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  • CINEMTICA

    CONCEPTO DE CINEMTICA: es el estudio del movimiento sin atender a las

    causas que lo producen

    CONCEPTO DE MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posicin, de un

    cuerpo, con el tiempo (este cuerpo que se mueve recibir el nombre de mvil). El

    movimiento es relativo, es decir puede haber movimiento respecto a un sistema de

    referencia y puede no haberlo respecto a otro.

    Ejemplos:

    una persona en la Tierra no detecta el movimiento de la Tierra, pero una

    persona en la Luna s apreciara el movimiento de la Tierra

    una persona sube al tren y deja la maleta en el asiento de al lado. Para esta

    persona la maleta no se mueve, pero para otra persona situada fuera del tren

    la maleta s se mueve (cada vez est ms lejos)

    SISTEMA DE REFERENCIA: analizados los ejemplos anteriores queda claro que

    hay que indicar respecto a qu hay movimiento. El lugar donde se encuentra el

    observador que mide la posicin del mvil se conoce como Sistema de Referencia, y en

    dicho lugar situamos nuestros ejes de coordenadas

    TRAYECTORIA: es la lnea seguida por un mvil en su movimiento. Se obtiene por

    la unin de las distintas posiciones que toma un mvil

    POSICIN (): es un vector que nos indica la posicin de un mvil en un determinado

    instante. Tiene su origen en el centro del sistema de referencia y su extremo en el punto

    de la trayectoria que corresponde a dicho instante

    DESPLAZAMIENTO (): es un vector que viene dado por la diferencia entre la

    posicin final de un mvil y la inicial. Cmo tal vector puede ser negativo o positivo. El

    desplazamiento entre 2 puntos ser un vector que tiene su origen en el primer punto y su

    extremo en el segundo punto

    2 1

    r = r2 r1

    Aplicando la suma de vectores, obtenemos:

    r1 + r = r2

    Y despejando sacamos que el desplazamiento

    es igual a la diferencia de los vectores de

    posicin:

    r = r2 r1

  • 1

    ESPACIO RECORRIDO (DISTANCIA RECORRIDA (s): es un escalar (queda

    definido nicamente con un nmero y su unidad) que mide la longitud recorrida sobre la

    trayectoria

    EJERCICIO: La posicin de una partcula viene dada por el siguiente vector posicin:

    r = 2 t i + (4 t 1) j

    Determina:

    a) La posicin a los 2 segundos

    b) Ecuacin de la trayectoria

    c) Desplazamiento entre 1 y 3 segundos

    Solucin:

    a) r = 22 i + (42 1) j = 4 i + 7 j

    b) r = 2 t i + (4 t 1) j

    c)

    VELOCIDAD MEDIA (M): la velocidad media entre dos puntos es un vector que mide el desplazamiento producido por unidad de tiempo

    EJERCICIO: el movimiento de una partcula en una dimensin viene determinado por

    la ecuacin: x = t2 - t 2. Calcula:

    a) posicin inicial

    b) velocidad media entre 2 y 3 segundos

    Solucin:

    r3 = 6 i + 11 j

    r1 = 2 i + 3 j

    r = 42 + 82 = 8,9 m

    vM = r

    t

    Si la trayectoria es rectilnea,

    el desplazamiento coincide

    con el espacio recorrido en

    valor absoluto, aunque no

    necesariamente en signo

    x = 2t t = x/2

    y = 4t 1 y = 4 x/2 1 = 2 x 1

    ecuacin de la trayectoria: y = 2 x 1

    r = r3 - r1 = 4 i + 8 j

  • 2

    a) t = 0 x = - 2 m

    b) r3 = 9 3 2 = 4 m

    r2 = 4 2 2 = 0 m

    r = 4 0 = 4 m

    EJERCICIO: el vector posicin de una partcula queda determinado por la ecuacin:

    r = 3 t i + (2 t2 + 3) j. Calcula velocidad media entre 0 y 3 segundos

    Solucin:

    CELERIDAD (RAPIDEZ) MEDIA: es un escalar que mide el espacio recorrido por

    unidad de tiempo

    VELOCIDAD INSTANTNEA (): es la velocidad media entre dos puntos tan prximos que el tiempo transcurrido prcticamente es cero

    Si tenemos la ecuacin de la posicin en funcin de sus componentes:

    r = rx i + ry j + rz k

    Vx = d x

    d t

    Vy = d y

    d t v = vx i + vy j + vz k

    Vz = d z

    d t

    EJERCICIO: en el ejercicio anterior (r = 3 t i + (2 t2 + 3) j) determina la velocidad a

    los 3 segundos

    M = s

    t

    lim t0

    r

    t

    v = = d r

    d t La velocidad instantnea es la derivada del

    vector posicin respecto al tiempo

    vM = r

    t =

    4

    (32) = 4 m/s

    r3 = 9 i + 21 j

    r0 = 3 j

    vm = r

    t =

    9 i + 18 j

    30 = 3 i + 6 j

    vm = 32 + 62 = 6,7 m/s

    r = r3 - r0 = 9 i + 18 j

  • 3

    v = d r

    d t = 3 i + 4 t j = 3 i + 12 j

    v = 32 + 122 = 12,4 m/s

    CELERIDAD INSTANTNEA (): sera la derivada del espacio recorrido respecto al tiempo

    ACELERACIN MEDIA: es la variacin que experimenta la velocidad de un mvil

    en la unidad de tiempo

    EJERCICIO: el vector posicin de una partcula queda determinado por la ecuacin:

    r = 3 t2 i + 2 t j. Determina la aceleracin media entre 1 y 4 segundos

    Solucin:

    ACELERACIN INSTANTNEA: es la aceleracin en un instante. Al igual que en

    el caso de la velocidad se calcula como una aceleracin media entre dos puntos tan

    prximos que el tiempo transcurrido prcticamente sea cero, y no haya dado tiempo,

    apenas, a variar su velocidad

    EJERCICIO: el vector posicin de una partcula queda determinado por la ecuacin:

    r = 3 t2 i + 2 t j. Determina la aceleracin a los 4 segundos

    r = 3 t2 i + 2 t j

    v = d r

    d t = 6 t i + 2 j

    a = 6 i la aceleracin es constante y no depende del tiempo a = 6 m/s2

    COMPONENTES INTRNSECAS DE LA ACELERACIN: La aceleracin viene

    dada por la derivada de la velocidad respecto al tiempo

    aM = v

    t

    lim t0

    v

    t

    a = = d v

    d t

    v = d r

    d t = 6 t i + 2 j

    v4 = 24 i + 2 j

    v1 = 6 i + 2 j

    am = v

    t =

    18 i

    3 = 6 i

    32 + 62

    v = 18 i

  • 4

    a = d v

    d t

    La derivada de la velocidad viene dada por la variacin de la velocidad cuando la

    variacin del tiempo es prcticamente cero. La velocidad puede variar de dos maneras:

    variacin del mdulo de la velocidad da lugar a la aceleracin tangencial

    que es un vector tangente a la trayectoria en cada punto (lleva la misma

    direccin que la velocidad)

    t = d v

    d t

    variacin de la direccin y/o sentido de la velocidad da lugar a la

    aceleracin normal (tambin llamada centrpeta) que es un vector con la

    direccin del radio de la curva, dirigida hacia el centro de la curva. Es decir

    perpendicular a la aceleracin tangencial

    an = ac = v2

    R

    La aceleracin en funcin de sus componentes quedara de la siguiente forma:

    = t + n = at + an

    EJERCICIO: el movimiento de una partcula en una dimensin viene determinado por

    la ecuacin: r = t2 - 4t + 1, siendo el radio de la curva 4 m. Calcula la aceleracin

    tangencial, la aceleracin normal y la aceleracin global cuando el tiempo es 1 segundo:

    Solucin:

    r = t2 - 4t + 1

    v = 2 t - 4

    at = 2 m/s2

    v1 = 21 4 = - 2 m/s

    an = (2)2

    4 = 1 m/s2

    a2 = at2 + an

    2; a

    2 = 2

    2 + 1

    2; a

    2 = 4 + 1; a = = 2,23 m/s2

    EJERCICIO: el vector posicin de una partcula queda determinado por la ecuacin:

    r = 3 t2 i + 2 t j. Determina todas las aceleraciones a los 2 s, siendo el radio 30 m:

    r = 3 t2 i + 2 t j

  • 5

    v = d r

    d t = 6 t i + 2 j

    = 6 la aceleracin es constante y no depende del tiempo a = 6 m/s2

    v = 6 t i + 2 j = 62 i + 2 j = 12 i + 2 j; v = 122 + 22 = 148 = 12,2 m/s

    an = (v)2

    R=

    (12,2)2

    30 = 4,9 m/s2

    a2 = at2 + an

    2; 6

    2 = at

    2 + 4,9

    2; 36 = at

    2 + 24; at = = 3,5 m/s

    2

    TIPOS DE MOVIMIENTO

    UNIFORME

    RECTILNEO

    UNIFORMEMENTE ACELERADO

    MOVIMIENTO

    UNIFORME

    CIRCULAR

    UNIFORMEMENTE ACELERADO

  • 6

    MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME

    En este movimiento no hay ninguna aceleracin:

    La trayectoria es una lnea recta, por tanto no existe aceleracin normal (ya que

    el radio de una lnea recta es y la an = v2

    R = 0)

    La velocidad es constante (uniforme) y por ello no existe aceleracin tangencial,

    ya que no vara el mdulo de la velocidad (es constante)

    Al ser la velocidad constante, no tiene sentido hablar de velocidad inicial, final y

    media ya que todas deben tomar el mismo valor; de lo contrario no sera constante

    r1 r0 = v t

    1 = 0 + t

    (ecuacin del movimiento rectilneo uniforme)

    Grficas del movimiento rectilneo uniforme:

    La ecuacin matemtica de la recta es: y = a + b x (donde a es la ordenada en el

    origen y b es la pendiente de la recta) que comparada con la ecuacin del movimiento

    rectilneo uniforme r = r0 + v t , obtenemos que r0 (posicin inicial) es la ordenada

    en el origen y que v (velocidad) es la pendiente de la recta v = tg

    vM = r

    t =

    r1 r0

    t = v

    r

    t

    V = 0

    Est parado

    r

    t

    V > 0

    Se aleja del

    observador

    r0

    r

    t

    r0 V < 0

    Se acerca al

    observador

    v

    r

    t

    V es constante

  • 7