complemento didÁctico capÍtulo 2. cinemÁtica del cuerpo … · cinemÁtica del cuerpo rÍgido...

Departamento Ingeniería Mecánica Mecánica Racional, Ercoli – Azurmendi, edUTecNe 2014

1

COMPLEMENTO DIDÁCTICO

CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

EJEMPLO RESUELTO

APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO

Y DEL MOVIMIENTO RELATIVO

ROTACIONES CONCURRENTES

H

�⃗⃗� 1

î

’

1

î

’

2

î

’

3

Z

X

Y

ψ(t)=

20 t

Ángul

o de

preces

ión

A

0 0

1 î

1

î

2

î

3 �⃗⃗� 2

JULIO 2015


2

CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

EJEMPLO RESUELTO MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DEL

MOVIMIENTO ABSOLUTO Y DEL MOVIMIENTO RELATIVO.

Objetivo: Determinar la configuración y los estados de velocidad y aceleración de un

cuerpo utilizando para el análisis los métodos absoluto y relativo vistos en el Capítulo 2.

Practicar con sistemas coordenados fijos y móviles, expresando los vectores en una

terna fija al marco de referencia absoluto y en otra móvil con respecto a éste. Concluir

acerca de la conveniencia de uno y otro método.

Problema: Sea la rueda B de la Figura 1 sometida a la rotación alrededor del eje

vertical y obligada a rodar sin deslizar sobre el plano horizontal. Los parámetros

geométricos y cinemáticos del problema son:

A= 20 cm, H=10 cm, ψ(t)= 20 t y 1 =20 1/s

Establecer el marco de referencia absoluto y determinar para un sistema coordenado fijo

a dicho marco y para otro móvil con respecto a él, lo siguiente:

1) Configuración del sistema

2) Invariantes vectorial, escalar y tipo de movimiento

3) Aceleración angular de la rueda

4) Velocidad del punto P usando como centros de reducción un punto fijo al marco

de referencia y otro en el centro de la rueda

5) Graficar los vectores velocidad hallados en ambos sistemas coordenados

6) Aceleración del punto P utilizando diferentes centros de reducción

Figura 1: Esquema del ejemplo de aplicación.

�⃗⃗� 2

ψ(t) = 20 t

A

B

P

H

�⃗⃗� 1

C


3

I. MÉTODO DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO

Marco de referencia y sistemas coordenados:

Para el ejemplo propuesto, el observador absoluto ubicado en el marco de referencia

representado por los ejes {0, X, Y, Z} puede ver dos rotaciones, la aplicada sobre el eje

vertical que hace mover al brazo A ( 1 ) y la propia de la rueda producto del

rodamiento sin deslizamiento ( 2 ). Bajo este esquema se ubican una terna absoluta

{0, î1, î2, î3} fija al marco de referencia y una terna móvil {01, î’1, î’2, î’3} unida

solidariamente al brazo A cuyo eje î’3 se mueve paralelo a sí mismo con la rotación 1 ,

como puede observarse en la Figura 2.

Figura 2: Marco de referencia y sistemas coordenados seleccionados.

1- Configuración:

Según el apartado 2.5.1, “los seis grados de libertad de un cuerpo quedan establecidos a

través de los seis parámetros libres dados por los tres ángulos de Euler y las tres

coordenadas del origen del sistema móvil”. En este caso, se tiene:

X01(t) = A cos ω1t

Y01(t) = A sen ω1t

Z01 (t) = H

ψ(t) = ω1t (Precesión)

θ(t) = π/2 (Nutación)

H

�⃗⃗� 1

î’1

î’2

î’3

Z

X

Y

ψ(t)=20 t

Ángulo de precesión

A

0

01

î1

î2

î3 �⃗⃗� 2


4

φ(t) = ω2t (Spin)

2- Invariantes vectorial, escalar y tipo de movimiento.

2.1. Invariante Vectorial. Según la ecuación (2.20) se tiene

1

N

T i

i

Expresado en el sistema coordenado fijo:

1 3 2 2 1ˆ ˆ ˆcosT i sen i i

Expresado en el sistema coordenado

móvil:

1 3 2 1ˆ ˆ' 'T i i

Resulta sencillo demostrar que siendo 1 1 2ˆ ˆ ˆ' cosi i sen i e 33

ˆ'ˆ ii las formas

vectoriales de los versores de la terna móvil expresados en la fija, sendas expresiones

para T

representan al mismo vector.

Para calcular 2 , sabiendo que el punto de contacto entre la rueda y el plano horizontal

posee velocidad nula respecto del observador, se tiene:

0ˆ221

iRA

y por lo tanto resulta:

2 1

1ˆ40 is

2.2 Invariante Escalar. Según la expresión (2.21), se tiene:

ˆ01 V

ψ

�⃗⃗� 2

î2

î1

ψ

�⃗⃗� 2 î'2

î'1

�⃗⃗� 1

î'3


2

Expresado en el sistema coordenado fijo

a) Tomando como Centro de Reducción al punto 0

En este caso el centro de reducción se encuentra fuera de la región del espacio

comprendida por el cuerpo. Por lo tanto, según lo señalado durante la deducción de la

expresión (2.14) para la forma impropia de la ley de distribución de velocidades, se

deberá calcular la velocidad que tendría dicho punto si el cuerpo le impusiera su

movimiento, como puede verse en la Figura 3 donde se incorporó al punto 0 en una

extensión idealizada de la rueda.

Figura 3: Representación idealizada del Centro de Reducción 0 como parte del cuerpo.

10 2 0 0

1 2 3

0 2 2

0 2 1 2 2 2 3 2 3

ˆ ˆ ˆ

cos 0

cos

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos

V r

i i i

V sen

A Asen H

V H sen i H i A sen i A sen i

�⃗⃗� 2

î’1

î’2

î’3

0 01


3

0 2 1 2 2ˆ ˆcosV H sen i H i

1 3 2 2 12 1 2 2

2 21 2

2 22 2

2 2 2 21 2 1 2

ˆ ˆ ˆcosˆ ˆcos

cos cos

i sen i iH sen i H i

H sen H sen

0

Tratándose de dos rotaciones concurrentes, el movimiento resultante es una rotación

instantánea.

b) Tomando como Centro de Reducción al punto 01

101 1 3 00

1 2 3

01 1

ˆ

ˆ ˆ ˆ

0 0

cos

V i r

i i i

V

A Asen H

01 1 1 1 2ˆ ˆcosV Asen i A i

1 3 2 2 11 1 1 2

2 21 2

1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

ˆ ˆ ˆ( cos )ˆ ˆcos

cos cos

i sen i iAsen i A i

Asen A sen

0

Expresado en el sistema coordenado móvil

a) Tomando como Centro de Reducción al punto 0


4

10 2 1 0 0

1 2 3'

0 02 2 2 2

ˆ '

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ0 0 ' 4

0

V i r

i i im

V V H i is

A H

1 3 1 12 2 0

2 21 2

ˆ ˆ' 'ˆ ' T

i iH i V

0

b) Tomando como Centro de Reducción al punto 01

101 1 3 00

1 2 3'

01 1 1 2 2

ˆ '

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ0 0 ' 4

0

V i r

i i im

V A i is

A H

1 3 1 11 2 0

2 21 2

ˆ ˆ' 'ˆ ' T

i iA i V

0

Estando sometido a dos rotaciones concurrentes, el movimiento resultante del disco es

una rotación instantánea. Así, el observador percibe en cada instante que todos los

puntos del disco inician un movimiento de rotación alrededor del eje el cual, por

encontrarse en el plano coordenado ' '

1 3ˆ ˆ( , )i i , viaja respecto de él con velocidad angular

1 .

3- Aceleración Angular:

Es: d

dt

Expresada en el sistema coordenado fijo:


5

1 3 2 2 2 1

0 00 0

31 2 23 1 2 2 2 2

00

2 11 2 1 2

2 2 2 1

ˆ ˆ ˆcos

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆcosˆ ˆ cos cos

cosˆ ˆ

di sen i i

dt

did d didseni sen i i sen

dt dt dt dt dt

d didi i

dt dt dt

dsen di i

dt dt

1 2 1 2ˆ ˆcossen i i

Expresada en el sistema coordenado móvil:

1 3 2 1

00 0

31 2 13 1 1 2

12

ˆ ˆ' '

ˆ ˆ' 'ˆ ˆ' '

ˆ '

di i

dt

did d dii i

dt dt dt dt

di

dt

Aplicando las Fórmulas de Poisson, ecuaciones (2.18):

1 1 1 3 1 1 21 ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' '

ˆ 'i i i i

di

dt

2

2 '1 2 2 2

1ˆ ˆ' 800i is

En la que ahora es: 2 1 2ˆ ˆ ˆ' cosi sen i i

4- Velocidad del punto P:

Para conocer la velocidad del punto P se empleará la forma impropia de la ley de

distribución de velocidades (2.14) tomando como centro de reducción a los puntos 0 y

01

P CR CR PV V r


6

4.1- Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado fijo 0

(Terna fija); 0CRV V

1 2 3

2 1 2 2 2 2 1

2 1 2 2 2 1 1 1 2 2

1 2 2 3 2 3

2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆcos cos

cos 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos 2 2 cos

ˆ ˆ ˆ cos cos cos

ˆ ˆcos

P

P

P

i i i

V H sen i H i sen

A Asen H

V H sen i H i H sen i A sen i H i

A i A sen i A sen i

V H sen i H i

1 1 1 2

1 2 1 2 1 2

ˆ ˆcos

ˆ ˆcos cosP

A sen i A i

V A sen H sen i H A i

1 2 1 2ˆ ˆcosPV A H sen i i

1 2ˆ ˆ8 cosP

mV sen i i

s

4.2- Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado fijo 0

(Terna móvil); 0crV V

1 2 3

2 2 2 1

2 2 2 2 1 2

2 2 1 2

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ' 0

0 2

ˆ ˆ ˆ' 2 ' '

ˆ ˆ' '

P

P

P

i i i

V H i

A H

V H i H i A i

V H i A i

2 1 2 2ˆ ˆ' 8 'P

mV H A i i

s


7

4.3- Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado móvil 01

(Terna fija); 01crV V

1 2 3

1 1 1 2 2 2 1

1 1 1 2 2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆcos cos

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos

P

P

i i i

V A sen i A i sen

H

V A sen i A i H sen i H i

1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆcos 8 cosP

mV A H sen i i sen i i

s

4.4- Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado móvil 01

(Terna móvil); 01CRV V

1 2 3

1 2 2 1

1 2 2 2

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ' 0

0 0

ˆ ˆ' '

P

P

i i i

V A i

H

V A i H i

1 2 2 2ˆ ˆ' 8 'P

mV A H i i

s

Se observa que cuando se expresa el vector velocidad del punto P en el sistema

coordenado fijo, su variación en el tiempo está dada en forma explícita por el ángulo

ψ(t), mientras que cuando se lo expresa en el sistema coordenado móvil está dada en

forma implícita por el mismo ángulo, a través de la rotación del versor 2ˆ 'i .


8

5. Graficar los vectores en la terna móvil y en la terna fija

a) Terna fija:

b) Terna Móvil:

Z

X

Y

01

î'

1

1

î'2

î'3

T

2

1

0V

01V

T

2

P PV

î'2

î'3

1

Z

X

Y 0

01

î1

î2

î3 T

2sen

1

0V

01V

T

2 1

P

PV

-î2

-î1

2 cos

î'1


9

6. Aceleración del punto P

Como se demostró, el movimiento que realiza el cuerpo es una rotación instantánea. El

eje instantáneo de rotación pasa por los únicos dos puntos fijos del sistema para el

observador: el de concurrencia de ambas rotaciones 02 y el punto de contacto de la

rueda con el plano horizontal. La línea de trazos en la Figura 4 representa la dirección

del vector rotación instantánea, respecto del cual todos los puntos de la rueda realizan

en cada instante trayectorias circulares sobre un plano perpendicular a él.

El punto 02 permanece inmóvil durante el movimiento del cuerpo, siendo por ello un

polo de velocidad y aceleración nulas. El punto de contacto cambia de posición tanto en

el plano como en la rueda, teniendo velocidad instantánea nula respecto del observador,

pero no así la aceleración.

Figura 4: Representación del eje de rotación instantánea

La aceleración del punto P se obtendrá considerando la forma impropia de la ley de

distribución de aceleraciones (2.24)

P CR CR P CR Pa a r r

�⃗⃗� 1

î’1

î’2

î’3

Z

X

Y 0

01

î1

î2

î

3

�⃗⃗� 2

02


10

Expresada en el sistema coordenado fijo

6.1. Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado fijo 0:

0 0 0P P Pa a r r

donde:

2 2

2

2

2

2

0 02 0 0 0 0

0

1 2 3

0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 3

0 0 2 2 1 2 1 2 2

0

0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ s cos 0 cos s

0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ cos cos

0 0

a a r r

a

i i i

r en H i H en i

H

i i i

r sen H sen i H i

H

r

1 2 32 2 2 2

0 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 2 3

2 2

2 2 2 20 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 3 2 3

ˆ ˆ ˆ


cos 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos s cos cos

i i i

sen H i H sen i H i H sen i

H sen H

a H i H en i H i H sen i H i H sen i

luego:

1 2 31 2 1 1 2 2

0 1 2 1 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 3

2 1 1 1 2 20 2 2 1

1

ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 cos 2

cos 0ˆ ˆcos

cos 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2 cos

cosˆcos

cos 2

P

P

i i iH i H sen i

r senA sen i A i

A Asen H

i i iH sen i A sen i H i

r senA

A Asen H

2 2 3 2 3ˆ ˆcos cosi A sen i A sen i


11

1 2 3

0 2 2 1

2 1 2 1

2 21 2 1 1 1 2 1 2

02 2 2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 3

1 2 1 1 2

ˆ ˆ ˆ

cos

2 2 cos cos 0

ˆ ˆ2 cos cos 2

ˆ2 cos cos 2

ˆcos s

P

P

P

i i i

r sen

H sen A sen H A

H A i H sen A sen ir

H A H sen A sen i

a H i H e

2 2 2 22 1 2 1 1 2 2 2 3 2 3

2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 1

2 2 2 21 2 2 1 2 2 3 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos cos

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 cos 2 cos 2 cos cos

ˆ ˆ ˆ 2 2 cos cos

n i H i H sen i H i H sen i

H i H sen i A sen i A i H i A i

H sen i A sen i H i A

2 2 23 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆ2i H sen i A sen i

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 1 2 2 2 3

ˆ ˆ ˆ2 cos cos 2 cosPa H A i H sen A sen i H H sen i

2 21 2 3 2ˆ ˆ ˆ240 (cos ) 160P

ma i sen i i

s

6.2.Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado móvil 01:

01 1 10 0P P Pa a r r

donde:

01 02 2 1 2 1

02

2 1

0 0 0 0

1 2 32 2

0 0 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3

0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ s cos 0 s cos

cos 0

a a r r

a

i i i

r en A en i A i

A Asen


12

2 1

2 1

1 2 3

1 1 1 20 0 2 2 1

2 3 2 3

1 2 3 2 21 1 1 2

0 0 2 2 1

11 1

ˆ ˆ ˆˆ ˆcos

cos sˆ ˆcos cos

cos 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆcos

cos s

cos 0

i i iA sen i A i

r enA sen i A sen i

A Asen

i i iA i A sen i

r enA

A sen A

01

2 22 3 1 2 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3

ˆ ˆcos s

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆs cos cos cos s

i A en i

a A en i A i A i A sen i A i A en i

luego:

1

1

1

1 2 3

0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 3

0 2 2 1 2 1 2 2

1 2 31 2 1 1 2

0 2 2 1

2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆcos 0 cos

0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆcos cos

0 0

ˆ ˆ ˆˆcos

cos

cos 0

P

P

P

i i i

r sen H i H sen i

H

i i i

r sen H sen i H i

H

i i iH i H s

r sen

H sen H

2

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3

21 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 22 3 2

ˆ

ˆ ˆcos s

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆs cos cos cos

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ s cos cos

ˆ ˆ cos s

P

en i

H i H en i

a A en i A i A i A sen i A i

A en i H i H sen i H i H sen i

H i H en i

3

2 21 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ s cos cos s cos

Pa A H H i A sen i H sen i H sen i

A en i A i A i A en i H i H sen i

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 1 2 2 2 3

ˆ ˆ ˆ2 cos cos 2 cosP

a H A i H sen A sen i H H sen i

2 21 2 3 2ˆ ˆ ˆ240 (cos ) 160P

ma i sen i i

s


13

Expresada en el sistema coordenado móvil

6.3.Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado fijo 0:

0 0 0P P Pa a r r

2 2 2

2

2

0 0 0 0 0 0

0

1 2 3

0 0 1 2 1 2 1

0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 0 '

0 0

a a r r

a

i i i

r H i

H

2

2

1 2 3

2 0 0 2 1 2 2

1 2 32

2 2 0 0 2 1 1 2 1 2 3

2

20 1 2 1 1 2 1 2 3

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ 0 ' '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

i i i

r H i

H

i i i

r H i H i

H

a H i H i H i

luego:

1 2 2

1 2 3

0 1 2 1 2 1 1 2 3

1 2 3

0 2 1 2 1 2

ˆ '

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ0 0 2 ' '

0 2

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ0 2 '

0 2

P

P

i

i i i

r H i A i

A H

i i i

r H A i

A H


14

1 2 32 2

0 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 2 3

2 1

2 2 21 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 1 2 3 1 2 3

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 ' ' 2 ' '

0 2 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' '

P

P

i i i

r H i A i H i A i

H A

a H i H i H i H i A i H i A i H i A i

2 21 2 1 1 2 3

ˆ ˆ2 ' 'Pa H A i H i

2 ' 2 '1 3 2

ˆ240 160P

ma i i

s

Y siendo '

1 1 2ˆ ˆ ˆcosi i sen i , el resultado anterior resulta coincidente con el de los

apartados precedentes.

6.4. Tomando como centro de reducción al origen del sistema coordenado móvil 01:

1 101 0 0P P Pa a r r

2 1

01

1 2 32

0 0 2 1 1 1 1 2 3

1

21 2 3 1 1 1 2 3

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ 0 ' '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

i i i

r A i A i

A

a A i A i A i

luego:

2 1 2 1

2

01 02 0 0 0 0

0 0

a a r r

a

2 1

1 2 3

0 0 2 1 1 2

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 '

0 0

i i i

r A i

A


15

2 1

1 2 3

0 0 1 2 1 2 3

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 0 '

0 0

i i i

r A i

A

1

1

1

1 2 3

0 1 2 1 2 1

1 2 3

0 2 1 2 2

1 2 32

0 2 1 1 2 1 2 3

2

2 21 2 3 1 1 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 3

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ0 0 '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ0 '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ0 ' '

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '

P

P

P

P

i i i

r H i

H

i i i

r H i

H

i i i

r H i H i

H

a A i A i A i H i H i H i

2 21 2 1 1 2 3


6.5. Tomando como centro de reducción el punto de concurrencia 02:

2 2

2

2

2

02 0 0

02

1 2 3

0 1 2 1 2 1 1 2 3

1 2 3

0 2 1 2 2 1 2

1 2 3

0 2 1

2 1

0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ 0 0 ' '

0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ 0 ' '

0

ˆ ˆ ˆ' ' '

0

0

P P P

P

P

P

a a r r

a

i i i

r H i A i

A H

i i i

r H i A i

A H

i i i

r

H A

2 21 2 1 1 1 2 3 1 2 3

2 21 2 1 1 2 3 1 2 1 1 1 2 3 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' '

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' 'P

H i A i H i A i

a H i A i H i A i H i A i


16

2 21 2 1 1 2 3


II. MÉTODO DEL MOVIMIENTO RELATIVO

A diferencia del método anterior, siguiendo los conceptos del apartado 2.5.2, se

introduce un nuevo marco de referencia que se mueve respecto del marco absoluto.

En este ejemplo, se toma como marco de referencia relativo al representado por la terna

móvil {01, î’1, î’2, î’3}, la cual se mueve con rotación 1

y velocidad 01V

.

Para conocer el movimiento absoluto, un observador situado en este nuevo marco

deberá componer en todo instante el movimiento del cuerpo respecto de él (movimiento

relativo) con el movimiento con el cual su marco “arrastra” al cuerpo como si éste

estuviese solidariamente unido a aquél (movimiento de arrastre).

2.1.Velocidad del punto P utilizando el sistema coordenado fijo:

Según la expresión (2. 26’), se tiene

P PP rel arrV V V

H

�⃗⃗� 1

î’1

î’2

î’3

Z

X

Y

ψ(t)=20 t

A

0

01

î1

î2

î3 �⃗⃗� 2


17

12 0

1 2 3

2 2 2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆcos 0 cos

0 0

P

P

rel P

rel

V r

i i i

V sen H sen i H i

H

1 1

1 1

1

1

0 1 0

0 1 00

1 2 3

0 1 1 1 1 2

1 2 3

1 0 1

1 1 1 2

2 1 1 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ 0 0 cos

cos

ˆ ˆ ˆ

0 0 0

0 0

ˆ ˆcos

ˆ c

P

P

arr P

P

arr

P

V V r

V r

i i i

V A sen i A i

A Asen H

i i i

r

H

V A sen i A i

V H sen A sen i H

1 2ˆos cosA i

2 1 1 2ˆ ˆcosPV H A sen i i

1 2ˆ ˆ8 cosP

mV sen i i

s

2.2.Velocidad del punto P calculada en el sistema coordenado móvil:

P P

P rel arrV V V

1

1

1 2 3

2 0 2 2 2

01 1 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ0 0 '

0 0P

P

rel P

arr P

i i i

V r H i

H

V V r


18

1 1

1

1 2 3

0 1 00 1 1 2

1 2 3

1 0 1

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 0 '

0

ˆ ˆ ˆ' ' '

0 0 0

0 0

P

i i i

V r A i

A H

i i i

r

H

2 1 2ˆ 'PV H A i

'28P

mV i

s

2.3 Aceleración del punto P calculada en el sistema coordenado fijo:

1

2 2 0 a

P P P

P

P rel arr comp

rel P

a a a a

r

1

1

1 2 3

2 0 2 2 2 1 2 2

1 2 32 2 2 2

2 2 0 2 2 2 3 2 3

2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ cos 0 cos

0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ cos 0 cos

cos 0

P

P

i i i

r sen H sen i H i

H

i i i

r sen H i H sen i

H sen H

2 2 2 22 2 3

ˆ a cos sP

rel H H en i


19

1 1

2 1 2 1

2 1

01 1 0 1 1 0

01 02 0 0 0 0

02

1 2 3

0 0 1 2 1 2

a

a 0

ˆ ˆ ˆ

cos 0

co

Parr P Pa a r r

a r r

i i i

r sen

A

2 1

2 21 2 3 1 2 3

1 2 3

0 0 2 2 1 1 1 1 2

ˆ ˆcos

s 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ cos cos

cos 0

A sen i A i

Asen

i i i

r sen A sen i A i

A Asen

2 1

1

1

1 2 3 2 21 1 1 2

0 0 2 2 1 2 21 2 3 1 2 3

1 1

11 0

1 1 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆcos

cosˆ ˆcos

cos 0

0 porque 0

0

P

P

i i iA i A sen i

r senA i A sen i

A sen A

dr

dt

r

2 21 1 1 2

1 2 3

1 1 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1

ˆ ˆ a cos

a 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ 2 0 0 2 2 cos 2

cos 0

ˆ a 2 cos

P

P P

P

P

arr

comp rel

rel

comp

A i A sen i

V

i i i

V H i H sen i

H sen H

H i

1 2 2

2 2 2 2 2 22 2 3 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2

ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos cos 2 cos 2P

H sen i

a H H sen i A i A sen i H i H sen i

2 2

1 2 1 1 2 2 3ˆ ˆ ˆ(2 )(cos )Pa H A i sen i H i

2.4 Aceleración del punto P calculada en el sistema coordenado móvil:

1

2 2 0

P P P

P

P rel arr comp

rel P

a a a a

a r


20

1

1

1 2 3

2 0 2 2 2

1 2 32

2 2 0 2 2 3

2

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 0 '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 0 '

0 0

P

P

i i i

r H i

H

i i i

r H i

H

1 1

2 1 2 1

22 3

01 1 0 1 1 0

01 02 0 0 0 0

02

ˆ '

a

a 0

P

P

rel

arr P P

a H i

a a r r

a r r

2 1

2 1

2 1

1 2 3

0 0 1 2 1 2 3

1 2 3

0 0 2 1 2

1 2 32

0 0 2 1 1 1 2 3

1

1 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 0 '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 0 0 '

0 0

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ ˆ 0 0 ' '

0 0

i i i

r A i

A

i i i

r A i

A

i i i

r A i A i

A

r

1

1

1

1 1 0

21 1

0 porque 0

0

ˆ a 'P

P

P

arr

d

dt

r

A i


21

1 2 3

1 1 2 1

2

1 2 1

2 22 3 1 1 1 2 1

a 2

ˆ ˆ ˆ' ' '

ˆ 2 0 0 2 2 '

0 0

ˆ a 2 '

ˆ ˆ ˆ' ' 2 '

P P

P

P

comp rel

rel

comp

P

V

i i i

V H i

H

H i

a H i A i H i

2 21 2 1 1 2 3


III. CONCLUSIONES FINALES

1) Las expresiones algebraicas y cálculos matemáticos se reducen en forma

apreciable con el uso de una terna móvil elegida convenientemente.

2) Los gráficos de los vectores resultan mucho más sencillos cuando se utiliza la

terna móvil.

3) La utilización de un marco de referencia relativo simplifica sustancialmente los

cálculos

4) Se verifica que los vectores expresados en una y otra terna son los mismos, con

componentes diferentes.

Mecánica Racional, Ercoli – Azurmendi, edUTecNe 2014

Complemento didáctico

CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

EJEMPLO RESUELTO

APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO Y DEL MOVIMIENTO RELATIVO

ROTACIONES CONCURRENTES

23/07/2015

complemento didÁctico capÍtulo 2. cinemÁtica del cuerpo … · cinemÁtica del cuerpo rÍgido...

Documents