Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Números Reales.

Lo primero que hemos hecho en este primer curso de bachillerato, es repasar lo

visto en cursos anteriores, para resolver cualquier duda que pudiésemos tener,

y asentar bien la base, para seguir avanzando. Lo primero que debemos llevar

bien asentado, es la clasificación de los números reales, las propiedades de las

potencias, los números irracionales, y las operaciones con números reales e

irracionales. A lo largo de este repaso, iremos viendo cómo se escribe en

matemáticas un intervalo de la recta real, así como otras distintas formas vistas

durante cursos pasados.

Recordemos, como se obtenía la fracción generatriz, de un número decimal

exacto, y de un número decimal periódico, tanto puro, como mixto:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Para que repases esto, practica con estos ejercicios:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Conviene recordar también las potencias. Recordemos que una potencia no es

más que una forma abreviada de expresar el producto de un número repetidas

veces por sí mismo. Al número que se multiplica por sí mismo, le llamamos:

base, y al número de veces que se repite: exponente.

Y las potencias, tenían unas propiedades, que son:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Como hemos recordado al principio, el conjunto de los números, empieza por

el más pequeño de ellos, los naturales, aumenta al de los enteros, al que le

siguen los racionales, es decir, las fracciones:

{

}

Los números racionales, engloban a los naturales, los enteros, y los decimales

exactos y periódicos:

Una fracción es una división sin hacer, y dos fracciones son

equivalentes, si al hacer la división, obtenemos el mismo resultado. Para

comprobar si dos fracciones son equivalentes, sin tener que realizar la

división, basta con comprobar si el producto cruzado da el mismo resultado.

Para operar con ellos, sólo hay que tener cuidado al sumarlas o

restarlas, pues hay que pasarlas a fracciones equivalentes con el mismo

denominador, y sumar o restar los numeradores. Para multiplicarlas, se hace

en línea y se dividen multiplicando en cruz.

Para terminar y construir todos los números reales, nos faltan los

irracionales, es decir, los números que no pueden ser expresados en forma de

fracción. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se

repiten de forma periódica. Existen infinitos números irracionales, algunos de

los cuales son:

√ √ √ √

√ .

Números conocidos desde la antigüedad:

√

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Con esto, formamos los números Reales, los cuales están formados por

los racionales e irracionales, y se representan por .

Recordemos las propiedades de las operaciones de los números reales:

En cuanto a la relación de orden, (el dichoso menor/mayor, que aparecerá en

las inecuaciones) recordemos que:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Las dos últimas propiedades, las del producto, nos recuerdan que en una

desigualdad, si multiplicamos o dividimos por un número negativo, hay que

cambiar el signo de la desigualdad.

Por último, antes de pasar a las potencias de exponente fraccionario (los

radicales) vamos a recordar los intervalos. Un intervalo es un conjunto de

números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una

semirrecta de la recta real:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Radicales:

Todo número radical, se puede expresar en forma de potencia de exponente

fraccionario, de la siguiente forma:

√

Con esta forma de expresar los números radicales, a la hora de tener que

multiplicar o dividir números radicales, será más sencillo, pues bastará con

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

pasarlos a forma de potencia, y aplicar las conocidas propiedades de las

potencias.

Recordemos que dos radicales son equivalentes cuando, al expresarlos en

forma de potencia con exponente fraccionario, sus bases son iguales y las

fracciones de sus exponentes son equivalentes.

Con esto, pasemos a recordar cómo se opera con los números radicales:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Para terminar, repasemos la racionalización, es decir, transformar fracciones

que tienen radicales en el denominador, en otra fracción equivalente que no

los tenga.