºSi el ángulo a trasladar es mayor de 180º y disponemos de un transportador circular, se realizaexactamente igual que cualquier otro ángulo.

Si el transportador es semicircular, no podremos hacer la traslación directamente, sino que habrá quehacer una operación previa. Supongamos que debemos trasladar un ángulo de 285º:

Podemos hacerlo igualmente restando el ángulo pedido a 360º, y marcando el ángulo resultante desdeel el lado origen, pero en sentido contrario:

Dibujamos un ángulo de 180º,marcando claramente el vértice.

Restamos 285º a 360º:

Colocamos el transportador por laparte inferior y marcamos el ánguloque nos dio la diferencia.

Al ángulo pedido, 285º, le restamos180º.

Marcamos el ángulo desde el ladoorigen, pero hacia abajo, en sentidocontrario al ejercicio anterior.

Unimos la marca con el vértice,trazando el lado final del ángulo, yseñalando con un pequeño arco elángulo total.

V

V

V V

V

V

105º

75º

285º

285º

285º - 180º = 105º

360º - 285º = 75º

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Si el ángulo a trasladar es cercano a 180º, para evitar errores de dibujo es mejor dividirlo en dos partesmás o menos iguales y trasladar los dos ángulos, uno a continuación del otro.

Dividimos el ángulo en dos y trazamosun arco, obteniendo ahora tres puntos:

y .

V

1, 2 3

Con la medida de y centro en eldel obtenemos el

1-2 V 1W, 2.

Con la medida del ángulo y centroen el punto de , trazamos un arcoobteniendo el . Unimos con paradibujar el lado final.

2-3 V2 W

3 W 3


TRANSPORTE DE UN ÁNGULO CON ELCOMPÁSEs la forma más precisa para trasladar un ángulo; no se necesita saber su medida. Supongamos que nosdan un ángulo original de vértice V y tenemos que hacer otro igual, de vértice W.

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Sobre el ángulo original dibujamos un arco concentro en y radio cualquiera. Obtenemos lospuntos y

V1 2.

Tomamos la distancia con el compás en elángulo original

1-2V.

Sobre el lado origen del nuevo ángulo, convértice en , trazamosun arco al anterior, obteniendo el punto

W y sin mover el compásigual 1.

Con la medida , hacemos centro en el puntodel ángulo y cortamos con el arco

obteniendo el punto

1-21 W

2.

Uniendo el punto con el construimos el ladofinal del ángulo, que será igual al

1 2V.

En realidad estamos “inventando” un triánguloisósceles en , que luego construimos en , yaque conocemos los tres lados.

V W

V

V

V W

W

W

W

V W W

1

1 1

1 1 1

1 1 1

1

2

2 2

22 2

2 2 2

3

3

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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES (Aplicación del teorema de Tales).Tales de Mileto fue un matemático griego que vivió en el siglo VI antes de Cristo. Enunció dos teoremas,el más conocido tiene que ver con la semejanza de triángulos y se verá en otro apartado. Pero de esteteorema extraemos una aplicación útil e importante, que es cómo dividir cualquier segmento en elnúmero de partes iguales que se desee.

El problema es dividir el segmento en cierto número de partes iguales. En el ejemplo lo vamos adividir en siete partes iguales, es decir, N=7. No es necesario saber la medida de AB, pero necesitamosregla, escuadra y cartabón.

AB N

Para evitar errores de dibujo es convenienteque el ángulo con el que trazamos elsegundo segmento no sea ni muy pequeño nimuy grande, aproximadamente unos 45º.

Si el número de partes a dividir es muy alto,por ejemplo 20, no podemos utilizarcentímetros. Utilizamos otra medida, porejemplo 5 mm. Lo importante es que seaniguales entre sí.


Supongamos que es el segmento a dividir.AB

Unimos el punto con el extremo del segmento.7 B

Ángulo demasiado grande: error de dibujo

Ángulo demasiado pequeño: error de dibujo

Todas iguales, n

o

lamedida

importa

A partir del extremo trazamos otro segmento quemida 7 cm y marcamos cada una de las partes en dichosegmento, esto es, una marca cada centímetro.

A

Trazamos paralelas a la dirección , pasando por lasdivisiones 6, 5, 4... El segmento AB queda así divididotambién en 7 partes.

B7

A A

A

A

A

1

1

1

1

2

2

20

2

3

3 3

4

4 4

5

5 5

6

6 6

7

7 7

B B

B

B

B

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