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Una introducción a la filosofíade las matemáticas

Mark ColyvanUniversity of Sydney

© 2012, Cambridge University PressTraducción de Marc Jiménez Rolland

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Agradecimientos

Me gustaría comenzar agradeciendo a aquellos que me enseñaron la mayor parte de lo quesé acerca de la filosofía de las matemáticas. He sido enormemente beneficiado tanto de lasobras escritas como de las conversaciones con: John Bigelow, Jim Brown, Hartry Field,Drew Khlentzos, Pen Maddy, Mike Resnik, Stewart Shapiro y Mark Steiner. Otros conquienes he tenido muchas interesantes conversaciones sobre al menos algunos de lostemas cubiertos por este libro son: Jody Azzouni, Alan Baker, J. C. Beal, Otávio Bueno,Colin Cheyne, Alan Hájek, Chris Hitchcock, Mary Leng, Ed Mares, Bob Meyer, ChrisMortensen, Daniel Nolan, Graham Priest, Grez Restall, Jack Smart y Ed Zalta.

Todas las personas recién mencionadas han influido de manera importante en mipensamiento sobre los temas cubiertos en este libro. Sus ideas aparecen dispersas a lolargo de este libro como parte de mi conocimiento de fondo, como puntos de partida paramis propios puntos de vista y como posiciones prominentes en el panorama intelectual. Sinsus contribuciones, este libro simplemente no habría sido posible.

También me gustaría agradecer a mis estudiantes. He impartido cursos en licenciaturay en posgrado basándome en el material de este libro en varias universidad des enAustralia y en los EUA. Los estudiantes en estos cursos me han obligado a ser más claro ymás riguroso en mi presentación. Esto, en cambio, ha mejorado enormemente la maneraen que enseño el material y muy a menudo me ha llevado a refinamientos en mi forma depensar acerca de los asuntos en cuestión. De muchas maneras este libro es un intento poralcanzar los estándares de exactitud de mis estudiantes.

También estoy en deuda con un lector de la Cambridge University Press, quien leyó unmanuscrito anterior de este libro e hizo muchos comentarios y sugerencias extremadamenteútiles. El resultado final es una mejora inmensa gracias a los esfuerzos de este lector.

Parte del material para este libro fue extraído de ensayos previamente publicados. Elcapítulo 3 emplea material de mi artículo: M. Colyvan, 1998. ‘Indispensability Argumentsin the Philosophy of Mathematics’, en E. N. Zalta (ed.) Stanford Encyclopedia of Philosophy,en línea: http://plato.stanford.edu/entries/mathphil-indis/. Agradezco a los editores porlos permisos para reproducir ese material aquí. El capítulo 4 hace uso de material a partirde M. Colyvan, 2010. ‘There is No Easy Road to Nominalism’, Mind, 119 (474): 285-306 yM. Colyvan, 2011. ‘Fictionalism in the Philosophy of Mathematics’, en E. J. Craig (ed.).Routledge Encyclopedia of Philosophy, edición en línea, Taylor & Francis,http://www.rep.routledge.com/article/Y093. Agradezco a los editores de Mind y de laRoutledge Encyclopedia of Philosphy, por permitirme reproducir ese material aquí y señaloque los derechos sobre este material pertenecen a la Oxford University Press y aRoutledge, respectivamente. Para finalizar, el capítulo 7 extrae material de M. Colyvan,2008. ‘Who’s Afraid of Inconsistent Mathematics?’, Protopsychology, 25: 24-35. Agradezcoal editor de Protopsychology por permitirme reproducir el material en cuestión aquí; losderechos pertenecen a la revista.

Debo un especial agradecimiento a Bill Newell, quien es en gran medida responsablede mi actual interés por las matemáticas. Además de todo, Hill me enseñó a apreciar laextraordinaria belleza de las matemáticas. Espero que algo de lo que aprendí de él destellea través de las páginas que siguen.

SydneyJulio de 2011 M. C.

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Capítulo 1Las matemáticas y su filosofía

«Un matemático es un dispositivo para convertir café en teoremas»Paul Erdös (1913-1996)

Las matemáticas ocupan una posición única y privilegiada en la investigación humana. Sonla más rigurosa y certera de todas las ciencias, y desempeñan un papel clave en la mayoríade, si no en todo, el trabajo científico. Fue por tales razones que el gran matemáticoalemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) señaló que las matemáticas eran la reina de lasciencias. Pero el objeto de estudio de las matemáticas es distinto del de cualquiera de lasotras ramas de la ciencia. Las matemáticas parecen ser el estudio de las entidadesmatemáticas –tales como los números, conjuntos y funciones– y las relacionesestructurales entre ellas. Las entidades matemáticas, si hay tales cosas, son muypeculiares. Son abstractas: no tienen ubicación espacio-temporal y no tienen poderescausales. Además, la metodología de las matemáticas es aparentemente distinta de lasmetodologías de otras ciencias. Las matemáticas parecen proceder por medios a priori,empleando demostraciones deductivas, en oposición a los métodos de experimentación einducción a posteriori que se encuentran en el resto de la ciencia. Y, al menos a primeravista, las matemáticas no son revisables de la manera en que el resto de la ciencia lo es.Una vez que se ha demostrado un teorema matemático, permanece por siempre. Lasmatemáticas bien podrían ser la reina de las ciencias, pero parecería tratarse de una reinaexcéntrica y obstinada.

La filosofía de las matemáticas es la rama de la filosofía a la que se le designa tratar decomprender a esta reina. Investigamos los límites de las matemáticas, el objeto de estudiode las matemáticas, la relación entre las matemáticas y el resto de la ciencia, la lógica delas demostraciones matemáticas, y la importancia del lenguaje de las matemáticas para lapráctica matemática. Éstos son temas importantes y tratamos cada uno de ellos en estelibro. Son de importancia tanto para la filosofía como pata las matemáticas. Por ejemplo,comprender uno de los casos paradigmáticos de conocimiento seguro y a priori es crucialpara una rama de la filosofía que se ocupa del conocimiento y su adquisición: laepistemología. La importancia de la filosofía de las matemáticas para las matemáticastambién es clara. En suma a todo lo anterior, la filosofía echa luz sobre de qué tratan lasmatemáticas. Ninguna rama de la ciencia que se respete debería estar en posición de nosaber cuál es su objeto primario de estudio. De manera más importante, bien podría ser quela metodología misma de las matemáticas dependa de las respuestas a algunas de laspreguntas filosóficas que se nos imponen. Una breve mirada a la historia de la relación entrelas matemáticas y la filosofía de las matemáticas nos ayudará a ilustrar la importancia de lafilosofía de las matemáticas tanto para la filosofía como para las matemáticas.

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1.1. Pasando por los grandes -ismosLa primera mitad del siglo XX fue una época dorada para la filosofía de las matemáticas.Comenzó con un filósofo, Bertrand Russell (1872-1970), demostrando que la teoríamatemática fundamental, la teoría de conjuntos, era inconsistente. Esto llevó a una crisisen los fundamentos de las matemáticas y a un intenso periodo de debate. El debate y elsubsiguiente desarrollo de nuevas teorías de conjuntos involucraron a importantesfilósofos de la época, tales como Frank P. Ramsey (1903-1930), Ludwig Wittgenstein(1889-1951), Gottlob Frege (1848-1925), Edmund Husserl (1859-1938), Charles SandersPeirce (1839-1914), y por supuesto Russell y su colaborador Alfred North Whitehead(1861-1947). Personajes prominentes en las matemáticas también estuvieron involucrados.Éstos incluían a Bernard Bolzano (1781-1848), Hermann Weyl (1885-1955), HenriPoincaré (1854-1912), Kart Gödel (1906-1978), David Hilbert (1962-1943), L. E. J.Brouwer (1881-1966), Ernst Zermelo (1871-1953), y Alfred Tarski (1901-1983).1 Losparticipantes en estos debates son importantes figuras y nombres bien conocidos (para mí, porlo menos). No hay duda al respecto, éstos deben haber sido tiempos emocionantes –tiemposen los que la filosofía de las matemáticas realmente importaba, y todos lo sabían.

Tristemente, la emoción de estos tiempos no duró mucho. Los debates sobre losfundamentos de las matemáticas menguaron. Después de 30 o 40 años muy productivos,muy poco progreso se ha hecho y, en gran medida, tanto filósofos como matemáticos secansaron de la filosofía de las matemáticas. Al menos, se cansaron de los movimientos másimportantes de la primera mitad del siglo XX –“los grandes -ismos”, para abreviar lahistoria– y de cuestiones meramente de fundamentos en las matemáticas. La filosofía delas matemáticas continuó, por supuesto –la filosofía siempre lo hace– pero perdió suapremio y, en cierta medida, su raison d’être.

Es fácil, como estudiante de filosofía de las matemáticas, pasar el tiempo revisando losdebates y desarrollos de la primera mitad del siglo XX. Pero la filosofía de las matemáticasse ha superado y es de nuevo relevante y está comprometida con la práctica matemática. Elobjetivo de este libro es ir más allá de la primera mitad del siglo XX y explorar losasuntos que capturan la atención de los filósofos de las matemáticas contemporáneos. Asíque relegaré la mayor parte del material histórico a esta breve sección, donde veremos los“tres grandes -ismos”, y al siguiente capítulo.2 En el capítulo 2 consideramos algunos delos importantes resultados matemáticos acerca de los límites de las matemáticas. Aunquela mayoría de estos resultados son de la primera mitad del siglo XX, siguen siendoimportantes en la filosofía de las matemáticas contemporánea y por ende merecen untratamiento más extenso. Mis disculpas para quien esté decepcionado por el tratamientorelativamente superficial de la filosofía de las matemáticas de inicios del siglo XX. Peroabundan las buenas discusiones de estos temas, mientras las explicaciones accesibles a lafilosofía de las matemáticas contemporánea son raras.

En lo que sigue presento el más breve esbozo de los tres movimientos másimportantes en la filosofía de las matemáticas desde inicios del siglo XX. Cada uno de ellostiene sus atractivos; cada uno toma un aspecto particular de la metodología matemáticacomo central para comprender a las matemáticas. He de añadir que las tres posiciones

1 La distinción entre filósofos y matemáticos aquí es algo arbitraria; muchas de estas personas deberíanconsiderarse tanto filósofos como matemáticos. Y, por supuesto, hubo muchos otros personajes involucradosen estos debates –demasiados para enlistarlos aquí. Se recomienda ampliamente al estudiante interesado leersobre la historia relevante; es una historia fascinante, que involucra a muchos personajes interesantes.2 El cuarto “-ismo”, el platonismo, sigue siendo prominente en la literatura contemporánea, de modo quemerece un capítulo propio: el capítulo 3.

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bosquejadas abajo son históricamente muy importantes, pero no son meramente de interéshistórico –hay defensores modernos de versiones de cada una de ellas. Es sólo que lasdiscusiones de estas posiciones no tienen ya un papel protagónico.

1.1.1. FormalismoEsta concepción considera a la notación matemática y su manipulación como el asuntonuclear de las matemáticas. En su forma más pura, el formalismo es la concepción de quelas matemáticas no son nada más que la manipulación de símbolos carentes de significado.El denominado formalismo de juegos es la concepción de que las matemáticas son muyparecidas al ajedrez. Las piezas de un juego de ajedrez no representan nada; son sólopiezas de madera, metal o lo que sea, carentes de significado, definidas por las reglas quegobiernan los movimientos legales en los que pueden participar. De acuerdo al formalismode juegos, las matemáticas son como esto. Los símbolos matemáticos no son nada más quepiezas en un juego y pueden ser manipuladas de acuerdo a las reglas. Así, por ejemplo, elcálculo elemental nos dice que d(ax2+bx+c)/dx = 2ax+b. El formalismo considera que esosignifica que el lado derecho de la ecuación puede ser obtenido por medio de una serie de“movimientos” matemáticos legales a partir del lado izquierdo. Como resultado, en losfuturos “juegos” matemáticos uno tiene permitido reemplazar los símbolos ‘d(ax2+bx+c)/dx’con los símbolos ‘2ax+b’. Éste también se vuelve un movimiento legal en juego de lasmatemáticas. Hay versiones más sofisticadas del formalismo, pero ésa es la idea básica.Hay una cuestión acerca de si las “piezas” del juego son ejemplares efectivos de símbolosmatemáticos, o si se trata del tipo de símbolos. Esto es, ¿es este ‘π’ diferente de, o es el mismoque, este ‘π’? Son dos ejemplares distintos del mismo tipo. Los formalistas requierendecidir en dónde se sitúan sobre éste y otros asuntos similares. Diferentes respuestas danorigen a diferentes versiones del formalismo.

El formalismo enfrenta varias dificultades, incluyendo la de explicar la utilidad de lasmatemáticas en sus aplicaciones. Pero por ahora sólo queremos comprender qué es elformalismo y por qué fue, en un momento, un contendiente serio como filosofía de lasmatemáticas. Para comenzar, y como ya hemos mencionado, el formalismo se toma a lanotación en serio.3 En efecto, considera a las matemáticas como siendo primariamente acerca dela notación. Al hacerlo, evita problemas asociados con otras explicaciones de las matemáticas,en las que la notación se considera como estando en lugar de objetos matemáticos.4 Elformalismo también le concede gran importancia a enunciar cuáles son las manipulacioneslegales de los símbolos y qué símbolos son legítimos. Esta aproximación se ajusta muy biencon gran parte de las matemáticas, especialmente las teorías axiomáticas como la teoría deconjuntos y la teoría de grupos.5 Los axiomas de estas teorías funcionan como la especificacióntanto de las manipulaciones legales en cuestión como de los objetos de manipulación. Y lasugerencia formalista de que no hay nada más en estas teorías no es llanamente descabellada.Por ejemplo, en teoría de conjuntos la relación de pertenencia realmente parece ser unanoción primitiva, definida implícitamente por la teoría en la cual reside. Al igual que lacuestión de qué es un alfil en el ajedrez es respondida por completo al explicar las reglasdel ajedrez y el papel que los alfiles desempeñan en el juego. No hay nada más que decir enninguno de los casos, o al menos eso dice la línea de pensamiento formalista. Como veremosen el siguiente capítulo, generalmente se cree que la versión más sofisticada de una teoría en

3 Véase el capítulo 8 para más sobre la importancia de la notación para las matemáticas.4 Nos encontraremos con los problemas de tales explicaciones realistas de las matemáticas en su debido momento.5 Véase la página 100 para los axiomas de la teoría de grupos.

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estas líneas fue enviada a la tumba por los teoremas de incompletud de Gödel. De cualquiermanera, el formalismo tiene pocos defensores en nuestros días. Pero los otros grandes -ismosse encuentran en mejores condiciones y tienen descendientes modernos, al menos.6

1.1.2. LogicismoEsta concepción de las matemáticas considera centra a la metodología a priori de lasmatemáticas. De acuerdo con el logicismo, las matemáticas son lógicas. Ése es el slogan, almenos; detallar a qué equivale este slogan es más difícil, pero la idea básica es que lasverdades matemáticas pueden, en cierto sentido, ser reducidas a verdades acerca de lalógica. La posición está motivada epistemológicamente: se cree que el conocimiento lógicoes más básico y menos misterioso que el conocimiento matemático. Dada la reducción delmatemático alemán Richard Dedekind (1831-1914) de los números reales a secuencias denúmeros racionales7 y a otras reducciones conocidas en matemáticas, fue tentador ver a laaritmética básica como el fundamento de las matemáticas. Además, si resultara que laaritmética es derivable a partir de la lógica, entonces tendríamos una explicaciónconvincente de la naturaleza de las matemáticas. El logicismo fue propuesto por primeravez y desarrollado en detalle por Gottlob Frege. Desafortunadamente el sistema de Fregeera inconsistente. Él incluyó que la ahora infame Ley Básica V como uno de sus axiomaslógicos.8 Este axioma aparentemente inocuo acerca de las extensiones de los predicados,como mostró Russell, lleva a una contradicción. Pero muchos creyeron que Frege estabatras la pista de algo. De hecho, Russell fue uno de ellos. Él, en colaboración conWhitehead, adelantó el programa logicista, pero entre más se desarrollaba este programa,menos parecía que la maquinaria básica mereciera llamarse ‘lógica’.

El atractivo del logicismo y los considerables logros de Frege aún viven a pesar detodo. El descendiente contemporáneo de este programa es el neologicismo. El programaneologicista toma como punto de partida el hecho de que Frege no necesitaba realmentenada tan robusto como su problemática Ley Básica V con el fin de obtener la mayor partede lo que quería. La Ley Básica V puede ser reemplazada con el principio de Hume: elnúmero de Fs es igual al número de Gs si y sólo si las Fs y las Gs pueden ser ubicadas enuna correspondencia 1-1. Estrictamente hablando, este principio no es una ley de la lógica,pero es algo muy, muy cercano (de ahí el ‘neo’ en ‘neologicismo’). Con el principio deHume a la mano y sirviéndose de la lógica de segundo orden9 el núcleo del proyecto deFrege puede ser continuado.10

1.1.3. IntuicionismoEsta concepción de las matemáticas considera seriamente a la demostración en matemáticas.En efecto, de acuerdo al intuicionismo, las demostraciones y las construcciones son todo lo

6 Véase Curry (1951) para una defensa clásica del formalismo y Weir (2010) para un intento modernointeresante por resucitar la posición.7 La idea de Dedekind fue identificar los números reales con los límites de secuencias de números racionales–denominados cortes de Dedekind.8 La Ley Básica V enuncia que los rangos de valor de dos funciones f y g son los mismos si y sólo si xgxfx .9 La lógica de segundo orden es la lógica que permite cuantificación sobre predicados así como sobreindividuos. La lógica de primer orden es la lógica que sólo cuantifica sobre individuos. Hay discusión acerca desi la lógica de segundo orden es realmente lógica o es sólo teoría de conjuntos disfrazada.10 Véase, por ejemplo, Boolos (1987; 1988), Burgess (2005), Hale and Wright (2001) y Zalta (1999; 2000)para aproximaciones neologicistas modernas. Los tratados logicistas originales son Frege (1967; 1974) yWhithead y Russell (1910; 1912; 1913).

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que hay. (El intuicionismo es a veces llamado constructivismo por esta razón). Enconsecuencia, no se considera que las matemáticas sean acerca de algún reino pre-existente de objetos matemáticos. El intuicionismo señala que los objetos matemáticosrequieren ser construidos antes de que uno pueda razonablemente hablar acerca de ellos.Esto tiene ramificaciones tanto para el estilo de demostraciones que es aceptable enmatemáticas como para los dominios de objetos matemáticos con los que uno puede trabajar.A menos que haya un procedimiento para producir los objetos matemáticos en cuestión,éstos deben ser arrojados a las llamas. Todos los infinitos, con excepción de los máspequeños y mejor comportados, son rechazados. Pero más sobresaliente es que muchasdemostraciones de las matemáticas clásicas no son válidas de acuerdo a las luces intuicionistas.

Para comprender por qué, piénsese en el teorema de la lógica clásica conocido como laley del tercero excluido: para cualquier proposición P, la disyunción de P y su negación (P P),es verdadera.11 Esta ley está bien motivada en casos en los que podemos ser ignorantes delos hechos relevantes, pero en los que hay hechos relevantes. Por ejemplo, la profundidadexacta de la Fosa de las Marianas en el Océano Pacífico en su nivel más profundo aexactamente las 12:00 hora de Greenwich el 1° de enero de 2011 es, creo, desconocida.Pero hay un hecho relevante acerca de la profundidad de estas Fosas en ese momento. Fue,por ejemplo, mayor que 11,000 metros o no lo fue. Contrástese esto con los casos en losque plausiblemente no hay hechos relevantes. Muchos filósofos piensan que los sucesosfuturos contingentes son buenos ejemplos de tales indeterminaciones. Considérese, porejemplo, la altura del edificio más alto en el mundo a las 12:00 hora de Greenwich del 1°de enero de 2021. De acuerdo a la línea de pensamiento que consideramos aquí, la alturade este edificio no es meramente desconocida, los hechos relevantes acerca de la altura deeste edificio no se han asentado aún. Los hechos en cuestión se habrán asentado en el 2031,pero ahora no hay hechos relevantes acerca de la altura de este edificio. En consecuencia,se cree que el tercero excluido falla aquí. No es, por ejemplo, verdadero que ya sea esteedificio mide más de 850 metros o no.

Ahora considérense las matemáticas, tan como las entienden los intuicionistas. Paraellos, las matemáticas son acerca de la construcción de objetos matemáticos y demostracionesque los involucran. Centrémonos en las demostraciones. Considérese algún enunciadomatemático E que ni ha sido demostrado no se ha demostrado que es falso. Si uno no reconocealgún sentido objetivo y externo de verdad, y en su lugar considera a la demostracióncomo todo lo que hay al respecto, el tercero excluido falla para E. En particular, el terceroexcluido no puede ser usado en el proceso de demostrar E. La eliminación de la doblenegación también falla. Después de todo, demostrar que no hay una demostración de queno puede haber una demostración de E, no es lo mismo que tener una demostración de E.El rechazo de la eliminación de la doble negación socava una importante forma dedemostración en las matemáticas clásicas conocida como reductio ad absurdum. Este estilode demostración comienza suponiendo la negación de E, luego procede a inferir unacontradicción a partir de esta suposición, concluyendo así simplemente E.12 En la lógicaintuicionista, todo esto está bien hasta el último paso. De acuerdo con el intuicionista, todolo que se ha demostrado es que E y es un paso adicional injustificado concluir E a partirde esto. Algunas otras formas clásicas de demostración son inválidas desde la perspectivaintuicionista. Éstas incluyen varias demostraciones de existencia que muestran que unobjeto debe existir pero que no producen una construcción del objeto en cuestión (e.g., la

11 El tercero excluido debe ser cuidadosamente distinguido de su contraparte semántica, la bivalencia:cualquier proposición es o verdadera o falsa.12 Véase la sección 9.1.9 para un ejemplo de una demostración como ésta en matemáticas.

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demostración del teorema de Tarski-Banach en la sección 9.1.1 no es válida desde laperspectiva intuicionista). El intuicionismo es así una filosofía de las matemáticas másradical que las otras que hemos visto hasta el momento, pues exige un cambio en lapráctica matemática. Requiere una nueva lógica, en la que muchas de las demostracionesmatemáticas tradicionales ya no son aceptadas.13

1.2. Trazando una ruta hacia temas contemporáneosLa agenda para la filosofía de las matemáticas contemporánea fue trazada por PaulBenacerraf en un par de ensayos memorables. En el primero de estos ensayos (Benacerraf1983a, originalmente publicado en 1965), Benacerraf esboza un problema desubdeterminación para el proyecto de reducir todas las matemáticas a la teoría deconjuntos. Tal subdeterminación o problemas de no-unicidad habían estado en el ambienteintelectual por cierto tiempo, pero la presentación de Benacerraf era atractiva y surelevancia para una posición popular en la filosofía de las matemáticas fue firmementeestablecida. El segundo y el tercer problema (Benacerraf 1983b, originalmente publicadoen 1973) son presentados como un reto que cualquier filosofía de las matemáticas que seacreíble debe enfrentar: (i) permitir una semántica que sea uniforme tanto para el discursomatemático como para el no-matemático, y (ii) proporcionar una epistemología razonablepara las matemáticas. Como Benacerraf mostró, es difícil satisfacer ambas partes de estereto simultáneamente. Cualquier filosofía de las matemáticas que enfrente exitosamenteuna parte del reto típicamente tiene serias dificultades para enfrentar la otra parte.

Hay dos grandes bandos en filosofía de las matemáticas y cada uno tiene un problemaserio con uno u otro de estos retos. Las filosofías realistas o platinistas de las matemáticas14

sostienen que al menos algo de las matemáticas es objetivamente verdadero y es acerca deun reino de entidades matemáticas abstractas. Se considera a las matemáticas seriamente yla semántica ahí es la misma que en cualquier parte. El realismo matemático no tieneproblemas con el primer reto de Benacerraf pero, de manera notoria, tiene serias dificultadespara proporcionar una epistemología razonable. Las posiciones antirrealistas, por otraparte, sostienen que no hay cosas tales como entidades matemáticas abstractas. Así, losantirrealistas no tienen problemas epistémicos, pero estas posiciones típicamente tienenproblema con el primero de los retos de Benacerraf.

Los tres problemas de Benacerraf, junto con unos cuantos más que encontraremos, sonlas rocas ante las que chocan muchas filosofías de las matemáticas. El reto es trazar unaruta a través de estas dificultades para llegar a una filosofía de las matemáticas creíble. Asífamiliaricémonos con los principales obstáculos.

1.2.1. Semántica uniformeLos requerimientos para una semántica uniforme son sólo que uno no debería ofrecer untratamiento semántico especial para el discurso matemático. Si un enunciado matemáticocomo ‘ 2 es irracional’ se considera verdadero, la semántica debería ser la misma que la deotras oraciones verdaderas como ‘Júpiter es un gigante gaseoso’. Este último es verdaderoen virtud de la existencia de Júpiter y del hecho de que tenga la propiedad de ser unplaneta grande compuesto principalmente de los gases hidrógeno y helio. Bajo unasemántica uniforme ‘ 2 es irracional’ es verdadero en virtud de la existencia del número 2

y del hecho de que tenga la propiedad de no ser expresable en la forma a/b, donde a y b

13 Para más sobre el intuicionismo véase Hayting (1971; 1983), Dummet (1983) y Brouwer (1983).14 Usaré los términos “platonismo” y “realismo matemático” de manera intercambiable.

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son números enteros. El requisito de proporcionar una semántica uniforme conduce muynaturalmente de la verdad de los enunciados matemáticos a la existencia de los objetosmatemáticos. El realismo matemático tiene así una respuesta muy natural a este reto. Es elantirrealista quien tiene dificultades aquí. Por ejemplo, si tu concepción es que lo que haceque ‘ 2 es irracional’ sea verdadero es algo acerca del acuerdo social a asentir a talesafirmaciones o la existencia de una demostración de la clase apropiada, entonces elrequerimiento de una semántica uniforme requiere que hagas lo mismo para la oración dearriba acerca de Júpiter. Sea ofreces una semántica divergente para todo el lenguaje, seautilizas la semántica estándar en matemáticas también. Por supuesto, puedes decidir tratara la semántica de las matemáticas de manera diferente y violar el requerimiento de unasemántica uniforme, pero entonces al menos debes una explicación de por qué lasmatemáticas requieren tal tratamiento especial.

1.2.2. El problema epistémicoEl problema epistémico es muy simple: proporcionar una explicación de cómo obtenemosconocimiento matemático. El problema fue originalmente presentado en términos de lateoría causal del conocimiento. Esta teoría sostiene que para un que agente A sepa algunaproposición P, A debe creer que P y el hecho que hace verdadera a P debe causar lacreencia de A de que P. Así construido, el reto epistémico era mostrar cómo podríareconciliarse el conocimiento matemático con la teoría causal del conocimiento. Para lasexplicaciones platonistas de las matemáticas, esto era casi imposible, pues significaríaentrar en contacto causal con entidades matemáticas: el número 7, por ejemplo, requeriríacausar mi creencia de que 7 es primo. Pero seguramente los números no tienen poderescausales. En efecto, parecería que los números son simplemente la clase errónea de cosaspara causar algo, menos aún creencias. Esto lleva a muchos a ser precavidos ante, si no arechazar categóricamente, el platonismo.

Pero hay problemas con el argumento así construido. Para comenzar, ¿por quédeberíamos aceptar la teoría causal del conocimiento? Después de todo, esta teoría fueformulada teniendo en mente el conocimiento empírico y no pretendía tratar con elconocimiento matemático. Parece una petición de principio requerir que el platinistaproporcione una explicación causal del conocimiento matemático. Si algo ha de serrechazado aquí, debería ser la teoría causal del conocimiento. En cualquier caso, la teoríacausal del conocimiento fue eventualmente desacreditada. Las razones para esto fueronvarias, pero su incapacidad para explicar el conocimiento matemático fue una de susprincipales deficiencias. Aún así, muchos parecen pensar que hay algo en el reto deBenacerraf que sobrevive al desprestigio de la teoría causal del conocimiento. H. D. Hartpresenta el punto de la siguiente manera:

[E]s un crimen contra el intelecto intentar disfrazar el problema de naturalizar la epistemología de lasmatemáticas con extravagancias filosóficas. Las preocupaciones superficiales acerca de la higieneintelectual de las teorías causales del conocimiento son irrelevantes para, y desorientadoras con respectoa, este problema, pues el problema no es tanto acerca de la causalidad como acerca de la posibilidadmisma del conocimiento natural de objetos abstractos. (Hart 1977, pp. 125-126)

¿Cuál es la inquietud acerca de los objetos abstractos? ¿Qué es lo que sugiere en losobjetos abstractos que es imposible tener conocimiento de ellos? Desde mi perspectiva, laversión post-teoría-causal-del-conocimiento más convincente de este argumento se debe aHartry Field. Él captura la esencia del argumento de Benacerraf cuando presenta el puntoen términos de explicar la confiabilidad de las creencias matemáticas (cursivas en el original):

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El reto de Benacerraf –o al menos, el reto que su ensayo me sugiere a mí– es ofrecer una explicación delos mecanismos que explican cómo nuestras creencias acerca de estas entidades remotas pueden reflejartan bien los hechos acerca de ellas. La idea es que si parece en principio imposible explicar esto, entoncestiende a socavar la creencia en entidades matemáticas, cualesquiera que fuesen las razones quepodríamos tener para creer en ellas. (Field 1989, p. 26)

Puesto de manera ligeramente distinta, el reto es explicar la confiabilidad de lasinferencias a partir de ‘los matemáticos creen que P’ (donde P es alguna proposición acercade algún(os) objeto(s) matemático(s)) hacia ‘P’, mientras se hace explícito el papel quejuegan las entidades matemáticas en este proceso confiable. Las entidades matemáticas nonecesariamente deben ser la causa de las creencias de los matemáticos, pero las entidadesmatemáticas deben ser parte de la historia. Encontrar cualquier historia razonable de estaíndole ha resultado ser el talón de Aquiles del platonismo.

1.2.3. SubdeterminaciónEl problema aquí es uno de bochorno ante la riqueza. Muchos filósofos y matemáticos seinclinan a identificar varios objetos matemáticos con alguna construcción de teoría deconjuntos u otra. Así, por ejemplo, podemos construir una contraparte de teoría deconjuntos de los números naturales que haga todo lo que queremos que hagan losnúmeros naturales. Podemos entonces identificar los números naturales con estaconstrucción de teoría de conjuntos. Si nos tomamos en serio esta identificación, podemosluego pensar que los números naturales son conjuntos. (O, de manera equivalente,afirmamos que los números naturales han sido reducidos a conjuntos.) Resulta que no haymucha matemática que no pueda construirse a partir de conjuntos. Esto lleva a algunos asugerir que todo lo que se requiere son conjuntos. Ésta es una línea de pensamiento muyseductora, pues significa que si estamos empeñados en creer en objetos matemáticos, almenos sólo necesitamos una clase de objeto matemático, a saber, conjuntos. El resto esgratuito. Esta estrategia de reducción a teoría de conjuntos es, de este modo,antológicamente más parsimoniosa que algunas de las alternativas y le brinda a lamatemática una atractiva unidad.15 El problema es, no obstante, que hay demasiadasmaneras de adoptar las construcciones de teoría de conjuntos en cuestión. Consideremos alos números naturales como ejemplo. Tenemos el conjunto de ordinales finitos de vonNeumann:16 0 = Ø; 1 = {Ø}; 2 = {Ø, {Ø}}; 3 = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}…, donde la funciónde sucesor S(x) = x {x}. También tenemos el conjunto de ordinales finitos deZermelo:17 0 = Ø; 1 = {Ø}; 2 = {{Ø}}; 3 = {{{Ø}}}…, donde la función de sucesor S(x) ={x}. Hay muchos otros modelos de teoría de conjuntos de los números naturales, peroestos dos son suficientes para presentar el problema. El problema es que si los númerosnaturales son conjuntos, debemos ser capaces de decir cuáles conjuntos son. ¿Es tres {Ø,{Ø}, {Ø, {Ø}}} o es {{{Ø}}}? Benacerraf presenta este punto narrando la historia de dosniños, Ernie (para Ernst Zermelo) y Johny (para John von Neumann), quienes aprenden

15 En efecto, ésta es una de las razones por las que los filósofos de las matemáticas tienden a concentrasetanto en la teoría de conjuntos.16 Nombrado así en honor al matemático nacido en Hungría John von Neumann (1903-1957). Éstos son númerosordinales, lo que significa que son números que representan relaciones de orden. Esto debería contrastarse conlos números cardinales, que encontraremos en el siguiente capítulo. Los últimos representan el tamaño de unconjunto. Un ejemplo de un número ordinal es el tres en “El capítulo 3 de este libro”; nos dice algo acerca de laposición del capítulo en el orden de exposición del libro. Contrástese esto con el número cardinal tres en “Lostres chiflados”; nos dice cuántos chiflados hay.17 Así nombrado en honor al matemático alemán Ernst Zermelo (1871-1953).

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aritmética básica a partir de teoría de conjuntos mediante las construcciones anteriores.Ernie aprende que los ordinales de von Neumann son los números naturales, mientrasJohny aprende que los ordinales de Zermelo son los números naturales. Cada niño se lasapaña bien con la aritmética hasta que comienzan a hacerse preguntas como: ¿es 13?Ernie responde “Sí”, mientras Johny responde “No”. El punto de Benacerraf es que si losnúmeros naturales son conjuntos, a lo sumo uno de entre Johny y Ernie está en lo correcto(podrían estar ambos equivocados –los números naturales podrían ser una construcción deteoría de conjuntos completamente distinta).

Lo interesante es que si nos confinamos a cuestiones puramente aritméticas, Ernie yJohny están de acuerdo, de modo que el hecho de que usen diferentes números naturalesno es relevante para los propósitos de contar y otros afines. Pero las dos construcciones deteoría de conjuntos son claramente distintas, y la diferencia no puede ser exhibidamediante preguntas matemáticas perfectamente atinadas. Hay algo extraño acerca de laspreguntas requeridas para exhibir las diferencias –preguntas como “¿es 13?”–, pero paraalguien que ve a los números naturales como conjuntos, tales preguntas son más naturalesde lo que podrían parecer a primera vista.

La conclusión que debe extraerse de todo esto es que, puesto que no podemos tener másde un conjunto de número naturales, los números naturales no pueden ser conjuntos enabsoluto. Un pensamiento muy natural en este punto es concentrarse en la estructura encada caso. Quizá lo más importante no son los objetos mismos, sino las relacionesestructurales entre ellos. Quizá los números naturales son cualquier cosa que tenga laclase correcta de estructura –podrían ser los ordinales finitos de von Neumann, losordinales finitos de Zermelo, ocualquier otra cosa con la estructura deseada–, conocidacomo una secuencia-ω.18 Este desplazamiento de los objetos a las estructuras tiene muchoque lo recomiende y volveremos a esta idea en el capítulo 3. Por ahora, sólo notemos quesi nuestra filosofía de las matemáticas señala que los números son conjuntos, necesitamosuna respuesta a este problema d subdeterminación de Benacerraf.

1.2.4. Otras cuestionesComo podría esperarse, hay muchos otros obstáculos en torno a los cuales debemosnavegar para llegar a una explicación filosófica convincente de las matemáticas. Algunosde ellos surgirán en los siguientes capítulos. Por ejemplo, muchos filósofos suscribenalguna versión de una doctrina conocida como naturalismo. En su forma más general, elnaturalismo es el rechazo de explicaciones “espeluznantes”, no científicas o de otro mundodistinto de cómo el mundo es. Una manera particularmente influyente de detallar esto,debida al filósofo W. V. Quine (1908-2000), es en términos de la relación entre filosofía yciencia. De acuerdo con Quine, la filosofía no es una doctrina anterior a la ciencia, ni tieneprioridad sobre la ciencia. Más bien, la filosofía es continua con la empresa científica. Élconsidera al naturalismo como el

…abandono del objetivo de una filosofía primera. Ve a la ciencia natural como una investigación de larealidad, falible y corregible pero que no tiene que responder ante ningún tribunal supracientífico, y queno requiere de ninguna justificación más allá de la observación y del método hipotético deductivo.(Quine 1981a, p. 72)

Esto impone restricciones sobre la autoridad de la filosofía. La filosofía debe considerarseriamente a la ciencia relevante y, en general, la filosofía no puede anular a la ciencia

18 Véase la sección 9.4 para un poco acerca de ω, el primer número ordinal infinito.

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sobre bases puramente filosóficas. Quine parecía sólo reconocer a la ciencia empírica, peropodríamos seguir a Penélope Maddy (1997) aquí y extender esta humildad filosófica demodo que también respetemos los métodos y resultados de las matemáticas. Sea o no quedeseemos llamar a esto “naturalismo”, parece correcto que los filósofos no deban serprecipitados al criticar la metodología y los resultados matemáticos sobre bases filosóficas.Esto no equivale a sugerir que la filosofía no tenga un papel en la comprensión de lasmatemáticas, y que los filósofos deban meramente secundar los pronunciamientos de losmatemáticos. La filosofía tiene un papel aquí, pero es uno sutil, que involucra un seriocompromiso con las matemáticas y la ciencia relevantes. La cuestión del naturalismo y elrespeto por la metodología matemática son temas recurrentes en del resto de este libro.

Otra restricción sobre la buena filosofía de las matemáticas es que requiereproporcionar una explicación de las matemáticas en sus aplicaciones. Después de todo, silas matemáticas son un juego similar al ajedrez, como los formalistas de juegos sugieren,¿por qué se exigen tantas matemáticas en las formulaciones e interrogaciones de las teoríascientíficas? Esta línea de pensamiento ha sido desarrollada en un argumento a favor delrealismo matemático. En su versión moderna, el argumento se debe a W. V. Quine (1953)y a Hilary Putnam (1971). Este argumento de indispensabilidad será considerado conalgún detalle en el capítulo 3 junto con algunas respuestas antirrealistas a él en el capítulo4. Pero hay otras cuestiones involucradas en proporcionar una explicación completa de lasmatemáticas en sus aplicaciones –el realismo matemático no es la respuesta a todos losproblemas filosóficos concernientes a las matemáticas en sus aplicaciones. Consideraremosalgunos asuntos adicionales en los capítulos subsecuentes. En el capítulo 5 consideraremosel papel que las matemáticas desempeñan tanto en las explicaciones científicas como en lasmatemáticas y en el capítulo 6 consideraremos la cuestión de si hay algo poco razonable ymisteriosos acerca de la aplicabilidad de las matemáticas.

Finalmente, un par de temas que no encuentran usualmente en la agenda ortodoxa dela filosofía de las matemáticas: las matemáticas inconsistentes y la notación matemática.Ambos temas tienen sus raíces en posiciones previas. Recuérdese que la demostración deRussell de una inconsistencia en el programa logicista de Frege dio origen a la búsquedade una teoría de conjuntos consistente para reemplazar a la teoría de conjuntosinconsistente e ingenua y asegurar un fundamento seguro (y consistente) para lasmatemáticas. Pero el hecho de que las matemáticas no “cayeran a la lona” tan pronto comose encontró la contradicción es intrigante y provoca varias preguntas acerca del éxito y loslímites de las matemáticas inconsistentes. Tratamos algunas de estas preguntas en elcapítulo 7. Las cuestiones asociadas a la notación matemática se remontan a uno de losgrandes -ismos –esta vez, al formalismo. Como hemos visto, y para su gran crédito, elformalismo trató a la notación matemática con mucha seriedad. Pero puesto que elformalismo perdió apoyo, las cuestiones asociadas con la notación y la representaciónmatemática en general, fueron puestas al margen. Esto me parece un craso error, y elcapítulo 8 es un alegato para poner a la notación matemática de vuelta en la agenda.

1.3. Planes para el viaje1.3.1. Para el estudianteLa filosofía de las matemáticas, cuando se hace bien, debería llevarte a través de ciertoterreno matemático fascinante. La filosofía de las matemáticas es también interesante porderecho propio y se conecta con cuestiones importantes en otras partes de la filosofía. Perolo que realmente la distingue son las matemáticas. Con el propósito de mantener lasmatemáticas simples, y los temas accesibles para una amplia audiencia, muchos tratamientos

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de la filosofía de las matemáticas se centran en enunciados aritméticos simples y pedestrescomo 7+5=12, incluyendo quizá un poco de teoría de conjuntos. Eso es un poco similar aintentar hacer que un viaje a Europa sea simple sólo visitando Glasgow. Sin importar cuáninteresante se Glasgow, no es representativo de toda Europa. Viajar puede resultarinconveniente, agotador, y en ocasiones un trabajo difícil, pero las recompensas sonenormes. Si quieres ver y aprender acerca de Europa, debes hacer el trabajo y llevar tuaventura más allá de Glasgow. ¡Al demonio con lo pedestre, vive en forma audaz!

Sugiero la misma política para la filosofía de las matemáticas. Las matemáticas son uncampo espléndido e interesante, como filósofo no sólo no les harías justicia si te concentrasen enunciados numéricos pedestres y en la teoría de conjuntos básica. Aventurarse más allá deesto, hacia la teoría de números, los análisis real y complejo, la topología, las ecuacionesdiferenciales y el álgebra moderna, requiere trabajo, pero la paga es una filosofía de lasmatemáticas más equilibrada y una experiencia mucho más fascinante. Te familiarizarás conalgunos resultados matemáticos extraordinarios –algunos de los cuales se encuentran entrelos logros más grandes de la humanidad. Definitivamente vale el esfuerzo.

Por supuesto, en un libro como éste no puedo ofrecer un tratamiento completo yapropiado de todos los temas matemáticos que me gustaría cubrir. Trato de esbozar lobásico de algunos de los resultados matemáticos filosóficamente más interesantes entérminos un estudiante entusiasta de filosofía encontraría accesibles. Pero éste no es untexto de matemáticas, de modo que ocasionalmente requeriré eludir los detalles. En talescasos aliento al estudiante a investigar los detalles de manera independiente. En efecto,todas las matemáticas cubiertas en este libro merecer una investigación más profunda de laque ofrezco aquí. En breve, intento dirigir el curso hacia algunas matemáticas filosóficamenteinteresantes de tal manera que no presuponga demasiado conocimiento previo por partedel lector, pero también que no “caricaturice” demasiado a las matemáticas. Asumo quecualquier interesado en la filosofía de las matemáticas está familiarizado con al menosmatemáticas de bachillerato y quizá tiene un curso de lógica introductoria en su haber.Pero cualquiera, con ayuda de un buen diccionario de matemáticas o algún libro dereferencia, debería ser capaz de seguir las matemáticas requeridas en este texto. Enalgunas ocasiones un pequeño viaje periférico al interior de las matemáticas serárequerido, pero eso es lo que uno esperaría. En efecto, espero que este libro haga surgirmuchos de tales viajes periféricos al interior del material matemático en cuestión.

1.3.2. Para el instructorHay, por supuesto, temas en la filosofía de las matemáticas que no se tocan en este libro, yotros que apenas se mencionan. Para empezar, hay muy poco acerca de la historia de lafilosofía de las matemáticas y de los grandes movimientos en la primera mitad del siglo XX.Este material ya se ha cubierto en varios lugares muy accesibles. No tengo nada queañadir a lo que ya se ha dicho (muchas veces) en otros lugares. Mi objetivo en este libro esponer al día a los estudiantes con la escena en la filosofía de las matemáticas contemporánea,y en un par de lugares introducirlos a algunos temas poco explorados. Pero incluso al limitarmi atención a la escena contemporánea, he tenido que hacer elecciones acerca de qué cubrir.Desafortunadamente, algunos temas han sido relegados a meras menciones de pasada yalgunos han sido omitidos por completo. Esto no equivale a sugerir que los temas que hansufrido dicho recorte no sean importantes. Es sólo que no puedo hacer justicia a todos losasuntos que reciben atención en la actualidad por parte de la filosofía de las matemáticascontemporánea, de modo que seleccioné algunos de mis favoritos y seguí adelante con ellos.

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Ocasionalmente los estudiantes son invitados a considerar algunos temas desatendidos através de la discusión de preguntas al final de cada capítulo.

He optado por tratamientos relativamente detallados de los temas cubiertos, de modoque los estudiantes puedan hincarle el diente al menos a algunas de las cuestiones quecapturan la atención de los filósofos de las matemáticas contemporáneos. Una alternativahabría sido optar por la amplitud, intentando decir alfo acerca de los tema más importantes.Tales panoramas pueden encontrarse y ciertamente ocupan un lugar importante en laenseñanza. Pero por mis recursos, he preferido entrar en los detalles de un tema en vez derevisar demasiados temas. Esto le permite al estudiante hacer filosofía, en vez demeramente aprender acerca de ella. Por ejemplo, en el capítulo sobre el nominalismo(capítulo 4) me centro sólo en tres estrategias: el ficcionalismo de Hartry Field y lasestrategias nominalistas de Jody Azouni y Stepehn Yablo. Aunque creo éstas son tres delas estrategias nominalistas más importantes en circulación, hay muchas otras estrategiasque merecen atención. Mi razonamiento aquí es que si el estudiante se familiarizasuficientemente con estas tres, no tendrán dificultad en seguir las otras estrategiasnominalistas. Mientras que, si hubiésemos tomado una aproximación de una revisiónpanorámica, no estoy convencido de que el estudiante adquiriera las habilidades yconocimientos necesarios para involucrarse con cualquiera de las posiciones en cuestión.En cualquier caso, ése es el razonamiento tras mi elección de los temas y mi decisión dedar un tratamiento meramente de transición a algunos de ellos. Si algunas omisiones leparecen demasiado, debería ser sencillo presentar material suplementario en los momentosrelevantes del curso. De hecho, algunas de las sugerencias de lectura al final de cadacapítulo pretender ser tales puntos de partida.

Incluyo un epílogo, que presenta varios resultados matemáticos, preguntas pendientesy números interesantes –todo en forma de lista. Algo de este material es cubierto en otraspartes del libro pero algo de él no. Desde mi perspectiva, los filósofos de las matemáticasen ciernes harían bien en familiarizarse con las matemáticas presentadas en el epílogo eindico ahí por qué. Este capítulo podría ser leído al final de un curso de filosofía de lasmatemáticas como revisión del material filosófico, mientras se extiende el rango deejemplos matemáticos cubiertos. Podría también integrado en el curso, y, por supuesto, elinstructor es libre de seleccionar ejemplos de mis listas y añadir los propios, como lo veaconveniente. Algunos de los ejemplos en mis listas podrían ser seleccionados para cubrirsecon mayor detalle elaborando las matemáticas relevantes y las cuestiones filosóficas a lasque dan lugar.

Preguntas para discusión1. ¿Cuáles son los objetos primarios de estudio de las matemáticas?2. ¿Por qué podría tener problemas el formalismo para explicar las matemáticas en sus

aplicaciones?3. ¿Qué significa decir que las matemáticas son lógica? Explica las similitudes y

diferencias que consideras que existen entre la lógica y las matemáticas.4. ¿Estás de acuerdo en que la ley del tercero excluido falla para los futuros contingentes?5. De acuerdo con los intuicionistas, un teorema matemático es verdadero sólo de que

haya una demostración intuicionista aceptable del teorema en cuestión. ¿Significa estoque los teoremas pueden cambiar con el tiempo? ¿Qué tan razonable es esto?

6. ¿Por qué podría ser diferente la semántica de las matemáticas de la semántica del restodel lenguaje?

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7. ¿Puedes pensar en otros ejemplos, además de las matemáticas, en los que tengamosconocimiento de alguna proposición P, que no se deriva del contacto causal con aquelloque hace verdadera a P?

8. ¿Podríamos resolver el problema de la subdeterminación de Benacerraf insistiendo enque una construcción de teoría de conjuntos de los números naturales es la correcta?¿Puedes pensar en algunas construcciones que sean buenos candidatos?

Lecturas adicionales recomendadasPara lecturas adicionales sobre el formalismo véase von Neumann (1983) y Weir (2011).Un par de buenos panoramas de los programas logicista y neologicista pueden verse enMacBride (2003) y Zalta (2010). Para más sobre el intuicionismo, véase Brouwer (1983),Dummett (1983), y Heyting (1983). Para una buena presentación de la lógica intuicionistavéase Priest (2008). Los ensayos clásicos de Benacerraf son (1983a) y (1983b). Estos dosson lecturas esenciales.

Benacerraf, P. 1983a. ‘What Numbers Could Not Be’, in P. Benacerraf and H. Putnam(eds.), The Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition, Cambridge:Cambridge University Press, pp. 272-294.

Benacerraf, P. 1983b. ‘Mathematical Truth’, in P. Benacerraf and . Putnam (eds.), ThePhilosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition, Cambridge: CambridgeUniversity Press, pp. 403-420.

Brouwer, L. E. J. 1983. ‘Intuitionism and Formalism’, in P. Benacerraf and H. Putnam(eds.) The Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition, Cambridge:Cambridge University Press, 77-89.

Dummett, M. 1983. ‘The Philosophical Basis of Intuitionism’, in P. Benacerraf and H.Putnam (eds.) The Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition,Cambridge: Cambridge University Press, 97-129.

Heyting, A. 1983. ‘The Intuitionist Foundations of Mathematics’, in P. Benacerraf and H.Putnam (eds.) The Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition,Cambridge: Cambridge University Press, 52-60.

von Neumann, J. 1983. ‘The Formalist Foundations of Mathematics’, in P. Benacerraf andH. Putnam (eds.) The Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition,Cambridge: Cambridge University Press, 61-65.

MacBride, F. 2003. ‘Speaking with Shadows: A Study of Neo-Logicism’, British Journal forthe Philosophy of Science, 54: 103-163.

Priest, G. 2008. An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is, second edition,Cambridge: Cambridge University Press, chapter 6.

Weir, A. 2011. ‘Formalism in the Philosophy of Mathematics’, E. N. Zalta (ed.), TheStanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2011 Edition),http://plato.stanford.edu/archives/spr2011/entries/formalism-mathematics/

Zalta, E. N. 2010. ‘Frege’s Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic’, E. N. Zalta(ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2010 Edition),http://plato.stanford.edu/archives/fall2010/entries/frege-logic/

Fuentes generales útilesAhora algunas fuentes generales útiles a las que puede ser conveniente tener acceso paracualquier curso sobre la filosofía de las matemáticas. Primero, unos cuantos buenospanoramas de la filosofía de las matemáticas. Brown (2008) es una excelente introducción

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a la materia, con un enfoque contemporáneo. Bostock (2009) y George y Velleman (2002)son introducciones orientadas históricamente. Friend (2007) y Shapiro (2000) presentanbuenas combinaciones de asuntos históricos y contemporáneos. Hay varias colecciones deensayos clave sobre la filosofía de las matemáticas. Éstas serán útiles para completar elmaterial en este texto con algunas de las fuentes primarias. Benacerraf y Putnam (1983)es una colección clásica. Es un poco obsoleta, pero la mayoría de los ensayos son aúnlecturas centrales, especialmente para los temas de la filosofía de las matemáticastradicional. Bueno y Linnebo (2009) es una colección de ensayos interesante con un énfasisen las áreas de investigación recientes y la que están transformándose en filosofía de lasmatemáticas. Hart (1996) es una colección breve y económica con muchos de los ensayosclásicos. Jacquette (2001) es una colección de ensayos organizados de acuerdo a unamezcla de temas tradicionales y contemporáneos. Leng, Paseau y Potter (2007) es unabuena colección de ensayos sobre epistemología matemática, por filósofos de lasmatemáticas, matemáticos y psicólogos. Mancosu (2008) es una buena colección deensayos sobre un tema de gran interés contemporáneo. Shapiro (2005) es una excelentecolección de nuevos ensayos que resumen los desarrollos más recientes en la mayoría delas áreas más importantes de filosofía de las matemáticas, pasadas y presentes. Tymoczko(1998) es una colección interesante de ensayos que cubren algunos temas menos-comúnmente-explorados. Algunos estudiantes podrían estar interesados en investigaralgo de la historia de las matemáticas que encontraremos. Unas cuantas buenas fuentesestán aquí: Grattan-Guiness (2003; 2007) y Kline (1972). Una buena introducción a losmétodos matemáticos es Courant y Robbins (1978). Finalmente, un par de buenas obrasmatemáticas de referencia. Éstas pueden ser útiles para llenar las lagunas en elconocimiento matemático básico de los estudiantes y para investigar algunas de lasmatemáticas con mayor profundidad. Borowski y Borwein (2002) es un buen diccionariode matemáticas para propósitos generales. Gowers (2008) es una excelente obra dereferencia general sobre las matemáticas.

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Capítulo 2Los límites de las matemáticas

“Uno de los aspectos incesantemente seductores delas matemáticas es que sus más espinosas paradojastienen una manera de florecer en bellas teorías.”

Philip J. Davies (1923- )

La mayoría de las matemáticas se ocupan de demostrar teoremas, desarrollar nuevasteorías matemáticas y encontrar axiomas para las teorías. Pero hay muchas preguntasimportantes acerca de las teorías matemáticas mismas. Por ejemplo, sería bueno saber siuna teoría matemática particular es consistente. Esto es, nos gustaría ser capaces dedemostrar si la teoría matemática en cuestión no producirá una contradicción, como lohizo la teoría de conjuntos ingenua. También nos gustaría saber si una teoría matemáticaes capaz de responder cualquier pregunta que le formulemos. Esto es, nos gustaría sercapaces de mostrar que para cualquier enunciado matemático de la teoría, sea podemosdemostrarlo o demostrar su negación. Esto se denomina completitud. El estudio de talespreguntas de orden superior acerca de las matemáticas es conocido como metamatemáticasy puede ser pensado como el estudio matemático de las matemáticas. No es sorpresa queesta área de las matemáticas sea de gran interés para los filósofos, especialmente a la luz devarios resultados clave que ponen limitaciones sobre lo que pueden hacer las matemáticas.Estos resultados son intrigantes (y a menudo sorprendentes) por derecho propio, perotambién se supone que tienen consecuencias para la filosofía de las matemáticas y más allá–para áreas como la filosofía de la mente y la metafísica. En este capítulo consideramosalgunos de esos resultados y discutimos su importancia para la filosofía.

2.1. El teorema Löwenheim-Skolem2.1.1. AntecedentesEl primer resultado limitante que examinaremos proviene de la teoría de conjuntos y esconocido como el teorema Löwenheim-Skolem. Para comprender la importancia de esteteorema primero tenemos que ver la obra e uno de los grandes matemáticos del siglo XIX,el alemán nacido en Rusia Georg Cantor (1845-1918). Cantor realizó trabajo pionero enteoría de conjuntos, con su resultado más celebrado concerniente a la cardinalidad de losconjuntos. Al considerar conjuntos finitos, la noción de cardinalidad es bastante directa: lacardinalidad de un conjunto es el número de elementos en el conjunto, y aquí podemossimplemente contar los elementos. Dos conjuntos finitos tienen la misma cardinalidad si ysólo si (syss) tienen el mismo número de elementos, de lo contrario uno es más grande queel otro. Pero cuando tenemos dos conjuntos infinitos, las cosas se ponen más interesantes.Considérese alguno de los bien conocidos sistemas infinitos de números. Intuitivamente,

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hay más enteros que números naturales; hay más números racionales que enteros; hay másnúmeros reales que números racionales y hay más números complejos que números reales.Pero, ¿cómo contamos los números en cuestión, dado que en todos los casos hay unacantidad infinita de ellos? ¿Cómo obtenemos la cardinalidad de conjuntos infinitos?¿Debemos admitir que todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño y abandonarlas intuiciones anteriores?

Cantor nos dio una manera muy útil de avanzar: propuso que dos conjuntos tienen lamisma cardinalidad syss los miembros de un conjunto pueden ser ubicados en unacorrespondencia uno-a-uno con los miembros el otro. Esto es claramente correcto para losconjuntos finitos, incluso parece trivial. La idea es que cuando tenemos un auditorio en elque nadie está parado y no hay lugares vacantes, podemos establecer que el número depersonas es el mismo que el número de asientos –no hacemos esto contando a las personasy contando los asientos y notando que tienen la misma cardinalidad. Más bien, notamos lacorrespondencia uno-a-uno entre asientos y personas, y explotamos esa correspondencia.19

Baste eso para el caso finito. En el caso infinito, la definición de Cantor de “mismacardinalidad” es cualquier cosa menos trivial.

Resulta que podemos poner a los números naturales y a los enteros en unacorrespondencia uno-a-uno siguiendo el siguiente truco: contemos a los enteros comosigue, 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,… Este mapeo y la definición de Cantor establecen(sorprendentemente) que la cardinalidad de los enteros y de los números naturales es lamisma, a pesar del hecho de que los números naturales forman un subconjunto propio delos enteros. Trucos similares pueden ser empleados para mostrar que los númerosracionales pueden ser ubicados en una correspondencia uno-a-uno con los númerosnaturales. Los números naturales, los enteros y los números racionales tienen todos lamisma cardinalidad, designada 0א y se dice que son contables.20 0א es el número cardinalinfinito más pequeño. Vemos que ser un subconjunto propio no implica una menorcardinalidad –eso sólo está garantizado para los conjuntos finitos. Esto ya conduce aalgunos resultados enigmáticos, como el hotel de Hilbert. Éste es un hotel con unacantidad infinita de habitaciones y cada una de ellas ocupada. Pero cuando llega un nuevohuésped, no se requiere rechazarlo debido a que el hotel está lleno. Sólo hace falta unasimple reorganización de los huéspedes, de modo que el huésped de la habitación 1 pase ala 2, el de la habitación 2 pase a la 3 y así sucesivamente. Esta serie de movimientosacomoda a todos los huéspedes existentes y deja una habitación vacante para el reciénllegado. Esto es extraño pero no paradójico. Es sólo una de las peculiaridades de losconjuntos infinitos –peculiaridades que van contra nuestras experiencias e intuicioneshabituales, formadas por la consideración de casos finitos.

A continuación introducimos la noción de conjunto potencia. El conjunto potencia, P(A),de un conjunto A es el conjunto de todos los subconjuntos de A. Por ejemplo, el conjunto B ={0, 1, 2} tiene los siguientes subconjuntos: Ø (el conjunto vacío), {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2},

19 Otra aplicación relacionada de la correspondencia uno-a-uno es en el principio del palomar o el principiode la caja de Dirichlet. Este principio nos dice que si tenemos m objetos y n lugares para colocarlos, si m > nentonces al menos una caja contendrá más de un objeto. Fue denominado a partir del matemático francés J.P. G. L. Dirichlet (1805-1859). A pesar de que suena trivial, este principio tiene varias aplicaciones notriviales. Pero para dar una plaicación trivial, nos dice que si tienes más de 7 amigos, al menos dos de tusamigos nacieron el mismo día de la semana.20 Se dice que un conjunto es contable (o numerable) si su cardinalidad es finita o esto es, el conjunto en ,0אcuestión puede ser ubicado en una correspondencia uno-a-uno con algún subconjunto de los númerosnaturales. Obviamente un conjunto infinito contable tiene cardinalidad .0א

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{1, 2}, {0, 1, 2}. El conjunto potencia es así P(B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2},{0, 1, 2}}. Nótese que la cardinalidad de P(B) (designada con │P(B)│) es mayor que lacardinalidad de B. La primera tiene 8 elementos mientras la última tiene 3 elementos. Esto,resulta, es muy importante. Y nótese que │P(B)│= 2│B│. Esto también es importante.

Ahora obtenemos el celebrado teorema de Cantor. Este teorema nos dice que lacardinalidad del conjunto potencia de un conjunto es estrictamente mayor que lacardinalidad del conjunto original. La demostración es bastante directa y será instructivorevisarla.

Teorema 1 (Cantor). Para cualquier conjunto A, │P(A)│> │A│.

Demostración. Si A = Ø entonces su cardinalidad │(A)│= 0 y │P(A)│= 1. De modo que supongamos que A esno vacío. Puesto que hay conjuntos unitarios {a} para los cuales cualquier aA, │P(A)│≥ │A│. Ahorasupongamos que │P(A)│= │A│. Esto es, hay una función 1-1 f : │A│ │P(A)│. Sea z = { aA : af(a)}P(A). Así, puesto que f es 1-1, existe un wA tal que f(w) = z. Pero w f(w) syss w z syss w f(w), ytenemos una contradicción. No hay un f tal y │P(A)│> │A│. □

Nótese que no hay nada en la demostración que presuponga algo acerca de la cardinalidadde A. En particular, cuando A es un conjunto infinito encontramos que el conjuntopotencia de A es un conjunto infinito más grande. De modo que, por ejemplo, lacardinalidad del conjunto potencia de los números naturales es mayor que la cardinalidadde los números naturales. En efecto, puede mostrarse que la cardinalidad de un conjuntopotencia de algún conjunto A es 2│A│, como lo ilustró el ejemplo en el párrafo anterior. Elresultado del teorema de Cantor es que hay conjuntos incontables (o no numerables).Éstos no pueden ponerse en una correspondencia 1-1 con los números naturales. Talesconjuntos tienen una cardinalidad mayor que En efecto, al tomar conjuntos potencia de .0אconjuntos potencia de un conjunto infinito inicial, podemos generar una cantidad infinitade conjuntos infinitos, cada uno de los cuales es estrictamente mayor en cardinalidad quesu predecesor. Volviendo a nuestro ejemplo de los varios sistemas numéricos,encontramos que, aunque los números naturales, los enteros y los números racionalestienen la misma cardinalidad, el conjunto de los números reales tiene una cardinalidadmayor que éstos. Los números reales son incontables y puede mostrarse que tienen unacardinalidad de 20א. Los números complejos también tienen ésta como su cardinalidad, talcomo la tiene Rn (un espacio real n-dimensional) para cualquier finito n.

El teorema de Cantor es un resultado fascinante por derecho propio, que establece quesi hay un conjunto infinito, hay infinitos más y más grandes, y aparentemente no hay finen el tamaño de estos infinitos. Éstas fueron noticias perturbadoras en la época en la queCantor trabajaba. Promovieron que algunos se abstuvieran por completo de los infinitos.Pero dejemos a un lado tales respuestas radicales al teorema de Cantor. Para los objetivosactuales, lo que es importante es que el teorema de Cantor establece la existencia econjuntos no numerables. En efecto, es un teorema de la teoría de conjuntos que hay talesconjuntos. Esto nos lleva al teorema Löwenheim-Skolem y a la paradoja que se le asocia.

2.1.2. La paradoja de SkolemEn 1915, el matemático alemán Leopold Lowenheim (1878-1957) demostró un resultadosorprendente. Demostró que si una oración de primer orden tiene un modelo, entonces

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tiene un modelo contable.21 En 1922 el matemático noruego Thoralf Skolem (1887-1963)generalizó este resultado a los sistemas de oraciones de primer orden.22 Lo que essorprendente acerca de estos resultados es que parecen ir en contra del teorema de Cantor.El teorema de Löwenheim-Skölem parece decirnos que no necesitamos considerar infinitosmás allá de los contables. En particular, parece decirnos que hay modelos contables de losnúmeros reales y de la teoría de conjuntos misma. Este conflicto aparente entre el teoremade Cantor y el teorema de Löwenheim-Skolem llegó a conocerse como la paradoja de Skolem.

El problema puede ser replanteado en términos de la no unicidad de los dominios encuestión. Se dice que un conjunto de axiomas es categórico si todos los modelos de losaxiomas en cuestión son isomórficos. Por ejemplo, considérese un ejercicio de lógicaelemental para encontrar un modelo de la oración de Dean Martin: “Todos aman alguien”(Everybody loves somebody): yAxyx . Esto tiene modelos de todas las cardinalidadesfinitas así como un modelo infinito contable. Por ejemplo, un modelo de un trágicotriángulo amoroso tiene un dominio de tres objetos: {1, 2, 3} y la extensión de A = {(1, 2),(2, 3), (3, 1)}. Esto es, tenemos a 1 amando a 2, a 2 amando a 3 y a 3 amando a 1. Unmodelo infinito tienen un dominio N, con la extensión de A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5),…}.De este modo, yAxyx , si se considera una teoría de un solo axioma, no es categórica: elmodelo de cardinalidad 3 no es isomórfico con el modelo de cardinalidad Pero, por .0אsupuesto no hay problema aquí; no hay razón para esperar que tal sistema de un axiomasea categórico en primer lugar.

Los axiomas para estructuras matemáticas familiares, sin embargo, son distintos; sesupone que tales axiomas capturan todo lo que es importante acerca de las estructurasmatemáticas en cuestión. Pero lo que nos dice el teorema Löwenheim-Skolem es quecualquier formulación de primer orden de nuestras estructuras matemáticas permitirámodelos no isomórficos, si es que tiene modelos en absoluto. Se reconoce fácilmente quealgunos de estos modelos (e.g., un modelo contable de los números reales) no sonintencionados, pero aún así son modelos (en algún sentido, legítimos) de los axiomas encuestión. Cuál es el modelo intencionado no es resuelto por la formulación matemática porsí sola; nuestras formulaciones de primer orden no son categóricas.

A pesar de la apariencia de paradoja aquí, no hay de hecho paradoja. La soluciónampliamente aceptada a la aparente paradoja es que aunque bajo algunas interpretacionesde los términos matemáticos en cuestión (pertenencia a un conjunto, sucesor, subconjunto yotros similares), habrá modelos incontables, bajo distintas interpretaciones de los términosen cuestión, habrá modelos contables. Lo que es crucial es la falla de la teoría de fijarabsolutamente la referencia de los términos matemáticos. Los sistemas axiomáticos talescomo aquellos bajo consideración dieron lugar a una clase de relatividad. Pero con estarelatividad en su lugar, encontramos que la supuesta paradoja resulta de un equívoco: sesupone que concluyamos que la teoría matemática en cuestión tiene tanto modeloscontables como incontables bajo la misma interpretación de los términos matemáticos en

21 Un modelo de un conjunto de oraciones es una interpretación de las oraciones en cuestión, de acuerdo a lacual todas son verdaderas. La interpretación consta de un dominio sobre el cual tiene alcance loscuantificadores, y una función que asigna extensiones a los nombres y predicados en la oración en cuestión.Puede pensarse en un modelo como una construcción de teoría de conjuntos o un sistema de oraciones encuestión y la cardinalidad del modelo es sólo la cardinalidad del dominio sobre el cual tienen alcance loscuantificadores. Se ofrece un ejemplo sencillo bajo los modelos de la oración de Dean Martin.22 Éste es el denominado teorema descendente de Löwenheim-Skolem. También hay un teorema ascendente deLöwenheim-Skolem que establece que si un sistema de oraciones de primer orden tiene un modelo, tienemodelos de cardinalidades más elevadas.

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cuestión. Pero eso es un error. Lo que tenemos es un resultado sorprendente que ponelímites a lo que podemos esperar de nuestras teorías matemáticas axiomáticas. Peroalgunos han sugerido que la clase de relatividad que uno requiere adoptar para escapar alas aparentes dificultades presentadas por el teorema Löwenheim-Skolem tieneconsecuencias filosóficas más amplias. Hilary Putman (1926- ) argumenta que el teoremaLöwenheim-Skolem socava el realismo de sentido común, no sólo acerca de lasmatemáticas sino también en otras partes (Putnam, 1980). La idea, muy burdamente, esque si fuésemos a formular nuestras mejores teorías científicas en un lenguaje de primerorden, encontraríamos la misma relatividad. Encontraríamos que no hay hechos relevantesacerca de la referencia de nuestros términos teóricos. Además, la indeterminación encuestión socava cualquier confianza que tengamos en la ontología de nuestras teoríasfísicas e incluso de sentido común. Esto, en cambio, nos invita a volvernos hacia el anti-realismo. No es sorprendente que el argumento de Putnam haya sido muy influyente enmetafísica y amenaza con socavar posiciones realistas de sentido común acerca de lasteorías científicas.