2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN ESTADO

ESTABLE.

a) LA PARED PLANA

En flujo estable con fuente no distribuida de energía.

Fluido Fluido

Caliente Ts1 frío

Ts2

T∞1,h1 T∞2,h2

)("

)(

)(

21

21

112

12112

ssx

ssx

sss

sss

TTLkQ

TTLkA

dxdTkAQ

TxLTTxT

entoncesLTTCyTC

21

21

1

)()0(

)(

;,0

ss TLTyTTcony

CxCxT

CdxdTCteksi

dxdTk

dxd

RESISTENCIA TÉRMICA

Haciendo una analogía con el sistema eléctrico:Re → Resistencia eléctrica; V → Voltaje; I → Intensidad de corriente eléctrica

Rt → Resistencia térmica; T → Temperatura; Q → Calor.

Ah

TT

kALTT

Ah

TTQ

anteriorcircuitoelEnhAQ

TTRconvecciónEn

kAL

Q

TTRAL

IVVR

ssssx

stconv

x

sstconde

2

2221

1

11

2121

11

1:

;

CONTINUA RESISTENCIA TÉRMICA

Que representa la resistencia de un circuito de resistencias en serie.

T∞1 Ts1 Ts2 T∞2 T∞1 T∞2

1/h1A L/kA 1/h2A Rtot

AhkAL

AhR

RTTQ

TTdeostérEn

tot

totx

21

21

21

11

)(

)(min

xQ

xQ

PARED COMPUESTA

Para una pared compuesta.

A B C Ts1 T2

T3 Ts2

T∞1, h1 T∞4;h4

fluido fluidocaliente x frío

Si; U = Coeficiente global de transferencia de calor, se define:

AkLTT

AhTTQ

AhAkL

AkL

AkL

AhR

dondeRTTQ

AA

ssx

C

C

B

B

A

At

tx

21

1

11

41

41

1

11

;

UAQ

TRR

hkLkLkLh

ARU

x

ttot

CCBBAA

t

1

111

1

41

TUAQ x

CIRCUITO TÉRMICO EN PARALELO

Una pared compuesta como se muestra

A B DT1 T2

C

El circuito térmico es RB

RA RD

T1 T2

RC

Se puede representar como:

RA Req RD

Donde.

Y también:

CB

CBeq RR

RRR

DeqAtot RRRR

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando se tienen dos superficies en contacto, debido a sus irregularidades, se presentan secciones en donde se tienen caídas de temperatura entre estas dos superficies y por lo tanto, una resistencia térmica llamada resistencia de contacto ( R” tc). El valor de esta

resistencia depende de la presión a que están unidas esta dos superficies, su material y del tipo de fluido entre estas irregularidades.

A B

TA

TB

R”tc depende de:

* Acabado superficial* Presión de contacto. x* Fluido entre irregularidades

RA R”tc RB

xQ"

x

BAtc

Q

TTR"

"

Ejemplo 2.1. El vidrio de ventana trasera de un carro de vidrio de 4 mm espesor, es desempañada por una resistencia eléctrica en su superficie interna. Determine la potencia eléctrica por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura de 15 0C. La temperatura interior es de 25 0C y hi = 10 w/m2k, al exterior -10 0C y he = 65 w/m2k

SE CONOCE: Temperatura deseada vidrio y condiciones interior y exterior de un carro.SE BUSCA: Potencia por unidad de área para mantener esa temperatura deseada.SE ASUME:,Flujo unidimensional, estado establePropiedades constantes, radiación y resistencia de película despreciables.ESQUEMA.

Aire interior Aire del ambiente Td

vidrioT∞i T∞

hi he

Propiedades: Vidrio a 300 0K; k = 1.4 w/m 0K

ANÁLISIS. El circuito Térmico: T∞i Tsi T∞e

1/hiA L/kA 1/heA

"eQ

eQ"

"Q

CTQconNota

mwh

TT

hkL

TTQ

hkL

TTQh

TT

sie

i

sii

e

esie

e

esie

i

sii

0

2

6.4;0":

/127011"

1"1

b) SISTEMAS RADIALES

Un problema común es tener un cilindro hueco cuyas superficies interior y exterior están a fluidos de diferentes temperaturas.

L d2

d1

fluido fluidocaliente fríoT∞1 h1 Ts1 Ts2 T∞2 h2

En estado estable y sin generación.

Si k = Cte, integrando dos veces:

Con las condiciones de que:

01

drdTkr

drd

r

21 ln CrCrT

rLhRy

Lkr

r

R

quelopor

rr

TTLkQ

Trr

rrTTrT

CrCTyCrCT

TrTyTrT

tconvtcond

ssr

sss

ss

ss

21

2

ln

ln

)(2

lnln

lnln

1

2

1

2

21

22

2

1

21

22122111

2211

CILINDRO HUECO COMPUESTO (TUBO)Un tubo con dos capas de otros materiales

T3 Ts4

T2 B C T∞4, h4

r1 A r2 r3

r4

T∞1, h1

Ts1

Considerando el concepto de resistencia térmica en sistemas radiales, se puede deducir la ecuación del calor radial como:

Otra forma:

44

3

4

2

3

1

2

11

41

21

2

ln

2

ln

2

ln

21

LhrLkrr

Lkrr

Lkrr

Lhr

TTQ

CBA

r

1

44332211

1lnlnln11

4141

:

)(

4

1

13

41

2

31

1

21

1

t

rr

hrr

kr

rr

kr

rr

kr

h

totr

R

AUAUAUAUquecumpleSe

U

TTUARTTQ

CBA

EL RADIO CRÍTICO

Cuando se usa un aislante en un cilindro o un tubo, se reducen las pérdidas de Calor, se incrementa la resistencia de conducción. También se tiene el efecto de incrementar el área transferencia de calor por convección reduciendo la resistencia exterior de la película. Estos efectos se deben cuando al variar el radio exterior del aislante. Considerando un tubo con una capa de aislante.

T∞1h1 T∞3 , h3

ra

r2 L

Suponiendo que T1 = T2 = T∞t y que h1 y kt son muy grandes T1

T2T3

r1

r

3

3

2

31

:2

12

ln

hkrr

obtieneseceroaigualandoerarespectoderivandoLhrLk

rr

TTQ

acríticoa

a

aa

ar

aislanteytubodadesConductivikyk

LhrLkrr

Lkrr

Lhr

TTQ

at

aa

a

t

r

3

21

2

11

31

21

2

ln

2

ln

21

LA ESFERA HUECA

Aplicando este método a una esfera Hueca, para un volumen de control Diferencial, la conservación de la energía requiere que.

r

Ts1 Ts2

dr

En estado estable, unidireccional sin generación de energía.

Si la Rt se define como la diferencia de

Temperaturas dividida por la razón de calor.

rQ

drrQ

drrr QQ

CteyrQQcondrdTrk

drdTkAQ

r

r

)(

)4( 2

hrrrk

TTQ

hrR

rrkR

rr

TTkQ

CtekdTTkrdrQ

tconv

tcond

ssr

r

r

T

T

rs

s

2221

12

22

21

21

21

2

4111

41

41

1141

11)(4

;)(4

2

1

2

1

Ejemplo 2.2. Se tiene un tubo de vapor de diámetro exterior de 120 mm y aislado con silicato de calcio con 20 mm. Las temperaturas Ts1 = 800 0K y Ts2 = 490 0K. Encuentre el calor radial / m.

SE ASUME: Condición de estado estable, unidimensional y k = CtePROPIEDADES: k = 0,089 w/m K.DIAGRAMA:

Ts2 ANÁLISIS Ts1

Vapor

D1 = 0.12 m

D2 = 0.16 m COMENTARIO: El calor transferido fuera de la superficie es disipado a los alrededores

por convección y radiación.

mwQ

TTkLQQ

r

D

D

ssrr

/603ln

)490800)(089.0(2´

ln

)(2´

12.016.0

1

2

21

c) CONDUCCIÓN CON GENERACIÓN DE ENERGÍA TÉRMICA

La pared plana.

→ Energía uniforme Gen / Vol T∞1 ; h1 T∞2 ; h2

Si k = Cte

Ts1

q

Ts2

x

q

221

2)(

22;

2

)(;)(;2

0

21122

22

2122

121

21212

2

2

ssssL

x

ssss

ss

TTLxTT

kqLxT

TTLkqC

LTTC

TLTTLTCxCxkqT

kq

dxTd

CASO ESPECIAL

Cuando: Ts1 = Ts2 = Ts

-L x L

T∞ h q T∞ h

Qcond Qconv

T0

Ts Ts

Note que en x = 0 no hay transferencia de Calor a través del plano, puede representarse por una superficie adiabática. En x = L

Qcond Qconv

T0 q Ts T∞ h

x L

2

0

0

2

0

2

22

)(2

)0(

12

)(

Lx

TTTxT

TkqLTT

TkqLxT

s

s

sL

x

00

xdx

dT

hLqTT

Lx

kqL

dxdT

xTdoconsideranTThdxdTk

sLx

sLx

;)2(2

)()(

2

2

CASO DE SISTEMAS RADIALES CON GENERACIÓN TÉRMICA

El cilindro. El modelo matemático es: Evaluando en r = 0; fluido frío T∞ ,h Ts

T(r = 0) = T0 Qr

r0

L

Relacionando Ts a la temperatura del fluido frío T∞

s

s

sr

Trr

krqrT

CrkqTC

TrTdrdTCI

CrCrkqrT

Crkq

drdTr

kq

drdTr

drd

r

20

220

1202

00

212

12

14

)(

0;4

)(;0:

ln4

)(

2

01

00

1)(rr

TTTrT

s

s

20

2200

0

020

142

)(

2

))(2()2(

rr

krq

hrqTrT

hrqTT

TTLrhLrq

s

s

Ejemplo 2.3. Se tiene un conductor de cobre calibre 12 (2.33 mm de diámetro). La resistividad del cobre es de 1.73 x 10-8 Ώm, la conductividad térmica es de 380 w/mK y el coeficiente de transferencia de calor de 10 10 w/m2 k. Determine la ecuación en función de la corriente eléctrica de la diferencia de temperaturas máxima y del ambiente.

Para un cilindro la temperatura T( r ) tiene su valor máximo en el centro, cuando r = 0

Se puede calcular el radio crítico si se forra el conductor con un material que tenga por ejemplo una ka = 0.11 w/mK.

Es interesante evaluar ΔT para este caso del conductor aislado.

CeniT

xxxiT

hrk

kriTTT

r

iLrRiqpero

krq

hrqTTrT

e

ee

02

3232

82

020

2

max

220

2

20

2

200

max

1079.0

10165.11038021

38010165.141073.1

214

:42

)0(

mmhkR a

crítico 111011.0

d) ANÁLISIS DE ALETAS

Se usan aletas para incrementar el área de contacto del fluido enfriador y así no incrementar “h” por aumento de potencia.

dQconv

Qx dx

dAx Ac(x)

x Qx+dx

Haciendo el balance de energía:

Es la ecuación generalizada de una aleta

dxdxQd

QQ

SecciónA

dxdTkAQ

QdQQ

xxdxx

c

cx

convdxxx

0)(11

0)(

.);(.

2

2

TTdxdA

kh

AdxdT

dxdA

AdxTd

TTdxdA

kh

dxdTA

dxd

difáreadATTdAhQd

dxdxdTA

dxdk

dxdTkAQ

s

c

c

c

sc

ssconv

ccdxx

ALETAS DE SECCIÓN UNIFORME

Cuando se tienen aletas como en el Diagrama Qconv

fluido

T(0) = Tb ; T∞ → fluido T∞ , h

Tb t

Ac = Cte Ac

As = Px Qf w

x L P =

2w+2tP → Perímetro Qconv Ac= wt

dAs → área de base a “x” L P = πd

Qf Ac =πd2/4

Def.

0)(

mod;0

2

2

TTkAhP

dxTd

quedaeloeldxdA

c

c

:;

)0(

)(

;0

;)()(

21

222

tieneSeLxcony

TTCon

CCx

kAhPmm

dxd

dxdT

dxdTxTx

bb

mxmx

c

CASO (A) Convección en el filo de la aleta

El calor fluye por conducción en la aleta y pasa a convección en su filo como muestra la figura

Qconv

Tb

Qb = Qf

Resolviendo para C1 y C2

Se nota que el gradiente de temperatura decrece con “x” por la pérdida continua de calor por convección en caras de la aleta.

Af → Área total de aleta incluyendo el filo de la aleta.

])([

TLThAdxdTkA c

Lxc

)()(

)(

])([

2121

21

mLmLmLmL

b

Lx

Lxcc

CCkmCCh

CCdxdTkLh

dxdTkATLThA

mLSenhmkhmLCosh

xLmSenhmkhxLmCosh

b ..

)(.)(.

sAA sf

bcf

xc

xcfb

dAxhdATxThQ

mLSenhmkhmLCosh

mLCoshmkhmLSenh

hPkAQ

dxdkA

dxdTkAQQ

ff

)()(

..

..

00

OTROS CASOS DEL ANÁLISIS DE LA ALETA

CASO (B). Si la convección en el filo del aleta es despreciable, se trata como adiabático.

NOTA. Para usar los resultados del análisis del CASO (A), se tiene que en la práctica es válido si (mL) < 2.65. Si (mL) ≥ 2.65 se puede usar la aproximación infinita.

CASO ( C). Θ(L) = θL

CASO ( D ). L → ∞ ; θL → omLTanhhPkAQ

mxCoshxLmCosh

dxd

bcf

b

Lx

.

.)(.

0

mLSenh

mLCoshhPkAQ

mLSenhxLSenhmxSenh

bLbcf

bL

b

..

.)(.

bcf

mx

b

hPkAQ

EJEMPLO 2.4. Una barra de bronce de 0.1 m largo y 0.005 m diámetro, se extiende horizontalmente de una fundición a Tb = 200 0C.La barra está en el ambiente a T∞ = 200 C y h = 30 w/m2 K. ¿ cual es la temperatura de la barra a 0.025, 0.050 y 0.1 m ?. Bronce a 110 0C; k = 133 w/mK

Diagrama. L = 0.1 mAire a T∞ y h x1 = 0.025 m,

x2 = 0.050 m

Tb d

x1 x2 L

x :

Evaluando.

b

c

mLSehmkhmLCosh

xLmSenhmkhxLmCosh

mLconmxx

kdh

dk

dhkAhPm

..

)(.)(.

34.143.13005.0133

304

4

4

121

21

21

2

21

)180(07.2

)(.0168.0)(.

18020200:

0168.0005.0133

3078.1.;04.2.

xLmSehxLmCosh

cony

xmkh

mLSenhmLCosh

b

X(m)

Cosh.m(L-x)

Senh.m(L-x)

θ T(0 )

X1 1.55 1.19 136.5 156.5

X2 1.24 0.725 108.9 128.9

L 1.00 0.00 87.0 107.0

RENDIMIENTO DE ALETAS

Rendimiento de una aleta

εf → Efectividad. Relación de la transferencia de calor de la aleta a la razón de calor

transferido si no existiera la aleta. εf > 2 para justificar las aletas.

En caso ( D )

El rendimiento se puede evaluar en términos de resistencia térmica.

Acb → Área de sección transversal de aleta en su base.

Eficiencia de una aleta “ηf”.

Af → Área de la superficie de la aleta.

Aleta recta, área transversal uniforma y filo adiabático.

Filo adiabático, sección recta o cilíndrica

21

cf hA

kP

tconv

tcondf

cbtconv

f

btcond

RR

hARy

QR

1

ff

fff hA

Q

Q

Q

max

LmLmLTanh

hPLmLMTanh

fb

f ;10;..

c

cf

bccf

c

c

mLmLTanh

hPkAMmLMTanhQ

cilíndricaSeccdLL

rectaSecctLL

..;.

4

2

RENDIMIENTO DE ALETAS II

Errores con la aproximación despreciables si: Aleta sección transversal no-uniforme:

Caso de secc. anular; Ac = 2πrt, varía con “r ”

Reemplazando “r” por “x” en Ec. de calor.

23

21

21

21

21

2

2

2

0625.02

cp

c

cp

c

c

ccc

c

LkAhmL

tLAconyL

Lporndomultiplica

LkthL

kAhPmL

ywPtwSi

khdó

kht

clasesegundayprimeraceroordenBesseldefuncionesKyI

mrKCmrICrsolución

mdrd

rdrd

TTykt

mcon

SupladeÁrearrA

TTkth

drdT

rdrTd

s

00

0201

22

2

2

21

2

2

2

)()()(:

01

2

2

0)(21

RENDIMIENTO DE ALETAS III

Eficiencia secc transversal no uniforme

t

r2c = r2 + t/2

r1 L Lc = L + t/2

Ap = Lct

r2

aletadetérmicasistenciahA

R

mrKmrImrImrKmrKmrImrImrK

rrmr

rrhQ

mrKmrImrImrKmrKmrImrImrKmtkr

drdtrk

drdTkAQ

mrImrKmrKmrImrImrKmrKmrI

fftaleta

b

ff

b

rrrrcbf

b

Re1

)()()()()()()()(

)(2

)(2

)()()()()()()()()2(

)2(

)()()()()()()()(

21102110

2111211121

22

121

22

21102110

211121111

1

21102110

210210

11

EFICIENCIA DE SUPERFICIE GLOBAL

Se tienen “N” aletas en un equipo térmico, la eficiencia de superficie global es:

)1(1

exp

max

fT

fo

bbbffT

T

bfT

f

bf

ffo

ANA

hAhANQ

ÁreaTotalAaletasdeNúmeroN

ANAA

uestaporciónÁreaaletadeÁreaA

hAQ

Q

Q

Problema: Vapor de agua fluye por tubo Dext = D1 = 3 Cm a T = 120 0C. El tubo tiene aletas circulares de Al (k = 180 w/m 0C) de D2 = 6 Cm y espesor, t = 2 mm. El espacio entre aletas es de 3 mm por lo que son 200 aletas/m. El aire exterior está a T∞ = 25 0C, h = 60 W/m2 K. Determine el incremento de la TC del tubo/m por la adición de las aletas.

Análisis: Si no se tienen aletas: Asa = πD1L = π (0.03)(1) = 0.0942 m2

Para aletas circulares sujetas a un tubo en

una gráfica se tiene:

Con estos datos en la gráfica de eficiencia para esta aleta:

η = 0.96

La TC en parte libre de aletas es:W

TThAQ bsasa

537

)25120)(0942.0(60)(

07.2)102.3(80

60)016.0(

07.2015.0031.0

102.3)002.0(016.0016.0015.0031.003.0

015.)03.006.0()(

5233

2

2

252002.0

2

2002.0

222

21

1221

2

xkAhL

rr

mxtLAmLLmrr

mDDL

p

c

cp

tc

tc

c

W

TThAQQ

mrrA

baletaaletaaletaaleta

caleta

3.25)25120)(004624.0)(60(96.0

)(

004624.0)015.0031.0(2)(2

max

22221

22

105375380

48435375380

5380)6.13.25(200)(200

/200

6.1

)25120)(000283.0(60)(

000283.0)003.0)(03.0( 21

sa

Taleta

saTincremento

librealetaT

blibrelibre

libre

Q

Q

WQQQ

WQQQ

maletastienenSe

W

TThAQ

mSDA