taller de poliedros. udi 3º ciclo...

Taller de poliedros. UDI 3º ciclo Primaria

………………………………………………………………………………………………………………………………………… Juan García Moreno /// http://www.didactmaticprimaria.com/

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Identificación de la Unidad Didáctica Integrada:

“TALLER DE POLIEDROS” Descripción:

Se trata de una unidad didáctica integrada basada en el área de matemática(*) y organizada en torno a 5 tareas relevantes:

Conocer y valorar la diversidad de formas geométricas y el uso que éstas tienen en diversos ámbitos de la actividad humana: en el diseño de envases de todo tipo, en la arquitectura, en el diseño artístico…

Observar, diferenciar, construir y analizar diferentes modelos de poliedros básicos como base para obtener clasificaciones de los mismos valorando el potencial de la clasificación como procedimiento para poner orden en el universo de los cuerpos geométricos y, en particular, en el universo de los poliedros.

Conocer y utilizar diferentes procedimientos (truncamiento, fraccionamiento composición / descomposición…) que permiten obtener nuevos poliedros a partir de otros conocidos.

Descubrir las posibilidades creativas de la composición y descomposición de poliedros y su utilidad en el diseño de objetos cotidianos.

Aplicar la percepción espacial y el razonamiento espacial para resolver diferentes problemas geométricos de determinación y obtención de poliedros a partir de la descripción de ciertas caracterícticas métricas así como del análisis de su composición/descomposición en otros poliedros más elementales.

Nivel_Ciclo_Etapa: 3º ciclo de Educación Primaria. Duración: 20 horas, aproximadamente. Temporalización: A lo largo de un trimestre. Observaciones: Se ha tenido cuenta lo establecido en la Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía. (*) Aunque esta UDI está basada en el Área de Matemáticas, integra algunas actividades,

criterios de evaluación e indicadores correspondientes al Área de Artística.



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I.- Diseño Curricular /OBJETIVOS

OBJETIVOS DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS (De los 8 objetivos del área, esta UDI incide en mayor o menor medida en estos cinco)

O.MAT.1.

Plantear y resolver de manera individual o en grupo problemas extraídos de la

vida cotidiana, de otras ciencias o de las propias matemáticas, eligiendo y

utilizando diferentes estrategias, justificando el proceso de resolución,

interpretando resultados y aplicándolos a nuevas situaciones para poder actuar

de manera más eficiente en el medio social.

O.MAT.2.

Emplear el conocimiento matemático para comprender, valorar y reproducir

informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana, en un

ambiente creativo, de investigación y proyectos cooperativos y reconocer su

carácter instrumental para otros campos de conocimiento.

O.MAT.5.

Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural y analizar sus

características y propiedades, utilizando los datos obtenidos para describir la

realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

O.MAT.7.

Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y

reconocer el valor de la exploración de distintas alternativas, la conveniencia

de la precisión, la perseverancia en la búsqueda de soluciones y la posibilidad

de aportar nuestros propios criterios y razonamientos.

O.MAT.8.

Utilizar los medios tecnológicos, en todo el proceso de aprendizaje, tanto en el

cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones

diversas; buscando, analizando y seleccionando información y elaborando

documentos propios con exposiciones argumentativas de los mismos.

I.- Diseño Curricular /CONTENIDOS

Contenidos 3º ciclo sobre los que se incide Bloque 1: “Procesos, métodos y actitudes matemáticas”

1.8. Planteamiento de pequeñas investigaciones en contextos numéricos, geométricos y funcionales, valorando su utilidad en las predicciones.

1.9. Elaboración de informes, detallando el proceso de investigación realizado desde experiencias cercanas, aportando detalles de las fases, valorando resultados y conclusiones, realizando exposiciones en grupo.

1.11. Desarrollo de actitudes básicas para el trabajo matemático: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad, estrategias personales de autocorrección y espíritu de superación, confianza en las propias posibilidades, iniciativa personal, curiosidad y disposición positiva a la reflexión sobre las decisiones tomadas y a la crítica razonada, planteamiento de preguntas y búsqueda de la mejor respuesta, aplicando lo aprendido en otras situaciones y en distintos contextos, interés por la participación activa y responsable en el trabajo cooperativo en equipo.



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1.12. Reflexión sobre procesos, decisiones y resultados, capacidad de poner en práctica lo aprendido en situaciones similares, confianza en las propias capacidades para afrontar las dificultades y superar bloqueos e inseguridades.

1.13. Utilización de herramientas y medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para

obtener, analizar y seleccionar información, realizar cálculos numéricos, resolver problemas y presentar resultados, desarrollar proyectos matemáticos, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos dentro del grupo. Integración de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en el proceso de aprendizaje matemático.

Bloque 3: “Medidas” 3.1. Unidades del Sistema Métrico Decimal de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.

3.5. Estimación de longitudes, capacidades, masas, superficies y volúmenes de objetos y espacios conocidos.

3.6. Realización de mediciones.

3.7. Desarrollo de estrategias para medir figuras de manera exacta y aproximada.

3.10. Comparación y ordenación de medidas de una misma magnitud.

3.11. Comparación de superficies de figuras planas por superposición, descomposición y medición.

Bloque 4: “Geometría” 4.1. La situación en el plano y en el espacio.

4.3. Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice…

4.7. Figuras planas: elementos, relaciones y clasificación.

4.8. Concavidad y convexidad de figuras planas.

4.9. Identificación y denominación de polígonos atendiendo al número de lados.

4.10. Perímetro y área. Cálculo de perímetros y áreas.

4.13. Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y descomposición.

4.14. Cuerpos geométricos: elementos, relaciones y clasificación. Poliedros. Elementos básicos: vértices, caras y aristas. Tipos de poliedros.

4.16. Regularidades y simetrías: reconocimiento de regularidades.

4.17. Reconocimiento de simetrías en figuras y objetos.

4.19. Introducción a la semejanza: ampliaciones y reducciones.

4.20. Utilización de instrumentos de dibujo y programas informáticos para la construcción y exploración de formas geométricas.

4.21. Interés por la precisión en la descripción y representación de formas geométricas.

4.22. Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones de incertidumbre relacionadas con la organización y utilización del espacio.

4.23. Confianza en las propias posibilidades para utilizar las construcciones geométricas, los objetos y las relaciones espaciales para resolver problemas en situaciones reales.

4.24. Interés por la presentación clara y ordenada de los trabajos geométricos.



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I.- Diseño Curricular /CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Criterios de Evaluación del 3º Ciclo (De los 15 Criterios de Evaluación para el 3º ciclo de Primaria, se incide en los que a continuación

se relacionan) C.E.3.1. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuado para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas.

C.E.3.2. Resolver y formular investigaciones matemáticas y proyectos de trabajos referidos a números, cálculos, medidas, geometría y tratamiento de la información aplicando el método científico, utilizando diferentes estrategias, colaborando activamente en equipo y comunicando oralmente y por escrito el proceso desarrollado. Elaborar informes detallando el proceso de investigación, valorando resultados y conclusiones, utilizando medios tecnológicos para la búsqueda de información, registro de datos y elaboración de documentos en el proceso. C.E.3.3. Desarrollar actitudes personales inherentes al quehacer matemático, planteando la resolución de retos y problemas con precisión, esmero e interés. Reflexionar sobre los procesos, decisiones tomadas y resultados obtenidos, transfiriendo lo aprendiendo a situaciones similares, superando los bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. C.E.3.7. Seleccionar instrumentos y unidades de medida usuales para realizar mediciones, haciendo previamente estimaciones y expresando con precisión medidas de longitud, superficie, peso, masa, capacidad, volumen y tiempo en contextos reales, explicando el proceso seguido oralmente y por escrito. C.E.3.10. Interpretar, describir y elaborar representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). C.E.3.11. Conocer, describir sus elementos básicos, clasificar según diversos criterios y reproducir las figuras planas: cuadrado, rectángulo, romboide, triángulo, trapecio, rombo y círculo, relacionándolas con elementos del contexto real. C.E.3.12. Conocer los poliedros, prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas y sus elementos básicos, aplicando el conocimiento de sus características para la clasificación de cuerpos geométricos. C.E.3.13. Comprender el método de cálculo del perímetro y el área de paralelogramos, triángulos, trapecios y rombos. Calcular el perímetro y el área de estas figuras planas en situaciones de la vida cotidiana.

II.-Transposición Didáctica/ ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Dada la práctica imposibilidad de relacionar en un formato como éste cada tarea/actividad con su metodología, recursos y temporalización, he decidido hacerlo por partes.

Las tareas de esta UDI inciden directamente en el bloque 4. Se ha tenido especialmente en cuenta las orientaciones metodológicas sobre la enseñanza-aprendizaje de la Geometría.

(En la siguiente tabla el texto en negro, y cursiva, corresponde literalmente al texto de la orientaciones metodológicas recogidas en la orden citada mientras que en verde oscuro se recogen las matizaciones, al respecto, realizadas por el autor. De esta manera se hace patente la planificación lo riguroso de la planificación)

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Bloque 4. “Geometría”.

El alumnado aprenderá sobre formas y estructuras geométricas. La geometría se centra sobre todo en la clasificación, descripción y análisis de relaciones y propiedades de las figuras en el plano y en el espacio. El aprendizaje de la geometría debe ofrecer continuas oportunidades para conectar a niños y niñas con su entorno y para construir, dibujar, hacer modelos, medir o clasificar de acuerdo con criterios previamente elegidos.



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Para el estudio de la geometría es conveniente conjugar la experimentación a través de la manipulación con las posibilidades que ofrece el uso de la tecnología. Es recomendable el uso de materiales manipulables: geoplanos, mecanos, puzles, libros de espejos, materiales para formar poliedros, etc., así como la incorporación de programas de geometría dinámica para construir, investigar y deducir propiedades geométricas. En este sentido, se potenciará el uso

del taller y/o laboratorio de matemáticas. La Geometría recoge los contenidos relacionados con la orientación y representación espacial, la localización, la descripción y el conocimiento de objetos en el espacio; así como el estudio de formas planas y tridimensionales.

En esta UDI se incide de manera especial en el paso del plano al espacio

3D, y viceversa, centrándose en la clasificación de cuerpos geométricos

,primero, y en la de poliedros después, como procedimiento más

potente e imprescindible para poner orden en el universo de los

cuerpos geométricos.

Los/as alumnos/as tendrán la ocasión de comprobar razonadamente que un

mismo poliedro puede pertenecer a diferentes clases según el criterio de

clasificación adoptado (Así, por ejemplo, un tetraedro regular es un

poliedro regular, una pirámide triangular regular y recta, un deltaedro,

etc.). La clasificación, eje vertebrador de esta UDI, permitirá generar

descripciones analíticas entendidas como descripciones de grupos de

objetos (cuerpos geométricos) que varían a lo largo de una o varias

dimensiones o cualidades así como hacer definiciones y descripciones

muy precisas de las diferencias y similitudes entre los miembros de una

misma clase…

Para ello se hace un uso continuo del razonamiento analógico

(descubrimiento de relaciones) que implica procesos como la observación

sistemática, el análisis o comparación de cualidades o variables, la

descripción y análisis de relaciones y propiedades de figuras en el plano y

el espacio. Como conocimientos previos, que se refuerzan a lo largo de la

UDI, se requiere el reconocimiento e identificación de las principales clases

de polígonos.

Metodológicamente, esta UDI toma la forma de “taller”. Se conjuga la

experimentación a través de la manipulación con las posibilidades que

ofrece el uso de la tecnología. Se utilizan con profusión materiales para

formar poliedros así como la incorporación de programas interactivos de

geometría dinámica para construir, investigar y deducir propiedades

geométricas.

Las tareas propuestas son concebidas como situaciones problemáticas,

de experimentación e investigación para las cuales se utiliza como

“andamiaje” recursos manipulativos e informáticos.

La geometría es describir, analizar propiedades, clasificar y razonar, y no sólo definir. El aprendizaje de la geometría requiere pensar y hacer, y debe

ofrecer continuas oportunidades para clasificar de acuerdo a criterios libremente elegidos, construir, dibujar, modelizar, medir, desarrollando la capacidad para visualizar relaciones geométricas.



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En esta UDI se incide plenamente en estos procedimientos específicos

de la Geometría (construir, dibujar, modelizar, medir, describir…). Mi

dilatada experiencia me lleva a asegurar que dichos procedimientos

presentan un gran atractivo para los/as alumnas y facilitan enormemente

la motivación y la implicación personal.

El entorno cotidiano es una fuente de estudio de diversas situaciones físicas reales que evitan el nivel de abstracción de muchos conceptos geométricos, trabajando sus elementos, propiedades, etc. La geometría se presta a establecer relaciones constantes con el resto de los bloques y con otros ámbitos como el mundo del arte o de la ciencia, pero también asignando un papel relevante a los aspectos manipulativos, a través del uso de diversos materiales (geoplanos y mecanos, tramas de puntos, libros de espejos, material para formar poliedros, etc.) y de la actividad personal realizando plegados, construcciones, etc. para llegar al concepto a través de modelos reales. A este mismo fin puede contribuir el uso de programas informáticos de geometría. Educar a través del entorno facilitará la observación y búsqueda de elementos susceptibles de estudio geométrico, de los que se establecerán clasificaciones, determinarán características, deducirán analogías y diferencias con otros objetos y figuras. La geometría debe servir para establecer relaciones con otros ámbitos como la naturaleza, el arte, la arquitectura o el diseño, de manera que el alumnado sea capaz de comenzar a reconocer su presencia y valorar su importancia en nuestra historia y en nuestra cultura. Concretamente, la presencia de mosaicos y frisos en distintos monumentos permitirá descubrir e investigar la geometría de las transformaciones para explorar las características de las reflexiones (en primer ciclo), giros y traslaciones (a partir del segundo ciclo). El reconocimiento, representación y clasificación de figuras y cuerpos geométricos se debe abordar a través de la observación y de la manipulación física o virtual. El estudio de formas algo más complejas debe abordarse a través del proceso de descomposición en figuras elementales, fomentando el sentido estético y el gusto por el orden.

En las tareas iniciales, de introducción y contextualización, se propone el

descubrimiento y la discusión colectiva sobre las especiales relaciones que

guardan los cuerpos geométricos con el diseño, la construcción, el arte,

la ciencia…

Todos los objetos que nos rodean presentan formas geométricas

tridimensionales susceptibles de ser relacionadas con las clases de cuerpos

geométricos básicas. No obstante, una vez constatado esto, la UDI propone

enfocarse en el estudio de los poliedros básicos, como formas puras más

idóneas para el estudio de relaciones y la clasisficación.

El aprendizaje de competencias requiere, además, metodologías activas y contextualizadas. Aquellas que faciliten la participación e

implicación del alumnado y la adquisición y uso de conocimientos en situaciones reales, serán las que generen aprendizajes más transferibles y duraderos. Las metodologías activas han de apoyarse en estructuras de aprendizaje cooperativo, de forma que, a través de la resolución conjunta de las tareas, los miembros del grupo conozcan las estrategias utilizadas por sus compañeros y puedan aplicarlas a situaciones similares. Para un proceso de enseñanza aprendizaje competencial las estrategias interactivas son las más adecuadas, al permitir compartir y construir el conocimiento y dinamizar la sesión de clase

mediante el intercambio verbal y colectivo de ideas. Las metodologías que

contextualizan el aprendizaje y permiten el trabajo por proyectos, los

centros de interés, el estudio de casos o el aprendizaje basado en



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problemas favorecen la participación activa, la experimentación y un aprendizaje

funcional que va a facilitar el desarrollo de las competencias, así como la motivación de los alumnos y alumnas al contribuir decisivamente a la transferibilidad de los aprendizajes.

Conseguir ambientes de aula creativos y realizar investigaciones

(numéricas, geométricas, etc.) y proyectos, en los que los elementos relevantes

son el tratamiento de información, la aplicación y aprendizaje de nuevos conocimientos matemáticos de forma cooperativa, constituyen actividades matemáticas de primer orden.

Las tareas propuestas en esta UDI son eminentemente creativas y

constructivas y su secuencia se ha diseñado para conducir a los/as alumnas

a través de una verdadera experiencia de investigación.

Se contempla el aprendizaje cooperativo. Se han utilizado diferentes

logotipos para distinguir las tareas individuales, grupales y colectivas que

favorezcan la asimilación individual de aprendizajes a través del

intercambio verbal y colectivo de argumentos, ideas y procedimientos

relacionados con el “saber hacer”. Se posibilita continuamente que los/as

alumnos/as aporten sus propios criterios y razonamientos.

El estudio a través de la resolución de problemas fomenta la autonomía e

iniciativa personal, promueve la perseverancia en la búsqueda de alternativas de trabajo y contribuye a la flexibilidad para modificar puntos de vista, además de fomentar la lectura comprensiva, la organización de la información, el diseño de un plan de trabajo y su puesta en práctica, así como la interpretación y análisis de resultados en el contexto en el que se ha planteado y la habilidad para comunicar con eficacia los procesos y resultados seguidos. Tanto en el estudio de situaciones problemáticas como, en general, en todo proceso de construcción del aprendizaje matemático deberán utilizarse como recursos habituales juegos matemáticos y materiales manipulativos e informáticos. En este

sentido, se potenciará el uso del taller y/o laboratorio de matemáticas.

Metodológicamente, esta UDI toma la forma de “taller”. Las tareas

propuestas son concebidas como situaciones problemáticas, de

experimentación e investigación para las cuales se utiliza como

“andamiaje” recursos manipulativos e informáticos.

La UDI cuenta con un gran número de imágenes estáticas que se han

cuidado especialmente para que sirvan como modelos para el desarrollo

de la percepción espacial y favorezcan la visualización de relaciones

geométricas.

Las imágenes estáticas se complementan con los modelos manipulativos

cuya construcción se propone. Cabe destacar que entre los modelos

manipulativos que se ofrecen, el juego de polígonos regulares de igual lado

permite ser utilizado para la creación de un gran número de nuevos

modelos más complejos. Esta construcción puede ser más o menos guiada

dependiendo de la complejidad del modelo. En unos casos la construcción

del modelo sirve para el análisis de relaciones y en otros casos la

determinación de las características del modelo y su posterior construcción

es la situación problemática propuesta.

Además del dinamismo aportado por la realización de modelos

manipulativos en cartulina, se enlaza a un buen número de aplicaciones

geométricas interactivas que permitirán visualizar poliedros con rotación



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espacial y variar fácilmente determinadas variables o parámetros que son

esenciales para el proceso de clasificación (troncal en esta UDI).

Los estudiantes de esta etapa educativa deben pasar de situaciones problemáticas concretas y sencillas, al principio en los dos primeros ciclos, relacionadas con el entorno inmediato, a situaciones algo más complejas, en el último ciclo, para facilitar la adquisición del pensamiento abstracto.

Se parte del contexto cotidiano para adentrarnos en un contexto de la

propia matemática. Dado el carácter eminentemente visual, manipulativo

e interactivo de las tareas propuestas, se facilita enormemente la

captación de ideas que serían muy abstracta y poco apropiadas para el

tercer ciclo de Primaria de realizarse de otra manera.

Especial interés tienen los problemas aplicados a la estimación y medida de magnitudes, en los que la elección adecuada de las unidades, la aproximación del resultado y la estimación del error tienen especial importancia. Los problemas aritméticos escolares no deben ser entendidos como un instrumento de comprobación del manejo de las operaciones elementales sino como un recurso fundamental para la comprensión de los conceptos de suma, resta, multiplicación y división. El alumno o la alumna sabrá sumar cuando se sea capaz de resolver una situación problemática en la que la suma sea la operación que deba usarse. Los problemas aritméticos se graduarán pasando de situaciones que se resuelven en una etapa a aquellas de dos o tres etapas.

En esta UDI, por lo general, se utilizan unidades no convencionales para la

cuantificación de magnitudes geométricas (longitudes, superficies y

volúmenes) en contextos de comparación de poliedros complejos con otros

más sencillo y como expresión de relaciones métricas entre los mismos. Se

manejan y se comparan visual y razonadamente diferentes longitudes de

aristas, superficies totales e incluso volúmenes de poliedros para favorecer

juicios estimativos.

No se busca la generalización de las regularidades cuantitativas y su

expresión algebraica (fórmulas) en relación con las magnitudes

geométricas. Sí, en cambio, en relación con los elementos característicos

de los poliedros (número de caras, de vértices y de aristas) proponiendo

estrategias específicas para su correcta cuantificación y el conocimiento de

la famosa relación de Euler (C + V = A + 2) como forma de comprobar,

también, si la cuantificación ha sido bien realizada.

Además, los conocimientos geométricos deben relacionarse con la resolución de problemas a través de planteamientos que requieran la construcción de modelos o situaciones susceptibles de ser representadas a través de figuras o formas geométricas.

Como ya se ha señalado anteriormente, la UDI cuenta con un gran número

de imágenes estáticas que se han cuidado especialmente para que sirvan

como modelos para el desarrollo de la percepción espacial y favorezcan la

visualización de relaciones geométricas. También propone la realización de

modelos manipulativos sobre los que se apoya o en los que se concreta el

razonamiento espacial. Los modelos que incluye la UDI como recurso o

material didáctico permitirán ser utilizados:

o Como plantillas para realizar otros muchos modelos mediante

dibujado. Así, por ejemplo, cortando triángulos de una malla

triangular equilátera podemos ensayar desarrollos planos de

deltaedros.

o Como material para hacer medidas directas e indirectas (de



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longitudes, áreas, volúmenes, ángulos planos y diedros,…). Así,

por ejemplo, la realización y manipulación del cubopuzle “tres

pirámides idénticas forman forman un cubo” permite relacionar

el volumen de la pirámide con el del cubo.

o Como materiales para el descubrimiento de conceptos (“La suma

de los ángulos planos que concurren en un determinado vértice de

un poliedro ha de ser menor que 360º”,”“Todos los poliedros

convexos pueden apoyarse sobre una superficie plana por cada una

de sus caras”,

o Como material para mostrar aplicaciones (poliedros en el diseño

de objetos, construcciones,…)

o Como material generador de interesantes situaciones

problemáticas.

o Como material para demostraciones y comprobaciones

(“Comprobar que en cualquier poliedro convexo se cumple la

relación de Euler: C + V= A + 2)

La observación y manipulación de formas y relaciones en el plano y en el espacio presentes en la vida cotidiana (juegos, hogar, colegio, etc.) y en nuestro patrimonio cultural, artístico y natural servirán para desarrollar las capacidades geométricas, siguiendo el modelo de Van Hiele para el reconocimiento de formas, propiedades y relaciones geométricas, invirtiendo el proceso que parte de las definiciones y fórmulas para determinar otras características o elementos.

De los 5 niveles de pensamiento que contempla el modelo de Van Hiele (Nivel 0 : Visualización o Reconocimiento // Nivel 1 : Análisis // Nivel 2 : Ordenación o clasificación // Nivel 3 : Deducción Formal // Nivel 4 : Rigor ) teniendo en cuenta que el nivel 4 se considera inalcanzable para alumnos preuniversitarios – ya que implicaría poder trabajar la geometría con total ausencia de objetos geométricos concretos- y que el nivel 3 no se corresponde con la naturaleza del pensamiento de alumnos/as de tercer ciclo de Primaria, las tareas propuestas en esta UDI se presentan como una secuencia que facilite el paso del nivel 0 (Visualización global sin diferenciar características o propiedades) al nivel 1 (percepción de propiedades y descripción a partir de estas propiedades) y de éste al nivel 2 (descripción de objetos y figuras de manera formal que toman como base la comprensión de significados y definiciones así como el reconocimiento de que unas propiedades derivan de otras. Establecen relaciones entre propiedades y sus consecuencias…)

El cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas debe iniciarse por medio de descomposiciones, desarrollos, etc. para finalmente obtener las fórmulas correspondientes. El proceso de obtención de la medida es lo que dará significado a esas fórmulas.

Se incide en el cálculo de áreas totales de ortoedros a partir de desarrollos planos así como en la comparación de volúmenes haciendo uso de descomposiciones geométricas.



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II.-Transposición Didáctica/ TAREAS_ACTIVIDADES_DURACIÓN_INDICADORES

Lo fundamental de la transposición didáctica (descripción detallada de tareas, actividades y ejercicios; indicación de recursos y tipo de agrupamiento para cada para cada tarea/actividad) se incorpora de

manera ordenada y estructurada en el “Cuaderno de tareas, actividades y recursos” de la UDI.

Para completar esa información, se acompaña el siguiente listado de tareas/actividades con indicación de

tiempos de referencia asignados a cada una de ellas así como su relación con los INDICADORES CORRESPONDIENTES A LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN del grado de adquisición de las Competencias

Básicas (3º ciclo de Primaria)

En Andalucía, permanecen los estándares de etapa fijados a nivel nacional y aparecen en cada ciclo los

indicadores, como concreción y secuenciación de los estándares de aprendizaje evaluables…

(En esta UDI he incluido los indicadores sin hacerlos corresponder con las actividades sino con las tareas, dado que son muchos las actividades propuestas. No obstante, hay indicadores que se repiten en diferentes tareas, lo cual muestra que se trata de indicadores especialmente relevantes. ) Otro motivo por el que presento los indicadores por tareas es la constatación de una dificultad añadida: una determinada actividad puede incidir en parte de un indicador y no en su totalidad como ocurre con bastantes de los aquí utilizados. Esto es así si nos ceñimos estrictamente a los indicadores que vienen dados en la Orden. Si las tareas apuntaran siempre a la totalidad de lo descrito en los indicadores, al pie de la letra se vería mermada la libertad y la creatividad en el diseño de actividades a la vez que se favorecería la homogeneidad de las propuestas realizadas en UDIs similares de diferentes autores.)

TAREAS ACTIVIDADES /EJERCICIOS INDICADORES

T1. (2h aprox.)

Conocer y valorar la diversidad de formas geométricas y el uso que éstas tienen en diversos ámbitos de la actividad humana: en el diseño de envases de todo tipo, en la arquitectura, en el diseño artístico…

T1/ACT.1.- Visualizar alguna/as imágenes de un tetrapak y comentarla/s. T1/ACT.2.- Utilizar las TIC para buscar imágenes de envases observándolas desde el punto de vista de la variedad de formas geométricas utilizadas. T1/ACT.3.- Utilizar las TIC para buscar imágenes de poliedros en la arquitectura y el diseño artístico observándolas desde el punto de vista de la variedad de formas geométricas utilizadas. T1/ACT.4.- Valoración colectiva mediante apreciaciones individuales y libres sobre las imágenes visualizadas. T1/ACT.5.- Visualización, en Youtube, de un video artístico musical en el que se utilizan los cuerpos geométricos básicos para representar figuras humanas danzando. T1/ACT.6.- Dado el desarrollo plano en cartulina de un tetrapak, recortarlo y plegarlo sin apenas marcar las aristas y con las pestañas de pegado por fuera. T1/ACT.7.- Decorar de manera libre el tetrapak realizado teniendo en cuenta que debe simular ser el envase de un determinado producto del que debe dar alguna información.

CD.2.1. Hace algunas búsquedas en línea a través de motores de búsqueda. (CD, CCL, CMCT, CSYC) EA.3.10.1 Identifica conceptos geométricos de la realidad que les rodea, los relaciona y los aplica al área de matemáticas. (CMAT).



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T2. (11 h aprox)

Observar, diferenciar, construir y analizar diferentes modelos de poliedros básicos como base para obtener clasificaciones de los mismos valorando el potencial de la clasificación como procedimiento para poner orden en el universo de los cuerpos geométricos y, en particular, en el universo de los poliedros.

T2/ACT.1.- (20 min) Descubrir, de manera visual, la diferencia fundamental que permite distinguir entre poliedros y no poliedros. T2/ACT.1.- (10 min) Valorar, entre varias, la definición de poliedro más exacta. T2/ACT.3.- (20 min) Inferir las características esenciales de los ortoedros a partir de la observación de imágenes estáticas de diferentes ortoedros (y sus desarrollos planos) y de la valoración de diferentes afirmaciones sobre los mismos. T2/ACT.4.- (30 min) Determinar, mediante la realización de su desarrollo plano sobre papel cuadriculado, el tetraedro – o caja- que encierra un determinado volumen dado. T2/ACT.5.- (30 min) Determinar, mediante el análisis de su desarrollo plano sobre papel cuadriculado, el tetraedro – o caja- que tiene una superficie total dada y/o un volumen dado y expresar algebraicamente el procedimiento de cálculo de áreas y volúmenes. T2/ACT.6.- (15 min) Asociar imágenes de ortoedros con la de sus correspondientes desarrollos planos. T2/ACT.7.- (30 min) Inferir las características comunes de todos los prismas así como las que permiten distinguir entre diferentes clases de prismas a partir de la observación de imágenes estáticas de diferentes prismas y de la valoración de diferentes afirmaciones sobre los mismos. T2/ACT.8.- (15 min) Describir el procedimiento para obtener el desarrollo de un prisma a partir de un prisma sólido. T2/ACT.9.- (15 min) Distinguir entre las configuraciones poligonales planas (mismos polígonos en diferentes posiciones y orientaciones) que son desarrollos válidos y no válidos para un prisma dado. T2/ACT.10.- (15 min) Inferir las características esenciales de las pirámides a partir de la observación de imágenes estáticas de diferentes pirámides. T2/ACT.11.- (30 min) A partir del análisis de imágenes sobre desarrollos planos de poliedros inferir regularidades geométricas sobre las pirámides que pueden construirse. T2/ACT.12.- (40 min) Utilizar un cuadrado y 4 triángulos equiláteros para obtener y dibujar diferentes desarrollos planos alternativos de una pirámide cuadrada diferenciar desarrollos válidos de no válidos. T2/ACT.13.- (120 min) Utilización de las TICs para la visualización de modelos dinámicos de poliedros (ortoedros, Clases de poliedros, Poliedros regulares, Poliedros arquimedianos, 3D_poliedros,

MAT.3.1.2. Valora las diferentes estrategias y persevera en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. (CMCT, CAA, SIEP). MAT.3.2.2. Resuelve y formula investigaciones matemáticas y proyectos de trabajos referidos a números, cálculos, medidas, geometría y tratamiento de la información aplicando el método científico, utilizando diferentes estrategias, colaborando activamente en equipo y comunicando oralmente y por escrito el proceso desarrollado. (CMCT, CAA, SIEP). MAT.3.2.2. Elabora informes detallando el proceso de investigación, valorando resultados y conclusiones, utilizando medios tecnológicos para la búsqueda de información, registro de datos y elaboración de documentos en el proceso. (CMCT, CAA, SIEP). MAT.3.3.1. Desarrolla actitudes personales inherentes al quehacer matemático, planteando la resolución de retos y problemas con precisión, esmero e interés. (CMCT, SIEP). MAT.3.3.2. Reflexiona sobre los procesos, decisiones tomadas y resultados obtenidos, transfiriendo lo aprendiendo a situaciones similares futuras, superando los bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. (CMCT, CAA, CSYC, SIEP). Los test en forma de tabla tienen este objetivo MAT.3.7.1. Efectúa estimaciones previas a medidas de longitud, superficie, peso, masa, capacidad, volumen y tiempo en contextos reales, explicando el proceso seguido oralmente y por escrito. (CMCT, CCL).



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Desarrollos planos, Secciones, etc…). T2/ACT.14.- (10 min) A partir de la comparación de dos imágenes estáticas (prisma hexagonal regular y antiprisma hexagonal regular) y de preguntas guiadas, inferir analogías y diferencias entre ambas clases de poliedros. T2/ACT.15.- (30 min) Clasificar poliedros (simples y composiciones de éstos) a partir de una lámina conteniendo una colección de 16 poliedros numerados pertenecientes a diferentes clases y dadas las etiquetas o nombres de las clases (PRISMAS, PIRÁMIDES, BIPIRÁMIDES, TRONCOS DE PIRÁMIDE, ANTIPRISMAS, PRISMA+PIRÁMIDE, PRISMA+2_PIRÁMIDES, ANTIPRISMA+PIRÁMIDE y ANTIPRISMA+2_PIRÁMIDES.) T2/ACT.16.- (40 min) Cuantificar de manera estratégica los elementos de los poliedros regulares (caras, vértices y aristas) a partir de láminas conteniendo diferentes imágenes que ilustran la transición del desarrollo plano al poliedro 3D para cada uno de sólidos platónicos. T2/ACT.17.- (90 min) Construcción colectiva de una colección de deltaedros, en cartulina, a partir de material manipulable facilitado. T2/ACT.18.- (90 min) Construcción colectiva de una colección de poliedros arquimedianos, en cartulina, a partir de material manipulable facilitado.

MAT.3.10.1. Interpreta y describe representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). (CMCT, CCL). MAT.3.10.2. Elabora representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). (CMCT, SIEP). MAT.3.11.1. Conoce y describe las figuras planas: cuadrado, rectángulo, romboide, triángulo, trapecio, rombo y círculo relacionándolas con elementos del contexto real. (CMCT, CCL, CEC). Hace un uso continuo del conocimiento de las figuras planas (polígonos regulares) para poder describir y cuantificar los elementos de un poliedro. MAT.3.12.1. Conoce los poliedros, prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas, sus elementos y características. (CMCT). De una manera profunda, significativa y relacional… MAT.3.12.2. Clasifica los poliedros, prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas según sus elementos y características. (CMCT). MAT.3.13.2. Calcula el perímetro y el área de paralelogramos, triángulos, trapecios y rombos en situaciones de la vida cotidiana. (CMCT). EA. 3.1.1. Distingue y clasifica las diferencias fundamentales entre las imágenes fijas y en movimiento siguiendo unas pautas establecidas. (CD, CEC).

T3/ACT.1.- ( 30 min) Realizar un cubo puzle a partir de dos prismas semicubos. Utilizar dicho modelo dinámico para realizar medidas indirectas de longitudes de

VSC.3.2.1. Participa activamente en los trabajos de equipo, generando confianza en los demás y realizando una autoevaluación



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(Las actividades de esta tarea se han ido insertando

en el “Cuaderno de tareas, actividades y recursos “intercaladas con

las de la tarea T2)

T3. (4,5 h aprox.)

Conocer y utilizar diferentes procedimientos (truncamiento, fraccionamiento composición / descomposición…) que permiten obtener nuevos poliedros a partir de otros conocidos.

aristas. T3/ACT.2.- (45 min) Realizar un cubopuzle dinámico utilizando 5 tetraedros : tetraedro regular + 4 tetraedros esquina de cubo (= 1/8 de octaedro regular) dados los desarrollos planos de ambos modelos de pirámide triangular. T3/ACT.3.- (45 min) Realizar el cubopuzle dinámico “seis pirámides forman un cubo” utilizando 6 pirámides cuadradas rectas idénticas dado el desarrollo plano de una pirámide. T3/ACT.4.- (30 min) Realizar el cubopuzle dinámico “tres pirámides forman un cubo” utilizando 3 pirámides cuadradas oblicuas idénticas dado el desarrollo plano de una de estas pirámide. T3/ACT.5.- (20 min) Test ( V / F) de 20 items para favorecer el análisis de los cubopuzles realizados y afianzar aprendizajes que se infieren de la construcción, manipulación y razonamiento con los modelos anteriormente construidos. T3/ACT.6.- (15 min) A partir del análisis de imágenes que ilustran cortes dados a una pirámide, describir el procedimiento para obtener troncos de pirámide. T3/ACT.7.- (15 min) A partir de imágenes que representan diferentes desarrollos planos de un tronco de pirámide hexagonal, asociar pares de lados del desarrollo que conforman una misma arista del poliedro. T3/ACT.8.- (15 min) Test (V/F) para favorecer el análisis de las características de los troncos de pirámide y afianzar aprendizajes. T3/ACT.9.- (1 h) Construcción (a partir de los desarrollos de los dos tipos de poliedros que intervienen) de un modelo dinámico (tetraedropuzle) que materialice el procedimiento más común para obtener poliedros arquimedianos a partir de los poliedros regulares: el truncamiento. T3/ACT.10.- (20 min) Análisis del tetraedropuzle dinámico (tetraedro truncado + 4 tetraedros regulares) construido atendiendo a su composición/descomposición y a las relaciones métricas entre los poliedros utilizados.

responsable de la ejecución de las tareas y valorando el esfuerzo individual y colectivo para la consecución de los objetivos (CSYC, SIEP, CAA). MAT.3.2.2. Resuelve y formula investigaciones matemáticas y proyectos de trabajos referidos a números, cálculos, medidas, geometría y tratamiento de la información aplicando el método científico, utilizando diferentes estrategias, colaborando activamente en equipo y comunicando oralmente y por escrito el proceso desarrollado. (CMCT, CAA, SIEP). MAT.3.3.1. Desarrolla actitudes personales inherentes al quehacer matemático, planteando la resolución de retos y problemas con precisión, esmero e interés. (CMCT, SIEP). MAT.3.10.1. Interpreta y describe representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). (CMCT, CCL).

T4/ACT.1.- (15 min) Dada una colección de poliedros policúbicos, determinar el número de cubitos que forman cada poliedro así como su concavidad/convexidad. T4/ACT.2.- (15 min) Dada una colección de poliedros policúbicos, a partir de la captación de relaciones de reunión entre los mismos, describir el procedimiento de obtención de un poliedro policúbico de la colección.

EA.3.10.1 Identifica conceptos geométricos de la realidad que les rodea, los relaciona y los aplica al área de matemáticas. (CMAT). MAT.3.2.2. Elabora informes detallando el proceso de investigación, valorando resultados y conclusiones,



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T4. (1,5 h aprox. )

Descubrir las posibilidades creativas de la composición y descomposición de poliedros y su utilidad en el diseño de objetos cotidianos.

T4/ACT.3.- (10 min) Analizar algunos poliedros figurativos formados con cubos y semicubos y relacionarlos con los correspondientes diseños planos ( con cuadrados y escuadras) a partir de los cuales se obtienen por levantamiento o extrusión. T4/ACT.4.- (10 min) Describir las características básicas de cada uno de los cuatro poliedros que forman un juego de construcción mediante el ensamblado de poliedros uniendo caras cuadradas coincidentes. T4/ACT.5.- (10 min) Describir un prisma hexagonal regular que muestra su composición a partir del ensamblado de 12 prismas triangulares regulares. T4/ACT.6.- (10 min) Describir un prisma triangular regular que muestra su composición a partir del ensamblado de 8 prismas triangulares regulares. T4/ACT.7.- (5 min) Comentar un diseño de embalaje comercial (6 prismas triangulares regulares unidos formando un prisma hexagonal regular) T4/ACT.8.- (5 min) Comentar un diseño de embalaje comercial para dispensar pañuelos (casita formada por ortoedro + prisma triangular) T4/ACT.9.- (10 min) Comentar un diseño de embalaje comercial para dispensar pañuelos (flor a partir de una pirámide hexagonal)

utilizando medios tecnológicos para la búsqueda de información, registro de datos y elaboración de documentos en el proceso. (CMCT, CAA, SIEP).

MAT.3.10.1. Interpreta y describe representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). (CMCT, CCL).

T5.(2 h aprox.)

Aplicar la percepción espacial y el razonamiento espacial para resolver diferentes problemas geométricos de determinación y obtención de poliedros a partir de la descripción de ciertas características métricas así como del análisis de su composición/descomposición en otros poliedros más elementales.

T5/ACT.1.- (10 min) Comparar y expresar algebraicamente las áreas totales de dos prismas triangulares regulares de caras laterales cuadradas uno a doble escala lineal que el otro. T5/ACT.2.- (3 min) Expresar el volumen, en cubitos unitarios, de un poliedro en forma de estrella de seis puntas compuesta por un cubo y 6 pirámides 1/3 de cubo. T5/ACT.3.- (5 min) Descubrir la descomposición de un poliedro en forma de cruz tridimensional y describirlo. T5/ACT.4.- (15 min) A partir de una imagen que reproduce las estructuras del tetraedro regular y del icosaedro regular formadas con un juego magnético, determinar el número de barritas magnéticas y de esferas uitilizadas en su realización. T5/ACT.5.- (20 min) Analizar las imágenes del corte dado a un tetraedro regular para dividirlo en dos poliedros congruentes y hacer un croquis del desarrollo de un semitetraedro. T5/ACT.6.- (15 min) Expresar algebraicamente el volumen de una serie de pirámides del mismo tipo, a diferente escala, a partir de la

MAT.3.2.2. Resuelve y formula investigaciones matemáticas y proyectos de trabajos referidos a números, cálculos, medidas, geometría y tratamiento de la información aplicando el método científico, utilizando diferentes estrategias, colaborando activamente en equipo y comunicando oralmente y por escrito el proceso desarrollado. (CMCT, CAA, SIEP). MAT.3.3.2. Reflexiona sobre los procesos, decisiones tomadas y resultados obtenidos, transfiriendo lo aprendiendo a situaciones similares futuras, superando los bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. (CMCT, CAA, CSYC, SIEP). MAT.3.7.1. Efectúa estimaciones previas a medidas de longitud, superficie, peso, masa, capacidad, volumen y tiempo en contextos reales, explicando el proceso seguido oralmente y por escrito. (CMCT, CCL).



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composición/descomposición de las mismas. T5/ACT.7.- (10 min) Descubrir la composición/descomposición de dos pirámides sexto de cubo a diferente escala formadas con cubos y pirámides tercios de cubo. T5/ACT.8.- (20 min) Para cada uno de cuatro casos propuestos, descubrir la composición / descomposición de un poliedro B y expresar su volumen en relación con el de otro poliedro A más sencillo que interviene en la composición de B. T5/ACT.9.- (20 min) A partir de una secuencia de imágenes que ilustran el truncamiento de un cubo, describir las características del cubo truncado resultante y realizar un croquis de su desarrollo plano.

MAT.3.10.2. Elabora representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). (CMCT, SIEP).

III.-Valoración de los aprendizajes/

Dada la variedad y cantidad de indicadores manejados, se hace necesario priorizar, en la valoración de los aprendizajes, aquellos que se ajustan a un mayor número de tareas. Por otra parte, dada la naturaleza de las tareas y actividades propuestas, se valorará de manera especial:

La calidad de los informes (incluyendo la precisión y corrección de las respuestas

dadas en la numerosas tablas utilizadas en el “Cuaderno de tareas, actividades y recursos” de esta UDI). De esta manera, el cuaderno de tareas permite valorar en

cualquier momento el grado en que un alumno/a “interpreta y describe representaciones espaciales de la vida cotidiana utilizando las nociones geométricas aprendidas”, o el grado en que “elabora informes detallando el proceso de investigación, valorando resultados y conclusiones, utilizando medios tecnológicos para la búsqueda de información, registro de datos y elaboración de documentos en el proceso”

La calidad de las representaciones planas (desarrollos) y espaciales realizados con ayuda del material manipulable, que son producciones físicas y tangibles de los/as alumnos/as permitirán valorar “la elaboración de representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas…”

La actitud, interés, precisión y esmero en el quehacer matemático pueden valorarse a partir de la observación directa, autoevaluación y entrevista grupal. Además queda reflejada en las producciones realizadas de manera prescrita en la UDI así como en la demanda de la realización de otras actividades no prescritas.

La valoración de los aprendizajes siempre tiene cierto grado de subjetividad y la mayor parte de los indicadores deben ser valorados cualitativamente más que cuantitativamente. Una dificultad añadida es que una determinada actividad puede incidir en parte de un indicador y no en su totalidad como ocurre con bastantes de los aquí utilizados. Esto es así si nos ceñimos estrictamente a los indicadores que vienen dados en la Orden. Si tuviéramos que ceñirnos al pie de la letra a estos indicadores, se vería más limitada la libertad y la creatividad en el diseño de actividades a la vez que se favorecería la homogeneidad de las propuestas realizadas en UDIs similares de diferentes autores. Ello hace que la observación directa de la interpretación personal del indicador (en diferentes grados) sea uno de los principales instrumentos de valoración.



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Rúbrica de indicadores

(Se incluyen aquí, a modo de ejemplo, los indicadores más relevantes. )

Una forma de hacer la rúbrica de indicadores sería hacer una tabla listando los indicadores sobre los

que se incide y, para cada uno de ellos, una escala con 4 ó 5 grados…

Instrumentos de evaluación

MAT.3.3.1. (***) Desarrolla actitudes personales inherentes al quehacer matemático, planteando la resolución de retos y problemas con precisión, esmero e interés. (CMCT, SIEP).

Observación directa, mediante una escala con varios grados.

Autoevaluación.

Entrevista para valoración del trabajo grupal.

Escala de valoración de las producciones individuales.

MAT.3.1.2. (***) Valora las diferentes estrategias y persevera en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. (CMCT, CAA, SIEP).

Observación directa, mediante una escala con varios grados

Entrevista para valoración del trabajo grupal.

“Cuaderno de tareas, actividades y recursos” de esta UDI.

EA.3.10.1(***) Identifica conceptos geométricos de la realidad que les rodea, los relaciona y los aplica al área de matemáticas. (CMAT).

Observación directa, mediante una escala con varios grados

MAT.3.10.1. (***) Interpreta y describe representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). (CMCT, CCL).


MAT.3.10.2. (***) Elabora representaciones espaciales de la vida cotidiana (croquis, planos, maquetas…) utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo, perpendicularidad, escala, simetría, perímetro y superficie). (CMCT, SIEP).

o Valoración de las representaciones realizadas (desarrollos planos, poliedros, croquis,..)

o “Cuaderno de tareas, actividades y

recursos” de esta UDI. MAT.3.2.2. (***) Elabora informes detallando el proceso de investigación, valorando resultados y conclusiones, utilizando medios tecnológicos para la búsqueda de información, registro de datos y elaboración de documentos en el proceso. (CMCT, CAA, SIEP).


MAT.3.3.2. Reflexiona sobre los procesos, decisiones tomadas y resultados obtenidos, transfiriendo lo aprendiendo a situaciones similares futuras, superando los bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. (CMCT, CAA, CSYC, SIEP).

“Cuaderno de tareas, actividades y recursos” de esta UDI. (El grado de reflexión sobre los procesos y la transferencia de aprendizajes a situaciones nuevas queda muy bien plasmado en las respuestas dadas en las numerosas tablas que se incluyen en el cuaderno de tareas de esta UDI con la intención de favorecer los procesos de reflexión y transferencia)



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Presentación/descripción del material manipulable.

1.- Juego de polígonos regulares de igual lado (triángulo equilátero, cuadrado,

pentágono regular y hexágono regular) (Para fotocopiar sobre cartulina o papel, recortar y unir)

que puede ser utilizado como material polivalente para la realización de modelos de desarrollos planos de poliedros.



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23

2.- Desarrollo plano de un tetra

pak (tetraedro no regular). (Pueden dejarse las pestañas unidas por fuera y no acentuar el plegado de las aristas (dejándolas curvadas) para que se parezca más a un envase.



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3.- Desarrollos planos de tetraedros de dos tipos (ambos pueden ser considerados

pirámides triangulares regulares y rectas) para el cubopuzle “5 tetraedros forman un cubo”.

B

A



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4.- Desarrollo plano de una de las seis pirámides (cuadrada y recta) para el cubopuzle

“6 pirámides forman un cubo”.



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5.- Desarrollo plano de una de las tres pirámides (cuadrada y oblicua) para el

cubopuzle “3 pirámides forman un cubo”.



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6.- Desarrollos plano de los dos prismas triangulares idénticos para el cubopuzle “2

prismas forman un cubo”.



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7.- Desarrollos planos de cubo (A), semicubo (C), pirámide 1/3 de cubo (D) y prisma

triangular de caras laterales cuadradas (B). (Todas las caras cuadradas son del mismo tamaño)



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8.- Cuadrícula con cuadrados de 1cm x 1cm.



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Enlaces

En la web didactmaticprimaria puedes encontrar diferentes aplicaciones para

visualizar de manera interactiva diferentes clases de poliedros : Ortoedros, Clases de

poliedros, Poliedros regulares, Poliedros arquimedianos, 3D_poliedros, Desarrollos

planos, Secciones, etc…

Matemáticas visuales.

Papel Models of Polyhedra

Modelos de papel de poliedros

Algunos videos interesantes en Youtube: o 3d geometric shapes dance ballets o Making 3-D Shapes

http://www.didactmaticprimaria.com/

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/ortoedrosb.swf

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/clasespoliedros.swf


http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/poliplatonicos.swf

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/euler.swf

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/3dpoliedros.swf

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/desarrollos1.swf


http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/secciones.swf

http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/geometria.html

http://www.esquemat.es/esquemats/poliedros-1366051919.pdf

http://www.korthalsaltes.com/es/

https://www.youtube.com/watch?v=m3ZgD58kiTI

https://www.youtube.com/watch?v=Z4lnuO7KDys



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Tarea introductoria:

Fuente: http://www.catalogodiseno.com/wp-content/uploads/2014/10/tetra-pak-portada-200x120.jpg T1/ACT.1.-

Comenzemos con una curiosidad histórica. En el año 1952 se diseñó por primera vez un tetra pak, es decir, un envase para leche en forma de tetraedro. Quizá hayas visto algún envase con esa forma, aunque con tamaño diferente, para envasar algún tipo de bebida (refresco, zumo, horchata…), crema,

azúcar…

□ T1/ACT.2.- Busca en internet imágenes sobre envases (Packaging, por ejemplo, en Google) y

observa la importancia de los cuerpos geométricos, de las formas tridimensionales, en el diseño de envases de todo tipo de productos.

□ T1/ACT.3, 4 y 5.- También puedes buscar y descubrir la presencia de cuerpos geométricos

básicos en la arquitectura (arquitectura poliedros) y en el diseño artístico (poliedros y arte).

Busca en Youtube y visualiza el vídeo “3d geometric shapes dance ballets”

Comenta con tus compañeros aquello que más te llama la atención en relación con el diseño. Habrás observado que muchos de los objetos que nos rodean (edificios, muebles, envases,

juguetes, adornos, etc.) tienen formas geométricas que resultan especialmente bellas y

armoniosas porque presentan determinadas regularidades que otros cuerpos no presentan. Una

piedra cualquiera, por ejemplo, no tiene forma geométrica puesto que no presenta ninguna

regularidad especial que nos ayude a describirla.

□ T1/ACT.6 y 7.-

Para que comiences a familiarizarte con el extraordinario universo de los poliedros, te propongo que recortes y construyas un tetra pak de mayor tamaño que el de la

izquierda. (Ver material manipulable para el alumno nº 2). (Puedes dejar las pestañas de pegado por fuera si lo deseas) Decóralo como si fuese el envase de un determinado producto teniendo en cuenta que debe dar alguna información sobre el mismo. Observa que este “envase” se puede considerar formado por dos rombos idénticos unidos por uno de sus lados y que cada rombo se dobla formando dos triángulos isósceles idénticos… Se trata del poliedro más sencillo de todos los que se pueden construir y tiene 4 caras. Existen infinidad de cuerpos geométricos diferentes, muchos más de los que podamos imaginar y,

por supuesto, muchos más que personas pueblan nuestro planeta. ¿Cómo podemos conocer un

poco mejor el fascinante universo de los cuerpos geométricos? ¿Cómo poner un poco de orden en

el mismo para que además de fascinante no nos resulte caótico?

Mediante LA CLASIFICACIÓN.

https://www.google.es/search?q=packaging&espv=2&biw=1680&bih=925&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=COM7VZDBBMv9UOSvgOAD&ved=0CCAQsAQ#imgrc=_

https://www.google.es/search?q=arquitectura+poliedros&espv=2&biw=1680&bih=881&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=2CFFVafMB4vkUp_7gIgI&ved=0CCAQsAQ

https://www.google.es/search?q=dise%C3%B1o+geometrico&espv=2&biw=1680&bih=881&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=UiJFVcvLKYTfU7uugKgI&ved=0CCAQsAQ#tbm=isch&q=poliedros+y+arte



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OTROS POLIEDROS

CUERPOS GEOMÉTRICOS. CLASES

□ T2/ACT.1.- ¿Sabrías clasificar algunos de los cuerpos geométricos que aparecen en la

figura con arreglo al esquema que se presenta a continuación?

POLIEDROS

PRISMAS PIRÁMIDES POLIEDROS REGULARES

OTROS POLIEDROS

NO POLIEDROS CUERPOS REDONDOS OTROS



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□ T2/ACT.2.- ¿Qué diferencia fundamental encuentras entre los cuerpos geométricos que

son poliedros y los que no lo son?

□ Sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta. Márcala.

1 Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por caras planas o curvas

que son polígonos.

2 Los poliedros son formas geométricas tridimensionales limitadas por caras planas o

por superficies curvas.

3

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por caras planas que son polígonos.

4

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por caras planas que son polígonos del mismo número de lados.

Una de las clases más sencillas de poliedros son los ORTOEDROS, o cajas. Tienen caras rectangulares paralelas dos a dos: la de arriba paralela a la de abajo, la cara lateral izquierda paralela a la cara lateral derecha y la cara delantera paralela a la cara trasera.

□ ¿Qué forma tienen la mayoría de las cajas más

corrientes cuando están cerradas?



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□ T2/ACT.3.- Observa las imágenes anteriores y responde. Coloca V (verdadero) o F (falso)

en cada una de las diez siguientes afirmaciones sobre los ortoedros. (Debes tener en cuenta

que todos los cuadrados son rectángulos pero no todos los rectángulos son cuadrados)

1 Todos los ortoedros tienen 6 caras, 8 vértices y 12 aristas.

2 Todos los ortoedros tienen 6 caras, 6 vértices y 8 aristas.

3 Todas las caras de los ortoedros son rectangulares.

4 Todas las caras de los ortoedros son cuadradas.

5 Los cubos son ortoedros.

6 En cada arista de un ortoedro contactan dos caras que son perpendiculares entre sí.

7 Las caras paralelas de un ortoedro son rectángulos idénticos (misma forma y tamaño)

8 En cada vértice de un ortoedro coinciden 4 aristas

9 Un ortoedro se puede apoyar sobre una superficie plana por cada una de sus seis

caras.

10 Los cubos no son ortoedros.

Observa cómo se han apilado

ordenadamente cubos del mismo tamaño para formar un ortoedro policúbico que tiene exactamente 4 x 5 x 3 = 60 cubitos.

□ De estas tres cajas abiertas (o desarrollos planos de un ortoedro) hay una que no

serviría para guardar y esconder correctamente el ortoedro policúbico anterior. ¿Cuál es? Rodéala.



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Seguro que has utilizado alguna vez las regletas de Cuisenaire o números de color. El número 1 es un cubito de 1 centímetro de arista. Cada cara tiene una superficie de 1 centímetro cuadrado. El número 2 es el ortoedro resultante de juntar dos números uno…

Las regletas de Cuisenaire tienen estas

longitudes:

Regleta Blanca = 1 cm.

Regleta Roja = 2 cm.

Regleta Verde claro = 3 cm.

Regleta Carmín = 4 cm.

Regleta Amarilla = 5 cm.

Regleta Verde Oscuro = 6 cm.

Regleta Negra = 7 cm.

Regleta Café = 8 cm.

Regleta Azul = 9 cm.

Regleta Naranja = 10 cm.

Observa los ortoedros A, B, C y D realizados con las regletas. Cada uno de ellos es una construcción diferente del número 36 (= 36 regletas blancas o 36 centímetros cúbicos…)

□ T2/ACT.4.- Actividad grupal.

Utilizad la cuadrícula con cuadraditos de 1 centímetro de lado para dibujar el

desarrollo plano de las cajas que sirven para guardar con exactitud cada uno de los ortoedros anteriores.

□ Éste sería el desarrollo para la caja que sirve para

guardar el ortoedro C formado con las regletas rosas o carmín. Observa que, sin contar las pestañas para pegado, tiene caras de 9 y de 12 centímetros cuadrados de superficie. ¿Cuál sería la expresión algebraica correcta de su SUPERFICIE TOTAL? (De las siguientes hay dos expresiones que son correctas. Márcalas)

1 4 x 9 + 2 x 12

2 2 x 9 + 4 x 12

3 2 x 3 x 3 + 4 x 4 x 3

http://www.didactmaticprimaria.com/2015/01/regletas-de-cuisenaire-version-digital.html



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□ T2/ACT.5.- Completa ahora la tabla correspondiente a los ortoedros A, B, C y D

construidos con regletas de la actividad grupal:

Ortoedro Expresión algebraica de su

SUPERFICIE TOTAL

SUPERFICIE TOTAL expresada en centímetros

cuadrados

VOLUMEN expresado en

centímetros cúbicos

A

B

C 2 x 3 x 3 + 4 x 4 x 3 18 + 48 = 66 cm2 3 x 3 x 4 = 36 cm3

D

Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones sobre los ortoedros A,B,C y D realizados en grupo.

1 Los ortoedros A, B, C y D tienen el mismo volumen. V

2 Los ortoedros A, B, C y D tienen la misma superficie total.

3 El ortoedro A es el que mayor superficie total tiene.

4 Los ortoedros C y D son idénticos porque en cada vértice coinciden dos aristas de 3

cm y una arista de 4cm.

5 En cada uno de los seis vértices del ortoedro A coinciden dos aristas de 3 cm y una

arista de 9 cm.

6 En cada uno de los seis vértices del ortoedro B coinciden una arista de 2 cm , otra de

3 cm y otra de 6 cm.

7 El volumen de un ortoedro se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas

que coinciden en cada vértice.

8 El volumen de un ortoedro se calcula sumando las longitudes de las tres aristas que

coinciden en cada vértice.

Ahora que ya has trabajado con el ortoedro como si fuera una caja y entiendes su desarrollo plano, seguro que no te resultará difícil realizar la siguiente actividad.



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□ T2/ACT.6.- Asocia, uniendo con flechas, cada ortoedro con su desarrollo plano:



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Los ortoedros pertenecen a una clase más amplia de poliedros: LOS PRISMAS.

Todos los poliedros que se muestran en la imagen son prismas. Comprueba mentalmente que todos los prismas se pueden colocar de manera que la cara de apoyo sobre una superficie plana y la cara de arriba sean exactamente polígonos idénticos y paralelos. Esas dos caras reciben el nombre de bases. El resto de las caras, llamadas caras laterales, son siempre rectángulos (en los prismas rectos) o paralelogramos (en los prismas oblicuos).

Hay prismas triangulares (de bases triangulares), prismas cuadrangulares (las bases son cuadriláteros), prismas pentagonales, hexagonales, etc… según el tipo de polígonos que sean sus bases. Todos los prismas de la imagen anterior son convexos, pero hay también prismas cóncavos, como el de la imagen de la izquierda. ¿Puede apoyarse un prisma convexo sobre una superficie plana por cada una de sus caras?

¿Puede apoyarse un prisma cóncavo sobre una superficie plana por cada una de sus caras?

Puedes imaginar la formación de un prisma por levantamiento (o extrusión) de una de sus bases. Dicho de otra manera, puedes imaginártelo como la superposición de infinitos polígonos idénticos y paralelos a los polígonos que forman las bases. Es como si estuviera formado por infinitas capas. Cada capa o sección es un polígono idéntico al de la base.

Los prismas de arriba son prismas rectos y

los dos de la izquierda prismas oblicuos.

Las caras laterales de los prismas rectos son

rectángulos. En cambio, las caras laterales

de los prismas oblicuos son…

PARALELOGRAMOS.



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Prisma hexagonal y su desarrollo cinta

adhesiva

□ T2/ACT.7.- Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las diez siguientes

afirmaciones sobre los prismas.

1 Todos los prismas tienen 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. F

2 Todas las caras de los prismas son rectangulares.

3 Un prisma triangular tiene 9 aristas, 6 vértices y 5 caras.

4 En cada vértice de un prisma cualquiera coinciden tres aristas.

5 Los cubos son ortoedros y los ortoedros son prismas.

6 En cada arista de un prisma recto contactan dos caras que son perpendiculares entre

sí.

7 Las caras laterales de un prisma pentagonal tienen forma de pentágono.

8 Las dos bases de un prisma pentagonal tienen forma de pentágono.

9 Un prisma cóncavo puede apoyarse sobre una superficie plana por cada una de sus

caras.

10 Un prisma hexagonal tiene 12 vértices.

Existen diferentes procedimientos para obtener desarrollos planos de poliedros (prismas en este caso). Podemos unir polígonos de cartulina de colores con cinta adhesiva transparente de manera que los polígonos sean reutilizables.

□ T2/ACT.8.- Utilizando un prisma de la caja de

cuerpos geométricos de la clase o un objeto cualquiera en forma de prisma, ¿cómo procederíamos para obtener un desarrollo válido del mismo? ¿Cómo podemos obtener diferentes desarrollos con el mismo prisma?



40

Este prisma triangular tiene dos bases que son triángulos equiláteros y tres caras laterales que son cuadrados. Estas caras se pueden distribuir y conectar de diferentes formas para obtener un desarrollo plano válido para el prisma.

□ T2/ACT.9.- De los siguientes desarrollos planos hay dos que no son válidos

para la formación de este prisma. ¿Sabrías identificarlos?

Son desarrollos no válidos para el prisma triangular los correspondientes a las letras…

Puedes utilizar cuadrados y triángulos de cartulina (del juego de polígonos regulares de igual lado) unidos con cinta adhesiva transparente para comprobarlo.



41

□ T3/ACT.1.- Actividad grupal:

Utilizad el material manipulable 6 para realizar uno o varios cubopuzles formados por dos prismas triangulares idénticos. Cada uno de ellos es un semicubo.

Si llamamos a a la longitud de una arista del cubo y d a la longitud de la diagonal de una cara

del cubo, ¿cuáles serían las medidas de los segmentos coloreados de rojo en el desarrollo plano de la imagen de arriba? (Coloca las letras correspondientes al lado de cada segmento)

¿Son todas las caras laterales del semicubo cuadrados? F

¿Son todas las caras laterales del semicubo rectángulos?

¿Son las bases del semicubo triángulos isósceles?

¿Son las bases del semicubo triángulos rectángulos?

¿Cuántas aristas concurren en cada uno de los seis vértices del semicubo?

¿Tienen todas las aristas del semicubo igual longitud?



42

OTROS POLIEDROS

□ T2/ACT.10.- Todos los poliedros que se muestran en

la imagen son PIRÁMIDES. Comprueba mentalmente

que todas las pirámides se pueden apoyar sobre una

superficie plana de manera que todas las caras visibles

(caras laterales) sean triángulos. La cara de apoyo

recibe el nombre de base y puede ser cualquier

polígono. El vértice superior recibe el nombre de ápice.

Las famosas pirámides de Egipto son pirámides de base cuadrada. La gran pirámide de Keops tenía una altura original de aproximadamente 146 metros y una base cuadrada de aproximadamente 230 metros de lado.

(Fuente: es.wikipedia.org)

□ Actividad grupal:

Para que os familiaricéis con las pirámides os propongo una interesantísima tarea grupal

para la que necesitáis fotocopiar sobre cartulina desarrollos planos de las pirámides que se

ofrecen como material manipulable con los números 3 (“Cinco tetraedros forman un cubo”, 4

(“Seis pirámides forman un cubo”) y 5 (“Tres pirámides forman un cubo”):

T3/ACT.2.- a.-) Con el material manipulable número 3, realizar 5 tetraedros (que son

pirámides triangulares regulares rectas) en cartulina y pegarlos con cinta adhesiva

transparente de tal manera que se pueda formar un cubo.

Observa que el tetraedro A y el B tienen en

común una cara triangular equilátera.

Es conveniente formar primero el tetraedro A,

que es un tetraedro regular. Luego hay que

hacer coincidir la cara triangular equilátera

de cada uno de los tetraedros B con una cara

triangular equilátera del tetraedro A.

Los 4 tetraedros B son los únicos que se ven

cuando se forma el cubopuzle, guardando en

su interior al tetraedro A.

https://www.google.es/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAYQjB0&url=http%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FPir%25C3%25A1mides_de_Egipto&ei=4NRHVdK1JceOU_XugIgI&bvm=bv.92291466,d.ZGU&psig=AFQjCNHezYTTfCmjebFaDoFAoS-69CoCqg&ust=1430857293873254



43

T3/ACT.3.- b.-) Con el material manipulable número 4, realizar 6 pirámides idénticas (de

base cuadrada) en cartulina y pegarlas con cinta adhesiva transparente de tal manera

que se pueda formar un cubo.

Como puedes observar en la imagen superior izquierda, las seis pirámides cuadradas se colocan para unirlas de manera que las seis caras cuadradas se correspondan con el desarrollo plano de un cubo.

Podréis comprobar que además de un cubo se puede formar un poliedro de 12 caras rómbicas idénticas (dodecaedro rómbico) con un hueco cúbico en su interior. (El volumen del dodecaedro rómbico obtenido es justamente el doble que el del cubopuzle)

T3/ACT.4.- c.-) Con el material manipulable número 5, realizar 3 pirámides idénticas (de

base cuadrada) en cartulina y pegarlas con cinta adhesiva transparente de tal manera

que se pueda formar un cubo.



44

TEORÍA

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles.

Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.

Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos

equiláteros.

Lee con atención la información textual y gráfica anterior antes de realizar la siguiente

actividad.



45

□ T3/ACT.5.- Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las veinte siguientes

afirmaciones sobre las pirámides utilizadas para la realización de los tres cubopuzles anteriores.

1 La pirámide que tiene 4 caras triangulares equiláteras recibe el nombre de tetraedro

regular. V

2 El tetraedro regular es una pirámide triangular regular recta y convexa.

3 El tetraedro regular es una pirámide triangular regular oblícua.

4 Las caras laterales de la pirámide 1/6 de cubo son triángulos equiláteros.

5 Las caras laterales de la pirámide 1/6 de cubo son triángulos isósceles y por eso es

una pirámide recta.

6 Las caras laterales de la pirámide 1/3 de cubo son triángulos no todos isósceles y por

eso es una pirámide oblícua.

7 Cuando formamos un cubo con seis pirámides cuadradas idénticas, el ápice de

cada una de ellas coincide con el centro del cubo.

8 Cuando formamos un cubo con tres pirámides cuadradas idénticas, el ápice de

cada una de ellas coincide con el centro del cubo.

9 Todas las caras laterales de la pirámide 1/3 de cubo son idénticas entre sí (misma

forma y tamaño)

10 Las aristas de una pirámide 1/6 de cubo o miden igual que la arista del cubo o

miden igual que la mitad de la diagonal principal del cubo.

11 La pirámide 1/3 de tiene una única arista de longitud igual a la diagonal principal

del cubo.

12 Las caras laterales de una pirámide 1/6 de cubo son triángulos rectángulos.

13 Las caras laterales de una pirámide 1/3 de cubo son triángulos rectángulos.

14 Las caras laterales de una pirámide 1/6 de cubo son triángulos isósceles.

15 Las caras laterales de una pirámide 1/3 de cubo son triángulos isósceles.

16 Cuando se forma un cubo con 6 pirámides, de cada una de ellas sólo se ve una cara

cuadrada (1/6 de la superficie total del cubo)

17 Cuando se forma un cubo con 3 pirámides, cada una de ellas aporta 1/3 del área

exterior del cubo.

18 Para un mismo cubo, la pirámide 1/6 tendrá el doble de volumen que la pirámide

1/3.

19 Para un mismo cubo, la pirámide 1/3 tendrá el doble de volumen que la pirámide

1/6.

20 Con 12 pirámides 1/6 de cubo se puede construir un dodecaedro rómbico.



46

A

B

C

D

□ T2/ACT.11.- Observa los cuatro desarrollos planos de la imagen de arriba. Completa la tabla:

DESARROLLO SUMA DE LOS ÁNGULOS PLANOS QUE CONCURREN EN EL ÁPICE DE LA

PIRÁMIDE

A 6 X 20º = 120º

B

C

D

Uno de los desarrollos no sirve para construir una pirámide hexagonal regular. ¿Cuál de ellos es?

¿Cuál de los desarrollos anteriores corresponde a la pirámide más alta?

¿Será cierto que la suma de los ángulos que se unen en el ápice o cúspide de una pirámide ha de ser menor que 360º?

¿Cuál de estos desarrollos no sirve para construir una pirámide?

¿Por qué?



47

□ T2/ACT.12.- Utilizando el material

manipulable número1, podéis recortar

cuadrados y triángulos equiláteros del mismo

lado.

Uniéndolos con cinta adhesiva transparente para

que el desarrollo pueda plegarse y desplegarse,

podéis ensayar, comprobar y descubrir que

existen diferentes desarrollos válidos para una

misma pirámide cuadrada y recta.

□ T3/ACT.6.- Observa detenidamente la secuencia presentada en la imagen anterior y

explica cómo puede obtenerse un tronco de pirámide a partir de una pirámide.



48

□ T3/ACT.7 y 8.- La imagen muestra seis desarrollos planos diferentes para un mismo

tronco de pirámide hexagonal. Colocad en los cuadraditos de cada desarrollo los números del 1 al 6 de forma que correspondan números iguales a lados que coincidan en

la misma arista del tronco de pirámide. Luego completad la tabla que sigue con V (verdadero) o F (falso):

Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos y los de un prisma oblicuo son paralelogramos. V

Las caras laterales de una pirámide recta no pueden ser triángulos equiláteros.

Las caras laterales de un tronco de pirámide recta son trapecios.

Una pirámide tiene dos bases.

Un tronco de pirámide tiene dos bases que son el mismo tipo de polígono pero a diferente escala o tamaño.

Si damos un corte a un tronco de pirámide, paralelo a una de sus bases, obtendremos dos troncos de pirámide.

Si damos un corte a una pirámide, paralelo a su base, obtendremos dos troncos de pirámide.



49

□ T2/ACT.13.- Actividad colectiva haciendo uso de la PDI.

Ortoedros, prismas, pirámides y troncos de pirámide son clases de poliedros básicos. También se pueden obtener otros poliedros como composición de dos o más de estos poliedros básicos.

En la web didactmaticprimaria puedes encontrar diferentes aplicaciones para visualizar de

manera interactiva diferentes clases de poliedros : Ortoedros, Clases de poliedros, Poliedros

regulares, Poliedros arquimedianos, 3D_poliedros, Desarrollos planos, Secciones, etc…

□ T2/ACT.14.- Observa detenidamente la imagen anterior poniendo especial atención en las

analogías y diferencias entre ambos poliedros y completa la tabla.

PRISMA HEXAGONAL REGULAR

Número de caras

Número de vértices

Número de aristas

¿Tiene bases idénticas y con la misma orientación espacial?

¿Qué tipo de polígonos son sus caras laterales?

ANTIPRISMA HEXAGONAL REGULAR

Número de caras

Número de vértices

Número de aristas

¿Tiene bases idénticas y con la misma orientación espacial?

¿Qué tipo de polígonos son sus caras laterales?

http://www.didactmaticprimaria.com/

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/ortoedrosb.swf




http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/euler.swf

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/3dpoliedros.swf


http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/geometria/secciones.swf



50

□ T2/ACT.15.- En la siguiente lámina se muestran 16 poliedros transparentes

pertenecientes a las siguientes clases: PRISMAS, PIRÁMIDES, BIPIRÁMIDES, TRONCOS DE

PIRÁMIDE, ANTIPRISMAS, PRISMA+PIRÁMIDE, PRISMA+2_PIRÁMIDES, ANTIPRISMA+PIRÁMIDE y

ANTIPRISMA+2_PIRÁMIDES.

¿Sabrías encontrar los números de los poliedros correspondientes a cada clase?

PRISMAS 3, 12 y TRONCOS DE

PIRÁMIDE

PRISMA + 2 PIRÁMIDES

PIRÁMIDES ANTIPRISMAS ANTIPRISMA +

PIRÁMIDE

BIPIRÁMIDES PRISMA + PIRÁMIDE

ANTIPRISMA + 2 PIRÁMIDES



51

Pero, ¿Sabes cuáles son los poliedros más famosos de todos y por qué?

Son los llamados sólidos platónicos o poliedros regulares. Son poliedros convexos. Todas sus caras son polígonos regulares idénticos entre sí. También son

iguales todos sus ángulos y todas sus aristas. Reciben su nombre en honor al filósofo griego

Platón (ca. 427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado por primera

vez. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos

perfectos, poliedros de Platón o, en base a propiedades geométricas, poliedros regulares

convexos. (Wikipedia)

LOS POLIEDROS REGULARES Y SUS DESARROLLOS PLANOS. (Lee y completa)

□ T2/ACT.16.-

TETRAEDRO REGULAR Es también una pirámide

triangular regular.

4 caras triangulares equiláteras.

¿Vértices?-->

¿Aristas ?-->

HEXAEDRO REGULAR O CUBO.

Es también un prisma de base cuadrada y, por tanto, un

ortoedro.

6 caras cuadradas.

¿Vértices?-->

¿Aristas ?-->

OCTAEDRO REGULAR Puede considerarse como una

bipirámide cuadrada, pues resulta de la unión de dos pirámides de

base cuadrada. Puede considerarse, también, un antiprisma de bases triangulares

equiláteras. (Se corresponde con el poliedro

nº 15 de la lámina anterior)


¿Vértices?-->

¿Aristas ?-->



52

DODECAEDRO REGULAR

12 caras pentagonales regulares.

¿Vértices?-->

¿Aristas ?-->

ICOSAEDRO REGULAR.

Puede considerarse la unión de un antiprisma pentagonal con dos

pirámides pentagonales regulares. (Se corresponde con el poliedro nº 9 de

la lámina anterior)


¿Vértices?-->

¿Aristas ?-->

Contar correctamente el número de aristas y de vértices de un poliedro regular requiere de una estrategia que se basa en la observación y captación de las siguientes regularidades:

El número de aristas del poliedro siempre es la mitad del total de lados que reúnen entre todas las

caras del poliedro ya que, siempre, cada arista es un lado de dos caras diferentes. Así, para el tetraedro,

4 caras triangulares suman un total de 12 lados. Por lo tanto tendrá 12:2=6 aristas.

El número de vértices del poliedro siempre será menor que el total de vértices que reúnen entre todas

las caras del poliedro ya que cada vértice del poliedro es un vértice de 3, 4 ó 5 caras diferentes. Así, para

el tetraedro, 4 caras triangulares suman un total de 12 vértices. Como en cada vértice del tetraedro

concurren 3 vértices de caras se tendrá 12:3=4 vértices.

Puedes comprobar si has calculado bien, o no, el número de vértices y aristas de cada poliedro comprobando, en cada caso, si se cumple la llamada relación de Euler:

Caras + Vértices = Aristas + 2 C + V = A + 2.

Esta relación se cumple para todo poliedro convexo (=que puede apoyarse sobre un plano por cada una de sus caras)



53

¿Crees que se acaban aquí las clases de poliedros? No. Hay muchas más clases. Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes (físico,

ingeniero, inventor, astrónomo y matemático griego - 287 a. C. a 212 a. C.) son un grupo de

poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. La mayoría de

ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos.

(Capturas de pantalla de una aplicación de matematicasVisuales, de Roberto Cardil)

La secuencia de imágenes anterior ilustra el proceso de TRUNCAMIENTO de un tetraedro regular

(que es un sólido platónico) para obtener un poliedro arquimediano con caras que son hexágonos

regulares y triángulos equiláteros: el TETRAEDRO TRUNCADO.

La imagen de la izquierda ilustra cómo se pasa del

desarrollo plano del tetraedro regular al del tetraedro

truncado:

La figura A muestra las cuatro caras triangulares

equiláteras del tetraedro regular.

La figura B ilustra cómo se

obtiene a partir de una cara

triangular equilátera del

tetraedro regular la

correspondiente cara hexagonal

regular del tetraedro truncado.

De ella se desprende que las aristas del tetraedro

truncado tienen una longitud que es 1/3 de longitud

de las aristas del tetraedro regular inicial.

La figura C corresponde al desarrollo plano de un poliedro que presentaría cuatro huecos

triangulares equiláteros. En La figura D se ha completado el desarrollo del tetraedro truncado

añadiendo correctamente los triángulos equiláteros necesarios para rellenar los huecos de la

figura C.

http://www.matematicasvisuales.com/



54

Con el material manipulable nº1 puedes obtener los triángulos equiláteros y hexágonos

regulares que te permiten construir el desarrollo plano plegable y desplegable del tetraedro

truncado así como de otros muchos otros poliedros, arquimedianos o no, que utilicen triángulos

equiláteros, cuadrados, pentágonos regulares y/o hexágonos regulares. También puedes

utilizar los polígonos regulares perfectamente recortados en cartulina como

plantillas para realizar desarrollos planos de numerosos poliedros.

□ T3/ACT.9.- Con el material manipulable nº1 (en cartulina y con cinta adhesiva

transparente) también podríais hacer un tetraedropuzle que permitiera ver

exactamente la relación entre el tetraedro regular y el tetraedro truncado. Sería la unión de 1

tetraedro truncado y de 4 tetraedros regulares…

1 tetraedro truncado

+

4 tetraedros regulares

□ T3/ACT.10.-

¿Cuántas caras tiene el tetraedro truncado?

¿Cuántos vértices tiene el tetraedro truncado?

¿Cuántas aristas tiene el tetraedro truncado?

¿Tienen todas las aristas del tetraedro truncado igual longitud?

¿Cuántos triángulos equiláteros necesitaríais en total? 20

¿Cuántos tetraedros regulares de idéntico tamaño necesitaríais construir?

¿Cuántos tetraedros truncados necesitaríais construir?

¿Cuántos hexágonos regulares necesitaríais utilizar en total? 4

Si el lado de los triángulos equiláteros utilizados midiera 3 centímetros, ¿Cuál sería la arista del tetraedropuzle resultante?

Si tomamos como unidad de área la superficie de uno de los triángulos equiláteros utilizados, ¿cuál sería la superficie total del tetraedro truncado?

Si tomamos como unidad de área la superficie de uno de los triángulos equiláteros utilizados, ¿cuál sería la superficie total del tetraedro regular resultante?



55

1

2

3

4

5

□ T2/ACT.17.- TAREA COLECTIVA Si cada alumno/a de la clase utiliza el material

manipulable número 1, podéis conseguir fácilmente una buena colección, para el aula,

de poliedros relativamente sencillos. Basta con que os pongáis de acuerdo en el reparto

del trabajo (en el poliedro que cada uno va a hacer).

Utilizando sólo triángulos equiláteros (recortándolos uno a uno de la malla triangular o

recortando trozos con más de un triángulo equilátero) obtenemos una familia de poliedros

llamados deltaedros. El nombre tiene su origen en el de la letra griega delta (Δ), cuya grafía

mayúscula recuerda un triángulo equilátero.

Entre estos 5 deltaedros se encuentran 3 poliedros que son regulares o sólidos platónicos.

¿Cuáles son? (Número y nombre)



56

□ T2/ACT.18.- TAREA COLECTIVA Utilizando polígonos regulares de dos o más tipos (material

manipulable número 1) se pueden obtener poliedros arquimedianos como los que siguen: (Cada alumno/a puede realizar un poliedro y aportarlo a la colección de clase)

¿Cuáles son prismas?

¿Cuáles son pirámides?

¿Cuál de ellos es un antiprisma cuadrado?

¿Qué nombre recibe el poliedro número 6?



57

¿Cuáles son poliedros resultantes de la composición de un prisma y una pirámide?

¿Cuál es el poliedro resultante de la composición de un prisma y dos pirámides?

¿Cuál de ellos tiene 8 caras?

¿Cuántas caras (C), vértices (V) y aristas (A) tiene el poliedro número 11?

(Ten en cuenta que tiene 8 caras hexagonales y 6 caras cuadradas)

C V A



58

Actividad grupal:

□ T4/ACT.1.- Podemos obtener una gran cantidad de poliedros diferentes mediante la

composición de poliedros idénticos. Todos los poliedros policúbicos que se muestran en la imagen siguiente se han obtenido por composición de cubos idénticos. (Se pueden formar con un juego de cubos encajables) Suponiendo que no presentan huecos interiores, ¿sabríais completar la tabla?

□ T4/ACT.2.- Haced un informe en el que se describa con precisión cómo podemos obtener el

policubo I con total precisión y de la manera más fácil posible. (El informe es para leerlo en clase de

tal manera que tus compañeros lo entiendan. Debes copiar abajo el informe realizado por el grupo.)

POLIEDRO POLICÚBICO

NÚMERO DE CUBOS QUE LO

FORMAN

¿ES CÓNCAVO O CONVEXO?

POLIEDRO POLICÚBICO

NÚMERO DE CUBOS QUE LO

FORMAN

¿ES CÓNCAVO O CONVEXO?

A F

B 6 Cóncavo G

C H

D I

E J



59

Cualquier diseño plano formado por cuadrados y escuadras (mitades de cuadrado) se puede

convertir fácilmente en tridimensional utilizando cubos y semicubos, como se ilustra en la

imagen siguiente:

□ T4/ACT.3.- Observa, razona y contesta:

La figura plana a partir de la que se ha construido la escultura B tiene un área igual a la de 7,5

cuadrados (se toma el cuadrado de la cuadrícula como unidad de área).

¿Cómo podríamos expresar el volumen de la escultura B?

Las esculturas A y B pueden considerarse prismas. ¿Por qué?

¿Sabrías calcular el volumen de la escultura C teniendo en cuenta que las dos patas del ave son

idénticas?



60

Has visto que componiendo cubos idénticos obtenemos poliedros policúbicos. Componiendo cubos y semicubos con caras cuadradas idénticas podemos realizar auténticas esculturas. Si componemos poliedros básicos de varios tipos que

tengan alguna cara cuadrada y los unimos juntando caras cuadradas idénticas, podemos multiplicar el número de diseños posibles…

□ T4/ACT.4.- Describe cada uno de los cuatro poliedros que aparecen en la imagen anterior,

indicando su nombre (tipo de poliedro que es) así como el número de caras cuadradas que tiene:

Un juego de poliedros sencillos como el anterior (con caras cuadradas coincidentes) lo puedes obtener a partir del material manipulable número 7. Con este juego se pueden realizar interesantes diseños. El inconveniente que presenta es que los diseños requieren la realización de muchos poliedros …Pero se puede realizar algún diseño grupal o colectivo, como los que se muestran en la imagen.

□ T4/ACT.5.- Describe el poliedro de la derecha, teniendo en cuenta

que está formado uniendo poliedros más pequeños idénticos entre sí.

□ T4/ACT.6.- Describe el poliedro de la izquierda teniendo en cuenta

que está formado uniendo poliedros más pequeños idénticos entre sí.



61

Fuente: http://beachpackagingdesign.com/wp-content/uploads/2015/11/PolyhedralAppleSlices.jpg

□ T4/ACT.7.- Observa detenidamente los diseños para envase de

zumo que se muestran en la imagen de la izquierda. Coméntalos en relación con los poliedros que aparecen.

Fuente: http://www.promotissue.es/productos/panuelos-personalizados/cajas-de-panuelos-personalizadas.php

□ T4/ACT.8.- Observa detenidamente los diseños que se

han dado a estos dispensadores de pañuelos. Coméntalos en relación con los poliedros que aparecen.

http://beachpackagingdesign.com/wp-content/uploads/2015/11/PolyhedralAppleSlices.jpg

http://beachpackagingdesign.com/wp-content/uploads/2015/11/PolyhedralAppleSlices.jpg

http://www.promotissue.es/productos/panuelos-personalizados/cajas-de-panuelos-personalizadas.php

http://www.promotissue.es/productos/panuelos-personalizados/cajas-de-panuelos-personalizadas.php



62

La imagen muestra dos prismas triangulares regulares de diferentes dimensiones. Las bases son triángulos equiláteros y las caras laterales son cuadrados. Si llamamos C al área de cada cara cuadrada del prisma pequeño y TE al área del triángulo equilátero que es base del prisma pequeño, podemos codificar algebraicamente el área total del prisma pequeño así:

Área total prisma pequeño = 3 x C + 2 x TE

T5/ACT.1.- ¿Cuál sería la expresión del área total del prisma grande?

¿Cuántos prismas pequeños se han utilizado para formar el prisma grande?

¿Tiene el prisma grande todas sus aristas de igual longitud?

¿Tiene el prisma pequeño todas sus aristas de igual longitud?

¿Crees que es cierto que si duplicamos las aristas del prisma pequeño entonces se cuadruplicará

(4=22) su área?

¿Crees que es cierto que si duplicamos las aristas del prisma pequeño entonces se multiplicará por 8

(8=23) su volumen?

□ T5/ACT.2.-

La estrella de seis puntas de la izquierda está formada por 1 cubo recubierto con 6 pirámides idénticas. Con tres de ellas se forma un cubo (uniéndolas como en la imagen derecha). ¿Cuál será el volumen, expresado en número de cubos, del poliedro con forma de estrella de seis puntas?

□ T5/ACT.3.-¿Cómo está construido el poliedro de la derecha?



63

Actividad grupal:

□ T5/ACT.4.- La imagen de la derecha

muestra a unos niños del segundo ciclo de Primaria realizando la estructura poliédrica del tetraedro regular y del icosaedro regular con dos materiales diferentes: bolas metálicas (esferas) unidas con barritas magnéticas y bolas de plastilina unidas con palillos de dientes (o con bastoncillos higiénicos).

Determinad el número de barritas magnéticas y de bolas metálicas (esferas) que han necesitado para realizar las dos estructuras.

Número de barritas

magnéticas Número de bolas metálicas

TETRAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

TOTAL

Actividad grupal:

□ T5/ACT.5.- La imagen de la derecha muestra

el corte dado a un tetraedro regular para obtener dos semitetraedros congruentes (misma forma y tamaño). Cada semitetraedro se puede construir doblando un hexágono regular por una diagonal y añadiéndole dos triángulos equiláteros y un cuadrado. Podéis formarlo con el material manipulable número1.

Dibujad un croquis del desarrollo plano del semitetraedro regular:



64

Actividad grupal:

□ T5/ACT.6.- La imagen que sigue muestra la composición con cubos, pirámides 1/3 de

cubo y semicubos, de dos pirámides idénticas a la pequeña pero a mayor escala.

Tomando como unidad de volumen el de uno de los cubos utilizados, calculad los volúmenes de las pirámides A y B utilizando la unidad , 1, así como las fracciones 1/2 y 1/3:

Volumen de la pirámide A

( VA )

VA = 1 + 2 x 1/2 + 2 x 1/3 =

Volumen de la pirámide B

( VB )

El volumen de la pirámide A debe ser 1/3 de 8 y el de la pirámide B 1/3 de 27. ¿Por qué?

¿Sabríais adivinar los volúmenes de las dos pirámides (C y D) que siguen la serie formada por A y B? (Ayuda: las pirámide de la serie son tercios de cubos perfectos)

□ T5/ACT.7.-¿Sabríais explicar a vuestros compañeros

de clase la composición de los poliedros A, B y C? (Ayuda: A y B son pirámides 1/6 de cubo; C es un semicubo)



65

Actividad grupal:

□ T5/ACT.8.- Razonad y responded:

¿Cuál es la diferencia de volumen entre los poliedros B y A? (Se toma el volumen de un cubo

como unidad)

El poliedro B se ha obtenido a partir del poliedro A recubriéndolo con pirámides 1/3 de cubo.

¿Sabríais justificar el volumen del poliedro B sabiendo que el volumen del poliedro A es de 8 cubitos?

El poliedro B se ha obtenido a partir del A añadiendo semicubos.

¿Sabríais justificar el volumen del poliedro B sabiendo que el volumen del poliedro A es de 7 cubitos?

El poliedro B se ha obtenido a partir del A (un cubo de 2x2x2 cubitos) añadiendo 4 pirámides 1/3 de cubo por cada cara del cubo.

¿Sabríais justificar el volumen del poliedro B?



66

Actividad grupal:

□ □ T5/ACT.9.- La imagen que sigue muestra varias fases del truncamiento de un cubo

hasta la obtención de un cubo truncado arquimediano (formado por polígonos regulares).

Fuente: http://www.matematicasvisuales.com/

Realizad una descripción del cubo truncado completa que incluya número y tipos de caras, número de vértices y número de aristas, cóncavo o convexo, etc:

Dibujad un croquis de su desarrollo plano y comprobad, buscando en internet, si se ajusta o no a algunos de los desarrollos planos correctos del mismo:

http://www.matematicasvisuales.com/



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Observaciones:

La práctica totalidad de las imágenes que se ofrecen en esta UDI son producciones realizadas por

el autor. En los casos concretos en que esto no es así se cita la fuente. Las imágenes que

muestran poliedros básicos (cubos, semicubos, pirámides 1/3 de cubo y prismas triangulares

regulares con caras cuadradas coincidentes) ensamblados corresponden a construcciones

realizadas con ARQUIMAT , un juego de construcción diseñado por el autor.

La mayor parte de las actividades que se proponen son actividades muy experimentadas, a lo

largo de numerosos años de docencia, por el autor con alumnos/as de estas edades.

La UDI ha de entenderse de manera flexible, como una referencia.

Lebrija (Sevilla) / 24 – 5 - 2015

taller de poliedros. udi 3º ciclo...

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