cuaderno de consignas (maestro)

CUADERNO DE CONSIGNAS MAESTRO

Educacin Bsica Secundaria

NOVENO GRADO

Matemticas

2011 Edicin: Profra Laura Miln Segovia, 2012

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INDICE

Presentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Estndares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Bloque 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bloque 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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PRESENTACIN

La Secretara de Educacin Pblica, en el marco de la Reforma Integral de la Educacin Bsica (RIEB), pone en las manos de maestras y maestros los Programas de estudio 2011. Gua para el Maestro. Educacin Bsica. Secundaria. Matemticas.

Un pilar de la Articulacin de la Educacin Bsica es la RIEB, que es congruente con las caractersticas, los fines y los propsitos de la educacin y del Sistema Educativo Nacional establecidos en los artculos Primero, Segundo y Tercero de la Constitucin Poltica de los Estados Unidos Mexicanos y en la Ley General de Educacin. Esto se expresa en el Plan de estudios, los programas y las guas para las maestras y los maestros de los niveles de preescolar, primaria y secundaria. La Articulacin de la Educacin Bsica se centra en los procesos de aprendizaje de las alumnas y los alumnos, al atender sus necesidades especficas para que mejoren las competencias que permitan su desarrollo personal. Los Programas de estudio 2011 contienen los propsitos, enfoques, Estndares Curriculares y aprendizajes esperados, manteniendo su pertinencia, gradualidad y coherencia de sus contenidos, as como el enfoque inclusivo y plural que favorece el conocimiento y aprecio de la diversidad cultural y lingstica de Mxico; adems, se centran en el desarrollo de competencias con el fin de que cada estudiante pueda desenvolverse en una sociedad que le demanda nuevos desempeos para relacionarse en un marco de pluralidad y democracia, y en un mundo global e interdependiente. La Gua para maestras y maestros se constituye como un referente que permite apoyar su prctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su creatividad y bsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes. La SEP tiene la certeza de que los Programas de estudio 2011. Gua para el Maestro. Educacin Bsica. Secundaria. Matemticas ser de utilidad para orientar el trabajo en el aula de las maestras y los maestros de Mxico, quienes a partir del trabajo colaborativo, el intercambio de experiencias docentes y el impacto en el logro educativo de sus alumnos enriquecern este documento y permitir realizar un autodiagnstico que apoye y promueva las necesidades para la profesionalizacin docente.

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA

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ESTNDARES DE MATEMTICAS

Los Estndares Curriculares de Matemticas presentan la visin de una poblacin que sabe utilizar los conocimientos matemticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos niveles de alfabetizacin matemtica.

Se organizan en: 1. Sentido numrico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la informacin 4. Actitud hacia el estudio de las matemticas

Su progresin debe entenderse como: Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemtico para explicar procedimientos y resultados. Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la comprensin y el uso eficiente de

las herramientas matemticas. Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo autnomo.

Cuarto periodo escolar, al concluir el tercer grado de secundaria, entre 14 y 15 aos de edad

En este periodo los estndares estn organizados en tres ejes temticos: Sentido numrico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la informacin. Al egresar del nivel de secundaria, los estudiantes saben efectuar clculos con expresiones algebraicas, cuyos coeficientes sean nmeros racionales, formulan ecuaciones o funciones para resolver problemas, calculan volmenes y resuelven problemas geomtricos con apoyo de las propiedades de las figuras y cuerpos. Calculan porcentajes y probabilidades de eventos simples o compuestos, y comunican e interpretan informacin mediante el uso de diferentes tipos de grficas. En este periodo se contina promoviendo el desarrollo de actitudes y valores que son parte esencial de la competencia matemtica y que son el resultado de la metodologa didctica que se propone para estudiar matemticas.

1. Sentido numrico y pensamiento algebraico

Este eje temtico se subdivide en cuatro temas: 1.1. Nmeros y sistemas de numeracin. 1.2. Problemas aditivos. 1.3. Problemas multiplicativos. 1.4. Patrones y ecuaciones.

Los Estndares Curriculares para este eje temtico son los siguientes. El alumno: 1.1.1. Resuelve problemas que implican convertir nmeros fraccionarios a decimales y viceversa. 1.1.2. Resuelve problemas que implican calcular el mnimo comn mltiplo o el mximo comn divisor. 1.2.1. Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar clculos con expresiones algebraicas. 1.3.1. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepcin de la divisin entre polinomios. 1.4.1. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrtica de una sucesin. 1.4.2. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadrticas.

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2. Forma, espacio y medida

Este eje temtico se subdivide en dos temas: 2.1. Figuras y cuerpos. 2.2. Medida.

Los Estndares Curriculares para este eje temtico son los siguientes. El alumno: 2.1.1. Resuelve problemas que implican construir crculos y polgonos regulares con base en informacin diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 2.1.2. Utiliza la regla y el comps para realizar diversos trazos, como alturas de tringulos, mediatrices, rotaciones, simetras, etctera. 2.1.3. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polgonos. 2.2.1. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las frmulas de permetro, rea y volumen. 2.2.2. Determina la medida de diversos elementos del crculo, como circunferencia, superficie, ngulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares. 2.2.3. Aplica el teorema de Pitgoras y las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente en la resolucin de problemas.

3. Manejo de la informacin Este eje temtico se subdivide en los siguientes temas: 3.1. Proporcionalidad y funciones. 3.2. Nociones de probabilidad. 3.3. Anlisis y representacin de datos.

Los Estndares Curriculares para este eje temtico son los siguientes. El alumno: 3.1.1. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o mltiple, como porcentajes, escalas, inters simple o compuesto. 3.1.2. Expresa algebraicamente una relacin lineal o cuadrtica entre dos conjuntos de cantidades. 3.2.1. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. 3.3.1. Lee y representa informacin en diferentes tipos de grficas; calcula y explica el significado del rango y la desviacin media.

4. Actitudes hacia el estudio de las matemticas

Al trmino de la Educacin Bsica, el alumno: 4.1. Desarrolla un concepto positivo de s mismo como usuario de las matemticas, el gusto y la inclinacin por comprender y utilizar la notacin, el vocabulario y los procesos matemticos. 4.2. Aplica el razonamiento matemtico a la solucin de problemas personales, sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares. 4.3. Desarrolla el hbito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate matemtico al formular explicaciones o mostrar soluciones. 4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.

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BLOQUE 1

Aprendizajes esperados:

Explica la diferencia entre eventos

complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

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9 Bloque Eje Tema Nombre de la consigna Contenido Plan Clave

1 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Procedimientos personales 9.1.1 1/4 G9B1C1

Contenido: 9.1.1 Resolucin de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadrticas sencillas, utilizando

procedimientos personales u operaciones inversas.

Intenciones didcticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales u operaciones inversas, al resolver

problemas que implican una ecuacin cuadrtica.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si lo consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas. 1. El cuadrado de un nmero menos 5 es igual a 220. Cul es ese nmero?

2. El cuadrado de un nmero ms el mismo nmero es igual a 306. Cul es ese nmero?

3. El producto de dos nmeros consecutivos es 552. Cules son esos nmeros?

Consideraciones previas: Se sugiere que cuando la mayora de los equipos termine de resolver el primer problema, hacer

un alto para analizar los procedimientos utilizados. Lo ms probable es que utilicen el ensayo y error, es decir, que vayan

probando con diferentes nmeros hasta encontrar el que cumple con las condiciones del problema. En este momento conviene pedirles que traten de formular una ecuacin, darles unos minutos y analizar las ecuaciones formuladas. La

siguiente pregunta es qu se puede hacer para resolver una ecuacin como sta? x2 5 = 220. Un recurso posible es

simplificar la ecuacin: x2 = 225 y luego sacar raz cuadrada en ambos miembros para obtener el valor de x. Otro

recurso es hacer el camino de regreso: a 220 sumarle 5, luego sacar raz cuadrada al resultado.

La finalidad de hacer un alto despus de resolver el primer problema es socializar los recursos utilizados para que ms

alumnos tengan elementos para resolver los dems problemas. De cualquier manera, es importante dedicar el tiempo suficiente para revisar los resultados y procedimientos de los dems problemas.

Observaciones posteriores:

1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?

2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy til til Uso limitado Pobre

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2 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Planteando ecuaciones I 9.1.1 2/4 G9B1C1



Intenciones didcticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadrticas y las resuelvan mediante procedimientos

personales u operaciones inversas.

Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuacin para cada caso. Si consideran

necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas.

1. El cuadrado de un nmero es igual al triple del mismo. De qu nmero se trata?

2. El cuadrado de un nmero menos el doble del mismo nmero es igual a 24. Cul es ese nmero?

3. El cuadrado de un nmero es igual a la tercera parte del mismo ms 8. Cul es ese nmero?

Consideraciones previas: Las ecuaciones que resultan de los problemas anteriores son cuadrticas y pueden resolverse por ensayo y error, procedimiento muy probable que utilicen los alumnos. Es necesario considerar al menos 15 minutos

para la discusin e iniciar con la revisin de las ecuaciones para ver si son iguales, equivalentes o distintas. Despus,

hay que analizar los procedimientos que usaron para resolverlas.

Conviene decir en esta sesin que las tres ecuaciones que resultan son de segundo grado y que a diferencia de las de primer grado, la incgnita est elevada al cuadrado.

Una vez que los alumnos son capaces de plantear y resolver problemas como los anteriores, se pueden proponer

ejercicios de resolucin de ecuaciones como las siguientes:

a) 042 x

b) 1445 2 x

c) 082 2 x

d) 3522 xx






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3 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Planteando ecuaciones II 9.1.1 3/4 G9B1C1



Intenciones didcticas: Que los alumnos formulen la ecuacin cuadrtica que modela una situacin y la usen para calcular datos faltantes empleando procedimientos personales u operaciones inversas.

Consigna. En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuacin para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora.

1. El parque de una colonia est ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es el jardn con un rea de 14 400 m

2. Calculen cunto mide por lado todo el terreno.

Ecuacin: _______________

2. A una pieza de cartn de forma cuadrada (Fig. 2), se le recortan cuadrados en las esquinas para hacer una caja sin tapa, con las siguientes medidas: Altura = 10 cm; Volumen =1 000 cm

3. Calculen la medida por lado del cartn que se necesita para hacer la

caja.

Ecuacin: ____________

Consideraciones previas: Para el primer caso, se espera que los alumnos plateen la ecuacin cuadrtica x2 2 500 = 14

400 y que realicen los clculos necesarios para determinar el resultado del problema que es 130 m.

Es importante hacer notar que la ecuacin tiene dos soluciones: x1=130 y x2=-130; sin embargo, slo una de ellas

cumple con las condiciones del problema, puesto que las longitudes no pueden ser negativas. Tambin hay que aprovechar este problema para informar a los alumnos que las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones

como en el caso anterior, una solucin o ninguna.

El razonamiento para formular la ecuacin del segundo problema es ms complejo, sin embargo hay que esperar a que los alumnos realicen la tarea por s solos y slo brindarles ayuda si es muy necesario. La ecuacin que resulta es

)10()20(1000 2 x , misma que si se divide entre 10 se obtiene 100=(x-20)2 y si a sta se le extrae raz cuadrada

queda as: 10=x-20, de donde resulta que x=30.

Es probable que los alumnos obtengan este mismo resultado por otros medios, lo importante es que sepan explicar el procedimiento utilizado y por qu el resultado cumple con las condiciones del problema.






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4 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Inventa problemas 9.1.1 4/4 G9B1C1



Intenciones didcticas: Que los alumnos traduzcan al lenguaje comn ecuaciones cuadrticas y las resuelvan usando


Consigna: Organizados en parejas, inventen un problema que se pueda resolver con cada una de las ecuaciones presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden utilizar calculadora.

a) 2703 xx b) 1322 aa c) 1023 2 nn

a) _______________________________________________________________________________________

b) _______________________________________________________________________________________

c) _______________________________________________________________________________________

Consideraciones previas: La traduccin de una ecuacin a un problema no es una tarea sencilla pero es importante que

los alumnos la llevan a cabo, con el fin de que le busquen sentido a una expresin algebraica.

Los problemas inventados pueden corresponder a diferentes contextos tales como, clculo de reas, edades, nmeros, dinero, etctera, sin embargo, para una misma ecuacin, los problemas siempre tendrn la misma estructura. Por

ejemplo, para la del inciso a, los problemas pueden ser:

El largo de un rectngulo mide tres unidades ms que el ancho y el rea es 270 m2, Cules son las dimensiones del rectngulo?

El producto de dos nmeros es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro, cules son los nmeros?

Juan es tres aos mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270, qu edad tiene cada uno?

Los procedimientos para resolver las ecuaciones pueden ser todava de ensayo y error, es hasta el siguiente bloque

cuando se empieza el estudio de procedimientos ms sistemticos.






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5 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos De la misma forma 9.1.2 1/4 G9B1C2

Contenido: 9.1.2: Construccin de figuras congruentes o semejantes (tringulos, cuadrados y rectngulos) y anlisis

de sus propiedades.

Intenciones didcticas: Que los alumnos reflexionen sobre las propiedades que guardan los elementos homlogos al construir tringulos semejantes y que adviertan que la congruencia es un caso especial de la semejanza.

Consigna: Equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Cada integrante del equipos construya los tringulos cuyos ngulos midan:

a) 60, 60 y 60

b) 90, 45 y 45

c) 90, 60 y 30

2. Agrupen sus tringulos, de acuerdo con las medidas de sus ngulos. Despus contesten: Por qu creen que los tringulos de cada grupo tienen la misma forma

3. Elijan dos tringulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente:

a) Nombren uno de los tringulos con las letras ABC y al otro con ABC

b) Nombren los lados de uno de los tringulos con las letras abc y los lados del otro con abc.

c) Midan los lados de ambos tringulos y anoten los datos que se piden en la siguiente tabla.

Tringulo ABC a= b= c= a

a

b

b

c

c

Tringulo ABC a= b= c= b

a

b

a

d) Por qu se puede asegurar que los lados de los tringulos ABC y ABC son proporcionales?

Consideraciones previas:

En esta actividad se debe dejar la opcin a los alumnos de hacer los trazos con el juego geomtrico o con un software de

geometra dinmica (por ej. Cabri-Gomtre).

Es importante que los alumnos se den cuenta de que dados tres ngulos se obtienen tringulos cuyos lados pueden tener

diferentes medidas, pero conservan la misma forma, es decir, son tringulos semejantes.

Al encontrar la razn entre los lados homlogos debern concluir que se trata de una constante, lo cual indica que las

medidas aumentan o disminuyen en la misma proporcin.

Es probable que en la construccin de tringulos o en la eleccin de tringulos para encontrar las razones de lados homlogos, se trate de tringulos de lados iguales, es decir, que tengan la misma forma y el mismo tamao, si as sucede

es importante que los estudiantes analicen sus propiedades y concluyan que tambin se trata de tringulos semejantes. Si

no sucede lo anterior, se sugiere que el profesor proponga dicho anlisis, con la intencin de que los alumnos adviertan que los tringulos semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamao, que los tringulos

congruentes tambin son semejantes.






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6 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Ampliacin de una fotografa 9.1.2 2/4 G9B1C2


de sus propiedades.

Intenciones didcticas: Que los alumnos utilicen las propiedades de la semejanza al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

Se quiere ampliar una fotografa cuyas medidas son 4 cm de largo por 2 cm de ancho, de tal manera que el homlogo del lado que mide 4 cm, mida 7 cm en la fotografa ampliada, cunto deber medir el otro lado?


Es necesario que durante la puesta en comn los alumnos expliquen cmo determinaron la medida faltante. Un

procedimiento posible es la regla de tres. Otro es buscar la constante de proporcionalidad entre 4 y 7, que es 7/4 y la

multipliquen por 2.

En caso de que resuelvan este problema muy rpido y quede tiempo, se les puede pedir que:

Reproduzcan el siguiente rompecabezas (tangram), de manera que el lado que mide 2.5 cm, mida 4 cm en el tangram reproducido.

Si este problema no se concluye en clase, se puede dejar de tarea. Los alumnos podrn comprobar que estn bien los

trazos que realizaron si las piezas embonan perfectamente.






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7 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Vrtices colineales 9.1.2 3/4 G9B1C2


de sus propiedades.

Intenciones didcticas: Que los alumnos verifiquen que los vrtices de rectngulos semejantes que tienen un vrtice comn, son colineales.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema. Tracen los rectngulos que muestran el tamao de las fotografas de la sesin anterior sobre el siguiente plano cartesiano, ubicando uno de sus vrtices en el origen de ste y tracen otros dos rectngulos semejantes a los dos primeros, de manera que coincidan con el punto (0,0). Expliquen cmo pueden saber que los dos ltimos rectngulos son semejantes a los primeros.


Es probable que los alumnos justifiquen la semejanza estableciendo la razn entre los lados de los rectngulos dibujados; sin embargo, tambin se les puede preguntar qu se observa con respecto a los vrtices que no estn sobre los ejes del

plano y establecer que todos ellos quedan sobre una recta, por lo que son colineales.

Tambin se puede concluir que los segmentos paralelos entre dos lneas secantes son proporcionales; en este caso las

secantes son x (eje horizontal) y m (lnea) que une los vrtices de los rectngulos (Teorema de Tales).






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8 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Polgonos semejantes 9.1.2 4/4 G9B1C2


de sus propiedades.

Intenciones didcticas: Que los alumnos usen las propiedades de la semejanza al construir dos polgonos semejantes.

Consigna: En equipos, construyan un pentgono regular semejante al que aparece abajo, pero cuyos lados midan el doble; tomen como referencia el punto E.

a) Comparen los lados homlogos de ambos polgonos y escriban el factor de proporcionalidad entre ellos. Despus digan

cmo son los ngulos correspondientes entre ambos polgonos.

Consideraciones previas: Nuevamente los alumnos debern concluir que el factor de proporcionalidad de los lados homlogos es constante y que

los ngulos correspondientes entre ambos polgonos son iguales.

Tambin se les puede pedir que unan el punto O con los dems puntos del polgono dado y con sus homlogos del

polgono que trazaron y observen que nuevamente se obtienen segmentos proporcionales entre dos secantes.

Se sugiere realizar la actividad El pantgrafo del fichero de actividades pgs. 108 y 109.






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9 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Cmo deben ser las medidas de los lados? 9.1.3 1/6 G9B1C3

Contenido: 9.1.3 Explicitacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos a partir de construcciones con

informacin determinada.

Intencin didctica. Que los alumnos concluyan que para formar un tringulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea

mayor que el tercer lado.

Consigna 1. Organizados en equipos, realicen la actividad 1 de la ficha Tringulos con palillos, pgs. 94 y 95, Fichero de actividades didcticas. Matemticas, secundaria.

TRINGULOS CON PALILLOS Fichero de Actividades Didcticas Tema 5: Tringulos y cuadrilteros.

Material: Una caja de palillos (por equipo).

Cuntos tringulos diferentes se pueden construir con un mismo nmero entero de palillos? Para saberlo, van a construir tringulos y a llenar la siguiente tabla. Los palillos sern usados en el permetro todos a la vez.

Nmero de palillos

Nmero de tringulos diferentes que pueden formarse

Medidas de los lados (unidad: palillo)

1 0

2 0

3 1 1-1-1

4

5

6

7

8

9

10

11 4 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3

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Consigna 2. Individualmente dibuja, si es posible, el tringulo DEF con las medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesta las preguntas.

a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cm b) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cm c) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cm d) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm

1. En cules casos no pudiste construir el tringulo solicitado? A qu crees que se debe?

2. Da dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un tringulo y explica por qu.

Consideraciones previas.

Para realizar las actividades correspondientes a este apartado es necesario que los alumnos usen su juego de geometra, tijeras y en

especial para este plan se necesitan palillos.

Se pretende que los alumnos analicen cundo es posible formar tringulos y cundo no.

Es necesario que los alumnos se den cuenta de qu condiciones deben cumplir las medidas de los lados para construir un tringulo y

las enuncien con sus propias palabras: la suma de las medidas de dos lados cualesquiera de un tringulo debe ser mayor que la medida del tercer lado, o bien, la suma de las medidas de los dos lados menores debe superar la medida del lado mayor.

Se anexa la ficha indicada en la consigna 1, como ANEXO 1






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ANEXO 1 DEL PLAN (1/6)

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10 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Fjate en los lados 9.1.3 2/6 G9B1C3



Intencin didctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de tringulos basado en la medida de sus tres lados (LLL).

Consigna: Organizados en equipos, construya cada uno un tringulo con la medida de los segmentos que se dan enseguida, recorten sus tringulos y comprenlos con los de sus compaeros de equipo. Despus contesten las preguntas.

a) Los tringulos dibujados por cada uno de ustedes fue igual al de sus compaeros de equipo?

b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qu se debieron.

c) Sern iguales los tringulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compaeros de grupo? Por qu?

d) Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener tringulos iguales?

Consideraciones previas

En esta actividad es importante que los alumnos observen que sus tringulos son iguales, no importa la posicin en que

los hayan dibujado (aqu se puede insistir que la posicin no determina la igualdad o no de dos o ms figuras). Asimismo, ser necesario que todos los alumnos concluyan que si los tres lados de dos tringulos tienen la misma medida, entonces

ambos tringulos son congruentes. Es necesario pedir juego de geometra y tijeras.

Antes de llegar a esta conclusin el maestro puede cuestionarlos acerca de si creen que sea posible obtener un tringulo diferente, dadas las medidas de los tres lados.






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11 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Con dos lados y un ngulo 9.1.3 3/6 G9B1C3



Intencin didctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de tringulos basado en la medida de dos lados y el ngulo comprendido entre ellos (LAL).

Consigna 1. Organizados en equipos, cada uno construya un tringulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ngulo de 60. Comparen sus tringulos y digan qu sucedi.

Consigna 2. Con los mismos datos dibujen un tringulo diferente al anterior. Comenten con sus compaeros de equipo qu sucedi y por qu.

Consideraciones previas: Tal vez los alumnos digan que si el ngulo sealado se traza del lado izquierdo es diferente que si se traza del lado derecho. Ser necesario cuestionarlos hasta que lleguen a la conclusin de que este hecho no importa.

Una vez realizado este ejercicio ser necesario que concluyan que dadas estas tres condiciones (la medida de dos lados y

el ngulo que forman entre ellos) siempre se obtendrn tringulos iguales. ste es otro criterio de congruencia.

En caso de que el ejercicio se realice rpido y haya tiempo, se les puede pedir que un alumno d la medida de dos segmentos y el ngulo que forman entre ellos, para que sus compaeros tracen el tringulo correspondiente y lo

comparen. Pedir para esta clase su juego de geometra y tijeras.






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12 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Con dos ngulos y un lado 9.1.3 4/6 G9B1C3



Intencin didctica: Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien de manera precisa la

congruencia de tringulos a partir de la medida de dos ngulos y el segmento entre ellos (ALA).

Consigna 1: Organizados en parejas, construyan un tringulo con el segmento AC y los ngulos que se indican. Al terminar, comprenlo con el de otras parejas ponindolos a contraluz.

A_____________________________C A = 40 C = 70

Consigna 2: Cada integrante de la pareja dibuje un tringulo cualquiera. Despus, cada uno anote en un papelito tres medidas del tringulo que construy para que con esta informacin la pareja pueda construir un tringulo igual. Comparen los tringulos para ver si efectivamente son iguales.

Consideraciones previas: Es probable que algn alumno no sepa dnde y cmo trazar los ngulos que se indican, as que se les puede ayudar indicndoles cmo hacerlo. Antes de realizar la actividad de la consigna dos, posiblemente consideren que si cambian de

posicin los ngulos, es decir que A = 70 y C = 40, obtengan un tringulo diferente al anterior. Conviene que verifiquen si esto es cierto y, si es necesario, pedirles que recorten el tringulo y lo comparen con el anterior. De esta

manera se debe llegar a la conclusin de que dada la medida de dos ngulos y el segmento entre stos, se obtienen

tringulos congruentes. No olvidar pedir juego de geometra y tijeras. La segunda consigna es para que concluyan que con tres medidas de un tringulo dado se puede construir otro tringulo

congruente, siempre y cuando las tres medidas no sean los tres ngulos. Si es necesario hay que ayudarlos a formular

esta conclusin. Se anexa la hoja de trabajo de Emat Figuras directa o inversamente congruentes, pgs.124 y 125, para

trabajar con Cabri. ANEXO 2






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ANEXO 2 DEL PLAN (4/6)

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13 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Con la misma forma 9.1.3 5/6 G9B1C3



Intenciones didcticas: Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de tringulos a partir de las construcciones

y la discusin acerca de la existencia y la unicidad.

Consigna: De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un tringulo equiltero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica ms abajo. 1. Renanse en equipos y comparen sus tringulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaos, todos son semejantes

porque tienen la misma forma. A qu creen que se debe que todos son semejantes?

2. Tomen dos de los tringulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas:

a) Cul es la razn entre los lados de esos tringulos?

b) Cul es la razn entre sus permetros?

c) Cul es la razn entre sus reas?

3. Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaos, despus contesten las siguientes preguntas:

a) Por qu creen que todos los cuadrados que construyeron son semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para

contestar lo siguiente:

b) Cul es la razn entre sus lados?

c) Cul es la razn entre sus permetros?

d) Cul es la razn entre sus reas?

Consideraciones previas: La idea de iniciar el estudio de este apartado con el anlisis de dos figuras regulares (lados y

ngulos iguales), es que los alumnos tengan una idea general de lo que es la semejanza (figuras que tienen la misma forma), para despus analizar algunos casos particulares. Es probable que varios alumnos pregunten qu es razn, ante

lo cual hay que recordarles que una razn es un cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si un lado de un tringulo

equiltero mide 3 cm y un lado de otro tringulo equiltero mide 5 cm, la razn entre los lados es 3/5 o bien 5/3,

dependiendo de cul tringulo se toma como punto de partida. A los alumnos les llamar la atencin el hecho de que la razn entre los permetros sea la misma que la razn entre los

lados, pero no sucede lo mismo con la razn entre las reas. Hay que pedirles que traten de explicar a qu se debe esto.






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24


14 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Una razn constante 9.1.3 6/6 G9B1C3



Intenciones didcticas: Que los alumnos analicen la relacin que existe entre las medidas de los lados homlogos de dos

tringulos semejantes.

Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un tringulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ngulos

midan respectivamente 80, 60 y 40. Cuando termines tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida.

a) Renete con tu equipo y comparen sus tringulos.

b) Por qu creen que resultaron semejantes?

c) Tomen dos tringulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados correspondientes y

mrquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Despus, calculen las razones expresadas con letras.

BA

AB

'CB

BC

AC

CA

d) Cul es la razn entre los lados correspondientes de los tringulos que trazaron? _________________

e) Cul es la razn entre los permetros? _______________________________

f) Cul es la razn entre las reas? ___________________________________

Consideraciones previas: Es importante que durante la puesta en comn se explicite el hecho de que, en dos o ms

tringulos que son semejantes se cumplen dos propiedades importantes:

Primera: sus ngulos son respectivamente iguales Segunda: la razn entre sus lados correspondientes es constante.

Esta segunda propiedad puede expresarse con letras de la siguiente manera:

'' BA

AB=

''CB

BC=

'' AC

CA






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15 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones

Diferentes representaciones de la misma situacin

9.1.4 1/2 G9B1C4

Contenido: 9.1.4 Anlisis de representaciones (grficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma

situacin. Identificacin de las que corresponden a una relacin de proporcionalidad.

Intenciones didcticas:

Que los alumnos calculen el valor faltante en una grfica cartesiana y logren identificar la variacin directa en diversas representaciones.

Consigna: Reunidos en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Con base en la grfica de la travesa de una moto de carreras que va a una velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto A (abscisa 20, ordenada 50) contesten las siguientes preguntas:

a) Cul es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1?

b) Cul es la constante de proporcionalidad?

c) Cul es la expresin algebraica que corresponde a esta grfica?

2. Cul de las siguientes situaciones puede asociarse con la representacin anterior?

a) Luis tiene 50 aos de edad y su hija Diana 20 Qu edad tena Luis

cuando su hija tena 1 ao?

b) En una librera hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. De qu grosor es cada libro?

Consideraciones previas: Si es necesario, en el problema 1, propiciar que los alumnos reflexionen sobre la obtencin de la constante de proporcionalidad y la expresin algebraica. En el problema 2 sugerirles que usen la misma representacin grfica del

problema 1 para validar los resultados a) y b) antes de responderlo. Si el tiempo lo permite, plantear otros problemas

usando la misma grfica, considerando que el eje de las x corresponda al tiempo (minutos) y el eje de las y, a la distancia

(kilmetros) tales como: a) Cul es la distancia que recorri la moto a los 10 minutos? b) Cunto tiempo emple en recorrer 40 km? c) Cul es la velocidad constante a la que se desplaza esta moto?






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A

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30

y

x

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16 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones Cules son directamente proporcionales? 9.1.4 2/2 G9B1C4

Contenido: 9.1.4 Anlisis de representaciones (grficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma

situacin. Identificacin de las que corresponden a una relacin de proporcionalidad.

Intenciones didcticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en tabulaciones y a partir de expresiones algebraicas;

asimismo, logren identificar la variacin directa en diversas representaciones.

Consigna 1. En equipos resuelvan el siguiente problema:

Un automvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y tiempos de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que hacen falta en ella y contesta las preguntas.

Tiempo (h)

1.5 3 5

Distancia (km)

240 720

a) Cul es la constante de proporcionalidad?_____________________

b) Cul de las siguientes expresiones td 40 , td 80 , td 120 es la que

corresponde? Argumenten su respuesta,

c) Con base en la expresin algebraica identificada, calculen la distancia recorrida por el automvil en:

10 horas ________________________________

12 horas y media ______________________________

Consigna 2. Dadas las siguientes situaciones identifiquen las que son variacin proporcional directa y argumenten sus respuestas.

a) En la taquera de la esquina tienen esta tabla para calcular el precio de los tacos:

tacos Precio ($)

3 12

5 20

8 32

b) El nmero de obreros que se necesitan para la construccin de una casa en un tiempo flexible se muestra en la siguiente grfica:

c) La frmula para calcular el 30% de descuento en una tienda est dada

por la expresin xy 30.0

.

Consideraciones previas: Tener en cuenta que el inciso b) de la consigna 2 es variacin inversa y si es necesario, ayudar a los alumnos a reflexionar en esta actividad.

Si el tiempo lo permite, para el caso del inciso a, se les puede pedir a los alumnos que construyan la grfica y

determinen la expresin algebraica que representa la relacin de los datos. En el caso del inciso c, se les puede pedir que construyan una tabla y una grfica que representa dicha expresin algebraica.






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0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

1

ob

rero

s

tiempo

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17 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones Los vveres 9.1.5 1/3 G9B1C5

Contenido: 9.1.5 Representacin tabular y algebraica de relaciones de variacin cuadrtica, identificadas en diferentes

situaciones y fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas.

Intenciones didcticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relacin cuadrtica e

identifiquen la expresin que modela dicha relacin.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema:

Un avin dej caer un paquete con vveres desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se registraron son los siguientes:

Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4

Distancia de cada (m) 0 5 20 45 80

a) De acuerdo con la informacin, completen la siguiente tabla:

Tiempo Distancia de cada Altura a la que se encuentra

el paquete

0 0 245

1 5 240

2 20

3 45

4 80

5

6

7

b) Cunto tiempo tard el paquete en llegar al suelo?

c) Cul de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de cada (d) en funcin del tiempo transcurrido ( t )?

________ Justifiquen su respuesta. 25td td 5 td 25

25 td


La finalidad de la pregunta del inciso b es que los alumnos, por s solos, encuentren la relacin que hay entre las dos primeras columnas de la tabla, siendo conscientes de que no es fcil encontrar dicha relacin. En todo caso, el inciso c

permitir a los alumnos probar las frmulas que se proponen y encontrar la que permite relacionar el tiempo con la

distancia de cada. Una vez encontrada la frmula 25td , es necesario que los alumnos prueben que funciona en todos

los casos y despus explicarles que en dicha frmula hay una constante (5) que tiene que ver con la fuerza de gravedad.






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18 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones El proyector y la pantalla 9.1.5 2/3 G9B1C5



Intenciones didcticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relacin cuadrtica y

determinen la expresin que modela dicha relacin.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Cuando se proyecta una pelcula, el rea de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuacin

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1 2 3

rea de la imagen en m

2

4 16 36

a) Escriban la expresin algebraica que muestre la relacin entre las distancias y las reas.

b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1.5 2.5 3.5 4.5

rea de la imagen (m2)

c) Utilicen la expresin anterior para encontrar a qu distancia se debe colocar el proyector de manera que el rea de la imagen sea

de 24.01 m2. d = ______________


Es probable que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar la relacin entre las variables que intervienen

en este problema, puesto que es muy similar a la que se encontr en la sesin anterior. Para gestionar la actividad

adecuadamente, es necesario que primero se encuentre la expresin algebraica, con base en la informacin de la primera tabla, y despus se use para encontrar los datos que faltan en la segunda tabla.

En el inciso c se trata de ver cmo los alumnos manejan la frmula encontrada para encontrar la distancia cuando se conoce el rea. El despeje que deben hacer no es simple pero ya se ha estudiado anteriormente.






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19 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones Quin depende de quin? 9.1.5 3/3 G9B1C5



Intenciones didcticas: Que los alumnos expresen algebraicamente relaciones de variacin cuadrtica.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, cul es la expresin algebraica que permite determinar el rea (y)? _____________________ Si al cuadrado se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensin, cul es la expresin que determina el rea (y) del rectngulo que se ha formado?

2. En la escuela se organiz un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarn a todos los elementos del equipo contrario.

a) Cuntos saludos se realizan en total?

b) Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, cuntos saludos se realizaran en total?

c) Qu expresin algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro

tiene un jugador menos?

3. Se tiene un rectngulo que tiene un permetro de 20 metros, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresin algebraica que represente la variacin del rea (y) en funcin de x.


Dado un tiempo razonable, si los equipos tienen problemas para construir

estrategias para llegar a las soluciones de los problemas, se les puede sugerir

que utilicen tablas con los valores de las variables o bien algn dibujo que

representa la situacin.

Para el primer problema, una tabla como la siguiente permite deducir ms

fcilmente la relacin de las variables.

Medida de un lado

del cuadrado

rea del

cuadrado

2 cm 4 cm2

3 cm 9 cm2

5 cm 25 cm2

x cm ?

Para el tercer problema un dibujo como el siguiente permite comprender mejor el

problema y empezar a deducir la expresin del otro lado del rectngulo en funcin de x.

El otro lado puede escribirse como 10 - x.

Es importante subrayar que las expresiones que se piden en los problemas pueden escribirse de formas diferentes:

(x) (x) o bien x2

(x + 2) (x + 3) o bien x2 + 5x + 6

x (x 1) o bien x2 x

x (10 x) o bien 10x x2

Antes esta situacin, se puede pedirles que resuelvan los factores para verificar su equivalencia con la otra expresin o bien pedirles que construyan una tabla con diferentes valores para la literal en cada expresin y que comparen los resultados, stos deben ser

iguales si las expresiones son equivalentes.






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20 1 LMS MI Nociones de probabilidad Los volados 9.1.6 1/2 G9B1C6

Contenido: 9.1.6 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Anlisis de las caractersticas de eventos

complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

Intenciones didcticas: Que los alumnos expresen la medida de la probabilidad mediante una fraccin comn, una expresin decimal o a travs de un porcentaje y formalicen la escala de la probabilidad.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Si se realiza el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo. Cuntos resultados puede haber? Represntenlos de tal

manera que puedan verse todos.

2. Con base en los resultados de lanzar tres monedas al mismo tiempo, contesten lo siguiente:

a) La probabilidad del evento Obtener 0 guilas es 125.08

1

b) La probabilidad del evento Obtener 1 guila es _____8

3

c) La probabilidad de evento Obtener 2 guilas es _______8

d) La probabilidad del evento Obtener 3 guilas es ______

e) De los cuatro eventos anteriores, cul tiene mayor probabilidad? ________ Por qu?

3. Completen las siguientes afirmaciones: a) Probabilidad del evento Obtener 0 guilas: 12.5 %. b) Probabilidad del evento Obtener 1 guila: ______% c) Probabilidad del evento Obtener 2 guilas: ______% d) Probabilidad del evento Obtener 3 guilas: ______%

4. En el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo, puede haber un evento cuya probabilidad sea 8

10?Por qu?


El primer reto de este plan es que los alumnos determinen el espacio muestral del experimento de lanzar tres monedas al

mismo tiempo y de representarlo de tal manera que se visualicen todos sus elementos. Algunas posibles representaciones son las siguientes:

Primer moneda

Segunda moneda

Tercer moneda

Resultado del experimento

A A A AAA

A A S AAS

A S A ASA

A S S ASS

S A A SAA

S A S SAS

S S A SSA

S S S SSS

Con respecto a los problemas 2 y 3, la intencin es que los alumnos reconozcan que la probabilidad de un evento puede

escribirse con una fraccin comn, con una expresin decimal o con un porcentaje.

Con el problema 4, se espera que los alumnos deduzcan que la mxima probabilidad de un evento es 1 o el 100%. Este

momento es pertinente para plantear preguntas de reflexin que lleven a los estudiantes a definir un evento seguro y un

evento imposible y relacionarlos con su probabilidad, 1 y 0.

Se sugiere seguir construyendo y utilizando las siguientes nociones:

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La medida numrica de la posibilidad de que ocurra un evento o suceso A cuando se realiza un experimento aleatorio se llama probabilidad del evento o suceso A y se representa con P(A).

La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

Al evento o suceso imposible le corresponde el valor 0 Al evento o suceso seguro le corresponde el valor 1.

Espacio Muestral. Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los

resultados posibles de dicho experimento. Ejemplo:

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale guila, sale sol} o E = {A, S}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} o E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)}.

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio

muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

Obtener un nmero primo, A = {2, 3, 5}

Obtener un nmero primo y par, B = {2}

Obtener un nmero mayor o igual a 5, C = {5, 6}






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21 1 LMS MI Nociones de probabilidad Lanzar el dado 9.1.6 2/2 G9B1C6

Contenido: 9.1.5 Representacin tabular y algebraica de relaciones de variacin cuadrtica, identificadas en diferentes situaciones y

fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas.

Intenciones didcticas: Que los alumnos identifiquen las caractersticas de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e

independientes.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Analicen el siguiente experimento e identifiquen las caractersticas de los eventos B y C y M y N.

Experimento: Lanzar un dado. Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos Condicin Conjunto solucin Caractersticas de los eventos B y C

Evento B: Cae un nmero menor que tres B = {1, 2}

Evento C: Cae un nmero mayor que cuatro C = {5, 6}

Eventos Condicin Conjunto solucin Caractersticas de los eventos M y N

Evento M: Cae el nmero tres M = {3}

Evento N: Cae un nmero distinto de tres N = {1, 2, 4, 5, 6}

2. Contesten las preguntas siguientes: a) Se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos ha cado guila. Cul es la probabilidad de que en el quinto volado tambin caiga

guila?

b) En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a la caja. Si en la primera extraccin resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja,

qu probabilidad hay de sacar la pelota azul en una cuarta extraccin.

Consideraciones previas: Con respecto a los eventos B y C, se espera que los alumnos se den cuenta que los dos eventos no pueden ocurrir en forma simultnea cuando se lanza el dado; es decir, el evento Cae un nmero menor que tres no ocurre en forma simultnea con el evento Cae un nmero mayor que cuatro, porque ningn elemento del evento B = {1, 2} aparece en los elementos del evento C = {5, 6} y viceversa. Posteriormente, el profesor puede comentar que este tipo de eventos reciben el nombre de mutuamente excluyentes y que su caracterstica fundamental es que no pueden ocurrir en forma simultnea. Es muy probable que adviertan que los eventos M y N tampoco pueden ocurrir simultneamente, por lo tanto, ahora la tarea, es que los estudiantes adviertan la diferencia entre los eventos B y C y los eventos M y N. La diferencia es que la suma de las probabilidades de M y N es igual al 100%, mientras que esto no sucede necesariamente con los eventos B y C. El profesor puede comentar que los eventos que cumplen con las caractersticas de M y N se les llaman eventos complementarios. El complemento de M es N (Mc = N) y el complemento de N es M (Nc = M) En el caso de las dos preguntas del problema 2, es muy probable que dados los resultados anteriores, los estudiantes contesten que sea ms probable que caiga guila y que la pelota azul tenga menos posibilidades de salir respecto a la roja y la verde. Si fuera necesario los alumnos pueden simular los experimentos, la idea es que deduzcan que cada vez que se realiza un volado o se extrae una pelota, los espacios muestrales son iguales, por lo tanto, siempre que se lanza un nuevo volado, la probabilidad de que caiga guila siempre es igual a o al 50%; en el caso de las

pelotas, en cada extraccin cada una de las cinco tiene el 20% de salir. Finalmente el profesor puede recapitular diciendo que cuando la probabilidad de un evento no es afectada por el resultado del otro, estos eventos se les llaman eventos independientes. Una vez que los alumnos han discutido ampliamente las caractersticas de los eventos mutuamente excluyentes, complementarios e independientes; se les puede solicitar que ellos busquen algunos ejemplos ms de cada tipo.

Tambin se pueden plantear actividades como las siguientes:

Seala en cada caso qu tipo de eventos corresponden y por qu.:

a) Experimento: Lanzamiento de un dado Evento B = {2}

Evento C = {5, 6} Los eventos son: _______________________ porque _______________________________________________

b) Experimento: Lanzamiento de un dado Evento B = {1, 3, 5} Evento C = {2, 4, 6}

Los eventos son: _______________________ porque _______________________________________________

c) Experimento: Lanzamiento de un dado y una moneda Evento B = {6, A} Evento C = {(1, S), (2, S), (3, S), (4,S), (5,S) } Los eventos son: _______________________ porque _______________________________________________






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22 1 LMS MI Anlisis y representacin de datos Los deportes preferidos 9.1.7 1/2 G9B1C7

Contenido: 9.1.7 Diseo de una encuesta o un experimento e identificacin de la poblacin en estudio. Discusin sobre

las formas de elegir el muestreo. Obtencin de datos de una muestra y bsqueda de herramientas

convenientes para su presentacin.

Intenciones didcticas: Que los alumnos diseen y lleven a cabo un estudio estadstico, desde la planificacin del proceso hasta la presentacin de los resultados.

Consigna: Organizados en equipos, planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: Cules son los deportes preferidos por los estudiantes de tu escuela?

Consideraciones previas: El hecho de que nicamente se les plantee a los alumnos una pregunta es con la intencin de que ellos hagan un trabajo amplio, desde definir la informacin que necesitan y cmo obtenerla hasta la presentacin de

los resultados. Cabe aclarar que esta actividad no es para una sesin de clase, sino para tres o cuatro. En la primera

slo se integran los equipos y se ponen de acuerdo sobre la informacin que van a recabar, cmo y cundo la van a recabar y de qu manera la van a registrar. Una segunda sesin sera para organizar la informacin recabada. La

tercera sera para hacer la presentacin y una cuarta para analizar algunos resultados. Obviamente no seran sesiones

seguidas sino en funcin del trabajo que los alumnos van realizando.

Es probable que para algunos alumnos la pregunta planteada no sea interesante y hay que dejar abierta la posibilidad de

que la cambien.

Es importante comparar los resultados de los diferentes equipos y analizar las ventajas y desventajas de los trabajos

realizados, por ejemplo, hay que ver si slo recabaron informacin de una muestra o de toda la poblacin; por qu

decidieron una u otra forma de presentar los datos. Se sugiere que las muestras consideran al menos el 10% de la poblacin.






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23 1 LMS MI Anlisis y representacin de datos Los deportes preferidos 9.1.7 2/2 G9B1C7

Contenido: 9.1.7 Diseo de una encuesta o un experimento e identificacin de la poblacin en estudio. Discusin sobre

las formas de elegir el muestreo. Obtencin de datos de una muestra y bsqueda de herramientas

convenientes para su presentacin.

Intenciones didcticas: Que los alumnos diseen y lleven a cabo un estudio estadstico, desde la planificacin del proceso hasta la presentacin de los resultados.

Consigna: Organizados en equipos planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: Cul fue el comportamiento del peso frente al dlar a lo largo del mes?

Consideraciones previas: Igual que en el plan anterior se trata de que los alumnos asuman la responsabilidad de todo el proceso, desde la planificacin de las actividades hasta la presentacin de los resultados. En este caso est muy acotada

la informacin que se necesita pero hay que averiguar dnde se puede obtener para que sea confiable. Al final, hay que

elegir un tipo de grfica que resulte adecuada para este tipo de informacin.

Igual que en el caso anterior, hay que dejar abierta la posibilidad de que los alumnos puedan cambiar la pregunta por

otra que les resulte ms interesante.






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BLOQUE 2

Aprendizajes esperados:

Explica el tipo de transformacin (reflexin,

rotacin o traslacin) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan.

Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitgoras.

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24 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Los cuadrados 9.2.1 1/4 G9B2C1

Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacin.

Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin al resolver problemas y ecuaciones de la forma

02 bxax .

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. El rea de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. Cunto mide por lado el cuadrado?

2. El triple del rea de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. Cunto mide por lado el cuadrado?


En el primer caso se espera que los alumnos escriban la ecuacin xx 82 ; luego, es muy probable que vayan probando con diferentes nmeros hasta encontrar el valor de x que cumple con las condiciones del problema, que en este caso es 8.

Quizs algunos intenten despejar y lleguen a lo siguiente:

082 xx

Si esto sucede, ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuacin como 8xx y que como este producto es igual a cero, uno de los factores, o los dos, debe ser cero. De manera que, o bien 0x , o 08 x . De

esta ltima ecuacin se desprende que 8x . De estas dos soluciones, 01 x y 82 x , claramente la que cumple con

las condiciones del problema es 8.

Puede ocurrir que en la ecuacin xx 82 , algunos alumnos hagan lo siguiente:

8

8

8

2

2

x

x

x

x

x

xx

Esta es otra manera de encontrar una de las soluciones de la ecuacin.

En el segundo problema la ecuacin que se espera que planteen los alumnos es: 063 2 xx . Una vez que han

planteado la ecuacin correctamente, pedirles que expresen a xx 63 2 como el producto de dos factores. En esta parte

es muy probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes: 063 xx ; 023 xx ; luego, que encuentren que los valores de x son 0 y 2.






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25 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Luis y su hermano 9.2.1 2/4 G9B2C1


Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin al resolver problemas y ecuaciones de la forma

02 bxax .

Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema:

La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un ao mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. Cules son las edades de Luis y de su hermano?

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos planteen la ecuacin: xxx 51 Una vez que hayan planteado la ecuacin y traten de despejar x, es probable que lleguen a cualquiera de las siguientes

ecuaciones: 042 xx xx 42 .

En este caso, conviene retomar el primer caso y ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la

ecuacin, transformndose la expresin en 04 xx , y que los valores para x son 0 y 4. En el segundo caso, es conveniente pedirles que igualen a cero la ecuacin.

Una vez que hayan logrado determinar los valores de x, es necesario que verifiquen cul de ellos es la solucin del

problema.

Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta tcnica que consiste en factorizar la ecuacin para

encontrar las soluciones, hay que plantearles muchos otros problemas como los siguientes:


1. Con la finalidad de que te familiarices con esta tcnica que consiste en factorizar la ecuacin para encontrar las soluciones, resuelve estos problemas:

a) Calcular el lado de un cuadrado, sabiendo que el triple de su rea es igual a 21 veces la longitud del lado.

b) El cuadrado de un nmero es igual al triple del mismo nmero. Cules es ese nmero?

2. Ahora resuelvan algunas ecuaciones como las siguientes y propongan otras:

a) xxx 42 b) 012 xx

c) 0422 xx






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26 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Aumentos a un cuadrado 9.2.1 3/4 G9B2C1


Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin al resolver problemas y ecuaciones de la forma 02 bxax .

Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas:

A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectngulo (Fig. B) cuya rea es

21102 xx . Con base en esta informacin, contesten y hagan lo que se indica.

a) Cules son las dimensiones del rectngulo construido (Fig. B)?

Base:_________ altura:_____________

b) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen 21102 xx

c) Si el rea de un rectngulo similar al de la figura B, es 1892 xx , cuntos centmetros se le aument de largo y cuntos de ancho?

d) Si el rea 1892 xx es igual a 40 cm2, cuntos centmetros mide de largo y cuntos centmetros mide de ancho el rectngulo?

Consideraciones previas: Aunque en el primer apartado del bloque 1 se haya trabajado la factorizacin, hay que tomar en cuenta

que factorizar es una tarea compleja, por lo que en el caso del inciso c, hay que ayudarles a que se den cuenta que para encontrar los trminos no comunes basta con descomponer el tercer trmino en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo

trmino y multiplicados den como resultado el tercer trmino del trinomio. Con ello, se espera que los alumnos factoricen al trinomio

como )3)(6( xx y determinen que se le aument 6cm de largo y 3cm de ancho.

En el caso del inciso d, se espera que los alumnos primero establezcan la igualdad 401892 xx , luego igualen a cero y despus factoricen; sin embargo es muy probable que algunos alumnos hagan lo siguiente: 40)3)(6( xx y luego por ensayo

y error determinen el valor de x. Si esto sucede hay que decirles que un camino es igualar a cero y luego factorizar, es decir, obtener

la ecuacin: 02292 xx y luego factorizarla para obtener 0)2)(11( xx . Al llegar a esta forma hay que ayudarles a

ver que cada uno de los binomios se puede igualar a cero y se despejan las incgnitas, con lo cual se obtienen las dos soluciones de

la ecuacin: 111 x y 22 x . Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo

tanto, las dimensiones del rectngulo son 8cm de largo por 5cm de ancho.

Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros problemas para resolver en el saln y de tarea. Por ejemplo:

a) Cuntos metros mide por lado el siguiente cuadrado?

b) Cuntos centmetros mide la base y cuntos centmetros mide la altura del siguiente paralelogramo?

c) Cules son las dimensiones del siguiente rectngulo?






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27 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Marcos y fotografas 9.2.1 4/4 G9B2C1


Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin para resolver problemas y ecuaciones de la forma

02 cbxax .


Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografa y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectngulo cuya rea es 72 cm

2. Cules son las dimensiones del rectngulo que se forma?

Consideraciones previas: Al relacionar los datos del problema, se espera que los alumnos formulen la ecuacin

72428 xx y despus a su equivalente: 72284 2 xx . Despus, plantearles la siguiente pregunta. Qu se puede hacer para simplificar la ecuacin?

La idea de es que dividan entre 4 para llegar a lo siguiente: 1872 xx Una vez que los alumnos lleguen a la ecuacin anterior hay que pedirles que la igualen a cero y que la expresen como producto de dos factores que tienen un trmino comn. Esta expresin escrita en su forma general es la siguiente:

0 bxax , misma que es equivalente a: abxbaxabbxaxx 22 , es decir, se trata de encontrar dos nmeros que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el trmino independiente. Para la ecuacin

1872 xx esos nmeros son: 029 xx . A partir de aqu, las soluciones estn a la vista: 2 9 21 xx , . Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectngulo que se forma con las ocho piezas es 36cm de largo por 2cm de ancho.

Una variante del problema consiste en plantearles que el rea de todo el rectngulo, formado por la foto y su marco es

72488262 xx . Pedirles que resuelvan esta ecuacin para hallar el ancho y el largo del marco armado.

Para consolidar esta tcnica que resuelvan por factorizacin ecuaciones las siguientes:

1. Resuelvan por factorizacin ecuaciones como las siguientes:

a) 01052 xx

b) 0642 xx

c) xxx 742

d) 021102 mm

e) 0862 xx

f) nn 62

g) 025102 xx

h) 962 xx

i) 23612 xx

2. Encuentren una ecuacin cuyas soluciones sean por ejemplo:

a) 1 3 21 xx ,

b) 7 5 21 xx ,

c) 1 4 21 xx ,

d) 3 4 21 xx ,

Observaciones posteriores: 1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?




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28 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Completa las figuras 9.2.2 1/2 G9B2C2

Contenido: 9.2.2 Anlisis de las propiedades de la rotacin y de la traslacin de figuras.

Intenciones didcticas: Que los alumnos comprendan que al trazar el simtrico de una figura, las medidas de los lados y los ngulos de la figura

original se conservan; adems que reflexionen acerca de qu cualidades de las figuras se conservan al trazar su simtrico con respecto de un eje.

Consigna: Organizados en equipo, completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetra de cada figura y contesten las preguntas.

a) Qu figura se formar en el tercer dibujo?

b) A qu distancia de m estar el punto B en la primera figura?

c) Cul va a ser la medida de los lados simtricos en cada figura?

d) Cunto medir el ngulo B?

e) Cul va a ser la medida de los ngulos O y P en la segunda figura?

f) Qu figura se form en cada caso?

g) Las figuras anteriores tienen otros ejes de simetra, adems de m? Trzalos.

h) Con qu otras figuras que t conozcas sucede algo semejante?

Consideraciones previas: Los alumnos ya han realizado ejercicios en la primaria acerca de obtener la figura simtrica o de trazar todos los ejes de

simetra de una figura dada, pero no se ha formalizado el concepto de que los lados de una figura conservan su longitud

y su ngulo al trazar la figura simtrica. Es conveniente ir formalizando el lenguaje geomtrico.






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29 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Cmo se reflejan? 9.2.2 2/2 G9B2C2

Contenido: 9.2.2 Anlisis de las propiedades de la rotacin y de la traslacin de figuras.

Intenciones didcticas: Que los alumnos figuras simtricas para que apliquen las propiedades.

Consigna. Tracen la figura simtrica a la dibujada. Consideren la lnea q como eje de simetra. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores.

b) Cmo son los lados y los ngulos de la figura simtrica con respecto de la original?

Consideraciones previas: En los casos donde el eje de simetra es diagonal, se les har reflexionar en la perpendicularidad de las lneas auxiliares

y el eje de simetra, as como la medida de su longitud.






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30 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Trasladando y rotando 9.2.3 1/3 G9B2C3

Contenido: 9.2.3 Construccin de diseos que combinan la simetra axial y central, la rotacin y la traslacin de

figuras.

Intenciones didcticas. Que los alumnos anticipen cmo cambia una figura, al aplicarle una simetra, una rotacin o una traslacin.

Consigna. Organizados en parejas, averigen cules transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada

uno de los casos, sealen con lneas punteadas las transformaciones que identificaron. En cada caso, escribe qu tipo o tipos de

transformaciones sufri la primera figura para obtener la segunda. CASO 1

Trapecio issceles:

CASO 2

Cuadriltero PQRS:

CASO 3

Pentgono ABCDE:

Consideraciones previas

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Con respecto al primer caso, es probable que surjan diferentes

respuestas, por ejemplo, algunas de ellas podran ser:

primero se realiza una simetra axial con relacin al eje x, luego una simetra central con centro de simetra sobre el eje

y.

primero una simetra axial con relacin al eje y, luego una traslacin con direccin vertical y sentido hacia abajo.

una traslacin con direccin oblicua y sentido hacia abajo.

Dos traslaciones, una con direccin horizontal y sentido a la derecha y otra con direccin vertical y sentido hacia abajo.

Cualquiera de estas respuestas es vlida, siempre y cuando se

indiquen con lneas punteadas las transformaciones realizadas, como

se muestra en la siguiente figura.

Con respecto al caso 2, tambin pueden surgir diferentes respuestas,

por ejemplo, aplicar dos simetras axiales como se muestra en la

siguiente figura.

En el caso 3, no est marcado ningn eje de simetra, esto es con la finalidad de que los alumnos tracen los que consideren necesarios.

Seguramente la mayora de los alumnos identificarn una simetra

axial y una traslacin, pero puede haber otras respuestas vlidas, como se muestra en la siguiente figura.

Durante el anlisis colectivo de los tres casos, hay que tratar de que los alumnos se familiaricen con el lenguaje

convencional, como lados homlogos, la imagen de un punto, direccin, sentido, etctera, as como con la idea de que en este tipo de transformaciones las medidas de lados y ngulos se conservan.






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31 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Describiendo figuras 9.2.3 2/3 G9B2C3


figuras.

Intenciones didcticas. Que los alumnos identifiquen el proceso de construccin corto o directo de figuras.

Consigna. Organizados en parejas describan el proceso ms corto para construir los siguientes logos, empleando traslacin, rotacin y simetras.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos puedan reconocer varios tipos de procesos de construccin que pueden deducir a partir del anlisis de sus formas y relaciones da cada uno de los logos. Por ejemplo, para el primer logo, a partir de dos simetras

axiales de un rombo se forma el logo. E el caso del segundo logo, puede ser una simetra central o dos traslaciones.

Para reafirmar los conocimientos, se puede proponer que analicen los siguientes mosaicos e identifiquen un patrn que a

partir de la combinacin de diferentes movimientos giros o simetras se puede cubrir el plano.

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32 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Disea tu mosaico 9.2.3 3/3 G9B2C3


figuras.

Intenciones didcticas. Que los alumnos construyan diseos que impliquen realizar transformaciones de rotacin

traslacin, simetra axial o central.

Consigna. De manera individual, elije cualquiera de las siguientes figuras y construye mosaicos por traslaciones, por rotaciones o por simetras.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Consideraciones previas: Se espera que a partir de realizar rotaciones, simetras o traslaciones puedan generar mosaicos. Por ejemplo, para el primer caso, podrn llegar a lo siguiente:

En el caso del inciso c) podran generar mosaicos como por ejemplo:

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En los casos de los incisos d) y f), podran formar mosaico como por ejemplo:

Los mosaicos que podran generar, depende del tipo de transformaciones que vayan haciendo los alumnos con las figuras.

Para profundizar en el estudio de mosaicos generados por simetras o por rotaciones, se les puede sugerir que consulten la siguiente pgina electrnica, donde podrn ver algunos ejemplos de cmo se generan mosaicos a partir de una figura

llamada motivo; es decir, una pieza terica, lo ms pequea posible de un mosaico.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos/mosai

cos.htm

Luego, se les puede pedir que inventen un motivo y generen mosaicos combinando varios tipos de transformaciones.

Ob

cuaderno de consignas (maestro)

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