CONDUCCION EN ESTADO NO ESTACIONARIO

Ley de Fourier

t < 0

x

y

y = Y

y = 0T0

t = 0

T0 T1

t > 0( , )T t y

T0 T1

Q

Q

En este capitulo, se considera la variación de la temperatura con el tiempo así como con la posiciónen sistemas Multidimensionales.

A diferencia de los procesos de conducción de calor en estado estable, en los de tipo transitorio hay un aumento o disminución en la energía interna del sistema mientras ocurre el proceso.

En diferentes procesos de la transferencia de calor, la temperatura del sistema depende del tiempo.Es el caso del calentamiento y enfriamiento del techo de una casa expuesta a la radiación solar; durante el proceso de templado de vidrio ó de una pieza de acero; en el proceso de cocción de productos alimenticios, etc…..En todos estos casos la temperatura no solo esta condicionada por la distancia, sino también por el tiempo.

ANÁLISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS

En primer lugar, se consideran los sistemas concentrados, en los que la temperatura varia con el tiempo pero permanece uniforme a través del sistema en todo momento.

La cantidad de transferencia de calor alcanza su limite superior cuando el cuerpo llega a la temperatura Tα de los alrededores.Por lo tanto, la transferencia de calor máxima entre el cuerpo y los alrededores es,

)( TTmcQ ip

Consideremos un cuerpo como se muestra en la figura. El cuerpo está inicialmente a una temperatura Ti.En el instante t = 0, el cuerpo será colocado en un medio a una temperatura Tα

Un balance de energía del solido

acumoutin EEE

acumout EE

dt

dTVTThA ts )( )(

Ti > Tα

dt

dTVTThA ts )( )(

T

Tt

ts

i TT

dTdt

V

hA

)( )(0

t

Vc

hA

TT

TT

p

s

i

)(exp

t

Vc

hA

TT

TT

p

s

i

)(exp

)(Vc

hAb

p

s

btTT

TT

i

exp

La temperatura de un cuerpo concentrado de forma arbitraria, que se expone a convección en el instante t =0, en el cual T =Ti, en un medio a temperatura T∞, con un coeficiente de transferencia de calor h, se expresa como,

btTT

TT

i

exp

Criterios para el Análisis de Sistemas Concentrados

El primer paso en el establecimiento de un criterio para la aplicabilidad del análisis de sistemas concentrados es definir la longitud característica como,

y un numero, Bi, ó numero de Biot.

conveccion

conduccion

R

RBi

En otras palabras: Se aplica el método de sistema concentradocuando Bi≤0.1

EJEMPLO:

Unos balines de acero de 12 mm de diámetro se templan mediante calentamiento a 1150ºK, luego se enfrían lentamente hasta alcanzar los 400ºC en aire ambiental que se encuentra a 325ºK, con h=20W/m2

ºK. Si las propiedades del acero son k=40W/mºK, ρ=7800 Kg/m3 y cp=600J/KgºK.

Estimar el tiempo que se requiere para el enfriamiento.

Y cuando Bi>0.1 ….?

Para el caso de una placa infinita:

t

Tc

x

Tk p

2

2

To

T1

),( xtTT

Condiciones frontera:t≤0 T=To -b≤x≤+bt=0 T=T1 x=-b

x=+bt>0 T=T(x,t) -b≤x≤+b

t

T

x

T

c

k

p

2

2

2

2

x

T

t

T

b

x

Solución Analítica

Solución por números adimensionales (gráficas)

2

2

x

T

t

T

0

)2

1(

01

1 )21cos()21(

)1(2

2

22

n

b

tnn

b

yne

nTT

TT

01

0

TT

TTY

b

yX 2b

tm

Fenómenos de transporte : Bird

Considerando flujo convectivo en la pared:

01

1

TT

TTY

2

1x

tX

1hx

km

1x

xn

Grafica de Gurney Lurie

Una barra rectangular de mantequilla con 46.2 mm de espesor y temperatura de 277.6 ºK (4.4 ºC) se extrae de la nevera y se coloca en un medio ambiente a 297.1 ºK (23.9ºC). (Puede considerarse que los lados y el fondo de la mantequilla están aislados por las paredes del recipiente. Por tanto, el área expuesta al medio ambiente es la superficie plana superior de la mantequilla. Calcular: A) La temperatura de la mantequilla en la superficie a 15.4

mm por debajo de la superficie y en el centro de la misma, después de una exposición de 3 h.

B) Si coeficiente convectivo tiene un valor de 8.52 W/m2ºK., idem. inciso A) . Las propiedades de la mantequilla son k = 0.197 W/m ºK, cp = 2.30

kJ/kgºK y ρ = 998 kg/m3.

Sólidos semi-infinitos Se entiende por un cuerpo idealizado

que tiene una sola superficie plana y se extiende hacia el infinito en todas las direcciones

Este cuerpo idealizado se usa para indicar que el cambio de temperatura en la parte del cuerpo en la que se interesa (región cercana a la superficie) se debe a las condiciones térmicas en una sola superficie.

Sólidos semi-infinitos

Por ejemplo una pared gruesa se puede estimar como un medio semiinfinito si lo único que interesa es en la variación de la temperatura en la región cercana a una de las superficies. En este caso, la temperatura en la región central de la pared permanece inalterable.

Durante periodos cortos, la mayor parte de los cuerpos pueden modelarse como sólidos semiinfinitos, ya que el calor no tiene el tiempo suficiente para penetrar a la profundidad del cuerpo y por esta razón el espesor de un cuerpo no entra en el análisis de la transferencia de calor.

Sólidos semi-infinitos

Sólidos semi-infinitos

Condiciones frontera:t≤0 T=To 0≤x≤∞

t=0 T=T1 x=0

t>0 T=T(x,t) 0<x≤ ∞

2

2

x

T

t

T

t

xerf

TT

TT

41

01

0

t

xerfc

TT

TT

401

0

t

xerfc

TT

TT

401

0

t

TTkq

)( 01

k

th

t

xerfc

k

th

k

hx

t

xerfc

TT

TT

4exp

42

2

01

0

En invierno el piso se cubre con una capa de nieve a -10ºC durante un periodo continuo de 3 meses. Se puede suponer una temperatura inicial uniforme del suelo de 15ºC y las propiedades promedio del suelo son k = 0,4 W/mºC y a = 0,15x10-6 m2/s. Determine la profundidad mínima de entierro para los tubos que transportan agua, necesaria para impedirque el agua transportada se congele.

Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas

Las ecuaciones parabólicas se emplean para caracterizar problemas dependientes del tiempo y el espacio

ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR Se puede usar la conservación de calor para desarrollar un balance de energía en un

elemento diferencial de una barra larga y delgada aislada, considerando la cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo Δt

Caliente Frio

t

T

x

T

2

2

Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas

Las EDP parabólicas pueden ser resueltas sustituyendo las derivadas parciales por las diferencias divididas finitas

Sin embargo, ahora hay que considerar cambios en el tiempo así como en el espacio

Mientras las ecuaciones elípticas están acotadas en todas las dimensiones, las parabólicas están temporalmente abiertas en los extremos

Existen dos aproximaciones fundamentales para la solución de EDP parabólicas:

Esquema explícito

Esquema implícito

t

T

x

T

2

2

Métodos explícitos

La ecuación de conducción de calor requiere aproximaciones para la segunda derivada en el espacio y para la primera derivada en el tiempo

Sustituyendo

2

11

2

2 2

x

TTT

x

T l

i

l

i

l

i

t

TT

t

T l

i

l

i

1

t

TT

x

TTT l

i

l

i

l

i

l

i

l

i

1

2

11 2

211

1 2x

tTTTTT l

i

l

i

l

i

l

i

l

i

t

T

x

T

2

2

211

1 2x

tTTTTT l

i

l

i

l

i

l

i

l

i

2

12

x

t 2

111l

i

l

il

i

TTT

1l

iT

l

iT 1

l

iT 1

l

iT

Convergencia y estabilidad de los métodos explícitos

Convergencia: significa que conforme Δx y Δt tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera

Estabilidad: significa que los errores en cualquier etapa del cálculo no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo avanza

Se puede demostrar que el método explícito es convergente y estable si < 1/2, o

Si 1/2 la solución oscila

Si 1/4 la solución no oscila

Si 1/6 los errores por truncamiento se minimizan

k

xt

2

2

1