colegio portocarrero. departamento de matemáticas. · 2015-11-09 · colegio portocarrero....

Colegio Portocarrero.

Departamento de matemáticas.

Álgebra, análisis y probabilidad

(ejercicios 1, 2 y 3 de selectividad)

(con solución)

Problema 1:

Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equilibrada y un dado equilibrado. Se pide: a) Describe el espacio muestral de este experimento. b) Determina la probabilidad del suceso: “obtener una cara en la moneda y un número par en el dado”.

Problema 2:

Resuelve las siguientes cuestiones

a) Representa gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

x ≥ 3(y – 3); 2x + 3y ≤ 36; x ≤ 15; x ≥ 0; y ≥ 0

b) Calcula los vértices del recinto. c) Obtén el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indica dónde se alcanza.

Problema 3:

Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida por

g(x) = x3 – 3x

2 + 7. Con los datos anteriores haz un esbozo de la gráfica.

Problema 4:

Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:

a) ¿Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? Justifica que es máximo. b) ¿Puede esta empresa tener pérdidas algún año? ¿Por qué?

Problema 5:

Sean A y B dos matrices de tamaño 2 x 2. ¿Es cierta la igualdad (A + B)(A – B) = A2 – B

2?

Pruébalo si es cierto o busca un contraejemplo si es falso.

Problema 6:

Calcula y simplifica la derivada de la función



Problema 7:

Se considera la función . Calcula sus asíntotas.

Problema 8:

Una fábrica tiene tres cadenas de producción, A, B y C. La cadena A fabrica el 50 % del total de los coches producidos; la B, el 30 %, y la C, el resto. La probabilidad de que un coche resulte defectuoso es: en la cadena A, 1/2, en la B, 1/4, y en la C, 1/6. Calcule razonadamente: a) La probabilidad de que un coche sea defectuoso y haya sido fabricado por la cadena A.

b) La probabilidad de que un coche sea defectuoso. c) Si un coche no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la cadena C?

Problema 9:

Una papeleria quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

Problema 10:

Sea la función

Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, así como sus máximos y mínimos.

Problema 11:

Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. a) ¿Qué medidas debe tener la caja?

b) ¿Qué volumen tendrá?

Problema 12:

¿Es posible que una matriz de tamaño 3 x 2 coincida con su traspuesta? ¿Y con su inversa?

Problema 13:

Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción (en miles de euros) vienen dados por:



¿Es continua esta función? ¿Es derivable?

Problema 14:

Resuelve las siguientes cuestiones

a) Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en x = –1

b) Estudia la continuidad de la función anterior en el caso a = 0

Problema 15:

De un estudio sobre accidentes de tráfico de dedujeron los siguientes datos: En el 23 % de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65 % no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 30 % de los casos se cumplían ambas normas, es decir, llevaban puesto el cinturón y respetaban los límites de velocidad. a) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las dos normas. b) Razona si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y “respetar los límites de velocidad”.

Problema 16:

En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad de producto de A produce un beneficio de 25 euros y cada unidad de B produce un beneficio de 20 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir.

Problema 17:

Se considera la función

Calcula sus asíntotas y el dominio de definición de la función. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la función f(x)

Problema 18:



La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (– 3, 0) y (3, 0). A partir de dicha gráfica, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f

Problema 19:

Sean las matrices

Encuentra el valor o valores de x de forma que B2 = A

Problema 20:

Se considera la función f(x) = ax3 + b • ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los

valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) es nula en x = 1

Problema 21:

Se considera la función f (x) = x3 + ln x. Calcula:

Problema 22:

De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disparos y el otro consigue tres dianas de cada cuatro disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcular:

a) La probabilidad de que los dos acierten. b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no. c) La probabilidad de que ninguno de los dos acierte. d) La probabilidad de que alguno acierte.

Problema 23:

En una tienda de artículos deportivos se puede adquirir, entre otros productos, raquetas de bádminton y raquetas de tenis. El beneficio por la venta de cada raqueta es de 20 y 25 euros, respectivamente. Por cuestiones de estrategia comercial, se decide vender al día como máximo, 6 raquetas de bádminton y 5 de tenis. Considerando que el número total de raquetas vendidas no puede ser mayor de 7. Representa la región factible. Halla el número de raquetas que debe venderse de cada clase para que el beneficio se máximo. Calcula ese beneficio máximo.

Problema 24:

Representa gráficamente la función f(x) = x3 – 3x

2 + 4 estudiando: intervalos de crecimiento y

decrecimiento, máximos y mínimos relativo, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Problema 25:



Dentro del triángulo limitado por los ejes X, Y y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un área máxima.

Problema 26:

Sea la matriz

Problema 27:

Se considera la función , obtén la expresión de la recta tangente a dicha función en x = 3

Problema 28:

Se considera la función f (x) = – 2x3 – 2ln x. Calcula:

Problema 29:

Un estudio revela que el 10 % de los oyentes de radio sintoniza a diario las cadenas Music y Rhythm, que un 35 % sintoniza a diario Music y que el 55 % de los oyentes no escucha ninguna de las dos emisoras. Obtén: a) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm. b) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm pero no la Music. c) La probabilidad de que un oyente, del que sabemos que escucha Rhythm, escuche Music.

Problema 30:

En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente: • Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4 euros

• Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Precio 6 euros

¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuál es el importe de la venta?

Problema 31:

Dada la función , se pide: a) Dominio y puntos de corte son los ejes de coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. d) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.



Problema 32:

La función representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcula el número de artículos que deben venderse para obtener el máximo beneficio y determina dicho beneficio máximo.

Problema 33:

Sean las matrices

Calcula la matriz C = B • A – At • B

t

Problema 34:

La función f(t), 0 ≤ t ≤ 10, en la que el tiempo t está expresado en años, representa los beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre los años 1990 (t = 0) y 2000 (t = 10)

¿Es continua esta función? ¿Es derivable?

Problema 35:

Sea la función . Determina las asíntotas si existen.

Problema 36:

En un instituto hay 250 alumnos cursando estudios de Bachillerato, 110 de ellos son alumnos de segundo curso. El director pregunta a todos si están de acuerdo en realizar una determinada actividad cultural. Obtiene respuesta (afirmativa o negativa) de los 250 alumnos. Un 30 % de los alumnos de primer curso le contestaron que están de acuerdo y un 40 % de alumnos de segundo curso le contestan que no están de acuerdo. Si seleccionamos al azar un alumno entre los 250 determinar, justificando la respuesta: a) La probabilidad de que sea un alumno de segundo curso de los que están de acuerdo en realizar la actividad cultural b) La probabilidad de que sea un alumno de los que no están de acuerdo en realizar la actividad cultural c) Sabiendo que el alumno seleccionado pertenece al primer curso, la probabilidad de que sea de los que están a favor de realizar la actividad cultural



Problema 37:

Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kg de avellanas y 420 kg de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación:

• La caja A tiene 6 kg de avellanas y 3 kg de almendras y las vende a 80 euros

• La caja B tiene 10 kg de avellanas y 1 kg de almendras y las vende a 90 euros

Representar la región factible. ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo?

Problema 38:

Se considera la función siendo a y b parámetros reales. a) Determina los valores de los parámetros a y b para que f(2) = – 4 y la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 6 es horizontal. b) Para a = 1 y b = –1

• Razona cuál es el dominio de f(x) y la existencia de asíntotas verticales.

• Determina los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x)

Problema 39:

En una factoría la función de costes es C(x) = x3 – 3ln x, donde x > 0 es el número de toneladas

que se producen. a) Calcula el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste. b) Si la función de ingresos es I (x) = x

3 + 12x, escribe la función de beneficios.

c) Calcula los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente y di si existe beneficio máximo y en caso afirmativo el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio.

Problema 40:

Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T1, T2 y T3. Los precios de costo de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla:

T1 T2 T3

Precio de costo 4 euros 6 euros 9 euros

Ingresos 10 euros 16 euros 24 euros

Los números de ventas anuales son de 4500 juguetes T1, 3500 juguetes T2 y 1500 juguetes T3. Sabiendo que la matriz de costos (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila. a) Determina las matrices C, I y V

b) Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costos anuales, la matriz de ingresos anuales y la matriz de beneficios anuales, correspondientes a los tres tipos de juguetes.

Problema 41:

Dada la parábola f(x) = x2 – 5x + 8

a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes?

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto P(1, 4)



c) Dibuja en unos mismo ejes, la parábola, la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, la tangente paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y la recta tangente en el punto P(1, 4)

Problema 42:

Dada la función

a) Representa gráficamente f(x)

b) Estudia su continuidad.

Problema 43:

Se lanzan dos dados A y B con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea múltiplo de 4?

Problema 44:

En la remodelación de un centro de enseñanza se quiera habilitar un mínimo de 8 nuevas aulas, entre pequeñas (con capacidad para 60 alumnos) y grandes (con capacidad para 120). Como mucho, un 25% de las aulas podrán ser grandes. Además, el centro necesita que se habilite al menos 1 aula grande, y no más de 15 pequeñas. ¿Qué combinaciones de aulas de cada tipo se pueden habilitar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Cuál es el número mínimo de aulas pequeñas que se pueden habilitar? Si se quiera que la capacidad total conseguida con las aulas habilitadas sea lo mayor posible ¿cuántas tendría que haber de cada tipo? ¿Cuántos alumnos cabrían en total?

Problema 45:

Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, en euros viene dada por: R(x) = –0,01x

2 + 5x + 2500, siendo x la cantidad que se invierta.

a) ¿Qué rentabilidad obtiene un inversor que invierte 1000 euros?

b) ¿Cuánto ha de invertir si quiere obtener una rentabilidad máxima?

c) Calcula esa rentabilidad máxima.

Problema 46:

Se considera la función . Determina los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.

Problema 47:

Sean las matrices

Determina x para que A • B = I2



Problema 48:

Si f’ es la derivada de la función dada por calcula

f’(–0,5)

Problema 49:

Sea la función

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el que f(x) sea continua en x = 0?

b) Para a = 2 comprueba si x = 1/2 es asíntota vertical de f(x)

Problema 50:

Entre los alumnos de una clase, el 70% practica algún deporte. Además, se sabe que el fútbol le gusta al 40% de los que practica algún deporte y al 80% de los que no practica ningún deporte. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un alumno elegido al azar no le guste el fútbol?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno practique algún deporte y le guste el fútbol?

c) Si a un alumno le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que haga deporte?



Soluciones

Problema 1:

C = “obtener cara en la moneda”, P = “obtener par en el dado”

Se hace el diagrama cartesiano:

1 2 3 4 5 6

C (C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6)

X (X, 1) (X, 2) (X, 3) (X, 4) (X, 5) (X, 6)

a) E = {(C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (X, 1); (X, 2); (X, 3); (X, 4); (X, 5); (X, 6)}

b)

Problema 2:

a) Región factible.

b) Vértices de la región factible: O(0, 0); A(15, 0); B(15, 2); C(9, 6); D(0, 3)

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es F(15, 2) = F(9, 6) = 144. La solución óptima se alcanza en B(15, 2) y C(9, 6); por tanto en todos los puntos del segmento BC

Problema 3:

Máximos y mínimos

f’(x) = 3x2 – 6x 3x

2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples.

f(0) = 7, A(0, 7)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 7) Máximo relativo. f(2) = 3, B(2, 3)

f”(2) = 6 > 0 B(2, 3) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento

f’(1) = – 3 < 0 (–)



Problema 4:

a)

B’(x) = 0 – 25x2 + 400 = 0 x = 4, x = – 4 (la solución negativa no tiene sentido)

En el cuarto año se alcanza el máximo que es 3125 euros

b) Como

Luego la empresa no puede tener pérdidas ningún año.

Problema 5:

Es falso, contraejemplo

Problema 6:

Es la derivada de un cociente:

Problema 7:

Es la hipérbola trasladada 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. Luego: Asíntota vertical: x = 2

Asíntota horizontal: y = 1



Asíntota oblicua: no tiene

Problema 8:

D = “coche defectuoso”

Árbol de probabilidades

a) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta

b) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total P(D) = P(A) • P(D/A) + P(B) • P(D/B) + P(C) • P(D/C) =

= 0,5 • 1/2 + 0,3 • 1/4 + 0,2 • 1/6 = 0,36

c) Se aplica el teorema de Bayes

Problema 9:

a) Tabla con los datos del problema.

Lote A Lote B Restricciones

Nº de lotes x y x ≥ 0; y ≥ 0

kg papel reciclado x 2y x + 2y ≤ 78

kg papel normal 3x 2y 3x + 2y ≤ 138

Ingresos 0,9x y f(x, y) = 0,9x + y Máximo

b) Región factible.

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(46, 0); B(30, 24); C(0, 39). El máximo es f(30, 24) = 51 euros

d) La solución óptima es B(30, 24), es decir, x = 30 kg de papel reciclado e y = 24 kg de papel normal.



Problema 10:

a) Dominio:

b) Asíntotas

• Verticales: son las raíces del denominador que no hacen cero el numerador, x = –3. Se observa que en x = 3 hay una discontinuidad evitable:

• Horizontales: no tiene

• Asíntotas oblicuas:

La asíntota oblicua es y = x

c) Máximos y mínimos relativos

Si x = 0 f(0) = 3 A(0, 3)

Si x = – 6 f(0) = – 9 B(– 6, – 9)

f”(0) = 2/3 > 0 A(0, 3) mínimo relativo. f”(– 6) = – 2/3 < 0 B(– 6, – 9) máximo relativo. Monotonía o crecimiento

f’(1) = 7/16 > 0 (+)

Gráfica de la función

Problema 11:

a) Datos, incógnita y dibujo.

Función que hay que maximizar es: f(x, y) = 2x

2y

sujeta a la restricción: 3x + y = 1 y = 1 – 3x

Se escribe la función con una sola variable

f(x) = 2x2(1 – 3x) = 2x

2 – 6x

3



Se calculan los máximos y los mínimos

f’(x) = 4x – 18x2; 4x – 18x

2 = 0 x = 2/9, x = 0 (x = 0 no tiene sentido)

Se comprueba en la 2ª derivada

f’’(x) = 4 – 36x f’’(2/9) = – 4 < 0 (–) Para x = 2/9 se alcanza el máximo. Solución

Para x = 2/9 , y = 1/3, se tiene que las dimensiones de la caja son 2/9 m de ancho, 4/9 m de largo y 1/3 m de alto.

b) El volumen será:

Problema 12:

No es posible porque si la matriz es de tamaño 3 x 2, su traspuesta es de tamaño 2 x 3

Una matriz de tamaño 3 x 2 no es cuadrada y no tiene inversa. Por tanto, no puede coincidir con su inversa.

Problema 13:

Continuidad

El único punto problemático es x = 3

Para que la función sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función.

Derivabilidad

Para que sea derivable en x = 3, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(3–) ≠ f’(3

+) La función no es derivable en x = 3

Problema 14:

a) Para que la función sea continua en

Se estudian los límites laterales:

b) Para a = 0 se tiene:





la función no es continua en x = 1

Problema 15:

Se aplican las propiedades de la probabilidad y la probabilidad condicionada.

Diagrama de Venn

Problema 16:


Producto A Producto B Restricciones

Nº de unidades x y x ≥ 0; y ≥ 4

Limitación de espacio x y x + y ≤ 20

Nº de horas de trabajo de Juan 4x y 4x + y ≥ 32

Nº de horas de trabajo de Pedro 2x 3y 2x + 3y ≥ 36

Beneficios 25x 20y f(x, y) = 25x + 20y Máximo




c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(12, 4); B(16, 4); C(4, 16); D(6, 8). El máximo es f(16, 4) = 480 euros

d) La solución óptima es B(16, 4), es decir, x = 16 unidades del producto A e y = 4 unidades del producto B. Beneficios = 480 euros

Problema 17:

La gráfica es una hipérbola, porque el grado del denominador es uno y el del denominador es uno o cero, en este caso uno.

a) Asíntotas: x = 2, y = 1,

b) Intervalos de crecimiento, como k = 2 > 0 es siempre decreciente.

c) Representa gráficamente:

Problema 18:



Problema 19:

Se calcula B2 y se igualan los términos con los de A

Problema 20:

f(1) = 2 a • 13 + b • ln 1 = 2 a • 1 + b • 0 = 2 a = 2

f’(x) = 3ax2 + b/x, como f’(1) = 0 3a • 1

2 + b/1 = 0 3a + b = 0 b = – 3a b = – 6

Problema 21:

Problema 22:

D = “hacer diana”, 1º D = “el primero hace diana”, 2º D = “el segundo hace diana”

Árbol de probabilidades

a) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta

b) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total

c) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta

d) Se aplica la probabilidad del contrario. P(alguno acierte) =1 – P(ninguno acierte) = 1 – 1/12 = 11/12

Problema 23:




R. bádminton R. tenis Restricciones

Nº de unidades x y 0 ≤ x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 5

Limitación de ventas x y x + y ≤ 7



c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(6, 0); B(6, 1); C(2, 5); D(0, 5). El máximo es f(2, 5) = 165 euros

d) La solución óptima es C(2, 5), es decir, x = 2 raquetas de bádminton e y = 5 raquetas de tenis.Beneficios = 165 euros diarios

Problema 24:

Máximos y mínimos

f’(x) = 3x2 – 6x 3x

2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples.

f(0) = 4, A(0, 4)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 4) Máximo relativo. f(2) = 0, B(2, 0)

f”(2) = 6 > 0 B(2, 0) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento

f’(1) = – 3 < 0 (–)

Punto de inflexión

f”(x) = 6x – 6 6x – 6 = 0 x = 1

f(1) = 2, C(1, 2)

f’”(x) = 6

f”’(1) = 6 ≠ 0 C(1, 2) punto de inflexión. Curvatura: f”(0) = – 6 < 0 (–)



Problema 25:

a) Datos, incógnitas y dibujo.

b) Función que hay que maximizar

f(a, b) = a • b

sujeta a la restricción: 2a + b = 8 b = 8 – 2a

c) Se escribe la función con una sola variable

f(a) = a • (8 – 2a) = 8a – 2a2

d) Se calculan los máximos y los mínimos

f’(a) = 8 – 4a; 8 – 4a = 0 a = 2

e) Se comprueba en la 2ª derivada

f’’(a) = – 4 f’’(2) = – 4 < 0 (–) Para a = 2 se alcanza el máximo. f) Solución

El área máxima se alcanza para a = 2, b = 4. El punto es (2, 4)

Problema 26:

Problema 27:

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a)

y – 3 = – 2(x – 3) y – 3 = – 2x + 6 y = – 2x + 9

Problema 28:

Problema 29:

Se aplican las propiedades de la probabilidad y la probabilidad condicionada.



M = “Sintoniza Music”; R = “Sintoniza Rhythm”

Diagrama de Venn

Problema 30:


Caja tipo 1 Caja tipo 2 Restricciones

Nº de cajas x y x ≥ 0; y ≥ 0

Polvorones 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y ≤ 24

Mantecados 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y ≤ 15

Ingresos 4x 6y f(x, y) = 4x + 6y Máximo



d) La solución óptima es B(105, 15), es decir, x = 105 cajas tipo 1 e y = 15 cajas tipo 2. Ingresos = 510euros

Problema 31:

a) Dominio: nunca se anula el denominador, Dom(f) = R = (– ∞, + ∞). Corta a los ejes en O(0, 0)

b) Asíntotas

• Verticales: son las raíces del denominador, no tiene. • Horizontales:

Tiene una asíntota horizontal en y = 0

• Asíntotas oblicuas: no tiene porque el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador. c) Máximos y mínimos relativos

raíces reales simples. f(–1) = –1, A(–1, –1)



f”(–1) = 1 > 0 A(–1, –1) mínimo relativo. f(1) = 1, B(1, 1)

f”(1) = –1 < 0 B(1, 1) Máximo relativo. Monotonía o crecimiento

d) Gráfica de la función

Problema 32:

(el resultado negativo no tiene sentido)

B(4) = 1 A(4, 1)

es un máximo relativo. Para 4 artículos vendidos se obtiene el máximo beneficio que son 1000 euros

Problema 33:

Se hacen las traspuestas, los productos parciales y luego la diferencia

Problema 34:

Los únicos puntos problemáticos son t = 2 y t = 6

Continuidad para t = 2




Derivabilidad para t = 2

Para que sea derivable en t = 2, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(2–) = f’(2

+) La función es derivable en t = 2

Continuidad para t = 6


Derivabilidad para t = 6

Para que sea derivable en t = 6, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(6–) ≠ f’(6

+) La función no es derivable en t = 6

Problema 35:

Asíntota vertical: x = 3

Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división

y se obtiene la asíntota oblicua: y = x – 3

Problema 36:

Se resuelve mediante una tabla de contingencia: A = “están de acuerdo”; NA = “no están de acuerdo”

A = Están de acuerdo No están de acuerdo Total

1º Curso 0,3 • 140 = 42 98 140

2º Curso 66 0,4 • 110 = 44 110



Total 108 142 250

a)

b)

c)

Problema 37:


Caja A Caja B Restricciones

Nº de cajas x y x ≥ 0; y ≥ 0

Avellanas 6x 10y 6x + 10y ≤ 1800

Almendras 3x y 3x + y ≤ 420




d) La solución óptima es B(100, 120), es decir, x = 100 cajas A e y = 120 cajas B. Beneficio = 18800euros

Problema 38:



que nunca se anula, por tanto no tiene puntos de inflexión. Curvatura: f”(0) = 2 > 0 (+)

Problema 39:

a)

C’(x) = 0 3x3 – 3 = 0 x = 1 C(1) = 1; A(1, 1)

C’’(1) = 9 > 0 A(1, 1) es un mínimo relativo. Para x = 1 tonelada, se alcanza el coste mínimo que es 1

b) La función beneficios es B(x) = I(x) – C(x) = 12 x + 3ln x

c)

B’(x) = 0 12x + 3 = 0 x = – 1/4

No tiene sentido porque x debe ser mayor que cero.

B’(x) > 0 para todo x > 0. Luego la función beneficio es creciente

Problema 40:

a) Matrices C, I y V

b) Matriz de costos anuales

Matriz de ingresos anuales

Matriz de beneficios anuales

V • I – V • C = (45000 56000 36000) – (18000 21000 13500) = (27000 35000 22500)



Problema 41:

a) La pendiente de la bisectriz del primer y tercer cuadrante es 1

Como la pendiente de la recta tangente viene dada por la derivada de f(x): y’ = 2x – 5 2x – 5 = 1 2x = 6 x = 3 y = 3

2 – 5 • 3 + 8 = 9 – 15 + 8 = 17 – 15 = 2

El punto es Q(3, 2)

b) Ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 4)

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a)

f’(x) = 2x – 5 f’(1) = 2 • 1 – 5= – 3

y – 4 = – 3(x – 1) y – 4 = – 3x + 3 y = – 3x + 7

c) Representación gráfica:

Problema 42:

a) Repesentación gráfica.

b) La función f(x) está definida por tres funciones polinómicas que son continuas en sus dominios. Solo debemos estudiar los valores x = – 3, x = 2

Para que sea continua en




Problema 43:

Se dibuja el diagrama cartesiano:



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Problema 44:


A. pequeñas A. grandes Restricciones

Nº de aulas x y 0 ≤ x ≤ 15; y ≥ 1

Limitación ambas x y x + y ≥ 8

Limitación grandes-pequeñas x y 0,25(x + y) ≥ y

Nº de alumnos 60x 120y f(x, y) = 60x + 120y Máximo


c) Se pueden habilitar todas las aulas correspondientes a las coordenadas enteras del interior y de la frontera de la región factible, cuyos vértice son: A(7, 1); B(15, 1); C(15, 5); D(6, 2)

d) El número mínimo de aulas pequeñas es de 6

e) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es f(15, 5) = 1500 alumnos

f) La solución óptima es C(15, 5), es decir, x = 15 aulas pequeñas e y = 5 aulas grandes. Número de alumnos = 1500

Problema 45:

a) R(1000) = – 0,01 • 10002 + 5 • 1000 + 2500 = – 2500 euros, pierde dinero.

b) R’(x) = – 0,02x + 5 – 0,02x + 5 = 0 x = 250

R(250) = 3125, A(250, 3125)

R”(x) = – 0,02; R”(250) = – 0,02 < 0 A(250, 3125) Máximo relativo. c) La rentabilidad máxima es 3125 euros



Problema 46:

f(1/2) = – 0,53 A(1/2, – 0,53)

f’’’ (1/2) = 24 ≠ 0 A(1/2, – 0,53) es punto de inflexión. x = 1 f’’(1) = 7 > 0

Problema 47:

Se calcula A • B y se igualan los términos con los de I2

Problema 48:

Problema 49:

a) La función f(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su subdominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador depende del parámetro a, se estudia el caso en x = 0



Para a = 1/2, la función es continua en x = 0

b)

Problema 50:



D = “Practica algún deporte”; ND = “No practica algún deporte”

F = “Le gusta el fútbol”; NF = “No le gusta el fútbol”

a) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total P(NF) = P(D) • P(NF/D) + P(ND) • P(NF/ND) = 0,7 • 0,6 + 0,3 • 0,2 = 0,48

b) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta

c) Se aplica el teorema de Bayes

colegio portocarrero. departamento de matemáticas. · 2015-11-09 · colegio portocarrero....

Documents