consignas 8 maestro

MATEMATICAS 2 Página 0

2012-2013

ING. CESAR ARMANDO SANCHEZ

HERNANDEZ

SECUNDARIAS TECNICAS

2012-2013

LIBRO DEL MAESTRO


............................................................................................................................ 6 BLOQUE I

CONTENIDO: 8.1.1 RESOLUCIÓN DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES CON NÚMEROS ENTEROS. ..................................... 7 Construye la ley y aplícala (1/3) ........................................................................................ 7 Aplica la ley y multiplícalos (2/3) ....................................................................................... 8 Es inversa pero resulta (3/3) ............................................................................................. 9

CONTENIDO: 8.1.2 CÁLCULO DE PRODUCTOS Y COCIENTES DE POTENCIAS ENTERAS POSITIVAS DE LA MISMA BASE Y POTENCIAS DE UNA

POTENCIA. SIGNIFICADO DE ELEVAR UN NÚMERO NATURAL A UNA POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO. ............................. 10 Simplificando el producto (1/3) ......................................................................................... 10 Aplica la ley y simplifica (2/3) .......................................................................................... 12 Construye la ley, simplifica e interpreta (3/3) ...................................................................... 13

CONTENIDO: 8.1.3 IDENTIFICACIÓN DE RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN ENTRE DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS

POR UNA TRANSVERSAL. JUSTIFICACIÓN DE LAS RELACIONES ENTRE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE LOS TRIÁNGULOS Y

PARALELOGRAMOS. ................................................................................................................ 16 Entre ángulos y paralelas (1/3) ......................................................................................... 16 Ángulos suplementarios (2/3) ........................................................................................... 18 La relación de ángulos entre paralelas (3/3) ......................................................................... 20

CONTENIDO: 8.1.4 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS DADOS CIERTOS DATOS. ANÁLISIS DE LAS CONDICIONES DE POSIBILIDAD Y

UNICIDAD EN LAS CONSTRUCCIONES. ............................................................................................... 22 ¡¡¡¡¡ Si hay condiciones, construye!!!! (1/2) ........................................................................... 22 La unicidad en la construcción de triángulos (2/2) ................................................................. 23

CONTENIDO: 8.1.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN EL CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS COMPUESTAS, INCLUYENDO

ÁREAS LATERALES Y TOTALES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES. ............................................................................. 24 Figuras especiales (1/5) ................................................................................................ 24 Figuras sobre figuras (2/5) .............................................................................................. 25 ¿Qué cantidad de material se necesita? (3/5) ........................................................................ 27 Medidas necesarias (4/5) ................................................................................................. 28 Cajas de cartón (5/5) ..................................................................................................... 29

CONTENIDO: 8.1.6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DIVERSOS RELACIONADOS CON EL PORCENTAJE, TALES COMO APLICAR UN

PORCENTAJE A UNA CANTIDAD, DETERMINAR QUÉ PORCENTAJE REPRESENTA UNA CANTIDAD RESPECTO A OTRA, Y OBTENER UNA

CANTIDAD CONOCIENDO UNA PARTE DE ELLA Y EL PORCENTAJE QUE REPRESENTA. .................................................. 31 Aplícale un porcentaje (1/4) ............................................................................................ 31 ¿Cuál es el porcentaje? (2/4) ............................................................................................. 32 El porcentaje en tasa mayor a 100 (3/4) .............................................................................. 33 ¿Cuánto vale la Tv ya con IVA? (4/4) .................................................................................. 34

CONTENIDO: 8.1.7 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN EL CÁLCULO DE INTERÉS COMPUESTO, CRECIMIENTO POBLACIONAL U

OTROS QUE REQUIERAN PROCEDIMIENTOS RECURSIVOS. ............................................................................. 35 Cuidado con el interés compuesto (1/2) ............................................................................... 35 La tasa de población (2/2) ................................................................................................ 37

CONTENIDO: 8.1.8 COMPARACIÓN DE DOS O MÁS EVENTOS A PARTIR DE SUS RESULTADOS POSIBLES, USANDO RELACIONES COMO: “ES

MÁS PROBABLE QUE…”, “ES MENOS PROBABLE QUE…”. ............................................................................ 38 Carrera de autos (1/2).................................................................................................... 38 ¿Quieres una paleta? (2/2) ............................................................................................... 43

CONTENIDO: 8.1.9 ANÁLISIS DE CASOS EN LOS QUE LA MEDIA ARITMÉTICA O MEDIANA SON ÚTILES PARA COMPARAR DOS CONJUNTOS

DE DATOS. ......................................................................................................................... 45 Medidas de tendencia central (1/2) .................................................................................... 45 ¿Media o mediana? (2/2) .................................................................................................. 47

........................................................................................................................ 49 BLOQUE II


CONTENIDO: 8.2.1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS. .......................... 50 Términos semejantes (1/2) ............................................................................................... 50 Resuelve sumando y restando (2/2) .................................................................................... 52

CONTENIDO: 8.2.2. IDENTIFICACION Y BÚSQUEDA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES A PARTIR DEL EMPLEO DE MODELOS

GEOMÉTRICOS. ..................................................................................................................... 54 Interpreta y simplifica (1/4) ............................................................................................ 54 Expresiones algebraicas en los polígonos (2/4) ....................................................................... 55 ¿Cuánto recibió de cambio cada una? (3/4) ........................................................................... 56 La sustracción de expresiones algebráicas (4/4) ..................................................................... 57

CONTENIDO: 8.2.3 IDENTIFICACIÓN Y BÚSQUEDA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES A PARTIR DEL EMPLEO DE MODELOS

GEOMÉTRICOS. ..................................................................................................................... 58 ¿De donde salió el área? (1/3) ........................................................................................... 58 Nota: Reforzar el lenguaje algebraico, cálculo de áreas y equivalencias.De la geometría a la expresión

algebraica (2/3) ............................................................................................................ 59 Modelos geométricos equivalentes (3/3) .............................................................................. 62

CONTENIDO: 8.2.4 JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA CALCULAR EL VOLUMEN DE CUBOS, PRISMAS Y PIRÁMIDES RECTOS..... 63 Justifica y aplica la fórmula (1/3) ...................................................................................... 63 Vamos a calcular el volumen del cuerpo (2/3) ....................................................................... 65 Busca la relación (3/3) ................................................................................................... 69

CONTENIDO: 8.2.5 ESTIMACIÓN Y CÁLCULO DEL VOLUMEN DE CUBOS, PRISMAS Y PIRÁMIDES RECTOS O DE CUALQUIER TÉRMINO

IMPLICADO EN LAS FÓRMULAS. ANÁLISIS DE LAS RELACIONES DE VARIACIÓN ENTRE DIFERENTES MEDIDAS DE PRISMAS Y PIRÁMIDES. ... 71 ¿ Y si varían las dimensiones del cubo? (1/4) .......................................................................... 71 ¿Cuánta agua le cabe al tanque? (2/4) ................................................................................ 72 Busca las condiciones (3/4) ............................................................................................... 73 Fórmulas del volumen de prismas y pirámides rectos (4/4) ........................................................ 74

CONTENIDO: 8.2.6 IDENTIFICACIÓN Y RESOLUCIÓN DE SITUACIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA MEDIANTE DIVERSOS

PROCEDIMIENTOS................................................................................................................... 76 Proporcionalidad directa (1/3).......................................................................................... 76 La constante de proporcionalidad (2/3)................................................................................ 77 Proporcionalidad inversa (3/3) .......................................................................................... 78

CONTENIDO: 8.2.7 REALIZACIÓN DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y REGISTRO DE RESULTADOS, PARA UN ACERCAMIENTO A LA

PROBABILIDAD FRECUENCIAL. RELACIÓN DE ÉSTA CON LA PROBABILIDAD TEÓRICA. .................................................. 79 Juega y relaciona (1/3) .................................................................................................... 79 Juega y registra tus resultados (2/3) ................................................................................... 81 La probabilidad teórica y la frecuencial (3/3) ........................................................................ 83

....................................................................................................................... 85 BLOQUE III

CONTENIDO 8.3.1: RESOLUCIÓN DE CÁLCULOS NUMÉRICOS QUE IMPLICAN USAR LA JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Y LOS

PARÉNTESIS, SI FUERA NECESARIO, EN PROBLEMAS Y CÁLCULOS CON NÚMEROS ENTEROS, DECIMALES Y FRACCIONARIOS. ............ 86 ¿Importa el orden’ (1/4) .................................................................................................. 86 Poniendo orden (2/4) ..................................................................................................... 87 ¿Y los paréntesis? (3/4) .................................................................................................... 88 Utilizando paréntesis (4/4) ............................................................................................... 89

CONTENIDO8.3.2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS QUE IMPLIQUEN EL USO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS, A

EXCEPCIÓN DE LA DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS. .................................................................................... 90 ¿Expresiones algebraicas? (1/3) .......................................................................................... 90 Multiplicando expresiones (2/3) ......................................................................................... 91 Plan de clase (3/3) ......................................................................................................... 92


CONTENIDO 8.3.3: FORMULACIÓN DE UNA REGLA QUE PERMITA CALCULAR LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE CUALQUIER

POLÍGONO. ........................................................................................................................ 93 Entre ángulos y lados (1/2) .............................................................................................. 93 Usando fórmula (2/2) ..................................................................................................... 95

CONTENIDO 8.3.4: ANÁLISIS Y EXPLICITACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LOS POLÍGONOS QUE PERMITEN CUBRIR EL PLANO. ..... 96 Cubriendo el plano (1/3) ................................................................................................. 96 ¿Y los irregulares? (2/3) .................................................................................................. 97 Combinando polígonos (3/3)............................................................................................. 98

CONTENIDO8.3.5: RELACIÓN ENTRE EL DECÍMETRO CUBICO Y EL LITRO. DEDUCCIÓN DE OTRAS EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES DE

VOLUMEN Y CAPACIDAD PARA LÍQUIDOS Y OTROS MATERIALES. EQUIVALENCIA ENTRE UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE

MEDIDAS Y ALGUNAS UNIDADES SOCIALMENTE CONOCIDAS, COMO BARRIL, QUILATES, QUINTALES, ETC. ........................... 101 Sistema internacional de Medida (SI) (1/4) ......................................................................... 101 Plan de clase (2/4) ....................................................................................................... 102 Plan de clase (3/4) ....................................................................................................... 103 Plan de clase (4/4) ....................................................................................................... 104

CONTENIDO 8.3.6: REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA Y ANÁLISIS DE UNA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD Y = KX, ASOCIANDO LOS

SIGNIFICADOS DE LAS VARIABLES CON LAS CANTIDADES QUE INTERVIENEN EN DICHA RELACIÓN. .................................... 105 ¿Y la proporcionalidad? (1/5) .......................................................................................... 105 ¿Y la constante? (2/5) ................................................................................................... 106 ¿Y la variación lineal? (3/5) ............................................................................................ 107 Expresando algebraicamente (4/5) ................................................................................... 109 ¿Coeficientes fraccionarios? (5/5) ..................................................................................... 110

CONTENIDO 8.3.7: BÚSQUEDA, ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE INFORMACIÓN EN HISTOGRAMAS O EN GRÁFICAS POLIGONALES

(DE SERIES DE TIEMPO O DE FRECUENCIA), SEGÚN EL CASO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN QUE PROPORCIONAN. ................. 111 Graficas poligonales (1/2) .............................................................................................. 111 ¿Poligonal o histograma? (2/2) ........................................................................................ 112

CONTENIDO: 8.3.8 ANÁLISIS DE PROPIEDADES DE LA MEDIA Y MEDIANA. ......................................................... 113 ¿Y la moda? (1/3) ........................................................................................................ 113 ¿Marca de clase? (2/3) .................................................................................................. 114 Mediana y media aritmética (3/3) ................................................................................... 115

...................................................................................................................... 116 BLOQUE IV

CONTENIDO 8.4.1. CONSTRUCCIÓN DE SUCESIONES DE NÚMEROS ENTEROS A PARTIR DE LAS REGLAS ALGEBRAICAS QUE LAS DEFINEN.

OBTENCIÓN DE LA REGLA GENERAL (EN LENGUAJE ALGEBRAICO) DE UNA SUCESIÓN CON PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE NÚMEROS

ENTEROS. ........................................................................................................................ 117 ¿Qué es una sucesión? (1/3)............................................................................................ 117 ¿Cuál número sigue? (2/3) ............................................................................................. 118 ¿Cuál es la regla? (3/3) .................................................................................................. 120

CONTENIDO 8.4.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN EL PLANTEAMIENTO Y LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER

GRADO DE LA FORMA: AX+ B = CX + D Y CON PARÉNTESIS EN UNO O EN AMBOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN, UTILIZANDO COEFICIENTES

ENTEROS, FRACCIONARIOS O DECIMALES, POSITIVOS Y NEGATIVOS. ............................................................... 121 Vamos a balancear (1/5) ................................................................................................ 121 ¿Cuánto vale? (2/5) ...................................................................................................... 123 Resolviendo ecuaciones (3/5) .......................................................................................... 124 ¡A plantear ecuaciones! (4/5) .......................................................................................... 125 ¿Cuántos años tiene? (5/5) .............................................................................................. 126

CONTENIDO 8.4.3. CARACTERIZACIÓN DE ÁNGULOS INSCRITOS Y CENTRALES EN UN CÍRCULO, Y ANÁLISIS DE SUS RELACIONES. ... 127 Circulando (1/3) ......................................................................................................... 127 Plan de clase (2/3) ....................................................................................................... 129


Plan de clase (3/3) ....................................................................................................... 133 CONTENIDO 8.4.4. ANÁLISIS DE LAS CARACTERÍSTICAS DE UNA GRÁFICA QUE REPRESENTE UNA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD EN

EL PLANO CARTESIANO. .......................................................................................................... 134 ¿En qué plano? (1/4) ..................................................................................................... 134 Graficando (2/4) ......................................................................................................... 135 ¡Voy volando! (3/4) ..................................................................................................... 137 ¡Inventando! (4/4) ....................................................................................................... 138

CONTENIDO 8.4.5. ANÁLISIS DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS ASOCIADAS A FENÓMENOS DE LA FÍSICA, LA BIOLOGÍA, LA ECONOMÍA Y

OTRAS DISCIPLINAS, EN LAS QUE EXISTE VARIACIÓN LINEAL ENTRE DOS CONJUNTOS DE CANTIDADES. .............................. 139 ¡Aguas con el freno! (1/2) ............................................................................................. 139 Un buen resorte (2/2) .................................................................................................. 140

CONTENIDO 8.4.6. REPRESENTACIÓN DE LA VARIACIÓN MEDIANTE UNA TABLA O UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE LA FORMA: Y = AX +

B. ............................................................................................................................... 141 ¿Por cuál nos vamos? (1/3) .............................................................................................. 141 “Los celulares” (2/3) .................................................................................................... 142 “El húmero” (3/3) ........................................................................................................ 144

CONTENIDO 8.4.7. RESOLUCIÓN DE SITUACIONES DE MEDIAS PONDERADAS. ..................................................... 146 Entre medias (1/3) ...................................................................................................... 146 ¿Y la ponderada? (2/3) .................................................................................................. 148 Seguimos ponderando (3/3) ............................................................................................ 150

...................................................................................................................... 151 BLOQUE V

CONTENIDO 8.5.1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN EL PLANTEAMIENTO Y LA RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE

ECUACIONES 2 × 2 CON COEFICIENTES ENTEROS, UTILIZANDO EL MÉTODO MÁS PERTINENTE (SUMA Y RESTA, IGUALACIÓN O

SUSTITUCIÓN). .................................................................................................................. 152 Cuál es tu coeficiente (1/7) ............................................................................................ 152 Me puedes ubicar para orientarme (2/7) ........................................................................... 156 Plantéame y luego resolvemos (3/7).................................................................................. 157 Los discos compactos (4/7) ............................................................................................ 158 Somos iguales o no somos iguales (5/7) ............................................................................. 159 Te quiero conocer, dime tus características (6/7) ................................................................ 160 Los paquetes de libros (7/7) ........................................................................................... 164

CONTENIDO 8.5.2: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES 2 × 2 CON COEFICIENTES ENTEROS. RECONOCIMIENTO

DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE SUS GRÁFICAS COMO LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA. ................................................ 165 Nos vemos en la intersección (1/3)................................................................................... 165 Te vendo mi terreno (2/3) ............................................................................................. 167 Si 2x2 son 4 y 2+2 son 4 a quién le hago caso (3/3) ................................................................ 169

CONTENIDO 8.5.3: CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS SIMÉTRICAS RESPECTO DE UN EJE, ANÁLISIS Y EXPLICITACIÓN DE LAS PROPIEDADES

QUE SE CONSERVAN EN FIGURAS COMO: TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y EQUILÁTEROS, ROMBOS, CUADRADOS Y RECTÁNGULOS. ........ 171 Complétame si puedes (1/2) .......................................................................................... 171 La simetría de mi cuerpo (2/2) ....................................................................................... 172

CONTENIDO 8.5.4: CALCULAR LA MEDIDA DE ÁNGULOS INSCRITOS Y CENTRALES, ASÍ COMO DE ARCOS, EL ÁREA DE SECTORES

CIRCULARES Y DE LA CORONA. ................................................................................................... 173 Mete un gol por el ángulo (1/4) ...................................................................................... 173 ¿Cuál es tu ángulo, central o inscrito? (2/4) ........................................................................ 175

A ................................................................................................................................... 175

¿De que sector circular eres? (3/4) ................................................................................... 177 Ya tengo la flecha, me falta el árco (4/4) .......................................................................... 178


CONTENIDO 8.5.5: LECTURA Y CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES LINEALES ASOCIADAS A DIVERSOS FENÓMENOS. ...... 179 Lee mi gráfica (1/2) ..................................................................................................... 179 Si el termómetro marca 20°F a qué temperatura estamos? (2/2) ............................................. 180

CONTENIDO 8.5.6: ANÁLISIS DE LOS EFECTOS AL CAMBIAR LOS PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN ..................................... 182 Y = MX + B, EN LA GRÁFICA CORRESPONDIENTE................................................................................... 182

Analiza los efecto (1/4) ................................................................................................ 182 ¿A cuál función le vas? (2/4)............................................................................................ 184 Como se comportó mi gráfica (3/4) .................................................................................. 185 Que nos quedó pendiente (4/4) ....................................................................................... 187

CONTENIDO 8.5.7: COMPARACIÓN DE LA GRÁFICA DE DOS DISTRIBUCIONES (FRECUENCIAL Y TEÓRICA) AL REALIZAR MUCHAS VECES UN

EXPERIMENTO ALEATORIO. ....................................................................................................... 189 Registra la frecuencia (1/2) ........................................................................................... 189 Cara o cruz (2/2) ........................................................................................................ 191


BLOQUE I


(X)

+1 -3 +4 -2.3 -3/4

+2

0

-1

-4

()

+1 -4 +3 -1.2 -3/5

+2

0

-4.1

Contenido: 8.1.1 Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.

Construye la ley y aplícala (1/3)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA

Intenciones didácticas: Que los alumnos descubran cómo es el resultado cuando se multiplican o dividen números con

signo apoyándose en la calculadora, para que construyan las leyes de los signos de esas operaciones.

Consigna: Integrados de manera individual, realicen la siguiente actividad.

Completen las siguientes tablas utilizando la tecla (+/-) de la calculadora. En la tabla de la división, los números de la

columna vertical corresponden al dividendo.

Con base en las operaciones que han realizado completen los siguientes enunciados.

Siempre que se multiplican o dividen dos números del mismo signo el resultado tiene

signo:____________________________________________________________

Siempre que se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado tiene signo:

____________________________________________________________

Siempre que se multiplica o divide un número por menos uno el resultado es: ____

_________________________________________________________________.

Consideraciones previas:

Probablemente algunos alumnos tendrán dificultad en el manejo de la calculadora, en cuyo caso el maestro indicará que para escribir

números negativos primero debe teclear el número y después la tecla (+/-). Si en la puesta en común los resultados obtenidos por algunos

alumnos fueron diferentes, ellos validarán el procedimiento adecuado. Es importante analizar detenidamente cada enunciado hasta que

todos los alumnos estén de acuerdo.


Aplica la ley y multiplícalos (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan multiplicaciones de números con signo con base en las reglas de los

signos construidas en la sesión anterior.

Consigna: Integrados en binas, resuelvan las siguientes multiplicaciones aplicando las reglas de los signos obtenidas en la

sesión anterior.

011 8

3

)6)(5( )2)(1(

)1)(7( )6)(6(

)5)(5.8( )4

3(*)

5

2(

)8)(4)(5( )3)(6

7)(

3

1(

)3)(1)(5)(2( )1)(2.0)(4

3)(3)(6(


Es necesario informar a los alumnos que hay varias formas de representar la multiplicación, además de la que ellos

conocen.

Una vez que hayan resuelto las operaciones, se les plantean las siguientes preguntas.

¿Qué sucede con el signo del producto cuando la multiplicación tiene más de dos factores? ¿Se puede formular una regla?

¿Cuál?


Es inversa pero resulta (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos recurran a la operación inversa de la multiplicación para resolver divisiones de

números con signo.

Consigna: Reunidos en equipos, encuentren los números que faltan, realizando las operaciones correspondientes.

)7)(9( 9)7()(

24)3)(( )3()(

30)6)(( )()30(

8))(2( )2()8(

)7

4)(

3

5(

3

5)

7

4()(

))(2.8( 2.8)1()(

))(7( 7)()7(

)1)(12( 1)()12(

0)7.2)(( )7.2()(


El maestro cuestionará algunas situaciones interesantes como los siguientes:

¿En qué casos el cociente es igual a 1?, ¿En qué casos el cociente es igual a 0?

Una vez que hayan resuelto las operaciones, el maestro puede proponer problemas como los siguientes:

Pensé un número. Al multiplicarlo por -7 y enseguida restar 49 obtengo cero. ¿De qué número se trata?

¿Qué números sumados dan -5 y multiplicados resulta +6?


Contenido: 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de

una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Simplificando el producto (1/3)


Intenciones didácticas: Que los alumnos a partir de casos particulares, se apropien de la ley de los exponentes para

simplificar el producto de potencias de la misma base.

Consigna: Integrados en equipos resuelvan lo siguiente:

1. Expresen las siguientes cantidades como productos de factores iguales, como se muestra en el ejemplo.

8 = (2) (2) (2) 243 =

32 = 625 =

64 = 343 =

128 = 27 =

2. Expresen en forma de potencias los siguientes productos de factores iguales:

(2)(2)( 2) =

(10)(10)(10)(10) =

(4 x 4 x 4) + (5 x 5 x 5)=

(3 x 3 x 3) (3 x 3 x 3 x 3) =

(7 x 7 x 7) ( 7 x 7) =

3. Completen la siguiente tabla:

4. De acuerdo con lo anterior, elaboren una regla general para simplificar una multiplicación de potencias de la misma base.

x 21

22

23

24

25

2m

21 26

22

23

23 26

24

25

2n



Después de dar tiempo suficiente para que los equipos realicen las actividades, algunos alumnos pasarán al pizarrón a

escribir sus respuestas, mismas que serán analizadas por todo el grupo.

Es importante contrastar multiplicaciones de factores iguales con sumas de sumandos iguales. Por ejemplo,

)2(42222 con 422222 , ya que es muy común que los estudiantes confundan estas dos

operaciones.

El punto medular de este plan de clase es la resolución de la tabla, a partir de la cual se espera que los alumnos descubran

la siguiente regularidad: un producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los

exponentes. Si lo logran, podrán llenar la última columna y el último renglón de la tabla, en caso contrario habrá que

ayudarlos.

Para consolidar lo aprendido, es recomendable que se deje de tarea algunos ejercicios como por ejemplo:

Escriban el resultado de cada una de las siguientes operaciones como una potencia.

38 22 b) 22 33 c) 72 44 d) 23 55

e) 37 77 f) 53 1010 g) 34 1010 h) )22()222(

i) )555()5( 3 j) )1010()101010(


Aplica la ley y simplifica (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos a partir de casos particulares, construyan la ley de los exponentes para

simplificar la potencia de una potencia.

Consigna: En equipos, encuentren el resultado de las siguientes expresiones y exprésenlo en forma exponencial. Noten

que en todos los casos se trata de una potencia elevada a otra potencia.

( 22 )

4 =

( 21 )

4 =

( 25 )2 =

( 52 )2 =

( 43 )4 =

( 35 )

2 =

( 102 )3 =

( 6n )

3 =

( 7n )m =

Enuncia la ley de los exponentes para simplificar la potencia de una potencia.


Es importante que al resolver cada una de las expresiones anteriores los alumnos encuentren el significado de las mismas y

con base en eso calculen los resultados. Por ejemplo, en el primer caso, es probable que calculen primero lo que hay dentro

del paréntesis y luego lo eleven a la cuarta. Sin embargo también podrían primero elevar a la cuarta: 22 x 22 x 22 x 22 = y

después calcular este producto de potencias de la misma base que se trabajó en la sesión anterior. Es muy importante

ayudar a los alumnos a analizar los resultados que obtienen y sobre todo cómo los obtienen.


Construye la ley, simplifica e interpreta (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan la ley de los exponentes para simplificar el cociente de potencias de

la misma base e interpreten el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Consigna 1: En equipos, calculen el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base. Luego, formulen

una regla general para simplificar cocientes de potencias de la misma base.

a) 2

5

2

2 b)

5

6

2

2

c) 5

7

3

3 d)

1

5

5

5

e) 5

5

4

4 f)

3

8

10

10

g) 22

2n h)

m

n

2

2

Consigna 2: Efectúen los siguientes cocientes de potencias de la misma base como se muestra en el ejemplo.

a) 3

352

5

2

2

1

22222

2222

2

2

b) 5

6

2

2

c) 7

5

3

3 d)

5

1

5

5

e) 3

2

4

4 f)

8

3

10

10



Esta actividad es una extensión de la anterior que tiene la particularidad de que el resultado es una expresión exponencial

con exponente negativo. La finalidad de plantear por separado estos casos es la de ayudar a los alumnos a tener claro de

dónde surge una expresión con exponente negativo y cómo ésta se puede convertir en una expresión con exponente

positivo. Es importante analizar primero lo que se plantea en la consigna uno y después pasar a los casos de la consigna

dos.

En el caso de la consigna 1, es importante destacar cómo se obtiene un exponente uno o un exponente cero y a qué

equivalen.

También es importante aclarar que cuando se tiene la misma cantidad en el numerador y denominador, la fracción es igual a

la unidad; por ejemplo:

044

4

4

555

51

Por lo tanto, 051 y en general, a

0= 1

Finalmente, hay que guiar la discusión para que puedan llegar a la siguiente regla general: nm

n

m

aa

a

Para afianzar lo aprendido, se pueden proponer ejercicios como por ejemplo:

1. Completa las siguientes expresiones:

a) 325

2

5

)()(3

3

b) )()()(

5

2

666

6

c) 1101010

10 )()()(

5

5

2. Realiza las siguientes operaciones:

6

4

x

x

0

2

4

4

6

5

3

3

15

8

10

10 410

Enuncia la regla general que permita simplificar cocientes de potencias de la misma base.

3

3

5

5


Contenido: 8.1.3 Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas

por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y

paralelogramos.

Entre ángulos y paralelas (1/3)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: FE y M

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan las relaciones de igualdad de ángulos que se forman al cortar dos

paralelas por una transversal y que nombren los ángulos, busquen argumentos para justificar dichas relaciones.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema.

Un carpintero hizo una puerta de 1.8 metros de alto, por 1 metro de ancho. En la parte media colocó un vitral transversal; el

diseño es el siguiente:

Identifiquen todos los ángulos que se forman con las paralelas del vitral y la línea transversal. Encuentren las medidas.

Encuentren la relación entre los ángulos.



Los alumnos tendrán que encontrar todos los ángulos y las medidas. En plenaria revisarán si falta alguno. No olvidar que el

alumno tiene que encontrar todos.

El docente podrá dar los nombres de los ángulos, conforme vayan encontrando la relación. Los alumnos tendrán que

encontrar los ángulos opuestos por el vértice, los internos, los externos, los colaterales (internos y externos), los alternos

(internos y externos) y los correspondientes.

Si los alumnos no alcanzan a identificar lo anterior, puede solicitarles que dividan una hoja en tres partes de forma paralela

(no importa si son iguales o no); posteriormente, desde cualquier esquina de la hoja, doblar de manera que se corten las dos

paralelas marcadas anteriormente, que identifiquen los ocho ángulos que se forman y los marquen como a, b, c, d, e, f, g, h.

Cortar de manera horizontal a la mitad entre las dos paralelas y colocar los ángulos a, b, c, d sobre los ángulos e, f, g, h;

verlos a contra luz, de manera que el vértice de los primeros coincida con el de los segundos. El docente podrá dar los

nombres de los ángulos, conforme vayan encontrando la relación.

Se recomienda que:

A.- dar antecedentes a los alumnos sobre los tipos de ángulos, como lo son: los adyacentes, complementarios,

suplementarios, consecutivos, congruentes, opuestos por el vértice, etc.

B.- se puede dar a conocer que (el ángulo A mide 60° ) y a partir de el continuar.

C.- Aumentar el tamaño de la figura, que los alumnos investiguen las definiciones de: paralelas y transversales.

D.- enseñarles a usar el transportador a los alumnos.

E.- dejar espacio entre los ejercicios.


Ángulos suplementarios (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos concluyan que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a

180° y utilicen esta propiedad al resolver problemas.

Consigna 1: En binas, desarrollen la siguiente actividad:

Recorten un triángulo en una hoja de papel y realicen los cortes de dos ángulos, después colóquenlos consecutivamente

junto al ángulo que no se cortó.

¿Qué observan?____________________________________________________

¿Qué tipo de ángulo forman?________________________________________

c) ¿Siempre sucederá lo mismo?________________________________________

d) Enuncien con palabras la propiedad anterior_______________________________

____________________________________________________________________

Consigna 2: En equipo, resuelvan los siguientes problemas.

En el ∆ABC el <A = 60°, <B = 45°, ¿Cuál es el valor del <C?

En el ∆PQR, <P = x, <Q = 2x, <R = 3x, ¿Cuál es el valor de x, del <P, <Q, <R?

En el ∆DEF, <D = 2x+10°, <E = 2x - 50°, <F = x + 40°, calcular los valores de los ángulos D, E y F.


4. De la siguiente figura, si L M, encuentra la medida del ángulo marcado con x.


Después de hacer la puesta en común de la consigna 1, y para avanzar a la formalización y generalización de esta

propiedad de los triángulos, se recomienda que el profesor demuestre en el pizarrón que efectivamente en cualquier

triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.

Una manera de aplicar y comprobar rápidamente esta propiedad es que el profesor les plantee a los alumnos preguntas

como las siguientes: ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos interiores de un triangulo equilátero? En un triangulo

rectángulo un ángulo mide 30°, ¿Cuál es el valor del otro ángulo agudo? En un triangulo isósceles el ángulo desigual mide

40° ¿Cuál es el valor de los ángulos iguales?

Con el propósito de avanzar en el estudio de las ecuaciones de primer grado se plantean los problemas 2 y 3.

100°

40°

x

M

L


La relación de ángulos entre paralelas (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos deduzcan que la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es

equivalente a la suma de los ángulos interiores de dos triángulos.

Consigna: En equipos, realicen las siguientes actividades.

Observen un paralelogramo y respondan: ¿Cuál será la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo? Argumenten

su respuesta. Por cierto, ¿qué paralelogramos conocen? ¿La suma de sus ángulos interiores es la misma para todos?

Observen los siguientes paralelogramos y contesten:

¿Cuál es la suma de los ángulos 1 al 6 en este paralelogramo?

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del paralelogramo?

Dado el valor de uno de los ángulos del paralelogramo, calculen el valor de los tres restantes.


Tenga en cuenta que los alumnos vienen trabajando desde el apartado 1.4 con la Medición de ángulos; en el 1.5, con el

estudio de las rectas en el plano -paralelas, perpendiculares y oblicuas; ángulos opuestos por el vértice- y que los

conocimientos de este apartado servirán como antecedente del apartado 3.4.

Establecer una fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Prepare algunos

paralelogramos para que cada equipo tenga uno para observarlo; en su defecto, pídales que los tracen.

Si el grupo no ha aprovechado los conocimientos anteriores, oriente con preguntas para que también justifiquen la medida

de los ángulos a través del paralelismo y la transversalidad.

Hay que considerar la clasificación de los paralelogramos.

1 2

6

5 4

3

C B

A

75°


Contenido: 8.1.4 Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y

unicidad en las construcciones.

¡¡¡¡¡ Si hay condiciones, construye!!!! (1/2)


Intenciones didácticas: Concluyan que dados solamente dos segmentos no es posible obtener un único triángulo.

Consigna 1. En equipo, resuelvan el siguiente problema.

Dadas las siguientes medidas: 5 cm, 6 cm y 7 cm, que corresponden a los lados de un triángulo, construyan todos los

triángulos diferentes que sea posible y escriban por qué son diferentes los triángulos dibujados.


Es probable que los alumnos consideren que dos o más triángulos son diferentes porque tienen distinta posición. Aquí el

maestro puede sugerir que recorten los triángulos y los sobrepongan para que observen que se trata de triángulos iguales y

que no importa la posición.

Consigna 2. Organizados en los mismos equipos, pero en forma individual, resuelvan el siguiente ejercicio.

Con la medida de los segmentos AB = 6 cm y BC = 9 cm, tracen un triángulo y digan cuál es la medida del tercer lado. Al

finalizar el trazo comparen el triángulo con el de sus compañeros de equipo y digan si todos los triángulos trazados son

iguales y por qué.


Aquí es importante que los alumnos observen que con sólo esos datos no se puede obtener un triángulo único, puesto que

la medida del tercer lado dependerá del ángulo que formen los dos segmentos dados.


La unicidad en la construcción de triángulos (2/2)

Intenciones didácticas: Conozcan los requisitos indispensables que deben poseer tres segmentos cualesquiera para

formar un triángulo.

Consigna 1. En equipo, resuelvan el siguiente problema. Dados los siguientes segmentos, ¿cuántos triángulos diferentes se

pueden construir en cada caso? Escriban sus conclusiones.

a)

Consigna 2. Con su mismo equipo, construyan un triángulo cuyo perímetro sea de 11 cm y las medidas de cada uno de sus

lados sean números enteros.

¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir que cumplan con la condición anterior?

¿Podrá tener un triángulo un perímetro de 4 cm y que la medida de sus lados sea un número entero? ¿Por qué?


Es probable que después de construir los dos primeros triángulos, al ver que uno es equilátero y el otro es isósceles, digan –

sin realizar el trazo– que el tercero también se puede construir y que es escaleno. Será importante insistirles en que deben

construirlo y con base en ello responder. Además, si no llegan a la conclusión de comparar las medidas de los lados el

maestro puede sugerirlo, a fin de que concluyan que la suma de dos lados debe ser mayor que el tercero para que se forme

el triángulo.

Con relación a la segunda consigna, hay que animar a los alumnos para que prueben y por un lado encuentren todos los

triángulos que se pueden construir, pero también vean que no siempre es posible construir un triángulo con cualesquiera

tres medidas. Un buen apoyo para resolver este problema consiste en utilizar palillos, en este caso 11, para tratar de

distribuirlos entre los lados del triángulo.

b) c)


Contenido: 8.1.5. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo

áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

Figuras especiales (1/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las fórmulas para calcular el área del cuadrado y del círculo, al resolver

problemas.

Consigna. En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas:

1. Se dispone de una tabla de madera de forma cuadrada, como se muestra en la figura, a la cual se le pretende dar una

forma circular para que sirva de tapa de un recipiente que tiene forma cilíndrica.

¿Qué área de la madera se va a usar?

¿Cuál es el área de la madera que no se va a utilizar?

2. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo mide un metro? Justifiquen su

respuesta.

Consideraciones Previas:

Probablemente la mayoría de los alumnos no recuerden la fórmula del área del círculo, el maestro podrá solicitar si alguien

del grupo la recuerda, si es así, que la dé a conocer. Por otra parte se permitirá el uso de la calculadora, usando valor de pi

con dos cifras decimales (3.14)

3.5 cm


Figuras sobre figuras (2/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las fórmulas para calcular el área del triángulo y del cuadrado, al resolver

problemas.

Consigna. En equipos de tres integrantes, resuelvan el siguiente problema:

La siguiente figura representa el vitral de una ventana cuadrada que está formada por varios cuadrados más pequeños. La

parte del vitral que tiene forma triangular es de color rojo y se quebró el vidrio de la parte sombreada.

Al tratar de reparar el vitral:

¿Cuántos cm2 de vidrio rojo deberá utilizar quien la repare?

¿Cuántos cm2 de vidrio rojo usa este vitral?

¿Qué fracción del área total representa el triángulo rojo?

1 m

M

M



Se espera que los equipos encuentren al menos una de las formas posibles para encontrar el área solicitada (cálculo

directo del área del triángulo sombreado, deducción que es la cuarta parte y diferencia de áreas).

Puede que algún alumno diga que falta un valor, en este caso el maestro debe hacer énfasis en que M es el punto medio.

Se debe tener cuidado, si se presenta la confusión sobre la altura del triángulo sombreado con respecto a la altura del

cuadrado o de los otros triángulos.

En caso de que el problema resulte demasiado fácil y la mayoría de los equipos encuentren la solución; se puede plantear la

siguiente variante del problema:

La siguiente figura representa una ventana de forma cuadrada que es parte de otro vitral:

M es el punto medio del lado.

N es el punto medio entre M y el vértice.

Contesta las siguientes preguntas:

¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos sombreados?

¿Qué representa el área de los triángulos sombreados con respecto al cuadrado completo?

3dm

M N


¿Qué cantidad de material se necesita? (3/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un

prisma o una pirámide a partir de su desarrollo plano.

Consigna: En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tracen en cartulina el

desarrollo plano del cuerpo que les toque. Después, calculen la cantidad de cartulina que ocupa dicho desarrollo.


Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides diferentes

(cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Conviene

incluir un cubo. También es importante que los equipos cuenten con juegos de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por

lo que se recomienda pedirlo con anticipación.

En esta ocasión no se pretende armar el cuerpo geométrico, sino calcular la cantidad de cartulina que se utiliza para

construirlo a partir del desarrollo plano. Si algunos alumnos incluyen las pestañas en este cálculo, conviene analizar cómo lo

hicieron y determinar si el resultado es aceptable.

En esta actividad cada equipo recibirá cuerpos geométricos diferentes (prismas y pirámides), por lo que no podrán comparar

los resultados; sin embargo, podrán explicar los procedimientos que siguieron y los posibles errores cometidos.

Quizá los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo del área de cuadrados y rectángulos. El caso de los triángulos que

forman las caras laterales de las pirámides puede ser distinto, ya que la altura de los triángulos no coincide con la altura de

la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos, puede auxiliarlos

recordándoles que es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.

Nota: el maestro debe de estar preparado con suficientes cuerpos geométricos para trabajar con los alumnos en

esta sesión.


Medidas necesarias (4/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un

prisma o una pirámide, sin trazar su desarrollo plano.

Consigna: En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tomen las medidas que

necesiten para calcular su área total. No se vale desarmar el cuerpo.


Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides iguales

(cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo.

En esta sesión no se pretende trazar un desarrollo plano, más bien se intenta que los alumnos calculen la cantidad de

cartulina que se utilizó para construir un cuerpo geométrico. La sugerencia de que todos los equipos trabajen con el mismo

cuerpo geométrico facilita la comparación de resultados para descubrir errores. Es importante tener presente que los

resultados no necesariamente serán iguales, pero el tamaño de las diferencias puede indicar posibles errores.

En la sesión anterior los alumnos calcularon áreas de prismas y pirámides a partir del patrón de estos cuerpos, de tal

manera que este cálculo se reduce a obtener el área de figuras geométricas en un plano. La intención de esta sesión es

diferente, porque calcularán el área de las figuras sin tenerlas en el plano, sino como caras de un cuerpo geométrico de tres

dimensiones. Es probable que los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo del área de cuadrados y rectángulos. El

caso de los triángulos que forman las caras laterales de las pirámides puede ser distinto, ya que la altura de los triángulos

no coincide con la altura de la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos,

puede auxiliarlos recordándoles que es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Además, en una pirámide puede

mostrar cuál es la altura de los triángulos que forman las caras laterales y su diferencia con la altura del cuerpo geométrico.


Cajas de cartón (5/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo de áreas laterales o totales de

prismas y pirámides cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos.

Consigna: Primero en forma individual y luego organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas.

Un industrial fabrica cajas cúbicas de 10 cm de arista. ¿Qué cantidad mínima de cartón ocupa para construir 100 cajas?

___________________________________

Las siguientes cajas tienen la misma capacidad pero una de ellas requiere menos cartón para ser construida. ¿Cuál de las

dos necesita menos cartón? ______________

¿Qué cantidad de cartón se ahorraría el fabricante al construir 100 cajas? __________________________

3. Carlos va a forrar los triángulos de la siguiente pirámide con papel de colores, ¿qué cantidad de papel requiere?



Se sugiere que en un primer momento los alumnos resuelvan individualmente los problemas, para que los comprendan y

encuentren una solución a su ritmo. Cuando el profesor note que la mayoría de los alumnos ha terminado, puede

organizarlos en grupos para comparar sus resultados. La intención es que se pongan de acuerdo en caso de haber distintos

resultados.

La diferencia con las actividades de las sesiones anteriores radica en que en ya no se cuenta con un modelo concreto del

cuerpo para calcular el área. No obstante, los alumnos que así lo deseen, podrán dibujar los desarrollos planos o trazar por

separado las caras que forman al cuerpo.


Contenido: 8.1.6 Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, tales como aplicar un

porcentaje a una cantidad, determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una

cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

Aplícale un porcentaje (1/4)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: MI

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para aplicar el porcentaje a una cantidad.

Consigna: Reunidos en equipos, completen las tablas siguientes:


Es posible que algunos alumnos obtengan el 50% considerando la mitad de la cantidad, el 25% considerando la cuarta

parte, etcétera. Si esto no ocurre, el maestro puede proponer estas relaciones como procedimientos directos para aplicar un

porcentaje a una cantidad. También es conveniente identificar que el 200% es dos veces la cantidad, el 300% es tres veces

la cantidad, etcétera; y que en general al aplicar un porcentaje mayor del 100, se obtiene una cantidad mayor a la propuesta.

% De 300

50

25

75

% De 100

25

50

75

% De 75

12

8


¿Cuál es el porcentaje? (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para determinar qué porcentaje representa una

cantidad respecto a otra.

Consigna: Reunidos en equipos resuelvan el siguiente problema:

En un grupo hay 25 alumnos. Si un día asistieron únicamente 17, ¿qué porcentaje faltó a clase ese día?


En el análisis del problema debe quedar claro que lo que se busca es qué porcentaje representa 8 respecto a 25 y no qué

porcentaje representa 17 respecto a 25, error muy común en los estudiantes.

Si los alumnos tienen dificultades para abordar el problema, una sugerencia podría ser el establecimiento de una relación de

proporcionalidad: 25 es a 100 como 8 es a x; contenido trabajado con anterioridad. Una vez que los alumnos se familiarizan

con un procedimiento conviene que prueben su funcionalidad con otros problemas similares.

Un ejercicio complementario para trabajar este contenido podría ser el llenado de las siguientes tablas:

Qué % es Respecto a: %

21 42

7 28

Qué % es Respecto a: %

2.5 5

3.2 16


El porcentaje en tasa mayor a 100 (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para determinar qué porcentaje representa una

cantidad respecto a otra, cuando la tasa es mayor a 100.

Consigna. Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Luis compra mazapanes a $0.80 y los vende a $2.00 cada uno, ¿en qué porcentaje se incrementa el precio?


Es probable que los alumnos intenten resolver el problema utilizando las propiedades de una relación de proporcionalidad,

lo cual es correcto, sin embargo, conviene promover también el uso de las ecuaciones, para este caso: 0.80 + 0.80x = 2 o

bien 0.80x = 1.20, en donde x representa el tanto por ciento buscado, expresado en decimal.

Una confusión posible es que los alumnos consideren como incremento a dos pesos, en cuyo caso obtendrán como

resultado 250%, pero en realidad el incremento es $1.20


¿Cuánto vale la Tv ya con IVA? (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para determinar la base de un porcentaje en la

resolución de problemas.

Consigna. Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema:

En la compra de un televisor se pagó $3220.00, incluido el 15% de IVA. ¿Cuál es el precio del televisor sin IVA?


Si los alumnos tienen dificultades para abordar el problema, una sugerencia podría ser el establecimiento de una ecuación:

x + 0.15x = 3220 o bien 1.15x = 3220; contenido trabajado con anterioridad. El asunto es entender que 3220 representa el

115% y se quiere saber el 100%.


Contenido: 8.1.7 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional

u otros que requieran procedimientos recursivos.

Cuidado con el interés compuesto (1/2)


Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos recursivos para resolver problemas relacionados con el

interés compuesto y que identifiquen las características de este tipo de procedimientos.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema:

Un grupo de tercer grado está organizando su fiesta de graduación. Les faltan $25 000.00 para todos los gastos previstos y

para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco PIERDEMEX les presta esa cantidad con un interés simple del 9%

bimestral, mientras que el banco ATRACOMER les ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 8% bimestral. Si

tienen planeado pagar el préstamo junto con los intereses al término de 12 bimestres, completen la siguiente tabla y

contesten lo que se pide.

PIERDEMEX ATRACOMER

Bimestres Préstamo

inicial

Int. Simple

9%

Adeudo

total Préstamo inicial

Int. Compuesto

8%

Adeudo

total

0 $25,000 $0.00 $25,000 $25,000 $0.00 $25,000

1 $25,000 $2,250.00 $27,250 $25,000 $2,000.00 $27,000

2 $25,000 $2,250.00 $29,500 $27,000 $2,160.00 $29,160

3 $25,000 $2,250.00 $31,750 $29,160 $2,332.80 $31,492.80

4 $25,000 $2,250.00 $34,000 $31,492.80

5 $25,000 $2,250.00 $36,250

6 $25,000 $2,250.00 $38,500

7 $25,000 $2,250.00 $40,750

8 $25,000 $2,250.00 $43,000

9 $25,000 $2,250.00 $45,250

10 $25,000 $2,250.00 $47,500

11 $25,000 $2,250.00

12 $25,000 $2,250.00

¿En cuál banco les conviene pedir el préstamo?_______________________

¿Cuánto más tendrían que pagar de intereses en el Banco que no les conviene, al término del plazo fijado?

_____________________________________



Una vez que se discutan ampliamente las respuestas es importante concluir que en el caso del interés simple, a tiempos

iguales corresponden crecimientos iguales ($2 250.00 cada bimestre) mientras que en el caso del interés compuesto los

intereses pasan a formar parte del adeudo total, el cual vuelve a generar nuevos intereses. Es importante señalar que el

interés simple puede acumularse cada bimestre o bien al final de los 12 bimestres, en la tabla se va aumentando cada

bimestre, sin embargo, podría calcularse el total de los intereses (12 x $ 2 250) y al resultado sumarle el importe del

préstamo ($ 25 000), esto no es factible con el interés compuesto, con él se necesita conocer el adeudo total al final de cada

bimestre porque a partir de él se calculan los intereses del siguiente bimestre y así sucesivamente, ésta es una

característica importante de los procedimientos recursivos.

Es muy probable que para calcular las cantidades que corresponden al banco ATRACOMER los alumnos hagan lo

siguiente: calculen el 8% de $25 000 y sumen este resultado (2 000) con $25 000. Para el siguiente renglón calcularán el 8%

de $27 000 y así sucesivamente. Si a ningún equipo se le ocurre, habrá que explicarles que una manera abreviada de

calcular el 8% de $25 000 y a la vez sumar el porcentaje con $25 000, consiste en efectuar el siguiente producto: 25 000 x

1.08 = 27 000, esta última cantidad se vuelve a multiplicar por 1.08 y así sucesivamente. La razón es que en 1.08 está

incluido el 100% más el 8%.

Una característica que hay que enfatizar en estos tipos de interés es que mientras en el simple la diferencia entre

cualesquier pareja de valores consecutivos es una constante ($2 250.00), en el compuesto, el cociente entre cualesquier

pareja de valores consecutivos, es una constante (1.08), por ejemplo: 27 000/25 000, 29 160/27 000, etcétera.

Es importante que los alumnos continúen explorando diversas situaciones que puedan resolverse mediante procedimientos

recursivos, para lo cual se puede proponer la siguiente situación problemática:

El gobierno del estado ha decidido becar a los alumnos de excelencia. Conocedor de la inteligencia de estos alumnos, sólo

becará a aquellos que en menos de 10 minutos elijan la mejor opción de beca, las opciones son las siguientes:

Una beca mensual de $500.00 y un bono anual de $1000.00.

Una beca mensual de $500.00 más un incremento del 10% mensual.

Si quieres ser de los becados, ¿qué opción elegirías y por qué?


La tasa de población (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos recursivos para resolver problemas relacionados con el

crecimiento poblacional.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema:

En el año 2010 la población mundial de la Tierra era de 6 854 millones de habitantes. Suponiendo que la tasa de

crecimiento durante una década es de 13% y ésta se mantiene constante, ¿cuál será la población en los años 2020, 2030 y

2040?


Hay un antecedente importante en el plan anterior, en donde se utilizaron procedimientos recursivos para calcular el interés

compuesto. Aquí, la clave para resolver el problema y relacionarlo con la recursividad, es identificar que para obtener la

población en 2040 es necesario conocer la población de la década anterior, que para conocer la población en 2030 es

necesario saber la población en 2020, etcétera.

Es importante seguir practicando los cálculos mayores al 100% de una manera directa, en este caso, para obtener el 113%

basta multiplicar por 1.13, así, para calcular el 13% de 6 854 millones, población de 2010, y sumarlo con el 100%, basta con

encontrar el resultado de 6 854 x 1.13, expresado en millones. Una vez encontrada la población en 2020 (7 745.02

millones), se repite el proceso para encontrar la población mundial para 2030 y así sucesivamente.

Una tabla y una calculadora, son dos recursos importantes que permiten ordenar, controlar y calcular los datos del

problema. Una tabla como la siguiente puede ser de utilidad:

POBLACIÓN MUNDIAL DE LA TIERRA

Año Cálculo para la siguiente década Población

2010 6 854 millones

2020 6 854 x 1.13 7 745.02 millones

2030

2040

Con la finalidad de continuar ejercitando procedimientos recursivos, se pueden proponer los siguientes problemas:

Una población x tiene 52 368 habitantes en la actualidad, si en los últimos 5 años ha crecido a una tasa del 7% anual,

¿cuántos habitantes tenía esa población hace 5 años?

Una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80°C se pone en un congelador que está a 0°C. En el proceso de

enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 5% por cada minuto que transcurre.

¿Cuál es la temperatura del agua después de 4 minutos?

¿Después de cuánto tiempo la temperatura del agua rebasa los 50°C?


Contenido: 8.1.8 Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como:

“es más probable que…”, “es menos probable que…”.

Carrera de autos (1/2)


Intenciones didácticas: Mediante un juego, que los alumnos comparen la probabilidad de varios eventos con base a sus

resultados posibles.

Consigna: Organízate con once compañeros más para jugar dos veces “Carrera de autos”: Posteriormente


Preparen el tablero del Anexo, dos dados de diferente color, y 12 fichas o piedritas.

Cada jugador toma una ficha y la coloca en la casilla del auto con el que desea competir. Si dos o más participantes

seleccionan el mismo auto, pueden decidir quién escoge primero mediante un volado. A cada jugador le corresponde un

carro diferente.

Por turnos, cada integrante del equipo irá lanzando los dados y el auto que tenga el mismo número que la suma de los

puntos del tiro, avanza una casilla rumbo a la meta.

Gana el auto que llegue primero a la meta.

1. ¿Qué autos ganaron en las dos rondas?____________________________________________

2. Si jugaran una tercera ronda, ¿qué auto convendría seleccionar?_________________________ ¿Por

qué?____________________________________________________________________


Es necesario preparar para cada equipo un tablero como el del Anexo, dos dados de puntos de distinto color (con puntos

que representen los números del uno al seis) y fichas o cualquier material que sirva para marcar el avance de cada jugador.

Para desarrollar la actividad es conveniente que se formen equipos de 12 integrantes, de tal manera que cada uno participe

con un auto diferente; sin embargo, si el número de alumnos del grupo no es múltiplo de 12, los equipos pueden integrarse

con menos jugadores, sin llegar a ser menos de ocho, con la finalidad de que se presenten las diferentes tendencias de

resultados.

Mediante el juego se espera que los alumnos identifiquen que algunos autos tienen mayores oportunidades de ganar que

otros, es decir, que al lanzar dos dados, las diferentes sumas que pueden obtenerse (del 2 al 12) tienen diferentes

posibilidades. Por ejemplo:

El número 5 es más probable que el 3 porque hay cuatro posibles resultados mediante los cuales se obtiene 5: (1,4) (2,3)

(3,2) (4,1); en cambio sólo hay dos para obtener el 3: (1,2) (2,1). Es importante advertir que los resultados (1,4) y (4,1) son

diferentes, pues se trata de dados diferentes, por ello es necesario utilizar dados de diferente color, o en su defecto, de

distinto tamaño:


Todos los posibles resultados se pueden apreciar en la siguiente tabla.

SUMA 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

R

E

S

U

L

T

A

D

O

S

(1,1)

(1,2)

(2,1)

(1,3)

(2,2)

(3,1)

(1,4)

(2,3)

(3,2)

(4,1)

(1,5)

(2,4)

(3,3)

(4,2)

(5,1)

(1,6)

(2,5)

(3,4)

(4,3)

(5,2)

(6,1)

(2,6)

(3,5)

(4,4)

(5,3)

(6,2)

(3,6)

(4,5)

(5,4)

(6,3)

(4,6)

(5,5)

(6,4)

(5,6)

(6,5)

(6,6)

FRECUENCIA 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Como puede notarse el número que tiene mayores posibilidades de obtenerse es el 7, ya que existen seis resultados cuya

suma da ese número. Las sumas 2 y 12 tienen la probabilidad más baja, ya que únicamente tienen un resultado favorable.

El auto 1 no tiene posibilidad de avanzar, pues la suma mínima de los dados es 2.

La actividad se puede desarrollar haciendo una variación, que consiste en cambiar los dados por fichas de dominó.

Básicamente el juego se realizaría siguiendo las mismas reglas, con el mismo número de integrantes por equipo y utilizando

el mismo tablero. Pero, para este juego los alumnos tendrían que considerar que por las características de las fichas, las

oportunidades para cada número son diferentes, inclusive, el auto con el número uno sí tendría posibilidad de avanzar. Para

jugar esta versión, se entrega a cada equipo un juego de dominó sin la ficha llamada “blanca” o “mula güera” (0,0), así, la

suma de los puntos varía de uno a 12. Las fichas se colocan con los puntos hacia abajo. Por turnos, cada integrante toma

una ficha y suma los puntos; el resultado es el número del auto que avanza una casilla. Es importante que las fichas que

vayan saliendo se regresen al montón para revolverlas. De la misma forma que en la primera versión, cuando un auto llega

a la meta el juego termina. Durante la puesta en común, es importante que los alumnos discutan y argumenten si algún auto

tiene mayores posibilidades de ganar.

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5

2 2 2 3 2 4 3 4 4 4

3 3


Los dos factores que modifican los resultados son:

Ahora los números que se pueden sumar son siete (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6).

A diferencia de los dados, en las fichas solamente hay una forma de combinar dos números. Por ejemplo (1,2) y (2,1)

representan dos resultados diferentes al lanzar dos dados, en cambio (1,2) y (2,1) representan un solo resultado en el

dominó, es decir, es la misma ficha.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


12


¿Quieres una paleta? (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las expresiones “es más probable que…”, “es menos probable que…” o

“es igualmente probable a…”, al comparar dos eventos a partir de sus posibles resultados.

Consigna: Organízate en tríos para resolver los problemas.

En un juego de la feria se encuentra este cartel:

Observen el contenido de las tres bolsas y respondan las preguntas.

Si se saca una paleta de la bolsa 1, ¿qué sabor es menos probable de obtener? ___________

¿Por qué? __________________________________________________________________

Si se desea una paleta de limón, ¿de cuál bolsa es más probable sacarla?________________

¿Por qué?___________________________________________________________________

Ahora observen el contenido de las bolsas 4 y 5 y escriban en las líneas “es más probable que”, “es menos probable que” o

“es igualmente probable a” según corresponda.

Sabor

piña

Sabor

limón

¡Atínale al sabor!

Si adivinas el sabor de la paleta

antes de sacarla de la bolsa, te

1 3 2


En la bolsa 4, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar una paleta de limón.

En la bolsa 5, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar una paleta de limón.

Sacar una paleta de limón de la bolsa 4 ____________________________ sacar una paleta de piña de la bolsa 5.


Para el primer problema se presentan tres bolsas con diez paletas cada una; seguramente los alumnos observarán que en

la primera bolsa hay más paletas de limón, en la segunda hay más paletas de piña y en la tercera bolsa hay la misma

cantidad de paletas de un sabor y del otro. Dadas estas condiciones, se espera que los alumnos deduzcan que:

Si se saca una paleta de la bolsa 1 es menos probable que sea de piña, ya que de este sabor sólo hay tres, en cambio, de

limón hay siete.

Conviene más elegir la primera bolsa si se quiere sacar una paleta de limón, porque hay siete de ese sabor, mientras que

en la segunda hay cuatro y en la tercera cinco.

El segundo problema representa un reto diferente para los alumnos pues las bolsas 4 y 5 no contienen la misma cantidad de

paletas, la bolsa 4 tiene seis paletas, de las cuales dos son de piña y el resto de limón, y en la bolsa 5, de cuatro paletas dos

son de piña y dos de limón. Con este problema se pretende que los alumnos utilicen las expresiones “es más probable

que…”, “es menos probable que…” o “es igualmente probable a…” al comparar dos eventos; para lograr lo anterior pueden

apoyarse con expresiones como “la mitad”, “más de la mitad” o “menos de la mitad”, con relación al número posible de

ocurrencia. Si este recurso no surgiera del grupo, el docente podría proponerlo.

Por ejemplo, en el tercer enunciado, donde se comparan los eventos: sacar una paleta de piña de la bolsa 5 y sacar una

paleta de limón de la bolsa 4, los alumnos podrían advertir que en la bolsa 4, más de la mitad de las paletas (cuatro de seis)

son de limón, mientras que en la bolsa 5, la mitad de las paletas (dos de cuatro) son de piña, por lo tanto, la expresión

correcta es “ es más probable que…”

5 4


Contenido: 8.1.9 Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos

conjuntos de datos.

Medidas de tendencia central (1/2)


Intenciones didácticas: Que los alumnos justifiquen la elección de la medida de tendencia central (media o mediana) que

sea representativa de un conjunto de datos.

Consigna: En parejas, resuelvan los siguientes problemas:

Los representantes de una comunidad desean estimar el número promedio de niños de ese lugar. Para ello, dividen el

número total de niños entre 50, que es el número total de familias y obtienen como resultado 2.2. ¿Cuáles de las siguientes

afirmaciones son ciertas? ______________ ¿Por qué? ______________________________________

____________________________________________________________________

a) La mitad de las familias de la comunidad tiene más de 2 niños.

b) En la comunidad hay más familias con 3 niños que familias con 2 niños.

c) Hay un total de 110 niños en la ciudad.

d) En la comunidad hay 2.2 niños por cada adulto.

El maestro de Educación física pidió a sus alumnos que para la próxima clase llevaran pelotas. En el equipo 1, Andrés lleva

5, María 8, José 6, Carmen 1 y Daniel no lleva ninguna. ¿Cómo repartir las pelotas de forma equitativa entre los integrantes

del equipo? _____________________________________________________________

___________________________________________________________________

Como parte de un proyecto, los integrantes de un grupo de basquetbolistas entregan su número de calzado, obteniéndose

los siguientes datos:

26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 29

29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 31 32 32

33

¿Cuál sería el mejor número para representar este conjunto de datos? ____________

Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por nueve estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes

valores en gramos:

6.2, 6.0, 6.0, 15.3, 6.3, 6.1, 6.23, 6.15, 6.2

¿Cuál sería la mejor estimación del peso del objeto? _________________________



Como se sabe la media es un valor "típico" o "representativo" de un conjunto de datos; debido a ello, se tiende situar la

media en el centro del recorrido de la distribución, propiedad que es cierta para distribuciones simétricas. Pero cuando la

distribución es muy asimétrica la media se desplaza hacia uno de los extremos y la moda o la mediana serían un valor más

representativo del conjunto de datos. Esto no es siempre comprendido por algunos alumnos quienes invariablemente eligen

la media como la mejor representante de los datos sin tener en cuenta la simetría de la distribución o la existencia de

valores atípicos.

Respecto a la comprensión de la mediana, generalmente los alumnos entienden que es el centro de "algo" pero no siempre

comprenden a qué se refiere ese "algo". Por ejemplo, si se les da los datos en forma desordenada no entienden por qué hay

que ordenarlos para calcular la mediana, no comprenden que la mediana es un dato estadístico que se refiere a un conjunto

de datos ordenados.

La intención del primer problema es que los alumnos recuerden qué representa la media, tema que fue estudiado en la

primaria; por lo que se espera que los alumnos no tengan dificultades en señalar como respuesta el inciso c).

Con respecto al segundo problema, se espera que los alumnos usen el promedio como recurso para realizar el reparto

equitativo. En este caso, sumar las cantidades de pelotas y dividir entre los cinco integrantes del equipo, con lo que resulta 4

pelotas para cada quien.

El problema 4 es un ejemplo de estimación de una cantidad desconocida, en presencia de errores de medición. El problema

consiste en determinar, a partir de un conjunto de medidas, la mejor estimación posible del verdadero peso del objeto.

Es muy probable que algunos alumnos digan que la mejor estimación del peso es 7.164 gramos (promedio) y pocos tomen

en cuenta la mediana (6.2 gramos), ante esta situación se sugiere que justifiquen y discutan ampliamente sus decisiones, la

idea es que puedan identificar cómo un valor atípico (15.3) puede influir en el promedio y que éste no sea representativo de

la situación, por la tanto, la mediana refleja mejor la estimación del peso del objeto.


¿Media o mediana? (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la media o la mediana para comparar dos conjuntos de datos.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

Se midieron 12 bloques de aluminio de dos marcas diferentes: Las longitudes de los bloques de la marca “A” fueron: 10, 20,

30, 40, 50 y 60 cm, y las longitudes de los bloques de la marca “B” fueron: 10, 10, 10, 60, 60 y 60 cm.

¿Cuál de los dos conjuntos presenta mayor variabilidad de las longitudes?

__________________________________________

Se ha decidido dar un premio al equipo que haya tenido mejor aprovechamiento académico en matemáticas de acuerdo a

sus calificaciones. El equipo de Luis consta de tres estudiantes y sus calificaciones son: 9, 9 y 10. Las calificaciones del

equipo de Carlos son: 6, 6, 6, 6 y 6. ¿Cuál es el equipo de mejor aprovechamiento? ________

¿Por qué? __________________________________________________________

Al medir la altura en centímetros que pueden saltar un grupo de alumnas, antes y después de haber efectuado un cierto

entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores siguientes.

Altura saltada en cm

Alumno Ana Bety Carol Diana Elena Paty Mary Hilda Inés Juana

Antes del

entrenamiento

107 112 115 119 115 138 126 105 104 115

Después del

entrenamiento

106 115 128 128 115 145 132 109 102 115

¿Piensas que el entrenamiento es efectivo? __________________ ¿Por qué? ________

_______________________________________________________________________

¿Qué medida de tendencia central, la media o la mediana, es útil para determinar lo anterior?

_______________________________________________________________



En el primer problema, es muy probable que la mayoría de los alumnos digan que la marca “A” es la más variable, otros tal

vez digan que las dos marcas presentan igual variabilidad. Para esta segunda afirmación, es probable que los alumnos

basen su afirmación a partir de calcular las medias y las medianas de los dos conjuntos de datos y las comparen. En este

caso, la media y la mediana en ambos conjuntos son iguales entre sí (media = 35, mediana = 35)

Aquí vale la pena plantear preguntas de reflexión como por ejemplo: ¿En un mismo conjunto, cuánto varían los valores entre

sí? ¿Cuánto varían los valores respecto a un punto fijo, por ejemplo la media o la mediana? En este sentido, para la primera

pregunta, el conjunto A debe ser considerado más variable que el conjunto B, aunque la desviación típica es mayor en el

conjunto B. Con respecto a la segunda pregunta, con los cálculos de las medias y las medianas arrojan que tienen igual

variabilidad.

El estudio de una distribución de frecuencias no puede reducirse al de sus promedios, ya que distribuciones con medias o

medianas iguales pueden tener distintos grados de variabilidad. Un error frecuente es ignorar la dispersión de los datos

cuando se efectúan comparaciones entre dos o más muestras o poblaciones.

En el segundo problema, lo más probable es que la mayoría de los alumnos sumen las calificaciones de cada equipo y las

comparen para que digan que el equipo con mejor aprovechamiento es el de Carlos. Si esto sucede, hay que plantearles la

pregunta. ¿Es justo que el equipo de Luis tenga menor aprovechamiento por tener menor número de integrantes que el

equipo de Carlos? En este caso, la medida de tendencia central que resulta más útil para comparar el aprovechamiento de

los dos equipos es la media. La media del equipo de Luis es 9.33 y la media del equipo de Carlos es 6.

Para contestar la primera pregunta del tercer problema, es probable que los alumnos hagan una comparación rápida de los

valores de ambos conjuntos de datos, y dado que hay 6 alumnas que saltan más después del entrenamiento, dos que saltan

lo mismo y dos que disminuyen ligeramente su salto, es evidente que el entrenamiento es efectivo. Sin embargo, con la

tercer pregunta, se verán obligados a calcular la media y la mediana en ambos conjuntos; la media del primero es 115.6 y su

mediana es 115, mientras que la media del segundo es 119.5 y su mediana es 115. Después de analizar las medidas de

ambos conjuntos y de contrastar sus conjeturas con la primera anticipación, se espera que concluyan que la mediana no es

útil para comparar la efectividad del entrenamiento, en cambio el promedio, que es mayor en el segundo grupo sí lo es.


BLOQUE II


Contenido: 8.2.1 Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios.

Términos semejantes (1/2)


Intenciones didácticas: Que los alumnos distingan las características de los términos semejantes, ante la necesidad de

sumarlos o restarlos.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

En la imagen se señalan tres terrenos (H, R y S), R y S son cuadrados y sus lados miden lo mismo. Con base en esta

información contesta las preguntas.

¿Cuál es el perímetro de cada terreno? Anótalos.

Terreno H: ________ Terreno R: __________ Terreno S: _________

¿Cuál es el perímetro de los terrenos R y H juntos? ___________

¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los terrenos H y S? ______________

¿Cuál es la suma de los perímetros de los tres terrenos? ____________


En el esquema se indican las cantidades de tubo que se necesitan para hacer una instalación eléctrica en dos salas.

Anota la cantidad de tubo que se necesita para cada sala.

Sala A: _____________ Sala B: ______________

¿Cuánto más tubo se requiere en la sala A que en la sala B? ____________

Consideraciones previas

Es probable que para los alumnos resulte extraño que las medidas de un terreno se indiquen con literales o con números y

literales. Tendrían razón al expresar esta inquietud, sin embargo hay que comentarles que el uso de literales da la

posibilidad de asignar distintos valores, como sucede en el caso de las fórmulas. Así, un rectángulo cuyos largo y ancho

miden a y b, respectivamente, tiene un perímetro de 2a + 2b. Si a = 5 m y b = 3 m, el perímetro del rectángulo sería 2 x 5 + 2

x 3 = 16 m.

Al revisar los resultados es importante distinguir cuáles son términos semejantes, como x, 3x, 10x, es decir, tienen la misma

parte literal, con los mismos exponentes y sólo difieren en el coeficiente. Como tales, se pueden reducir o extender. Por

ejemplo, x + 3x – 10x se puede reducir a -6x. Pero 3x también se puede expresar como x + x + x.

Hay que estar atentos a procedimientos erróneos, como el hecho de considerar que x+x= x2, o que 2a + 2b = 4ab. Ambos

resultados provienen de la multiplicación, no de la suma.

y y y

3y y

y

3y

2y 2y 2y 2y 2y

2y

Sala A

Sala B


Resuelve sumando y restando (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen la suma y la resta de monomios, ante la necesidad da calcular

perímetros.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de cada polígono que se muestra?

Un decágono regular y un rectángulo tienen igual perímetro. Tracen ambas figuras y anoten las medidas de los lados

sabiendo que el perímetro de cada figura es 10x.

4.44z

2.91z

4.31z

3.58z

3.21z

3.43z



Con el problema 1 se intenta hacer notar que los coeficientes también pueden ser fracciones o decimales y que hay que

operar con estos números para poder reducir términos semejantes. Si al hacer la puesta en común hay varios resultados

diferentes, esto es un indicador de que la suma y la resta con fracciones y decimales no están suficientemente sólidas.

En el segundo problema seguramente no habrá mucha dificultad para el decágono, por el hecho de que se trata de 10 lados

iguales cuya suma es 10x. Conviene comentar que en este caso no es importante la precisión del trazo, basta con aceptar

que se trata de un decágono regular y, por tanto, los lados miden lo mismo.

En el caso del rectángulo la reflexión no es tan simple, hay que considerar que se trata de dos lados desiguales cuya suma

es la mitad de 10x. A menos que, consideren que el cuadrado es un rectángulo, lo cual es cierto, y consideren cuatro lados

iguales cuya suma es 10x.

Un problema adicional que puede plantearse es: ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?

De este problema, es posible que los alumnos tengan dificultad para interpretar que 2

3w es lo mismo que w

4

1 ó bien,

0.25w, similar a esto con 2

3w es lo mismo que w

2

3 ó también 1.5w.

Nota: se puede explicar de manera breve la conversión de fracciones a decimales y viceversa, a demás la similitud

al realizar adiciones y sustracciones en términos semejantes.

1.3w

1.3w


Contenido: 8.2.2. Identificacion y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos

geométricos.

Interpreta y simplifica (1/4)

Intenciones didácticas:

Que los alumnos interpreten, simbolicen y manipulen las variables incluidas en problemas que impliquen la adición en

expresiones algebraicas.

Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

¿Cuál es el perímetro de las siguientes figuras?

2. Expresen de manera general y simplificada, cada una de las siguientes situaciones:

La suma de tres números consecutivos _______________________________

La suma de cuatro números consecutivos ______________________________

La suma de cinco números consecutivos _______________________________


Es conveniente aclarar a qué se le llama números consecutivos e insistir en que se trata de expresar cada situación en

forma general, porque tal vez haya alumnos que utilicen que planteen casos concretos como 4+5+6=15

x

x

x x

x

a

a a

a

n

n n

m m

P = ________ P = ________ P = ________


Expresiones algebraicas en los polígonos (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen adición de expresiones algebraicas.

Consigna 1: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es el perímetro de cada una de las siguientes figuras?


Es probable que los alumnos pretendan sumar todos los términos, en este caso se deberá aclarar que solo se podrán sumar

los términos semejantes.

Para reforzar la suma de términos semejantes se pueden realizar ejercicios como los siguientes:

)368()31512( cbacba

)8.14.65.1()73.45.8( nmnm

)5

2

2

7

3

5()

5

6

2

3

3

4( 22 yxyx

3a + 5

2x – 1

3x + 2 2x

5x - 2


¿Cuánto recibió de cambio cada una? (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten, simbolicen y manipulen las variables en problemas que impliquen la

sustracción de expresiones algebraicas.

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

Pedro compró 8 cuadernos a n pesos cada uno, si al pagar le descontaron el precio de 2 cuadernos ¿Cuánto pagó?

Rosa y Tere fueron al supermercado, Rosa compró 3 kg de manzanas y Tere compró 2 kg de manzanas y 3 kg de uvas.

Cada una pagó con un billete de $100.00. Si el kilogramo de manzanas cuesta n pesos, y el de uvas m pesos, ¿Cuánto

recibió de cambio cada una?


Se trata de que los alumnos representen con expresiones algebraicas la cantidad de dinero que recibirá cada una de

cambio, llegando a la representación algebraica, en el caso de Rosa, como n3100 ; y en el caso de Tere, como

)32(100 mn


La sustracción de expresiones algebráicas (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen sustracción de expresiones algebraicas.

Consigna: Organizados en equipos, realicen lo que se indica a continuación.

En el siguiente cuadrado mágico la suma de las líneas horizontales, verticales y diagonales, es igual a 12a – 18b. Encuentra

los binomios faltantes y verifica que efectivamente cada línea suma 12a – 18b.


Una vez que la mayoría de los alumnos termine de llenar el cuadrado mágico hay que comparar los resultados y si hay

diferencias, averiguar quienes tienen razón. Probablemente algunos tengan dificultad para efectuar las restas, en cuyo caso

habrá que aclarar todas las dudas que se presenten.

Para consolidar se pueden realizar ejercicios utilizando números decimales y fraccionarios como los siguientes:

)53.12.1()75.16.3( cyxcyx

)263()4108( baba

)46

2

4

7()3

6

5

4

2( yx

yx

2a – 3b

10a – 15b

12a -18b

4a – 6b

-2a + 3b

6a – 9b


Contenido: 8.2.3 Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos

geométricos.

¿De donde salió el área? (1/3)


Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan y reconozcan expresiones algebraicas equivalentes a partir del cálculo

de áreas de modelos geométricos.

Consigna 1: En equipos encuentren la expresión algebraica que representa el área de las siguientes figuras:

A = __________ A=___________ A=___________


El alumno aplicará los conocimientos adquiridos para el cálculo de áreas. Habría que insistir que expresiones como mm ,

se puede escribir como 2m . En caso de que el problema resulte muy fácil, habrá una puesta en común breve y enseguida

se planteará la siguiente consigna.

Consigna 2: En equipos representen algebraicamente las áreas de las siguientes figuras tomando como base las

anteriores:

m

m m

n

n

n

m n m

m

A = ___________________________

a)


Consideraciones previas.

En la puesta en común de las respuestas, es importante reflexionar sobre expresiones equivalentes tales como en el a),

donde es probable que los alumnos lleguen a escribir como respuesta cualquiera de las siguientes expresiones

equivalentes:

))(( nmmm

))(())(())(( nmmmmm

mnmm 22

)2)(( nmm

mnm 22

Tratar de justificarlas con los modelos geométricos planteados en la primera consigna.

Nota: Reforzar el lenguaje algebraico, cálculo de áreas y equivalencias.

m

m

m n n

m n

n

n

n n

m

A = ___________________________

A = ___________________________

b)

c)


De la geometría a la expresión algebraica (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos reconozcan y obtengan expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo

de modelos geométricos.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema y contesten lo que se pide.

1. Una fábrica produce azulejos de tres tamaños diferentes. Las dimensiones de los azulejos son como las que se muestran

enseguida:

Representen algebraicamente las áreas de las siguientes figuras formadas con azulejos:

A= ______________ A= ________________

a

a a

1

1

1

Figura 1 Figura 2

a + 1

4 4

a 1


A= _______________ A= _________________

A= __________________ A= ____________________

¿Qué relación observaron entre las áreas de cada par de figuras?

¿Se puede afirmar, entonces, lo mismo para sus respectivas expresiones algebraicas?

Si se sustituye la literal “a” en cada figura por un valor determinado (2, 3 ó 4) ¿cómo son los resultados en cada caso?

Consideraciones previas: Al analizar los resultados de cada pareja de figuras es importante comparar tanto las áreas

como las expresiones que representan dichas áreas, utilizando el término equivalentes, porque representan el mismo valor,

cuando la literal se sustituye por un número. Si se cree necesario, se puede utilizar como material didáctico los patrones de

las figuras geométricas hechas en cartoncillo. 1 1

Figura 3 Figura 4

a + 1

2

2

2

2

a 1

a

a 2

Figura 5 Figura 6

a

a 2 +


Modelos geométricos equivalentes (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan modelos geométricos equivalentes a partir de expresiones algebraicas.

Consigna: En equipos, dados los siguientes patrones de figuras; construir para cada expresión algebraica, dos modelos

diferentes de figuras geométricas y expresar algebraicamente sus áreas.

mnm 23 2

mnnm 22 22

Consideraciones previas: A diferencia de la sesión anterior, en ésta se parte de la expresión algebraica que modela el

área y se trata de construir dos figuras diferentes, encontrar la expresión que le corresponde a cada una y compararlas.

También en este caso se puede utilizar como material didáctico los patrones de las figuras geométricas hechas en

cartoncillo.

Para reforzar esta parte, sería conveniente proponer que los alumnos encuentren expresiones equivalentes. Ejemplos:

)4(nn

xx 24 2

xx 22

aba 22

m

m m

n

n

n

Figura 1 Figura 2 Figura 3


Contenido: 8.2.4 Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

Justifica y aplica la fórmula (1/3)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: FEyM

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen el volumen del cubo y algunos otros prismas con sus respectivas

dimensiones, para justificar sus fórmulas mediante procedimientos personales.

Consigna 1: Organizados en parejas, expresen el volumen de los siguientes cuerpos.

15

10

12

7

3cm

3cm

3cm

2cm

V =

V =

V =

4cm

3cm

V = V = V =


Consigna 2: Ahora comenten si se puede obtener el volumen de estos cuerpos geométricos empleando las fórmulas que

aparecen abajo y digan por qué.

Cubo V = l3 (lado al cubo)

Prismas V= ABh (Área de la base x altura)


Las dos consignas se entregarán por separado. En la primera consigna se permitirá que los alumnos obtengan el volumen

con sus propios procedimientos, ya sea contando los cubos pequeños o bien observando las dimensiones y aplicando las

fórmulas.

En la segunda consigna, se espera que los alumnos analicen las características de los cuerpos geométricos, sus

dimensiones y argumenten la relación de éstas con sus fórmulas.

a a

3a

c

V =

V =


Vamos a calcular el volumen del cuerpo (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen, en casos sencillos, el área de la base y la altura de un prisma con su

volumen y justifiquen la fórmula para calcular el volumen de cualquier prisma.

Consigna 1: Organizados en equipos de tres compañeros armen los desarrollos planos de los prismas que se encuentran

abajo. Cuiden dejar una cara del prisma cuadrangular sin pegar.


Consigna 2: Una vez armados los cuerpos, calculen su volumen. Expliquen su procedimiento.


Lo importante en esta actividad es que los alumnos lleguen a la conclusión de que sigue siendo válida la fórmula: V = ABh y

que argumenten su conclusión.

Además, es probable que surjan problemas en cuanto a la obtención del área de la base en los prismas triangulares, porque

tomen como altura del triángulo alguno de sus lados. En este caso, habrá que recordar que la altura de un triángulo es la

perpendicular a la base, trazada desde el vértice opuesto y que todo triángulo tiene tres alturas. Incluso, si el maestro lo

considera necesario, se les podría solicitar de tarea que realicen el cálculo con base en cada una de las alturas y comparen

los resultados. Aunque éstos no sean exactamente iguales, se observará que la diferencia en el cálculo es mínima y que se

debe, con toda seguridad, a las diferencias (errores) en la medición.

Será necesario pedir a los alumnos que lleven tijeras y pegamento para papel.


Busca la relación (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la relación que existe entre el volumen de un prisma y una pirámide

que tienen la misma base y la misma altura.

Consigna 1: Organizados en equipos de tres alumnos, realicen las siguientes actividades.

Recorten el desarrollo plano de la pirámide que está enseguida y peguen sus caras cuidando dejar la base sin pegar.

Comparen la pirámide que acaban de armar y el prisma cuadrangular que armaron antes y señalen semejanzas y

diferencias.

Llenen la pirámide con sal y vacíen el contenido en el prisma cuadrangular anterior, háganlo tantas veces como sea

necesario para llenar el prisma. Al terminar de hacer esto contesten las siguientes preguntas.

¿Cuántas veces vaciaron el contenido completo de la pirámide en el prisma?

¿Qué relación habrá entre lo que hicieron y la fórmula para calcular el volumen de una pirámide (V = ABh o V = 1/3 ABh

)?

3



Es necesario que para esta sesión se encargue a los alumnos tijeras, pegamento y sal o algún material que se pueda verter

fácilmente.

Con tiempo, encargar cartulinas, cartoncillos u otro material para trabajar con los alumnos.

Cuando los alumnos estén realizando la actividad de recortado y armado deberá asegurarse que los cuerpos geométricos

queden armados tal y como se sugiere.

El experimento permite establecer la relación existente entre los volúmenes de un prisma y una pirámide cuyas bases y

alturas son las mismas: tres veces el volumen de la pirámide equivale al volumen del prisma, o bien, el volumen de una

pirámide es un tercio del volumen del prisma cuya base y altura es igual a la de la pirámide. Es importante que el docente

encamine la discusión para que los alumnos observen que esta relación nos permite construir la fórmula para obtener el

volumen de una pirámide.

Se les puede dejar como tarea que construyan una pirámide con la misma base y altura que tiene alguno de los prismas

construidos en la clase anterior y comprueben la equivalencia entre sus volúmenes.


Contenido: 8.2.5 Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término

implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

¿ Y si varían las dimensiones del cubo? (1/4)


.Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la forma en que varían las dimensiones o el volumen de un

cubo.

Consigna 1: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

A un cubo le caben 3 375 cm3 de agua, ¿cuánto miden las aristas del cubo?


.En este caso, aunque una forma de resolver el problema consiste en obtener la raíz cúbica del volumen, no se espera que

los alumnos recurran necesariamente a este procedimiento, sino que pueden hacerlo por tanteo; lo importante en este caso

es que reflexionen sobre la relación entre la medida de la arista y el volumen del cubo. Así que, si lo considera conveniente,

puede proponer otras cantidades más sencillas como 1 000 cm3, 125 cm

3, etc., o cantidades más grandes como: 5 832 cm

3,

74 088 cm3, etc.

Consigna 2: Si se duplica la medida de las aristas del cubo:

¿Qué cantidad de agua le cabría?

¿También la cantidad de agua que se tenía inicialmente se duplicó?


Tal vez los alumnos supongan que si se duplica la longitud de las aristas de un cubo, el volumen de agua que le cabe

también será el doble. Si ningún alumno o equipo cuestiona esto, será necesario que el maestro lo haga y les plantee

algunos otros problemas con cantidades más pequeñas para que puedan “ver” cómo cambia el volumen en función de los

cambios que sufre la longitud de la arista.


¿Cuánta agua le cabe al tanque? (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la equivalencia entre el litro y el dm3 a la vez que calculan

cualquiera de las tres dimensiones de un prisma, conociendo el volumen y las otras dos dimensiones.

Consigna: En equipos, resuelvan el siguiente problema:

Un tanque de almacenamiento de agua instalado en una comunidad tiene forma de prisma rectangular y una capacidad de 8

000 litros, su base mide 2.5 m por 2 m.

¿Qué altura tiene este tanque?

¿Qué cantidad de agua contendría si sólo llegara el agua a una altura de 75 cm?


Este problema se vincula con la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, una vez que se sustituyen

algunas literales por sus valores. Se espera que los alumnos sepan utilizar este conocimiento, pero si es necesario hay que

recordarlo. Otra dificultad radica en la equivalencia de m3, dm3 y litros (l), por lo que se recomienda que si los alumnos no

tienen claridad sobre estas equivalencias, se ilustren con dibujos.

VOLUMEN y CAPACIDAD

m3 (metro cúbico) 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l (litros)

1 m3 = 1000 000 cm3

dm3 (decímetro cúbico) 1 dm

3 = 1000 cm

3 = 1 l

1 dm3 = 1000 000 mm

3

cm3 (centímetro cúbico) 1 cm3 = 1 000 mm3

Si el problema anterior no ofrece dificultad a los alumnos, se puede plantear la siguiente pregunta:

Si el tanque tuviese la misma capacidad (8 000 l), pero fuese de forma cúbica, ¿cuales serían sus dimensiones?


Busca las condiciones (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan las condiciones que se deben cumplir para que el volumen de un

prisma y el volumen de una pirámide sean iguales.

Consigna: Organizados en equipos, contesten las siguientes preguntas:

En un envase con forma de prisma cuadrangular cuya base mide 5 cm por lado caben 250 cm3 de aceite.

¿Cuál es la altura de la caja?

¿Cabría la misma cantidad de aceite en un envase forma de pirámide cuya base y altura sean iguales que en el envase

anterior? Justifica tu respuesta.

¿Qué condiciones deben cumplirse para que un envase con forma de prisma y otro con forma de pirámide que tienen la

misma base, tengan la misma capacidad? ¿Por qué?


Los alumnos ya comprobaron que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma cuya base y

altura son iguales a los de la pirámide, así que ahora tendrán que analizar qué sucede cuando algunas de esas dimensiones

se mantienen constantes y sólo varía una de ellas. Si las condiciones del grupo lo permiten, se puede cambiar las

dimensiones de la base y dejar la misma altura y el mismo volumen, o bien, sólo mantener constante el volumen y preguntar

qué sucede con la base y con la altura de los dos cuerpos.


Fórmulas del volumen de prismas y pirámides rectos (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones entre los términos de las fórmulas del volumen de

prismas y pirámides rectos.

Consigna 1: En equipos, completen la tabla siguiente. Pueden usar calculadora.

Cuerpo Datos de la base

Altura del cuerpo

(cm)

Volumen

(cm3) Largo (cm) Ancho (cm)

Prisma cuadrangular 10 360



Prisma cuadrangular 9.6 240

Prisma rectangular 8 2 160




Consigna 2: Organizados en los mismos equipos, hagan una tabla como la anterior y con las mismas dimensiones de

la base y altura de los prismas, calculen el volumen de las pirámides. Pueden usar calculadora.


Altura del cuerpo

(cm)

Volumen


Pirámide cuadrangular 10



Pirámide cuadrangular 9.6

Pirámide rectangular 8 2





Consigna 3: Ahora, si el volumen de las pirámides fuese el mismo que el de los prismas, ¿cuáles deberían ser las

dimensiones? Pueden usar calculadora.


Altura del cuerpo

(cm)

Volumen


Pirámide cuadrangular 10 360



Pirámide cuadrangular 9.6 240

Pirámide rectangular 8 2 160





Se espera que la primera tabla sea resuelta fácil y rápidamente, pues sólo se trata de hacer operaciones con la calculadora

para obtener uno de los datos faltantes, para lo cual se puede solamente pedir que lean los resultados obtenidos. En el caso

de la segunda y tercera tablas, habrá que observar si pueden calcular las medidas faltantes con base en la relación prisma-

pirámide con algunas dimensiones iguales.


Contenido: 8.2.6 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos

procedimientos.

Proporcionalidad directa (1/3)


.Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen el comportamiento de las variables en una relación de

proporcionalidad directa o inversa estableciendo comparaciones entre ellas.

Consigna: Organizados en binas, resuelvan los siguientes problemas.

1.- En la tienda de Don José se venden 5 kg de naranjas en $16.00. ¿Cuál sería el costo de 9 kg?, ¿y de 6 kg?, ¿y de un

kilogramo?, ¿y de 3 kg? Con los datos anteriores y sus respuestas, completen la siguiente tabla:

¿Qué sucede con el costo al aumentar la cantidad de kilogramos de naranja que se compren? ______________

¿Qué sucede con el costo al disminuir la cantidad de kilogramos de naranja que se compren? ______________

2.- Una empresa elaboradora de alimentos para animales envasan su producción en bolsas de 3kg, 5kg, 10kg, 15 kg y 20

kg. Si dispone de 15 toneladas a granel, ¿cuántas bolsas utilizaría en cada caso?. Completa la tabla siguiente con los datos

que obtuvieron.

¿Qué sucede con el No. de bolsas al aumentar la cantidad de kilogramos en cada una? ______________

¿Qué sucede con el No. de bolsas al disminuir la cantidad de kilogramos en cada una? ______________

¿Qué observan entre el comportamiento de los datos de la primera tabla con respecto a los de la segunda tabla?

______________________________________________


El alumno ya ha trabajado con proporcionalidad directa. Si el profesor lo considera necesario aprovechará la situación para

cuestionar a sus alumnos acerca del factor constante y la expresión algebraica que relaciona las dos variables. En caso de

que los alumnos tengan dificultad para contestar la última pregunta, el profesor los puede orientar con preguntas como:

¿Varían de igual forma los datos en ambas tablas? , ¿En qué son diferentes?, etc. El profesor concluirá que al segundo tipo

de variación se le denomina “Variación Proporcional Inversa”.

Kilogramos

Costo

Kilogramos

No. Bolsas


La constante de proporcionalidad (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la constante de proporcionalidad directa e inversa.

Consigna: El grupo se organiza en binas.

1. La tabla siguiente muestra el perímetro (P) de un cuadrado de longitud l por lado, para distintos valores de l. Hacen falta

algunos datos complétenla:

¿Qué tipo de variación observan en esta tabla? ______________

¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ______________

¿Cómo determinaron la constante de proporcionalidad? _________________________

2. En la siguiente tabla se muestran algunos valores de la base y la altura de un rectángulo cuya área es constante. Anoten

los datos que faltan.

¿Cuál es el área del rectángulo? _____________

¿Qué tipo de variación observan en esta tabla? ______________

¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ______________

¿Cómo determinaron la constante de proporcionalidad? ___________________________________________


Se espera que para la primera tabla no presenten dificultad puesto que ya han trabajado con proporcionalidad directa. Si

tuvieran dificultades el profesor aprovechará para hacer un repaso de la constante de proporcionalidad y la forma de

determinarla. Con respecto al segundo problema, si los alumnos presentan dificultad en completar la tabla, recordar la forma

de obtener el área de un rectángulo y señalar que el área de dicho rectángulo es constante.

l 2 6 8

P 16 24 40

Base (b) 2 3 4

Altura (h) 24 8 4


Proporcionalidad inversa (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de proporcionalidad inversa, utilizando la propiedad de

productos constantes.

Consigna: En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Pueden usar la calculadora.

1. Una persona da 420 pasos de 0.75 m cada uno para recorrer cierta distancia, ¿cuántos pasos de 0.70 m cada uno

necesitaría para recorrer la misma distancia?

2. Un coche tarda 9 horas en recorrer un trayecto siendo su velocidad de 85 km por hora. ¿Cuánto tardará en recorrer el

mismo trayecto a 70 km por hora?

3. En una fábrica de chocolates se necesitan 3 600 cajas con capacidad de ½ kg para envasar su producción diaria.

¿Cuántas cajas con capacidad de ¼ de kg se necesitarán para envasar la producción de todo un día? ¿Y si se quiere

envasar la producción diaria en cajas cuya capacidad es de 300 g?


Se puede presentar el caso de que los alumnos interpreten los problemas como variación directa, en este caso el profesor

deberá dirigir la atención al comportamiento de las variables involucradas en cada problema, en el sentido de que si una

aumenta la otra disminuye y viceversa para establecer que se trata de una variación proporcional inversa, además de

aprovechar para cuestionar a los alumnos sobre la propiedad de productos constantes.


Contenido: 8.2.7 Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados, para un acercamiento a la

probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.

Juega y relaciona (1/3)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: M I

Intenciones didácticas. Que los alumnos expresen la probabilidad teórica de un evento mediante la proporción entre casos

favorables y casos posibles.

Consigna. Organizados en parejas respondan lo que se solicita.

En el lanzamiento de una moneda al aire:

¿Qué es más probable, que se obtenga sol o águila? ______________________

¿Cuál es la probabilidad de obtener águila? _____________________¿Cuál es la probabilidad de obtener sol?

________________________

En el lanzamiento de un dado al aire:

¿Qué es más probable, que se obtenga 1 o 4? ___________________________

¿Cuál es la probabilidad de obtener 1? _______________________ ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4?

__________________________

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a 4? ________________

¿Cuál es la probabilidad de obtener cualquier número del dado? ____________

En el lanzamiento simultáneo de una moneda y un dado al aire:

¿Cuál es la probabilidad de obtener águila y el número 3? _________________

¿Cuál es la probabilidad de obtener sol y un número par? _________________

En el lanzamiento simultáneo de dos dados al aire:

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números impares? ________________

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y uno impar? ____________



El verdadero reto de los problemas de este plan es que los alumnos expresen numéricamente la probabilidad teórica de

diferentes eventos.

Para el problema 1, se espera que los alumnos puedan advertir que sol y águila tiene la misma probabilidad de obtenerse,

ya que son los únicos posibles resultados y están en igualdad de circunstancias. Para expresar la probabilidad de obtener

águila, es posible que escriban la mitad o 1 de 2, será importante verificar si algunos utilizan 2

1 y discutir ampliamente el

significado de dicha expresión, si a nadie se le ocurre escribir 2

1 el profesor puede proponerlo y analizar junto con los

alumnos el significado de sus elementos, el 2 es el total de resultados posibles (espacio muestral) y el 1 los resultados

favorables.

En el problema 2, a diferencia del 1, es que el número de resultados posibles del experimento es mayor, hay 6 posibles

resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6).

A partir del tercer problema, una tarea fundamental, nada simple, es que los alumnos traten de determinar el total de los

resultados posibles de cada experimento e identificar los casos favorables, para lograrlo se pueden utilizar diversas

herramientas como un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada, si a los alumnos no se les ocurre utilizar estos

recursos, el profesor puede sugerirlos.

Por ejemplo, en el problema 4 pueden utilizar una tabla como la siguiente, la cual permite apreciar el espacio muestral del

lanzamiento de dos dados y a partir de él identificar los casos favorables de cada evento.

Posibles resultados de lanzar dos dados

Dado 1

1 2 3 4 5 6

Dad

o 2

1 1,1 3,1 5,1

2

3 1,3 3,3 5,3

4

5 1,5 3,5 5,5

6

La tabla sólo contiene los resultados de obtener dos números impares, así, de los 36 posibles resultados, 9 son favorables,

por lo tanto, la probabilidad de obtener dos números impares es 36

9 o bien

4

1.


Juega y registra tus resultados (2/3)

Intenciones didácticas. Que los alumnos identifiquen la relación entre la probabilidad teórica y la frecuencial de un evento

al realizar un experimento con dos posibles resultados.

Consigna. Organizados en parejas realicen las siguientes actividades.

El juego de los volados consiste en lanzar una moneda al aire y predecir el resultado (águila o sol). ¿Cuál es la probabilidad

de que caiga águila? ______________ ¿Y de que caiga sol? ____________________________

Ahora lancen 20 veces una moneda y registren sus resultados en la siguiente tabla.

¿Cuántas águilas cayeron? ______________________

Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. _____________

¿Qué relación observan entre el cociente que escribieron y la probabilidad de caer águila que obtuvieron sin hacer el volado

en la actividad 1? ________________


En el pizarrón, con ayuda de su maestro, hagan una tabla para registrar los resultados de todas las parejas del grupo.

Escriban también los resultados en la siguiente tabla.

¿Cuántas águilas cayeron en total? __________________

Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. _________

¿Qué relación observan entre el cociente que obtuvieron en pareja y en el grupo, respecto a la probabilidad que escribieron

en la actividad 1 sin hacer el volado? _________________________________________________________

Si lanzaran la moneda 1 000 veces, ¿cuántas veces creen que se obtenga águila? ________ ¿Por qué?

_________________________________________________


Para realizar las actividades de la consigna hay que prever que cada pareja cuente con una moneda.

En la actividad 1 se trata de que los alumnos encuentren la probabilidad teórica de obtener águila en un volado. Los

resultados posibles de un volado son dos (águila y sol) y la probabilidad de obtener águila es 1 de 2, lo cual también puede

escribirse como 1/2.

En la actividad 2 se trata de obtener la probabilidad frecuencial de que caiga águila al lanzar 20 veces la moneda; es decir,

echar 20 volados y ver cuántas veces cayó águila. La probabilidad frecuencial puede escribirse como el cociente del número

de veces que cayó águila entre 20, por ejemplo, si caen 8 águilas, la probabilidad frecuencial se escribe con 8/20. Además

de obtener la probabilidad frecuencial, en la pregunta c se pretende que los alumnos comparen ambas y que adviertan,

aunque de manera incipiente, en este momento, cierto acercamiento de la probabilidad frecuencial respecto a la teórica.

La actividad tres es muy semejante a la anterior, con la importante diferencia de que ahora se contabilizan los resultados de

todas las parejas del grupo. Resulta evidente que la probabilidad frecuencial sea más cercana a la probabilidad teórica y que

los alumnos puedan advertir que en la medida en que aumentan los experimentos, la probabilidad frecuencial cada vez se

aproxima más a la teórica. Así la respuesta a la pregunta d tendría que ser un número muy cercano a 500.

Como puede advertirse, el resultado utilizado en todas las actividades fue águila; de modo que una pregunta interesante, si

es que no la plantean los alumnos, sería: ¿qué sucede con la probabilidad frecuencial de obtener sol?, ¿es la misma que en

el caso del águila? Dado que la probabilidad teórica de obtener águila o sol es la misma (1/2), sus probabilidades

frecuenciales tienen el mismo comportamiento: cada vez más se aproximarán a 1/2 conforme se repita un mayor número de

veces el experimento.


La probabilidad teórica y la frecuencial (3/3)

Intenciones didácticas. Que los alumnos verifiquen la relación entre la probabilidad teórica y la frecuencial de un evento al

realizar un experimento con seis posibles resultados.

Consigna. Organizados en equipos realicen las siguientes actividades

La maestra de primero grado de secundaria realizó un concurso de conocimientos por equipos y dijo que el equipo ganador

obtendría de regalo un balón. Después los miembros de ese equipo deberían elegir la forma de asignar el premio entre

ellos. Ganó el equipo formado por Daniela, Verónica, Lulú, Manuel, Rodrigo y Luis.

Para seleccionar al alumno que se llevará el balón, Daniela propuso que fuera mediante el lanzamiento de un dado. Cada

quien elegiría un número y luego se lanzaría 60 veces el dado; el alumno que haya seleccionado el número que haya salido

más veces, sería el ganador.

¿Quién tiene más posibilidades de ganar, Rodrigo o Verónica? ____________

¿Por qué? ____________________________________________________

¿Cuál es la probabilidad de que Daniela resulte ganadora? ______________

¿Por qué? ____________________________________________________

Ahora realicen el experimento para obtener un posible ganador. Tiren un dado 60 veces y registren sus resultados en la

siguiente tabla de frecuencias.

De acuerdo con los resultados de su experimento, ¿quién ganaría el

balón? _______________ ¿Cuál es la probabilidad de que Manuel

se lleve el balón? __________________

Si el experimento se repitiera 600 veces, ¿a qué valor se

aproximaría la probabilidad frecuencial de que resulte ganador

Manuel? _____________________



Para llevar a cabo las actividades de la consigna hay que prever que cada equipo cuente con un dado.

A diferencia del plan anterior, en este experimento hay 6 posibles resultados en tanto que en el otro eran únicamente 2. Se

trata de comprobar que la probabilidad frecuencial de un evento se aproxima cada vez más a la probabilidad teórica siempre

y cuando se realice más veces el experimento.

Para el primer problema, en donde se trata de predecir lo que ocurrirá en 60 lanzamientos de un dado, el único referente

que tienen los niños es la probabilidad teórica; es decir, que cada uno de los 6 posibles resultados tiene 1 de 6 o 1/6 de

probabilidad de aparecer. Por lo anterior, todos tienen la misma probabilidad de ganar, así que la probabilidad frecuencial

puede ser cualquier cociente x /60, el cual será cercano a 1/6.

Una vez que realicen el experimento 60 veces, se espera que puedan identificar que las probabilidades frecuenciales de

cada resultado se aproximan a 1/6 y que concluyan que en 600 lanzamientos se acercarán aún más.


BLOQUE III


Contenido 8.3.1: Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los

paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

¿Importa el orden’ (1/4)


Intenciones didácticas: Que los alumnos a partir de una serie de cálculos, descubran la jerarquía de las operaciones.

Consigna: En forma individual, resuelvan las siguientes operaciones. Pueden utilizar una calculadora para verificar sus

resultados. Al terminar, compartan sus respuestas con el resto del grupo.

a) 20 + 5 x 38 =

b) 240 – 68 4 =

c) 250 5 x 25 =

d) 120 + 84 – 3 x 10 =

e) 230 – 4 x 52 + 14 =


Es probable que los alumnos lleguen a diferentes resultados, por lo que es importante que en la puesta en común, discutan

cuál es el resultado correcto de cada uno de los casos que se presentan.

El uso de la calculadora para verificar los resultados también puede ser un elemento de controversia que se debe

aprovechar, ya que las calculadoras sencillas conocidas como de bolsillo, generalmente no emplean la jerarquía de

operaciones, mientras que calculadoras conocidas como científicas, sí la emplean. Por ejemplo, para el primer caso, en una

calculadora sencilla, el resultado es 950, mientras que en una científica es 210.

Es necesario aclarar que mientras un tipo de calculadora efectúa las operaciones en el orden en que aparecen, la otra

realiza primero las multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas.

Para tener más materia de discusión se puede pedir a los alumnos que resuelvan las siguientes operaciones:

0.42 x 5 -7 =

-25 +34 x 6/3 =

-17/8 + 3 x 6 =

-3/5 x 8 + 5.25 =

-28 + 35 + 2.5 1.5 =


Poniendo orden (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen el orden en que deben efectuarse los cálculos en una expresión para

obtener un resultado establecido previamente.

Consigna: En binas resuelvan lo siguiente. Pueden utilizar la calculadora.

¿En qué orden se deben efectuar los cálculos en las siguientes expresiones para obtener los resultados que se indican?

Pongan paréntesis a los cálculos que se hacen primero.

25 + 40 x 4 – 10 2 = 180

8 – 2 ÷ 3 + 4 x 5 = 22

15 ÷ 3 – 7 – 2 = 0

18 + 4 x 3 ÷ 3 x 2 = 6

21 – 14 ÷ 2 + 7 x 2 = 28


Una vez que la mayoría de los equipos termine de colocar paréntesis en las expresiones anteriores hay que ayudarlos a

comparar los resultados de los equipos. Conviene que las expresiones se analicen de una en una para ver si todos los

equipos colocaron los paréntesis que se necesitan, si sobran o faltan, hay que animarlos para que aporten argumentos. Es

importante que los alumnos reflexionen sobre el papel de los paréntesis presentes en una expresión en la que se combinan

varias operaciones y aclarar que son necesarios para agrupar términos, con el fin de obtener un resultado deseado. Si hay

varios paréntesis, uno dentro de otro, se realizan las operaciones de adentro hacia fuera.

Si hay tiempo, se les puede pedir que cada equipo invente una expresión como las anteriores y la proponga al resto de los

equipos.


¿Y los paréntesis? (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen utilizar paréntesis para indicar el orden de las

operaciones.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema:

Adrián fue a comprar un par de cuadernos en una papelería que tenía la siguiente oferta:

El precio de un cuaderno, sin descuento, era de $25.00. El pagó con un billete de $100.00 y le dieron de cambio $60.00.

De acuerdo con esta información, ¿cuál de las siguientes operaciones representa la situación anterior?

a) 100

2050252100

b) ))100

2050()252((100

c) )100

2050()252(100

d) )100

2050())252(100(


Es probable que algunos alumnos no recuerden cómo se calcula el tanto por ciento; en caso de que esto suceda, habría que

aclarar que el tanto por ciento se puede expresar como una fracción, por ejemplo, 100

20%20 .

En la búsqueda del orden correcto de las operaciones, probablemente algunos alumnos intenten efectuar las operaciones

para ver cuál de ellas resulta 60, y de esta manera elijan la expresión que corresponde a la situación; sin embargo, en la

puesta en común, hay que analizar el papel de los paréntesis para verificar que efectivamente la expresión que eligieron es

la correcta.

Todos los

cuadernos de la

marca x, 20 % de

descuento.


Utilizando paréntesis (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen utilizar paréntesis para indicar el orden de las

operaciones.

Consigna: Reúnte con un compañero y juntos resuelvan el siguiente problema:

Un terreno tiene la siguiente forma:

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del terreno?

Si el valor de n es 6 metros, ¿cuántos metros cuadrados tiene el terreno?

¿Cuál es el perímetro del terreno?


Es probable que algunos alumnos no utilicen paréntesis y escriban la expresión como por ejemplo: 24 x 17 – 12.5 x n

En este caso al hacer la sustitución de n por 6 y hacer las operaciones en el orden que aparecen obtendrán como resultado

2373 m2. Este resultado los llevará a la necesidad de utilizar paréntesis para agrupar los cálculos.

12.5 17

24

n


Contenido8.3.2: Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a

excepción de la división entre polinomios.

¿Expresiones algebraicas? (1/3)


Intenciones didácticas: Que el alumno aplique la multiplicación de monomios y polinomios en la resolución de problemas.

Consigna: Organizados en binas, resuelvan el siguiente problema:

Analicen la siguiente figura; luego respondan lo que se pide:

a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que esta en blanco?

b) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo que esta en blanco?

c) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada?

Al terminar, comparen sus respuestas con las de otros equipos.


Es probable que algunos alumnos tengan dificultad en determinar la medida del largo del rectángulo blanco, pero hay que

darles tiempo para que ellos solos lleguen a deducir dicha medida.

También es probable que algunos alumnos expresen el área del rectángulo blanco como 4212 xA . Aquí hay que

inducir los alumnos a que reflexionen si 4212 x es equivalente a )4)(212( x

12

2x

4


Multiplicando expresiones (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos realicen multiplicaciones de monomios y polinomio al resolver problemas.

Consigna: Organizados en binas, resuelvan el siguiente problema:

Se está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:

De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos:

¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?

Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?


Es muy probable que entre los equipos lleguen a resultados equivalentes; sin embargo, vale la pena aprovechar esta parte,

para reflexionar sobre lo que sucede con los coeficientes y exponentes. En este momento es pertinente abrir un espacio

para formalizar estos conocimientos sobre la multiplicación de un monomio por un monomio y, de un monomio por un

polinomio.

Luego, se puede pedir a los alumnos que resuelvan algunos ejercicios como por ejemplo:

)315(6)12)(13( nmmyx

)2653(2)27(4 232 yxyxyxaba

x

x

x

4

Plataforma


Plan de clase (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las multiplicación de expresiones algebraicas para encontrar cantidades

o expresiones desconocidas.

Consigna: Organizados en equipos, los alumnos resolverán el siguiente problema.

¿Cuánto mide el largo del siguiente rectángulo?


Para resolver este problema los alumnos pueden optar por dos vías, una, que es poco probable, consiste en dividir el área

entre la medida del ancho y la otra, que piensen por cuánto tienen que multiplicar el ancho para obtener el área.

En caso de tener tiempo, se puede plantear la realización de otro problema y algunos ejercicios como por ejemplo:

(___) (4x - 8) = 24x2 – 48x

(___ + ___) (6y) = 42y2 + 30y

(10n) (9n + 7) = _____ + ______

A = 6a2 + 15a

?

3a


Contenido 8.3.3: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier

polígono.

Entre ángulos y lados (1/2)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F.E y M

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren la expresión general que relaciona el número de lados de un polígono

convexo con el número de triángulos que contiene, al trazar las diagonales desde un mismo vértice.

Consigna 1: Organizados en equipos de 4 dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente cada

integrante del equipo) y tracen las diagonales del polígono desde un mismo vértice. ¿Qué figuras se forman al interior del

polígono?___________________

Consiga 2. En binas completen la siguiente tabla.

Polígono

Triangul

o

Cuadrad

o

Pentágon

o

Hexágon

o

Heptágon

o

Octágon

o

Eneágon

o

Decágon

o

Polígon

o de n

lados

Numero

de lados

7

Cuantos

triángulos

hay

1


Numero

de

diagonale

s de uno

de los

vértices

5

Suma de

los

ángulos

internos

360

Analiza la tabla y escribe la regla general que permite calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono (sin tener

que dibujar).


Es probable que algunos alumnos tracen triángulos al realizar la primera actividad, así que se procurará que reflexionen

acerca del concepto de diagonal, para darse cuenta que en el triángulo no se pueden trazar diagonales. También es

importante señalar que los polígonos no sean forzosamente regulares, pues la regla de los triángulos que se forman al

interior de la figura se cumple para los polígonos regulares e irregulares. Se espera que con el llenado de la tabla los

alumnos descubran la regularidad de que el número de triángulos que se forman dentro del polígono es igual al número de

lados menos dos y que la puedan expresar algebraicamente. Es probable que haya necesidad de aclarar conceptos tales

como polígono convexo, diagonal, ángulo.


140

140

140

Usando fórmula (2/2)

Intenciones didácticas: Apliquen la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono.

Consigna: Organizados en equipos, respondan las siguientes preguntas y justifiquen sus respuestas.

1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________

¿Por qué?_______________________________________________________

2. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen el polígono?______ ¿Cómo

se llama?______________

3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se trata?_______________ ¿Por

qué?_________________________

4. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos.

Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los

ángulos internos del piso del kiosco, que tiene forma de octágono.

¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del

kiosco?__________________________


Es necesario que se dé tiempo suficiente para que los alumnos resuelvan cada problema y para la puesta en común de

cada uno de ellos, con el fin de que los estudiantes comuniquen los diferentes procedimientos y resultados obtenidos, así

como los argumentos que respalden sus procedimientos. Se puede cambiar de forma de kiosco; pentágono, hexágono,

heptágono.


Contenido 8.3.4: Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

Cubriendo el plano (1/3)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F. E. y M.

Intención didáctica: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se

puede cubrir un plano.

Consigna 1: Organizados en binas, determinen si las figuras que tienen les permiten cubrir el plano sin dejar huecos, para

cada caso se deben utilizar exclusivamente figuras de una sola forma. Busquen una superficie plana (el piso o una mesa)

para que puedan probar. Después contesten las siguientes preguntas:

¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano?

¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano?

¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a qué creen que se deba?


Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que tracen y recorten los polígonos que van a utilizar (cuadrados,

triángulos equiláteros, pentágonos, hexágonos y octágonos regulares). Pedir dos formas diferentes por equipo, 20 figuras

congruentes de cada forma.

También se les puede pedir que busquen, en revistas o libros, imágenes de mosaicos con diversas figuras geométricas para

mostrar a sus compañeros al inicio de la sesión. Además se harán comentarios acerca de lugares donde hayan observado

recubrimientos de diversas superficies, como en plazas, iglesias, tiendas, zócalos, etc.

Se pueden utilizar además polígonos regulares de siete, ocho, nueve lados, etc. Es importante que después de la primera

consigna todos los alumnos lleguen a la conclusión de que solamente se puede cubrir el plano con los cuadrados,

hexágonos regulares y triángulos equiláteros, debido a que la medida de sus ángulos interiores es divisor de 360.

Para complementar, se puede plantear la actividad 1 de la pág. 76 del Fichero de Actividades Didácticas,


¿Y los irregulares? (2/3)

Intención didáctica: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos irregulares con los que se

puede cubrir un plano.

Consigna 1: Organizados en binas, diseñen y recorten un modelo de polígono irregular en cartulina o cartoncillo, que les

permita cubrir el plano. El polígono irregular que diseñen puede ser de tres, cuatro o cinco lados. Una vez que diseñen el

modelo, tracen y recorten varias figuras iguales para que puedan mostrar que se puede cubrir el plano. Enseguida

contesten la siguiente pregunta: ¿Qué características tiene el polígono que diseñaron para cubrir el plano?


Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que cuente con los materiales requeridos en el momento de la clase

(cartoncillo o cartulina, tijeras, etc.).

Mientras que los alumnos hacen sus trazos conviene insistir en que se trata de polígonos irregulares (no tienen todos sus

lados y ángulos iguales) y durante la confrontación es importante plantear las siguientes preguntas: ¿Cómo se pasa de una

pieza a una pieza contigua a través de uno de los lados? ¿Por qué un cuadrilátero cualquiera (convexo) siempre permite

cubrir el plano? Se espera que los alumnos se den cuenta de la propiedad de la rotación y de la suma de los ángulos

internos de un cuadrilátero.


Combinando polígonos (3/3)

Intención didáctica: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos tanto regulares como

irregulares con los que se puede recubrir un plano en forma combinada.

Consigna 1: En equipos, utilizando polígonos regulares e irregulares cubran un plano, y contesten las siguientes

preguntas:

¿Cómo son los polígonos que utilizaron?

¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano?

¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras?

¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice?


Se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por Escher, o bien, que el profesor

presente algunos de sus trabajos (al final de este plan de clase se presentan imágenes de algunos teselados elaborados por

Escher, se pueden agrandar para que las imágenes sean más claras para los alumnos).

Es conveniente auxiliarse de la ficha “Geometría y azulejos” que se encuentra en las páginas 76 y 77 del Fichero de

Actividades Didácticas y del tema “Recubrimiento del plano por polígonos regulares” del Libro del Maestro, páginas 284 y

285.


Consigna 2: Haz, individualmente, un mosaico con las figuras que desees y coloréalo a tu gusto.

Consideraciones previas: Al término de la tarea encomendada en la consigna 2, se puede realizar una exposición de los

trabajos realizados e, incluso, usar algunos de ellos como elementos decorativos del salón de clases.

De ser posible, se recomienda realizar como actividad complementaria la siguiente: “Recubrimiento del plano con polígonos

regulares”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 106-109


Contenido8.3.5: Relación entre el decímetro cubico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de

volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del sistema internacional de

medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etc.

Sistema internacional de Medida (SI) (1/4)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F.E. Y M.

Intenciones didácticas. Que los alumnos reflexionen sobre la equivalencia entre el decímetro cubico y el litro, a su vez

calculando el volumen de prismas y pirámides.

Consigna. Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema.

Se desea medir la capacidad de una botella de 100cm3, en dm

3, utilizando el método de conversión. ¿cuál es la capacidad

de la botella en dm3?


El verdadero reto de los problemas de este plan es que los alumnos identifiquen la regla de tres para llegar a la conversión

de unidades, si es necesario recordar el apartado 8.2.5.


Plan de clase (2/4)

Intenciones didácticas. Que los alumnos reflexionen sobre la equivalencia entre el decímetro cubico y el litro, a su vez

calculando el volumen de prismas y pirámides

Consigna. Organizados en parejas realicen las siguientes actividades y explica los resultados.

Decímetros cúbicos (dm3) Centímetros cúbicos (cm

3) Litros(l)

1

200

3

4

500


Este problema vincula la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, una vez que se sustituye alguna

literal por sus valores. Se espera que los alumnos sepan utilizar este conocimiento, pero si es necesario hay que recordar el

planteamiento de la regla de tres. Se recomienda que si los alumnos no recuerdan la equivalencias ir al apartado 8.2.5.


Plan de clase (3/4)

Intenciones didácticas. Que el alumno conozca la equivalencia entre unidades del sistema internacional de medidas y

algunas unidades como: barril, quilate, quintal.

Consigna. Individualmente analiza las siguientes equivalencias del sistema internacional de medidas

1 barril = 42 galones

1 barril = 159 litros

1 quilate = 0.2 gramos

1 quilate = 200 miligramos

1 quintal = 100 kilogramos

1 quintal = 100,000 gramos

Consideraciones previas: recordar al alumno algunas conversiones básicas como lo son:

1 galón = 3.78 litros

1 gramo = 1000 miligramos

1 kilogramo = 1000 gramos

Se uso como referencia la página www.bccba.com.ar


Plan de clase (4/4)

Intenciones didácticas. Que el alumno conozca la equivalencia entre unidades del sistema internacional de medidas y

algunas unidades como: barril, quilate, quintal.

Consigna. Apoyado con la tabla de conversiones anterior, en parejas resuelve las siguientes tablas.

Miligramos Quilates

200 1

2

300

4

500

6

Consideraciones previas: recordar al alumno algunas conversiones

básicas como lo son:

1 galón = 3.78 litros

1 gramo = 1000 miligramos

1 kilogramo = 1000 gramos

Se uso como referencia la página www.bccba.com.ar

Barril Galones Litros

1 42 3.78

84

11.34

4

210

22.68


Contenido 8.3.6: Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los

significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

¿Y la proporcionalidad? (1/5)


Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre dos conjuntos de cantidades que son

directamente proporcionales y encuentren la regla general que expresa la relación.

Consigna: Lean la siguiente información, con base en ésta, organícense en binas para resolver los incisos señalados.

Se sabe que la distancia que necesita un automóvil para frenar completamente es directamente proporcional a velocidad

que lleva. Al probar uno de sus nuevos modelos de autos una compañía determinó que para una velocidad de 60 km/h el

auto necesita una distancia de frenado de 12 metros.

a) Elaboren una tabla que exprese la relación entre los dos conjuntos de cantidades, velocidad y distancia de frenado. La

distancia de frenado debe ir desde 12 metros hasta un metro.

b) Expresen con palabras la regla general que permite obtener las distancias de frenado a partir de las velocidades.

c) Expresen algebraicamente la regla general que encontraron.

d) Utilicen la regla general para encontrar las distancias de frenado que corresponden a las siguientes velocidades: 80 km/h,

100 km/h, 120 km/h, 150 km/h.

e) ¿Cuál es la velocidad que corresponde a una distancia de frenado de 20 metros?


En caso de que los alumnos tengan dificultad para determinar la regla general que representa la relación entre las dos

columnas de la tabla, se puede plantear las siguientes preguntas:

¿Qué operación se le tiene que hacer a un número de la columna que representa las velocidades para obtener el número

que corresponde a la comuna de distancias de frenado? o ¿qué operación se le tiene que hacer a un número de la columna

que representa las distancias de frenado para obtener el número que corresponde a la comuna de velocidades?

Dependiendo de las literales que vayan a usar, pueden llegar a expresiones equivalentes como:

5

xy o yx 5

Si esto sucede, valdría la pena analizarlas entre todos sustituyendo los datos de la tabla en cualquiera de las dos

expresiones generales, para comprobar que se obtiene el mismo resultado, dado que son expresiones equivalentes.


¿Y la constante? (2/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la relación entre dos conjuntos de cantidades cuya regla de

correspondencia es de la forma y = x + k, y la representen mediante una tabla y una expresión algebraica.

Consigna. Lean la siguiente información, con base en ella, organícense en binas para resolver lo que se explica:

Luis tiene cinco años y su hermana Patricia tiene dos más que él.

a) Elaboren una tabla que represente la relación entre la edad de Luis y la de su hermana, a partir del nacimiento de Luis.

b) Expresen algebraicamente la regla general que expresa la relación entre ambas edades.

c) A partir de la expresión general, contesten las siguientes preguntas:

¿Qué edad tenía Patricia cuando Luis nació?

¿Cuál será la edad de Patricia cuando Luis tenga 20, 30, 40 y 50 años, respectivamente?

¿Qué edad tendrá Luis cuando Patricia tenga 65 años?

¿Crees que las edades de Luis y Patricia son directamente proporcionales? ¿Por qué?


Es probable que a los alumnos se les dificulte expresar algebraicamente la relación entre los datos; si esto sucede, se

puede plantear preguntas como las siguientes: ¿Qué operación se le tiene que hacer a un número de la columna que

representa las edades de Luis para obtener el número que corresponde a la columna de las edades de Patricia? Si se

representara a la edad de Luis como x y la edad de Patricia como y, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la

relación entre las dos columnas de datos?

Con esta última pregunta puede ser que los alumnos lleguen a cualquiera de las siguientes expresiones:

2

2

yx

xy

Si esto sucede, valdría la pena analizarlas entre todos, sustituyendo x,y con datos de la tabla en cualquiera de las dos

expresiones generales, para comprobar que se obtiene el mismo resultado, dado que son expresiones equivalentes.


¿Y la variación lineal? (3/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la relación entre las cantidades de una variación de la forma

baxy ; y la representen, mediante una tabla y una expresión algebraica.

Consigna: Lean la siguiente información. Con base en ésta, organícense en equipos y hagan lo que se pide:

La renta mensual de un teléfono de casa habitación es de $175.00. Esta renta incluye 100 llamadas. Por cada llamada

adicional se cobra $2.50.

a) Elaboren una tabla que represente la relación entre las cantidades a partir de 10 llamadas adicionales.

b) Representen con la letra x el número de llamadas adicionales y con la letra y el costo del servicio telefónico en un mes.

Expresen algebraicamente la relación entre los datos.

c) ¿Cuál sería el costo del servicio telefónico si se hicieran en total 120 llamadas en un mes?

d) ¿Crees que el servicio telefónico es directamente proporcional al número de llamadas realizadas? ¿Por qué?



Dependiendo de cómo los alumnos organicen las cantidades en una tabla, pueden llegar a diferentes expresiones

equivalentes como por ejemplo:

175)(5.2 xy

x = (y-175)/2.5

Un problema similar que se puede plantear es el siguiente:

A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Al abrir la llave de llenado, caen 10.5 litros por minuto.

a) Elaboren una tabla que represente la relación entre los primeros 10 minutos y la cantidad de agua que hay en la cisterna.

b) Representen con la letra x el número de minutos y con la letra y la cantidad de agua contenida en la cisterna y expresen

algebraicamente la relación entre las dos columnas de datos de la tabla.

c) ¿Cuántos litros de agua tendrá la cisterna a los 20 minutos de abierta la llave de llenado?

d) Si la cisterna tiene una capacidad de 2 000 litros de agua, ¿en cuanto tiempo se llenará?

En la resolución del problema es probable que los alumnos sólo anoten en la tabla la cantidad de agua que hay en la

cisterna por cada minuto de tiempo transcurrido; sin embargo, para poder generalizar la relación entre las cantidades, es

conveniente preguntarles qué operaciones hicieron para determinar la cantidad de agua contenida en la cisterna; esto es

con el fin de que los alumnos reflexionen que lo que hicieron fue multiplicar el tiempo por 10.5 y al resultado sumarle 50.

Los alumnos pueden llegar a diferentes expresiones equivalentes como por ejemplo:

y= 10.5x + 50

x = (y-50)/10.5


Expresando algebraicamente (4/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente una relación de proporcionalidad directa, utilizando

coeficientes fraccionarios.

Consigna: En equipo resuelvan el siguiente problema:

Para pintar un edificio de departamentos, se necesita comprar pintura de diferentes colores, si con el tipo de pintura

seleccionada se cubren 24 m2 por cada 4 litros, ¿cuál será la cantidad de pintura para cubrir 30, 48, 72, 120, 180 y 240 m

2?

¿Qué expresión algebraica permite conocer la cantidad de litros cuando se conoce el número de metros cuadrados por

cubrir?


Considerar que el uso de una tabla de valores facilita distinguir las regularidades entre las cantidades relacionadas (litros de

pintura y superficie pintada)

Es posible que contesten al problema con la expresión y = 6x, lo cual es un error, pero hay que procurar que ellos lo

detecten. Se puede preguntar: la cantidad de litros (y), es igual a la cantidad de metros cuadrados (x) multiplicada por seis?

Hay que probar la expresión con algunos valores para que se den cuenta de que no funciona. También puede pedírseles

que encuentren la expresión que relaciona los metros cuadrados en función de los litros de pintura, es decir, y = 6x. La

expresión que contesta el problema es y = 1/6 x


¿Coeficientes fraccionarios? (5/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente una relación de proporcionalidad directa, utilizando

coeficientes fraccionarios. Que identifiquen la relación entre la expresión encontrada y la expresión y = kx.

Consigna: En binas resuelvan el siguiente problema. Pueden utilizar calculadora.

Completen la siguiente tabla y expresen algebraicamente como cambia y (longitud de la circunferencia) en función del valor

de x (longitud del diámetro).

x

(longitud del diámetro)

y

(longitud de la circunferencia)

3 cm 9.42

4.5 cm

10 cm

15.2 cm

24 cm

¿Qué relación encuentran entre la expresión que encontraron y la expresión y = kx?

¿Qué relación encuentran entre la expresión y = kx y la fórmula C = x D?


Es de esperarse que los alumnos expresen la relación de la tabla con y = 3.14 x y que al compararla con y = kx, logren

identificar a la k como un valor constante, que en este caso es 3.14. Al comparar las expresiones y = kx y la fórmula C = x

D es importante determinar que los valores de y y C dependen de los valores que tomen x y D respectivamente, y que es

un valor constante.


Contenido 8.3.7: Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales

(de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.

Graficas poligonales (1/2)


Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información contenida en gráficas poligonales.

Primera consigna: Con base en la información que aparece en las siguientes gráficas, de forma individual, contesten las

preguntas que aparecen después.

a) ¿Cuál es la calificación que más se repite en el grupo A?

b) ¿En cuál grupo hay mayor número de reprobados?

c) ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?

d) ¿En cuál grupo existe mayor cantidad de alumnos con calificaciones mayores o iguales que 8?


Es importante analizar no sólo las respuestas a las preguntas sino en qué se basaron para obtenerlas, enfatizando el hecho

de que este tipo de gráficas permiten comparar “a ojo”, dos o más conjuntos de datos.

Con el propósito de que los alumnos tengan la posibilidad de analizar gráficas reales que aparecen en periódicos o revistas,

hay que pedirles que las busquen y las traigan para la próxima clase.

0123456789

101112

5 6 7 8 9 10

No

. d

e a

lum

no

s

calificaciones

grupo A

grupo B


¿Poligonal o histograma? (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan una gráfica poligonal a partir de una situación dada.

Consigna: organizados en parejas representen en una gráfica poligonal la información que contiene las siguientes tablas,

relacionada con la variación de la temperatura de dos pacientes.

Paciente A

Hora 6 A. M. 8 A. M. 10 A. M. 12 A. M. 2 P. M. 4 P. M. 6 P. M. 8 P. M.

Temperatura

(° C)

39.5 38.5 38 37 37 36.5 36.5 36.5

Paciente B

Hora 6 A. M. 8 A. M. 10 A. M. 12 A. M. 2 P. M. 4 P. M. 6 P. M. 8 P. M.

Temperatura

(° C)

38..5 38.5 37 37 37 38 38.5 39


Es posible que los alumnos tengan dificultad para representar la escala de la temperatura, al intentar colocar todas las

temperaturas menores que 36° C; comente y proponga la nomenclatura adecuada para representar únicamente el rango

necesario, de 36 a 40° C.

Una vez que se han discutido los procedimientos para la construcción de la gráfica, sería conveniente analizar con

detenimiento su contenido, elaborando posibles preguntas y encontrando las respectivas respuestas; en ambos casos es

importante la participación de los alumnos.


Contenido: 8.3.8 Análisis de propiedades de la media y mediana.

¿Y la moda? (1/3)

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: M I

Intenciones didácticas:

Que los alumnos reflexionen sobre el significado y propiedades de la media, mediana y moda de un conjunto de datos.

Consigna: De manera individual resuelvan los siguientes problemas. Pueden usar calculadora.

1.- De acuerdo con el tabulador de puestos de una compañía, los salarios mensuales que obtienen los trabajadores son los

que se muestran a continuación:

$ 16 400, $ 16 000, $ 12 000, $ 31 000, $ 14 600, $ 15 000, $ 13 000, $ 16 200, $12 500, $ 15 900

¿Cuál es el salario promedio?

¿Consideran que el salario promedio es representativo de lo que gana un trabajador en esa compañía? Justifiquen su

respuesta.

2.- En una fábrica se tomó al azar un conjunto de focos y se registró su duración en meses. Los resultados fueron: 14, 17,

13, 21, 18, 13,13, 18, 13. (Bosch, C. Matemáticas 2, Edit Nuevo México, pag. 241)

¿Cuál es el promedio de duración de los focos?

¿Cuál dato está enmedio (mediana) de la lista ordenada de datos?

¿Cuál es el dato que más se repite (moda)?

¿Cuál medida le sería representativa al fabricante para incluirla en la garantía? ¿Por qué?


Como parte de las opiniones expresadas por los alumnos en torno a las preguntas que se plantean, es necesario resaltar el

hecho de que la Media es afectada por los valores extremos. Por ejemplo, en el caso de los salarios, si hay unos muy altos

o muy bajos, la media da una idea equivocada de lo que gana el conjunto de los trabajadores.

El profesor propiciará en la puesta en común la interpretación de las medidas de tendencia central, enfatizando su

representatividad y/o su utilidad con preguntas como:

A un fabricante de zapatos o de ropa, ¿cuál de las medidas de tendencia central le es más útil? ¿Por qué?

De las medidas de tendencia central, ¿cuál representa la calificación final de un alumno?


¿Marca de clase? (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos organicen un conjunto de datos agrupándolos en intervalos y que calculen e

interpreten las medidas de tendencia central.

Consigna: En binas resuelvan el siguiente problema. Pueden usar calculadora.

Los siguientes datos corresponden a la duración real, en años, de 21 acumuladores para automóvil, los cuales tienen una

garantía de 3 años otorgada por el fabricante:

3.6, 2.3, 3.1, 3.7, 4.1, 1.7, 3.4, 3.7, 4.7, 3.3, 3.9, 2.6, 4.8, 3.9, 3.3, 2.9, 3.5, 4.4, 4.0, 3.2, 3.8

Con base en esta información completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide:

ntervalo de clase Punto medio o marca

de clase

Frecuencia de

clase

Frecuencia de

clase relativa

1.50 – 2.12 1.81

2.12 – 2.74

3.05

3.36 – 3.98 3.67

3.98 – 4.60

4.60-5.22 4.91

Totales

¿Cuál es la media, mediana y moda del conjunto de datos?

¿Qué medida de tendencia central es representativa del conjunto de datos? ¿Está de acuerdo con la garantía otorgada?

¿El fabricante podría dar una garantía mayor? ¿Por qué?


Es importante aclarar a los alumnos que esta es otra manera de organizar los datos de una muestra, agrupándolos en

clases y que sepan a qué se refiere cada una de las columnas de la tabla.

En este caso se decidió agrupar los datos en cinco clases, dado que son pocos datos. Para determinar la anchura de las

clases se dividió el rango (4.8-1.7=3.1) entre el número de clases (3.1÷5=0.62). Cabe hacer notar que finalmente salieron

seis clases y no cinco como se había pensado. Hay que Procurar que se use la marca de clase y la frecuencia expresadas

en la tabla, para el cálculo de la media aritmética, pues facilita las operaciones cuando son numerosos los datos.


Mediana y media aritmética (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen las medidas de tendencia central a partir de datos agrupados

expresados en una gráfica y que identifiquen la medida más representativa de la distribución de los datos.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema. Pueden usar calculadora.

Se realizó un estudio mercadotécnico para obtener información sobre la edad de los compradores de discos, los datos se

presentan en la siguiente gráfica:

Con base en la información de la gráfica contesten las siguientes preguntas:

¿Cuál es la edad promedio de los compradores de discos?

¿Cuál es la edad que corresponde a la mediana de los compradores?

¿Qué dato estadístico (media, mediana o moda) representa el grupo de edad de 10 a 20 años en la gráfica?

Consideraciones previas: Debe tenerse en cuenta que los datos están agrupados en intervalos de edades, lo cual implica

que para calcular la media (promedio) de las edades, debe usarse la marca de clase de cada intervalo, que es el punto

medio del intervalo correspondiente y la frecuencia del intervalo (porcentaje de ventas).

♦

♦

♦

♦

0 10 20 30 40 50 60 70

80

45

40

35

30

25

20

♦

♦

♦ ♦

♦

edad

% d

e v

enta

s


BLOQUE IV


Contenido 8.4.1. Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen.

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números

enteros.

¿Qué es una sucesión? (1/3)


Intenciones didácticas: Que los alumnos elaboren sucesiones de números con signo a partir de una regla dada.

Consigna: Organizados en parejas, realicen la actividad que se propone a continuación:

La siguiente expresión algebraica:3n-10, es la regla general de una sucesión, en la que n representa el número de posición

de un término cualquiera de la sucesión.

Encuentren los primeros cinco términos de la sucesión.

Encuentren los términos de la sucesión que ocupan los lugares 5, 10, 15, 20, respectivamente.

Determinen si el número 25 pertenece o no a esta sucesión.


Es importante revisar con detenimiento y de manera colectiva los resultados de la actividad anterior para que argumenten

sus resultados y que todos los alumnos tengan claro el significado de “una regla general que genera una sucesión de

números”, al darle valores a n, empezando con el uno que es la primera posición. En el inciso c no es suficiente con que los

alumnos digan sí o no, es muy importante que justifiquen por qué sí o por qué no pertenece a la sucesión el número 25.

Una vez que se haya discutido ampliamente este caso, se les pedirá que resuelvan las mismas cuestiones para las

siguientes reglas generales: 33,53,5.12 nnn


¿Cuál número sigue? (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla general de una sucesión de números con signo de la forma kn,

donde k es una constante negativa.

Consigna: En equipo, realicen lo que se indica a continuación:

A partir de la sucesión: -4, -8, -12, -16, -20, …

¿Cuál es el número que se localiza en la posición 10?


¿Cuál es la regla general de la sucesión?




Es probable que para encontrar el número que se localiza en la posición número 10 los alumnos no sientan la necesidad de

usar la regla general, pero sí para la posición 200. Durante la confrontación hay que ver si los resultados coinciden y

analizar los procedimientos que se utilizaron. La pregunta del inciso c es directa sobre la regla general, si hay propuestas

diferentes hay que probarlas y ver si funcionan. La pregunta del inciso d es para que todos prueben la o las reglas que se ve

que funcionan.

Una vez que los alumnos hayan resuelto el caso anterior se les puede sugerir que construyan una tabla como la siguiente

para que puedan analizar la sucesión.

Posición del término de la

sucesión

Sucesión

1 -4

2 -8

3 -12

4 -16

5 -20

.

.

.

n

Una vez que tengan esta tabla conviene plantearles la siguiente pregunta:

¿Qué operación u operaciones se deben efectuar con el número de la posición del término de la sucesión (n) para obtener

el término correspondiente de la sucesión?

Con esta pregunta se pretende que los alumnos:

1. Reconozcan el patrón que sigue la sucesión; es decir, la relación entre el lugar que ocupa un término y el término mismo.

2. Deducir la regla general distinguiendo entre lo que varía y lo que permanece constante. En este caso, darse cuenta de

que los números de la sucesión, se obtienen multiplicando el número -4 (constante) por el lugar que ocupa en la lista (lo que

varía).

3. De este modo se espera que los alumnos lleguen a la conclusión de que la regla general de la sucesión planteada es: -4n

Después del análisis anterior hay que proponer a los alumnos que encuentren la regla general de las siguientes sucesiones:

a) -10, -20, -30, -40, …

b) -15, -30, -45, -60, …

c) -1, -3, -5 ,-7 , -9………


¿Cuál es la regla? (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla general de una sucesión de números con signo de la forma -

an+b, donde a y b son constantes.

Consigna: De manera individual, para reafirmar lo aprendido, obtengan la regla general que corresponde a cada una de las

siguientes sucesiones:

-2, -5,-8,-11,-14…

22, 42, 62,82,……

0, -4, -8, -12, -16….

-30, -50, -70, -90, -110…

0, -40, -80, -120, -160 …


Una vez que la mayoría de los equipos haya terminado, conviene analizar con detenimiento la regla o reglas generadas en

cada sucesión y probarlas para que todos los alumnos estén seguros de que funcionan. Si es necesario, hay que insistir en

la conveniencia de utilizar tablas de dos columnas, para apreciar con mayor claridad la relación entre los números que

indican la posición y sus correspondientes números de la sucesión.

Las reglas generales de las sucesiones anteriores son las siguientes:

a) -3n+1

b) +20n+2

c) -4n+4

d) -20n-10

e) -40n +40


Contenido 8.4.2. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer

grado de la forma: ax+ b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando

coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

Vamos a balancear (1/5)


Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la similitud entre una balanza en equilibrio y una igualdad en la

que se desconoce un valor. Por medio de una balanza de ecuaciones se puede encontrar la incógnita

Consigna 1. Individualmente, realicen lo que se indica enseguida:

La siguiente balanza está en equilibrio.

¿Cuáles de las siguientes acciones la mantendrían en equilibrio?

Pasar 3 kg del platillo izquierdo al platillo derecho. ______

Añadir 4 kg a cada platillo. ______

Quitar 5 kg a cada platillo. ______

Pasar un bote del platillo derecho al platillo izquierdo. _______

Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del derecho. _______

Quitar un bote de cada platillo. _______

2. ¿Cuánto pesa el bote?_________.

5 kg 5 kg 5 kg 3 kg

3 kg


Consigna 2. En binas, resuelvan el siguiente problema y discutan sus resultados.

Los ladrillos de esta balanza en equilibrio pesan todos lo mismo. Escriban en ecuaciones algebraicas cada uno de los lados

de la balanza; luego averigüen cuánto pesa un ladrillo.

¿Qué ecuaciones se formularon? _______________ = ______________

¿Cuánto pesa cada ladrillo?__________________

Consideraciones previas:Para la consigna 1 es importante que los equipos justifiquen sus respuestas, sobre todo si éstas

son diferentes. Para encontrar el peso de un bote es probable que se utilicen diversos razonamientos y vale la pena que se

expliciten.

Para concluir esta primera parte se explicará a los alumnos que la situación de la balanza puede expresarse simbólicamente

mediante la siguiente igualdad o ecuación: 2b+5k+3k=b+5k+5k+3k, se les recuerda que lo que está a la izquierda es el

primer miembro y lo que está a la derecha es el segundo miembro. Después se les plantean las siguientes preguntas:

¿Cómo queda la igualdad si se suman los kilos en ambos miembros (Platillos)?

¿Cómo queda la igualdad si se quitan 8 kilos en cada miembro? Balanceada

¿Cómo queda la igualdad si se quitan 8 kilos y un bote en cada miembro? Balanceada

Al responder estas preguntas se espera que los alumnos verifiquen que el peso de un bote es igual a 5kg. Para la consigna

dos se recomienda trabajarlo en binas, ya que la igualdad no resulta un número entero; cada ladrillo pesa 3.4 kg

.

22 kg 5 kg


¿Cuánto vale? (2/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren el valor de la incógnita de una ecuación.

Consigna 1. En binas, analicen la siguiente situación y encuentren el valor de x.


Esta situación tiene un nivel de abstracción mayor que la de la sesión anterior porque deben de aplicar correctamente los

despejes, puesto que ya no hay objetos, sólo números y letras. Con ayuda de la representación gráfica hay que pedir que

los alumnos expliquen cómo se pasa de una ecuación a otra hasta llegar a x=5, que es la solución de la ecuación. Conviene

explicar que se trata de la misma ecuación pero cada vez más simplificada. Después de analizar esta parte se planteará

resolver las siguientes ecuaciones para resolver por el método de la balanza:

4x+3= 2x+5 3x+1=x+5 x+10=5x+2

x x x x

x x x

x x

x x

x x x x

x x

x

x x

x

x

x x x

Ecuación: 16417 xx

Ecuación: __x = __x + 15

Ecuación: __x = _______

x _______


Resolviendo ecuaciones (3/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de

primer grado con una incógnita.

Consigna 1. Integrados en equipos resuelvan el siguiente problema:

Considerando que las siguientes figuras tienen igual perímetro (la suma de sus lados da el mismo resultado), planteen la

ecuación y encuentren el valor de X


Por su asistencia y puntualidad, dos empleadas de una fábrica textil recibieron como estímulo vales de despensa y dinero

en efectivo. A Sandra le dieron 8 vales y $60.00 en efectivo; a Bertha le entregaron seis vales más $160.00. Si los vales son

de la misma denominación y ambas reciben la misma cantidad de dinero, ¿qué valor tiene cada vale y cuál fue el monto

total del estímulo que recibió cada una?


La dificultad principal de este problema consiste en establecer el perímetro de cada figura con los datos que se tienen y

luego relacionar dichos perímetros mediante una igualdad. Es importante orientarlos para que tomen en cuenta estas dos

fases en el procedimiento. Es probable que aún considerando estas dos fases surjan ecuaciones escritas de manera

distinta, en cuyo caso hay que preguntar si son la misma ecuación y pedir que den argumentos que lo muestren. Para el

primer problema x = 4 y para el segundo problema cada vale tiene un valor de $50.

8v+60=6v+160, 8v-6v=160-60, 2v=100, v=50

x

8 8

x

6 x _____________

Ecuacion:___________________


¡A plantear ecuaciones! (4/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de

primer grado con paréntesis.


“Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y

está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?”


Es probable que la mayoría de los equipos no utilicen una ecuación para resolver este problema y es válido que así lo

hagan, sin embargo, vale la pena proponer, como un procedimiento más, la formulación de una ecuación que requiere el

uso de paréntesis. Para ello se puede ayudar a los alumnos a reflexionar en lo siguiente: en el momento en que el primer

avión alcance al segundo las distancias recorridas van a ser iguales, por lo tanto se puede formular una ecuación que

exprese la igualdad de las distancias recorridas. Dado que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo, para el primer

avión es 1040t y para el segundo es 640(t+5), entonces la ecuación es: 1040t=640(t+5). A partir de aquí habrá que explicar

cómo se quita el paréntesis. T= 8 hrs

Para consolidar la resolución de este tipo de ecuaciones, se pueden proponer ejercicios como los siguientes:

)4(4)6(9),4(5)6(5,365)4(3 zzrrxx


¿Cuántos años tiene? (5/5)

Intención didáctica: Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de

primer grado con coeficientes fraccionarios.


“La edad actual de José es 3/8 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá 1/2 de la que entonces tenga su hermano.

¿Cuál es a edad actual del hermano?”


Si después de unos minutos los alumnos no encuentran una forma para resolver el problema, se les apoyará para que

representen los datos como sigue:

Hermano de José José Edad actual X 3/8x

Dentro de 4 años x + 4 3/8x + 4

Según el problema dentro de 4 años la mitad de la edad del hermano de José será igual a la que tenga José, entonces la

ecuación es: 1/2(x + 4) = 3/8x + 4. Donde x = 16. Esta ecuación agrega, a las de la sesión anterior, el hecho de que se trata

de coeficientes fraccionarios, de manera que es una oportunidad para que los alumnos usen este conocimiento.

Para consolidar la resolución de este tipo de ecuaciones, se puede proponer ejercicios como los siguientes:

xxxx

yy2

36

2

5,

92

3),

5

3

4

2(

3

2)

6

3

5

4(

3

2


Contenido 8.4.3. Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones.

Circulando (1/3)

Intención didáctica: Que los alumnos analicen las características de los ángulos centrales e inscritos.

Consigna 1: De manera individual y con base en las figuras que se muestran a continuación, contesten las preguntas que

aparecen después.

A) B) C)

D) E)

1. ¿En cuáles incisos los ángulos tienen su vértice en el centro del círculo?

_______________________________________________________________

2. ¿En cuáles incisos los ángulos cuyo vértice se encuentra en la circunferencia?

_______________________________________________________________

O OO

O O


Consigna 2: En binas, completen las siguientes expresiones utilizando las palabras del recuadro.

Los lados de los ángulos de los círculos A y D son dos __________________________________________________

Los lados de los ángulos que se muestran en las figuras B , C y E, son dos ___________________________________

Cuando su vértice se encuentra en el ______________de la circunferencia recibe el nombre de ángulo

________________________________.

Si su __________________ se encuentra en algún punto de la ____________________ se trata de un ángulo

___________________.

Consigna 3. Organizados en tríos, comenten y contesten las siguientes preguntas.

¿En cuál figura el diámetro forma parte del ángulo? ___________

¿Habrá un ángulo que esté formado por dos diámetros? ____Justifiquen su respuesta

______________________________________________

¿El vértice del ángulo central podrá ubicarse en otro punto del círculo? _____Justifiquen su respuesta

_________________________________

Consideraciones previas: Es necesario que una vez concluida la consigna dos se realice la puesta en común para

comparar las respuestas de los estudiantes y consolidar los conceptos de ángulo inscrito y ángulo central; así como las

diferencias entre ellos.

Si fuese necesario se deberá establecer la diferencia entre círculo y circunferencia.

Es importante reafirmar que el diámetro es la mayor de las cuerdas del círculo, por lo que sí puede formar parte de un

ángulo inscrito. Sin embargo, si son dos diámetros, se pueden dar los siguientes casos: que uno esté sobrepuesto con el

otro, de manera que se formaría un ángulo de 0 grados, o bien, que dos diámetros se corten y por tanto formen cuatro

ángulos centrales, donde los opuestos por el vértice son iguales.

Centro, vértice, radios, circunferencia, Central, inscrito, cuerdas


Plan de clase (2/3)

Intención didáctica: Que los alumnos encuentren la relación entre las medidas de ángulos centrales e inscritos, cuando

sus lados comprenden el mismo arco, a partir de trazos en un mismo círculo.

Consigna 1: Dibuja un par de círculos iguales con un ángulo central y uno inscrito que subtiendan el mismo arco (de igual

medida) y en uno de los círculos recorte el ángulo inscrito y sobreponlo en el ángulo central del otro circulo. Analízalos.

¿Encuentras alguna relación entre sus medidas? _______ ¿Cuál? _________________________________________

Consigna 2: Ahora, reúnete con otros tres compañeros, comenta tus observaciones, mide los ángulos y juntos elaboren una

tabla con la medida de los ángulos centrales e inscritos que obtuvo cada uno.

ALUMNO Medida del

ángulo central

Medida del ángulo

inscrito

1

2

3

4

De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe entre la medida del ángulo central y la medida del

ángulo inscrito.

_______________________________________________________________

Consideraciones previas: Para la consigna 1 es necesario que los alumnos cuenten con hojas blancas, tijeras,

transportador, compás, regla y colores.

Se sugiere que tracen los círculos en una hoja blanca para que puedan recortarlos y comparar la medida del ángulo central

e inscrito mediante la superposición. Los alumnos deberán detectar que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central,

de no ser así, el maestro deberá animar a presentar sus conclusiones a aquellos alumnos que sí encontraron la relación. El

conocimiento se concretará en la consigna dos al llenar la tabla.

Es importante que en la puesta en común se concluya que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central cuando sus

lados comprenden el mismo arco.

O

A

C

B

139,8 °

69,9 °

140,2 °

70,1 ° <ABC = 2

AOC


Para reforzar el estudio de este aspecto se sugiere trabajar en Geometría dinámica. EMAT. México p.p.138-139 “Ángulos

inscritos en una circunferencia”. (Se anexa)

Instrucciones para elaborar los ángulos inscritos y centrales utilizando el programa Cabri.

1. Trace un círculo

2. Trace los ángulos centrales e inscritos utilizando la herramienta “Segmento”, ubicado en la tercera casilla.

Para construir el ángulo inscrito cuya cuerda pasa por el diámetro y nos permita construir un triángulo rectángulo es

necesario:

a) Trazar el círculo

b) Marcar un punto en la circunferencia

c) Utilizar la simetría central del punto marcado en la circunferencia, herramienta ubicada en la sexta casilla, indicando el

punto de origen, el centro y automáticamente aparecerá el simétrico.

3. Asigne una letra a cada punto, utilice la herramienta nombrar ubicado en la décima casilla.

4. Utilice la opción medir ángulo ubicado en la novena casilla.

5. Ubíquese en el dibujo y señale los rayos que forman el ángulo, automáticamente aparecerá la medida del ángulo.

< AOB = 180° < ACB =90°

6. La penúltima casilla nos permite dar animación y comprobar la relación del ángulo central e inscrito.

7. Se puede revisar la construcción activando la Casilla EDICIÓN.

OA B

c

90,0 ° O

C

A

B

46,8 °

93,6 °


Plan de clase (3/3)

Intención didáctica: Que los alumnos deduzcan que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo

rectángulo.

Consigna: De manera individual realiza lo que se indica.

a) Traza cinco ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOC, como se muestra en la figura.

b) Colorea los triángulos que se formaron a partir de los diferentes trazos que realizaste.

c) ¿Qué tipo de triángulos se formaron?_______________________________

Consideraciones Previas:

Los alumnos trazarán ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOC, de manera arbitraria y se

darán cuenta que en todos los casos se forman triángulos rectángulos. Si los alumnos no detectaran que son triángulos

rectángulos, el maestro podrá recurrir al conocimiento generado en la clase anterior, en la que se concluyó que la medida

del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central y al ser este de 180° entonces el ángulo inscrito mide 90°, razón por la cual

los triángulos que se formaron son triángulos rectángulos.

OC A

B

B

OA

B

C

DE

G F


Contenido 8.4.4. Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el

plano cartesiano.

¿En qué plano? (1/4)


Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la manera de ubicar puntos en el plano cartesiano.

Consigna: De manera individual resuelvan la siguiente actividad.

A partir de la siguiente figura dibujada en el primer cuadrante del plano cartesiano, construyan la figura simétrica A’B’C’D’

con respecto al eje vertical. Posteriormente contesten lo que se pide.


Los alumnos ya han manejado el plano cartesiano en otros cursos, es conveniente que se use la terminología

correspondiente; par ordenado, abscisa, ordenada, eje de las abscisas, eje de las ordenadas, origen del plano cartesiano,

cuadrantes.

Si la actividad resulta fácil y el tiempo lo permite, conviene agregar las siguientes:

a) Si a la primera coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le sumamos dos unidades. ¿Qué transformación sufriría

la figura? ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices?

b) Si a la segunda coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le restamos cinco unidades. ¿Qué transformación

sufriría la figura? ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices?

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

A B

ordenada y

x abscisa

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los

puntos A, B, C y D?

b) ¿Cómo se llama a la primera

componente de cada par ordenado?

c) ¿Cómo se llama a la segunda

componente de cada par ordenado?


Graficando (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten las relaciones de las variables presentadas en gráficas y determinen

las características de aquellas que representan una relación de proporcionalidad.

Consigna: Agrupados en binas realicen la siguiente actividad:

Con la finalidad de ahorrar agua, en cierta localidad únicamente hay suministro de este líquido 5 horas al día. Las siguientes

gráficas representan la relación tiempo (horas) y la cantidad de agua (litros) que hay en la cisterna de una unidad

habitacional en cuatro días diferentes. Analícenlas y posteriormente contesten lo que se pide.

¿En qué días la cisterna tenía agua cuando inició el suministro?

¿En qué día salió el agua con más presión? ¿Cómo se manifiesta esto en la gráfica?

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

0 2 4 6

Agua e

n la c

iste

rna (

litro

s)

Horas

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

0 2 4 6

Agua e

n la c

iste

rna (

litro

s)

Horas

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

0 1 2 3 4 5 6

Agua e

n la c

iste

rna (

litro

s)

Horas

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

0 2 4 6

Agua e

n la c

iste

rna (

litro

s)

Horas

Día 1 Día 2

Día 3 Día 4


¿En qué día el suministro no fue constante durante las 5 horas?

¿En qué días la cantidad de agua en la cisterna es directamente proporcional al tiempo de suministro?

¿Qué características tienen las gráficas que representan una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de agua

en la cisterna y el tiempo del servicio?

Escriban las expresiones algebraicas de las relaciones que son de proporcionalidad. ¿En qué son diferentes? ¿Qué

representan esas diferencias?


Si los alumnos tienen dificultad para identificar las gráficas que representan una relación de proporcionalidad, una

herramienta que ayuda es presentar algunos valores en tablas y analizar su comportamiento.

Es probable que los alumnos digan que la gráfica del día 1 no representa una relación de proporcionalidad, ya que durante

cada una de las cinco horas se recibió la misma cantidad de agua (50 litros por cada hora), en este caso hay que distinguir

que las variables de las gráficas son tiempo de suministro y cantidad de agua en la cisterna y no cantidad de agua que se

recibe. Un argumento en contra es que al doble de tiempo no le corresponde el doble de la cantidad de agua; en 1 hora hay

100 litros y en 2 hay 150.


¡Voy volando! (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen una gráfica que representa una relación de proporcionalidad y que la

vinculen con su expresión algebraica y con el conjunto de valores que representa.

Consigna: Agrupados en equipos analicen la siguiente gráfica que representa la relación entre tiempo y distancia recorrida

en una caminata que realizó Ernesto. Posteriormente contesten lo que se pide.


Si los alumnos tuvieran dificultad para relacionar la velocidad con la inclinación de la recta, se les podría solicitar que

representen en el mismo plano cartesiano la recta resultante si Ernesto se hubiera desplazado 5 km por cada hora.

0123456789

1011121314151617181920

0 1 2 3 4

Dis

tancia

(km

)

Tiempo (h)

a) Si la velocidad de Ernesto hubiera sido mayor, ¿qué diferencia habría tenido la gráfica respecto a ésta?

b) ¿Podría cortar la recta al eje vertical por un punto diferente al origen? ¿Por qué?

c) Si la velocidad de Ernesto no hubiera sido constante, ¿cómo se reflejaría este hecho en la gráfica?

d) ¿A qué velocidad se desplazó Ernesto? e) Registra en la siguiente tabla los valores

que faltan: Tiempo

(h) 0.5 1 3

Distancia

(km) 6 7.5 10.5


¡Inventando! (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen las características que debe tener una relación de proporcionalidad

directa y establezcan varias parejas de valores para construir la gráfica que modele la situación.

Consigna: De forma individual planteen una situación de proporcionalidad directa y construyan la gráfica correspondiente.


Es importante solicitar a los alumnos que cuando terminen de elaborar su gráfica, verifiquen si cumple con todas las

características de una gráfica que representa una relación de proporcionalidad.

Si el tiempo lo permite, los alumnos podrían intercambiar su trabajo para:

Verificar que sea una relación de proporcionalidad directa.

Revisar que la gráfica corresponda con la situación planteada.

Representar algebraicamente la situación.

Algunos alumnos podrían presentar ante el grupo la interpretación y juicio del trabajo revisado.

Otra variante es que cada alumno analice únicamente la gráfica de otro compañero e intente describir la situación y/o

escriba la expresión algebraica que la representa.


Contenido 8.4.5. Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía

y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

¡Aguas con el freno! (1/2)

Curso: Matemáticas 8 Eje Temático: MI

Intención didáctica: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente y formulen la

expresión algebraica correspondiente.

Consigna. Individualmente analicen la siguiente situación, luego realicen lo que se pide.

Una compañía de automóviles, al probar la distancia de frenado en uno de sus nuevos modelos obtuvo los siguientes

resultados:

Velocidad ( km/h) 30 60 90 120 150

Distancia de frenado (m) 2 4 6 8 10

¿A qué velocidad debe ir el automóvil para que la distancia de frenado sea menor a 2 metros?

¿Cuál es la distancia de frenado que se necesita para una velocidad de 135 km/h?

Escriban una expresión algebraica que permita obtener la velocidad del automóvil, en función de la distancia de frenado.


Si es necesario, aclarar a los alumnos que la distancia de frenado corresponde al desplazamiento del automóvil posterior a

la acción de frenar.

Es importante hacer notar a los alumnos que la expresión algebraica que se obtiene en el inciso c, es del tipo y = ax,

(relación proporcional) que es un caso particular de la forma general y = ax+ b (relación lineal) con b= 0


Un buen resorte (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre dos conjuntos de cantidades que varían linealmente

y expresen dicha relación mediante una expresión algebraica.

Consigna. Organizados en binas, analicen el siguiente experimento, luego realicen lo que se pide.

De un resorte de 15 centímetros de longitud, se han suspendido varios pesos y se han medido las respectivas longitudes del

resorte, registrándose en la siguiente tabla:

¿De qué depende la longitud del resorte?

¿Cuál es la elongación del resorte por cada kilogramo de peso?

Encuentren una expresión algebraica que modele esta situación.


Hay que aclarar que la elongación se refiere al alargamiento del resorte, independientemente de su longitud original. Es

importante que el maestro propicie una reflexión respecto al significado de los términos de la expresión algebraica en el

contexto de la situación planteada y asegurarse de que no quedaron dudas. Por ejemplo, si la expresión obtenida fuera y =

4x + 15, el coeficiente de x (4), representa la elongación del resorte por cada kilogramo de peso; mientras que y representa

la longitud total del resorte, etc.

Peso (kg) 0 1 2 3 3.5

Longitud del

resorte (cm)

15 19 23 27 29


Contenido 8.4.6. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax +

b.

¿Por cuál nos vamos? (1/3)

Curso: Matemáticas 8 Eje Temático: M.I.

Intención didáctica Que los alumnos establezcan las relaciones entre variables y la expresen algebraicamente y que

reconozcan la dependencia entre las variables y la variación conjunta.

Consigna. Organizados en equipos, analicen la siguiente situación, luego contesten lo que se pregunta.

Una compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: una cuota fija de $800.00, más $4.00 por cada kilómetro

recorrido.

¿Cuánto habría que pagar si se recorren 500 kilómetros? ¿Y si se recorren 1320 kilómetros?

¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular el costo para cualquier cantidad de kilómetros recorridos?

Si una persona pagó $5 000.00, ¿cuántos kilómetros recorrió?

Otra compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: $6.00 por kilómetro recorrido, sin cuota fija. Una persona

quiere rentar un auto para hacer un viaje de 300 kilómetros. ¿Cuál de las dos tarifas le conviene? ¿Por qué?


En el caso del inciso b, es probable que algunos equipos lleguen a diferentes expresiones equivalentes tales como:

Y= 800+4x, 8004 xy , )(4800 xy , xy 4800

Esto se puede aprovechar para reflexionar sobre las expresiones equivalentes.

Es importante que en el inciso d los alumnos justifiquen las soluciones que encuentren y de ser posible que grafiquen las

expresiones para que vean lo que sucede.


“Los celulares” (2/3)

Intención didáctica: Que los alumnos distingan la relación entre dos conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente

y formulen la expresión algebraica correspondiente del tipo y = ax + b

Consigna 1: Organizados en equipos, realicen lo que se plantea.

Las compañías de teléfonos celulares Mexcel, Tele-cel e ILcel tienen las siguientes tarifas:

Mexcel: $100 de renta mensual más $1.00 el minuto.

Tele-cel: $60 de renta mensual más $2.00 el minuto.

ILcel: No cobra renta pero las llamadas cuestan $5.00 el minuto.

Completen las siguientes tablas para saber cuánto cobra cada compañía por hablar por minutos durante un mes.

X

(minutos)

Mexcel cobra

(en pesos)

Telecel cobra

(en pesos)

ILcel cobra

( en pesos)

10

30

60

Si una persona habla 10 min. en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

______________________________________________________


______________________________________________________


______________________________________________________

¿Cuál es la compañía que ofrece un mejor plan de llamadas? ¿Por qué?

______________________________________________________


Consigna 2: Usen la letra “x” para representar la duración de la llamada (en minutos.) y la letra “y” para representar el costo

de la llamada (en pesos) correspondientes. Si una persona hablo “x” minutos en un mes:

¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Mexcel?

__________________________________________________

¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Tele-cel?

___________________________________________________

¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará ILcel?

___________________________________________________


Se espera que los alumnos no presenten ninguna dificultad para llenar la tabla, la cual la pueden llenar sin necesidad de

plantear una expresión algebraica, pero es conveniente que antes de iniciar el llenado de la tabla se le pregunte al alumno

cual es la compañía que ofrece un mejor plan de llamadas, según la información que aparece en un primer momento, lo que

respecta a la consigna 2 se le pide al alumno que representa mediante una expresión algebraica que le ayude a encontrar

los valores de la tabla de una forma más sencilla. Las expresiones por compañía serian las siguientes:

Mexcel: $100 de renta mensual más $1.00 el minuto. y= 1(x) + 100

Tele-cel: $60 de renta mensual más $2.00 el minuto. y= 2(x) + 60

ILcel: No cobra renta pero las llamadas cuestan $5.00 el minuto. y= 5(x)

En la puesta en común es necesario que los alumnos argumenten cuál es la compañía que ofrece un mejor plan de

llamadas pues es importante destacar que de acuerdo a la cantidad de minutos que se utilicen es el plan que conviene más.

X

(minutos)

Mexcel cobra

(en pesos)

Telecel cobra

(en pesos)

ILcel cobra

( en pesos)

10 110 80 50

30 130 120 150

60 160 180 300


“El húmero” (3/3)

Intención didáctica: Que los alumnos distingan la relación entre dos conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente

y formulen la expresión algebraica correspondiente del tipo y = ax + b

Consigna: Organizados en equipos, analicen las siguientes situaciones y respondan las preguntas.

1.- Con la siguiente ecuación un antropólogo puede estimar la estatura de un hombre si tiene su húmero.

H= 2.89 h + 78.1

Donde H es la estatura y h es la longitud del húmero, ambas en centímetros.

Contesta la siguiente tabla y contesta:

h 28 29 30 31 32 33 34 35

H 159.02

La longitud de dos húmeros difiere 1 cm. ¿Por cuántas centímetros difieren las estaturas?

_________________________________________________________________

2.- Un antropólogo hizo la siguiente tabla de estaturas, pero en vez de sumar 78.1 empleó el número 78 como aproximación,

es decir, aplicó la fórmula: H= 2.89 h + 78 Completa la tabla.

h 28 29 30 31 32 33 34 35

H 158.92

Escriban las diferencias entre los valores de esta tabla y los de la tabla que se elaboró con la fórmula original.

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

3.- La siguiente tabla relaciona la estatura de las mujeres (M) en centímetros con la longitud de su húmero, y se elaboró con

una fórmula similar a la de la estatura de los hombres. Descubre la fórmula y anótala enseguida.

h 27 28 29 30 31 32 33 34

M 148.67 151.56 154.45 157.34 160.23 163.12 166.01 168.9

Fórmula: M =___________



Antes de iniciar con la consigna es importante darle a conocer al alumno que “el húmero” es el hueso del brazo que se

encuentra entre el hombro y el codo, si el maestro así lo desea se pueden lleva alguna imagen donde se especifique la

ubicación exacta de dicho hueso.

En lo que respecta a la consigna es necesario que el alumno con cada llenado de la tabla identifique que los valores van

aumentando de forma constante, e identificar el valor en la fórmula.

h 28 29 30 31 32 33 34 35

H 159.02 161.91 164.8 167.69 170.58 173.47 176.36 179.25

2.89 2.89 2.89

H= 2.89 h + 78.1

En el punto 3 se muestra la tabla completa y se pide obtener la fórmula. Se pretende que los alumnos resten de cada

columna los valores obtenidos en el renglón de “M” para encontrar la contante posteriormente encontrada la constante

realizar los despejes necesarios para encontrar la fórmula.

2.89( 27)= 78.03 148.67 – 78.03= 70.64 M= 2.89h + 70.64

h 27 28 29 30 31 32 33 34

M 148.67 151.56 154.45 157.34 160.23 163.12 166.01 168.9

2.89


Contenido 8.4.7. Resolución de situaciones de medias ponderadas.

Entre medias (1/3)


Intenciones didácticas: Que el alumno conozca la media ponderada y su utilidad.

Consigna: De manera individual y con la ayuda de tu maestro resuelve el siguiente problema.

“ Un estudiante para ingresar a la preparatoria hace una prueba que tiene preguntas con diferente valor. En base a la tabla

siguiente calcula la media ponderada que obtuvo el estudiante.”

Cantidad de

reactivos bien

X

Valor de los reactivos

W

10 5

7 3

6.4 2

1.- Escribe los datos de X _____________

2.- Escribe los datos de W ______________

3.- Aplica la fórmula MP= X1 W1 + X2 W2 + X3 W3….

W1 + W2 + W3…

Media ponderada: _________________

¿Si las preguntas tuvieran el mismo valor necesitaría usar la “media ponderada” o utilizarías el “promedio o media

aritmética”? ________________________________________________________________________


Como inicio es importante regresar a los alumnos al apartado 8.1.9. en el que se resolvieron problemas correspondientes al

cálculo de la media y la mediana para que recuerden su procedimiento y su uso. Posteriormente guiar a los alumnos en la

solución de la consigna.

Guiar al alumno en la solución y antes de contestar la pregunta dictar el concepto y analizarlo para que asimile la media

ponderada y su diferencia con la media aritmética o promedio. Es importante despejar todas sus dudas.

Se denomina media ponderada de un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un

valor particular para cada uno de ellos, llamado su peso, y obteniendo a continuación la media aritmética del conjunto

formado por los productos anteriores. Se utiliza la media ponderada cuando no todos los elementos componentes de los que

se pretende obtener la media tienen la misma importancia

Solución de la consigna.


Datos

Peso

Media Ponderada


¿Y la ponderada? (2/3)

Intenciones didácticas: Que el alumno practique el cálculo de la media ponderada y su utilidad.

Consigna: De manera individual, resuelvan los siguientes problemas:

La siguiente tabla muestra el porcentaje de la fuerza laboral que está desempleada y la magnitud de dicha fuerza en tres

ciudades del noreste de la república mexicana. Juan Solís es el director regional de desarrollo económico y debe presentar

un informe a varias compañías que consideran ubicarse en esa región. Cuál es la tasa de desempleo adecuada que se

puede mostrar para toda la región.

Ciudades % desempleo (X) Tabla fuerza laboral (W)

Torreón 4.5 15300

Monterrey 3 10400

Guadalupe 10.2 150600

176300

Para encontrar la tasa de desempleo que se debe mostrar es necesario calcular la media ponderada siguiendo las

indicaciones.

Completa lo que se te solicita:

Escribe los datos de la columna X

X= {4.5, ____,____}

a la que corresponden los pesos de la columna W

W= {_______, _______, 150600} Aplicamos la fórmula

X = 4.5 ( _______ ) + 3 ( _______ ) + 10.2 ( _______ )

15,300+ _________ + __________

la media ponderada se calcula como:



Se pretende que el alumno pueda resolver utilizando el procedimiento de la consigna anterior pero, por lo nuevo del tema, el

maestro debe estar atento para centrarlos si tardan demasiado y no encuentran el camino para resolver. En la puesta en

común es importante contrastar procedimientos con error con los correctos, para guiar a los alumnos a encontrar su error y

que lleguen al aprendizaje. También es importante que reflexionen en la utilidad de la media ponderada.

Para una serie de datos

a la que corresponden los pesos

{W= numeros reales positivos llamados pesos o factores de ponderación}

la media ponderada se calcula como:

En el primer ejercicio la media ponderada es de 9280


Seguimos ponderando (3/3)

Intenciones didácticas: Resuelvan problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media

ponderada.

Consigna: De manera individual resuelve:

En junio un inversionista compró 300 acciones de Coca Cola a un precio de $ 20 por acción, en agosto compró 400

acciones más a $ 25 cada una, y en noviembre 400 a $ 23 por acción.

a) ¿Cuál es el precio medio ponderado por acción? _______________

b) ¿Qué utilidad tiene para el inversionista calcular la media ponderada?

________________________________________________________________________


El alumno deberá realizar las operaciones de acuerdo a la consigna anterior.


BLOQUE V


Contenido 8.5.1: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema De

ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o

Sustitución).

Cuál es tu coeficiente (1/7)


Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan por métodos propios, problemas que también se pueden resolver con

ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Consigna 1: Organizados de manera individual, resuelvan los siguientes problemas:

Don Matías se dedica a la crianza de vacas y chivos. Raúl le pregunta a su padre: — ¿Papá cuántas vacas y chivos

tenemos?—.

a) Completen la Tabla 1 para mostrar algunas parejas de números que cumplan con la primera pista: Consideren que:

• x representa el número de chivos.

• y representa el número de vacas.

Tabla 1

El padre le dice:

— Te voy a dar dos pistas para que encuentres

cuántos chivos y cuántas vacas tenemos.

Primera pista: en total tenemos 68 animales entre

chivos y vacas.

Segunda pista: el número de chivos es el triple que

el número de vacas.

¿Cuántos animales de cada tipo tiene don Matías?

Chivos: ___________


Número de chivos: x

Número de vacas: y Pareja (x, y)

34 (34,___ )

35

40

18

17

16

b) ¿Cuál es la ecuación que representa a la primera pista?

II. Ahora encuentren otras parejas de números que cumplan con la segunda pista dada por don Matías: el número de chivos

es el triple que el número de vacas. Completen la siguiente tabla.

Tabla 2

Número de chivos: x Número de vacas: y Pareja (x, y)

30

33

12

39

20

15

51

a) ¿Cuál es la ecuación que representa la segunda pista?

b) ¿Cuál pareja cumple con las dos pistas?


III. Representen en el plano de la siguiente hoja las parejas que obtuvieron en la Tabla 1 y las parejas que obtuvieron en la

Tabla 2.

Con un color unan los puntos que graficaron para la Tabla 1.

Con un color distinto unan los puntos que graficaron para la Tabla 2.



Permita a los alumnos utilizar cualquier procedimiento que quieran (incluso dibujos) para resolver el problema. Es importante

que traten de hacerlo partiendo de sus propias ideas, así que no es conveniente que les haga sugerencias o les dé pistas de

cómo hacerlo.

Al colocar los puntos en el plano cartesiano pregúnteles qué tipo de gráfica es la que están obteniendo. Es importante que

los alumnos descubran el patrón que siguen los puntos en el plano, es decir, que pertenecen a una misma recta.

Si algún punto no queda alineado revisen si se trata de un error en las tablas o al ubicar el punto en el plano.

Haga hincapié en el hecho de que la pareja de números que cumple con las dos condiciones (51,17) es el punto en el que

las rectas que trazaron se intersecan.

NOTA: Encargar de tarea que investiguen los pasos para realizar los sistemas de ecuaciones.

Conclusión:

Para resolver un problema que involucre dos incógnitas y dos ecuaciones, hay que buscar dos valores que satisfagan las

dos ecuaciones al mismo tiempo.

Si se grafican las ecuaciones, el punto de intersección de las gráficas corresponde a la solución del problema.


Me puedes ubicar para orientarme (2/7)

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen el sistema de ecuaciones que permite resolver un problema y lo

representen gráficamente para encontrar la solución.

Consigna: Reunidos en binas, resuelvan el siguiente problema:

Alejandra y Erica fueron al cine y compraron dos helados sencillos de chocolate y un refresco en vaso grande por $ 35.00.

Si se sabe que el precio del refresco en vaso grande vale la mitad del precio de un helado sencillo de chocolate, ¿cuál es el

precio de un helado de chocolate y cuál el de un refresco en vaso grande?


Con base en el trabajo realizado en la sesión anterior, en ésta hay que centrar la reflexión de los alumnos directamente en la

formulación de las ecuaciones. Hay que ayudarlos a identificar los datos que se quieren conocer y representarlos con

literales. A partir de aquí, hay que animarlos a que formulen una ecuación y luego la otra. Conviene que una vez más se

apoyen en el método gráfico para encontrar la solución.

Una vez que la solución se analice y se compruebe que cumple con las condiciones del problema, hay que explicar un

segundo método para resolver el sistema de ecuaciones. Dado que muy probablemente la segunda ecuación quede

formulada así x = 2y, o así, yx

2, el método que más se presta es el de sustitución. Como parte de la explicación hay

que decir que un paso importante de este método consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación.

Para que los alumnos ejerciten conviene plantear un problema más y algunos sistemas fuera de contexto.

Problema: En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de

los medianos. ¿Cuántos se vendieron de cada uno?

Sistemas fuera de contexto:

a) 1

142

yx

yx b)

yx

yx

3

16022

c)

yx

yx

2

152


Plantéame y luego resolvemos (3/7)

Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen el sistema de ecuaciones con el que se puede resolver un problema,

conozcan y usen el método de suma o resta para encontrar la solución.

Consigna: Organizados en equipos, planteen el sistema de ecuaciones con el que se puede resolver el siguiente

problema.

Encontrar dos números tales que, el triple del primero más el segundo es igual a 820. El doble del primero menos el

segundo es igual 340.


Es importante centrar la reflexión de los alumnos primero en la formulación de las ecuaciones que, en este caso, se espera

que no haya dificultad. Hay que verificar, en cada equipo, que el sistema de ecuaciones esté correctamente planteado; en

este caso el sistema es:

3x + y = 820

2x – y = 340

Es probable que los alumnos despejen una de las incógnitas para resolverlo por el método de sustitución, dado que en este

momento los alumnos ya tienen los conocimientos sobre este proceso de simplificación algebraica.

En la puesta en común el profesor debe revisar los diferentes procedimientos usados por los alumnos y cuestionarlos sobre

el más adecuado para encontrar la solución del sistema y seguidamente su comprobación.

Después de esto, hay que explicarles que ante un sistema como éste, en el que una de las incógnitas (y) tiene el mismo

coeficiente en las dos ecuaciones, lo que conviene es sumar o restar término a término para que quede una sola ecuación

con una incógnita, en este caso, 5x = 1160. A partir de aquí, se espera que los alumnos sepan encontrar los números que

se buscan. Finalmente hay que decirles que este método se llama de suma o resta.

Para consolidar el uso del método explicado se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los

adecuados del libro de texto de los alumnos.

Consigna: Resolver por el método de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) a + b = 135 b)) 2m + 12n = -22

a - b = 59 8m – 12n = 32

Consigna: Resolver el siguiente problema:

Para el día del estudiante los alumnos del grupo A compraron hamburguesas y refrescos. Un equipo compró 5

hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $285. Otro equipo compró, a los mismos precios, 2 hamburguesas y 3 refrescos y

pagaron $150. ¿Cuánto les costó cada hamburguesa y cada refresco?


Los discos compactos (4/7)

Consigna: Organizados en equipos, planteen y resuelvan el sistema de ecuaciones que resuelve el siguiente problema.

Diego y Claudia fueron a una tienda de discos compactos. Diego fue al departamento de discos de música y vio que todos

estaban al mismo precio. Claudia fue al departamento de películas y vio que todas estaban al mismo precio. Diego pagó

$240 por dos discos de música y una película; mientras que Claudia pagó $255 por un disco de música y dos películas.

¿Cuál es el precio unitario de cada mercancía?


Primero hay que verificar que el sistema de ecuaciones esté correctamente planteado:

2x + y = 240

x + 2y = 255

En seguida se plantea la siguiente reflexión: Dado que en este caso tanto los coeficientes de x como los de y no son iguales,

¿qué se podría hacer para usar el método de suma o resta? Se espera que este cuestionamiento lleve a los alumnos a la

necesidad de encontrar una ecuación equivalente a la primera o a la segunda, para igualar los coeficientes de alguna de las

incógnitas. Si no surge de los alumnos, hay que explicarlo.

Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados

del libro de texto de los alumnos.

Consigna: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 1523

5

yx

yx b)

82

92

ba

ba

Consigna: Resolver los siguientes problemas.

Por cinco boletos para un concierto de rock y tres boletos para un partido de fútbol se pagaron $720 y por dos boletos para

el mismo concierto y seis para el mismo partido de fútbol se pagaron $480 ¿Cuál es el valor del boleto para cada uno de los

eventos?

A un baile asistieron 270 personas. Si los boletos de caballero costaban $100 y los de dama $80 y se recaudaron $24 800

por todas las entradas, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres asistieron al baile?


Somos iguales o no somos iguales (5/7)

Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen y resuelvan un sistema de ecuaciones utilizando el método de

igualación.

Consigna: Organizados en equipos de tres resuelvan el siguiente problema:

Elena compró blusas y faldas, sabemos que el costo de dos blusas equivale a 300 pesos menos el costo de 3 faldas y por

otra parte cada blusa cuesta veinticinco pesos más que cada falda ¿Cuanto cuesta cada prenda?


Es muy probable que los alumnos tengan dificultades para plantear el sistema de ecuaciones que relaciona los datos del

problema; por lo que si es necesario, hay que ayudarlos. Dicho sistema es el siguiente, si se considera que x es el precio de

una blusa e y el precio de una falda:

2x = 300 – 3y

x = y + 25

Una vez que todos estén de acuerdo en el sistema de ecuaciones y pedirles que lo resuelvan, es probable que los alumnos

utilicen algún método que ya conocen, después de lo cual, hay que proponer el método de igualación como otra alternativa

de solución.

Conviene invitar a los alumnos a que planteen diferencias, ventajas y desventajas de este método con respecto a los otros.

Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados

del libro de texto de los alumnos.

Consigna: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

2

6

2

10

yx

yx

b)

6

63

8

47

ba

ba

c) nm

nm

34

2


Te quiero conocer, dime tus características (6/7)

Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de ejemplos ya resueltos, reconozcan y analicen las características de

los diferentes métodos (sustitución, suma o resta e igualación) con los que se puede resolver un sistema de ecuaciones

lineales, para que a partir este análisis elijan el método idóneo según las características del sistema.

Consigna: Organizados en equipos de 3, revisen los métodos de resolución de los problemas planteados y contesten las

preguntas argumentando sus respuestas.

Problema 1:

La suma de dos números es 195. Si el doble del primer número menos el segundo es 60, ¿cuáles son esos números?

Sistema:

x + y = 195

2x – y = 60

Simplificación:

x + y = 195

2x – y = 60

-----------------

3x = 255

x = 255 / 3

x = 85

x + y = 195

85 + y = 195

y = 195 – 85

y = 110

¿Por qué creen que se eligió este método para resolver el sistema?

Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado.


Problema 2.

Dos hermanos ganan juntos $ 7,500.00 al mes. ¿Cuánto gana cada quien si uno de ellos percibe $1,800.00 más que el

otro?

Sistema:

a + b = 7500

b = a + 1800

Simplificación:

a + b = 7500

a + (a +´1800) = 7500

2a + 1800 = 7500

2a = 7500 – 1800

2a = 5700

a = 5700 / 2

a = 2850

b = a + 1800

b = 2850 + 1800

b = 4650

¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones?

¿Por qué creen que se eligió este método?



Problema 3:

Un vendedor de frutas no recuerda el precio al que cobró las sandías y los melones; sólo sabe lo siguiente:

Día Venta Conclusión

Lunes Una sandía y cuatro melones; cobró $

49.00

La sandía cuesta 49 menos el precio de cuatro melones

Martes Una sandía y siete melones; cobró $

73.00

La sandía cuesta 73 menos el precio de siete melones.

Según lo establecido en la tabla ¿Cuál es el precio de cada una de las frutas?

Sistema:

s = 49 – 4m

s = 73 – 7m

– 4m = 73 – 7m

-4m + 7m = 73 – 49

3m = 24

m = 24 / 3

m = 8

s + 4m = 49

s + 4(8) = 49

s + 32 = 49

s = 49 – 32

s = 17

¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones?

¿Por qué creen que se eligió este método?




El maestro debe tener la certeza de que los alumnos trabajaron los métodos de sustitución, suma o resta e igualación en las

clases anteriores de tal forma que puedan encontrar las ventajas de cada uno de ellos. En el momento de la confrontación,

la discusión debe orientarse a reconocer las diferencias entre los métodos y la conveniencia de la selección de uno de ellos

según como queda formulado el sistema, para esto el profesor puede resolver alguno de los sistemas por otro u otros

métodos y analizar junto con los alumnos las dificultades que surgen por no seleccionar el método idóneo. Así mismo hay

que dejar claro que el fin de los tres métodos estudiados, diferentes al método gráfico, es simplificar el sistema a una sola

ecuación con una incógnita, lo que facilita la resolución. Es importante que el docente haga uso del lenguaje matemático al

explicar (coeficiente, incógnita, sistema, ecuación, etc.) de tal forma que el alumno vaya apropiándose de él.


Los paquetes de libros (7/7)

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen plantear y resolver un sistema de ecuaciones

por cualquier método algebraico.

Consigna: Organizados en equipos de 4, planteen un sistema de ecuaciones para cada uno de los problemas siguientes y

resuélvanlos utilizando el método algebraico que consideren conveniente.

Un paquete grande tiene 26 libros más que un chico. En 5 paquetes grandes y 8 chicos hay 728 libros. ¿Cuántos libros hay

en cada paquete?

La suma de dos números es 72 y su diferencia es 48. ¿Cuáles son dichos números?

Patricia compró 10 estampillas de correos, unas de $3.00 y otras de $1.00. Si pago $18.00 en total, ¿cuantos pagó por

cada una?

Al trabajar en un restaurante, Pedro ganó $37.00 más que Juan, pero si a lo que ganó Juan se le restan $23.00, la cantidad

que se obtiene es $ 734.00. ¿Cuanto le corresponde a cada uno?


Probablemente los alumnos tengan dificultad para elegir el método más adecuado para la resolución y la idea es que lo

resuelvan por el método de su preferencia.

Se sugiere al profesor que aproveche la puesta en común para que los equipos argumenten el por qué eligieron ese

método, de tal manera, que nuevamente los alumnos puedan valorar los distintos métodos utilizados. Además el profesor

deberá propiciar que sean los mismos alumnos quienes validen los métodos más directos de acuerdo a los problemas

planteados.

Para consolidar lo aprendido se pueden plantear problemas como los siguientes:

El perímetro del primer triangulo es 21 y el del segundo 23 ¿Cuánto valen “x” y “y”?.

En un rectángulo, el doble del largo menos el triple del ancho es 8 cm y el triple del largo más el doble del ancho es 23cm.

¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?

Dentro de cinco años, mi abuelito tendrá el cuádruplo de mi edad. Hace cinco años tenía siete veces mi edad. ¿Qué edad

tenemos él y yo?

x + 2 y

x

y

2x

y - x


Contenido 8.5.2: Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros.

Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

Nos vemos en la intersección (1/3)


Intención didáctica: Que los alumnos reconozcan las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, que modelan

un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2, como la solución del mismo.

Consigna 1. Individual, resuelvan algebraicamente el siguiente problema:

Hallar dos números cuya suma sea 12 y su diferencia 2.

Consigna 2. Grafiquen en el Plano Cartesiano, las dos ecuaciones que utilizaron para resolver el problema anterior. Pero

antes, contesten las siguientes preguntas.

¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se cruzarán las rectas que corresponden a las ecuaciones?

____________________

¿Cómo lo averiguaron? ________________________________________________

Tracen las rectas y verifiquen que, efectivamente, se cruzan en el punto que ustedes anticiparon.



Es probable que en la primera consigna los alumnos encuentren la respuesta del problema sin plantear las dos ecuaciones

que lo modelan, en tal caso es necesario insistir en que se utilice el procedimiento algebraico, ya que las ecuaciones

planteadas son necesarias para realizar la actividad de la consigna 2.

En la consigna 2 que los alumnos contesten las dos primeras preguntas antes de graficar, que se anoten las respuestas en

el pizarrón y después se verifique al trazar las rectas. Lo importante es que relacionen el punto de intersección con la

solución del sistema.

x

y


Te vendo mi terreno (2/3)

Intención didáctica: Que los alumnos resuelvan un problema que implique un sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas, empleando el método gráfico.

Consigna: Organizados en equipos de 3, formulen el sistema de ecuaciones que permite resolver el siguiente problema y

resuélvanlo gráficamente.

“Dos terrenos tienen las formas y dimensiones que se muestran en las figuras. Si el perímetro del terreno rectangular es de

60 metros y el del triangular de 100 metros, ¿Cuánto miden los lados de cada terreno? Sabiendo que X y Y tienen el mismo

valor en ambas figuras.

x

y

x

y

2y

3x 3x



Lo que permite formular un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para resolver el problema, es el hecho de que

tanto x como y tienen el mismo valor en ambas figuras. Si es necesario, hay que aclararlo.

Una vez que se obtengan gráficamente los valores de las incógnitas, es necesario que se verifique su validez

sustituyéndolos en el sistema. También es importante que los resultados satisfagan las condiciones del problema, es decir

que las medidas de los lados del rectángulo sumen 60 metros y las medidas de los lados del triángulo sumen 100 metros.

Hay que estar atento cuando los alumnos construyan las gráficas, pues la solución del problema es x = 10, y = 20; tal vez

algunos alumnos no utilicen la escala adecuada para observar la intersección de las rectas. Cada división de los ejes puede

representar 5 unidades.

Con la finalidad de consolidar el procedimiento estudiado, se sugiere resolver gráficamente algunos problemas de los planes

del apartado 5.1


Si 2x2 son 4 y 2+2 son 4 a quién le hago caso (3/3)

Intención didáctica: Que los alumnos reflexionen sobre las características de un sistema de ecuaciones, para determinar si

hay una solución, infinidad de soluciones o ninguna.

Consigna 1. En parejas utilicen el método gráfico para resolver el siguiente problema.

Hallar dos números tales que, tres veces el segundo menos seis veces el primero, el resultado es nueve; al mismo tiempo

que, doce veces el primero menos seis veces el segundo el resultado es dieciocho. Posteriormente contesten lo que se

pide.

Escriban el sistema de ecuaciones con el que se resuelve el problema

___________________________________________________________________

¿Qué características tienen las rectas que se generaron?_____________________

___________________________________________________________________

¿En qué punto se intersecan las rectas?___________________________________

¿Cuál es la solución del problema?____________________ ¿Por qué?__________

Consideraciones previas: Se espera que las gráficas obtenidas por los alumnos sean dos rectas paralelas y por

consiguiente lleguen a la conclusión de que no existe un punto de intersección. Sin embargo, de acuerdo con la intención

didáctica, hay que centrar la reflexión de los alumnos en el análisis de la pendiente y ordenada al origen, para concluir que

cuando las pendientes son iguales las rectas son paralelas y, si no se cruzan, el sistema no tiene solución. A continuación

se muestran las gráficas y las ecuaciones escritas en forma explícita:

x

y


Consigna 2: Resuelvan el siguiente problema también por el método gráfico. Pueden utilizar su cuaderno o el plano

cartesiano que utilizaron en la consigna 1, modificando la escala de los ejes.

Juan y María son esposos y trabajan en la misma fábrica, si juntan los salarios de ambos obtienen $250.00 al día. Juntaron

el salario de los seis días en que trabajaron la semana pasada y lograron acumular $1,500.00.

De acuerdo con la información que les presenta la gráfica determinen:

¿Cuál es el salario de cada uno de ellos?________________________________

¿Es la única solución?_________¿por qué?______________________________

Consideraciones previas: En esta situación se espera que los alumnos identifiquen que al graficar el sistema se obtienen

dos rectas sobrepuestas, de manera que los puntos de coincidencia de éstas serán infinitos, por lo que el problema y el

sistema tienen infinidad de soluciones. Es recomendable que el profesor propicie la observación y el análisis de las

ecuaciones como se sugiere en la consigna anterior, haciendo notar que en este caso la pendiente y ordenada al origen es

igual en ambas ecuaciones. A continuación se muestran las gráficas (sobrepuestas) de las dos rectas del sistema:

y = 2x+3

y = 2x-3


Contenido 8.5.3: Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades

que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Complétame si puedes (1/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen acerca de las características de las figuras que se conservan al trazar

sus simétricas con respecto a un eje.

Consigna: Organizados de forma individual, completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría

de cada figura. Después, digan si es cierto o falso cada uno de los enunciados que aparecen después.

Los lados de las figuras trazadas son respectivamente iguales a los de las figuras originales________________

Los ángulos de las figuras trazadas son respectivamente iguales a los de las figuras trazadas____________________

Los lados correspondientes de las figuras originales y de las figuras trazadas son paralelos__________________

La línea que une dos vértices correspondientes de las figuras originales y de las figuras trazadas es perpendicular al

eje____________________


Los alumnos ya han realizado actividades en la primaria acerca de obtener la figura simétrica o de trazar todos los ejes de

simetría de una figura dada, pero no se han analizado con profundidad las características que se conservan de una figura al

trazar su simétrica con respecto a un eje. Es conveniente ir formalizando el lenguaje geométrico, por ejemplo, la manera de

nombrar los lados, vértices y ángulos simétricos utilizando el juego geométrico, principalmente el compás y escuadras.

A

B

m

m

O P

m


La simetría de mi cuerpo (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos figuras simétricas para que apliquen las propiedades.

Consigna: En binas, tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría.


Una vez que la mayoría de los alumnos termine de realizar los trazos es necesario analizar colectivamente los

procedimientos que utilizaron, centrando la atención en la perpendicularidad de las líneas auxiliares que unen dos vértices

simétricos, así como en la igualdad de las distancias entre dichos vértices y el eje de simetría.

q q

q

q


Contenido 8.5.4: Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores

circulares y de la corona.

Mete un gol por el ángulo (1/4)

Curso: Matemáticas 8 Eje Temático: FEM

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el uso de sus conocimientos respecto al

ángulo inscrito y centrales en un círculo, para calcular áreas de sectores circulares y longitud de arcos.

Consigna: Organizados de forma individua, resuelvan el problema siguiente:

Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un corral de forma

cuadrada, de 5 m de lado. El corral está rodeado por un campo de hierba.

¿En qué área puede pastar la cabra?

¿Cuál es la longitud total del arco que describe el desplazamiento de la cabra cuando la cuerda está a su máxima longitud?

5m

3m

cabra



Un aspecto importante a considerar en el desarrollo de estos planes de clase es el hecho de que el alumno realice

conjeturas y estimaciones con respecto a los problemas planteados, antes de aplicarse fórmulas y algoritmos establecidos.

Para la resolución de este problema, se propone dar un tiempo máximo de 15 minutos; esto dependerá de las

observaciones realizadas por el profesor al interior de los equipos y de las dificultades que surjan en la resolución, para lo

que se puede sugerir que tracen con el compás el recorrido de la cabra cuando la cuerda está a su máxima longitud.

Es importante propiciar en el alumno el análisis del proceso de resolución que siguió, para lo cual se recomienda iniciar la

puesta en común a partir de que surjan soluciones de dos o más parejas. Con base en los procedimientos utilizados por los

alumnos, se sugiere favorecer la reflexión a partir de las siguientes preguntas:

Si la cuerda que ata a la cabra, permanece tirante, ¿qué trayectoria describirá en su movimiento sobre la zona en que pasta,

con respecto de la esquina donde se encuentra atada?

¿Tiene alguna relación la medida del ángulo del cuadrado con la circunferencia trazada por el movimiento de la cabra

alrededor del poste?

¿Qué parte de la circunferencia comprende el sector circular, donde la cabra puede moverse libremente? (Es posible que el

alumno conteste ¾ del círculo o la medida en grados del arco que corresponde a 270°); o bien, ¿que parte de la

circunferencia corresponde al sector en que la cabra no puede pastar?

¿Cómo se obtiene la cuarta parte del área del circulo?; o bien, cómo calculas las 3 cuartas partes del área circular?

Estas preguntas también pueden servir de orientación para la resolución del problema; esto en caso de que los alumnos no

encuentren la forma de resolverlo. Si el problema es resuelto rápidamente por los alumnos, se pueden variar las

condiciones: ¿Qué área de pastoreo tendrá la cabra si el corral tiene forma de hexágono regular de 5 m por lado y la

cuerda atada al poste en uno de sus vértices es de 3 m de longitud? (Modificar el tamaño de la cuerda o cambiar el punto

del corral en que la cabra está atada; por ejemplo en el centro de uno de los lados del corral).


¿Cuál es tu ángulo, central o inscrito? (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas donde apliquen los conocimientos sobre medidas y

relaciones entre ángulos.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan los problemas siguientes:

1. A partir de los datos que se presentan en la figura, calcular la

medida del <B, sabiendo que “O” es el centro de la circunferencia.

Redacten el procedimiento que utilizaron para encontrarlo.

2. Observen el diseño que se usará para el emblema del grupo de 3º., donde 0 es el centro del círculo.

Si el ángulo que se señala en el dibujo, formado por las rectas 2 y 4, mide 100°,

calculen la medida del ángulo formado por las rectas 1 y 3 (<A).

3. Tracen un segmento que mida 8 cm. Llamen “A” a uno de los extremos del segmento y “B” al otro. Tracen 10 rectas que

pasen por el punto A. Tracen líneas perpendiculares a cada una de las 10 rectas, las cuales deben pasar por el punto B. Si

unen los vértices de los ángulos rectos trazados ¿qué figura geométrica formarán?

PROCEDIMIENTO UTILIZADO:

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_________________________________

A



Un aspecto importante a considerar es el hecho de que el alumno realice conjeturas y estimaciones con respecto a los

problemas planteados, antes de aplicar fórmulas y algoritmos.

A manera de reafirmación de los contenidos manejados en el apartado 1.4 se pretende que el alumno reconozca las

propiedades y relaciones del ángulo central con el ángulo inscrito, además de reconocer que la medida del ángulo inscrito

en una semicircunferencia es un ángulo recto; asimismo, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.

Son variados los procedimientos de resolución, por lo tanto se recomienda dar un máximo de 15 minutos para que los

alumnos resuelvan el problema 1 y a partir de éste se haga la puesta en común. Se recomienda estar atento en todo

momento a la redacción y argumentación escrita por parte de ellos, de tal forma que se registren los contenidos relevantes

que les permitieron resolver el problema.

Si el tiempo lo permite, efectuar el mismo análisis con los problemas 2 y 3. De no ser así se puede continuar en la siguiente

clase con la puesta en común y la discusión.

A partir de las siguientes preguntas, podemos llevar al alumno a recordar los conceptos manejados anteriormente:

¿Qué tipo de ángulo es el <BOC?

¿Qué tipo de triángulo es BOC? ¿Por qué?

¿Cuánto suman los ángulos internos de cualquier triángulo?

Las preguntas anteriores llevarían al alumno a concluir que si el ángulo BOC es central está formado por dos radios;

entonces el triángulo BOC es isósceles: si BOC mide 70° y <B = <C, entonces 2(<B) + 70° = 180°. Despejando se obtiene

que <B = 55°.

De igual manera se puede preguntar:

¿Qué tipo de ángulo es <BAC? ¿Por qué?

¿Cuál es la medida de <BCA? ¿Por qué?

De aquí se desprende que si <BAC es ángulo inscrito mide (35°), es decir, la mitad del ángulo central, pues subtienden el

mismo arco. Asimismo, el triángulo BCA es rectángulo en C por estar inscrito en una semicircunferencia (el segmento AB es

diámetro). Entonces,

90° + 35° + <B = 180° ; <B = 180° - 125° ; por tanto: <B = 55°


¿De que sector circular eres? (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen sus conocimientos para calcular áreas de coronas circulares.

Consigna: Organizados en equipos de 3, resuelvan los siguientes problemas:

La siguiente figura corresponde a un juego de tiro al blanco. Los puntos O, A, B, C y D están alineados y O es el centro de

todos los círculos. La distancia del punto O al punto A es de 20 cm y las distancias entre los demás puntos es de 10 cm.

Con estos datos calculen:

El área del círculo central.___________

El área del sector B._______________

El área del sector C._______________

El área del sector D._______________

Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no tengan problema para resolver el inciso a) aplicando la fórmula

del área del círculo; sin embargo, es importante que el maestro observe los procedimientos empleados al resolver los demás

incisos y detecte los casos en que los alumnos hayan recurrido a obtener la diferencia de los radios multiplicada por π: π

(R2 r

2) y confrontar ambos procedimientos para que los propios alumnos elijan la forma más directa de obtener el área de

una corona circular.

Si el tiempo lo permite, podría presentarles el siguiente problema, o bien, dejarlo de tarea:

Has sido elegido para presenciar un eclipse solar por unos cuantos instantes; la circunferencia de la luna y la del sol

compartirán el mismo centro. Por motivos astronómicos es necesario que calcules el área aparente de la corona solar.

El departamento de astronomía de la UNAM te proporciona los siguientes datos:

Diámetro aparente del sol 5 000 km.

Diámetro real de la luna 3 476 km.


Ya tengo la flecha, me falta el árco (4/4)

Intenciones didácticas: Que los estudiantes apliquen sus conocimientos para calcular medidas de arcos en la obtención de

áreas de figuras compuestas, sectores circulares y coronas.

Consigna 1: Organizados en equipos de 4, y, si es posible, usando Cabri Géomètre, resuelvan el problema siguiente:

Un perro está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2m. Unida a una argolla que se desplaza en una

barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden 2m y 4m. ¿Cuál es el área de la región en la que puede desplazarse el

perro?

Consigna 2: En equipos de 4,, utilizando Cabri Geometre, propongan y resuelvan un problema que implique el cálculo de

longitudes de arcos, áreas de sectores circulares o coronas.


Es opcional para el profesor hacer uso de la tecnología que puede encontrarse en su escuela –en este caso el software de

Cabri Géomètre y que favorece el hecho de que el alumno centre su atención en la resolución del problema y no tanto en

la construcción de la figura (cuando esto último no es el propósito).

El problema anterior implica que los estudiantes delimiten las regiones que recorre el perro (dos semicírculos, dos

rectángulos, un cuadrado y la cuarta parte de un círculo).1

1 Fichero de Actividades Didácticas, pág. 42.


Contenido 8.5.5: Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

Lee mi gráfica (1/2)


Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos, con apoyo de la

representación gráfica.

Consigna: Organizados en parejas, comenten lo que cada una de las siguientes gráficas ofrece como información y

contesten las preguntas en cada caso.

a) Consumo de gasolina de cierto b) Precio de pastel en una base de

automóvil en carretera. madera.

Kilómetros kilogramos


Al hacer la puesta en común, es importante que los alumnos verifiquen las respuestas con el apoyo de las gráficas e

invitarlos a que formulen y contesten otras preguntas.

Además de interpretar la información contenida en las gráficas, hay que pedir que se formule la expresión algebraica que

representa cada situación, señalando la diferencia entre una relación de proporcionalidad y otra que no es de

proporcionalidad.

litro Precio

($)

15 60 90

2

4

6

1 3 5

90

30

150

1. ¿Cuántos km recorre por litro?

2. ¿Cuántos litros requiere para

recorrer 120 km?

1. ¿Cuánto cuesta un kg de pastel?

2. ¿Cuánto cuesta la base de madera?


Si el termómetro marca 20°F a qué temperatura estamos? (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos representen gráficamente relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos y

localicen información adicional.

Consigna: Organizados en equipos de 3, tracen en su cuaderno la gráfica que corresponda a la siguiente situación y

respondan a las preguntas.

No todos los países utilizan la misma escala para medir la temperatura. En México se utilizan los grados Centígrados (°C);

en el país vecino del Norte utilizan los grados Fahrenheit (°F). Cuando el termómetro de los grados Centígrados marca 0°, el

de la escala Fahrenheit marca 32°; cuando éste último marca 0°, el de la escala Centígrada marca aproximadamente -18°.

¿Cuál es la gráfica que modela esta situación?

De acuerdo con la gráfica que trazaron:

a) ¿Cuál es la temperatura en grados Centígrados cuando el termómetro marca 20°F?

b) ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit cuando el termómetro marca 20°C?

c) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima pronosticadas para el día de hoy en su comunidad? Escríbanlas en las

escalas Centígrada y Fahrenheit y grafica.

x

y



Si los alumnos tienen dificultad para iniciar el trazo de la gráfica se puede sugerir que en cada eje representen una escala y

que representen un grado en ambas escalas con un milímetro. Es muy probable que las respuestas a las preguntas a y b

sean aproximadas, ya que las obtendrán a partir de la gráfica.

Para la puesta en común sería conveniente tener a la mano un plano cartesiano (dibujado en el pizarrón, en una hoja bond

para rotafolio, en perfocel o cualquier otro material) para que todo el grupo observe la construcción de la gráfica y participe

de su lectura, haciendo referencia a las características de las gráficas lineales de la forma y=mx+b, priorizando las

coordenadas del punto de intersección con el eje y.


Contenido 8.5.6: Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función

y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

Analiza los efecto (1/4)


Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen la inclinación y la posición de las rectas que se obtienen al variar el

valor de b y mantener constante la pendiente.

Consigna: Organizados de manera individual, grafiquen en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones.

Posteriormente contesten lo que se pide.

y = 2x+1 y = 2x -1 y = 2x + 3 y = 2x - 4 y = 2x + 1/2

Tabulación:

X= Y=2X+1 Y=2X-1 Y=2x+3 Y=2X-4 Y=2X+1/2

-2

2(-2)+1/2=

-3.5

0

2(0)-1=

-1

1

3

2(3)-4=

2


Qué relación hay entre las gráficas y las expresiones algebraicas?

___________________________________________________________________________________________________

________________________________


En caso necesario, hay que apoyar a los alumnos en la representación gráfica de las funciones: tabulación, representación

de valores en los ejes, ubicación de puntos en el plano, etc

Si los alumnos tienen dificultad para identificar el comportamiento de b en las gráficas, se les puede apoyar con otros

cuestionamientos como los siguientes:

¿Qué tienen en común todas las rectas y qué tienen en común todas las expresiones algebraicas?

¿Qué es lo que varía en las expresiones algebraicas? ¿En qué valor intersecan las rectas al eje vertical?

x

y


¿A cuál función le vas? (2/4)

Intenciones didácticas: A partir del análisis de gráficas lineales de la forma y = mx + b, que los alumnos completen sus

expresiones algebraicas, observando el comportamiento de b.

Consigna: En binas, Dadas las gráficas siguientes, completen las funciones correspondientes. Trabajen en parejas.

Para A: Para B: Para C: Para D

y = x ___ y = x ____ y = x ____ y = x ___

¿Expliquen cómo determinaron los valores de b?


Si el tiempo lo permite, puede utilizarse el mismo plano cartesiano para representar funciones como y = x + 1, y = x – 8, y =

x + 9, y = x – 6, y = x + 7/2, etc., observando únicamente los valores de b. Si el profesor tiene la oportunidad de utilizar una

calculadora graficadora, este es un recurso que permite apreciar de manera dinámica como cambian las rectas de posición

cuando se modifica cualquiera de los parámetros.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

- - - - - - -

y

x

A B

C

D


Como se comportó mi gráfica (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando

cambia el valor de m (entero positivo), mientras el valor de b permanece constante.

Consigna: Organizados en equipos grafiquen en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones. Posteriormente


y = x +20 y = 2x + 20 y = 4x + 20 y = 5x + 20 y = 6x + 20

¿Qué relación hay entre las gráficas y las expresiones algebraicas?

x

y



En caso necesario hay que apoyar a los alumnos en la representación gráfica de las funciones: tabulación, representación

de valores en los ejes, ubicación de puntos en el plano, etc

Los alumnos, al graficar (dependiendo de las escalas que hayan elegido), encontrarán gráficas como las siguientes:

Es conveniente aprovechar la ocasión para mencionar a los alumnos que las gráficas construidas constituyen una familia de

rectas que pasan por un mismo punto. Una recta está determinada por dos valores (en este caso se habla de la pendiente y

la ordenada al origen), cuando uno de esos valores varía mientras el otro se mantiene constante se dice que se tiene una

familia de rectas.

En este caso, las rectas obtenidas son concurrentes. Tienen en común la ordenada al origen (20) y varía su pendiente

(inclinación).

Es recomendable que el maestro haga la observación de que el tipo de expresiones algebraicas como las trabajadas

anteriormente, pertenecen a la forma general: y= mx + b, en donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada al

origen.

x

y


-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Que nos quedó pendiente (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando

cambia el valor de m (entero), mientras el valor de b permanece constante.

Consigna: Organizados en equipos completen la siguiente tabla, para el caso de la R5 obtengan los datos de su gráfica.

Posteriormente grafiquen en el mismo plano las funciones faltantes y contesten lo que se pide.

¿Qué tienen en común las gráficas construidas?

¿Qué sucede con la gráfica cuando la pendiente es positiva?

¿Qué sucede con la gráfica cuando la pendiente es negativa?

Gráfica Función Pendiente Ordenada al origen

R1 y = x + 2

R2 Y = –x + 2

R3 Y = 2x + 2

R4 y = –3x + 2

R5



En caso necesario, apoyar a los alumnos en la representación gráfica de las funciones: tabulación, representación de

valores en los ejes, ubicación de puntos en el plano, etc

En el caso de la expresión algebraica faltante (R5), los alumnos intentarán probando diferentes expresiones y sustituyendo

algunos valores conocidos de “x” e “y” para ver si se ajustan a ellas. Otros más observarán que en todos los casos la

ordenada al origen es la misma y por lo tanto sólo queda determinar la pendiente, la cual se puede obtener observando que

por cada unidad aumentada en “x” los valores de “y” sólo se incrementan ½ unidad, así que la expresión buscada es y = ½x

+ 2. Una forma más que pudieran usar los alumnos es sustituir en la expresión y = mx + 2, las coordenadas de un punto de

la recta y resolver la ecuación obtenida. Por ejemplo: usando las coordenadas del punto (2,3) se obtiene la ecuación 3 =

m(2) + 2.

Es importante que el maestro aproveche las dudas surgidas en el grupo y las respuestas dadas por los alumnos para

precisar ciertas convenciones relacionadas con la graficación de puntos en el plano cartesiano: abscisa, ordenada,

pendiente, ordenada al origen, familia de rectas, etc.


Contenido 8.5.7: Comparación de la gráfica de dos distribuciones (Frecuencial y teórica) al realizar muchas veces

un experimento aleatorio.

Registra la frecuencia (1/2)

Matemáticas 8 Eje: manejo de la información

Intención didáctica: Que el alumno compare los resultados de un evento aleatorio con resultados teóricos.

Consigna 1: Reunidos en binas, realicen lo que se les indica en cada caso. Analicen la gráfica que se les presenta,

efectúen el experimento que se les indica, registren los resultados en la tabla, elaboren la gráfica correspondiente y

respondan las preguntas.

La siguiente gráfica muestra la probabilidad teórica de que al lanzar un dado al aire durante 20 lanzamientos caigan

números pares o impares.

1.-Realicen 20 lanzamientos de un dado y registren en la tabla los resultados.

LANZAMIENTOS PARES IMPARES

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


2.- Construyan la gráfica que representa los resultados de los 20 lanzamientos que realizaron.

¿Hay semejanza entre la primera grafica y la que ustedes elaboraron?_______________

¿Por qué?______________________________________________________________

¿ A que conclusion puedes llegar?_____________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________

Consideraciones previas: El docente debe verificar que el alumno realmente realice el experimento.

Al analizar los resultados se sugiere que se manejen en porcentajes. Al comparar las gráficas se observara que entre más

veces se realice el experimento más se acercaran a los resultados teóricos. No se debe olvidar que los resultados pueden

variar ya que se trata de eventos aleatorios o que interviene el azar.


Cara o cruz (2/2)

Intención didáctica: Que a partir de la realización eventos múltiples y su registro concluya que la teoría coincide con el

experimento real.

Consigna 1: En equipos realicen el ejercicio. Tomen un dado con sus seis caras numeradas del 1 al 6, efectúen 54

lanzamientos y registren en la siguiente tabla, las frecuencias con que cae un número.

Frecuencias

del 1

Frecuencias

del 2

Frecuencias

del 3

Frecuencias

del 4

Frecuencias

del 5

Frecuencias

del 6

Lanzamientos

9

18

27

36

45

54

Total

En la siguiente gráfica se muestra la probabilidad teórica de los posibles resultados al lanzar un dado con sus seis caras

numeradas del 1 al 6. Construyan junto la que resulta de los resultados que ustedes obtuvieron.


Comparen ambas gráficas y respondan a las preguntas.

1.- ¿Hay coincidencias entre la grafica de la probabilidad teórica y la que ustedes trazaron de acuerdo a los resultados que

obtuvieron?__________________________________________

2.- Si aumentamos a 300 lanzamientos que sucederá?________________________________

___________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________

3.- Argumenten sus respuestas___________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________

Consideraciones previas: Es importante que el docente solicite previamente a los alumnos que cuenten con un dado para

poder realizar la actividad. El docente verificará que se realicen la totalidad de los 54 eventos ya que al ser demasiados el

alumno puede dejar de realizarlo e inventar resultados del lanzamiento. El profesor debe insistir en realicen el análisis de los

lanzamientos y concluyan que cada cara del dado tienen la misma probabilidad, siempre y cuando el dado no esté alterado.

Probablemente en algunos equipos no coincidan los resultados reales de sus lanzamientos con lo que se espera en teoría y

la gráfica que ellos construyan difiera de la que se les presenta. Si es así se les explicará que son eventos azarosos; por lo

que los resultados pueden cambiar de equipo a equipo.

Para verificar que la probabilidad teórica se apega a la realidad, se `propone a los alumnos, obtener el promedio de los

lanzamientos donde cayó 1 en todos los equipos, y así sucesivamente con 2, 3, 4, 5 y 6.

0

9

18

27

36

45

54

1 2 3 4 5 6

FR

EC

UEN

CIA

NUMERO

PROBABILIDAD TEORICA

AL LANZAR UN DADO

0

9

18

27

36

45

54

1 2 3 4 5 6

FR

EC

UEN

CIA

NUMERO

FRECUENCIAS OBTENIDAS AL REALIZAR 54 LANZAMIENTOS CON

UN DADO

consignas 8 maestro

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