Actividad: Cinemática Movimiento Rectilíneo Uniforme y Variado

MRU y MRUV

Leer, resumir y/o copiar en la carpeta el material enviado para familiarizarse

para cuando se retomen las clases presenciales.

Copiar los problemas dados, analizarlos y volver a leerlos con tranquilidad.

Pensar ejemplos de la vida cotidiana.

e-mail: sergiosaurio@hotmail.com

....;

V1lores del esp1clo

y del tiempo

De la formula

e \'

despe-jando. resulta

e= vt

y

e t = -­

V

Leyes del movimiento rectilíneo uniforme

Apliquemos la fórmula de la ve­locidad; empleando los datos an­teriores, tendremos:

a) En A,

600 m = 600 m/min; VA= 1 mio

b) En B,

1 200 m = 600 m/min; Ve= 2min

c) En C,

1800 m = 600 m/min; Ve= 3 mio

d) En D,

2 400 m = 600 m/min. Vo = 4min

• MRU : movimiento rKtilíneo uniforme.

En todos los puntos de la tra­

yectoria, la velocidad es igual. Por

¡0 tanto, la primera ley es la si­

guiente:

En un MRU, la velocidad es

constante.

Si un móvil, con un movimien­

to uniforme, recorre 600 m en

1 min, 1 200 m en 2 miq, 1 800 m

en 3 min y 2 400 m en 4 min, ten­

dremos que a mayor tiempo co­

rresponde mayor espacio, y vice­

versa. De lo cual se deduce la

segunda ley:

En un MRU *, el espa~io reco­

rrido es directamente proporcional

al tiempo empleado.

Representación gráfica

Consideremos un sistema XX' e YY' de ejes cartesianos ortogo­

nales, y asignemos a cada uno de

ellos una de las magnitudes con­

sideradas para el estudio de la

velocidad. Podremos obtener grá­

ficos que representan las leyes

enunciadas más arriba * *.

REPRESENTACIÓN DE LA

PRIMERA LEY

Para este caso se determinan,

sobre el eje X (abscisas), los

tiempos; sobre el eje Y ( ordena-

• • Aplicación de lo estudiado en matemática de tercer año.

80

1

1 ,-

1

1

l 1 1

1

1

'"" 1

f

y

das), las velocidades (fig. 94 ) . y

por cada punto se trazan las per­pendiculares a cada eje. Obtene­mos que la intersección de e~as perpendiculares representa el pun­

to que responde a esos valores.

Ya hemos expresado que, en el movimiento uniforme, la velocidad

es constante; en consecuencia :

a) En A,

t1 = 1 min

y

v 1 = 80 m/min;

b) En E

t2 = 2 min

y

v2 = 80 m/min;

c) En C,

t3 = 3min

3/

v3 = 80 m / min.

Procedemos a marcar sobre el eje X los tiempos ti, t 2, t3 ( seg­mentos iguales) , y sobre el eje Y las velocidades v1 = v2 = v3 = v. Las perpendiculares trazadas por l1, ti, t3, y por v 1 = v2 = v3, nos dan los puntos A, B, C, los cuales determinan una recta paralela al eje ctel tiempo (eje X), que indi­ca que la velocidad es constante.

S_i consideramos (fig. 94) el rec­tángulo OVCT que se ha formado, resulta

área OVCT = B h,

V f • ~· ))}0;;;, ¡ 'º ~1 ... ~Y/%'Ph0-///)'//

F1,:;. 94. Reprl!M!t1t■t ión ~ ,f ., .

de I■ primsra lry.

pero

B = t y

h = v ;

luego,

área OVCT = t v ,

pero

tv = e;

en consecuencia..

área OVCT = e r.

es decir q_e el área del rectániuJo

que queda determinada en la re­presentación gráfica de la veloci­dad en función del tiempo, equi­vale al espacio recorrido por el

móvil en e.,e tiempo.

REPRESENTACIÓN DE LA

SEGUNDA LEY

En este caso consideraremos al eje de las abscisas (X) como el eje de los tiempos y al eje de las ordenadas (Y) como el eje de los

espacios. Sean los valores siguientes ( fi­

gura 95): en el primer minuto

81

' . "'"'"'·~,

1

y

140 mt _____ _______ ___ , M '

105 m ~- --------~

1

10m

35m

o 2

1 1 1 1

: 1 1

recorrió 35 m (punto A)¡ en el se­

gundo, 70 m (punto B); en el ter­

cero, 105 m (punto C) ; en el cuar­

to, 140 m (punto D).

Sobre el eje X determinamos

los tiempos

t1 = 1 min,

t2 = 2 min,

t3=3min,

t 4 = 4min,

que son segmentos iguales entre s~ y sob.re el eje Y,

Oe1 = 35m,

Oe2 = 70m,

Oe3 = 105m,

Oe4 = 140m.

FIG. 95. RepresentAciÓ11 gráfica de la segund0

ley.

X minutos

Las perpendiculares trazadas

por los -puntos t1 y e1 determinan

A, las trazadas por t2 y e2 deter­

minan B, las trazadas por t3 y e3

determinan C, las trazadas por t4

y e4 determinan D.

Unimos los puntos A, B, C y D;

queda determinada uria recta, que

es la gráfica de la segunda ley :

el espacio es pror,orcional al tiem­

po*.

Según esta gráfica, podemos co­

nocer el espacio recorrido en un

tiempo t cualquiera. Así, cono­

ciendo el espacio recorrido, se ,ob­

tiene el tiempo empleado.

En la figura 95, el punto M está

indicando un tiempo t = 3 ½ min

Y un espacio e= 122,5 m.

Mediante esta gráfica podría­

mos calcular también el espacio

• Matemática de secundo año : funciones directa e inv«aamente proporc:ionale1 ,

82

-=-

,.,

' h

~ .,._. 70 km/h

FTG. 96 a.

~,1-~ o o •

45 km/h

Le velocidad varíe •ín rel:,ción al tiempo empleado.

rec,orrido al minuto y medio o a Aceleractón

1 h 1 h

~ ·º ~ 30 km/h

· _. , ,., los .cinco minutos.

l ,

t"(,

·-_¡

( y

Estudio dinámico (ver pág. 128)

MOVIMIENTO VARIADO

Estudio cinemático

Cuando viajamos en automóvil, en tren, etc., vemos que la veloci­dad· no se mantiene constante.

Ello se·. debe, entre otras causas, a las paradas para el ascenso y

descen~o de los pasajeros, a la dis­minución de velocidad por la in­terposición de otros vehículos, por el mal estado del camino, etc. Es­to nos lleva a la definición del mo­vimiento variado:

Movimiento variado es el que _posee el móvil cuya velocidad es distinta en cada unidad de tiempo.

Supongamos que al final de la primera hora posee una velocidad de 30 km/ h; al final de la segun­da, 70 km/ h¡ al final de la tercera,

40 km/ h (fig. 96 b ).

Verificamos que para cada uni­dad 'de tiempo se producen varia­ciones de velocidad, lo cual per­q¡ite definir una nueva magnitud, que estudiamos a continuación.

Su definición es la siguiente :

Aceleración es el cociente o ra­

zón entre la variación o incremen­

to de velocidad e intervalo de

tiempo transcurrido.

En símbolos,

donde

!1v a= .it

a = aceleración,

1 v = incremento de velocidad,

.M = intervalo de tiempo.

La variación de velocidad ~ v

es siempre la diferencia entre la

segunda y la primera velocidad

considerada.

100 km/ h

70 km/ h

rlG. 96 b . Repr-ntación gráfica de un movimiento ,·,uiado.

--- ---¡-----~ E

----- ----- - --- ---- e ; 1 1

--~==-~_;.~~ :

1 h

B O , 1 1 1 1 1 1 , 1

2h 3 h 4h 5 h horas

83

X

2

3

40 km / h 70 km / h

~~ .,_ --Q fo~J •

l h 1 h -~

1 h

130 km/h

n~. ro~ . -

1 h

FIG. 99. Movimiento uniformemente aceleraau.

Luego, en un movimiento uni­

formemente variado, la acelera­

ción es constante.

Movimiento uniformemente

acelerado

Supongamos que v1aJamos en

un vehículo cuyas variaciones de

velocidad sean las siguientes :

a) En e0>rimer m_inuto,

vA = l0m/ mm;

b) En el segundo minuto,

v 8 = 20 m/ min;

c) En el tercer minuto,

ve = 30 m/ min;

y así sucesivamente (fig. 99).

Aquí registramos un aumento

constante de velocidad para cada

unidad de tiempo: 10 m/ min. De­

cimos que el móvil está dotado de

movimiento uniformemente acele­

rado, que definimos así :

Movimiento uniformemente

acelerado es el que tiene aquel

móvil que en cada unidad de tiem­

po (hora, minuto, segundo) au­

menta pu velocidad en cantidades

iguales.

~ 86

Luego, en el movimiento uni­

formemente acelerado, la acelera­

ción es positiva.

Movimiento uniformemente

retardado

Sea el caso de un móvil cuyas

velocidades sean :

a) En el punto A,

50m/ min;

b) En el primer minuto,

45 m/ min;

c) En el segundo minuto,

40m/ min;

d) En el tercer minuto,

35m/ min;

y así sucesivamente.

Podemos observar que su velo­

cidad disminuye cantidades igua­

les (5 m/ min) en tiempos iguales,

o sea, cada minuto. Decimos, en­

tonces, que el móvil posee movi­

miento rectilíneo uniformemente

retardado, que definimos así :

Un móvil posee movimiento

uniformemente retardado cuando

su velocidad disminuye cantidades

iguales en tiempos iguales.

..

T

Luego, en el movimiento uni­

formemente retardado, la acelera­

ción es negativa.

y

- a f + V 1 = V :­

que puede escribirse

Cálculo de la velocidad en el V ¡ = V 1 - a f.

movimiento uniformemente Para

variado V : = V ¡

1 ) El movimiento es uniforme- Y

mente acelerado; por lo tanto, es V ¡ = V

o sea,

~ V a= - t-,

V ¡ - V ¡ a- --- ·

- t '

en consecuencia,

a t = V ¿ - V ¡

V

at +V¡ = V ¡. (l]

A la velocidad v 2 la llamamos

v1 ( velocidad final) y a la velo­

cidad v 1 la denominamos v; ( ve­

locidad inicial), por lo cual la ex­

presión ( 1] quedará

Vf =V; + a t

2) El movimiento es uniforme­

mente retardado, por lo cual es

o sea,

l\v -a= - t- ,

V ¡ - V¡ -a= -

por lo tanto,

- a t = V ¡ - V¡

es

V¡ = V, - a t

Velocidad inicial

A la velocidad V, la denomina­

mos velocidad inicial. Se entiende

por tal la que pos.'!e el móvil en el

momento de hacer su movimiento

variado. Supongamos la prueba del kiló­

metro lanzado o los sprint en las

carreras de bicicletas, en las cua­

les, una vez alcanzado cierto pun­

to de la trayectoria con determi­

nada velocidad, se inicia e! movi­

miento acelerado.

Una idea más gráfica la tene­

mos en el siguiente ejemplo : dos

automÓ\'iles se colocan 300 m an­

tes de la largada y marchan jun­

tos hasta ese lugar, instante en que ·

se les da salida y comienzan su

movimiento acelerado. La veloci­

dad que poseen en ese instante es

la velocidad inicial.

Si esos vehículos, detenidos en

el lugar de la largada, reciben or­

den de salida, su velocidad inicial

será nula o cero.

87

4

cC'ual l'~ \s Yt'locidad de un móvil a los 2 min si parte del reposo con una ace­

\t>rs~ion de O. 7 m ~t'¡;?

s \,[ucú.,n

C0mo V= 8 • t,

resulta v = 0,7 m / seg2 X 2 min;

por lo tanto , v = 0,7 m / seg2 X 120 seg,

o sea, v = 84m/ seg.

Rta. 84 m/ seg.

Un móvil, que posee una velocidad de 15 m/seg, adquiere un movimiento uni­

formemente acelerado. Si su aceleración es de 0,5 m / seg2, ¿cuál será la velocidad

al cabo de 40 seg y cuál el espacio recorrido?

Solución

Como

V= V¡+ 8 t,

resulta

v = 15 m / seg + 0,5 m / seg2 X 40 seg,

o sea 1

v = 35 m / seg.

Como

1 e = V . t + - a t2, , 2

resulta

1 e= 15 m / seg X,j0 seg+ - 0,5 m / segl (40 seg) 2;

ttfi 2

por lo tanto.

e= 600m + 400m,

o sea,

e= 1 000m.

Rta. 35 m / seg y recorre 1 000 m .

100

..¡ 1

Un móvil posee un,i vohA,dad inic ia l de 80 lrm 111 y recorre 500 ro en ¡;¿ sei:

¿Qué aceleración adquiere Y qué ve loc idad poseerá en ese momento?

Solución

Como

y

resulta

o sea,

y como

resulta

a

80 km/ h = 22,2 m/ seg

1 e= V . t + - a12, , 2

e - V, t 11= ---

l , -tl 2

500 m - 22,2 m/ seg X 12 seg = 3,24 m/ seg1,

l _ ( 12 seg) 2 2

v1 = v, + a t.

V 1 = 22,2 m /,seg + 3,24 m/ seg2 X 12 seg= 61.08 m seg.

Rta. 3.24 m 1eg; v ó 1.08 m -.e-g_ . respecuva­

mente.

Un móvil parte del repo10 con movimiento uniformemente acelerado. ¿Que velo­

cidad tendrá a los 3 min si su aceleración es de 0,5 m . seg2>

Solución

Como

V= a t,

resulta

,. = 0,5 m/ seg2 X 180 seg = 90 m.' seg.

Rta. 90 m , •e& ·

Un móvil parte del reposo con una aceleración de 30 cm. seg'. ¿Qué tiempo

empleará en recorrer 16 km?

Solución

Como 1

e = 2 a t2,

101

5

es

("I S~B .

t=

/ 2 e t = ✓ ---¡ ·

2 X 1 960 m = 20 seg. 9,8 m / seg2

Rta. 20 seg.

¿Con qué velocidad llega e tierra el cuerpo del problema anterior?

Solución

Como V= gt,

resulta v = 9,8 m / seg2 X 20 seg = 196 m / seg.

Rta. 196 m / seg.

Desde un avión se dispare un proyectil verticalmente hacia abajo con velocidad inicial de 50 m / seg. Si tarda en llegar a tierra 12 seg, ¿con qué velocidad lo hace y desde qué altura cayó?

Solución

Como

resulta

y como

resulta

o sea,

106

V= V¡+ g f,

v = 50 m / seg +9,8 m / seg2 X 12 seg= 167,6 m / seg,

1 e = V ¡ t + 2 g t2,

1 e= SO m / seg X 12 seg+ -9,8 m / seg ( 12 seg) 2,

2

e= 1305,6 m.

Rta . 167 m /seg y cae desde 1 305 ,6 m.

Se lanza u n cuerpo verticalmente hac ia arrih. con v• loc,dad ini ruil ri .. ¿Qí) m 1•.,.~ Se desea saber : a ) ¿qué velocidad pos..., a los 4 ag?; b ¡ ¿cuirnto tiempo uwJ,.,,, en alcanzar su altura m áxima?

Solución

11) Como

resulte

b) Como

resulta

Vl = V ; - I f,

v◄ = 200m / seg - 9,8m / seg2 X 4seg = 160,Bm/ seg;

V/ = V; - I f = 0,

v . 200 m/ seg t = _!.._ =

2 == 20,4 ""C· g 9,8 m / seg

Rta . a ) 160 ,8 m ,s4'1:;

b ) 20,4 SeJ.

PROBLEMAS PARA RESOLVER

Un móvil recorre 250 km en tres horas y media. ¿Cuál es su velocidad en me­tros por segundo y en kilómetros por hora?

Rta. 71 ,42 l<m h o 19.84 m •ec-

La velocidad constante de un cuerpo es de 18 km; h. ¿Cuál es la distancia re­corrida en 1 min?

Rta. 300 m.

Un automóvil que se desplaza con movimiento uniforme recorre 2 000 m a razón de 65 km/ h. ¿Qué tiempo ha empleado?

Rta. 1 m1n 5Qn~il .

lndicar qué velocidad es mayor : 40 km; h, S cm; seg o l 7 m min.

Rta. 40 km/ h.

¿Cuál será la velocidad media de un automóvil que recorre 500 km en Sh 2om•n?

Rta . 60 km h.

107

6

Si la lc-n&ittid de los rieles es de 18,35 m _)' por minuto se cuentan 20

dt> lRs rut>dRs N O las uniones entre ellos, ¿cual es la velocidad en kil , golpes hor11 del tren? ometros por

Rta. 22 ,02 km / h .

Calcular le aceleración de un móvil que en 20 seg, y partiendo del reposo d

quiere une velocidad de 60 m/ seg? . ' a • Rta. 3 m / seg1•

¿Cuál será la velocidad de un automóvil que en cierto instante posee un 1 . . , 1 'd d d a ve o-

c1dad de 45 km / h y 2 mm despues esa ve oc1 a es e 20 km / h?

Rta. La aceleración es negativa es 0,057 m / segl. Y su valor

Un móvil parte del reposo con aceleración de 0,4 m / seg2. ¿Qué velocidad posee

después de un cuarto de hora y cuál será el espacio recorrido?

Rta. 360 m / seg, o sea, 129,6 km / h .

El espacio recorrido por un móvil con movimiento uniformemente acelerado es de 4 000 m. Si su aceleración es 2 cm / seg2, ¿cuál es el tiempo empleado · y cuál

es su velocidad? Rta . 3m,, 20"• y su velocidad 40 m / seg.

Un automóvil posee una velocidad de 60 km/ h. Se detiene después de un mi­nuto. ¿Cuál es la aceleración negativa y cuál el espacio recorrido?

Rta. 0,27 m / seg1 y recorre 486 m

¿Qué tiempo habrá transcurrido para que un móvil adquiera una velocidad de SO m/ seg si parte del reposo y su aceleración es de 4 cm/ seg2?

Rta . 12,5 seg.

¿Cuál será la velocidad que posee un móvil que parte del reposo en el momento que ha recorrido 3 km después de 10 seg?

Rta . 600 m / seg .

Un tren posee una velocidad de 75 km / h. Aplica \os frenos y se detiene al mi­nuto y medio. ¿Cuál será la aceleración negativa y qué espacio recorrió en ese tiempo?

Rta . 0,23 m / seg1 y recorrió 840 m .

Un cuerpo tiene una velocidad inicial de 30 m/ seg. Su aceleración es - 0,S m/ seg

2• ¿Cuánto tiempo tardó en parar y qué espacio recorrió?

Rta . 60 sek,

Un cuerpo cae y ta rda en tocar tierra B ;v,g. ¿Oesd@ qui! altura c"Yº'

R t.• 2 13,6 m .

¿Cuál es el tiempo qu.e ta rde en llegar a tierra un cuerpo QU8 ~ae de!ldt" 7 ~O rn /

R te . 40 oe,¡.

Un cuerpo es lanzado hacia arriba y alcanza una alt ura mainma de 7 840 m ¿Con qué velocidad inicial lo hizo?

Rta. 392 m "'«·

Un cuerpo es lanzado hacia abajo con una velocidad de 60 m,· ,eg_ S, tarda !m

llegar a tierra 8 seg, ¿desde qué altura fue lanzado y con qué velocidad tocó tierra>

Rta . 793,6 m y tocó """"ª • 136 ,4 m ,e,¡.

CUESTIONARIO DEL CAPÍTULO V

l . ¿A qué se llama movimiento uniforme? ¿Es un movimiento rea.l o ideal'

2. Si v = e/ t , ¿cuál es la expresión del espacio y del tiempo?

3. ¿Cuándo un móvil está animado de movimiento un iformemente acelerado?

4. ¿Qué es aceleración?

5. Complete las siguientes expresiones para el movimiento uniformemente ace­lerado :

a) Velocidad,

V

b) Espacio,

e =

e } Aceleración,

a =

6. ¿ Cuáles son las unidades de velocidad?

7. ¿ Cuáles son las unidades de aceleración?

8. ¿ Cómo caen los cuerpos en el espacio?

9. En el movimiento uniformemente acelerado, ¿a quiénes resultan proporcionales la velocidad y el espacio?

108 109

7